Prévia do material em texto
NIVELAMENTO DA DISCIPLINA CÁLCULO I Professores: Elainne Ferreira Jefferson Silva Lauriano Souza Manoel Ricardo Silvia Viviane Manaus/AM - 2017 UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS - UEA ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA - EST CICLO BÁSICO DE ENGENHARIA ÍNDICE 1. Polinômios e Operações com polinômios 2. Funções Polinomiais 2.1. Funções Afins 2.2. Funções Quadráticas 3. Funções Exponenciais e Logarítmicas 3.1 Funções Exponenciais 3.2 Funções Logarítmicas 4. Funções Trigonométricas 4.1 Função Seno 4.2 Função Cosseno 4.3 Função Tangente 4.4 Outras Funções Trigonométricas 4.5 Relações importantes da Trigonometria 5. Composição de Funções e Funções Inversas 5.1 Funções Compostas 5.2 Funções Inversa 1. Polinômios e Operações com polinômios Neste curso de nivelamento estamos interessados em estudar polinômios e suas respectivas operações, com o fim de operacionalizar certos cálculos de limites que surgem durante o estudo do primeiro curso de Cálculo Diferencial e Integral. Definição 1. (Polinômio) Chamamos expressão polinomial ou polinômio, na variável complexa 𝑥, toda expressão da forma: 𝑎𝑛𝑥 𝑛 + ⋯ + 𝑎2𝑥 2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 em que 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 são números complexos, denominados coeficientes, e 𝑛 um número inteiro não-negativo, denominado grau do polinômio, quando 𝑎𝑛 ≠ 0. Por exemplo, as expressões: 4𝑥 + 6, 𝑥2 + 1, 2𝑥4 − 5𝑥 + 𝑥 − 1e 4𝑥5 são polinômios. Pela definição dada, não são exemplos de polinômios as expressões: 𝑥−1 + 𝑥−2 + 1, 𝑥3 + 1 𝑥 + 1, 𝑥 1 2 + 1 e √𝑥 − 2𝑥 + √𝑥 3 , pois as potências da variável 𝑥 ou são números negativos ou são fracionários. Um fato interessante a se observar é que qualquer número complexo, não nulo, é um polinômio de grau zero, e que o polinômio 0, denominado polinômio nulo, não possui grau. A fim de se ter um estudo mais eficiente de polinômios, costuma-se relacioná-los a funções de variável complexa 𝑝: ℂ → ℂ definidas por 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥 𝑛 + ⋯ + 𝑎2𝑥 2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0, 𝑎0, … , 𝑎𝑛 ∈ ℂ, as quais são chamadas funções polinomiais. Assim, 1) 𝑓(𝑥) = 𝑎1𝑥 + 𝑎2 2) 𝑔(𝑥) = 𝑎2𝑥 2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 são exemplos de funções polinomiais, de graus 1 e 2, respectivamente, denominadas função afim e função quadrática. Se o grau de uma função polinomial for igual a zero, então a função é definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎0, onde 𝑎0 ≠ 0. A partir de agora, não iremos mais distinguir polinômio de função polinomial, isto é, quando nos referirmos a um polinômio 𝑝, de grau 𝑛, estaremos pensando nas funções polinomiais definidas por: 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥 𝑛 + ⋯ + 𝑎2𝑥 2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0. Com a definição dada de polinômio podemos definir operações entre esses respectivos elementos, estas são a adição, multiplicação e divisão de polinômios. Atentarmo-nos somente a operação que será usada com mais frequência no curso de Cálculo, a saber, a divisão de polinômios. Sejam 𝑝(𝑥) e 𝑑(𝑥) dois polinômios, com 𝑑(𝑥) ≠ 0. Dividir 𝑝(𝑥) por 𝑑(𝑥) significa encontrar dois polinômios 𝑞(𝑥) e 𝑟(𝑥), tais que i) 𝑝(𝑥) = 𝑑(𝑥)𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥) ii) o grau de 𝑟(𝑥) não pode ser maior e nem igual ao grau de 𝑝(𝑥) ou 𝑟(𝑥) = 0. Chamamos 𝑝(𝑥) de dividendo, 𝑑(𝑥) de divisor, 𝑞(𝑥) de quociente e 𝑟(𝑥) de resto da divisão. O método mais elementar para se calcular a divisão de dois polinômios é o denominado método da chave. Ele consiste simplesmente em dividir o polinômio 𝑝(𝑥) por 𝑑(𝑥), supondo que grau de 𝑝 seja maior ou igual ao grau de 𝑑. Eis alguns exemplos: Exemplo 1. Sejam 𝑝(𝑥) = 2𝑥3 − 4𝑥 e 𝑑(𝑥) = 𝑥 − 2. Determinar 𝑝(𝑥) 𝑞(𝑥) . Resolução. Pelo método da chave, tem- se: 2𝑥3 − 4𝑥 −2𝑥3 + 4𝑥2 𝑥 − 2 2𝑥2 + 4𝑥 + 4 4𝑥2 − 4𝑥 −4𝑥2 + 8𝑥 4𝑥 −4𝑥 + 8 8 Logo, 2𝑥3 − 4𝑥 = (𝑥 − 2)(2𝑥2 + 4𝑥 + 4) + 8. Em particular, 2𝑥3 − 4𝑥 𝑥 − 2 = 2𝑥2 + 4𝑥 + 4 + 8 𝑥 − 2 . Exemplo 2. Simplificar as expressões: a) 𝑥3−4𝑥2−𝑥+4 𝑥2−3𝑥−4 b) 𝑥2−4𝑥+4 𝑥3−5𝑥2+8𝑥−4 Resolução. a) Novamente, pelo método da chave, temos: 𝑥3 − 4𝑥2 − 𝑥 + 4 −𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥 𝑥2 − 3𝑥 − 4 𝑥 − 1 −𝑥2 + 3𝑥 + 4 𝑥2 − 3𝑥 − 4 0 Logo, 𝑥3−4𝑥2−𝑥+4 𝑥2−3𝑥−4 = 𝑥 − 1. b) Observe que o grau do numerador é inferior ao grau do denominador, a princípio seria impossível reescrever de maneira mais simples essa expressão, no entanto, usando a relação: ( 𝑎 𝑏 ) −1 = 𝑏 𝑎 , 𝑎 ≠ 0, podemos reescrever 𝑥2 − 4𝑥 + 4 𝑥3 − 5𝑥2 + 8𝑥 − 4 = ( 𝑥3 − 5𝑥2 + 8𝑥 − 4 𝑥2 − 4𝑥 + 4 ) −1 . Assim, sendo 𝑥3 − 5𝑥2 + 8𝑥 − 4 𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 𝑥 − 1 concluímos que 𝑥2 − 2𝑥 − 4 𝑥3 − 2𝑥2 − 4𝑥 + 1 = (𝑥 − 1)−1 = 1 𝑥 − 1 . Um fato que ajuda na divisão de dois polinômios é o fato de ambos possuírem as mesmas raízes. A raiz de um polinômio 𝑝(𝑥) é um número complexo 𝑥0 tal que 𝑝(𝑥0) = 0. Um polinômio 𝑝(𝑥) possuir uma raiz 𝑥0 significa que 𝑎 divisão 𝑝(𝑥) 𝑥−𝑥0 é exata (o resto é nulo). Se dois polinômios 𝑝(𝑥) e 𝑑(𝑥) possuem uma mesma raiz 𝑥0, então 𝑝(𝑥) 𝑑(𝑥) pode ser fatorado. Exemplo 3. Simplificar a expressão 𝑥3 + 1 𝑥2 − 1 . Resolução. Note que −1 é raiz de 𝑥3 + 1 e 𝑥2 − 1. Assim, 𝑥3 + 1 e 𝑥2 − 1 são divisíveis por (𝑥 − (−1)) = 𝑥 + 1. Calculando, cada divisão pelo método da chave, obtemos: 𝑥3 + 1 𝑥2 − 1 = (𝑥 + 1)(𝑥2 − 𝑥 + 1) (𝑥 + 1)(𝑥 − 1) = 𝑥2 − 𝑥 + 1 𝑥 − 1 . Algumas relações nos ajudam a simplificar o processo de divisão entre polinômios (ou simplificar expressões que podem ser reescritas como quocientes entre polinômios), estas relações são chamadas de produtos notáveis: i) 𝑥2 − 𝑎2 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 𝑎) ii) 𝑥3 − 𝑎3 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑎2) iii) 𝑥3 + 𝑎3 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥2 − 𝑎𝑥 + 𝑎2) iv) 𝑥4 − 𝑎4 = (𝑥2 + 𝑎2)(𝑥2 − 𝑎2) v) (𝑥 + 𝑎)2 = 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2 vi) (𝑥 − 𝑎)2 = 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 Exemplo 4. Calcule: a) √𝑥−√𝑎 𝑥−𝑎 b) 𝑥+𝑎 √𝑥 3 + √𝑎 3 Resolução. a) Observe que nenhum dos produtos notáveis pode ser aplicado diretamente nos quocientes dados, para isto é necessário uma substituição bem comum no cálculo de limites. Sejam 𝑦 = √𝑥 e 𝑏 = √𝑎. Então, 𝑦2 = 𝑥 e 𝑏2 = 𝑎. Assim, temos que: √𝑥 − √𝑎 𝑥 − 𝑎 = 𝑦 − 𝑏 𝑦2 − 𝑏2 Aplicando o produto notável dado por i), obtemos: 𝑦 − 𝑏𝑦2 − 𝑏2 = 𝑦 − 𝑏 (𝑦 − 𝑏)(𝑦 + 𝑏) = 1 𝑦 + 𝑏 Logo, √𝑥 − √𝑎 𝑥 − 𝑎 = 1 √𝑥 + √𝑎 . b) Observe que a soma √𝑥 3 + √𝑎 3 é semelhante a soma 𝑥3 + 𝑎3, assim devemos fazer uma substituição de modo que possamos transformar √𝑥 3 + √𝑎 3 em algo semelhante a 𝑥3 + 𝑎3. Com efeito, tomando 𝑦 = √𝑥 3 e 𝑏 = √𝑎 3 , obtemos 𝑦3 = 𝑥, 𝑏3 = 𝑎 e 𝑥 + 𝑎 √𝑥 3 + √𝑎 3 = 𝑦3 + 𝑏3 𝑦 + 𝑏 donde 𝑦3 + 𝑏3 𝑦 + 𝑏 = (𝑦 + 𝑏)(𝑦2 − 𝑏𝑦 + 𝑏2) 𝑦 + 𝑏 = 𝑦2 − 𝑏𝑦 + 𝑏2. E, portanto 𝑥 + 𝑎 √𝑥 3 + √𝑎 3 = (√𝑥 3 ) 2 − √𝑎 3 √𝑥 3 + (√𝑎 3 ) 2 . Outra definição importante a respeito de polinômios, e que constitui um método de resolução de integrais, é a denominada igualdade entre polinômios. Definição 2. Sejam 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) dois polinômios onde o grau de 𝑝 é igual ao grau de 𝑞. Dizemos que 𝑝 e 𝑞 são iguais se os coeficientes dos termos de mesmo grau são iguais, isto é, se 𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥 𝑛 e 𝑞(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥 2 + ⋯ + 𝑏𝑛𝑥 𝑛 então 𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥) se 𝑎0 = 𝑏0, 𝑎1 = 𝑏1, … , 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛. Exemplo 5. Determinar valores reais 𝐴 e 𝐵 de modo que: 𝑥 − 1 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 𝐴 𝑥 − 2 + 𝐵 𝑥 − 3 Resolução. Somando as frações do lado direito da igualdade e as igualando a fração do lado esquerdo, obtemos: 𝑥 − 1 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = (𝐴 + 𝐵)𝑥 + (−3𝐴 − 2𝐵) 𝑥2 − 5𝑥 + 6 Donde, por igualdade de polinômios, obtemos (𝐴 + 𝐵) = 1 e (3𝐴 + 2𝐵) = 1 e assim os valores para 𝐴 e 𝐵 serão 𝐴 = −1 e 𝐵 = 2 e, portanto 𝑥 − 1 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = − 1 𝑥 − 2 + 2 𝑥 − 3 . Exercícios. 1) Calcule: a) √𝑥 4 − √𝑎 4 √𝑥−√𝑎 c) √𝑦−4 √𝑦 4 +4 𝑦−16 b) √𝑥 4 − √𝑎 4 𝑥−𝑎 d) 𝑥10−𝑥8−𝑥6+𝑥4−𝑥2+1 𝑥4−1 e) 2𝑥3+9𝑥2+12𝑥+4 −𝑥3−2𝑥2+4𝑥+8 2) Determine os valores de 𝐴, 𝐵 e 𝐶 a fim de que se tenha: a) 2𝑥−3 2𝑥2−5𝑥+2 = 𝐴 2𝑥−1 + 𝐵 𝑥−2 b) 𝑥−1 𝑥2−4𝑥+4 = 𝐴 𝑥−2 + 𝐵 (𝑥−2)2 c) 𝑥2−1 𝑥3−7𝑥2+14𝑥−8 = 𝐴 𝑥−1 + 𝐵 𝑥−4 + 𝐶 𝑥−2 2. Funções Polinomiais 2.1 Funções Afins As funções afins descrevem uma grande diversidade de fenômenos nas Ciências Exatas, Sociais e Biológicas. Em particular, nos cursos de Exatas o seu estudo é necessário a fim de se compreender vários fenômenos físicos. Definição 2. (Função Afim) Uma função 𝑓: ℝ → ℝ chama-se afim quando existem constantes 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ tais que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 para todo 𝑥 ∈ ℝ. Em particular, quando 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 dizemos que 𝑓 é uma função linear, e quando 𝑓(𝑥) = 𝑏 dizemos que 𝑓 é uma função constante. Exemplo 5. A função 𝑓: ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥, denominada função identidade, é uma função afim. O gráfico que descreve está função é ilustrado na figura abaixo. Exemplo 6. Uma partícula que se desloca em um MRU, conforme a lei 𝑥(𝑡) = 𝑣0𝑡 + 𝑥0, onde 𝑥(𝑡) é sua posição no instante 𝑡, tem o gráfico de sua posição e velocidade 𝑣(𝑡) dados, respectivamente, por: Os coeficientes 𝑎 e 𝑏 explicitam o comportamento do gráfico de uma função afim. Seja 𝑓 uma função afim dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. i) O valor 𝑎 é a inclinação da reta que descreve o gráfico de 𝑓. Quando 𝑎 > 0, a reta é crescente, e quando 𝑎 < 0 a reta é decrescente. Caso 𝑎 = 0, a reta é constante e será paralela ao eixo 𝑥. ii) O valor 𝑏 é o valor que a função assume quando 𝑥 = 0. O número 𝑏 = 𝑓(0) às vezes é chamado de valor inicial da função. No exemplo 6, quando 𝑡 = 0, a posição inicial da partícula era 𝑥(0) = 𝑥0. A variação do valor 𝑏 na função afim indica uma translação do seu gráfico. 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥0 𝑡 𝑡0 𝑥(𝑡0) 𝑡 𝑣 𝑣 = 𝑣0 𝑦 2.2 Funções Quadráticas As funções quadráticas surgem naturalmente em diversos fenômenos físicos, em especial, nos fenômenos que descrevem valores extremantes como, por exemplo, a altura máxima atingida por uma bola chutada na horizontal ou a velocidade mínima de uma partícula que descreve um MRUV. Definição 3. (Função Quadrática) Uma função 𝑓: ℝ → ℝ chama-se quadrática quando existem números reais 𝑎, 𝑏, 𝑐, com 𝑎 ≠ 0, tais que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 para todo 𝑥 ∈ ℝ. Sua representação no plano cartesiano é uma curva denominada parábola, conforme é exemplificado nas figuras abaixo. A abertura da parábola é denominada concavidade, por sua vez, esta abertura estará voltada para cima ou para baixo dependendo do sinal do número real 𝑎 na expressão do trinômio 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. i) Quando 𝑎 > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima. ii) Quando 𝑎 < 0, a concavidade da parábola é voltada para baixo. O ponto da parábola onde o valor da função quadrática é o maior ou menor valor possível é chamado de vértice da parábola. O vértice da parábola, que descreve o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 é o ponto de coordenadas: 𝑉 = (− 𝑏 2𝑎 , − Δ 4𝑎 ) onde o número real Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 é denominado discriminante do trinômio 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. O valor do discriminante indica se o gráfico da parábola intercepta ou não o eixo das abscissas no plano cartesiano. A abscissa do ponto de interseção do gráfico da função quadrática com o eixo 𝑥 é denominada de raiz do trinômio 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, isto é, é o número real 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) = 0. A relação entre o valor do discriminante e as raízes do trinômio é descrita a seguir: i) Quando Δ > 0, o gráfico da função quadrática intercepta dois pontos do eixo 𝑥, cujas abscissas são 𝑥 = −𝑏±√Δ 2𝑎 . 𝒙 𝑦 Parábola com concavidade voltada para cima 𝑦 𝑎𝑥 + 𝑏1 𝑎𝑥 + 𝑏2 𝑎𝑥 + 𝑏3 𝑥 𝑥 Parábola com concavidade voltada para baixo 𝑦 Assim, neste caso, o trinômio possuirá duas raízes reais e distintas. ii) Quando Δ = 0, o gráfico da função quadrática intercepta um único ponto do eixo 𝑥, cuja abscissa é 𝑥 = −𝑏 2𝑎 . Neste caso, o trinômio possuirá apena uma raiz real. iii) Quando Δ < 0, o gráfico da função quadrática não intercepta o eixo das abscissas. Assim, o trinômio não possui raiz real alguma.Exemplo 6. No movimento retilíneo uniformemente variado de uma partícula, sua posição tem uma variação descrita por uma função quadrática. Seja 𝑥(𝑡) = 1 2 𝑎0𝑡 2 + 𝑣0𝑡 + 𝑥0 a função posição de uma partícula no instante 𝑡. O gráfico da posição da partícula no instante 𝑡 = 𝑡0 é apresentado abaixo. Cada coeficiente 𝑎0, 𝑣0 e 𝑥0 tem um significado na equação que descreve um MRUV. Conforme o gráfico acima, se verifica que 𝑥0 é a posição da partícula no instante 𝑡 = 0. O valor 𝑣0 representa a velocidade da partícula quando 𝑡 = 0 (pois no MRUV, a velocidade é descrita por 𝑣(𝑡) = 𝑎0𝑡 + 𝑣0). Além disso, a concavidade dessa parábola, que descreve a variação de posição, é também determinada pelo sinal da aceleração 𝑎0. Exercícios. 1) Esboçar o gráfico das seguintes funções. (a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2 (b) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 3 (c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 (d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2 (e) 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 4𝑥 + 1 (f) 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥 − 𝑥2 (g) 𝑓(𝑥) = 𝑥2−9 𝑥−3 (h) 𝑓(𝑥) = 𝑥4−4𝑥3+4𝑥2 𝑥2−2𝑥 2) Dada a posição de uma partícula, no instante 𝑡, por 𝑥(𝑡) = 4𝑡2 − 4𝑡 + 16, esboçar os gráficos da função posição e função velocidade. 𝑡 𝑥 𝑡0 𝑥0 𝑥(𝑡0) 𝑥(𝑡) 𝒂 > 𝟎 𝒙 𝒚 𝒂 > 𝟎 𝒙 𝒚 3. Funções Exponenciais e Logarítmicas Vários fenômenos físicos e químicos que ocorrem na natureza têm comportamentos que necessitam ser descritos ao longo de grandes ou curtíssimos espaços de tempo. A variação de temperatura, segundo a lei de resfriamento de Newton, é um exemplo de fenômeno que ocorre rapidamente em pequenos intervalos de tempo. A desintegração radioativa de um determinado elemento químico ou material orgânico é um fenômeno que ocorre em grandes períodos de tempo gradativamente. Todos os fenômenos exemplificados podem ser descritos através de funções exponenciais. 3.1. Função Exponencial Definição 4. (Função Exponencial). A função 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, com 𝑎 ≠ 1 e 𝑎 > 0, é denominada função exponencial de base 𝑎 e definida para todo 𝑥 real. O valor do número real 𝑎 define a forma como se comportará a função exponencial. Quando 𝑎 > 1 a função será crescente, isto é, seu gráfico será uma curva ascendente, e quando 0 < 𝑎 < 1 a função será decrescente, isto é, seu gráfico será uma curva descendente. Alguns exemplos de funções exponenciais são 𝑓(𝑥) = 2𝑥, 𝑔(𝑥) = 3−𝑥+1 e ℎ(𝑥) = 0,52𝑥. Não são exemplos de funções exponenciais as funções dadas por 𝑤(𝑥) = (−1)𝑥, 𝑧(𝑥) = 𝑥2, 𝑦(𝑥) = 2𝑥 2 , pois 𝑤 não é definida para todo 𝑥 ∈ ℝ, 𝑧 é um polinômio e 𝑦 não é da forma 𝑎𝑥. Na função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 temos: i) Se 𝑥 = 0 então 𝑓(0) = 𝑎0 = 1, isto é o par ordenado (0,1) satisfaz a lei 𝑦 = 𝑎𝑥 para todo o 𝑎 ( 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1). Isso quer dizer que o gráfico de qualquer função exponencial corta o eixo y no ponto de ordenada 1. ii) Se 𝑎 > 1 então a função é crescente se 𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑎𝑥 < 𝑎𝑦. iii) Se 0 < 𝑎 < 1 então a função é decrescente se 𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑎𝑥 > 𝑎𝑦. Exemplo 7. A função que descreve a população de bactérias em cada instante de hora 𝑛, em uma amostra, dada por 𝑓(𝑛) = 2𝑛 é crescente. De fato, para 𝑛1 < 𝑛2, tem-se 2 𝑛1 < 2𝑛2. Assim, a população de bactéria cresce a cada unidade de hora de tempo. Dentre todas as bases para uma função exponencial, há uma que é mais 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , 𝑎 > 1. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , 0 < 𝑎 < 1. conveniente para todos os propósitos do Cálculo. Esta base é dada pelo número de Euller “𝑒” (que vale aproximadamente 2,71). Este número surge naturalmente em diversos fenômenos da natureza que possam ser descritos através de funções exponenciais. A partir de agora, daremos preferência a essa base no decorrer do estudo de funções exponenciais. Escreveremos a função exponencial de base 𝑒 como 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 ou 𝑓(𝑥) = exp 𝑥. 3.2. Funções Logarítmicas Dado um número real 𝑏, tal que 𝑎 < 𝑏 ≠ 1, define-se como logaritmo de um número positivo 𝑦 > 0 na base 𝑏 ao expoente 𝑥 a que se deve elevar a base 𝑏 para obter o número 𝑦. Escreve-se: 𝑥 = log𝑏 𝑦 ⇔ 𝑏 𝑥 = 𝑦. Em particular, quando 𝑏 = 10 escreveremos simplesmente 𝑥 = log 𝑦 (logaritmo decimal). Definição 5. (Função Logarítmica). A função 𝑓: ℝ+ − {0} → ℝ dada por 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥, com 𝑎 ≠ 1 e 𝑎 > 0, é denominada função logarítmica de base 𝑎 e é definida para todo 𝑥 real positivo. O valor do número real 𝑎 define a forma como se comportará a função logarítmica. Quando 𝑎 > 1 a função será crescente, isto é, seu gráfico será uma curva ascendente, e quando 0 < 𝑎 < 1 a função será decrescente, isto é, seu gráfico será uma curva descendente. Exemplos de funções logarítmicas são 𝑓(𝑥) = log2 𝑥 , 𝑔(𝑥) = log0,5 𝑥 2 e ℎ(𝑥) = log 2𝑥. Não são exemplos de funções logarítmicas as funções dadas por 𝑠(𝑥) = log−1 𝑥 e 𝑟(𝑥) = log𝑥 2, pois 𝑠 não tem base positiva e 𝑟 não é da forma log𝑏 𝑓(𝑥). Em particular, 𝑟(𝑥) = log𝑥 2 se, e somente se, 𝑥 𝑟(𝑥) = 2. Na função logarítmica 𝑓(𝑥) = log𝑏 𝑥 tem-se: i) Os gráficos das funções logarítmicas sempre cortam o eixo 𝑥 no ponto (1,0). ii) Quando a base é maior que 1, os números maiores que 1 tem logaritmos positivos e os números entre 0 e 1 tem logaritmos negativos. 0xlog1logxlog1x0 0xlog1logxlog1x aaa aaa iii) Quando a base é menor que 1, os números maiores que 1 tem logaritmos negativos e os números entre 0 e 1 tem logaritmos positivos. 0xlog1logxlog1x0 0xlog1logxlog1x aaa aaa Assim como para a função exponencial há uma base que é mais conveniente no estudo Cálculo, também haverá uma base que é conveniente à função logarítmica. Esta base também será dada pelo número “𝑒”. A partir de agora, daremos também preferência a essa base no decorrer do estudo do Cálculo. Escreveremos a função logarítmica de base 𝑒 como 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 (= log𝑒 𝑥). Exemplo 8. O número, em centenas de indivíduos, de um determinado grupo de animais, 𝑥 dias após a liberação de um predador em seu ambiente, é expresso pela seguinte função: 𝐹(𝑥) = log5 √53 (𝑥 4). Após cinco dias da liberação do predador, qual o número de indivíduos desse grupo existirá no ambiente? Resolução. Devemos calcular o valor de 𝐹(5), pois esse número representará o número de animais existentes após o predador ser libertado após 5 dias. Ora, temos que: 𝐹(5) = log5 √53 (5 4) ⇔ (5√5 3 ) 𝐹(5) = 54 Donde obtemos: (5 4 3) 𝐹(5) = 54 ⇒ 5 4𝐹(5) 3 = 54 ⇒ 4𝐹(5) 3 = 4 E, portanto 𝐹(5) = 3. Exercícios. 1) Esboçar o gráfico das seguintes funções: (a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 (b) 𝑓(𝑥) = 3−𝑥(c) 𝑓(𝑥) = 0,5𝑥 + 1 (d) 𝑓(𝑥) = 22𝑥 − 1 (e) 𝑓(𝑥) = log2 𝑥 (f) 𝑓(𝑥) = log 2𝑥 (g) 𝑓(𝑥) = log 𝑥2 (h) 𝑓(𝑥) = 1 + log2 𝑥 2) Segundo a lei do resfriamento de Newton, a temperatura 𝑇 de um corpo colocado num ambiente cuja temperatura é 𝑇0 obedece à seguinte relação: 𝑇 = 𝑇0 + 𝑘𝑒 −𝑐𝑡. Nesta relação, 𝑇 é medida na escala Celsius, 𝑡 é o tempo medido em horas, a partir do instante em que o corpo foi colocado no ambiente, e 𝑘 e 𝑐 são constantes a serem determinadas. Considere uma xícara contendo café, inicialmente a 100°C, colocada numa sala de temperatura 20°C. Vinte minutos depois, a temperatura do café passa a ser de 40ºC. a) Calcule a temperatura do café 50 minutos após a xícara ter sido colocada na sala. b) Considerando ln 2 = 0,7 e ln 3 = 1,1, estabeleça o tempo aproximado em que, depois de a xícara ter sido colocada na sala, a temperatura do café se reduziu à metade. 4. Funções Trigonométricas As funções trigonométricas surgem naturalmente em fenômenos físicos que descrevem comportamentos oscilatórios ou periódicos. A oscilação de um pêndulo, de uma massa presa a uma mola sob a ação de uma força e a variação de carga e corrente num circuito elétrico, cuja voltagem externa oscila, são exemplos de fenômenos descritos por funções trigonométricas. 4.1. Função Seno A função 𝑓 que associa a cada número real 𝑥 o valor sen 𝑥 é chamada de função seno e é definida pela lei 𝑓(𝑥) = sen 𝑥. Alguns aspectos importantes da função seno são: i) O domínio é toda a reta real ℝ, isto é, todo número real possui valor de seno; ii) A imagem de seno é o intervalo [−1,1], isto é, o seno de todo número real é limitado pelos valores −1 e 1. iii) A função seno é periódica e o seu período é 2𝜋, ou seja, a sen(𝑥 + 2𝜋) = sen(𝑥). iv) O gráfico da função seno é uma curva denominada senóide. v) A função seno é ímpar, isto é, sen(−𝑥) = sen 𝑥. vi) Observando o gráfico da função seno verifica-se que esta é crescente nos e 1o e 4o quadrantes e decrescente nos demais quadrantes. 4.2. Função Cosseno A função 𝑔 que associa a cada número real 𝑥 o valor cos 𝑥 é chamada de função cosseno e é definida pela lei 𝑔(𝑥) = cos 𝑥. Os aspectos essenciais da função cosseno são: i) O domínio é toda a reta real ℝ, isto é, todo número real possui valor de cosseno; ii) A imagem de cosseno é o intervalo [−1,1], isto é, o cosseno de todo número real é limitado pelos valores −1 e 1. iii) A função cosseno é periódica e o seu período é 2𝜋, isto é, a cos(𝑥 + 2𝜋) = cos(𝑥). iv) O gráfico da função cosseno é uma curva denominada cossenóide. v) A função cosseno é par, isto é, cos(−𝑥) = cos 𝑥. vi) Observando o gráfico da função cosseno verifica-se que esta é crescente nos e 3o e 4o quadrantes e decrescente nos demais quadrantes. 4.3. Função Tangente A função ℎ que corresponde cada número real 𝑥 ao valor tan 𝑥 é chamada de função tangente e esta é definida pela lei ℎ(𝑥) = tan 𝑥. Os aspectos mais importantes da função tangente são: i) O seu domínio é o conjunto dos números reais {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ 𝜋 2 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}. ii) A imagem da função tangente é toda reta real, em particular, todo número real é a tangente de algum outro número real. iii) A função tangente é periódica e o seu período é 𝜋, daí tan(𝑥 + 𝜋) = tan(𝑥). iv) O gráfico da função tangente é uma curva denominada tangenóide. v) A função tangente é ímpar, isto é, tan(−𝑥) = tan 𝑥. De fato, tan(−𝑥) = sen(−𝑥) cos(−𝑥) = − sen 𝑥 cos 𝑥 = − tan 𝑥. vi) A função tangente é crescente no 1o e 3o quadrante, e decrescente no 2o e 4o quadrante. 4.4. Outras funções trigonométricas Funções trigonométricas que são obtidas diretamente das funções seno, cosseno e tangente e que tem grande utilidade no curso de Cálculo são descritas a seguir. i) Função Secante 𝑓(𝑥) = sec 𝑥 onde sec 𝑥 = 1 cos 𝑥 , 𝑥 ≠ 𝜋 2 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. ii) Função Cossecante 𝑓(𝑥) = cossec 𝑥 onde cossec 𝑥 = 1 sen 𝑥 , 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. iii) Função Cotangente 𝑓(𝑥) = cotg 𝑥 onde cotg 𝑥 = 1 tan 𝑥 , 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 4.5. Relações Importantes da Trigonometria Apresentamos a seguir algumas relações trigonométricas que surgirão com frequência e que naturalmente serão bastante aplicadas no decorrer do curso de Cálculo. 1) sen2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 2) tan 𝑥 = sen 𝑥 cos 𝑥 3) 1 + tan2 𝑥 = sec2 𝑥 4) 1 + cotan2 𝑥 = cossec2 𝑥 5) sen(𝑎 + 𝑏) = sen 𝑎 cos 𝑏 + sen 𝑏 cos 𝑎 6) cos(𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 − sen 𝑎 sen 𝑏 Exemplo 9: Demonstrar as seguintes relações: a) sen 2𝑎 = 2 sen 𝑎 cos 𝑎 b) cos 2𝑎 = cos2 𝑎 − sen2 𝑎 c) cos2 𝑥 = 1 2 + 1 2 cos 2𝑥 Resolução. a) Fazendo 𝑎 = 𝑏 na relação 5) obtemos o resultado. b) Fazendo 𝑎 = 𝑏 na relação 6) obtemos o resultado. c) Somando as relações: sen2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 cos2 𝑥 − sen2 𝑥 = cos 2𝑥 obtemos a expressão 2 cos2 𝑥 = 1 + cos 2𝑥 donde segue o resultado desejado. Exercícios: 1) Prove as seguintes relações: a) sen2 𝑥 = 1 2 − 1 2 cos 2𝑥 b) cos4 𝑥 − sen4 𝑥 = cos 2𝑥 c) √1 + sen 2𝑥 = cos 𝑥 + sen 𝑥 d) tan 2𝑥 = 2 tan 𝑥 1−tan2 𝑥 5. Composição de Funções e Funções Inversas 5.1. Funções Compostas A composição entre duas funções 𝑓 e 𝑔 consiste em combinar estas funções a fim de se gerar novas funções, chamadas de compostas, as quais geralmente são mais complexas dos que as originais. Isto é, uma função aparamente complexa (uma função que não seja elementar), pode ser reescrita como a composta de funções mais simples. Definição 6. Dadas duas funções 𝑓 e 𝑔, a função composta, 𝑓 ∘ 𝑔 (também chamada de composição de 𝑓 e 𝑔) é definida por (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)). A composição entre 𝑓 e 𝑔 somente é possível quando o domínio de 𝑓 ∘ 𝑔 é o conjunto de todos os pontos 𝑥 do domínio de 𝑔 tais que 𝑔(𝑥) está no domínio de 𝑓. Assim, se 𝑓: 𝐴 → 𝐵 e 𝑔: 𝐶 → 𝐷, 𝐷 = 𝐼𝑚 𝑔, então é possível determinar 𝑓 ∘ 𝑔 somente se 𝐴 ⊂ 𝐶. Por exemplo, sejam 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑔: [0,1] → [0,1] e ℎ: ℝ → [−1,1] funções cujas imagens são iguais aos seus respectivos contradomínios. É possível determinar 𝑓 ∘ 𝑔, 𝑓 ∘ ℎ, ℎ ∘ 𝑓 e ℎ ∘ 𝑔. No entanto, não existem 𝑔 ∘ 𝑓 e 𝑔 ∘ ℎ. Exemplo10. Sejam 𝑓: ℝ → ℝ e 𝑔: ℝ → ℝ funções definidas por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 3. Determinar 𝑓 ∘ 𝑔, e 𝑔 ∘ 𝑓, 𝑓 ∘ 𝑓 e 𝑔 ∘ 𝑔. Resolução. Temos: 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥 − 3) = (𝑥 − 3)2; 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑥2) = 𝑥2 − 3; 𝑓(𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝑥2) = (𝑥2)2 = 𝑥4; 𝑔(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑥 − 3) = (𝑥 − 3) − 3 = 𝑥 − 6; Você pode observar no exemplo acima que, em geral, 𝑓 ∘ 𝑔 ≠ 𝑔 ∘ 𝑓. Exemplo 11. Sejam as funções 𝑓(𝑥) = √𝑥, 𝑔(𝑥) = cos 𝑥 e ℎ(𝑥) = 1 𝑥 . Determinar 𝑓 ∘ 𝑔, 𝑓 ∘ 𝑓, 𝑓 ∘ ℎ, 𝑔 ∘ ℎ e ℎ ∘ ℎ. Resolução. Temos: 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(cos 𝑥) = √cos 𝑥; 𝑓(𝑓(𝑥)) = 𝑓(√𝑥) = √√𝑥 = √𝑥 4 ; 𝑓(ℎ(𝑥)) = 𝑓 ( 1 𝑥 ) = √ 1 𝑥 ; 𝑔(ℎ(𝑥)) = 𝑔 ( 1 𝑥 ) = cos ( 1 𝑥 ); ℎ(ℎ(𝑥)) = ℎ ( 1 𝑥 ) = 1 1 𝑥 = 𝑥. Até aqui usamos a composição para construir as funções complicadas a partir das mais simples. Mas em Cálculo é proveitoso ser capaz de decompor uma função complicada em funções mais simples, como no exemplo a seguir. 𝑔(𝑥) 𝐶 𝐴 𝐵 𝑥 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝒈 𝒇 𝐷 Exemplo 12. Dada 𝐹(𝑥) = cos2(𝑥 + 9), encontre funções 𝑓, 𝑔 e ℎ tais que 𝐹 = 𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ. Resolução. Observe que na função 𝐹 temos: 𝑥 ↦ 𝑥 + 9 (𝑥 + 9) ↦ cos(𝑥 + 9) cos(𝑥 + 9) ↦ (cos(𝑥 + 9))2 Assim, fazendo ℎ(𝑥) = 𝑥 + 9 𝑔(𝑥 + 9) = cos(𝑥 + 9) 𝑓(cos(𝑥 + 9)) = (cos(𝑥 + 9))2 concluímos que 𝑓(𝑥) = 𝑥2, 𝑔(𝑥) = cos 𝑥 e ℎ(𝑥) = 𝑥 + 9. 5.2. Funções Inversas A inversa de uma função, quando existe, exprime uma relação intrínseca entre os elementos da imagem da função e os pontos do domínio que estão associados a eles. Em Cálculo, o conhecimento da definição de inversa de uma função é essencial para o cálculo das derivadas das inversas de algumas funções elementares. Definição 7. (Função Inversa) Seja 𝑓 uma função injetiva com domínio 𝐴 e imagem 𝐵. Então sua função inversa 𝑓−1 tem domínio 𝐵 e imagem 𝐴, sendo definida por 𝑓−1(𝑦) = 𝑥 ⇔ 𝑓(𝑥) = 𝑦 para todo 𝑦 em 𝐵. Note que Domínio de 𝒇−𝟏 = imagem de 𝒇 Imagem de 𝒇−𝟏 = domínio de 𝒇. Observe que, a partir da definição, se 𝑦 = 𝑓(𝑥) podemos escrever: 𝑓−1(𝑦) = 𝑥 ⇒ 𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑥 para todo 𝑥 em 𝐴. Ou 𝑓(𝑥) = 𝑦 ⇒ 𝑓(𝑓−1(𝑦)) = 𝑦 para todo 𝑦 em 𝐵. A função obtida pela composição de uma função com sua inversa é chamada de função identidade. A função identidade é definida por 𝐼(𝑥) = 𝑥. A inversa da função identidade é a própria função identidade. Observação: Em geral, temos que 𝑓−1(𝑥) ≠ [𝑓(𝑥)]−1. Veja que 𝑓−1(𝑥) é a função inversa da lei 𝑓(𝑥), enquanto [𝑓(𝑥)]−1 é o inverso do número real 𝑓(𝑥), isto é, [𝑓(𝑥)]−1 = 1 𝑓(𝑥) . Exemplo 13. Encontrar a inversa da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3. Resolução. A inversa de 𝑓 é uma função 𝑔 = 𝑓−1 tal que 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑥, isto é, 𝑥 = 𝑓(𝑔(𝑥)) = (𝑔(𝑥)) 3 . Assim, a inversa de 𝑓 é 𝑓−1(𝑥) = 𝑔(𝑥) = √𝑥 3 . Exemplo 14. Encontrar a inversa da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 1. Resolução. Seja 𝑢 = 𝑓−1(𝑥). Então, 𝑓(𝑢) = 𝑥 ⇒ 𝑢2 + 𝑢 + 1 = 𝑥. Donde, obtemos uma equação de segundo grau que depende apenas de 𝑢: 𝑢2 + 𝑢 + (1 − 𝑥) = 0 Ao encontrarmos a solução dessa equação obtemos uma relação 𝑢(𝑥) = −1 ± √𝑥 − 3 2 na qual se verifica que não é uma função (note que cada elemento do domínio de 𝑢 possui duas imagens distintas). Assim, 𝑓 não possui inversa dada por uma única regra. No entanto, note que 𝑓(𝑥) pode ser reescrito como 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 1 4 + 3 4 = (𝑥 + 1 2 ) 2 + 3 4 . E tomando 𝑦 = 𝑓(𝑥) encontramos 𝑦 − 3 4 = (𝑥 + 1 2 ) 2 ⇒ 𝑥 = ±√𝑦 − 3 4 − 1 2 . Isto é, 𝑥 = 𝑓−1(𝑦) = √𝑦 − 3 4 − 1 2 ou 𝑥 = 𝑓−1(𝑦) = −√𝑦 − 3 4 − 1 2 podem ser vistas como expressões que definem (escolhendo um sinal para o termo ±√𝑦 − 3 4 ) uma suposta inversa para 𝑓, desde que 𝑦 ≥ 3 4 . Assim, apesar de 𝑓 não possuir uma inversa definida por uma única regra, podemos construir uma inversa para 𝑓 em um subconjunto restrito de valores de dom(𝑓−1). Com efeito, uma inversa de 𝑓, restrita ao conjunto {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ 3 4 } ⊂ dom(𝑓−1), é dada por 𝑢(𝑥) = √𝑥 − 3 4 − 1 2 . Para esta escolha, verifica-se que: 𝑓(𝑢(𝑥)) = 𝑢2 + 𝑢 + 1 = (𝑥 − 3 4 ) − √𝑥 − 3 4 + 1 4 + √𝑥 − 3 4 − 1 2 + 1 = 𝑥. Observação: Note que neste último exemplo, 𝑓 é uma bijeção somente se 𝑥 ≥ − 1 2 ou 𝑥 ≤ − 1 2 (ou seja, somente quando é escolhido apenas uma ramo da parábola). Apresentaremos a seguir a inversa das principais funções elementares. i) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 ⇒ 𝑓−1(𝑥) = √𝑥 𝑛 ii) 𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑛 ⇒ 𝑓−1(𝑥) = 𝑥𝑛 iii) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 ⇒ 𝑓−1(𝑥) = log𝑎 𝑥 iv) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑓−1(𝑥) = ln 𝑥 v) 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 ⇒ 𝑓 −1(𝑥) = 𝑎𝑥 vi) 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 ⇒ 𝑓−1(𝑥) = 𝑒𝑥 vii) 𝑓(𝑥) = sen 𝑥 ⇒ 𝑓−1(𝑥) = arcsen 𝑥 viii) 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 ⇒ 𝑓−1(𝑥) = arccos 𝑥 vii) 𝑓(𝑥) = tan 𝑥 ⇒ 𝑓−1(𝑥) = arctan 𝑥 Exercícios. 1) Escreva as funções dadas como a composição de duas ou mais funções: a) 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑒𝑥 2 , 𝑘 ∈ ℝ. b) 𝑔(𝑥) = (𝑥4 − 𝑥2 + 1)10 c) ℎ(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) , 𝐴, 𝜔 e 𝜑 constantes. d) 𝑓(𝑥) = 1 √𝑥+√𝑥 e) 𝑔(𝑥) = √ 𝑥 1+𝑥 3 2) Encontrar a inversa das seguintes funções, caso existam. a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1 c) 𝑓(𝑥) = 1 𝑥2 d) 𝑓(𝑥) = 𝑥+1 2𝑥+1 e) 𝑓(𝑥) = cos 𝑥2 f) 𝑓(𝑥) = tan √𝑥 g) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 h) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 3 3) Usando o fato de que (𝑓 ∘ 𝑔)−1 = 𝑔−1 ∘ 𝑓−1, calcule a inversa da função ℎ(𝑥) = √tan 𝑥. 4) Demonstre a relação cos(arcsen 𝑥) = √1 − 𝑥2 e a use para simplificar as expressões tan (arcsen 𝑥), tan (arccos 𝑥) sen(arctan 𝑥) e cos(arctan 𝑥).