Aula 1 Oscilações

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Oscilac¸o˜es
Oscilac¸o˜es
Danilo Sande
August 9, 2016
Danilo Sande Oscilac¸o˜es
Oscilac¸o˜es
I´ndice
1 Oscilac¸o˜es
Introduc¸a˜o
Movimento Harmoˆnico Simples
Peˆndulos
Movimento Harmoˆnico Amortecido
Movimento Harmoˆnico Forc¸ado
Danilo Sande Oscilac¸o˜es
Oscilac¸o˜es
Introduc¸a˜o
Movimento Harmoˆnico Simples
Peˆndulos
Movimento Harmoˆnico Amortecido
Movimento Harmoˆnico Forc¸ado
Oscilac¸o˜es
Introduc¸a˜o
Oscilac¸o˜es ocorrem quando objetos se movem repetidamente de
um lado para outro.
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Introduc¸a˜o
Movimento Harmoˆnico Simples
Peˆndulos
Movimento Harmoˆnico Amortecido
Movimento Harmoˆnico Forc¸ado
Movimento Harmoˆnico Simples
Movimento Harmoˆnico Simples
O movimento oscilato´rio mais simples que podemos estudar e´ o MHS.
Movimento Harmoˆnico ou perio´dico e´ todo movimento que se repete a
intervalos regulares.
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Introduc¸a˜o
Movimento Harmoˆnico Simples
Peˆndulos
Movimento Harmoˆnico Amortecido
Movimento Harmoˆnico Forc¸ado
Movimento Harmoˆnico Simples
Frequeˆncia
Uma propriedade do movimento oscilato´rio e´ a sua frequeˆncia f , o
nu´mero de oscilac¸o˜es completas por segundo.
Frequeˆncia e´ dada em [Hz ], ou seja, uma oscilac¸a˜o por segundo [s−1]
Per´ıodo
Per´ıodo e´ o tempo necessa´rio para completar uma oscilac¸a˜o (um ciclo).
E´ o inverso da frequeˆncia, T = 1f
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Movimento Harmoˆnico Simples
Peˆndulos
Movimento Harmoˆnico Amortecido
Movimento Harmoˆnico Forc¸ado
Movimento Harmoˆnico Simples
Deslocamento
No MHS a posic¸a˜o da part´ıcula em func¸a˜o do tempo e´ dada por:
x(t) = xm cos(ωt + φ)
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Movimento Harmoˆnico Simples
Peˆndulos
Movimento Harmoˆnico Amortecido
Movimento Harmoˆnico Forc¸ado
Movimento Harmoˆnico Simples
Amplitude
x(t) = xm cos(ωt + φ)
xm e´ a amplitude do movimento, depende de como ele foi
produzido. E´ uma constante positiva e representa o ma´ximo valor
de x(t). Como cosseno varia entre ±1, enta˜o x(t) varia entre ±xm.
Exemplo de duas curvas que diferem apenas pela amplitude.
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Movimento Harmoˆnico Simples
Peˆndulos
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Movimento Harmoˆnico Forc¸ado
Movimento Harmoˆnico Simples
Fase
x(t) = xm cos(ωt + φ)
A grandeza (ωt + φ) e´ chamada de fase, onde φ e´ a constante de
fase. O valor de φ depende do deslocamento e da velocidade
quanto t = 0.
Exemplo de duas curvas que diferem apenas pela constante de fase.
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Movimento Harmoˆnico Forc¸ado
Movimento Harmoˆnico Simples
Frequeˆncia angular
Da figura abaixo podemos notar que x(t) deve ser igual a x(t +T )
para qualquer valor de t.
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Movimento Harmoˆnico Simples
Peˆndulos
Movimento Harmoˆnico Amortecido
Movimento Harmoˆnico Forc¸ado
Movimento Harmoˆnico Simples
Frequeˆncia angular
x(t) = x(t + T )
xm cos(ωt) = xm cos[ω(t + T )]
(com φ = 0 para simplificar)
Sabendo que a func¸a˜o cosseno se repete pela primeira vez quando
seu argumento aumenta de 2pi rad.
Para que cos(ωt) = cos[ω(t + T )], temos que
ω(t + T ) = ωt + 2pi
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Frequeˆncia angular
ω(t + T ) = ωt + 2pi
ωT = 2pi
ω =
2pi
T
= 2pif
ω e´ dado no SI por rad/s e φ por rad.
Exemplo de duas curvas que diferem apenas pelo per´ıodo (tambe´m pela
frequeˆncia e frequeˆncia angular).
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A velocidade no MHS
Velocidade
v(t) =
dx
dt
=
d
dt
[xm cos(ωt + φ)] = −ωxm sin(ωt + φ)
v(t) = −ωxm sin(ωt + φ)
A grandeza positiva ωxm e´ chamada Amplitude da velocidade
vm. A velocidade varia entre ±ωxm
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A velocidade no MHS
Velocidade
O gra´fico de v(t) comparado com x(t) (ambos para φ = 0), esta˜o
defasados de T4 :
x(t) = xm cos(ωt + φ)
v(t) = −ωxm sin(ωt + φ)
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Movimento Harmoˆnico Forc¸ado
A acelerac¸a˜o no MHS
Acelerac¸a˜o
a(t) =
dv
dt
=
d
dt
[−ωxm sin(ωt + φ)] = −ω2xm cos(ωt + φ)
a(t) = −ω2xm cos(ωt + φ)
A grandeza positiva ω2xm e´ chamada Amplitude da acelerac¸a˜o am. A
acelerac¸a˜o varia entre ±ω2xm
Relac¸a˜o caracter´ıstica do MHS
Comparando x(t) = xm cos(ωt + φ) com
a(t) = −ω2xm cos(ωt + φ), temos:
a(t) = −ω2x(t)
Essa e´ a relac¸a˜o caracter´ıstica do MHS.
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Peˆndulos
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A velocidade no MHS
Comparativo gra´fico entre x(t), v(t) e a(t) (ambos para φ = 0):
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Peˆndulos
Movimento Harmoˆnico Amortecido
Movimento Harmoˆnico Forc¸ado
Relac¸a˜o entre MHS e Movimento Circular Uniforme
MHS e Movimento Circular Uniforme
O MHS e´ a projec¸a˜o do movimento circular uniforme em um diaˆmetro da
circunfereˆncia ao longo do qual acontece o movimento circular
x(t) = xm cos(ωt + φ)
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Peˆndulos
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Relac¸a˜o entre MHS e Movimento Circular Uniforme
v = ωr
v = ωxm
v(t) = −ωxm sin(ωt + φ)
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Movimento Harmoˆnico Simples
Peˆndulos
Movimento Harmoˆnico Amortecido
Movimento Harmoˆnico Forc¸ado
Relac¸a˜o entre MHS e Movimento Circular Uniforme
ar =
v2
r =
ω2r2
r = ω
2r = ω2xm
a(t) = −ω2xm cos(ωt + φ)
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Movimento Harmoˆnico Forc¸ado
Lei do MHS
MHS e Lei de Hooke
Conhecida a acelerac¸a˜o, podemos usar a segunda Lei de Newton para
descobrir qual e´ a forc¸a que deve agir sobre essa part´ıcula para que ela
tenha essa acelerac¸a˜o.
F = ma = −(mω2)x
Uma forc¸a restauradora proporcional ao deslocamento e´ bem conhecida:
Lei de Hooke!
Comparando F = −κx com F = −mω2x , temos que k = mω2, logo:
ω =
√
κ
m
T = 2pi
√
m
κ
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Lei do MHS
MHS e Lei de Hooke
Um sistema massa-mola (sistema sujeito a` Lei de Hooke) constitui um
oscilador harmoˆnico simples.
O perodo desse sistema pode ser calculado por:
T = 2pi
√
m
κ
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Lei do MHS
Exerc´ıcio 1
Um bloco cuja massa m = 680 g esta´ preso a uma mola cuja constante
ela´stica κ = 65 N/m.
O bloco e´ puxado sobre uma superf´ıcie sem atrito por uma distaˆncia
x = 11 cm a partir da posic¸a˜o de equil´ıbrio em x=0 e liberado a partir do
repouso em t=0.
a) Qual e´ a frequeˆncia, a frequeˆncia angular e oper´ıodo do movimento?
b) Qual e´ a amplitude das oscilac¸o˜es?
c) Qual e´ a velocidade ma´xima vm do bloco e onde ele se encontra
quanto tem essa velocidade?
d) Qual e´ o mo´duolo am da acelerac¸a˜o ma´xima do bloco?
e) Qual e´ a constante de fase φ do movimento?
f) Qual e´ a func¸a˜o deslocamento x(t) do sistema bloco-mola?
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Lei do MHS
Exerc´ıcio 1 - Resposta
a) ω =
√
k
m = 9, 78 rad/s; f =
ω
2pi = 1, 6 Hz ; T =
1
f = 640 ms
b) xm = 11 cm
c) vm = ωxm = 1, 1 m/s
d) am = ω
2xm = 10, 5 m/s
2
e) Para t = 0, temos x = 11 cm, assim:
x(t) = xm cos(ωt + φ)
x(0) = 0, 11 cos(φ)
cosφ = 1
φ = 0 rad
f) x(t) = xm cos(ωt + φ), logo x(t) = 0, 11 cos(9, 78t)
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Lei do MHS
Exerc´ıcio 2
Em t = 0 o deslocamento x(0) do bloco de um OHS e´
x(0) = −8, 5 cm. A velocidade v(0) = −0, 92 m/s e a(0) = 47
m/s2.
a) Qual e´ a frequeˆncia angular ω desse sistema?
b) Quais sa˜o os valores da constante de fase φ e da amplitude xm?
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Lei do MHS
Exerc´ıcio 2 - Resposta
a) Fazendo t = 0 nas equac¸o˜es de x(t), v(t) e a(t), temos:
x(0) = xm cosφ
v(0) = −ωxm sinφ
a(0) = −ω2xm cosφ
Para obter ω, dividimos a(0) por x(0):
a(0)
x(0)
= −ω2
ω = 23, 5 rad/s
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Lei do MHS
Exerc´ıcio 2 - Resposta
b) Dividindo v(0) por x(0):
v(0)
x(0)
= −ω tanφ
tanφ = −0, 4606→ φ = −24, 7o ou φ = 155, 3o
Ao calcular xm com o primeiro aˆngulo, obtemos um valor negativo. Como
amplitude e´ um valor positivo, devemos utilizar o segundo aˆngulo. Assim,
φ = 155o e x(0) = xm cosφ→ xm = 0, 094 m
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A energia do MHS
A energia do MHS
A energia de um oscilador harmoˆnico e´ transformada repetidamente
de energia cine´tica em energia potencial e vice versa.
A energia potencial esta´ inteiramente associada a` mola e seu valor
depende do grau de alongamento ou compressa˜o da mesma:
U =
1
2
κx2 =
1
2
κx2m cos
2(ωt + φ)
A energia cine´tica do sistema esta´ inteiramente associada ao bloco
e seu valor depende da velocidade do mesmo:
K =
1
2
mv2 =
1
2
mω2x2m sin
2(ωt + φ)
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A energia do MHS
A energia do MHS
K =
1
2
mω2x2m sin
2(ωt + φ)
Como ω2 = κm , enta˜o:
K =
1
2
κx2m sin
2(ωt + φ)
Somando as energias cine´tica e potencial:
E = K + U =
1
2
κx2m sin
2(ωt + φ) +
1
2
κx2m cos
2(ωt + φ)
E =
1
2
κx2m
A energia mecaˆnica de um oscilador harmoˆnico e´ constante e
independente do tempo!
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A energia do MHS
Gra´ficos da Energia no MHS
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A Energia no MHS
Exerc´ıcio 3
Suponha que em um sistema bloco-mola, a massa do bloco seja
m = 2, 72.105 kg e que o sistema oscile em uma frequeˆncia f = 10
Hz , com amplitude xm = 0, 2 m.
a) Qual e´ a energia mecaˆnica total do sistema?
b) Qual e´ a velocidade do bloco ao passar pelo ponto de equil´ıbrio?
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A Energia no MHS
Exerc´ıcio 3 - Resposta
a) Primeiro calculamos a frequeˆncia angular e valor da cosntante ela´stica
da mola:
ω = 2pif = 62, 8 rad/s
k = mω2 = 1, 073× 109 N/m
E =
1
2
kx2m = 2, 147× 107 J
b) No ponto de equil´ıbrio U = 0, logo E = Ec :
1
2
mv2m = 2, 147× 107 J
vm = 12, 56 m/s
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Peˆndulo de Torc¸a˜o
Peˆndulo de torc¸a˜o
A figura abaixo mostra a versa˜o angular de um OHS.
Ao girar o disco, produz-se um deslocamento angular θ a partir da
posic¸a˜o de equil´ıbrio. Ao soltar, ele oscila em torno dessa posic¸a˜o
fazendo um MHS angular.
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Peˆndulo de Torc¸a˜o
Peˆndulo de torc¸a˜o
A rotac¸a˜o do disco de um aˆngulo θ em qualquer sentido, produz um
torque restaurador dado por:
τ = −κθ
Essa e´ a versa˜o forma angular da lei de Hooke.
Da segunda Lei de Newton para rotac¸o˜es:
τ = Iα = I θ¨
Onde I e´ o momento de ine´rcia do disco e α e´ a acelerac¸a˜o angular.
Unindo as equac¸o˜es:
I θ¨ = −κθ
θ¨ =
−κ
I
θ
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Peˆndulo de Torc¸a˜o
Peˆndulo de torc¸a˜o
Comparando a equac¸a˜o para o peˆndulo de torc¸a˜o, com a equac¸a˜o
caracter´ıstica do MHS:
θ¨ =
−κ
I
θ
a = −ω2x
Temos:
ω =
√
κ
I
T = 2pi
√
I
κ
Esse e´ o per´ıodo de um MHS angular.
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Peˆndulo de Torc¸a˜o
Exerc´ıcio 4
A figura abaixo mostra uma barra fina cujo comprimento L = 12, 4 cm e
cuja massa m = 135 g , esta´ suspensa por um fio longo pelo seu ponto
me´dio. O per´ıodo Ta do seu MHS angular e´ medido como sendo 2,53 s.
Um objeto de forma irregular (objeto X), e´ pendurado no mesmo fio, e o
seu per´ıodo e´ de Tb = 4, 76 s.
Qual e´ o momento de Ine´rcia do objeto X em relac¸a˜o ao eixo de
suspensa˜o?
(Dado: Momento de ine´rcia da barra em torno de um eixo perpendicular,
passando pelo ponto me´dio e´ dado por Ia =
1
12mL
2)
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Exerc´ıcio 4 - Resposta
O momento de ine´rcia da barra e´:
Ia = 1, 73× 10−4 kg .m2
A raza˜o entre os per´ıodos dos peˆndulos de torc¸a˜o a e b e´:
Ta
Tb
=
√
Ia
Ib
Ib =
T 2b
T 2a
Ia = 6, 12× 10−4 kg .m2
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Peˆndulo Simples
Peˆndulo Simples
O peˆndulo simples e o peˆndulo f´ısico sa˜o exemplos de MHS cuja forc¸a
restauradora esta´ associada a` gravidade.
Um peˆndulo simples e´ composto por uma part´ıcula de massa m suspensa
por um fio inextens´ıvel, de massa desprez´ıvel e comprimento L.
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Peˆndulo Simples
Peˆndulo Simples
As forc¸as que agem sobre a part´ıcula sa˜o: Trac¸a˜o~T exercida pelo fio e a
forc¸a gravitacional ~Fg .
A componente tangencial da forc¸a peso (Fg sin θ) produz um torque
restaurador em relac¸a˜o ao ponto fixo do peˆndulo:
τ = r⊥F = −L(Fg sin θ)
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Peˆndulo Simples
Peˆndulo Simples
Da segunda Lei de Newton para rotac¸o˜es:
τ = Iα
−L(mg sin θ) = Iα
α = −mgL sin θ
I
Para pequenos deslocamentos vale sin θ ≈ θ:
α = −mgLθ
I
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Peˆndulo Simples
Peˆndulo Simples
α = −mgLθ
I
Comparando com a eq. caracter´ıstica do MHS, obtemos que:
ω2 =
mgL
I
T = 2pi
√
I
mgL
O momento de ine´rcia de uma massa pontual e´ dado por I = mr2, como
r = L, temos I = mL2, assim:
T = 2pi
√
L
g
Esse e´ o per´ıodo de oscilac¸a˜o de um peˆndulo simples.
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Peˆndulo Simples
Exerc´ıcio 5
Determine o per´ıodo de um peˆndulo simples de 1 m de
comprimento que realiza pequenas oscilac¸o˜es na lua (g ≈1,6
m/s2) e na Terra.
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Peˆndulo Simples
Exerc´ıcio 5 - Resposta
TL = 2pi
√
L
gL
= 4, 97 s
TT = 2pi
√
L
gT
= 2, 01 s
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Peˆndulo F´ısico
Peˆndulo F´ısico
Um peˆndulo f´ısico e´ um peˆndulo real. E´ um objeto que realiza um MHS
sob efeito da forc¸a gravitacional e que possui um distribuic¸a˜o de massa
qualquer.
A forc¸a peso e´ aplicada no centro de massa do objeto e o brac¸o da
alavanca e´ h, assim:
T = 2pi
√
I
mgh
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Peˆndulo F´ısico
Medindo g
Para medir g usando um peˆndulo f´ısico, pode-se usar uma barra uniforme
de comprimento L suspensa por uma de suas extremidades, assim h = L2 .
O momento de ine´rcia de uma barra em relac¸a˜o a` um eixo perpendicular
passando pelo seu centro e´ 112mL
2. Usando o teorema dos eixos paralelos:
I = ICM + mh
2
I =
1
12
mL2 + m(
L
2
)2 =
1
3
mL2
T = 2pi
√
I
mgh
= 2pi
√
1
3mL
2
mg(L2 )
= 2pi
√
2L
3g
g =
8pi2L
3T 2
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Peˆndulos
Movimento Harmoˆnico Amortecido
Movimento Harmoˆnico Forc¸ado
Peˆndulo F´ısico
Centro de Oscilac¸a˜o
A todo peˆndulo f´ısico com um ponto fixo ”O” que oscila com per´ıodo T,
corresponde um peˆndulo simples de comprimento Lo e com o mesmo
per´ıodo.
Partindo de ”O” no peˆndulo f´ısico e percorrendo uma distaˆncia Lo ,
chega-se no ponto ”P” (conforme a figura). Este ponto e´ chamado de
centro de oscilac¸a˜o do peˆndulo f´ısico.
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Peˆndulos
Movimento Harmoˆnico Amortecido
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Peˆndulo F´ısico
Exerc´ıcio 6
Na figura abaixo, uma re´gua de 1 m oscila em torno de um ponto
fixo em uma das extremidades, a uma distaˆncia h do centro de
massa da re´gua.
a) Qual e´ o per´ıodo de oscilac¸a˜o T?
b) Qual e´ a distaˆncia Lo entre o ponto fixo O da re´gua e o centro
de oscilac¸a˜o?
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Movimento Harmoˆnico Amortecido
Movimento Harmoˆnico Forc¸ado
Peˆndulo F´ısico
Exerc´ıcio 6 - Resposta
a) O per´ıodo de oscilac¸a˜o do peˆndulo f´ısico e´ dado por:
T = 2pi
√
I
mgh
= 2pi
√
2L
3g
= 1, 64 s
b) Para saber qual o comprimento Lo do peˆndulo simples que teria esse
per´ıodo:
T = 2pi
√
Lo
g
Lo =
T 2g
4pi2
= 66, 8 cm
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Movimento Harmoˆnico Forc¸ado
MH amortecido
MH amortecido
Quando o movimento de um oscilador e´ reduzido por uma forc¸a
externa, dizemos que o oscilador e seu movimento sa˜o amortecidos.
A forc¸a de amortecimento ~Fa do l´ıquido sobre a palheta e´ proporcional a`
velocidade da palheta e do bloco (vale para baixas velocidade). Assim
Fa = −bv
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MH amortecido
MH amortecido
Considerando a forc¸a gravitacional pequena comparada com a Lei de
Hooke e a forc¸a de amortecimento, temos conforme a segunda Lei de
Newton:
−bv − kx = ma
m
d2x
dt2
+ b
dx
dt
+ kx = 0
Cuja soluc¸a˜o e´ dada por:
x(t) = xme
− bt2m cos(ω′t + φ)
ω′ =
√
k
m
− b
2
4m2
Se b = 0 ou b <<
√
km, voltamos ao OHS sem amortecimento.
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MH amortecido
MH amortecido
Se o oscilador e´ amortecido, a energia mecaˆnica na˜o e´ constante,
temos:
E =
1
2
Kx2m
Substituindo a amplitude com amortecimento:
xme
− bt
2m
E (t) =
1
2
K (xme
− bt
2m )2 =
1
2
Kx2me
− bt
m
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Exerc´ıcio 7
Para o oscilador amortecido da figura abaixo, m = 250 g , K = 85 N/m e
b = 70 g/s.
a) Qual e´ o per´ıodo do movimento?
b) Qual e´ o tempo necessa´rio para que a amplitude das oscilac¸o˜es
amortecidas se reduza a` metade do valor inicial?
c) Quanto tempo e´ necessa´rio para que a energia mecaˆnica se reduza a`
metade do valor inicial?
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Exerc´ıcio 7 - Resposta
a) A frequeˆncia angular de oscilac¸a˜o e´ dada por:
ω′ =
√
k
m
− b
2
4m2
= 18, 44 rad/s
T =
2pi
ω′
= 0, 34 s
Pode-se notar tambe´m que 70 g/s = b <<
√
km = 4600 g/s, assim
pode-se calcular T diretamente por:
T = 2pi
√
m
k
= 0, 34 s
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Exerc´ıcio 7 - Resposta
b)
xme
− bt2m =
xm
2
ln(e−
bt
2m ) = ln
1
2
t = −2m
b
ln
1
2
= 4, 95 s
c) 1
2
kx2me
− btm =
1
2
(
1
2
kx2m)
ln(e−
bt
m ) = ln
1
2
t = −m
b
ln
1
2
= 2, 48 s
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Oscilac¸o˜es forc¸adas e Ressonaˆncia
Oscilac¸o˜es forc¸adas e Ressonaˆncia
Em uma oscilac¸a˜o forc¸ada, uma forc¸a externa age gerando uma
nova frequeˆncia angular no oscilador.
Ex: Algue´m empurrando um balanc¸o para uma crianc¸a.
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Oscilac¸o˜es forc¸adas e RessonaˆnciaOscilac¸o˜es forc¸adas e Ressonaˆncia
Supondo uma forc¸a externa do tipo Fo cosωet, temos a segunda
Lei de Newton:
−kx − bv + Fo cosωet = ma
m d
2x
dt2
+ b dxdt + mω
2
ox = Fo cosωet
A soluc¸a˜o e´ dada por:
x(t) = xm cos(ωet − δ)
xm =
Fo√
m2(ω2o−ω2e )2+b2ω2e
tan δ = bωo
m(ω2e−ω2o)
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Oscilac¸o˜es forc¸adas e Ressonaˆncia
Oscilac¸o˜es forc¸adas e Ressonaˆncia
Na Ressonaˆncia ωe = ωo , isso implica:
xm =
Fo
bωo
e Vm =
Fo
b
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Exerc´ıcio 8
Um corpo de 2 kg oscila preso a uma mola que tem uma constante
ela´stica K = 400 N/m. A constante de amortecimento linear vale
b = 2 kg/s. O sistema e´ excitado por uma forc¸a senoidal de valor
ma´ximo Fo = 10 N e frequeˆncia angular ωe = 10 rad/s.
a) Se a frequeˆncia de excitac¸a˜o varia, em que frequeˆncia ocorrera´
ressonaˆncia?
a) Qual e´ a amplitude das oscilac¸o˜es?
c) Qual e´ a amplitude de oscilac¸a˜o na ressonaˆncia?
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Exerc´ıcio 8 - Resposta
a) A ressonaˆncia ocorre quando a frequeˆncia externa e´ igual a` frequeˆncia
natural:
ωo =
√
k
m
= 14, 14 rad/s
b) A amplitude e´ dada por:
xm =
Fo√
m2(ω2o − ω2e )2 + b2ω2e
= 4, 98 cm
c) Na ressonaˆncia:
xm =
Fo
bωo
= 35, 4 cm
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Refereˆncia
Fundamentos de F´ısica 2 - Gravitac¸a˜o, Ondas e Termodinaˆmica,
Halliday, 8a ed.
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