Guia do estudante

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APRESENTAÇÃO
3GE MATEMÁTICA 2017 
O passo final é reforçar os estudos sobre atualidades, pois as provas 
exigem alunos cada vez mais antenados com os principais fatos que 
ocorrem no Brasil e no mundo. Além disso, é preciso conhecer em 
detalhes o seu processo seletivo – o Enem, por exemplo, é bastante 
diferente dos demais vestibulares.
arrow COMO O GE PODE AJUDAR VOCÊ O GE Enem e o GE Fuvest são dois 
verdadeiros “manuais de instrução”, que mantêm você atualizado 
sobre todos os segredos dos dois maiores vestibulares do país. Com 
duas edições no ano, o GE ATUALIDADES traz fatos do noticiário que 
podem cair nas próximas provas – e com explicações claras, para 
quem não tem o costume de ler jornais nem revistas.
Um plano para 
os seus estudos
Este GUIA DO ESTUDANTE MATEMÁTICA oferece uma ajuda e tanto 
para as provas, mas é claro que um único guia não abrange toda a preparação 
necessária para o Enem e os demais vestibulares.
É por isso que o GUIA DO ESTUDANTE tem uma série de publicações 
que, juntas, fornecem um material completo para um ótimo plano de estudos. 
O roteiro a seguir é uma sugestão de como você pode tirar melhor proveito de 
nossos guias, seguindo uma trilha segura para o sucesso nas provas.
O primeiro passo para todo vestibulando é escolher com clareza 
a carreira e a universidade onde pretende estudar. Conhecendo o 
grau de dificuldade do processo seletivo e as matérias que têm peso 
maior na hora da prova, fica bem mais fácil planejar os seus estudos 
para obter bons resultados.
arrow COMO O GE PODE AJUDAR VOCÊ O GE PROFISSÕES traz todos os 
cursos superiores existentes no Brasil, explica em detalhes as carac-
terísticas de mais de 260 carreiras e ainda indica as instituições que 
oferecem os cursos de melhor qualidade, de acordo com o ranking 
de estrelas do GUIA DO ESTUDANTE e com a avaliação oficial do MEC.
Para começar os estudos, nada melhor do que revisar os pontos mais 
importantes das principais matérias presentes no Ensino Médio. Você 
pode repassar todas as disciplinas ou focar só em algumas delas. Além 
de rever os conteúdos, é fundamental fazer exercícios para praticar.
arrow COMO O GE PODE AJUDAR VOCÊ Além do GE MATEMÁTICA, que você 
já tem em mãos, produzimos um guia para cada matéria do Ensino 
Médio: GE QUÍMICA, Física, Biologia, História, Geografia, Portu-
guês e Redação. Todos reúnem os temas que mais caem nas provas, 
trazem muitas questões de vestibulares para fazer e ainda têm uma 
linguagem fácil de entender, permitindo que você estude sozinho.
Os guias ficam um ano nas bancas – 
com exceção do ATUALIDADES, que é 
semestral. Você pode comprá-los também 
nas lojas on-line das livrarias Cultura e 
Saraiva. 
CAPA: 45 JUJUBAS
1 Decida o que vai prestar
2 Revise as matérias-chave
3 Mantenha-se atualizado
FALE COM A GENTE: 
Av. das Nações Unidas, 7221, 18º andar, 
CEP 05425-902, São Paulo/SP, ou email para: 
guiadoestudante.abril@atleitor.com.br
CALENDÁRIO GE 2016
Veja quando são lançadas 
as nossas publicações
MÊS PUBLICAÇÃO
Janeiro
Fevereiro GE HISTÓRIA
Março GE ATUALIDADES 1
Abril
GE GEOGRAFIA
GE QUÍMICA
Maio
GE PORTUGUÊS
GE BIOLOGIA
Junho
GE ENEM
GE FUVEST
Julho GE REDAÇÃO 
Agosto GE ATUALIDADES 2
Setembro
GE MATEMÁTICA
GE FÍSICA
Outubro GE PROFISSÕES
Novembro
Dezembro
CARTA AO LEITOR
4 GE MATEMÁTICA 2017
PARA FORMANDOS
O presidente dos 
Estados Unidos, 
Barack Obama, 
na cerimônia de 
formatura da 
Universidade Rutgers 
Na política e na vida, a ignorância não é uma virtude.” A frase foi dita pelo presidente dos Estados Unidos, Barack Obama, na cerimônia de formatura de uma turma da Universidade Rutgers. Na ocasião, Obama criticava o então candidato à presidência 
Donald Trump. Mas a ideia se encaixa no dia a dia de qualquer 
um. Vive melhor quem acompanha de perto as transformações 
de seu tempo. Para você, vestibulando, o raciocínio é mais 
válido do que nunca. Para ir bem nas provas de vestibular, 
é fundamental saber interpretar as notícias. E, para isso, é 
importante, entre outras coisas, dominar aspectos básicos de 
diversas ciências, particularmente da matemática. 
A matemática está oculta em muitas das notícias que você vê 
na TV, na internet ou nos jornais. Em geofísica, explica como 
ocorrem os terremotos; em economia, ajuda a interpretar grá-
ficos; em geografia e meio ambiente, é essencial para compre-
ender a relação entre o crescimento da população e o estoque 
de recursos naturais do planeta. Ou seja, saber essa ciência 
exata não conta pontos apenas nas provas de matemática, mas 
também nas de outras áreas, e também na redação. 
Nós, editores do GUIA DO ESTUDANTE MATEMÁTICA 
VESTIBULAR + ENEM, entendemos que quem enxerga o lado 
prático da matemática aprende mais rápido. Por isso pinçamos 
para esta edição alguns dos grandes assuntos da atualidade como 
ponto de partida para trabalhar com os conceitos matemáticos 
básicos. O conteúdo foi preparado pelo professor Fabio Marson 
Ferreira, do Colégio Móbile, de São Paulo. 
A primeira decisão acertada que você pode tomar agora é 
mergulhar neste guia e se preparar para um futuro de sucesso. 
arrow A redação
8 EM CADA 10
APROVADOS NA 
USP USARAM
SEL O D E Q UA L ID A D E 
G U I A D O E S T U D A N T E
O selo de qualidade acima é resultado de uma pes-
quisa realizada com 351 estudantes aprovados em 
três dos principais cursos da Universidade de São 
Paulo no vestibular 2015. São eles:
� DIREITO, DA FACULDADE DO LARGO 
SÃO FRANCISCO;
� ENGENHARIA, DA ESCOLA POLITÉCNICA; e
� MEDICINA, DA FACULDADE DE MEDICINA DA USP
dot 8 em cada 10 entrevistados na 
pesquisa usaram algum conteúdo do 
GUIA DO ESTUDANTE durante sua 
preparação para o vestibular 
dot Entre os que utilizaram versões 
impressas do GUIA DO ESTUDANTE:     
88% disseram que os guias ajudaram 
na preparação. 
97% recomendaram os guias para 
outros estudantes.
TESTADO E APROVADO!
A pesquisa quantitativa por meio de entrevista 
pessoal foi realizada nos dias 11 e 12 de 
fevereiro de 2015, nos campi de matrícula dos 
cursos de Direito, Medicina e Engenharia da 
Universidade de São Paulo (USP).
� Universo total de estudantes aprovados nesses 
 cursos: 1.725 alunos.
� Amostra utilizada na pesquisa: 351 entrevistados.
� Margem de erro amostral: 4,7 pontos percentuais.
A
N
TH
O
N
Y
 B
E
H
A
R
/S
IP
A
O valor 
de conhecer
SUMÁRIO
6 GE MATEMÁTICA 2017
Sumário
arrow Matemática 
VESTIBULAR + ENEM 
2017
ÍNDICE REMISSIVO
8 Onde você encontra nesta edição os principais conceitos
FÓRMULAS E CONCEITOS
10 As expressões matemáticas e os conceitos mais importantes
NÚMEROS E OPERAÇÕES
14 Devem e pagam quando puderem A dívida dos estados com a União
16 Números e conjuntos Os conceitos básicos para qualquer cálculo
19 Razão e proporção Relações entre grandezas 
24 Juros Os cálculos básicos que envolvem o custo do dinheiro
28 Como cai na prova + Resumo Questões comentadas e síntese do capítulo 
GEOMETRIA
30 Júpiter recebe um bisbilhoteiro A sonda Juno, da Nasa, chega 
ao planeta gigante 
32 Ponto, reta e plano Os elementos essenciais das figuras geométricas lineares
36 Plano cartesiano O quadriculado que permite localizar qualquer ponto
38 Gráficos As diversas maneiras de representar a variação de grandezas
40 Polígonos Medidas de lado e área de quadrados, retângulos, 
trapézios e triângulos
46 Cônicas As curvas abertas e fechadas que não têm arestas e suas equações
52 Sólidos O volume de prismas, cilindros, cones e pirâmides
58 Como cai na prova + Resumo Questões comentadas e síntese do capítulo 
ÁLGEBRA
60 A juventude e o desemprego Os jovens são os mais afetados na hora 
de buscar trabalho 
62 Função e equação de 1º grau A expressão que define uma reta
68 Posições
relativas de retas As funções que descrevem retas 
perpendiculares, concorrentes ou paralelas
70 Função e equação de 2º grau As parábolas e suas expressões matemáticas
76 Como cai na prova + Resumo Questões comentadas e síntese do capítulo 
 
POTÊNCIA E LOGARITMO
78 Abalos semelhantes, prejuízos diferentes Países mais pobres, com 
infraestrutura precária, sofrem mais com terremotos 
80 Potenciação As propriedades da multiplicação de um número por ele 
mesmo repetidas vezes
82 Funções e equações exponenciais As expressões nas quais a variável 
é o expoente de um número e seus gráficos
86 Funções e equações logarítmicas Como encontrar o expoente de 
uma potência
92 Como cai na prova + Resumo Questões comentadas e síntese do capítulo 
TRIGONOMETRIA 
94 Os danos colaterais do aeromodelismo bélico Os drones usados 
contra terroristas fazem muitas vítimas entre civis inocentes
96 Triângulos e a circunferência trigonométrica Relações entre ângulos 
nas figuras de três lados
100 Funções trigonométricas As expressões que definem seno, cosseno e 
tangente e seus gráficos
102 Como cai na prova + Resumo Questões comentadas e síntese do capítulo 
PROGRESSÕES
104 Disparidade econômica evidente na demografia As consequências da 
explosão demográfica na África e redução da população na Europa
106 PA As progressões que evoluem pela soma de uma razão
108 PG As sequências que crescem ou decrescem de maneira exponencial
110 Como cai na prova + Resumo Questões comentadas e síntese do capítulo 
COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE
112 Contra toda a probabilidade A decisão do Reino Unido de deixar 
a União Europeia
114 Combinatória As diferentes maneiras de arranjar e combinar 
elementos de um conjunto
117 Probabilidade Como calcular as chances de ocorrer um evento
120 Como cai na prova + Resumo Questões comentadas e síntese do capítulo
MATRIZES
122 Sai a TV analógica, entra a digital A partir de 2018 todas as cidades 
receberão apenas sinais digitais
124 Conceitos e propriedades Como funcionam as matrizes
126 Determinantes Números que facilitam cálculos em diversas áreas
128 Como cai na prova + Resumo Questões comentadas e síntese do capítulo
RAIO-X
130 As características dos enunciados que costumam cair nas provas do 
Enem e dos principais vestibulares
SIMULADO
132 46 questões e suas resoluções, passo a passo
8 GE MATEMÁTICA 2017
A
Ângulos .......................................33, 34, 98, 99
Área ........................................................ 41 a 44
do círculo ................................................. 46
de polígonos .................................... 41 a 44
de sólidos ......................................... 53 a 55
Arranjos ....................................................... 116
Árvore das possibilidades ................. 114, 115
B
Bhaskara, fórmula de ..................................72
C
Capital ........................................................... 24
Cavalieri, princípio de ................................55 
Cilindros ........................................................55
Círculo ........................................................... 46
Circunferência .....................................46 a 48
equação da .................................................47
inscrita e circunscrita ............................ 48
trigonométrica................................. 97 e 98
Combinação ................................................ 116
Cone ................................................................56
Conjuntos ...................................................... 17 
numéricos .................................................. 18
Cosseno ....................................................97, 99
lei dos cossenos........................................99
D
Determinantes ....................................126, 127
E
Elipse ......................................................49 a 51
excentricidade ........................................ 50
Equações
da circunferência.....................................47
Em ordem alfabética, 
os termos que remetem 
aos diversos conceitos 
abordados nesta edição
Conteúdo 
matemático 
ÍNDICE REMISSIVO
da hipérbole .............................................. 51
da parábola ............................................... 71
de 1º grau ...................................................65
de 2º grau .............................................71, 72
da reta .........................................................65
sistemas de ................................................66
Escala
de redução ............................................... 20
Richter .......................................................89
Eventos ......................................................... 118
F
Fatorial ..........................................................115
Fórmula de Bhaskara ..................................72 
Funções
análise de sinal .........................................65
conceitos ............................................. 62, 63
domínio ......................................................67
exponenciais .................................... 82 a 85
logarítmicas ........................................90, 91
de 1º grau .......................................... 63 a 65
de 2º grau .......................................... 70 a 75
trigonométricas ..............................100, 101
G
Gráficos ................................................. 37 a 39 
H
Hipérbole.................................................50, 51
I
Inequações ....................................................66
J
Juros ...................................................... 24 a 27 
L
Logaritmo ..............................................86 a 91
M
Matrizes ...............................................124, 125
Média ............................................................ 118
Mediana ....................................................... 118
Moda ............................................................. 118
Montante ...................................................... 24
N
Notação científica ........................................ 81
P 
Parábola ..........................................50, 70 a 75
Permutação ........................................115 a 116
Plano .........................................................32, 33
cartesiano ...........................................36, 37
Poliedros ........................................................53
Polígonos ..............................................40 a 45
Inscritos e circunscritos ...................... 48
Potenciação .........................................80 a 85
Ponto ...................................................... 32 e 45
Porcentagem .......................................... 22, 23
Princípio de Cavalieri .................................55 
Prismas .................................................... 53, 54
Probabilidade.....................................117 a 119
Proporção ................................................19, 20
Progressão aritmética (PA) ............. 106, 107
Progressão geométrica (PG) ........... 108, 109
Q
Quadrantes ........................................ 37, 97, 98
R
Razão ..............................................................22 
Regra de três ................................................. 21
Reta .........................................................33 a 35
coeficiente angular ................................ 64
coeficiente linear ................................... 64
equação da ................................................65
posição relativa ..................33 a 35, 68, 69
S
Sistemas de equação....................................66
Seno ....................................................... 97 a 99
lei dos senos .............................................99
Sólidos geométricos ........................... 52 a 57
T
Tangente ........................................... 97, 98, 99
Teorema 
de Pitágoras .............................. 44, 45, 98 
de Tales ....................................................35
Trapézio ........................................................ 42
Triângulos ............................... 42 a 45, 96, 97
na circunferência trigonométrica ...97, 98
retângulos ................................. 44, 45, 98
semelhança de................................. 96, 97
V
Volume .................................................... 56, 57 
equivalência de ......................................56
10
FÓRMULAS E CONCEITOS
GE MATEMÁTICA 2017
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
Permutação simples: PnS = n!
Permutação com repetição: 
Pn
a,b, c,... = a!b! c!...
n!
Arranjo simples: 
 
A n,p = (n – p) !
n!
Arranjo com repetição: An,pr = np
Combinação simples:
Cn,p = p!
An,p
= (n–p) !p!
n!
ÁREA DE FIGURAS PLANAS 
Retângulo: A = base . altura
Quadrado: A = lado . lado = lado2
Losango:
A = 2
diagonalmaior . diagonalmenor
Trapézio:
A = 2
(basemaior + basemenor) . h
Paralelogramo: A = base . altura
Triângulo: 
 A = 2
base . altura
Círculo: A = π . r2
CIRCUNFERÊNCIA
Comprimento: P = 2 . π. r
Equação: Se o centro estiver nas 
coordenadas C (0, 0): xQ
2 + yQ
2 = r2
Se o centro não coincidir com (0, 0): 
(xQ – xC)
2 + (yQ – yC)
2 = r2
ELIPSE 
Equações: 
 sempre com a > b
a2
x 2 +
b 2
y2
= 1
a2
x –mQ V2
+
b2
y – nQ V2
= 1, sempre coma 2 b
Excentricidade: e = a
c
FUNÇÃO DE 1º GRAU
f(x) = y = a . x + b, em que
• a é o coeficiente angular da reta:
a = 3 x
3 y
= (x A – x B)
(y A – yB)
= (x B – x A)
(y B – yA)
• b é o coeficiente linear da reta é o valor 
de y quando x = 0
Raiz da função é o valor de y no ponto 
em que a reta cruza o eixo x:
y = a . x + b & 0 = a . x + b & x = – a
b
FUNÇÃO DE 2º GRAU
Forma geral: y = a . x2 + b . x + c
Forma fatorada: y = a . (x – x1) . (x – x2)
Forma canônica: y = a . (x – xV)2 + yV
Fórmula de Bhaskara
x = 2 .a
–b ! b2– 4 . a .c
Coordenadas do vértice da parábola:
x v = – 2 .a
b yv = – 4 . a
D
JUROS
Simples: J = C . i . n
Compostos: Mn= C . (1 + i)n
LOGARITMOS
Logaritmo do produto:
logb (a . c) = logb a + logbc
Logaritmo do quociente:
log b ( c
a ) = log ba – log b c
log b ( a
1 ) = – log ba
Logaritmo de potência:
logb(a
n) = n . logba e logb(b
n) = n
Mudança de base do logaritmo: 
log c a = log b c
log ba
MATRIZES
Diagonais:
 diagonal 
 principal 
A = A11 A21 
 A12 A22
Matriz identidade:
 1 0 0
I = 0 1 0
 0 0 1
Soma de matrizes:
 a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13
Aij + Bij = a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23
 ... ... ... 
 aij + bij aij + bij aij + bij
Multiplicação por um número:
 k . a11 k . a12 k . a13
k . Aij = k . a21 k . a22 k . a23
 ... ... ... 
 k . aij k . aij k . aij
Uma lista de conceitos 
e fórmulas desta edição
Para não 
esquecer 
diagonal
secundária
Multiplicação de matrizes:
Os elementos da matriz P produto de 
A1 . A2 são obtidos pela multiplicação dos 
elementos de cada linha de A1 pelos ele-
mentos correspondentes de cada coluna 
de A2. Depois, os resultados são somados.
PA E PG
Termo geral de uma PA: 
an = a1 + (n – 1) . r, para n ≥ 2
Soma dos termos de uma PA:
Sn = 2
n . (a 1 + an)
Termo geral de uma PG: 
an = a1 . q
n - 1, n ≥ 2
Soma dos termos de uma PG finita:
Sn = q– 1
a 1 . (qn–1)
para q ! 1 
Soma dos termos de uma PG infinita:
lim Sn = q –– 1
a 1
n " 3
POTENCIAÇÃO
Notação científica: 
n = a . 10x, em que 1 ≤ a < 10
Propriedades:
• am . an = am + n 
• am : an = am – n
• (am)n = am . n
� a–b = a
1S Xb
• a n
m
= amn
• (m.n) b = m b . nb
� n
mS Xb =
nb
m b
• a0 = 1, desde que a ≠ 0 
 
PROBABILIDADE 
Eventos independentes: 
P (A + B) = P (A) . P (B)
União de dois eventos:
P (A , B) = P (A) + P (B) – P (A + B)
Média aritmética: É a soma de todos os 
valores dos elementos de um conjunto 
dividida pelo número total de elementos 
do conjunto. 
Média ponderada: Leva em consideração 
 o peso de cada elemento do conjunto.
Mediana: É a medida central de uma 
lista de medidas colocadas em ordem 
crescente, ou decrescente. 
Moda: É o valor que mais aparece em 
uma série de dados.
TRIÂNGULOS
 
Teorema de Pitágoras: c2 = a2 + b2
Razões trigonométricas: 
sen a = hipotenusa
cateto oposto a a
cos a = hipotenusa
cateto adjacente a a
tg a = cateto adjacente aa
cateto oposto a a
Lei dos senos:
 sen a
a = sen b
b = sen c
c
Lei dos cossenos:
a2 = b 2 + c2 – 2 .b . c. cos a
VOLUME DE SÓLIDOS
Esfera: v = 3
4 . r . r 3
Prisma: v = Abase . h
Pirâmide: v = 3
1 . Abase . h
Cilindro: v = r . r 2 .h
Cone: v = 3
1 . r . r 2 .h
14 GE MATEMÁTICA 2017
1
NÚMEROS E OPERAÇÕES
CONTEÚDO DESTE CAPÍTULO
arrow Conjuntos numéricos .....................................................................................16
arrow Razão e proporção ...........................................................................................19
arrow Juros .....................................................................................................................24
arrow Como cai na prova + Resumo .......................................................................28
Os estados brasileiros e o Distrito Federal estão com as contas no vermelho. Algu-mas mais, outras menos, as 27 unidades 
da federação chegaram a 2015 com a contabi-
lidade negativa, grande parte delas incapaz de 
pagar fornecedores e quitar dívidas. E, no ge-
ral, o maior credor dos estados é a União. Em 
maio de 2016, São Paulo devia ao governo fede-
ral mais de 220 bilhões de reais, Minas Gerais, 
80 bilhões, Rio de Janeiro e Rio Grande do Sul, 
57 e 52 bilhões, respectivamente. Sem dinheiro, os 
governos paralisam obras, atrasam o pagamento 
dos salários de servidores e não conseguem repor 
materiais básicos em hospitais e postos de saúde. 
Em dezembro de 2015, o Rio de Janeiro decretou 
estado de emergência na saúde pública e durante 
cinco meses amargou greves de professores.
Diversos fatores contribuem para o saldo 
negativo nas contas dos estados. Redução em 
tarifas públicas derruba a arrecadação do Impos-
to sobre Circulação de Mercadorias e Serviços 
(ICMS), importante fonte de recursos estaduais. 
A valorização do salário mínimo, que é corrigido 
acima da inflação desde 2003, engorda a folha de 
pagamento, que também tem sido inchada nos 
últimos anos por novas contratações e reajustes 
salariais concedidos pelos governos estaduais, 
em contrapartida ao aumento das receitas. 
A atual dívida com a União foi contraída entre 
1997 e 1999, quando, para salvar os estados, o go-
verno federal assumiu o pagamento aos credores, 
concedendo aos governadores prazos e índices de 
correção mais favoráveis. No entanto, as regras e 
a situação econômica do país mudaram. Hoje, os 
valores das parcelas são atualizados segundo a 
variação da taxa básica de juro (Selic) e corrigidos 
pelo mecanismo de juros compostos – o que au-
menta o valor da dívida de maneira exponencial. 
Os governadores pedem a troca dos juros com-
postos por juros simples.
Mas o governo federal 
não cede. A substituição faria com que o Tesouro 
Nacional deixasse de receber 313 bilhões de reais. 
Enfim, as partes chegaram a um acordo em junho 
de 2016: o prazo para quitação foi expandido, e 
as parcelas serão pagas com abatimentos grada-
tivamente menores: na primeira, o desconto será 
de 94,5%, na segun-
da, 89%, e assim por 
diante, retrocedendo 
a cada mês 5,5 pontos 
percentuais. 
Porcentagens, juros 
simples e compostos 
são alguns dos temas 
que você revê neste 
capítulo.
Aumento de gastos e redução de receitas arruínam 
as finanças dos estados e levam governadores a 
negociar com o governo federal a dívida com a União 
Devem, mas pagam 
quando puderem
FORA DAS ESCOLAS 
Professores da rede estadual 
de ensino do Rio de Janeiro 
permaneceram em greve 
entre março e julho de 2016. 
Os docentes pedem aumento 
salarial e reclamam do 
atraso nos pagamentos
15GE MATEMÁTICA 2017 
C
E
LS
O
 P
U
P
O
/F
O
TO
A
R
E
N
A
16 GE MATEMÁTICA 2017
NÚMEROS E OPERAÇÕES NÚMEROS E CONJUNTOS
Conceitos 
fundamentais
As ferramentas 
básicas usadas em todas 
as operações, da simples 
contagem aos cálculos 
mais complexos
Assim como qualquer campo do conhecimento – física, química, história ou geografia –, a mate-
mática tem também sua própria lingua-
gem, composta de símbolos e conceitos. 
O primeiro e mais importante deles são 
os números. Sem eles, não seria possível 
contar, medir, ordenar e classificar. 
Não se sabe ao certo que povo de-
senvolveu a ideia abstrata de número. 
Mas os historiadores têm como certo 
que o conceito surgiu da necessidade 
de contar objetos e seguir um calen-
dário. O sistema de contagem deve ter 
se iniciado com o uso dos dedos, há 
milhares de anos, e de pedras, uma para 
cada unidade. Depois vieram peque-
nas placas de argila –, cada uma delas 
também representando uma unidade. 
Os incas criaram os quipus, um sistema 
de cordas e barbantes com nós.
Os numerais, ou algarismos – os 
símbolos gráficos que representam os 
números –, teriam aparecido bem mais 
tarde, com a escrita. E a uma certa al-
tura da história, o comércio criou a 
necessidade de se registrar e comuni-
car a contagem de mercadorias e seus 
valores. Antropólogos têm registro de 
ossos, pedras e pedaços de madeira de 
pelo menos 5 mil anos com marcas es-
cavadas com o que eles supõem tenham 
sido os primeiros numerais. 
Atribui-se aos egípcios a invenção dos 
primeiros símbolos numéricos mais for-
mais, na forma de hieróglifos. Os romanos 
criaram os algarismos romanos: I, V, X, 
L, C, D e M. Hoje a matemática faz uso, 
no mundo todo, dos algarismos indo- 
arábicos: 1, 2, 3... 10, 11, 12... Acredita-se 
que esses algarismos tenham sido criados 
na Índia, também há milhares de anos. 
IS
TO
C
K
17GE MATEMÁTICA 2017 
VIAGEM NO TEMPO 
Milênios se passaram 
desde a criação dos 
algarismos indo-
arábicos, na Índia. 
Mas até hoje, por mais 
avançada que seja a 
tecnologia, são estes 
os algarismos que 
usamos no dia a dia
Os números utilizados em contagens 
são chamados números concretos – 
cada número representa certa quantida-
de de “coisas” reais. O zero, que repre-
senta a ausência, o nada ou o vazio, não 
é um número concreto, mas um numeral 
de posição. Dependendo do local em que 
o zero é colocado, os numerais anteriores 
ou posteriores assumem diferentes va-
lores. Por exemplo, no sistema decimal, 
que tem como base o 10, o numeral 1 
representa uma unidade. Mas, seguido 
de um zero (10), são dez unidades; e 0,1 
representa um décimo de uma unidade. 
Conjuntos
A teoria dos conjuntos é uma área da 
matemática que você não precisa conhe-
cer com profundidade para o Enem. Mas 
seus conceitos são fundamentais para 
compreender enunciados e, assim, chegar 
SAIBA MAIS
ALGARISMOS ROMANOS
O sistema de notação por algarismos romanos – que empregamos 
hoje apenas para classificar e ordenar elementos, como nos capítulos 
de um livro – dispensa o número zero. Nele, as letras I, V, X, L, C, D e M 
simbolizam quantidades básicas: 1, 5, 10, 50, 100, 500 e 1000, respecti-
vamente. A posição e o número de vezes em cada um desses símbolos 
é repetido definem dezenas, centenas e milhares.
ALGARISMOS ARÁBICOS ALGARISMOS ROMANOS
1, 2, 3, 4 I, II, III, IV
5, 6, 7, 8 V, VI, VII, VIII
9, 10, 11... 19, 20 IX, X, XI... XIX, XX
50 L
54 LIV
100 C
111 CXI
500 D
591 DXCI
1000 M
1008 MVIII
à resposta correta das questões. Conjunto, 
você sabe: é um grupo de elementos:
• o conjunto formado pelos números 
nas faces de um dado é 
 D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; 
• já o conjunto dos números pares de 
um dado é P = {2, 4, 6};
• e o conjunto dos ímpares é I = {1, 3, 5}.
Os conjuntos também podem ser re-
presentados pelo diagrama de Venn. 
Os diagramas para os conjuntos D, P e 
I, acima, são:
1I P
D
3
5
2
4
6
Observe o diagrama e repare:
• O número 6 pertence (∈) aos con-
juntos D e P. Então, 6 ∈ D e 6 ∈ P; 
• Mas o número 3 não pertence (∉) 
a P. Então, 3 ∉ P;
• Todos os elementos de P e de I estão 
contidos (⊂) em D. Então, 
P ⊂ D e I ⊂ D.
• No sentido inverso, D contém (⊃) 
P e I. Então, D ⊃ P e D ⊃ I. 
Podemos fazer diversas operações 
entre conjuntos:
• A união (∪) é a combinação dos 
elementos dos conjuntos. No nosso 
exemplo, I ∪ P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = D.
• A intersecção (∩) é o conjunto 
formado por elementos comuns 
aos conjuntos. No caso do exem-
18 GE MATEMÁTICA 2017
NÚMEROS E OPERAÇÕES NÚMEROS E CONJUNTOS
NA PRÁTICA
CONJUNTOS NUMÉRICOS
1. Encontre os valores de x que tornam 
verdadeira a expressão 2x – 5 < 0.
Expressões matemáticas como esta, em 
que em vez do sinal de igual (=) temos 
sinais de maior (>), menor (<), menor-igual 
(≤) ou maior-igual (≥), são chamadas ine-
quações. E são resolvidas como equações 
(veja no capítulo 3).
2x – 5 < 0 
2x < 0 + 5 → x < 
A resposta é o conjunto S = {x ∈ R | x < }. 
2. Quais os valores de x (x ∈ Z*) que 
atendem às duas condições abaixo?
(I) x – 3 ≤ 1
(II) – 1 < < 3
Se x ∈ Z*, então x é um número inteiro, 
diferente de zero. Essa condição restringe 
os valores do conjuntos solução SI e SII.
Resolvendo as inequações (I) e (II):
• Para a condição I: 
 x – 3 ≤ 1 → x ≤ 1 + 3 → x ≤ 4 
SI = {... -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4} 
• Para a condição II: deve estar no in-
tervalo {-1, 1, 2} 
Então, 
 – 1 < → – 2 < x;
e < 3 → x < 3 . 2 → x < 6.
SII = {-1, 1, 2, 3, 4, 5}
O valor que atende a ambas as condições é 
a intersecção dos conjuntos SI e SII – ou seja, 
o conjunto cujos elementos pertencem aos 
dois conjuntos, ao mesmo tempo: 
I ∩ II = {-1, 1, 2, 3, 4} 
Pelo diagrama de Venn:
5
I ∩ II
-2
-1
1
2
3
4
6
-3
-4
...
III
 
SÍMBOLOS DA TEORIA DOS CONJUNTOS
SÍMBOLO SIGNIFICADO
{ } Conjunto
∈, ∉ Pertence, não pertence
∣ Tal que
⊃ Contém
⊂ Está contido
∩ Intersecção de conjuntos
∪ União de conjuntos
∅ Conjunto vazio
N Conjunto dos 
números naturais
Z Conjunto dos números inteiros
Q Conjunto dos 
números racionais
I Conjunto dos 
números irracionais
R Conjunto dos números reais
* Exceto o zero
+ / – São válidos valores positivos 
e negativos
TOME NOTA 
plo dos números pares e ímpares 
de um dado, o conjunto da intersec-
ção entre I e P é um conjunto vazio 
(nenhum número é ímpar e par ao 
mesmo tempo): I ∩ P = Ø
Conjuntos numéricos
Os números também podem ser agru-
pados em conjuntos:
• O conjunto dos números naturais 
(N) é N = {0, 1, 2, 3...}. Repare que 
este conjunto é infinito. 
• O conjunto dos números inteiros 
(Z) reúne os números naturais e seus 
opostos: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. 
Este também é um conjunto infinito.
 
• O conjunto dos números
racionais 
(Q) é a união dos números inteiros 
e as frações resultantes da divisão 
entre quaisquer deles: Q = { | a ∈ 
Z e b ∈ Z*}. Traduzindo: o conjunto 
Q é formado pelos números obtidos 
pela divisão de a por b, tal que ( � ) a 
pertence ao conjunto dos números 
inteiros e b pertence ao conjunto 
dos inteiros com exceção do zero 
(Z*). O número b não pode assumir 
o valor zero porque a divisão por 
zero não é definida.
• O conjunto dos números irracio-
nais (I) é o dos números que não 
podem ser obtidos da razão entre 
dois números inteiros. O π é um 
número irracional. A raiz de alguns 
números também é um número ir-
racional – por exemplo, √2 e √3.
A união entre todos os conjuntos de 
números acima forma o conjunto dos 
números reais (R). No diagrama de 
Venn, essa união é representada assim:
I R
Q
ZN
A teoria dos conjuntos é frequente-
mente utilizada em álgebra, principal-
mente em inequações, e em probabili-
dade (veja os capítulos 3 e 7). 
ATENÇÃO
O conjunto C resultante 
da união de A e B 
contém os elementos 
que se encontram em 
A ou em B. Já o 
conjunto D resultante 
da intersecção de A e 
B contém os elementos 
que se encontram 
ao mesmo tempo 
em A e em B.
19GE MATEMÁTICA 2017 
NÚMEROS E OPERAÇÕES RAZÃO E PROPORÇÃO
Um dos principais domínios da matemáti-ca é usar a lógica para estabelecer rela-ções entre valores e grandezas. Relações 
entre grandezas são aquelas em que o valor de 
uma grandeza varia, dependendo do valor de 
outra. Fazemos relações entre grandezas em 
diversas atividades do cotidiano, como a ener-
gia elétrica consumida a cada dia e a conta que 
chega no final do mês, ou a proporção entre os 
ingredientes de uma receita.
A principal razão entre grandezas é aquela que 
envolve o conceito de proporção, quando uma 
grandeza cresce ou decresce proporcionalmente 
a outra: quanto mais tempo você passa no banho, 
maior é a quantidade de água gasta. E se uma 
barra de chocolate for dividida entre amigos, 
quanto maior o número de amigos, menor será 
o pedaço que caberá a cada um. 
Valores que 
conversam entre si
A proporção entre grandezas é usada 
tanto na confecção de mapas quanto 
no cálculo da concentração de gases 
do efeito estufa na atmosfera
ORDEM NATURAL 
Quando brota, um ramo 
de samambaia cresce 
numa curva que segue a 
chamada proporção divina
4F
R
/i
ST
O
C
K
20 GE MATEMÁTICA 2017
NÚMEROS E OPERAÇÕES RAZÃO E PROPORÇÃO
Diretamente proporcionais
Algumas grandezas mantêm uma relação di-
retamente proporcional. Isso ocorre quando 
uma grandeza cresce e a outra também cresce. 
No banho, o volume de água consumida cresce 
em proporção direta ao tempo em que o chuveiro 
permanece ligado. Veja:
Um chuveiro libera 12 litros de água por mi-
nuto. Quantos litros uma pessoa gasta num 
banho de 5 minutos?
Podemos construir uma tabela com valores da 
quantidade de água gasta em função do tempo 
de duração de um banho:
Tempo (min)
1 2 3 4 5
Volume de água (L) 12 24 36 48 60
ARTE SOB MEDIDA 
As figuras que 
Michelangelo desenhou e 
pintou na Criação de Adão, 
no teto da Capela Sistina, 
seguem um ideal 
de proporções do 
corpo humano
NA PRÁTICA
A PROPORÇÃO NAS ESCALAS
Uma das principais aplicações práticas da noção de pro-
porção é a confecção de mapas. Todo mapa representa 
uma realidade reduzida. E essa redução obedece à regra 
de proporção, nas medidas lineares (distâncias). 
Veja o mapa ao lado:
Repare na indicação da escala, no canto inferior direito. 
Cada trecho do tamanho do segmento ali representado 
vale 459 km. 
A proporção se mantém, também, na área, só que ele-
vada ao quadrado. Um quadrado de 459 km de lado 
tem área de 459 . 459 = 210 681 km2. Se dobrarmos o 
tamanho dos lados do quadrado para 918 km, teremos 
uma área quatro vezes maior: A = 918 . 918 = 842 724 km2.
ACRE
AMAZONAS
RONDÔNIA
RORAIMA
PARÁ
AMAPÁ
MARANHÃO
TOCANTINS
MATO GROSSO
MATO GROSSO 
DO SUL
RIO GRANDE DO SUL
PARANÁ
SANTA CATARINA
SÃO PAULO
GOIÁS
MINAS
GERAIS
RIO DE JANEIRO
ESPÍRITO SANTO
BAHIA
PIAUÍ
CEARÁ
RIO GRANDE 
DO NORTE
PERNAMBUCO
PARAÍBA
ALAGOAS
SERGIPE
ESCALA
0 459 KM
Repare: quanto mais tempo se passa no banho, 
mais água se consome. E esse consumo aumenta 
de maneira proporcional: para 1 minuto, 12 L, 
para 2 minutos, 2 . 12 L = 24 L, e assim por diante. 
Em 5 minutos, o consumo é de 5 . 12 L = 60 L. 
Em resumo, se dobrarmos o tempo de banho, 
a quantidade de água consumida também do-
bra; se o tempo for triplicado, o gasto de água 
também é triplicado. 
Inversamente proporcionais
Duas grandezas são inversamente propor-
cionais quando uma cresce e a outra cai, sempre 
uma em proporção à outra. Veja o exemplo:
Todas as provas em sua escola valem 100 pon-
tos. Mas as provas podem ter diferentes números 
de questões. Assim, cada questão terá um valor 
R
E
P
R
O
D
U
Ç
Ã
O
21GE MATEMÁTICA 2017 
NA PRÁTICA
REGRA DE TRÊS
Seu chuveiro deixa cair 12 L de água por minuto. Quanto 
você economizará de água se reduzir em 30 segundos 
o tempo do banho?
A regra de três:
1 min – 12 L
30 seg – x L
Antes de resolver a regra de três, vamos uniformizar as 
unidades minuto e segundo. Precisamos adotar uma 
única. Sabemos que 1 minuto tem 60 segundos, então 
30 segundos valem 0,5 minuto. Montando de novo a 
regrinha de três:
1 min – 12 L
0,5 min – x L
Fazendo a multiplicação em cruz, obtemos:
1 min – 12 L
0,5 min – x L
1 . x = 0,5 . 12 → x = 6 L
A cada 30 segundos de redução do tempo de banho, 
são economizados 6 L de água.
Da mesma forma, você pode descobrir pela regra de três 
quantos minutos dura um banho em que são consumidos 
40 litros de água. Novamente multiplicando em cruz:
1 min – 12 L
x min – 40 L
12 . x = 40 . 1 → x = → x = min
Transformando minuto em segundo, ficamos com 
x = . 60 seg orn x = 3
600
x = 200 seg ≅ 3 min 20 seg
Uma regra de três pode ser construída a partir de qual-
quer par de valores relacionados. No caso do chuveiro, 
chegaríamos ao mesmo tempo de 3 min 20 seg se par-
tíssemos do consumo, por exemplo, em 2 minutos. Veja: 
2 min – 24 L
x min – 40 L
x . 24 = 2 . 40 = = min ≅ 3 min 20 seg
diferente, dependendo da prova. Quanto maior 
o número de questões, menor o valor de cada 
questão. Para 100 questões, o valor de cada uma 
é de 1 ponto. Já numa prova de 50 questões, cada 
uma deve valer 2 pontos, e assim por diante. 
Numa tabela, temos:
Número de questões
1 2 4 5 10
Valor de cada questão 100 50 25 20 10
Repare que, à medida que a quantidade de 
questões aumenta, o valor de cada uma diminui 
de maneira proporcional. Quando uma das gran-
dezas dobra, a outra cai pela metade; quando 
uma cai para 1/4, a outra é quadruplicada. 
Regra de três
Qualquer relação de proporcionalidade direta 
entre grandezas pode ser encontrada pela regra 
de três. Para isso, basta conhecer um valor e a 
relação entre dois outros valores (a e b). Veja:
a – b
x – y
Lemos: a está para b assim como x está para y.
Para encontrar a proporção entre esses valo-
res, multiplicamos em cruz:
x . b = a . y
Se você conhece a, b e x, descobre o valor de y: 
A regra de três também funciona para gran-
dezas inversamente proporcionais. Com uma 
diferença importante: neste caso, não multi-
plicamos em cruz, mas linha a linha.
No exemplo das provas acima, se para 100 
questões cada uma vale 1 ponto, quanto valerá 
cada questão se a prova for composta por apenas 
40 questões? 
Montando a regra de três:
Para 100 questões arrowhead cada uma vale 1 ponto
Para 40 questões arrowhead cada uma vale x pontos
Assim, 1 . 100 = 40 . x
x = 100 : 40 = 2,5 pontos
Este é o valor de cada
questão numa prova 
com 40 questões.
22 GE MATEMÁTICA 2017
NÚMEROS E OPERAÇÕES RAZÃO E PROPORÇÃO
wedge O QUE ISSO TEM A VER 
COM A QUÍMICA 
A concentração é 
tema do estudo de 
misturas e soluções. 
A concentração pode 
ser dada em termos 
de massa, de volume 
e, também, mol 
(número de átomos, 
moléculas ou íons).
Razão
Em alguns casos, a proporção entre duas 
grandezas é expressa como razão – a divisão 
de dois números, a por b. Nesse caso, a razão 
pode receber um nome especial. É o caso de 
porcentagem, densidade ou partes por milhão 
(abreviadamente, ppm).
Densidade
 Densidade é uma grandeza física – o valor 
obtido da divisão da massa pelo volume de um 
material. A densidade de uma substância ou 
mistura é dada pela razão d = m/V, em que m 
é a massa e V, o volume. A unidade de medida 
para densidade pode ser g/cm3, g/L ou kg/L. 
A densidade de qualquer substância é me-
dida em laboratórios e utilizada como forma 
de avaliar o nível de pureza do material. Por 
exemplo, quando técnicos da ANP (Agência 
Nacional do Petróleo) fazem fiscalização nos 
distribuidores ou postos de combustível, eles 
medem a densidade de amostras da gasolina 
ou do etanol dos tanques e das bombas. Se tiver 
havido acréscimo de água ou outra substância 
qualquer, a densidade se altera – o que compro-
mete a qualidade do combustível. 
 
Porcentagem
A porcentagem também pode ser calculada 
por regra de três. Esse tipo de cálculo aparece 
quando se deseja comparar uma parte com o 
todo. É fácil entender. Veja:
• Você tem um inteiro – digamos uma barra 
de chocolate.
• Se dividimos essa barra em cem pedaços 
menores, a barra inteira representa todas as 
100 partes – ou seja, a razão 100/100;
• Uma única parte representa 1 parte sobre 
100 – ou seja 1%; 2 partes, 2/100 = 2%. E 
assim por diante. Daí a palavra “por cento”.
Concentração
A concentração de uma solução é uma gran-
deza química que mede a proporção entre a 
quantidade de soluto e a quantidade total de so-
lução, em massa (mg/kg) ou em volume (cm3/m3 
ou L/106L).
Quando a quantidade de soluto é muito menor 
que o volume total da solução, ou da mistura, em vez 
de porcentagem costuma-se usar a unidade partes 
por milhão (ppm). Nas questões relacionadas ao 
aquecimento global, a medida de concentração dos 
gases do efeito estufa na atmosfera é dada nessa 
unidade (veja o Saiu na imprensa na pág. ao lado). 
NA PRÁTICA
DENSIDADE
Sabendo que a densidade do etanol é de 0,8 g/mL, qual 
a massa de 200 litros do combustível?
A densidade – a razão entre a massa e o volume – perma-
nece constante se a medida for feita à mesma pressão e 
temperatura, não importa se trabalhamos com 1 mL ou 
1 000 L de etanol. Por outro lado, a relação entre volume 
e massa é diretamente proporcional. Então, podemos 
montar a regra de três:
0,8 g – 1 mL 
 x g – 200 L 
A primeira coisa a fazer é uniformizar as unidades. Você 
sabe que 1 L = 1 000 ml. Então, temos:
0,8 g – 1 mL 
 x g – 200 000 mL
Esta é uma relação diretamente proporcional. Multipli-
cando em cruz, temos:
x . 1 = 0,8 . 200 000 → x = 200 000 . 0,8 → x = 160 000 g
Transformando g em kg e mL em L, novamente, temos 
que 200 L de etanol têm massa de 160 kg. 
NA PRÁTICA
PORCENTAGEM
Uma caixa d’água com capacidade 2 000 litros contém 
260 litros de água. Qual a porcentagem do volume da 
caixa ocupado por essa água?
O “inteiro” (100%) é a capacidade total da caixa: 2 000 L. 
Queremos descobrir a quantos por cento correspondem 
os 260 L de água que ela contém. Pela regra de três, temos
2 000 L – 100%
 260 L – x%
2 000 . x = 260 . 100 → 
E se a caixa for reabastecida até ficar com 520 L de água?
De novo, a regra de três:
2 000 L – 100%
 520 L – x% 
Fazendo as contas, chegamos ao resultado: 520 L de 
água correspondem a 26% da capacidade total da caixa. 
Repare: 520 L são o dobro de 260 L. Do mesmo modo, 
26% é o dobro de 13%. Essa relação de proporção é válida 
para qualquer valor dado em porcentagem. 
wedge O QUE ISSO TEM A VER 
COM A FÍSICA 
A densidade de um 
material depende 
de seu estado físico, 
da temperatura e 
da pressão a que 
ele está submetido. 
Mas não depende da 
quantidade ou da 
massa. Ou seja, se 
1 kg de determinada 
substância ocupa 
um volume de 2 L, 
então, no mesmo 
estado físico e nas 
mesmas condições 
de temperatura e 
pressão, 2 kg 
ocuparão 4 L. 
23GE MATEMÁTICA 2017 
NA PRÁTICA
CONCENTRAÇÃO
Estima-se que 0,00014% do ar, em volume, é composto 
de metano, um gás inflamável, resultante da digestão de 
matéria orgânica. Veja que esse valor em porcentagem 
é muito baixo. Este é um caso em que convém aumen-
tar a base de cálculo de porcentagem para partes por 
milhão (ppm). Veja:
0,00014% = 
Queremos saber quanto 0,00014/100 representa em 1 mi-
lhão. 1 milhão é um número grande, que pode ser escrito 
como uma potência: 106 (veja potências no capítulo 4). 
Pela regra de três: 
0,00014 – x 
100 – 1 . 106 
100 x = 0,00014 . 106 
 → x = 1,4 
Portanto, 0,00014% equivalem a 1,4 partes por milhão. 
E em 106 L de ar existe 1,4 L de metano.
SAIBA MAIS
A PROPORÇÃO DIVINA
Por mais que pareça livre e desordenada, a nature-
za tem muitas formas que obedecem a regras rígidas 
de proporção. A espiral de uma folha de samambaia 
crescendo, como a da foto na pág. 19, por exemplo, 
segue uma curva que se abre unindo vértices opostos 
de quadrados cada vez maiores. As medidas dos lados 
desses quadrados seguem sempre a mesma sequência 
de proporção: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... O mesmo acontece 
com a concha dos caracóis.
1 1
2
3
5
8
Esta é a sequência de Fibonacci. Nela, cada número é 
a soma dos dois termos que o antecedem: 
2 é a soma 1 + 1; 3 é a soma de 2 + 1; 5 é a soma 3 + 2, 
e assim por diante. 
Além disso, a divisão de um termo por seu antecessor 
sempre dá um número próximo a 1,6. E quanto mais à 
frente da sequência estiverem os termos, mais a pro-
porção se aproxima desse valor. 
Essa proporção, chamada proporção áurea ou divina, 
foi adotada por pintores e escultores, como o italiano Leo - 
nardo da Vinci, em seu quadro mais famoso, Mona Lisa.
EL NIÑO ELEVOU CONCENTRAÇÃO 
DE GÁS DO EFEITO ESTUFA A NÍVEL 
RECORDE EM 2016
O fenômeno El Niño aumentou este ano a emissão 
de dióxido de carbono (CO2) na atmosfera, de acordo 
com um estudo publicado esta semana na revista Nature 
Climate Change. Por isso, 2016 terminará como o primeiro 
ano em que a concentração do gás será superior a 400 
partes por milhão (ppm) (...)
“A concentração de CO2 devido à ação humana está 
aumentando a cada ano, mas desta vez o El Niño deu 
um empurrão. Os ecossistemas tropicais estão mais 
quentes e secos, reduzindo sua absorção de carbono e 
aumentando os incêndios florestais” – comenta Richard 
Betts, autor principal do estudo (...)
A tendência de aumento das emissões de gás de efeito 
estufa em Mauna Loa começou a ser estudada desde 
1958 (...) Suas primeiras medidas registraram em torno 
de 315 ppm de dióxido de carbono. Sessenta anos mais 
tarde, o índice tem aumentado, em média, a uma taxa 
anual de 2,1 ppm (...) Atualmente o CO2 em Mauna Loa 
está acima de 400 ppm (...) 
O Globo, 13/6/2016
SAIU NA IMPRENSA
D
A
N
JI
M
E
N
O
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ST
O
C
K
24 GE MATEMÁTICA 2017
NÚMEROS E OPERAÇÕES JUROS
O custo 
do dinheiro
Juro é o valor que se paga a mais 
por um valor emprestado, ou que se 
recebe por um investimento 
Juro é um conceito do mundo financeiro que está presente no dia a dia de empresas, go-vernos e cidadãos. Por exemplo, os governos 
pagam juros por empréstimos feitos no exterior 
(dívida externa); as indústrias pagam juros 
quando financiam a compra de equipamentos; 
o consumidor paga juros aos bancos se entrar 
no
cheque especial e os investidores recebem 
juros por aplicações financeiras, como depósitos 
na caderneta de poupança.
Juro é o custo do dinheiro, uma porcentagem 
do valor original emprestado, que o devedor 
deve pagar depois de certo período. É como se 
o tomador do empréstimo pagasse um aluguel 
pelo dinheiro que lhe foi cedido. 
A quantia emprestada (ou investida), sobre 
a qual incidem os juros, é o capital. E o capital 
acrescido de todos os juros chama-se montante. 
MAIS FÁCIL, 
MAS MAIS CARO 
Quando parcelam 
o preço de um produto, 
as lojas cobram uma 
quantia a mais, a cada 
mês – os juros
B
R
U
N
O
 V
E
IG
A
25GE MATEMÁTICA 2017 
A taxa de juros é o valor, em porcentagem, a ser 
pago a cada dia, mês ou ano, até a quitação total 
da dívida – ou o valor, também em porcentagem, 
que o aplicador recebe por um investimento. 
Juros simples
São lançados sobre a quantia original, numa 
taxa fixa a cada período. Não importa em quantos 
dias, meses ou anos o empréstimo será pago, a 
taxa de juros será sempre a mesma e será sempre 
calculada sobre o capital inicial. Veja o exemplo:
Sua classe planeja uma viagem de formatu-
ra, por um pacote turístico que custará a cada 
aluno R$ 1 200,00. Alguns de seus colegas não 
dispõem dessa quantia. Então, a agência de 
viagens propõe que o valor seja dividido em 
seis parcelas – a 1ª delas, paga 30 dias depois 
da compra –, com juros de 5% ao mês. 
Ao dividir o pagamento, a agência está finan-
ciando a viagem – ou seja, emprestando dinheiro 
a quem não consegue pagar pelo pacote, à vista. 
Por esse empréstimo, a agência cobra juros.
Se o valor do pacote (R$ 1 200,00) é dividido 
em seis vezes, a cada mês o viajante deve pa-
gar R$ 200,00. Só que, por esse parcelamento, 
a agência cobra 5% a cada mês sobre o valor 
inicial da dívida, os R$ 1 200,00:
 
A cada mês, então, o viajante deverá pa-
gar R$ 60,00 a mais, além dos R$ 200,00. 
Ao final dos seis meses, terá pago seis pres-
tações de R$ 260,00. Isso significa que o 
pacote turístico terá saído não mais por 
R$ 1 200,00, mas por R$ 1 560,00. Ou seja, o 
pacote saiu 30% mais caro. Veja:
1 200 – 100%
1 560 – x%
x = 130%
Desses 130%, 100% correspondem ao valor 
original do pacote de viagem e 30%, ao acrés-
cimo de R$ 60,00 mensais durante seis meses.
O total de juros simples é dado por:
J = C . i . n, em que:
• J são os juros;
• C é o capital;
• i é a taxa de juros;
• n é o número de períodos (que podem ser 
dias, meses ou anos). 
O montante (M) é dado por:
M = C + J = C + C . i . n 
M = C . (1 + i . n)
NA PRÁTICA
JUROS SIMPLES
Um produto custa R$ 3 500, para pagamento em três 
prestações. Para pagamento à vista, a loja dá um des-
conto de 10%. Caso o comprador pague em uma única 
parcela 30 dias depois da compra, o preço sofrerá um 
acréscimo de 8%. Responda:
a) Quanto o comprador deve desembolsar em cada uma 
dessas situações? 
b) A taxa de juros do cheque especial é de 12,5% ao mês. 
Vale a pena o comprador gastar R$ 1 500 do cheque 
especial para fazer a compra à vista, com desconto? 
a) À vista: com o desconto de 10%, o produto custa 90% 
do preço de tabela. Pela regra de três, temos:
3 500 – 100%
 x – 90%
100 . x = 3 500 . 90 → x = 315 000 / 100 → x = R$ 3 150
Este é o preço do produto à vista. O comprador eco-
nomiza R$ 350.
Para pagamento 30 dias após a compra: acréscimo de 8% 
sobre o valor original. De novo, pela regra de três, temos
3 500 – 100%
 x – 8%
x = 3 500 . 8 / 100 → x = R$ 280
Somando essa diferença ao preço original, o comprador 
pagará R$ 280 a mais, ou seja, R$ 3 780.
b) Supondo que o comprador reponha os R$ 1 500 do 
cheque especial em um mês, o montante que ele pa-
gará corresponde ao capital emprestado acrescido de 
12,5% desse valor:
1 500 – 100%
 x – 12,5%
x = 187,50 reais
Somando esses R$ 187,50 ao valor do produto com des-
conto: 3 150 + 187,50 = R$ 3 337,50. Este é o montante.
Ainda com os juros altos do cheque especial, o valor de 
R$ 3 337,50 é menor do que o valor pago 30 dias depois 
da compra (R$ 3 780). Nesse caso, vale a pena avançar 
no negativo.
26 GE MATEMÁTICA 2017
NÚMEROS E OPERAÇÕES JUROS
Juros compostos
Juros simples, você viu, é uma taxa fixa por 
mês, sempre sobre o valor original do finan-
ciamento ou empréstimo (o capital). Já juros 
compostos são aqueles que incidem sobre o 
montante de cada mês – ou seja, são juros 
calculados sobre valores que já têm juros em-
butidos. A taxa é sempre a mesma, mas o valor 
que ela representa varia. 
Voltando ao exemplo da viagem de formatura, 
que vimos há pouco: a fim de pagar pela viagem 
de formatura, um aluno preferiu fazer uma pou-
pança e depositou, em julho, R$ 800,00 numa 
aplicação financeira que rendia 2,6% ao mês. A 
passagem será comprada em novembro. Veja na 
tabela abaixo quanto ele conseguirá acumular 
nesses quatro meses.
Período
Saldo inicial 
no período 
(capital)
Rendimento 
no período 
(juros)
Saldo no fim 
do período 
(montante)
Julho 800,00 800,00 . 2,6% 800,00 + 20,80 = 820,80
Agosto 820,80 820,80 . 2,6% 820,80 + 21,34 = 842,14
Setembro 842,14 842,14 . 2,6% 842,14 + 21,90 = 864,04
Outubro 864,04 864,04 . 2,6% 864,04 + 22,46 = 886,50
TOME NOTA 
A taxa Selic subiu de 
12,25% para 12,75% 
entre fevereiro e março 
de 2015. Isso não 
significa que a taxa 
tenha subido 0,50% 
nesses dois meses. 
A taxa teve uma alta de 
0,5 ponto percentual. 
SAIBA MAIS
TAXA DE JUROS NO BRASIL
No Brasil, a taxa de juros cobrada pelos bancos é base-
ada na taxa Selic – uma taxa básica, estabelecida pelo 
Banco Central. Se a Selic sobe, os bancos também elevam 
a taxa cobrada em financiamentos, empréstimos e che-
que especial. As autoridades monetárias usam dessa ló-
gica para controlar a quantidade de dinheiro que circula 
pelo mercado, o nível de consumo e a inflação. Quando 
a ideia é incentivar o consumo, o Banco Central baixa a 
taxa Selic; se quer reduzir o consumo, aumenta a taxa. 
O aumento da taxa de juros tem dois efeitos: de um 
lado, as pessoas compram menos porque, para financiar 
a compra, pagarão juros mais altos. De outro lado, as 
indústrias também reduzem a compra de equipamen-
tos, porque o financiamento custa caro. Com isso, as 
empresas deixam de crescer e de contratar mão de obra. 
No sentido inverso, quando a taxa cai, as indústrias 
investem e voltam a contratar, e o consumidor compra 
mais – a economia se aquece. Mas aí entra outro fator: o 
risco de elevar a inflação. Inflação é o aumento no preço 
de produtos e serviços, provocado pela queda no valor 
da moeda do país. Entenda: se no mês passado 1 quilo 
de laranjas saía por R$ 3,50 e este mês custa R$ 4,50, 
cada real que você tem na carteira passou a valer menos. Fonte: Banco Central do Brasil
GANGORRA FINANCEIRA O Banco Central manobra a taxa básica de juros tentando manter a economia 
em movimento e a inflação sob controle. Elevar a taxa é um dos mecanismos para combater a inflação. 
Com taxas altas, as pessoas reduzem as compras a prazo. O consumo cai e, para vender, o comércio e a 
indústria seguram os preços – a inflação fica sob controle. Mas, produzindo e vendendo menos, as lojas 
e fábricas contratam menos. Se a economia desacelera muito, o Banco Central volta a baixar a taxa.
12
15
9
6
J A S O N D J F M A M J J A S O N D J A S O N DJ F M A M J
2013 2014 2015
Taxa Selic, em % ao ano
EVOLUÇÃO DA TAXA DE JUROS
8,50%
10,50%
11%
12,25%
13,75%
14,25%
Ao final dos quatro meses de aplicação do 
capital de R$ 800,00, seu colega terá juntado 
um montante de R$ 886,50. 
Abatendo essa quantia dos R$ 1 200,00 (valor 
do pacote), ele precisará financiar R$ 313,50. 
O rendimento da aplicação é mensal, então 
o período é 1 mês; o número de períodos
é o 
número de meses em que o capital permaneceu 
aplicado: 4. Repare que o montante ao final de 
cada período se transforma no capital do mês 
seguinte. É sobre esse capital – agora engordado 
– que incidirá a taxa de juros de 2,6%. 
A fórmula para o cálculo do montante em 
juros compostos é:
Mn = C (1 + i)n , em que:
• M é o montante (valor final, depois de aplica-
dos todos os juros);
• C é o capital (o valor inicial sobre 
o qual incidem os juros);
• i é a taxa de juros;
• n é o período em que os juros 
incidem sobre o capital.
Em juros compostos, n é expoente 
da taxa. Por isso se o capital aumen-
ta, o novo montante também aumen-
ta num ritmo cada vez mais rápido 
– mesmo com a taxa de juros igual. 
27GE MATEMÁTICA 2017 
PARA COPOM, QUEDA DA INFLAÇÃO ESTÁ COM 
VELOCIDADE 'AQUÉM DA ALMEJADA'
O Comitê de Política Monetária (Copom) do Banco Central, colegiado responsável 
por fixar os juros básicos da economia, avaliou, por meio da ata de sua última reu-
nião, que o processo de queda da inflação no Brasil “tem procedido em velocidade 
aquém da almejada” e acrescentou que o “balanço de riscos” indica não haver 
espaço para corte de juros. Na semana passada, o Copom manteve a taxa básica 
de juros da economia estável em 14,25% ao ano, o maior patamar em dez anos (...) 
O Banco Central também avaliou, no documento, que “há riscos de curto prazo 
para a inflação no Brasil”. (...) 
A taxa de juros é o principal mecanismo usado pelo BC para controlar a inflação. 
Ao subir os juros ou mantê-los elevados, o BC encarece o crédito. O objetivo é 
reduzir o consumo no país para conter a inflação que tem mostrado resistência. 
Entretanto, os juros altos prejudicam a atividade econômica e, consequentemente, 
inibem a geração de empregos.
Portal G1, 26/7/2016
SAIU NA IMPRENSA
NA PRÁTICA
JUROS COMPOSTOS
Uma aplicação financeira promete remunerar em 1,8% 
ao ano o capital investido. Se você aplicar R$ 2 000,00 
quanto terá depois de dois anos?
Este cálculo é de juros compostos porque no segundo 
ano os juros de 1,8% devem incidir sobre o capital inicial 
já acrescido dos juros do primeiro ano. 
Então Mn = C . (1 + i)n, em que:
C = R$ 2 000
i = 1,8% = 
n = 2 anos
M = 2 000 . (1 + )2
M = 2 000 . 1,036324
M ≈ 2 072,65
Depois de dois anos de aplicação, a 1,8% ao ano, 
você terá R$ 2072,65 – ou seja, R$ 72,65 de juros.
NA PRÁTICA
JUROS COMPOSTOS
A fatura do cartão de crédito de João, em março, era de 
R$ 1 200,00. Desse total, João só pôde pagar R$ 800,00. 
Sabendo que os juros cobrados pelo cartão são de 15% 
ao mês, responda:
a) Quanto João deve pagar, se quitar o restante da dívida 
no mês seguinte, abril?
b) E se ele deixar para quitar o restante da dívida em maio?
a) João pagou R$ 800,00 do total de R$ 1 200,00 que 
devia. Ficou devendo R$ 400,00. Se pagar em abril, os 
15% a mais representam juros simples sobre os R$ 400,00 
devidos em março. Simples regra de três:
400 – 100%
 x – 15%
x = 60
João pagará R$ 60,00 a mais se quitar a dívida em abril 
– ou seja, R$ 460,00.
b) Se ele deixar para quitar os R$ 400,00 em maio, 
o cálculo é de juros compostos – a cada mês a taxa de 
15% incide sobre o valor devido naquele mês. De março 
a maio são dois meses. Então:
Mn = C . (1 + i)n
C = 400; i = 15/100; n = 2
M = 400 . (1 + )2 → M = 400 . 1,3225 → M = 529
Se adiar a quitação da dívida para maio, a dívida original, 
de R$ 400,00, se transformará em R$ 529,00. 
SAIBA MAIS
SPREAD BANCÁRIO
Os juros que são pagos aos bancos são sempre maio-
res que as taxas da Selic. Isso porque as instituições 
financeiras incorporam o chamado spread bancário. O 
spread é a diferença entre o que um banco paga como 
rendimento de investimentos de seus correntistas e o 
que recolhe de juros para emprestar dinheiro. 
Nem todo o spread é lucro. Incluem-se ali, também, outros 
valores, como o risco estimado de inadimplência (falta de 
pagamento) dos tomadores de empréstimo e os custos 
administrativos da instituição (veja o gráfico abaixo).
37%
14%
8%
4%
37%
* Valores arredondados
Resíduo 
(inclui o lucro do banco)
Tributos e taxas 
pagos pelo banco
Depósito compulsório 
(que os bancos são 
obrigados a fazer no BC)
Risco de inadimplência
Custos administrativos
O QUE COMPÕE O SPREAD BANCÁRIO*
Fonte: BC/FSP
A GORDA FATIA DO LUCRO Estes são os componentes do spread 
bancário – a diferença entre as taxas de juros que os bancos 
cobram de quem toma empréstimo ou financia a aquisição de 
bens e aquela que a instituição paga como retorno do dinheiro 
deixado nas aplicações financeiras. Repare que nem tudo é 
lucro, mas este representa uma boa fatia da pizza.
28 GE MATEMÁTICA 2017
COMO CAI NA PROVA
1. (IFPE 2016) Em uma cooperativa de agricultores do município de Vitória 
de Santo Antão, foi realizada uma consulta em relação ao cultivo da cultura 
da cana-de-açúcar e do algodão. Constatou-se que 125 associados cultivam a 
cana-de-açúcar, 85 cultivam o algodão e 45 cultivam ambos. Sabendo que todos 
os cooperativados cultivam pelo menos uma dessas duas culturas, qual é o 
número de agricultores da cooperativa? 
a) 210 b) 255 c) 165 d) 125 e) 45
RESOLUÇÃO
Podemos representar a situação do enunciado por um diagrama de Venn. Veja:
125 - 45 = 80
cana-de-açúcar algodão
85 - 45 = 4045
Repare:
• Na parte central do diagrama estão os cooperados que cultivam tanto algodão 
quanto cana-de-açúcar – ou seja, a intersecção dos dois conjuntos.
• O texto diz que 125 cooperados cultivam cana-de-açúcar e outros 85 que cultivam 
algodão – ou seja, entre esses 125 e 85 estão, também, os cooperados que cultivam tanto 
cana quanto algodão. Por isso, tiramos 45 (intersecção) dos dois lados do diagrama. 
Somando as quantidades que restam, temos: 45 + 80 + 40 = 165 
Resposta: C
2. (CFTMG 2016) Numa fábrica de peças de automóvel, 200 funcionários 
trabalhando 8 horas por dia produzem, juntos, 5 000 peças por dia. Devido à 
crise, essa fábrica demitiu 80 desses funcionários e a jornada de trabalho dos 
restantes passou a ser de 6 horas diárias. Nessas condições, o número de peças 
produzidas por dia passou a ser de 
a) 1 666 b) 2 250 c) 3 000 d) 3 750
RESOLUÇÃO:
A produção diária é diretamente proporcional ao número de funcionários e à 
quantidade de horas que eles trabalham por dia. Um aumento ou uma redução 
em qualquer uma dessas variáveis produzem um aumento ou diminuição pro-
porcional na produção. 
Chamando de P a produção diária de peças, de F a quantidade de funcionários 
e de t a quantidade de horas trabalhadas, temos 
P = k . F . t, em que k é uma constante de proporcionalidade – ou seja, o valor que 
vai determinar a proporção entre o número de funcionários e o de peças produzidas.
Pelo enunciado sabemos que 5 000 = k . 200 . 8
k = 5 000 → k = 5 000
 200 . 8 1 600
Simplifi cando a fração, fi camos com
k = 25 peças por funcionários . hora
 8
Se o ritmo de produção é o mesmo, o valor de k não muda. 
O número de empregados caiu de 200 para 120 (80 foram demitidos); e a jornada 
de trabalho foi reduzida de 8 para 6 horas. Portanto, a produção também deve 
cair. E cai na mesma proporção de k = 25 peças por funcionários . hora.
 8
Temos, então: p = 25 . 120 . 6 = 2 250 peças
 8
Resposta: B
3. (UEG 2016) Com a alta da infl ação e para não repassar aos clientes o 
aumento dos gastos na produção de suco de laranja, um empresário decidiu 
que no próximo mês 10% do volume desse suco será composto por água, 
volume que atualmente é de apenas 4%. Se hoje
são consumidos 10 000 litros 
de água no volume de suco de laranja produzido, mantendo-se a mesma 
quantidade produzida, no próximo mês a quantidade de água consumida no 
volume desse suco será de 
a) 10 000 litros
b) 12 500 litros
c) 16 000 litros
d) 25 000 litros
RESOLUÇÃO
Sabemos que, antes do período de infl ação, 4% do volume de suco produzido 
representava 10 000 litros de água. Com isso, montamos a regra de três para 
descobrir o volume total de suco (incluindo a água) produzido em um mês:
10 000 → 4%
x → 100%
x = 250 000 L de suco puro produzido ao mês.
A quantidade de água subiu para 10% do volume de suco – ou seja, 10% sobre o 
total da produção mensal, de 250 000. A água consumida no mês seguinte será 
de 25 000 litros.
Resposta: D
4. (Uerj 2016) Na compra de um fogão, os clientes podem optar por uma das 
seguintes formas de pagamento:
• à vista, no valor de R$ 860,00; 
• em duas parcelas fi xas de R$ 460,00, sendo a primeira paga no ato da compra 
e a segunda 30 dias depois.
A taxa de juros mensal para pagamentos não efetuados no ato da compra é de: 
a) 10% b) 12% c) 15% d) 18%
RESOLUÇÃO
Se o comprador optar por pagar em duas vezes, não incidirão juros sobre 
a primeira parcela. Pagando R$ 460,00 no ato da compra, restam como dívida 
R$ 860,00 – R$ 460,00 = R$ 400,00.
Esse valor deve ser quitado na segunda parcela. 
Mas esta, por sua vez, se mantém no valor da primeira parcela (R$ 460,00). Ou seja, 
o comprador pagará R$ 60,00 acima do valor original da dívida. Esses R$ 60,00 são 
os juros cobrados sobre os R$ 400,00. Agora, simples regra de três
400 → 100%
 60 → x%
Multiplicando em cruz, temos 400 x = 60 . 100
x = 6 000 = 15%
 400
Resposta: C
29GE MATEMÁTICA 2017 
RESUMO
Números e operações
PROPORÇÃO E RAZÃO Duas grandezas são diretamente propor-
cionais se uma cresce e a outra também, no mesmo ritmo; inver-
samente proporcionais são as grandezas que, quando uma cresce, 
outra diminui, sempre proporcionalmente. Algumas grandezas 
são expressas como razão de duas grandezas: densidade (massa/
volume) e concentração (% de soluto sobre total da solução).
JURO é o custo do dinheiro, cobrado em empréstimos e finan-
ciamentos, ou pago aos investidores. Capital é a quantia sobre 
a qual recaem os juros. Montante é a quantia total depois da 
incidência de juros sobre o capital. Juros simples são lançados 
sobre o capital, numa taxa fixa a cada período (dia, mês ou ano). 
A fórmula: J = C . i . n. Nos juros compostos, o montante de 
cada período transforma-se no capital do período seguinte. 
A fórmula: Mn = C . (1 + i)n.
CONJUNTOS O conjunto C = A U B (união de A e B) contém os 
elementos que se encontram em A ou em B. O conjunto C = A ∩ B 
(intersecção de A e B) contém os elementos que se encontram 
em ambos os conjuntos, ao mesmo tempo.
SÍMBOLO SIGNIFICADO
{ } Conjunto
∈, ∉ Pertence, não pertence
∣ Tal que
⊃ Contém
⊂ Está contido
∩ Intersecção de conjuntos
∪ União de conjuntos
∅ Conjunto vazio
N Conjunto dos números naturais
Z Conjunto dos números inteiros
Q Conjunto dos números racionais
I Conjunto dos números irracionais
R Conjunto dos números reais
* Exceto o zero
+ / – São válidos valores positivos 
e negativos
CONJUNTOS NUMÉRICOS
I R
Q
ZN
5. (Epcar 2016) O dono de uma loja de produtos seminovos adquiriu, parcela-
damente, dois eletrodomésticos. Após pagar 2/5 do valor dessa compra, quando 
ainda devia R$ 600,00, resolveu revendê-los. Com a venda de um dos eletrodo-
mésticos, ele conseguiu um lucro de 20% sobre o custo, mas a venda do outro 
eletrodoméstico representou um prejuízo de 10% sobre o custo. Com o valor total 
apurado na revenda, ele pôde liquidar seu débito existente e ainda lhe sobrou a 
quantia de R$ 525,00. A razão entre o preço de custo do eletrodoméstico mais caro 
e o preço de custo do eletrodoméstico mais barato, nessa ordem, é equivalente a 
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2
RESOLUÇÃO
Vamos chamar o valor pago pelo eletrodoméstico mais caro de a e o valor do mais 
barato de b. Se após pagar 2/5 da compra restou uma dívida de R$ 600,00, então 
esse valor representa 3/5 da compra, ou seja, do valor de a + b . Sendo assim, 
 3 (a + b) = 600
5
Multiplicando em cruz, ficamos com a + b = 600 . 5 → a + b = 1 000
 3
O enunciado diz que o comerciante vendeu o produto de valor a com lucro de 20%. 
Pelo raciocínio de porcentagem, temos:
100% – 1
20% – x 
→ 20% = 0,2 
Mas esses 20% (0,2) são de lucro e, portanto, devem ser somados aos 100% do 
preço de compra. Ficamos, então, com (1 + 0,2) . a = 1,2 . a
O mesmo raciocínio para o valor b, de venda do segundo produto. Só que agora 
a venda foi com prejuízo de 10%. Então,
100% – 1 
10% – x 
→ 10% = 0,1 
Como esses 10% foram de prejuízo, esse valor deve ser subtraído do valor de 
compra: (1 – 0,1) . b = 0,9 b.
O enunciado informa que o resultado das duas vendas foi suficiente para pagar 
o restante da dívida (R$ 600) e ainda rendeu ao comerciante R$ 525. 
Você se lembra: para resolver duas equações com duas variáveis, montamos o 
sistema de equações:
a + b = 1 000 (I)
1,2 a + 0,9 b = 1 125 (II)
Definimos o valor de uma variável em função de outra.
Assim, isolando a variável a da primeira equação, obtemos: a = 1 000 – b (III).
Substituindo (III) na equação (II), temos:
1,2 (1 000 – b) + 0,9 b = 1 125
1 200 – 1,2 b + 0,9 b = 1 125
– 0,3 b = – 75 
b = 75 /0,3 → b = 250
Substituindo o valor de b em (III), temos que
a = 1 000 – 250 = 750.
Assim, a razão pedida é a = 750 = 3
 b 250
Resposta: C
30 GE MATEMÁTICA 2017
2
GEOMETRIA
CONTEÚDO DESTE CAPÍTULO
arrow Ponto, reta e plano ..........................................................................................32
arrow Plano cartesiano ..............................................................................................36
arrow Gráficos................................................................................................................38
arrow Polígonos ............................................................................................................40
arrow Cônicas ................................................................................................................46
arrow Sólidos .................................................................................................................52
arrow Como cai na prova + Resumo .......................................................................58
Para os norte-americanos, o dia 4 de julho é tradicionalmente coroado com chuvas de fogos de artifício, em comemoração à 
Independência dos Estados Unidos. Este ano, 
uma equipe de engenheiros da agência espacial 
norte-americana (Nasa) teve sua festa particular, 
sem fogos, mas com muitos gritos e aplausos. 
O motivo: a sonda Juno chegara a Júpiter. De-
pois de viajar por cinco anos, percorendo uma 
trajetória cheia de voltinhas, de quase 3 bilhões 
de quilômetros, a sonda passou 35 minutos 
fazendo uma série de manobras para entrar 
na órbita do planeta. Qualquer desvio, e a nave 
seria atraída e destruída pela incrível gravidade 
do gigante gasoso. Juno vai dar 37 voltas em 
torno de Júpiter, durante um ano, estudando 
sua atmosfera, seu campo magnético e gravita-
cional. Os pesquisadores esperam com isso des-
vendar detalhes da formação do Sistema Solar. 
E, de quebra, compreender a dinâmica de sis-
temas extrassolares – planetas em torno de 
estrelas distantes.
De todos os corpos que giram ao redor do Sol, 
Júpiter é de
longe o maior, tanto em tamanho 
quanto em massa. Seu diâmetro é dez vezes 
maior que o da Terra, e sua massa, 318 vezes. 
Mas o mais interessante para a missão científica 
de Juno é que Júpiter é, provavelmente, o pri-
meiro a ter se formado, há cerca de 4,6 bilhões 
de anos, capturando poeira e gases resultantes 
da explosão de uma estrela que existia, no lugar 
onde hoje está o Sol. Os cientistas não sabem 
ainda o que se esconde debaixo dos milhares 
de quilômetros de nuvens, sequer se Júpiter 
tem um núcleo sólido, como a Terra. A resposta 
pode vir da missão Juno. 
Esta não é a primeira vez que uma sonda bisbi-
lhota Júpiter. Em 1995, a sonda Galileu, também 
da Nasa, entrou, pela primeira vez, em órbita do 
planeta, e lançou uma sonda filha, que mergu-
lhou durante quase uma hora em sua atmosfera. 
Dessa missão, os cientistas descobriram que 
mais de 90% da atmosfera joviana é composta de 
hidrogênio. Antes de ser vaporizada, a sondinha 
registrou temperaturas de 300 graus Celsius e 
ventos de mais de 600 quilômetros por hora. 
Como os demais pla-
netas do Sistema Solar, 
Júpiter descreve uma 
órbita elíptica em torno 
do Sol. Elipse é um dos 
temas deste capítulo. 
Aqui você vê, também, 
o cálculo de área e de 
volume das principais 
figuras geométricas.
A sonda Juno, da Nasa, chega à órbita do maior 
planeta do Sistema Solar, prometendo desvendar 
segredos da origem dos demais planetas
Júpiter recebe 
um bisbilhoteiro
VISITANTE XERETA 
A sonda Juno chegou a 
Júpiter em 2016 e vai passar 
um ano enviando dados 
sobre a composição e a 
dinâmica da atmosfera, a 
magnetosfera e o campo 
gravitacional do planeta
31GE MATEMÁTICA 2017 
JP
L-
C
A
LT
E
C
H
/N
A
SA
2
32 GE MATEMÁTICA 2017
GEOMETRIA PONTO, RETA E PLANO
Só duas 
dimensões
Retas e ângulos são os 
elementos essenciais das 
figuras geométricas lineares
Geometria é a área da matemática que estuda o espaço e as figuras que ocupam esse espaço – suas 
formas, suas dimensões e as relações 
que podem ser estabelecidas entre elas. 
O espaço estudado pela geometria pode 
ser plano ou tridimensional.
Plano, ponto e reta
Plano é definido como um objeto 
geométrico que tem apenas duas di-
mensões: comprimento e largura. O 
elemento mais simples de um plano 
é o ponto, uma entidade que não tem 
dimensões. Bastam três pontos para 
definir um plano. 
O segundo elemento mais simples 
é a reta – um conjunto de infinitos 
pontos, enfileirados, sempre em uma 
mesma direção e nos dois sentidos. Ou 
seja, qualquer reta tem comprimento 
infinito, mas não tem largura. Para de-
finir uma reta precisamos de apenas 
dois pontos. 
Os geômetras adotam algumas con-
venções, que você deve conhecer:
• pontos são normalmente batizados 
com letras maiúsculas: A, B, C, O...;
• retas são geralmente indicadas por 
letras minúsculas: r, t, s...;
• e planos costumam ser indicados 
por letras do alfabeto grego: α (alfa), 
β (beta) e γ (gama).
ponto
P
r
planoreta
α
33GE MATEMÁTICA 2017 
Posições da reta 
em relação ao plano
Uma reta pertence a um plano se pelo 
menos dois de seus pontos pertencerem 
a esse plano. 
Se isso acontecer, então todos os ou-
tros pontos da reta também pertencerão 
ao plano. Veja:
A
B
r
α
A e B ∈ r; A e B ∈ α arrowhead r ∈ α 
Ou seja, a reta r está contida no pla-
no α.
Uma reta pode ser paralela a um pla-
no. Nesse caso, nenhum de seus pontos 
pertence ao plano:
C D s
α
C e D ∈ s; C e D ∉ α arrowhead s ∉ α. 
Portanto, a reta s é paralela a α.
Uma reta pode, finalmente, cortar o 
plano em um ponto qualquer.
P
t
α
t ∩ α = P arrowhead t é secante ao plano
Posição relativa de retas
Pensando na reta como um conjunto 
de pontos e usando a linguagem dos 
conjuntos, fazemos relações entre elas. 
Duas retas que ocupam um mesmo pla-
no podem ser:
• Paralelas: não têm ponto em comum.
r
s
α
Lembrando que toda reta é infinita, se 
duas retas não forem paralelas, elas se 
cruzarão em algum lugar. Inversamente, 
se a intersecção do conjunto de pontos 
da reta r com o conjunto de pontos da 
reta s for um conjunto vazio, as retas são 
obrigatoriamente paralelas:
r // s ) r ∩ s = ∅ 
O sinal ) indica que a recíproca é 
verdadeira. 
• Concorrentes: são retas que se cru-
zam e têm um único ponto em comum. 
rs α
P
Duas retas quaisquer r e s são con-
correntes quando a intersecção entre os 
conjuntos de pontos de cada uma delas 
resulta num conjunto de um único ponto: 
r ∩ s = {P}.
Ângulos
Quando duas semirretas (trechos de 
uma reta) têm origem em um mesmo 
ponto e seguem direções diferentes, 
elas dividem o plano em duas regiões 
chamadas ângulos. O ponto de origem 
das semirretas é denominado vértice 
dos ângulos (O). Os ângulos, como os 
planos, também costumam ser repre-
sentados por letras do alfabeto grego. 
A
BO
ângulo α (convexo)
ângulo β 
(não convexo)
OB
OA
O REAL ACHATADO 
O plano, como o 
do papel em que o 
desenho ao lado é 
feito, admite apenas 
figuras de duas 
dimensões
D
R
A
Z
E
N
 L
O
V
R
IC
/i
ST
O
C
K
2
34 GE MATEMÁTICA 2017
GEOMETRIA PONTO, RETA E PLANO
Duas retas que se cruzam dividem o 
plano em quatro regiões distintas, ou 
seja, em quatro ângulos. Veja:
τ
φ
θ
r
O s
λ
Os ângulos λ e τ são opostos pelo 
vértice; θ e φ também são opostos pelo 
vértice. Ângulos opostos pelo vértice são 
congruentes (têm a mesma medida). 
Retas perpendiculares são retas 
concorrentes que se cruzam formando 
quatro ângulos congruentes, cada um 
deles medindo 90° (ângulo reto).
τ φ
θλ
λ = θ = τ = φ = 90º 
NA PRÁTICA
PARALELAS E TRANSVERSAIS
Observe a figura abaixo.
A
D
B C
E
Repare que existem aqui dois triângulos (ABC e ADE). E que os lados DE 
e BC são paralelos. O que se pode dizer sobre os valores dos ângulos 
de vértices em B, C, D e E?
Transversal e paralelas
Duas retas paralelas que são cortadas 
por uma terceira reta (transversal) for-
mam oito ângulos que se relacionam de 
maneira bem específi ca. Acompanhe na 
fi gura as explicações no texto a seguir.
τ φ
θλ
τ' φ'
θ'λ'
t
r
s
• Ângulos adjacentes são ângulos 
que compartilham um mesmo lado:
Entre as retas r e t, são adjacentes os 
pares λ/θ, τ/λ, τ/φ e φ/ θ;
Entre as retas s e t, são adjacentes os 
pares λ’/θ’, τ’/λ’, τ’/φ’ e φ’/θ’.
Os ângulos adjacentes somam 180º 
– ou seja, formam um conjunto de ân-
gulos suplementares.
• Ângulos opostos pelo vértice,
como já vimos, são ângulos que compar-
tilham o vértice, mas não compartilham 
lados. Dois ângulos opostos pelo vértice 
Por partes:
• Se você prolongar as retas dos segmentos BC, DE, AB e AC, vai reco-
nhecer a situação como a de duas retas paralelas (DE e BC) cortadas 
por duas transversais (AB e AC). Veja:
A
D
B C
E
• Em relação à transversal AC, os ângulos com vértices em C e E são 
correspondentes e, portanto, congruentes. O mesmo ocorre com os 
ângulos D e B, em relação à transversal AB.
Esta situação é muito importante para reconhecer a semelhança entre 
triângulos (veja o capítulo 5).
são sempre congruentes. No caso das 
duas paralelas cortadas por uma trans-
versal, são opostos pelo vértice os pares 
λ/φ, θ/ τ, λ’/φ’ e θ’/τ’.
• Ângulos alternos são pares de 
ângulos que estão em lados diferentes 
(alternados) da reta transversal. Dois 
ângulos alternos têm medidas iguais. 
Os alternos são internos quando fi cam 
entre as retas paralelas. Na fi gura, são 
alternos internos os pares τ/θ’ e λ’/φ. 
Ângulos alternos externos são aque-
les que estão na região externa das retas 
paralelas (acima ou abaixo delas). São 
alternos externos os ângulos λ/φ’ e θ/τ’.
• Ângulos colaterais são aqueles que 
ocupam