Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
1 Universidade Salvador – UNIFACS GAAL - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Cursos de Engenharia Profa: Ilka Rebouças Freire Algebra Linear Texto 03: Espaços Vetoriais e Subespaços Vetoriais Espaços Vetoriais Introdução Os espaços vetoriais constituem o objeto de estudo da Álgebra Linear. No curso de Geometria Analítica foram estudados os conjuntos de vetores no plano e no espaço. Lembremos que duas operações foram definidas nestes conjuntos 1. A adição de vetores 2. Multiplicação por um escalar Estas duas operações gozam de determinadas propriedades e são as mesmas operações que estão também definidas, por exemplo, no conjunto das matrizes de ordem m x n em R , como foi visto anteriormente. Vamos agora generalizar esta estrutura apresentada no conjunto dos vetores do espaço e das matrizes m x n. O conceito de vetor vai ser estendido estabelecendo-se as propriedades mais usuais dos vetores como axiomas. Definição: Seja V . V é dito um espaço vetorial se e somente se: I. Está definida uma adição em V que associa a cada par de elementos u e v um único elemento em V, indicado por u + v e chamado de soma de u com v, que satisfaz as seguintes propriedades: u, v, w V: 2 i ) u + v = v + u , ( comutativa) ii) u + ( v + w ) = ( u + v ) + w, ( associativa) iii) 0 V; 0 + u = u + 0 = u, ( 0 é chamado de elemento neutro ) iv) u V, – u V; u + (– u ) = 0 ( – u é chamado de elemento oposto) II. Está definida uma multiplicação por escalar que associa a cada escalar de R e cada elemento v um único vetor v, em V, que goza das seguintes propriedades, , R, u, v V v) (u) = ()u vi) (+) u = u + u vii) (u + v ) = u + v viii) 1 R; 1.u = u Observações: 1. O espaço vetorial definido anteriormente em que os escalares considerados são números reais é chamado de espaço vetorial real ou espaço vetorial sobre R 2. Podemos também considerar na definição, os escalares sendo números complexos e neste caso o espaço vetorial é chamado de espaço vetorial complexo. 3. Só iremos trabalhar nesse curso com espaços vetoriais reais. Exemplos: 1. V = R. O conjunto dos números reais é um espaço vetorial real. 2. V = R2 é um espaço vetorial real V = R 2 = {(x,y); x, y R } é o conjunto dos pontos do plano. Um par ordenado (x, y) tanto pode ser interpretado como um ponto do plano ou como um vetor do plano (vetor localizado na origem ) 3. V = R3 é um espaço vetorial real. V= {(x,y,z); x, y, z R } é o conjunto dos pontos do espaço. Um terno ordenado (x, y, z) pode ser interpretado geometricamente como um ponto do espaço ou como um vetor do espaço (vetor localizado na origem ). 3 Embora nossa visualização geométrica não se estenda além do espaço tridimensional, podemos considerar muitas das propriedades algébricas e numéricas estendendo-as a espaços, além do tridimensional. A idéia de se utilizar pares de números para situar pontos no plano e ternos de números para situar pontos no espaço se consolidou em meados do século XVII e é a idéia básica da Geometria Analítica . Na segunda metade do século XVIII os matemáticos e físicos perceberam que poderiam usar seqüências com quatro, cinco, n números, para representar pontos num espaço de dimensão maior. É o que formalizamos no exemplo a seguir 4. Se n é um inteiro positivo, dizemos que uma seqüência nxxx ,...,, 21 de números reais é uma n-upla ordenada. O conjunto de todas as n-uplas ordenadas é chamado de espaço n-dimensional e denotado por R n . V = Rx);x,...,x,x(R in21 n , com as operações: nn2211n21n21 yx,...,yx,yxy,...,y,yx,...,x,x n21n21 x,...,x,xx,...,x,x é um espaço vetorial real 5. V = )R(Mmxn - conjunto das matrizes de ordem m x n com elementos em R é um espaço vetorial real com as operações de adição de matrizes e multiplicação de uma matriz por um escalar, já definidas. Por exemplo, consideremos Rw,z,y,x; wz yx )R(MV 2 com as operações usuais definidas no conjunto das matrizes Adição: 2121 2121 22 22 11 11 wwzz yyxx wz yx wz yx Multiplicação por escalar: wz yx wz yx O conjunto V = M2(R) (matrizes dois por dois com elementos reais ) satisfaz a todos os axiomas de espaço vetorial 4 6. V = )R(Pn - conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a n, com coeficientes em R, com as operações usuais de adição de polinômios e multiplicação por uma escalar n nn1100 n n10 n n10 x)ba(...x)ba()ba()xb...xbb()xa...xaa( n n10 n n10 xa...xaa)xa...xaa( 7. Toda reta que passa pela origem é um espaço vetorial. No plano temos {(x,y) R2; y = kx } 8. Todo plano que passa pela origem é um espaço vetorial {(x,y,z) R3; ax + by + cz = 0, para a, b e c R} Contra-Exemplos 1. W = { (x, y) R2, x 0 e y 0 } com as operações definidas em R2, não é espaço vetorial pois não fecha com a multiplicação por escalar ( Considere = – 1 ) 2. W = { (x, y) R2, x + y = 1 } Não tem elemento neutro da adição. Se considerarmos também dois pontos sobre a reta, por exemplo, ( 1, 0 ) e ( 0, 1 ) a soma ( 1, 1 ) não está sobre a reta. 3. W = { (x, y, z) R3, x + y + z =1 } Não tem elemento neutro da adição. Se considerarmos dois pontos sobre o plano, a soma não está sobre o plano. ( Dê exemplo!) 4. Generalizando: retas e planos que não passam pela origem não são espaços vetoriais 5 Propriedades Gerais do Espaço Vetorial Seja V um espaço vetorial real. As seguintes propriedades são conseqüências imediatas da definição de espaço vetorial: P1 ) R, 0 V, 0 = 0 P2) u V, 0 R, 0u = 0 P3 ) Para R, e u V, u = 0 = 0 ou u = 0 P4 ) R, u V, (- ) u = (-u) = - (u) Observação: Definimos a diferença entre dois vetores u e v como u – v = u + ( – v ) P5 ) , R, u e v V temos ( - ) u =u - u e (u – v) = u - v P6 ) u V , – ( u) = u P7 ) u, v e w V, u + w = v + w u = v ( Cancelamento da adição) Observações: 1. As propriedades anteriores mostram que podemos operar com vetores em relação à adição e multiplicação por escalar como se estivéssemos operando com números reais. Exemplo: Se u, v são elementos de algum espaço vetorial, 3( u + v ) 2u = u + 3v. 2. Além das propriedades anteriores temos que o elemento neutro da adição ( vetor nulo) e o elemento oposto são únicos 6 Subespaço VetorialÀs vezes é necessário se detectar dentro de um espaço vetorial subconjuntos W que são, eles próprios, espaços vetoriais. Vimos, por exemplo, que as retas que passam pela origem ( no plano ) são espaços vetoriais que estão contidos no R 2 e planos que passam pela origem são espaços contidos no R 3 . Exemplo: Consideremos V = R 2 e W = { (x, y) R2; y = kx } = { (x, kx) R2 } W é uma reta passando pela origem W é também um espaço vetorial ( x, kx) + ( x1, kx1) = ( x+x1, kx + kx1) = (x+x1, k(x + x1)) W Esta operação satisfaz de i) a iv) da definição de espaço vetorial (x, kx) = (x, kx) W Esta operação satisfaz de v) a viii) da definição de espaço vetorial Um subconjunto de um espaço vetorial V que é, ele mesmo, um espaço vetorial em relação às operações de adição e multiplicação por escalar definidas em V, recebe um nome especial: subespaço de V Definição: Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W de V , W , é um subespaço vetorial de V se e somente se 1) u, v W, u + v W 2) R, u, W, u W Observações: 1. As condições da definição acima garantem que ao operarmos em W não obtemos um vetor fora de W. Com isto W é também espaço vetorial e as propriedades que são válidas em V também são em W pois W V. 7 2. Qualquer subespaço vetorial W de V contém necessariamente o vetor nulo. De fato pela condição 2 da definição de subespaço 0.u = 0 W 3. Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços W = V e W = { 0 }. estes subespaços são chamados de subespaços triviais de V 4. Para mostrar que um subconjunto W de V ( W V ) é um subespaço de V não precisamos testar todos os axiomas de espaço vetorial. Basta verificar se as operações de adição e multiplicação por escalar estão fechadas em W, ou seja, somando dois elementos em W, o resultado está em W e multiplicando um escalar por um elemento de W o resultado está em W. Além disso, um bom teste inicial é verificar se W contém o vetor nulo, pois, caso contrário, W não é espaço vetorial ( Ver item 2 ). Exemplos 1. V = R2 e W = { (x, y) ; y = kx } – retas passando pela origem 2. V = R3 e W = { (x, y, z) ; ax + by + cz = 0 } – planos passando pela origem De fato: 1) Considerando ( x,y,z) e (x1,y1,z1) W temos que ax+by+cz = 0 e ax1 + by1 + cz1 = 0,. Assim, ( x,y,z) + (x1,y1,z1) = (x + x1,y + y1,z + z1) W, pois a(x + x1)+b(y + y1)+c(z + z1) = (ax+by+cz) + (ax1 + by1 + cz1 ) = 0 2) Considerando R e (x,y,z) W temos que (x,y,z) = (x, y, z) W pois a (x) + b( y) + c( z)) = (ax+by+cz) = 0 = 0 3) V = M2x2( R ) e W (R)M c0 ba 2x2 o conjunto das matrizes triangulares superiores( ou inferiores) de ordem 2 1) W cc0 bbaa c0 ba c0 ba 1 11 1 11 2) W c0 ba c0 ba 8 4) Consideremos o conjunto-solução W de um sistema homogêneo de ordem 3 e V = M3x1( R ). O sistema pode ser dado na forma matricial por AX= 0, sendo A uma matriz m x 3. 1) Se X1 e X2 W, então AX1 = 0 e AX2 = 0. Logo, A(X1+X2) = AX1+AX2 = 0+0 = 0 e portanto X1 + X2 W 2) Seja X W e R. Então A(X)= AX = .0 = 0 Logo, X W Geometricamente temos que cada espaço solução W pode ser: i) Um plano que passa pela origem Exemplo: 0963 0642 032 zyx zyx zyx escalonando obtemos 0000 0000 0321 x –2y +3z = 0 ii) Uma reta que passa pela origem Exemplo: 0642 0873 032 zyx zyx zyx escalonando obtemos 0000 0110 0501 0 05 zy zx As duas equações representam planos passando pela origem, e o sistema resultante pode ser interpretado como a equação da reta que é intersecção dos dois planos Um vetor genérico dessa reta é escrito como ( 5z, z, z ), z R iii) A origem Exemplo: 024 0873 032 zyx zyx zyx cuja solução é { ( 0, 0, 0 ) } que é o subespaço nulo iv) Todo o espaço Exemplo: 0000 0000 0000 zyx zyx zyx 9 Contra-exemplos Vejamos, agora, alguns exemplos de subconjuntos de V que não são subespaços de V: 1. V = R2 e W = { (x, y) R2; y = ax + b ( ab 0} W não é subespaço vetorial de V . De fato: 0 W 2. V = R2 e W = { (x, y) R2; y = x2 } W não é subespaço vetorial de V . De fato: (1,1) e (2,4) W e ( 1,1) + (2,4) = (3, 5) W Observação O fato de 0 W já nos garante que W não é subespaço ( Exemplo 1). No entanto, o fato de 0 W não nos garante que W é subespaço vetorial (Exemplo 2) Em outras palavras 0 W W não é subespaço, mas a recíproca não é verdadeira Referências Bibliográficas - Álgebra Linear – Alfredo Steinbruch / Paulo Winterle - Álgebra Linear – Boldrini / Costa / Figueiredo / Wetzler - Álgebra Linear – Caliolli - Álgebra Linear com Aplicações – Anton / Rorres
Compartilhar