Flexão e Cisalhamento

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FLEXÃO
E 
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E URBANISMO
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS
E 
CISALHAMENTO
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira
Flexão
Flexão Normal é aquela em que o plano 
de flexão contém um dos eixos principais 
de inércia da seção transversal.
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 2
Flexão Oblíqua é aquela em que o plano 
de flexão não contém um dos eixos 
principais de inércia da seção transversal.
Flexão
Flexão Simples é aquela que se 
verifica com ausência de força 
normal.
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Flexão Composta é aquela que se 
verifica com a presença de força 
normal atuando simultaneamente 
com o momento fletor.
Flexão
Então, pode-se ter:
•Flexão Normal Pura (M);
•Flexão Normal Simples (M e V);
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•Flexão Normal Simples (M e V);
•Flexão Normal Composta (M, V e N);
•Flexão Oblíqua Pura (M);
•Flexão Oblíqua Simples (M e V);
•Flexão Oblíqua Composta (M, V e N).
Flexão Normal Simples
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Flexão Normal Composta
VIGAS
PILARES
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PILARES
My = P Iy
Mz = 0
OBS: 
•Cor azul => Compressão
•Cor vermelha => Tração
Flexão Oblíqua Simples
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Flexão Oblíqua Composta
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My = P Iy
Mz = P Iz
Exemplo Flexão Normal
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Exemplo Flexão Normal
•Flexão Normal Pura => TRECHO BC
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•Flexão Normal Composta => 
TRECHO CD•Flexão Normal Simples => 
TRECHO AB
Flexão Normal Simples em Vigas
Neste estudo serão analisadas 
as tensões internas decorrentes 
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as tensões internas decorrentes 
de momentos fletores.
Flexão Normal Simples em Vigas
Seja uma viga biapoiada com um 
carregamento qualquer e um momento Mx
conhecido na seção S.
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Flexão Normal Simples em Vigas
Isola-se a parte a esquerda de S:
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Flexão Normal Simples em Vigas
Supõe-se que a seção S, plana antes da 
atuação de Mx, continuará plana após a 
atuação deste momento.
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Observando uma fibra “ f ” na parte 
inferior da viga nota-se que seu 
alongamento ∆f é proporcional à y e 
independente de x. 
Flexão Normal Simples em Vigas
Portanto, as tensões normais σ causadas 
por Mx têm distribuição linear ao longo de 
y e independentes de x:
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Flexão Normal Simples em Vigas
Pode-se dizer então que σ = c .y, onde “c” é 
uma constante não nula.
Como as tensões normais são provocadas 
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pelo momento Mx, o momento resultante das 
tensões em relação a x deve ser o próprio Mx.
Assim: M = F . d
Mas σ = F/A , portanto, F = σ . A
Então M = σ . A . d
Flexão Normal Simples em Vigas
No nosso caso tem-se:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 17
Portanto =>
Flexão Normal Simples em Vigas
A Tensão Normal será:
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Tensões de Cisalhamento em 
Vigas
As tensões de 
cisalhamento pode ser 
obtida pela seguinte 
expressão: 
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expressão: 
xIt
SV
⋅
⋅
=τ
Tensões de Cisalhamento em 
Vigas
Onde:
τ é a tensão de cisalhamento no ponto localizado a uma 
distância y da LN;
V é o esforço cortante;
t é a largura da área da seção transversal medida no 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 20
t é a largura da área da seção transversal medida no 
ponto em que τ deve ser determinado;
Ix é o momento de inércia em torno da LN;
S é o momento estático
A’ é a área da seção transversal superior ou inferior, a 
partir de t.
Tensões de Cisalhamento em 
Vigas
Para seção retangular:
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Tensões de Cisalhamento em 
Vigas
Para seção I:
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Para uma viga biapoiada com carga uniformemente
distribuída as tensões normais e de cisalhamento são
mostradas abaixo:
Exemplo Prático
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Tensão de cisalhamento
Tensão normal devido a flexão
Exemplo Prático
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
24
Tensão principal →σ1 = σI
Tensão principal → σ2= σII 
Para os pontos 1, 2, 3, 4 e 5 estão 
representados abaixo:
• Os sentidos das tensões atuantes σx
(σy≈0 ) nos planos x e y; 
Exemplo Prático
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(σy≈0 ) nos planos x e y; 
•Os sentidos das tensões principais σI e σII.
• Os círculos de Mohr que correspondem 
aos estados de tensão atuantes.
Exemplo Prático
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O efeito das tensões tangenciais provocadas pela força cortante é 
o de inclinar as tensões principais em relação ao eixo da peça.
Trajetórias das tensões principais de tração σI e de compressão 
σII . 
Exemplo Prático
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 27
Exemplo Prático
As fissuras surgem perpendiculares as direções 
das tensões principais de tração:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 28
Referências Bibliográficas
GHISI, E., Resistência dos sólidos para 
estudantes de arquitetura, Departamento de 
Engenharia Civil, Universidade Federal de Santa 
Catarina, 2005.
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 29
Catarina, 2005.
HIBBELER, R., C., Resistência dos Materiais, 
Prentice Hall, São Paulo, 5 ed., 2004.