07a-Flexão

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26/10/2018
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CCE0330 – Resistência dos Materiais II
Flexão
Cortantes e Momento fletor em vigas – Tipos de flexão
Propriedades geométricas de super1cies planas;
- momento está*co (ou de 1ª ordem);
- translação de eixos para momentos está*cos;
- determinação do baricentro;
- significado do momento do momento está*co;
- momentos de inércia;
- momento de inércia (ou de 2ª ordem); 
- momento polar de inércia;
- produto de inércia;
- translação de eixos para momentos de inércia;
- rotação dos eixos de inércia;
- eixos e momentos principais de inércia.
Torção
- momento torsor
- hipóteses básicas
- Formula de torção para seções circulares ou tubulares
- Dimensionamento de barras sujeitas a torção
- ângulo de torção
- Tensões de cisalhamento em regime inelástico
- Barras de seção não circular maciças
- Barras de paredes esbeltas
CCE0330 – Resistência dos Materiais II
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Cisalhamento na flexão
- tensões de cisalhamento obtidas pela variação de 
momento;
- fluxo de cisalhamento; 
- distribuição de tensões de cisalhamento para vigas 
com seções simples
- limitações para a formulação de cisalhamento 
- distribuição de tensões de cisalhamento para vigas 
seções com seções compostas
- centro de cisalhamento
Colunas
- estabilidade do equilíbrio
- formula de Euler para diferentes condições de 
extremidade
- Determinação de carga crí*ca de colunas
Flexão 
- *pos de flexão;
- equações de equilíbrio entre momentos e cortantes;
- flexão pura reta;
- distribuição de tensões em função da curvatura;
- posição da linha neutra;
- distribuição de tensões em função do momento;
- determinação de tensões máximas e mínimas,
- módulo de resistência;
- material elasto-plás*co perfeito;
- momento elás*co máximo;
- momento úl*mo;
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Introdução
• As peças longas, quando subme1das à flexão,
apresentam tensões normais elevadas;
• Para se quebrar um lápis, com as mãos, jamais
se cogitaria tracioná-lo, comprimi-lo, torcê-lo ou
cisalhá-lo;
• Um momento fletor de pequeno valor seria
suficiente para produzir tensões de ruptura no
material).
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Flexão de vigas
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• São elementos estruturais capazes de suportar forças transversais ao 
seu eixo, através de ações de flexão e cisalhamento;
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Tensões normais em vigas isostáticas – flexão normal
• Uma estrutura sofrendo flexão se deformará, 
nas suas seções transversais e em cada ponto 
das seções sofrerá:
• Tensões normais de compressão
• Tensões normais de tração
• Tensões tangenciais de cisalhamento
• As tensões de tração, de compressão e de 
cisalhamento variam de:
• seção para seção; 
• ponto a ponto.
Exemplo
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Seja uma viga de aço de 10x30 cm apoiada sobre 
duas colunas e sujeita a uma carga concentrada de 
9,2 > situada no meio do vão. Por ser pequeno, o 
peso próprio da viga será desprezado.
!" + !$ =
9,2
2
= 4,6 +,
-./0 =
1. 3
4
-./0 =
9,2×4,80
4
= 11,04 +,.8
+- − 4,6×2,4 = 0
-./0 = 4,6×2,40 = 11,04 +,.8Q-
M+
Livro Resistência dos Materiais, Botelho, pg.80
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Exemplo (cont.)
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• Analisando a deformação da viga:
• Partes superiores sofrem encurtamento (compressão)
• Partes inferiores estiramento (tracionamento)
Livro Resistência dos Materiais, Botelho, pg. 80
Momento Fletor
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Apos&la Prof. Carlos Fernando M. Pamplona
Em Isostá&ca, quando da análise das relações entre os esforços 
solicitantes em uma viga sob carregamento transversal q(x), temos que:
!"# = 0 → ' = ( ) . +) + (' + +')
+'
+) = −(())
!01 = 0 → 0 + '. +) = ( ) . +).
+)
2 + 0 + +0
+0
+) = '
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Momento Fletor
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• Quando a força cortante Q é nula ao 
longo de uma extensão x da viga, o 
momento fletor M será constante 
(FLEXÃO PURA).
• Da mesma forma, nas seções onde o 
momento fletor é extremo (máximo [+] ou 
mínimo [-]) a força cortante será nula, 
sendo aplicável para tais casos (de 
especial importância) o estudo da flexão 
como sendo pura.
AposQla Prof. Carlos Fernando M. Pamplona
Momento Fletor
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A
p
o
st
il
a
 P
ro
f.
 C
a
rl
o
s 
F
e
rn
a
n
d
o
 M
. 
P
a
m
p
lo
n
a
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Considerando uma seção transversal
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Seja uma seção transversal ao eixo no ponto C.
• Nos pontos da borda superior da seção C acontecem as máximas tensões de 
compressão;
• Nos pontos da borda inferior da seção C acontecem as máximas tensões de tração;
• As tensões de compressão deixam de exis@r e nos primeiros pontos abaixo do eixo 
começam a ocorrer as tensões de tração.
!"
!#
Livro Resistência dos Materiais, Botelho, pg.81
Tensões normais na flexão reta (simétrica)
12
Caso de vigas com seção transversal simétrica em relação ao plano do carregamento:
• A distribuição das tensões normais nos diversos pontos da seção só depende da distância y em 
relação à linha que a divide nas partes tracionada e comprimida (“linha neutra” – LN – Fig. 
5.3.1 – a e b). 
A
p
o
sJ
la
 P
ro
f.
 C
a
rl
o
s 
F
e
rn
a
n
d
o
 M
. 
P
a
m
p
lo
n
a
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Tensões normais na flexão reta (simétrica)
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• Admitindo que a seção transversal permanece plana após girar em torno da LN em 
decorrência da deformação das fibras longitudinais; 
• Concluímos que a linha neutra será reta e que as deformações ε variarão linearmente com 
relação a seu afastamento y em relação à LN (Fig. 5.3 .1– c).
A
p
o
s'
la
 P
ro
f.
 C
a
rl
o
s 
F
e
rn
a
n
d
o
 M
. 
P
a
m
p
lo
n
a
Tensões normais na flexão reta (simétrica)
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• Com base na hipótese de o material atender à lei de Hooke, a 
variação de tensão é linear da linha neutra para as bordas. 
• No caso da seção retangular:
!" = !$ =
%
&/(
• Onde:
• M ➪ momento aplicado
• J ➪ momento de Inércia
• W ➪ módulo de resistência ) =
*
+
!" = !$ =
%
&
. (
!" = !$ =
%
-
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Várias formas de seção – momento de inércia
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Para as formas mais comuns das seções das vigas (retangular, circular, tubular ou composições destas), 
o cômputo dos respec=vos momentos de inércia I em relação a eixo central que contém o centroide da 
área nos fornece, por exemplo: (com e << b ~ h ~ d)
Apos=la Prof. Carlos Fernando M. Pamplona
O momento de inércia I da seção (com dimensão do produto de uma área pelo quadrado de uma 
distância), medido em m no S.I., será́ tanto maior quanto maiores forem as dimensões no sen=do do 
plano do carregamento (note na tabela acima a prevalência das potências das dimensões h quando 
comparadas com as das dimensões b).
Várias formas de seção – tensões máximas e mínimas
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Observando a equação: ! =
#
$
. &
• Verifica-se que altos valores de J corresponderão 
a valores menores de σ
• Nos leva ao emprego de vigas de seção 
transversal cuja área seja distribuída de forma 
mais afastada em relação à linha neutra.
• Exemplo: perfil I
As máximas tensões normais (de tração e de 
compressão), em uma dada seção, ocorrerão 
nas fibras cujas distâncias y em relação à
linha neutra sejam as mais afastadas. 
AposIla Prof. Carlos Fernando M. Pamplona
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Várias formas de seção – módulo de resistência
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A tabela abaixo apresenta valores do módulo de resistência W de algumas formas de 
seção (com e << b ~ h ~ d):
Apos?la Prof. Carlos Fernando M. Pamplona
Exemplo (cont.)
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Vamos calcular as tensões nas seção em C da viga no ponto médio = Mmax
! =
#. ℎ&
12
=
10×30&
12
= 22500 -./
Livro Resistência dos Materiais, Botelho, pg.81
01 = 11,04 45.. = 11,04×10
& 675..
08 = 11,04×10
9 675. -.
:1 = :; =
1104000
22500
×15 -.
:1 = :; ≈ 735 >75/-.
@
:1 = :; =
01
!
ℎ
2
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Exemplo (cont.)
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!" = 49×15 = 735 +,-//0
1
(compressão)
!2 = 49×12 = 588 +,-//0
1
(compressão)
!5 = 0
!7 = 49×10 = 490 8,-//0
1
(tração)
!9 = 49×15 = 735 +,-//0
1
(tração)Livro Resistência dos Materiais, Botelho, pg.82
!: = !; =
1104000
22500
×< ≈ 49×< (/0)
Exercício 01
20
Calcule as tensões normais nos pontos Z e K de uma viga de madeira 6po 
peroba e verifique se esse material pode ser aceito.
A peroba tem !"#$ = 100 ()*/,-
.
Livro Resistênciados Materiais, Botelho, pg.82
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Exercício 01 – solução
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Reações dos apoios:
Livro Resistência dos Materiais, Botelho, pg.82
!" = !$ =
420×6,30
2
= 1323 -./
Momentos nos pontos K e Z:
01 = 1323×1,20 − 420×1,20 ×
1,20
2
01 = 1284 -./.5 = 6789:: ;<=. >?
0@ =
A. BC
8
=
420×6,30C
8
0@ = 2083 -./.5 = 7:8D:: ;<=. >?
E → GH =
128400
106666
×20 = 24 -.//J5C
E → GK =
128400
106666
×20 = 24 -.//J5C
L =
M. ℎO
12
=
20×40O
12
= 106666 J5P
Momento de inércia:
Tensões nos pontos K e Z: Q =
R
S
. T
U → GH =
208300
106666
×20 = 39 -.//J5C
U → GK =
208300
106666
×20 = 39 -.//J5C
A peroba tem 
GWXY = 100 -.//J5
C
✔
LN
Exercício 02
22
Analise a tensão máxima em um poste de concreto simples encravado na base e 
sofrendo no seu topo uma força de 1300 kgf.
A tensão limite é !"#$ = 15 ()*/,-
.
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Exercício 02 – solução
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!" = $×&
!" = 1300 *+, × 470 /0
!" = 611000 *+,. /0
Cálculo do Momento:
Cálculo da tensão máxima: 3 =
4
5
. 6
Momento de inércia:
7 =
8. (:; − =;)
64
=
8×(40;−30;)
64
7 = 85902 /0;
CD = CE =
611000
85902
×20 = 142,25 *+,//0H
A tensão limite é CIJK = 15 *+,//0
H
❌
LN
LN
Exercício 03
24
Para a viga esquema/zada, pede-se determinar, 
nas seções onde a flexão é pura (Q=0), os valores 
das maiores tensões de tração e de compressão.
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Exercício 03 – solução
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Reações dos apoios: !" = 27 &' ( !) = 12 &'
Momentos máximo (Q=0): +" = −9 &'./
+∗ = 10,8 &'./
Centroide da seção:
Momento de inércia:
4 =
15×300 ×150 + (200×20)×310
15×300 + (200×20)
4 = 225,3 //
; =
15×300<
12
+ 300×15 × 225,3 − 150 = +⋯
…+
200×20<
12
+ 200×20 × 225,3 − 310 =
; = 88095098×10@ //A = 88,09×10B@ /A
Exercício 03 – solução
26
Momento de inércia: ! = 88,09×10)* +,
Tensões nos pontos de Q=0 (em A e *): 
- =
.
/
. 1
23 =
9000
88,09×10)*
× 0,320− 0,2253 = 9,67×10* :/+<
2= =
9000
88,09×10)*
× 0,2253 = 23,02×10* :/+<
2= =
10800
88,09×10)*
× 0,320− 0,2253 = 11,61×10* :/+<
23 =
10800
88,09×10)*
× 0,2253 = 27,62×10* :/+<