(20170302200241)Material de Mecanica Geral Parte II

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FACULDADE PITÁGORAS – CAMPUS BETIM 
 
ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MECÂNICA GERAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROF.: ROGÉRIO GONDIM COSTA 
 
 
 
 
 
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1. INTRODUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Partícula: um corpo de dimensões desprezíveis. Uma partícula representa um elemento 
infinitesimal de um corpo. 
 
 
 Corpo rígido: aquele que não se deforma. As deformações que realmente ocorrem são 
pequenas e não alteram sensivelmente as condições de equilíbrio ou de movimento do 
sistema. 
 
 
 
 
 
 
Estática 
 Corpo em equilíbrio: Repouso 
ou movendo em velocidade 
constante. 
Dinâmica 
Trata do movimento acelerado 
de um corpo. 
MECÂNICA 
Ramo das ciências físicas que trata do estado de repouso ou 
movimento de corpos sujeitos à ação de forças. 
Cinemática 
Trata somente dos movimentos 
dos corpos, independentemente 
das forças que os produzem. 
Cinética 
Análise das forças que 
causam o movimento. 
 
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Sistema Internacional de unidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prefixos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. VETORES DE FORÇA 
 
 Grandezas escalares: possui apenas intensidade. Ex: massa, potência, temperatura, tempo, 
volume, trabalho. 
 
 Grandeza Vetorial: possui intensidade, direção e sentido. Ex: velocidade, aceleração, força, 
movimento cinético, quantidade de movimento, torque. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vetor  
2.1. Operações Vetoriais 
 
- Multiplicação e divisão escalares: 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Adição de vetores – Lei do paralelogramo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Adição de vetores colineares: 
 
 
 
 
 
 
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- Subtração de vetores: 
A – B = R’ 
 
 
 
 
 
 
 
2.2. Trigonometria 
 
- Triângulo retângulo: 
 
 a2 = b2 + c2 
 sen α = c/a 
 cos α = b/a 
 tg α = c/b 
 
 
- Triângulos não retângulos: 
 
 
Lei dos cossenos: 𝐶 = √𝐴2 + 𝐵2 − 2𝐴𝐵 cos 𝑐 
 
 Lei dos senos: 
𝐴
𝑠𝑒𝑛 𝑎
= 
𝐵
𝑠𝑒𝑛 𝑏
= 
𝐶
𝑠𝑒𝑛 𝑐
 
 
 
2.3. Decomposição de vetores 
 
Considere o vetor Â: 
 
 
 
 
 
 
 
AX = A cos α AY = A sen α 
 
O módulo de  em função de suas componentes é (teorema de Pitágoras): 
𝑨 = √(𝑨𝑿)𝟐 + (𝑨𝒀)𝟐 
 
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O ângulo α que o vetor faz com o eixo x é: 
 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 
𝐴𝑌
𝐴
 → 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (
𝐴𝑌
𝐴
) 𝑜𝑢, 
𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 
𝐴𝑋
𝐴
 → 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (
𝐴𝑋
𝐴
) 𝑜𝑢 𝑎𝑖𝑛𝑑𝑎, 
𝑡𝑔 𝛼 = 
𝐴𝑌
𝐴
 → 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (
𝐴𝑌
𝐴𝑋
). 
 
2.4. Determinação da Força Resultante 
As duas forças componentes F1 e F2 agindo sobre o pino da figura abaixo (a) podem ser somadas 
para ser formada a força resultante FR (figuras b e c). Aplicando a lei dos senos ou dos cossenos, 
pode-se determinar a intensidade, direção e sentido de FR. 
 
 
 
Exemplos 
1. Determine a intensidade da força componente F da figura e a intensidade da força resultante se 
FR estiver direcionada ao longo do eixo y positivo. 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a lei dos senos: 
𝑭
𝑠𝑒𝑛60°
=
200𝑁
𝑠𝑒𝑛 45°
 ⇒ 𝑭 = 244,95N 
𝑭𝑹
𝑠𝑒𝑛75°
=
200𝑁
𝑠𝑒𝑛 45°
 ⇒ 𝑭𝑹 = 273,21N 
 
 
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2. O gancho da figura está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine a intensidade e a direção da força 
resultante. 
 
 
 
 
 
 
FR será calculado através da lei dos cossenos: 
𝑭𝑹 = √(100𝑁)2 + (150𝑁)2 − 2(100𝑁)(150𝑁) ∙ 𝑐𝑜𝑠115° ⇒ 𝑭𝑹 = 212,55N 
 
A direção de FR a partir da horizontal será φ, sendo que φ = θ – 15
o. 
θ será calculado através da lei dos senos: 
150𝑁
𝑠𝑒𝑛𝜃
=
212,55𝑁
𝑠𝑒𝑛115°
 ∴ 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0,64 ⇒ 𝜃 = 39,76° 
 
φ = θ + 15o = 39,76o + 15o = 54,76o 
 
Exercícios 
1. Determine a intensidade da força resultante que atua sobre a argola e sua direção, medida no 
sentido horário a partir do eixo x. 
 
 
2. Duas forças atuam sobre o gancho. Determine a intensidade da força resultante e sua direção. 
 
 
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3. Determine a intensidade da força resultante e sua direção, medida no sentido anti-horário a 
partir do eixo x positivo. 
 
 
4. Na figura abaixo, se θ = 30o e T = 6 kN, determine a intensidade da força resultante que atua 
sobre a argola e sua direção, medida no sentido horário a partir do eixo x positivo. 
 
5. Na figura do exercício 4, se θ = 60o e T = 5 kN, determine a intensidade da força resultante que 
atua sobre a argola e sua direção, medida no sentido horário a partir do eixo x positivo. 
 
6. Na figura do exercício 4, se a intensidade da força resultante deve ser 9 kN direcionada ao longo 
do eixo x positivo, determine a intensidade da força T que atua sobre a argola e seu ângulo θ. 
 
7. A chapa está submetida a duas forças em A e B, como mostrado na figura abaixo. Se θ = 60o, 
determine a intensidade da resultante das duas forças e sua direção medida no sentido horário a 
partir da horizontal. 
 
8. Na figura do exercício 7, determine o ângulo θ para conectar o membro A à chapa de modo que a 
força resultante de FA e FB seja direcionada horizontalmente para a direita. Além disso, calcule a 
intensidade da força resultante. 
 
 
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9. A caminhonete da figura abaixo precisa ser rebocada usando duas cordas. Determine as 
intensidades das forças FA e FB que atuam em cada corda para produzir uma força resultante de 
950N, orientada ao longo do eixo x positivo. Considere θ = 50o. 
 
 
 
 
 
 
10. A caminhonete do exercício 9 precisa ser rebocada usando duas cordas. Se a força resultante 
deve ser de 950N, orientada ao longo do eixo x positivo, determine as intensidades das forças FA 
e FB que atuam sobre cada corda e o ângulo θ de FB, de modo que a intensidade de FB seja 
mínima. FA atua a 20
o do eixo x. 
 
11. A tora deve ser rebocada por dois tratores A e B, conforme figura abaixo. Determine as 
intensidades das duas forças de reboque FA e FB, levando-se em conta que a força resultante 
tenha uma intensidade de 10kN e seja orientada ao longo do eixo x. Considere θ = 15o. 
 
 
 
12. A resultante FR das duas forças que atuam sobre a tora (figura do exercício 11) deve estar 
orientada ao longo do eixo x positivo e ter uma intensidade de 10kN. Determine o ângulo θ do 
cabo acoplado a B para que a intensidade da força FB nesse cabo seja mínima. Qual é a 
intensidade da força em cada cabo, nessa situação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.5. Notação Vetorial Cartesiana 
É possível representar as componentes x e y de um vetor Força utilizando os vetores cartesianos 
unitários i e j. Cada um desses vetores unitários possui intensidade adimensional igual a um e, 
portanto, podem ser usados para designar as direções dos eixos x e y respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.6. Resultante de Forças Coplanares 
Cada força é decomposta em suas componentes x e y e representada como um vetor cartesiano: 
 
 
 
 
 
 
F1 = F1xi + F1yj 
F2 = – F2xi + F2yj 
F3 = F3xi – F3yj 
 
O vetor resultante é, portanto, 
FR = F1 + F2 + F3 
FR = F1xi + F1yj – F2xi + F2yj + F3xi – F3yj = (F1x – F2x + F3x) i + (F1y + F2y – F3y) j 
FR = (FR x) i + (FR y) j 
A intensidade da força será: 
𝐅𝐑 = √(FR x)2 + (FR y)211 
 
Exercícios 
1. Determine as componentes x e y de F1 e F2 da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
2. O olhal da figura está submetido a duas forças F1 e F2. Determine a força resultante e sua 
intensidade utilizando notação vetorial cartesiana. 
 
 
 
 
 
 
 
3. Determine a força resultante e sua intensidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Se a intensidade da força resultante que atua sobre a argola é 600 N e sua direção no sentido 
horário do eixo x positivo é θ = 30o, determine a intensidade de F1 e o ângulo φ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA 
 
3.1. Condição de equilíbrio de uma partícula 
 
Uma partícula está em equilíbrio quando está em repouso ou quando tem velocidade constante se 
originalmente estava em movimento. Para manter o equilíbrio, é necessário satisfazer a primeira lei 
de Newton, segundo a qual a força resultante que atua sobre uma partícula deve ser igual a zero: 
 
ΣF = 0 
 
onde ΣF é a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre a partícula. 
Isso decorre da segunda lei de Newton, que pode ser descrita como ΣF = m.a. Como a partícula está 
em repouso ou com velocidade constante, tem-se que a = 0, portanto, m.a = 0 e então ΣF = 0. 
 
3.2. Diagrama de Corpo Livre (DCL) 
 
Para aplicar a equação de equilíbrio, devemos considerar todas as forças que atuam sobre a partícula 
(ΣF). Um esboço mostrando a partícula com todas as forças que atuam sobre ela é chamado de 
diagrama de corpo livre (DCL) da partícula. Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para solução de exercícios consideramos que todos os cabos ou fios tem peso desprezível e não se 
deformam (esticam). Além disso, um cabo ou fio pode suportar apenas a força de tração que atua 
sempre em sua direção. 
 
As molas serão consideradas linearmente elásticas e a intensidade da força exercida sobre ela será: 
 
FMola = k.x 
 
Onde k é sua rigidez ou constante da mola e x o alongamento ou encurtamento. 
 
 
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Exemplo: A esfera da figura tem massa de 6kg e está apoiada como mostrado. Desenhe o diagrama 
de corpo livre da esfera, da corda CE e do nó em C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1. Determine a tração nos cabos BA e BC necessária para sustentar o cilindro de 60 kg da figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. A caixa da fig. Tem peso de 2,75 kN. Determine a força em cada cabo de sustentação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Determine a força em cada corda para o equilíbrio da caixa de 200 kg. A corda BC permanece 
na horizontal devido ao rolete em C, e AB tem um comprimento de 1,5 m e y = 0,75m. 
 
 
 
 
 
 
 
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4. Se a massa da viga é 3000 kg e seu centro de massa está localizado no ponto G, determine a 
tração desenvolvida nos cabos AB, BC e BD para o equilíbrio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. O pendente do reboque AB está submetido à força de 50 kN exercida por um rebocador. 
Determine a força em cada um dos cabos de amarração BC e BD, se o navio está se movendo 
para frente em velocidade constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Os membros AC e AB suportam a caixa de 100 kg. Determine a força de tração desenvolvida 
em cada membro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. Determine a tração desenvolvida nos cabos CA e CB necessária para o equilíbrio do cilindro 
de 10 kg, sendo que θ = 40o. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Se o bloco B pesa 1 kN e o bloco C pesa 0,5 kN, determine o peso do bloco D e o ângulo θ 
para o equilíbrio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Determine alongamento nas molas AC e AB para o equilíbrio do bloco de 2 kg. As molas são 
mostradas na posição de equilíbrio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Utilizando a figura do exercício 9, se a mola AB deforma 2 m e o bloco é mantido na posição 
de equilíbrio mostrada, determine a massa do bloco em D.