Geometria Gráfica Tridimensional Vol 1 Mario Duarte e Alcy Paes

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AUTORES: 
ALCY PAES DE ANDRADE VIEIRA 
COSTA, nascida em Recife, é graduada no 
curso de Licenciatura em Desenho e Plástica, 
pela Universidade Federal de Pernambuco, ck 
cujo Departamento de Desenho era professo~. 
estando atualmente aposentada no nlvel 4 de 
Adjunto. 1 
Durante muitos anos lecionou em curs~s 
de 'Z' grau em várias escolas oficiais do Estado. 
Ê também professora Adjunta em atividade no 
Departamento de Engenhafia da Universidade 
Católica de Pernambuco, onde leciona 
disciplinas da área de Geometrotecnia para 
cursos de Engenharia Quimice e Matemática. 
Exerceu durante anos a coordenação do 
curso de Licenciatura em Desenho e Plástica 
da UFP'E, colaborando com o Departamento 
d• Métodos e Técnicas de Ensino do Centro 
do Educação, como professora responsáv~I 
pnll'I disciplina de Prática de Ensino db 
l>er.enho. 
Participou, como c~autora, da maioria 
""" lrnbalhos didáticos do Prof. Mário Duarte 
ço .. ta 
MÁRIO DUARTE COSTA, nascido em 
Recife, é Professor Titular, por concurso do 
Departamento de Desenho da Universidade 
Federal de Pernambuco, onde se graduou em 
Engenharia Civil e obteve o titulo de Doutor 
em Arquitetura. 
Leciona todas as disciplinas da área de 
Geometrotecnia, na graduação da área de 
ciência e tecnologia - cursos de. Engenharia, 
Matemática e Geologia - e da área de artes -
cursos de Arquitetura, Desenho Industrial o 
Licenciatura em Desenho. 
Participa de cursos de especialização 
locais e de outras regiões do pais, onde 
desenvolve o ensino da Geometria Projetiva. 
~ também Professor Titl1lar - licenciado - do 
Departamento de Engenharia da Universidade 
Católica de Pernambuco. 
Tem larga experi!ncia administrativa na 
UFPE como Chefe do Departamento de 
Desenho e em Direções no Departamento de 
Controle Acadêmico. 
Publicou três teses e artigos cientlficos 
em Simpósios Nacionais, bem como livros 
didáticos sobre vários assuntos, incluindo 
duas edições dos volumes 1 e 2 da Geometria 
Gráfica Tridimensional. 
AC 
r44 
8371 
1 001247 
111/ llf lllllllllllf Ili /l/I 11 lfl 
L0000001250 
Geometria 
Gráfica Tridimensional 
Os que fazem a Editora 
Universitária da Universidade 
Federal de Pernambuco, 
sentem-se honrados, e ex-
pressam-se na pessoa do seu 
Editor, com o lançamento da 
terceira edição do volume 1, da 
Obra dos Professores Mário 
Duarte Costa e Alcy P. de A. 
Vieira Costa, Geometria 
Gráfica Tridimensional 
Sistemas de Representação. 
Essa nova edição é o 
testemunho da competência 
dos autores, tão bem rece-
bidos entre os estudantes qu~ 
aspiram uma vaga nas uni-
versidades, tanto nas áreas da 
Ciência e Tecnologia, quanto 
na área das Artes. Con-
siderando também a utilização 
da Obra por estudantes 
universitários, entendo desne-
cessário ressaltar as quali-
dades do presente trabalho. 
Lembro que já foram 
editados, da presente série, 
pela Editora Universitária da 
UFPE, o volume 2 - segunda 
edição, Geometria Gráfica 
Tridimensional - Ponto, Reta e 
Plano, e volume 3, Geometria 
Gráfica Tridimensional 
Transformações Projetivas. 
Prof· ·Ana Maria 
de França Bezerra 
Editor 
Associação Latino Americano de Educação 
, 
Associação La tino Americano de Educação 
Geometria Gráfica 
Tridimensional 
Vai. 1 - SISTEMAS OE 
REPRESENTA.CÃO 
3º ediçõo 
Associaç~o Latino Americano de Educação 
Maria Duarte Costa 
Alcy Vieira Costa 
Geometria Gráfica 
Tridimensional 
7@ /j Vai. 1 - SISTEMAS DE -~/ / 
REPRESENTACAO //' ;/ 
3Q edição / / li / / ;t 
/ / /! 
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\ 1 
Costa, Mário Duarte 
Geomeeria gráfica tridimensional I Mário Duarte 
C01ta, AJcy Paes de Andrade Vieira Costa. - 3. ed. - Re· 
cif8: Editora Universitária da UFPE, 1996. 
2v.: il. 
ConkKldo: v. 1. Sistema de rapresentação - v. 2. 
Pomos, retas e planoG. 
1. Geometrfa descritiva. 1. Costa. AJcy Paes oe An· 
dlade. li. Tf\llo. 
515 CDU 
518 coo (19. ed.) 
UFPE 
BC92·019 
Reitor: Prof. Mozart Neves Ramos 
Vice-Reitor: Prof. José Luiz Barreira Filho 
Diretora da Editora: Prof. Ana Maria de França Bezerra 
COMISSÃO EDITORIAL 
Presidente: Prof Celia Maria Medieis Maranhão 
Titulares: Ana Maria de França Bezerra, Carlos Teixeira Brandt, Ditosa 
Carvalho de A. Barbosa, Flávio Henrique A. Brayner, Marcelo de A. Figueira Gomes, 
Nelly Medeiros de Carvalho, Roberto Gomes Ferreira, Roberto Mauro Cortez Motta, 
Sylvio LOreto, Valderez Pinto Ferreira. 
Suplentes: Angela Maria Barbosa Neves, Benído de Barros Neto, Célia 
Maria da Silva Salsa, Gilda Maria Uns de Araújo, José Thadeu Pinheiro, José lia Pacheco 
de Santana, Maud Fragoso Perrud, Nadja Maria Uns da Silva, Pedro Lincoln C. L. de 
Matos. 
Revisão: O autor 
Arte Anal: Fablana Carvalho de Sá Leitão 
Supervisão geral : Manoel Cunha 
Impressão: Editora Unlvcrsltárla/UFPE 
INDIC F. 
Al' ll 111 o 1 <•~ Nlli /\ l , lll A DL S SOB A[ OS SISTEMAS DE REPRE-
1 N 1 A l,./1.0 CJl!Áf IC/\ 
1 '1 1 UAÇAO NO CONHECIMENTO HUMANO . ........ ... . 13 
'l A(,( OML fRIA, (.,DESENHO GEOMtTRICO E O DESENHO 
1 l' CNICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 
<.l\Hl\C TERIST ICA DE UM SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO 14 
11 l' llOJL ÇÃO PRINCIPAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 
l 'llOJl ÇÔES SFCUNDÁRIAS...... . . .. . ........... .. 16 
11 !,IS ILMAGRÁFICO-ANALITICO. ....... . .. . ..... . . . . 17 
l Ili BAT IMENTO.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
li 111\HALELEPIPEDO DE REFER~NCIA. . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
f ORMA-MODELO ..... . . . ..... .. .. . ... .. .. ... . .. .. 19 
A l'l I ULO 2 SISTEMAS QUE UTILIZAM APENAS PROJEÇÕES ORTO· 
1:i, llNA IS 
~ 1 !:> IST EMA MONGEANO 
) , 1. 1. Histór ico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 
2. 1. 2. Projeção principal do sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 
). 1. 3. Projeções secundárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 
2. 1. 4. i;pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 
2. 1. 5. Notação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 
2. 1. 6. Aplicação do sistema no DESENHO TtCN ICO . . . . . . . 23 
2. 1. 7. Desenho das vistas em presença do objeto . . . . . . . . . . 25 
2. 1. 8. Observações práticas sobre as vistas no desenho técnico . 28 
2. 1. 9. Sistema alemão e sistema norte-americano . . . . . . . . . . 28 
2. 1. 10. Vistas aux iliares . . ............... , . . . . . . . . . 33 
2. 1.11: Formas ci líndricas .. . ............... . ..... . . 34 
2. 1. 12. Exercícios no sistema mongeano . . . . . . . . . . . . . . . 35 
:l. 2. AXONOMETRIA ORTOGONAL 
2. 2. 1. Posição do paralelepípedo de referência. . .. .. .. . .. . 36 
2. 2. 2. Isometria, d imetria e trimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 
2. 2. 3. Redução das arestas do paralelep ípedo . . . . . . . . . . . . 39 
2. 2. 4. Representação axonométr ica da forma·modelo . . . . . . . 43 
2. 2. 5. Axonometr ia do círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 
2. 2. 6. Exercícios em axonometria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 
2. 3. CONVERSÃO DA AXONOMETRIA ORTOGONAL AO SISTEMA 
MONGEANO E V ICE-VERSA 
2. 3. 1. Passagem da axonometria às v istas ortogonais . . . . . . . 46 
:J. :1 2. 1'11sug11m da~ vistas ortogonais à axonometrla . .. .... . 
'J. 3. 3. f;xurdc1os de conversão de sistemas ............. . 
CAPI 1UIO3 SISTEMAS DE PROJEÇÃO CIL(NDR ICA OBLIQUA 
1 1, 'ilS 1 i:MA ORTO·OBLIQUO 
:.! 1 1. Projeção principal ............. ... ........ . . 
3. 1. 2. P101eção secundária ............... .... . . ... . 
3, 1. 3 F-etor de conversão .... . .. .. .. .. ..... . . .. · .. . 
1 1, 4 Direção da projeção ..... ... ... .. . .. .... ... . . 
3. 1, 5. Arestas paralelas ao plano de projeção ............ . 
3 1. 6. 1 raçado das projeções no plano ................ . 
3. 1. 7. Aepresentai:ão da forma-modelo .............. . . . 
:J. 1. 8 . Cr(tlca da representação ... . ................. . 
3. 1. 9. Formas cll<ndricas .............. . ....... ... . 
3 1. 10. Exerc<clos do sistema orto·obllquo .............. . 
1 2. CAVALEIRA 
49 
51 
58 
58 
00 
60 
61 
61 
64 
65 
68 
69 
1 2 1. Perspectiva cavaleira. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 
3 2, 2. A cavaleira como sistema de representação. . . . . . . . . . 70 
3 2. 3 Cavaleira isométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 
3 2. 4 Exerc(cios em cavaleira. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 
. VISI A ORTOGONAL COM SOMBRA OBLIQUA 
'I. 3. 1 Caráter geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 
~ 3. 2. Diferenças objetivas para o sistema orto-obllquo. . . . . . 75 
... 4 SIS rt;,MAS OBLIQUOS SOB O PONTO DE VISTA NORTE-AMEAI· 
CANO 
3. 4. 1. Sombra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 
3. 4. 2. Sistema orto-oblfquo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 
3. 4. 3. Cavaleira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 
'I , b. EXERCICIOS FINAIS DO CAPITULO.. . . . . . . . . . . . . . . . . 78 
CAPl"r i.JLO 4 - SISTEMAS DE PROJEÇÃO CÔNICA 
4. 1. SISTEMA ORTOCÔNICO 
4. 1. 1. Projeção principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 
4. 1. 2. Projeção secundária ...... . . .. ........... ,. . . . 83 
4. 1. 3. Situação no plano do desenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 
4. 1. 4. Variação da distância do centro de projeção. . . . . . . . . 87 
4. 1. 5. Variação da projeção C1 no plano do desenho. . . . . . . . 87 
4. 1. 6. Representação da forma-modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . 90 
4. 1. 7. Crítica da representação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 
4. 1. 8. Representação de cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 
4. 1. 9. Exercfcios no sistema ortocõnico . . . . . . . . . . . . . . . . 94 
1 
l 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
4. ~ . CAVA I 1 IHA CÔNICA 
4 2 1. 'como perspcct1vn ..................... . .. . 
4 } ? . Cavaleira cônica como sistema de representação ..... . 
4 7. 3. Crítica da perspectiva ....................... . 
4. 2. 4 . Variação de C1 ••• • •• • ••.•••.•••.• • • • • · • • · • 
4, 2. 5. Sistema norte-americano ....... . . .... ........ . 
4. 2. 6. Exercícios de cavaleira cônica ........... .... .. . 
4. 3. AXONOMETRIA CÔNICA DE 2 FUGAS 
4. 3. 1. Posição do sólido em relação ao plano de projeção .... . 
4. 3. 2. Direção das arestas na projeção cônica ....... . .... . 
4. 3. 3. Determinação dos vértices na projeção cônicíl ..... . . . 
4. 3. 4. Situação no plano do desenho ............ .. .. . . 
4. 3. 5. Crítica do sistema ............ .. ........... . 
4. 3. 6. Representação da forma-modelo ...... . ... ... .. . . 
4. 3. 7. Exercícios de axonometria cônica de 2 fugas ....... . 
95 
96 
96 
100 
100 
102 
102 
103 
104 
104 
106 
109 
110 
4. 4. AXONOM ETRIA CÔNICA DE 3 FUGAS 
4. 4. 1. Posição do sólido em relação ao plano de projeção. . . . . 110 
4. 4. 2. Representação do paralelepípedo retângulo . . . . . . . . . 111 
4. 4. 3. Crítica do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 13 
4. 4 . 4. Exercícios de axonometria cônica de 3 fugas . . . . . . . . 114 
4, b. SISTEMAS BICÓNICOS 
4. 5. 1. Visão estereoscópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 
4. 5. 2. Projeção bicônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 
4. 5. 3. Perspectiva pela disposição norte-americana . . . . . . . . . 116 
4. 5. 4. Anagl ifo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 
4. 5. 5. Estereoscópio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 
11 O. EXERCICIOS FINAIS DO CAPITULO. . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 
PREFÁCIO 
Este trabalho surgiu da necessidade de um texto adaptado às 
atuais condições em que o estudante brasileiro ingressa na Universidade. 
Seja na área de ciência e tecnologia, seja na área de artes, há 
muitos anos que desapareceu do concurso vestibular a prova específica 
de desenho. Mesmo a geometria, dentro da matemática, não é 
devidamente testada no cadidato a ingresso nos nossos cursos de 
graduação. 
Aliada a tal deficiência de base, a quase total ausência da 
inteligência espacial em uma boa parte do corpo discente, que deveria 
mesmo orientá-los para outras áreas de atividade humana, por deixá-los 
incapazes para cursos técnicos ou artísticos que .necessitam da visão 
tridimensional, é um problema que tentamos inutilmente contornar dentro 
da Universidade. 
Foi parte desse eSforço o tentarmos redigir um texto com o mínimo 
de abstração. Apesar de não ser um livro de desenho técnico, os sólidos 
estudados nos diversos sistemas de representação são sempre 
referenciados a um paralelepípedos retângulo - ou ortoedro, como o 
chamaríamos hoje se tivéssemos que reescrever todo o conteúdo deste 
volume. Pareceu-nos tal forma mais simples de visualizar que o simples 
diedro da geometria descritiva clássica, ou mesmo o triedro triortogonal 
que serve de apoio à axonometria e à cavaleira em praticamente todos 
os livros que conhecemos. Essa é uma tendência que se faz notar em 
autores norte-americanos, embora o tratamento por eles dado aos 
sistemas seja demasiadamente técnico, sem o mínimo suporto 
geométrico. 
Na presente obra não utilizamos o apoio teórico que a geomotriu 
projetiva propicia aos diversos sistemas, pois sentimos os nossos ahu10•, 
ainda bastante distantes do desenvolvimento racional necessário pnru 
absorção proveitosa da sua estrutura. Mas nos servimos da geomotr 111 
euclideana para justificar os procedimentos adotados em cada slsto11111, 
não nos limitando a uma simples citação de regras práticas, lugar r:o11111r11 
no pragmatismo que domina nos livros dos Estados Unidos. 
Gostarlamos de ter efetuado algumas mudanças no texto, desde 
a segunda edição. Mas concentramos nosso eSforço em dar continuidade 
à sequência de volumes desta GEOMETRIA GRÁFICA TRIDIMENSIONAL 
e já publicamos por esta mesma editora o terceiro volume, dedicado ã 
TRANSFORMAÇÕES PROJETIVAS. 
Lembramos que o nível em que os problemas são tratados nos 
dois primeiros volumes seria aquele desejável de ser atingido no ensino 
de segundo grau. O mais recente volume da trilogia traz a estrutura 
matemática que a GEOMETRIA PROJETIVA fornece à geometria gráfica 
tridimensional, permitindo um desenvolvimento apropriado ao ensino de 
terceiro grau. 
Projetamos mais dois volumes, um sobre poliedros e outro sobre 
superfícies rurvas. Esperamos pcx:ter oferecê-los aos nossos leitores dentro 
dos próximos anos. 
Os autores 
1. OfNEAALIDADES SOURE OS SISTEMAS DE REPRESENTAÇÃO 
ORÁ FICA 
1. 1. Situaçio no Conhecimento Humano 
O estudo das técnicas de representação gráfica se enquadra na área 
dtt COM UNICAÇÃO. 
Comparemos o desenho a um idioma. Este possui uma G RAMÁTl-
CI\. Para bem se expressar no idioma, seja compondo uma obra literária ou 
11101 ovando um relatório técnico ou ainda elaborando uma tese científica, o 
nutor da mensagem deve ser ENTENDIDO por aqueles que irão recebê-la. A 
ur 111nética deve ser conhecida tanto por quem escreve como por quem lê, pois 
tl ola que permite a devida interpretação das frases. 
O DESENHO igualmente permite uma finalidade artística, técnica 
ou científica. Tem sua gramática justamente nas técnicas de representação 
111 ófica. 
Mas, assim como não aprendemos o idioma apenas estudando as re· 
qros da sua gramática, sem praticar sua leitura e escrita, também não domina-
r omos a linguagem do desenho apenas com o estudo da GEOMETRIA. 
· Também pretender aprender desenho sem desenhar é tão absurdo co-
mo aprender a ier sem escrever. Há umanecessidade de fixação na memória 
Que só a escrita ou a prática de desenho podem satisfazer. Tal como a escrita, 
com esse fim, que não temos a obrigação de fazer com uma caligrafia primo· 
rosa, ma:> apenas legível, o desenho que precisamos executar não nos deve dei-
xar inibidos pela ausência de qualidades estéticas, quando sua preocupação 
maior deve ser a de possuir um grau de precisão suficiente para não modificar 
a idéia que precisa transmitir. 
1. 2. A Geometria, o Desenho Geométrico e o Desenho Técnico 
Um objeto possui FORMA, FUNÇÃO e CONSTITUIÇÃO MATE· 
RIAL. 
A GEOMETRIA estuda apenas a FORMA do objeto, desvinculada 
dos outros dois fatores. Sob esse ponto de vista, o objeto é um SÓLIDO GEG· 
M~TRICO. 
O estudo da geometria pode ser feito axiomática, analítica ou gra-
ficamente. 
Axiomática ou analíticamente, a geometria é estudada em associa-
ção com outros ramos da matemática. Graficamente as disciplinas de desenho 
têm dela se encarregado. 
Tradicionalmente vêm sendo usadas algumas expressões controverti· 
das para designar esse e'Studo gráfico da geometria. DESENHO GEOM~TRI· 
CO é uma denominação reservada a construções de figuras planas, isto é, a 
traçados efetuados no próprio plano do desenho, restringidos ainda ao uso 
13 
exclusivo da régua e do compasso como instrumentos de desenho. Só ao DE· 
SENHO Ti:CNICO se permitiria o uso de esquadros, transferidores, normógra· 
fos ou quaisquer outros instrumentos. A GEOMETRIA DESCRITIVA faria 
o estudo de formas tridimensionais através de desenhos planos, mas é uma ex· 
pressão muitas vezes reservada a apenas um dos sistemas de representação (sis· 
tema diédrico ou mongeano). 
Vamos adotar aqui as seguintes expressões: 
1. 2. 1. GEOMETRIA GRÁFICA - Estudo, através do desenho, de 
qualquer propriedade de forma. Poderá ser BIDIMENSIONAL, estudando 
apenas figuras planas diretamente no plano do desenho, ou TRIDIMENSIO· 
NAL, utilizando os SISTEMAS DE REPRESENTAÇÃO para estudar formas 
de três dimensões em desenhos planos. 
1. 2. 2. DESENHO TÉCNICO - Acrescenta, à forma representada 
no desenho, as convenções que traduzem a função e o material de que é cons· 
tituldo o objeto. i: especificamente dirigido aos diversos setores tecnológicos 
com as denominações de DESENHO MECÂNICO, DESENHO ARQUITETÔ-
NICO, DESENHO DE CONSTRUÇÃO CIVI L, DESENHO DE MÓVEIS, 
DESENHO TOPOGRÁFICO, DESENHO CARTOGRÁF ICO e assim por 
diante. 
1. 2. 3. GEOMETRIA PROJETIVA - Estrutura teórica que permi· 
tiu o desenvolvimento dos sistemas de representação, relacionando o objeto 
representado com as suas projeções sobre o plano, bem como essas proje· 
ções planas entre si. Não deve ser confundida com a expressão GEOMETRIA 
DESCR ITI VA, que evitaremos usar pelas ambiguidades de interpretação que 
tem gerado. 
1. 3. Característica de um Sistema de Representação 
Representar a FORMA de objetos de 3 dimensões em desenho p lano, 
onde apenas 2 dimensões são uti lizáveis, é a final idade de um SISTEMA DE 
R EPR ESENT AÇÃO. 
Esta R EPR ESENT AÇÃO não pode se restringir a uma simp les ima· 
gem visual do objeto, como fornece uma fotografia ou uma pintura. i: indis· 
pensável que, através dessa representação, apenas, todas as propriedades geo· 
métricas do objeto no espaço possam ser obtidas, qualitativa e quantitativa-
mente. 
Assim, qualquer medida linear ou angular desse objeto deve ser conse· 
guida no desenho, diretamente ou através de operações gráficas; também deve 
ser possível seccionar esse objeto por planos ou achar sua intersecção com 
outras formas tridimensionais; projetar outras formas que completem aquele 
objeto; em resumo, deve ser possíve l a alguém, que não o autor da represen· 
tação e sem qualquer esclarecimento deste, construir o objeto representado 
14 
ldl\1Ttir.o 110 lrn1111ln11dn u11 uh\1111111110 por quem o representou e, mais ainda, 
11111di1 Irar 110 próprio d11~011ho , co111plernontando ou seccionando, a forma re· 
pr !ISO Ili Oda . 
Com tal carât11r de COMU N ICACÃO, é impossívelio seu emprego se 
11110 for Igualmente dominado pelo transmissor e pelo receptor da mensagem 
111Mlca. 
À medida em que a representação se destina a um consumidor menos 
r.apocit::ido à sua percepção mais aumenta a responsabil idade de conhecimento 
do seu autor, que deve utilizar mais de um sistema de representação e saber 
osco lher os mais adequados à forma representada. 
Também não é suficiente, a quem precisa transmitir a mensagem grâ· 
fica, conhecer os princípios teóricos e convencionais de funcionamento de 
todos os sistemas de representação existentes. É necessário que consiga aplicar 
convenientemente cada sistema à forma que deseja representar. 
Este trabalho pretende desenvol;er melhor o esquema teórico dos 
principais sistemas e orientar o seu emprego para maior rendimento em fun· 
ção da forma a representar, substituindo assim a obra SISTEMAS DE REPRE· 
SENTAÇÃO, do Prof. MÁRIO DUARTE COSTA, da qual não é urrr simples 
acréscimo. 
1. 4. Projeção Principal 
Qualquer sistema de representação necessita de uma projeção do ob-
jeto sobre o plano do desenho. Daí o seu relacionamento indispensável com a 
GEOMETR IA PROJETIVA, que pode ser mínimo para uma utilização primá· 
ria do sistema, ou aprofundado para explorar ao máximo as suas possibilida· 
des. 
Os sistemas de operação mais simples utilizam um feixe de retas 
paralelas, perpendiculares ao plano do desenho. 
O cubo da figu ra 1 sofre uma projeção desse tipo, d ita PROJEÇÃO 
ORTOGONAL, quando de cada um de seus pontos é baixada uma perpendi· 
cu lar até o plano do desenho. 
A projeção ortogonal é um caso particu lar da PROJEÇÃO CI Lt'N· 
DR ICA, denominação generalizada sempre que o feixe de projetantes é 
paralelo. 
Alguns sistemas de representação utilizam projeção oblíqua, ilustra· 
da na figura 2 onde as projetantes não formam ângulo reto com o plano do 
desenho. Apesar da maior versatilidade que apresentam em relação aos que 
utilizam apenas projeções ortogonais, tais sistemas deformam mais a imagem 
do objeto representado. 
A figura 3 ilustra a PROJEÇÃO CÔNICA de um cubo sobre o plano 
do desenho, quando o feixe de projetantes é concorrente em um centro C, 
ponto fora do plano. Mllitos sistemas de representação util izam tal tipo de 
projeção. Sendo sua operação menos simples que a cilíndrica oblíqua, esse t i· 
V 
pode projeção permite, se convenientemente 1Jsado, uma imagem do objeto 
mais aproximada da visão humana e da fotografia, o que o torna de mais fácil 
entendimento pelo leigo. 
Além dessas projeções usuais nos sistemas de representação de que se 
serve hoje o desenho técnico, outros tipos têm possibilidades de emprego, Pa-
re que sejam desenvolvidos em sistemas práticos é indispensável um conheci· 
mento mais amplo da geometria projetiva, o qual o presente trabalho não pre-
tende proporcionar. 
1. 5. Projeções Secundárias_ 
Apenas uma projeção não é suficiente para representar um objeto tri-
dimensional. Além da projeção principal, alguns sistemas de representação 
necessitam, direta ou indiretamente, de pelo menos uma projeção secundária. 
16 
Ee111 pmfo Mtr, ou 11«0, do m1111no tlJ>O da prtnclpal, pois o lmportan· 
' " 6 o re l1r.lon11mento unira 11111 pro)eçtlea aecund6rles e a projeção principal. 
Slmploamonto p1 oj111111 um 11101010 obje to separadamente de várias 
111111111h na nlo significo roprosontil lo, 11sslm como uma seq"úência de fotograf ias 
ria um rnos1110 objetivo nll'o roconstlw l a sua forma, rigorosamente. Cada sis· 
11111111 do reprosentação se caracteriza n(Jo somente pelos t ipos de projeção que 
111 11110 mas também, e princlpalmente, pe la maneira com que tais projeções 
•a 111 lnclonam entre si. 
1. 6. Slatema Grãfico·Analítico 
Há possibilidade de se representar um objeto apenas através da 
projeção principal, desde que se trabalhe com dados numéricosque comple· 
tom as Informações sobre sua forma tridimensional. O mais conhecido siste· 
rnn dessa espécie é o denominado PROJEÇÕES COTADAS. Permite oper1t· 
ções completamente gráficas para obtenção de qualquer e lemento da forma 
representada, mas oferece opções de solução gráfico-analítica ou inteiramente 
nnalítica. 
1. 7. Rebatimento 
Além de projeções secundárias e das numéricas, há uma operação 
que muito frequentemente completa a p rojeção-principal. 
Trata-se de REBATER um plano qualquer sobre o plano do desenho. 
A figura 4 ilustra o rebatimento de uma das faces (VAB ) de uma 
p irâmide triangular com a base no plano do desenho. Rebater µm plano 
pressupõe que ele tenha uma reta de interseção com.o pl_ano do desenho. No 
ca$o da figura, o lado AB da base é a interseção .da face V AB com o plano do 
desenho. Ela serve de EIXO DE REBATIMENTO O!J CHARNEIRA para gi· 
rar o triângulo VAB até que o vértice V venha pertenc~r.ao plano do desenho; 
em V'. 
Quando um sólido tem todas as suas faces rebatidas sqbre o desenho, 
diz-se que sua superfície está DESENVOLVID·A no plano. 
Na figura 5 a pirâmide triangular da f igura anteri9r tem sua superff. 
cie inteiramente desenvolvida no plano do desenho. A face \(BC usou achar· 
neira BC e a face V.CA a charneir~ CA. 
1. 8. Paralelepípedo de Referência 
As d ireções referenciais são predominantemente perpend icula res na 
maioria das apl icações práticas. 
A vertical é perpendicular às horizontais. No próprio plano horizon-
tal as direções tomadas como referência formam ângulo reto, desde os m!lri-
dianos e paralelos que traduzem longitude a latitude até as margens da folha 
do papel de de.senha. 
17 
.... 
•······· 
... 
.... . .. 
... 
········· .. .. .. 
Assim, no desenho técnico, é freqüente limitar dentro de um parale· 
lepípedo retãngulo o espaço tridimensional a estudar. 
No caso de objetos limitados, tal paralelepípedo pode ser aquele de 
menores dimensões possíveis que envolva toda a sua forma, e em posição tal 
que uma de suas arestas fique vertical. (figura 6) 
A medida dessa aresta vertical traduz irá a ALTURA do objeto. 
As arestas horizontais medem a LARGURA e o COMPRIMENTO, comple· 
mentando as três dimensões características de qualquer só lido. 
Quando a superfície é contínua e somente uma porção sua pode ser 
representada, tal porção é obtida dentro de um paralelepípedo cujas faces sec· 
cionam a superfície contínua. 
~ o caso dos blocos-diagramas, que destacam da superfície da terra 
um trecho limitado até uma profundidade que interesse estudar. (figura 7) 
A--------
B =·== 
e-------
o .••. .•••• .•...••••••••. 
18 
o natudo qun sorti fulto noa cnpftu los seguintes abordarâ o funciona-
111" dll 1 n1t 11 111111rnn do roproscntoção om re lação à posição desse paralele· 
li tM lu "" 111f11r&nclo poronto o plano do desenho e oi; elementos projetantes. 
1'1tr 11 uma melhor compreensão dos diversos sistemas de representa-
' 11111110 Importante dispor de um modelo tridimensional da forma que se· 
• l•l'""""tndo na explicação teórica de todos eles . 
A página n'! 123 contém o desenvolvimento de um sólido que deve 
1 111 11111<10 pera tomar a forma ilustrada em perspectiva. Suas faces foram de· 
11t11d hl para o objeto se comtituir numa maqueta de utn prédio, forma mais 
f1mlll111 n todos. 
O désenho existente nessa página deve ser ampliado, em cartolina, 
11urru1 111r.1tla conveniente, a fim de poder ser recortado e .montado de acordo 
ur11 H Indicações. 
As folhas seguintes trazem o desenvolvimento de outras formas que 
1v111a m objetos também significativos para todos. _ 
Devem ser armados para utilização em exercícios dos sistemas de re· 
1,1 ... 111nçffo que serão desenvolvidos nos demais cap(ti:los. . . Em todas essas folhas, é a seguinte a convençao das linhas (figura 8). 
Tipo A - A folha deve ser recortada segundo essa linha. 
Tipo B - O papel deve ser vincado ao longo dessa linha, para dobra-
gem. 
Tipo C - Linha de ilustração do objeto. Não se deve cortar nem do-
~rar o papel segundo tais linhas. 
Tipo D - Linha que demarca onde uma parte do objeto deve ser co· 
lada em outra. 
2. SISTEMAS QUE UTILIZAM APENAS PROJEÇÕES ORTOGO· 
NAIS 
2. 1. Sistema Mongeano. 
2. 1. 1. - Gaspar Monge, cientista francês, na passagem do século 
)( VI 11 ao X 1 X estruturou e divulgou a primeira técnica de representação grá· 
Ih 11 que pode ser considerada um sistema de representação. 
Foi ele quem utilizou a expressão GEOMETRIA DESCRIT~VA para 
lfaalgnar o seu sistema. A definição que em~regou para tal exp~es~ao abarca 
todos os atuais sistemas de representação gráfica. Surge daí a polem1ca sobre a 
propriedade ou npo de estender essa designação a todo e qualquer sistema que 
ao enquadre na sua definição. 
19 
l 
Evitaremos tomar partido a esse respeito, chamando de MONGEANO 
o primeiro sistema que surgiu. 
Não seria adequaoo apresentar o sistema mongeano com as mesmas 
palavras ou até a mesma metodologia empregada pelo seu autor. 
Usaremos formas de objetos para visualizar melhor, a 3 dimensões, a 
técnica desenvolvida por Monge, enquanto no estudo clássico da geometria 
descritiva é util izado um PONTO; elemento geométrico de abstração máxima, 
para demonstrar o mecanismo do sistema. 
2. 1. 2. - Projeção principal do sistema 
Tomemos a primeira forma-modelo montada no primeiro capítulo. 
Imaginemo-la inscrita no paralelepípedo de referência (ver 1.8). de arestas 
pontilhadas na figura 9. Uma das faces desse paralelepípedo é colooeada no 
plano de desenho, sobre o qual será projetado ortogonalmente todo o sólido. 
O plano do desenho, onde será obtida 'essa projeção principal é designado de 
Para imaginar essa projeção ortogonal em 7T 1 , vamos suspender to· 
do o sólido na mesma vertical, o que não altera tal projeção (figura 10). 
As faces horizontais ABCD, EFGH e IJLMNOPQ se projetarão em 
verdadeira grandeza. 
Como A e J estão na mesma vertical, A1 e J 1 coincidirão. Da mesma 
forma 0 1 coincidirá com L1 , C1 com M1 , E1 com 0 1 , e assim por diante. 
O verdadeiro aspecto da projeção principal é aquele da figura l1 . 
2. 1. 3. - ProjeÇões secundárias 
As projeções secundárias são tomadas em planos paralelos às de-
mais faces do paralelepípedo de referência. A figura 12 mostra um plano 7T2 
onde se projetam ortogonalmente todos os vértices da formà modelo. ~ evi· 
20 
"''íifl""" 
~~t:_y-u 
\ • li, 0,•V, 
fl', 
11 111111 que 7T2 é perpendicu lar a 7T1 • A interseção 7T 1 7T2 desses planos é deno-
111lr111d a LINHA DE TERRA em relação ao plano 7T2 • 
O ve rdadeiro aspecto da projeção secundária em 7T2 é mostrado 
1111 figura 13. 
Mas até aí não estamos d iante de um sistema de representação, 
pois não está visível nenhum relacionamento entre a projeção principal e a se-
111ndária. 
Essa p rojeção mostra o aspecto que a forma apresentaria para o 
observad or que a o lhassse de frente para o plano 7T2 • 
2. 1. 4. - ~pura 
O sistema mongeano leva o plano 7T2 sobre 7T 1 por rebatimento 
cuja charneira é a linha de terra (figura 14) . 
21. 
··' 
Em decorrência de tal operação, a pro)eção prlnclpel e a secun-
dária da forma-modelo ficam com seus elementos correspondentes alinhados 
um em frente do outro {figura 15). 
Nessa posição, as 2 projeções constituem a ÉPURA mongeana 
Vista em seu aspecto real (figura 16) a épura ressalta que os vér-
tices da forma modelo, de rr 1 para rr2, se situam em retas perpendiculares à li· 
nha de terra {A 1 A2, ~1 82 , C1 C2 , ... ) 
Tais linhas são as LINHAS DE CHAMADA do sistema mongea-
no. São elas o elo de ligação entre as duas projeções e que dão à épura mo~ 
geana a condição de SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO. 
•• 
2. 1. 5. - Notação 
Para uma correspondência inequ(voca dos vértices nas duas pro-
jeções é indispensável o usode letras. Já deve ter sido percebida a notação 
que usaremos. A letra maiúscula simples designa um vértice ou ponto isolado 
no espaço. Em qualquer projeção de tal ponto será sua letra acompanhada de 
um índice numérico igual ao do plano onde é projetado, colocada sempre à 
direita e um pouco abaixo da letra. 
No caso de elementos lineares, sejam retos ou curvos, poderão 
ser usadas duas letras maiúsculas juntas {AB, MN, CJ, etc) ou uma letra mi· 
núscula isolada {a, m, t). sempre acompanhadas, nas projeções, do índice nu-
mérico do plano. 
Para elementos superficiais, como uma face de um sólido ou um 
angulo, poderão ser usadas 3 ou mais letras maiúsculas juntas {como no caso 
dos vértices de um polígono), duas letras minúsculas juntas (como no caso dos 
lados de um àn.gulo). ou uma única letra grega, minúscula {a, {3, 8, etc). A le-
tra 1T serã reservada exclusivamente para planos de projeção. 
Quando um problema gráfico vai acarretando o aparecimento 
22 
111 11tl11tlvo du 11ovu& 11 l111111111 111 ~. r,uj,1111 pontos, l1111lo\ ou suµorl(cles, o ordem al-
f,1bôt leu dJs let1 as u111p11•111Kl11\ 1nd1c;,11 :1 u ~~qWli1cia em que tais elementos fo. 
1111~ surgindo no p1oble1na. 
Resta observar que essa notação permite formas mistas de desig-
nnçôo, decorrentes de operações envolvendo os elementos. 
Assim, duas letras gregas ]untas, como na própria linha de terra, 
designam a linha de interseção de duas superf(cies. Uma letra minúscula junto 
a uma grega designa o ponto em que uma 1 inha atravessa uma superfície. Três 
letras gregas juntas podem ser usadas para o ponto comum a três superfícies. 
Outros exemplos surgirão mais adiante em problemas específicos. 
No canto superior direito de uma letra, o índice colocado signi-
fica deslocamento de posição do elemento correspondente no transcorrer do 
problema. É o caso do rebatimento, por exemplo, como aparece no ítem 1.7. 
Tal não se aplica ao re <itimento de planos de projeção. 
2. 1. 6. - Aplicação do sistema no Desenho Técnico 
Uma forma re lativamente simples como o modelo util izado nes-
te cap(tulo jã praticamente esgota o alfabeto quando se atribui uma letra a ca-
da um de seus vértices. 
No desenho técnico têm que ser representados objetos reais nos 
quais a forma, além de mais complexa, tem que ser revestida de sinais conve~ 
cionais relativos à função e ao material constituinte. 
Torna-se impraticável empregar a notação apresentada no ítem 
anterior. 
A ausência de letras nos vértices tem de ser compensada com a 
utilização de outras projeções secundárias. O funcionamento do sistema mon-
geano independe da colocação do plano da projeção secundária, desde que 
este seja perpendicualr a 1T1 • 
Voltando à forma-modelo, podemos projetã-la ortogonalmente 
em um plano rr3 como na figura 17. 
Nessa projeção surge uma observação nova: quando hã no sóli-
do uma aresta que está por trás de uma porção deste só lido, em relação à po-
sição do observador, como é o caso de LM, ela deve ser apresentada na proje· 
ção por um traço interrompido e com a metade ele espessura do traço usado 
para as arestas visíveis. 
O rebatimento de ?T3 em torno da sua linha de terra (figura 18) 
leva para a épura mongeana essa nova projeção secundária. 
Nessa épura {figura 19) a nova projeção persiste em um al inha-
mento com a projeção principal, onde cada vértice nas duas projeções, se situa 
na mesma linha de chamada, agora perpendicular a 1T11T3. 
A forma pode ainda ser cercada por mais dois planos de proje-
ção, 1T'4 e 1Ts, Que se rebatem na épura em torno de suas respectivas linhas de 
terra 1Tt 1T• e 1Ti 1Ts. Essas novas projeções mostram o aspecto da forma quando 
23 
( 
.. ~ 
' 
11'1 
11', 1 
... g9@' "• "• 
"· 
11'4 @) 
observadas em sentido oposto a 1T2 e ?T3 , respectivamente (figura 20). 
. Até a( o desenho técnico nada introduziu em relação ao caráter e~clus1vame~te geométrico do sistema mongeano; apenas eliminou a designa-
çao dos vértices. 
. Mas a_partir do momento em que a forma representada é enri-q~ecrda com a noçao da FUNÇÃO do objeto, passa a ter sentido a orienta-çao. 
Podemos então falar em ofRENTE da forma, e conseqüente-
mente em LADO DIREITO, LADO ESQUERDO, LADO SUPERIOR -e LA-
DO INFERIOR, além do LADO POSTERIOR. 
No exemplo da nossa forma:modelo, tratando-se de um edifício ~ P!Ojeção pri~cipal (em 1T1 na figura 20) seria sua VISTA SUPERIOR; a prC:. 
Jeçao secundária em 1T2 seria sua VISTA DE FRENTE; a projeção em 1T sua 
VISTA Dl~E ITA; a prc;ijeção em 1T4 , sua VISTA POSTERIOR · e em 1T3 ' sua VISTA ESQUERDA. - ' s 
24 
É mais usual o termo VISTA que o termo PROJEÇÃO, no qe-
senho técnico. 
Não se deve pensar que a vista principal seja sempre a SUPE-
RIOR. 
Se a forma for enconstada no plano vertical e a primeira proje-
ção efetuada no plano do desenho for a VISTA DE FRENTE (figura 21), as 
vistas secundárias serão rebatidas em torno dela, e não da superior. 
Abaixo dessa vista (figura 22) ficaria a VISTA SUPERIOR (7T2 ) • 
Aos lados, fi~ariam a VISTA DIREITA (7T3) e a VISTA ESQUERDA (7T5) . 
Acima ficaria a VISTA INFERIOR (7T4). 
Todas essas vistas se relacionam com a VISTA DE FRENTE, de 
modo tal que seus pontos correspondentes ficam sempre em linhas de chama-
da pe~pendiculares à respectiva linha de terra. 
Com o mesmo procedimento poder(amos ter uma das vistas la-
terais, ou a inferior, ou até a posterior como vista principal desde que todas 
as outras se rebatam em torno dela. 
Portanto advertimos, principalmente àqueles que já estudaram 
através de outras publicações: Aqui O PLANO 1T 1 NÃO TEM QUE SER HO-
RIZONTAL; ELE É O PRIMEIRO PLANO DE PROJEÇÃ.0 UTILIZADO, se-
guindo-se 1T2 , ?T3 , etc pela ordem em que as vistas vão sendo necessárias. 
2. 1. 7. - Desenho das vistas em presença do objeto. 
Ao iniciante, que nunca teve a oportunidade de praticar o dese-
nho das vistas ortogonais, recomendamos o segu inte procedimento, EM PRE-
SENÇA DA FORMA-MODELO do 1!' capftulo: 
a - Colocar o objeto sobre a folha de desenho e olhá-lo perpen-
dicularmente ao plano onde vai ser desenhada sua vista principal, da maior 
distllncia possível. (figura 23) 
25 
b - Desenhar ao lado da for 
renta quando olhada d~ssa direção. (figura 2~rmodelo o aspecto que ela apa-
c - Cobrir a vista principal · b · 
modelo para se ajustar ao seu co t ' ~ss1m o tida, deslocando a forma-
t n orno (figura 25) T - . erra 7T1 7T2 paralela a um dos lado d . . . · raçar entao a linha de 
s a vista principal. 
. d - Arrastar a forma-modelo sob 
à linha de terra e até encostar s . re o papel perpendicularmente 
- ua aresta posterior em 7T (f" 2 
. Nao é importante descobrir tod . J ~2 . ig. 6) . 
ca isso pode exigir uma distância m "t d a a v~ sta principal, po is na prãti-
e - F u1 o gran e da linha de terra. 
. azer a forma-modelo tombar 
deixar sua aresta posterior sair d r h d para trás sobre o papel sem 
uma rotação de 90º de todo b~ in a e terra. Essa operação equivale a 
d o o Jeto em tôrno de rr (f " no esenho a posição em que o objeto ficou. 1 7T2 igura 27). Marcar 
f - Olhar a forma-modelo em sua nova posição, ainda perpendi-
26 
cu larmente ao papel do desenho e a grande distância deste. Naturalmente de-
verâ ser arrastado ó objeto do lugar para ser possível o desenho da vista se-
cundária. (figura 28) 
g - Voltar o sólido à prim itiva posição, ajustada à sua vista prin-
cipal, e traçar nova linha de terra 7T 1 7T3 , paralela às arestas laterais (figura 29) . 
h - Arrastar a forma-modelo perpendicularmente a w1 7T 3 até 
que encoste uma aresta nessa nova linha de terra (figura 30) . 
i - Tombar o sólido para trâs de 7T 1 7T3 e desenhar aí o aspecto 
que apresenta a quem olha perpendicularmente ao papel (figura 31). 
j - Adotar proc.edimento análogo para outras linhas de terra, 
obtendq as demais vistas sécundárias que cercama principal. 
27 
~:: 
""'' ·~ ,, 
• 
2. 1. 8. - Observações práticas sobre as vistas no desenho técnico. 
2. 1. 8 . 1. - Os planos de projeção não necessitam de contorno, 
que apenas sobrecarregaria graficamente o desenho. A própria linha de terra 
serve apenas como marco de referência para o início das vistas secundárias, e 
podem ser limitadas à própria dimensão do sólido. 
2. 1. 8. 2. - A distância entre a vista principal e cada vista se-
cundâria é arbitrâria, pois depende do desenhista a escolha da linha de terra. 
Por uma questão de clareza do desenho e para não desperdiçar espaço, tal 
distância nem pode ser exageradamente reduz ida a ponto de quase. encosta-
rem as vistas uma na outra, nem deve extrapolar a ordem de grandeza do obje-
to repres:entado. Também meramente por questões estét icas é recomendável 
manter a mesma d istância separando a vista principal de todas as secundár il s. 
As vistas da form~modelo seriam convenientemente apresentadas como na 
figu ra 32. 
2-. 1. 9. - Sistema alemão e s1stt!ma norte-americano 
Em relação à vista principal, supO-ndo que ela seja a SUPER IOR 
do sólido, não há diferença alguma em seu aspecto se considerarmos que o 
objeto estâ abaixo de 11'1 em lugar de acima, como temos feito até agora (fi· 
gura 33), uma vez que um deslocamento vert ical da forma em nada modifica 
sua projeção ortogonal nesse plano. 
Quando é passada a primeira linha de terra, introduzindo um se-
gundo plano de projeção tr2 (figura 34), o espaço trid imensional f ica div idido 
pelos planos tr 1 e tr2 em 4 regiões, chamadas de 1? diedro, 2? diedro, 39 die-
dro e 4? diedro. 
Nas explicações dadas até agora, o objeto se situa rio 1? diedro, 
sempre, uma vez que a linha de terra é es:olhida depois de efetuada a proje-
ção principal. 
28 
As~ociaç~o 1 ntino AmNkc1no de Edur"ç"o 
0 
e 
Sendo sua projeção princ ipal a superior, a vista em 11'2 será a DE 
FRENTE (figura 35) . Na épu ra, o rebatimento de tr2 para t rás da linha de ter-
ra leva a vista de frente a ficar do outro lado de 11'1 tr2 com relação à vista S U· 
PERIOR . 
O objeto co locado no 2? diedro (figura 36) situará sua _VISTA 
S UPERIOR jã atrãs de tr 1 tr2 . Quando a vista de frente for rebat ida, sempre 
para t rãs da linha de terra, haverã grande probabi lidade de se superpor, na 
épura mongeana, à vista superior. Isso gera a possi bilidade de confusão gráfi· 
ca, prejudicando a clareza da representação. Tal d iedro é evitado no desenho 
técnico. 
O só lido no 3? diedro terà sua vista superior atrás da linha de 
te rra, e a vist a de frente abaixo de tr1 tr2 • (figura 37) 
No movimento do plano tr2 em torno da linha de terra , deven· 
do a parte superior desse -plano sempre tombar para trás 11'21T2, sua parte infe· 
29 
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D 
rior girará para coincidir com a por.cão de ir 1 em frente de 1T 1 ir2. 
Em épura, as duas vistas nunca ficarão superpostas, porém adis· 
posição será contrária à do 1? diedro (figura 38). 
No 4? diedro o sólido volta a apresentar o inconveniente do 2P 
diedro: sua vista de frente, ficando abaixo de tr1 ir2 , girará para a frente da li-
nha de terra, em tr1 , tornando possível sua superposição com a vista superior 
(figura 39). Também não vem sendo utilizado tal diedro nas aplicações técni-
cas. 
Os alemães, e de um modo geral os países que adotam o sistema 
métrico decimal, se utilizam do 1? diedro. Já nos Estados Un idos e em outros 
países de língua inglesa é usual o 3P diedro. As normas brasileiras de desenho 
técnico, apesar da referência aos dois diedros, preconiza o uso do 1P diedro. 
Na realidade, qualquer profissio nal técnico de nível superior de-
veria saber diferenciar perfeitamente, só pela análise das vistas, se a forma re-
presentada tem uma ou outra dessas situações, uma vez que não há alteração 
teórica no sistema, e não se pode falar propriamente em S ISTE MA alemão 
ou SISTEMA americano. 
Para o. principiante, entreta1_1to, e para todo o profissional de n(-
vel médio ou até sem a mínima qualificação profis$ional, é essencial a certeza 
prévia, ao interpretar uma planta, de qual das situações se aplica. 
Quando são utilizadas, no desenho técnico, cinco ou mais vis-
tas ortogonais simultâneas para um mesmo objeto, o critério do diedro não é 
de fácil aplicação para diferenciar um sistema do outro. 
Vamos supor um objeto com a forma de uma paralelepípedo, 
totalmente envolvido por 6 planos de projeção, paralelos às sua~ faces (figura 
40), que formam um cubo. 
No sistema alemão cada uma das suas vistas é obtida no plano de 
projeção que estã por trás do objeto, em relação à d ireção e sentido em que 
tal vista é olhada pelo observador (figura 41 ). Assim a vista de frente é obtida 
30 
~I ~I 
__ -l 
-- ' 
- ' 
' 
1111 face posterior do cubo; a superior na face inferior do cubo; a vista dire ita 
110 face esquerda do cubo. 
Na frente do cubo está a vista posterior do objeto (figura 42) ; 
1111 face direita a vista esquerda; e na face superior a vista inferior. 
Para desenvo lver esse cubo na épura basta escolher qual das vis-
tas é a p rincipal e abri r suas faces em torno dela. Na figura 43 mostramos e~se 
desenvolvimento quando a vista de frente é a principal. Até o plano de p roJe-
çõo oposto à vista principal (o que contém a vista posterior) pode acompa-
nhar uma das faces que se rebatem para o plano da vista de frente. 
Desprezando o contorno das faces, as vistas em épura se apre· 
sentam com a disposição da figura 44, onde a vista posterior pode ocupar 
qualquer uma das posições marcadas em linha pont ilhada. 
No sistema norte-americano o mesmo sólido, igualmente en-
volvido por 6 planos de projeção, tem cada uma d e su as vistas obtida no pla-
no que estã ENTRE O OBJETO E O OBSERVADOR. 
31 
, _ 
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.. 
r-···· ··1 í;J 
l. . ..': .. J ~ 
[!] 
, ....... ] 
: p 
i •••••••• 
Assim, a vista de frente estâ na face frontal do cubo (figur-a 45); 
a superior na face superior; e a direita na face direita. 
A vista que estll na base é a inferior do sólido (figura 46), assim 
·como na esquerda do cubo estâ a vista esquerda do objeto e atrâs do cubo 
sua vista posterior. 
Para gerar a épura, considerando também a vista de frente como 
a principal, o cu~o tem que ser desenvolvido de trãs para a frente, abrindo 
suas faces..em torno da face frontal (figura 47). 
A face da vista posterior também aqui pode acompanhar qual-
quer uma das quatro vizinhas da face frontal. 
Na épura (figura 48), desprezando o contorno das faces do cu-
bo, obtemos a disposição em cruz do sistema norte-americano . 
Comparada com a figura 44, a figura 48 acusa uma troca entre 
as vistas superior e inferior e entre a direita e a esquerda. 
32 
, ......... ... 
f ,. ! 
: •• •••••• _! 
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t::::~:::J 0 0 G L:~:::.1 
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A figura 49 mostra a disposição das vistas nos dois sistemas, 
c1u1ndo a principal é a superior. 
Daqui em diante usaremos apenas o sistema alemão, tomando o 
plano de projeção sempre POR TRÁS do objeto. 
2. 1. 10. - Vistas auxilieres 
O desenho técnico usa essa designação para projeções ortogonais 
MICundérias em planos não paralelos às faces do paralelepípedo de referência. 
No caso da forma-modelo, por exemplo, se quisermos proJetã-la em um plano 
rr i paralelo à face hachuriada, obteremos uma vista secundária na qual aquela 
Inca aparece em verdadeira grandeza. (figura 50). 
É indispensâvel que o plano 1T-i seja ortogonal a 1T1 , pois cada 
dlodro de projeções tem que ter Sl!us planos perpendiculares entre si, no siste-
ma mongeano. A épura apresenta a vista secundãr ia rebat ida em torno de_ 
[Q 
0 
80008 
0 CD 
CCI m 
800BEJ 
m 
QJ 
33 
•·· t' 
•• 
.•r 
1T11T2, mantendo a relação de linhas de chamada perpendicularesà linha de 
terra, entre os elementos na vista principal e na vista aux iliar (figura 51). 
Se a forma-modelo tivesse uma face inclinada como a hachuria-
da na figura 52, para obter uma vista auxiliar que mostrasse tal face em verda-
deira grandeza teríamos que considerar a vista de frente como a principal, 
pois, sendo o plano dessa face oblíquo em relação à oase da forma-modelo, o 
plano de projeção paralelo a ela não formaria ãngulo reto com o plano hori-
zontal. 
Em épura, essa vista auxiliar se relaciona com a vista de frente 
por meio da linha de chamada (figura 53) . 
2.1.11. - Formas CiHndricas 
Uma superfície curva fechada, como no caso de um cilindro, 
gera nas vistas linhas que não são projeção de arestas. 
A figura 54 mostra um cilindro de revolução cuja projeção prin-
cipal é um círculo, igual às bases. Quando projetada em 1T2 , suas bases ficam 
de perfil, pois seu plano é perpendicular a 7r2 • Completando o contorno da 
vista secundária, os planos verticais que tangenciam a superfície delim itam um 
retãngulo em 7r2 , cuja largura é o diãmetro do cil indro e a altura é a mesma do 
cilindro. 
Qualquer outra vista secundãria apresenta o mesmo aspecto. (fi-
gura 55). Se a vista principal for retangular, 2 secundárias também o serão e 
as outras duas serão círculos. (figura 56) . 
O mesmo acontece para ci lindros negativos, isto é, se houver no 
objeto um furo circular que atravesse toda a sua altura, os planos tangentes à 
superfície interna desse furo gerarão nas vistas secundárias linhas tracejadas e 
espaçadas entre si do diãmetro do furo (figura 57). 
34 
D 
DOO 
D 
o 
DDD 
o 
2. 1. 12. - Exercfcioa no sistema mongeano 
Apôs a montagem dos sólidos do 1!' capítulo, imaginar cada um 
deles envolvido em um paralelepípedo de referência e desenhar para todos 
eles o que pedimos a segu ir: 
2. 1. 12. 1.- Tomando a vista de frente como a principal, obter a épura 
com essa vista e suas 4 secundárias. 
2. 1. 12. 2. - Tomando a vista superior com a principal, obter a épura com 
essa vista e suas 4 secundárias. 
2. 1. 12. 3. - Tomando a vist a direita como a principal, obter a épura com 
essa vista e suas 4 secundárias. 
2. 1. 12. 4. - Trocar entre si as vistas secundárias opostas, nos exercícios 
anteriores, para obter a rep~esentação dos sól idos no sistema americano. 
2. 1. 12. 5. - Nas formas que têm faces oblíquas, obter vistas auxiliares 
que mostrem tsís faces em verdadeira grandeza. 
35 
, 
, .. 
.. 
. ~ 
• 
2. 1. 12. 6. - Em todas as épuras dos exercícios anteriores, identificar e 
colocar letras em todos os vértices do sólido representado, nas diversas proje-
ções utilizadas . 
n-n 
LLlJ 
2. 2. Axonometria Ortogonal 
$.' ........................ ········ . 
. 
···········•······ ... 
.. 
11, 
2. 2. 1. - Posição do Paralelepípedo de ReferAncia 
No sistema axonométrico ortogonal também a projeção utili-
zada é unicamente a ortogonal. 
Toda a diferença inicial em relação ao mongeano consiste na 
posição do paralelepípedo que envolve a forma a ser representada. Em vez de 
apoiar uma de suas faces no plano de projeção, a axonometria coloca esse pa-
ralelepípedo com todas as arestas fora de tr1 (figura 58), e de tal forma que 
três arestas que partem de um mesmo vértice, se prolongadas, sempre encon· 
tram o plano da projeção. 
Assim, a projeção ortogonal do sólido em tr1 apresenta três 
faces visíveis (figura 59), sempre aquelas adjacentes ao vértice A mais afastado 
do plano de projeção. 
Sempre se procura fazer com que a aresta vertical do paralele-
pípedo se projete ve_rticalmente no desenho. Conforme pretendamos mostrar 
a face superior ou a inferior, a projeção do paralelepípedo tem um dos aspec-
tos da figura 60. 
A figura 61 mostra um mesmo paralelepípedo em diversas 
axonometrias. Em uma mesma linha horizontal, o sólido gira em torno da 
aresta vertical, ora mostrando melhor a face frontal, ora a direita. Em uma 
mesma coluna o sólido tomba para trás. Na linha c não há propriamente axo-
nometria, uma vez que só aparecem duas faces. Ela foi colocada como posi-
ção de transição entre as duas situações da figura 60. 
36 
·Qj~~~ 
u l?] GJ;J L:B ~ 
cc:J3 LlJ ~ EEJ 
oc;J ~@@ 
2. 2 . 2. - Isometria, Dimetria e Trimetria 
Comparando os ângulos das 3 faces em torno do vértice cen-
tral (ex, ~e 'Y na figura 62), três alternativas existem: 
a - Os três ângulos têm a mesma medida ( et = ~ = 'Y = 
120°) 
. Isso acontece quando as três arestas do paralelepípedo que sae_m 
d mesmo vértice têm a mesma inclinação em relação ao plano de pro1e-
:ou~m conseqüência, as três faces vis íve is se apresentam co~. o ~esmo des-
ç · · etria No caso de um cubo suas três faces v1s1ve1s aparecem 
taque na axonom · ' f ' é h ágono regu 
como losangos iguais, de forma que o contorno da 1gu~a um ex · 
lar. A axonometria se denomina então ISOMETRIA. (figura 63) . . 
b _ Dois dos ângulos têm medidas iguais, mas o terceiro é d1-
ferente. 
37 
...... 
' e< 
.. 
( 
1 
ci 
.. ~1~ 
~"; 
·~ 
.-< 
1.1 
Se {3 = r * a as faces de frente e lateral aparecem com o mes-
mo destaque, enquanto a superior pode aparecer mais reduzida (se a > {3 = 
rl ou mais destacada (se a < {3 = rl (figura 64). 
Se a = {3 :;:. r as faces superior e lateral ficam com igual 
destaque. A face de frente terá maior ou menor destaque conforme r <a = 
{3 ou r >a = {3 (figura 65) . 
Se a: = r :F {3, são as faces superior e de frente que têm o 
mesmo destaque. A face direita será mais ou menos destacada de acordo com 
{3 (figura 66) . 
~ 
' 9 ~ ~ ~ ~ 
OBSERVAÇÃO: Sendo o paralelepípedo retângulo, nenhum 
dos três ângulos a:, {3 ou r pode ser igual ou menor a um ângulo reto. 
Em qualquer um desses casos a axonometria se denomina OI-
META IA. 
c - Os três ângulos têm medidas diferentes ( a: :;:. {3 :;:. rl 
38 
As tr iis tacos vlslveis têm destaques distintos. Aquela que apa· 
1111 o com monor ângulo (nunca igual ou inferior a 90°) é a mais destacada, e a 
q 110 11percce com maior ângu lo é a menos destacada. A f igura 67 ilustra três 
e'"º' diferentes desse tipo de axonometria que se denomina TR IMETR IA OU 
l\N ISOM'ET RIA. 
2. 2. 3. - Redução das Arestas do Paralelepípedo 
Lembramos o primeiro cap ítulo, quando foi dito que uma s6 
111 ojeção não pode se const itu ir num sistema de representação. Exige-se uma 
romplementação de informações sobre a forma representada, seja através 
cln projl?ções secundárias, como faz o mongeano, seja através de rebatimen-
101 ou outras operações auxi liares. 
No caso de axonometria, é indispensável re lacionar a forma 
1 representar com o pJralelep(pedo de referência, de modo a saber as três 
coordenadas cartesianas de cada um de seus vértices em relação às facés 
do para lelepípedo, isto é, a abcissa (distância do ponto à face lateral do para-
lctlopípedo), a ordenada ou afastamento (d istância do ponto à face frontal ou 
r't posterior), e a cota ou altura (d istância do ponto à base do paralelepípedo) 
(figura 68) . 
Pressupondo-se tal situação, a exata reconstituição da forma 
tr ldimensional na axonometria depende da obtenção da verdadeira grandeza 
das arestas do paralelep ípedo. 
~ @ @ 
Voltando a imaginar o paralelepípedo e sua projeção axono-
métrica (figura 69), as três arestas que partem de A (AB, AC e AD ) se proje-
tam ortogonalmente em Ai Bi , Ai Ci e A1 Di. Como essas três arestas são 
oblíquas em relação a '! i . s,uas projeções são reduzidas, pois a projeção orto· 
gonal só mantém o comprimento de um segmento quando este é paralelo ao 
plano de projeçGo. 
39 
,:; 
,.: 
... 
{' 
' 
" 
Para calcular essa redução, vamos fixar na tigura 69 apenas as 
três arestas que partem de A, prolongadas até o encontro com 11'1 (figura 
70), nos pontos E, F e G. Esses pontos formam um triângulo EFG.71). 
Vamos demon9trar que A1 é sempre ortocentro de EFG. 
Prolonguemos GA1 até encontrar em H o lado EF (figura 
O plano AGH, hachurado na figura, é perpendicular a 11'1, por conter a reta AA1 perpendicular a esse plano. Também é perpendicular ao 
plano AEF por conter AG (no paralelepípedo retângulo cada aresta é perpen-
dicular ao plano das outras duas que partem do mesmo vértice). 
Quando um plano é perpendicular a dois outros, é perpendi-
cular' à reta de interseção dos mesmos. Se AGH é perpendicular a 11'1 e a AEF 
então é perpendicular à reta EF, interseção desses dois planos. 
Portanto, as duas retas AH e GH desse plano são perpendicu-
lares à reta EF. Em outrás palavras, AH é a altura do 6AEF e GH é a altura do 
6EFG. 
" 
40 
Com o m11tno rnclocínlo demonstraríamos que EA11 e FA1J 
111n"'m sfo alturas de H<.i . o portanto A1 é o seu ortocentro (figura 72). 
Sando A o vértice do paralelepípedo mais afastado de 1f1, 
ele sempre se projeta no interior do triângulo EFG. Em conseqüência tal 
trlAngu lo será sempre acutângulo, desde que seu ortocentro Ai está no seu 
Interior. 
!: fácil perceber que EFG será equilátero na ISOMETRIA, 
l16sceles nas DIMETRIAS e escaleno nas TRIMETA IAS. 
Es$e triângulo é chamado de FUNDAMENTAL ~m uma axo-
nometria. 
Se o vértice A se aproximar para A' (figura 73), sem se alterar 
11 direção das três arestas que saem desse vértice, o triângulo fundamental 
openas diminui de tamanho (E' F' G'), conservando o ortocentro A1 e ames-
ma proporção do triângulo EFG. 
Para se construir uma axonometria, diretamente no desenho · 
(figura 74), podemos partir sempre do triângulo fundamental. Escolhido um 
segmento horizontal para ser EF, dependerá do .tama~ho de .EG e GF se va-
mos ter uma isometria, uma dimetria ou uma trrmetrra. Na figura 74 obtere-
mos uma trimetria, pois EFG é escaleno. . 
Traçando as alturas do triângulo, d~terminamo~ Ai .. Podem 
ser medidos os ângulos a, (j e 'Y (figura 75) para confirmar que sao .diferentes, 
e o menor deles ( a) se opõe ao maior lado (EF), enquanto o maior ( 'Y) se 
opõe ao menor lado (EG). . _ . 
Voltando a imaginar a situação em 3 d1mensoes (figura 76), 
há condições de rebatermos o triângulo AEF sobre 1f1, usando a ch~rneira, EF 
e obtendo A'EF. Basta notarmos que a altura AH, depois de rebatida (AH}, 
continuará como altura do triângulo rebatido. 
Também sabemos que AEF é retângulo, já que as arestas do 
paralelepípedo formam ângulo reto entre si. 
41 
, ... , 
, ...... , ,; .. 
• .r.-
.. ~ 
t , 
"' 
' 
E 
F 
G 
Então, no plano do desenho (figu 77) A' 
circunferência de diâmetro EF ra • estará numa semi-~~~~ ~~~ : .~~rd:~~~~:1;r:~~~za e~~:a~:~:~á~u~os~~~a~~e~~pne~o~~b~:::~~~~ figura 76). ' i, e erminar 8i sobre Ai E (comparar com a 
A aresta AC também aproveita o rebatimento AEF Mar d 
~~es~u:;~primento real em A 'C' (figura 78), uma paralela .a A1A ; deter~~n: 
Para ~arcar a aresta AD, teremos que rebater o L':iAGE 
torno da ~harne1ra GE.ou ~.L':iAGF em torno da charneira GF. (figura 79) em 
ara constru ir A GE sabemos que A " tá · 
cunferência de diâmetro GE ' .. es em uma semi-cir-
1 " ' uma vez que o triangulo é retângulo em A" e que a a tura A J tem seu pé no ponto J. ' 
1 1 M~~;ado A" D' com a verdadeira grandeza da aresta AD uma para e a a A1 determina D1 em Ai G. A opção pelo rebatimento d~ AGF 
42 
Associl\Ç~O 1 t1M A111 1rifirno de Educi\Çirn 
' 
H 
" E F 
G 
tnmbém conduz à obtenção de Di . Também 8i pode 'ser obtido através de 
A"EG e C1 at ravés de A'" GF . 
Uma vez marC'adas na axonometria as arestas Ai 8 1 , A 1 C1 , e 
A 1 D1, basta completar o contorno das faces vis íveis tirando de 81 , C1 e D1 
para lelas às t rês arestas. (figura 80) . Para completar o sólido poderão ser t raça-
daa em linha interrompida as arestas que estão por trás. Entretanto, na prát ica 
do desenho técnico não é recomendada a representação dessas arestas invisí-
ve is. 
Para conseguir mostrar o para lelepípedo por baixo, basta es-
co lher o vértice G do triângulo fundamental acima do lado horizonta l EF. (f i· 
gura 81 ) . 
2. 2. 4. - Representação Axonométrica da Forma-Modelo. 
Para representá-la em uma dimetria, por exemplo, as dimen-
sões máx imas da forma-modelo (4 cm de largur.a, 3,5 cm de espessura e 5 cm 
de altura) permitem começar representando o paralelepípedo retângulo que a 
envolve, conforme as explicações do ítem 2. 2. 3. 
A figu ra 82 mostra tà l paralelepípedo já representado. Suas 
arestas estão divididas em partes iguais proporciona is aos seus ~omprimentos 
reais. Cada uma dessas d ivisões representa 0,5 cm devidamente reduz ido em 
cada direção de aresta. 
Contando o número de divisões correspondentes, podemos 
desenhar em cada face vis ível do paralelepípedo as faces da forma-modelo ne-
la encostadas, resultando a figura 83. 
A partir dessas faces, observando a fQrma-modelo e traçando 
as paralela's convenientes, completamos o aspecto f inal da axonometr ia (figu-
ra 84). 
As figllras seguintes mostram a forma-mode lo desenhada 
43 
..; 
\. 
G 
!,':::::···· 
.... 
·········· 
.::::::: 
! 
~ 
i 
para outros_valo~es dos ângulos,a, {J e 'Y· Deve ser notado que algumas dessas 
representaçoes sao. melhores que as outras no sentido de mostrarem mais de· 
talhes da forma.·(f1guras 85, 86 e 87) . 
2. 2. 6. - Axonometria do Círculo. 
A projeção ortogonal de um círculo cujo plano não é 
lelo ao plano de projeção é sempre uma elipse (figura 88). para· 
1 d ~~ndo possív~I dispor de um quadrado circunscrito a um cír· 
cu o, ~vi ame~te proietado em rr1 como um paralelogramo, os pontos de 
tangência da elipse projeção com os lados desse paralelogramo estão sempre 
44 
nos pontos médios desses lados, o que fac ilita o traçado a mão livre da elipse 
(figura a9). 
Se for necessária uma maior precisão, basta lembrar que as 
cordas obtidas com esses pontos de tangência em lado' opostos são diâmetros 
conjugados da elipse, o que permite aplicar construções geométricas para ob-
ter qualquer número de pontos dessa curva. 
Portanto, um cilindro em axonometria, para ser obtido, exi· 
ge a prévia representação de um paralelepípedo envolvente (figura 90). Uma 
vez inscritas as elipses iguais nas 2 bases desse paraletepípedo, a axonometria 
do cilindro se completa com o traçado das tangentes comuns a essas e lipses. A 
metade da e lipse inferior será invisível. 
2. 2. 6. - Exercícios em Axonometria. 
Representar as formas montadas no primeiro capítulo em 
45 
... , 
• ;:i:~ 
t .C.·~~ 
.,1t,;. 
... 
, . 
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G' 
.,,.:»,.. 
'~1 ~~ 
·~ 
...... 
(1 
,.( 
e B 
várias axonometrias. Para definir cada sistema, tomar o lado EF do triângulo 
fundamental sempre com 10 cm, completando-os com as seguintes medidas 
GE e GF: 
2. 2. 6. 1. - GE = 10cm GF = 10 cm ( ISOMETRIA ) 
2. 2. 6. 2. - GE = 10 cm GF = Bem ( DIMETRIA ) 
2.2.6.3.- GE = 10cm GF = 13 cm ( DIMETRIA ) 
2. 2. 6.4. - GE = 7cm GF = 10cm ( D IM ETA IA ) 
2.2.6. 5. - GE 13 cm GF = 10 cm ( DIMETRIA ) 
2. 2. 6. 6. - GE = Bem GF = Bem ( DIMETRIA ) 
2. 2.6. 7. - GE = 14 cm GF = 14 cm ( DIMETRIA ) 
2. 2. 6.B. - GE = 7cm GF = 9cm ( TRIMETA IA ) 
2. 2. 6. 9. - GE = Bem GF = 7cm ( TR IMETRIA ) 
2. 2. 6. 10 - GE = 12 cm GF = Bem ( TRIMETA IA ) 
2. 2. 6. 11 - GE = 13 cm GF = 11 cm ( TRIMETRIA ) 
2. 2. 6. 12 - GE 7cm GF ( = = 11 cm TRIMETA IA ) 
2. 2. 6. 13 - GE 11 cm GF = 14 cm ( TRIMETA IA ) 
2. 2. ·6. 14 a 2. 2. 6. 26 - Medidas iguais às dos exercícios de 2. 2. 6. 1. 
ao 2. 2. 6. 13, porém marcando G acima de E F. 
2. 3 . ...:. Conversão da Axonometria Ortogonal ao Sistema Mongeano 
e Vice-Versa. 
2. 3. 1. - Passagem da Axonometria às Vistas Ortogonais. 
. . . O sistema axonométrico é de mais fácil leitura pelo 
técnico mal.quahf1cado do que o sistema mongeano, uma vez que a mensagem 
qu:transmite é bem mais sintética que as vistas mongeanas. Estas decom-
poem a forn:ia em mensagens mais simples, porém para a composição visual 
glob~I do objeto a 3 dimensões exigem uma prática bem maior que a axono-
metna. 
46 
l\s\hll , ohtur u~ vistos ortogonais de uma forma represen· 
tod11 um uxonornotr iu ó uni ux1H cício nials vé lldo apenas como treinamento do 
111 ' u11 lo sistema ax onométrico. Com finalidades profissionais ocorre quase 
u1111pt o o necessidade inversa, isto é, a de desenhar uma axonometria para es-
' h11 11r.ur detalhes que não ficaram bem entendidos nas vistas mongeanas. De-
vumu~ ressalvar que, a um desenhista profissional, é extremamente útil saber 
rhttonhar as vistas·ortogonais de um projeto esboçado axonometricamente pe-
lo 1ou autor. 
Suponhamos uma forma já representada em axonometria (fi-
11111 u 91) . O primeiro passo para obter as suas vistas é reconhecer suas dimen-
1n11s méximas (maior largura, maior espessura e maior altura). 
Com essa éonstatação podemos prolongar as devidas arestas 
11 obter o paralelepípedo que envolve toda a peça (figura 92). 
Prolongando suas arestas . que concorrem no vértice central, 
(figura 93) podemos escolher o ponto E a qualquer distância (é conveniente 
não tomá-lo muito próximo ao paralelepípedo), e traçar EF horizontal, loca-
lizando F na outra .aresta do paralelepípedo. De E ou de F, tirando perpendi-
culares às direções das arestas, determinamos G na aresta vertiCal, completan-
do um triângulo fundamental da axonometria. 
Construindo A'EF e A" EG como foi visto no item 2. 2. 3., 
podemos determinar B', C' e D' a partir de 8 1 , C1 e D1 (figura 94). e assim 
teremos o comprimento real da largura (A'B'), da espessura (A' C') e da altura 
(A" D') do paralelepípedo envo lvente. 
Para construir as vistas ortogonais, onde ta is dimensões apare-
cem em verdadeira grandeza; e escolhida a vista de frente como principal (fi-
gura 95) podemqs demarcar em retângulos o contorno das faces do paralelepí-
pedo, usando como secundárias as vistas SÜperior e direita. 
47 
· ~ •'...>-
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... 
-:: 
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\) 
E 
F' 
F' 
G @ e 
O passo seguinte é identificar na axonometria as faces visíveis 
quando a forma é 9lhada de frente (figura 96). Todas as hachuradas aparecem 
na vista frontal, e suas dimensões devem ser adaptadas proporcionalmente às 
arestas do paralelepípedo. Por exemplo, se uma face tem altura 1/4 da altura 
do paralelepípedo, -aparece na vista com 1/4 da altura total da vista de frente · 
se sua largura é 2/ 5 da do paralelepípedo, ocupa 2/5 da largura da vista; e as'. 
sim por diante. 
Após desenhar assim toda a vista de frente, passamos a imagi-
nar a forma olhada de cima (figura 97). Todas as faces agora hachuradas apa-
recem na vista superior. 
No desenho da vista lateral (figura 98), além das faces hachu-
radas visíveis, é preciso observar a existência de uma aresta por trás de um 
bloco da peça, originando na vista direita uma linha tracejada. · 
48 
@ 
g] 
(!!) 
O aspecto final das 3 vistas (figura 99) jã elim inado o 
contorno do paralelepípedo envolvente, deve ser checado quanto ao alinha-
mento dos detalhes nas vistas vizinhas. 
Outras vistas secundárias poder iam ser obtidas a partir 
dessas três vistas. 
2. 3. 2. - Passagem das Vistas Mongeanas à Axonometria. 
Tomemos as três vistas ortogona is da figura 100, referen-
tes a uma mesma forma. 
Em ponti lhado temos completadas as faces do paralefe-
pípedo envolvente. 
J=~ 1 1 1 1 1 
~ 
@ 
tB ...... Eill .................. ~ . . . . . . . . . . . . 1 ' 1 
LJ HLJ 
8 
Escolh ido o triângulo fundamental e executadas as ope-
rações gráficas de redução das arestas para a axonometria, suponhamos já re-
49 
presentado o paralelep(pedo envolvente da forma (figura 101). 
Daí em diante temos que localizar dentro do paralelepí-
pedo todos os elementos visíveis da forma Não há um modo geral de agir 
para isso, pois dependerá muito da capacidade individual de perceber tridi· 
mensionalmente a forma em questão. 
Quando uma vista da peça não preenche todo o contor-
no da face do paralelepípedo e1:\·.Jlvente, podemos desenhar o contorno EX-
TERNO dessa vista na face correspondente do paralelepípedo, observadas as 
deformações das medidas lineares e angulares. 
Assim, a figura 102 mostra a vista de frente marcada em 
seu contorno externo na face de frente d9 paralelepípedo. 
A partir desse contorno da vista de frente, o paralelepípe-
do pode ser cortado de um lado a outro da sua espessura, gerando o aspecto 
da figura 103. 
Para se conseguir satisfazer o perfil da vista lateral, a me-
tade superior da figura 103 deve ser cortada de um lado a outro n1 sentido da 
largura da peça (figura 104) . 
pecto da figura 105. 
Depois dessa operação a axonometria estará com o as-
Para dar o contorno da vista superior, esse estágio deve 
ser cortado verticalmente segundo a linha pontilhada da figura 105, resultan-
do no ascpecto final da figura 106. 
É preciso advertir mais uma vez que esse procedimento 
nem sempre pode ser aplicado, pelo menos para garantir a forma final da pe· 
ça, sendo freqüentes os casos em que ajuda mas não é o bastante para comple· 
tara forma. 
50 
2. 3. 3 . - E)(erofclo1 dt Converalo de Sistemas 
2. 3. 3. 1. - Para as formas representadas em axonome-
11111 nas figuras de números 107 a 126, desenhar as vistas mongeanas. . 
2. 3. 3. 2 . - Para as formas representadas n~ srste'!'a 
S f ·1guras de números 127 a 146, desenhar uma isometria e várias mongeano na · · T t' 
dlrnetrlas e trimetrias, comparando-as para concluir qual a mars s1gn1 rca rva 
para cada forma. 
51 
52 53 
C:' 
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~ ~ 
e 
e 
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54 
56 
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BD 
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-= ~-º--
RT-1 
D___tj 
57 
@ 
3. SISTEMAS DE PROJEÇÃO CILfNDRICA OBLfOUA 
3. 1. - Sistema Orto·Oblíquo 
3. 1. 1. - Projeção Principal 
A primeira projeção que efetuamos neste sistema é orto-
gonal, tomando o plano do desenho paralelo a uma das faces do paralelepípe-
do envolvente (figura 147). 
Até a( não temos mais que uma vista ortogonal da forma 
que queremos representar. 
3. 1. 2. - Projeção Secundária 
A segunda projeção deste sistema, para complementar as 
58 
informações da principal, é feita oblíquamente (figura 1~) . . 
· Arestas paralelas do sólido se proJetam ainda paralelas 
entre sf, na projeção oblíqua. H • H 
Para definir a direçao dessa proieçao oblíqua basta esco-
lher no plano do desenho a posição A2 em que se projeta um dos vértices A 
do sólido. (figura 149) . H 
Desde que não coincida com a pro1eçao ortogonal A1 , 
o ponto A2 pode ser tomado em qualquer lugar. 
o triângulo AA1 A2 (figura 150) é retângu lo em A1, 
qualquer que seja a posição de .~2 no plano do desenho. 
Com o AA1 é conhecido, já que traduz o afasta~ent~ do 
vértice A do paralelepípedo aa plano do desenho, podemos constru ir o tn:m-
gulo AA1 A2 , em torno da charneir.a Ai A, . 
' Como A2 A1 é a projeção oblíqua do segmento AA1 , o 
vértice B, situado nele, terã sua projeção oblíqua em 8 2 , pertencente a A1 A, . 
59 
(figura 151). 
, .No P!ano do desenho, marcando-se A'8 ' no rebatimento 
A A, (com o comprimento real da aresta A8) uma paralela a A'A t' d d 8' d t · . ~ • 2, ira a e 
, e erm ma essa proieçao 8 2 . 
3. 1. 3. - Fator de Conversão 
A relação entre A2 8 2 e A8 é a mesma entre A1 A2 e 
Essa relação constante entre o comprimento da projeção 
oblíqua e o compri~ento real do segmento perpendicu lar ao plano é 0 FA-TOR DE CONVERSAO do sistema. 
N~ mes'.110 plano do triãngulo AA 1 A2 a projetante oblí-Q~a do ponto A poderia varrar de inclinação em relação ao plano do desenho (figura 152). 
,, Com isso, a projeção A2 se aproximaria de A1 (emA'2 ou A2 , por exemplo) ou se afastaria de A1 (em A2 "', por exemplo). 
. Chamando de K ~tor de conversão, seu valor em cada 
sistema será expresso por K = A2Ai/AA, . De ixando AA fixo A A d 
rá ter qualqu ed'd 1 1 • 2 1 po e-er m 1 a, exc uindo zero (A2 não pode coincidir com A ). 
Ouando K_::_ 1 a projeção A2 A1 tem o mesmo ~ompri­
mento do segmento no espaço (AA 1 ) O triãngulo AA A é · 6 1 
· b · 1 2 1s sce es e as pro-Jetantes o líQuas formam ãngulo de 45º com 0 plano do desenho. 
Quando K > 1 a projeção é ampljada. As projetantes 
formam com o plano do desenho um ângulo menor que 45º. 
. 0 Quando K < 1 a projeção é reduzida. As projetantes fa. 
zem mais de 45 com o plano do desenho. 
. 3. 1. 4. - Direção da Projeção 
. _:ara uma mesma inclinação das projetantes, Ai A ode-
rá ter qualquer direçao no plano do desenho (figura 153). 2 p 
60 
Suponhamos K = 1 na figura, ou seja, A2 A1 = AA1. 
Desenvolvendo com centro em A1 uma circunferência no plano de projeção, 
com raio A1 A2 , podemos escolher A2 em qualquer ponto dessa circunferên-
cia. A'2 , A" 2 e A2 "' são exemplos nos três outros quadrantes do círculo. 
Convencionamos medir a DIREÇÃO pelo àngulo C!Que 
A1 A2 forma com a horizontal do plano de projeção. Tal ãngulo serâ sempre 
medido no sentido horário. Para A2 , na figura 153, o: mede entre 90° e 
180ô para A'2 , mede entre 180° e 270°; para A"2 , entre 270°e 360°; para 
A"2 , entre oº e 90°. 
3. 1. 5. - Arestas Paralelas ao Plano de Projeção 
As arestas do paralelepípedo que são paralelas a AB, isto 
é, todas as perpendiculares ao plano de projeção, já fizemos notar que se pro-
jetam na direção A1 A'l. 
E as arestas paralelas ao plano de projeção, como AC e 
AD (figura 154J? 
Como as projetantes oblíquas são paralelas entre si, a fi-
gura ACC2 A2 é um paralelogramo, e assim A2 C2 é paralelo a AC e TEM A 
MESMA MEDIDA de AC QUAISQUER QUE SEJAM A r»REÇÃQ E tN.CLI· 
NAÇÃO DAS PROJETANTES OBL(OUAS. 
O mesmo acontece para a ar&sta A[}, onckl A2 02 = AO. 
Dessa forma, a própria face ACED do paralelepí.pedo t•' 
rá projeção oblíqua congruente, caracterizando uma translação. 
Em resumo, qualqtJer areita do paralelepípedo paralela 
ao plano de projeção terâ sua projeção oblíqua paralela e de mesmo compri-
mento . 
3. 1. 6. - Traçado das Projeções no PIMO 
O que temos d iscutido até agora sobre o sistema orto-
oblíquo vem sendo ilustrado em axonometria, da figura 147 à figura 154. 
61 
Elas descrevem o procedimento a 3 dimensões para se conseguir a projeção 
oblíqua do paralelepípedo. 
Vejamos agora a tradução de tais explicações no próprio 
plano do desenho (figura 155). 
Partindo da vista ortogonal do paralelepípedo, temos 
que escolher a direção e a inclinação das projetantes oblíquas. Fixando um 
dos vértices na projeção ortogonal (A1 ), basta escolher a posição de A2 em 
qualquer lugar do desenho. Fazendo isso, estaremos definindo o ângulo a que 
caracteriza a DIREÇÃO do sistema e, desde que tenhamos já estabelecida a 
distância de A ao plano do desenho, estaremos também definindo o FATOR 
DE CONVERSÃO (K) do sistema. 
-== De fato, basta c~ruir um ângulo reto em A1 (figura 
156) e marcar A'A1 igual à distância AA1 (do ponto A, no espaço, ao plano 
do desenho - ver figura 150). É claro que tal distância é escolhida à vontade 
do operador, pois o paralelepípedo pode ser imaginado a qualquer distância 
do plano de projeção. 
,.. 
/tJ 
"• 
Marcando~· com a medida real de A8, obtemos 82 
através de uma paralela a A'A2 (ver figura 151). 
O fator K tanto pode ser obtido por ;;;Ã,/A'A1 como 
_ Geralmente é preferível, em vez de escolher a distância 
AA1, estabelecer préviamente o valor de K. 
Se K = A2 82 , então A1 8 2 = K. A'8' 
~ 
A'8' 
~ Com....Q_A'8' é a medida real da aresta A8, podemos escre-
ver também: A1 8 2 = K. A8. 
Uma vez escolhidos A2 no desenho e o valor numérico 
de K, podemos evitar a construção grãfica do tril'mgulo A'A1 A2. Para marcar. 
62 
8 2 em A1 A2 basta usar o comprimento ~2 igual a K. As, onde Ã8 é a 
medida da aresta A8 no próprio sólido. 
A partir da projeção A2 8 2 podemos comp letar facil-
mente a projeção do paralelepípedo (figura 157). De A 2 .tiramos A 2 C.:z para-
lela e igual a Ai C1 , completando a face retangular A2 C2 E2 D2 • De 8 2 é 
construícto um outro retângulo igual, projeção oblíqua da face posterior do 
paralelepípedo. 
Tal aspecto apresentaria o paralelepípedo se fosse trans-
parente ou constituído s6 pelas arestas. Tratando-se de um SÓLIDO GEO· 
MÉTRICO é necessãrio definir um critério de visibilidade. 
Para isso, o observador se imagina olhando o paralela· 
pfpedo na direção das projetantes oblíquas. Como estas estão vindo de cima 
para baixo, o vértice C é o mais próximo ao observador e, portanto, as 3 fa. 
ces vizinhas a C2 , na projeção oblíqua, são as visíveis (figura 158). O vértice 
G2 , oposto a C2 , se tiver que ser representado (o que não é usual no desenho 
técnico), terã as três arestas que nele concorrem desenhadas em linha traceja-
da. 
Ainda na figura 158 podemos notar que a projeção oblí· 
qua cobre parte da ortogonal. Para evitar que isso aconteça, é conveniente es-
colher inicialmente não a posição de A2 , mas sim a de F2 , evitando tomar 
esse vértice no interior de Ai Ci E1 Di. 
A escolha inicial deve recair sobre 8 2 se a for tomado 
menor que 90° (figura 159). Evitando-se 82 no interior da projeção ortogo-
nal, teríamos toda a projeção oblíqua do paralelepípedo sem superposição 
com a vista principal. 
No domínio do DESENHO TÉCNICO se a vista principal 
é a DE FRENTE, nesta posição o sólido mostrarã ainda as faces frontal e su-
perior, como na posição da-figura 158, mas diferirã quanto à face lateral. Na 
figura 158 o par11lelepfpedo mostra a face direita, enquanto na 159 ele mostra 
a face esquerda. 
63 
Quando a é tomado ent re 180u e 270u (f igura 160) é 
H2 quem deve ser escolhido inicialmente para evitar superpos ição de vistas, e 
o sólido mostra visíve is as faces frontal, direita e inferior. 
Quando a estâ entre 270° e 360° é G2 quem deve ser 
escolhido primeiro e o sólido mostra as faces frontal , esquerda e inferior. 
Se a projeção principal é a vista SUPERIOR, é a face de 
cima do paralelepípedo que aparece em verdadeira grandeza na projeção oblí-
qua (figura 161) . 
Conforme a variação de a, podem ser visíveis 2 d ós vis-
tas entre a FRONTAL, a DIREITA, a POSTERIOR e a ESQUERDA . 
Nunca serâ visível a face INFERIOR do para lelepípedo, 
nessa situação, assim como a face POSTERIOR nunca aparece nas situações 
das figuras 158, 159 e 160. 
Qualquer outra das vist as do objeto pode ser ~ornada 
como projeção principal. 
3. 1. 7. - Representação da Forma· Modelo 
Para representar um sólido no sistema orto-obl íquo pre-
cisamos enquadrâ-lo no paralelep(pedo envolvente. 
Escolhida a vista principal e usando uma direção e um fa-
tor de conversão também escolhidos, podemos representar o parale lep(pedo 
envolvente conforme fui explicado no (tem anterior (f igura 162). 
A projeção principal pode logo ser desenhada dentro do 
contorno da face do paralelep(pedo, pois jâ vimos no capítu lo 2 a obtenção 
das vistas ortogonais (figura 163). 
Quanto ao desenho da projeção obl íqua, o proced imento 
muito se assemelha ao que adotamos para o desenho da axonometria, no cap(. 
tulo 2. Como arestas paralelas se projetam paralelas, podemos d.esenhar nas fa-
ces do parale lepípedo as faces da forma-mode lo (figura 164). 
64 
.. 
~~~ ~/ ~ 
Para isso é preciso lembrar que as arestas na d ireção da 
largura e da altura (paralelas ao plano de projeção) estão em seu tamanho r:al 
.(na figura estamos reduz indo tudo pela metade, para caber no espaço padrao) 
mas as arestas na d ireção da espessura est ão todas multipl icadas por K. 
A partir dessas faces, pelo traçado de paralel~s,