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CÁLCULO-I-e-II

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Cálculo I e II 
 
 02 
 
 
1. Números Reais e Funções 5 
O Conjunto dos Números 5 
Reais 5 
Propriedades Operatórias dos Números Reais 6 
Funções 7 
Função Polinomial 11 
Polinômio Nulo 12 
Função Racional 12 
Função Trigonométrica 13 
Função Exponencial 15 
Gráfico da função exponencial 15 
Função Logarítmica 17 
 
2. Limites e Continuidade 20 
Limites 20 
Noção Intuitiva de Limite 20 
Propriedades do limite 21 
Limites laterais 22 
Limites Infinitos 22 
Limites Trigonométricos 24 
Limites Exponenciais 25 
Funções Contínuas 26 
 
3. A Derivada 30 
Reta Tangente e Velocidade Instantânea 30 
Coeficientes da Reta 30 
Velocidade média 32 
Velocidade Instantânea 33 
Definição de derivada 33 
Derivadas Laterais e Continuidade 34 
Derivadas Laterais 34 
Continuidade 36 
Regras de derivação 36 
Regra da cadeia 37 
Derivadas de funções 38 
 
 
 3 
 
 
 
Derivada da função inversa 38 
Derivadas polinomiais 40 
Derivada exponencial 40 
Derivada Logarítimica 41 
Derivada trigonométrica 42 
Derivada das funções trigonométricas inversas 44 
Acréscimos 45 
Diferencial 46 
Derivação Implícita 47 
O Teorema do Valor Médio 47 
Derivadas de ordem superior 48 
Taxas relacionadas 49 
 
4. Aplicações da Derivada 53 
Funções Crescentes 53 
Funções Decrescentes 53 
Máximos e mínimos 54 
Antiderivadas 55 
 
5. Referências Bibliográficas 58 
 
 
 04 
 
 
 
 
 
 5 
CÁLCULO I E II 
 
1. Números Reais e Funções 
 
 
Fonte: Stoodi1 
 
O Conjunto dos Números 
Reais 
 
conjunto dos números reais é 
composto pela junção do con-
junto dos números racionais e irra-
cionais. Existem inúmeras proprie-
dades dos números reais, o qual são 
prolongamentos das propriedades 
dos números racionais. As proprie-
dades dos números reais estão dire-
tamente ligadas a ordem dos núme-
ros e o estudo da matemática básica 
 
1 Retirado em https://www.stoodi.com.br/blog/matematica/numeros-reais/ 
praticada nos componentes desse 
conjunto. 
A descrição dos números reais, 
dependem das definições dos con-
juntos de números racionais e irraci-
onais, o qual estes, dependem dos 
números inteiros. As propriedades 
mais importantes relacionadas ao 
conjunto dos números reais são: 
 O conjunto dos números reais 
é um conjunto completo: po-
demos relacionar os números 
reais a uma reta numérica, on-
de é possível verificar que para 
O 
 
 
6 
CÁLCULO I E II 
 
cada número real existe ape-
nas uma representação na re-
ta, onde não é admitido apre-
sentar um número que não re-
presente número real, desta 
forma, pode-se dizer que o 
conjunto dos números reais é 
completo. 
 O conjunto dos números reais 
é um conjunto ordenado: rela-
cionando com a mesma reta 
numérica, podemos dizer que 
os números reais são ordena-
dos, pois aqueles que estive-
rem à direita da reta é maior 
do que aqueles que estiverem à 
esquerda, e se acontecer de es-
tarem no mesmo ponto, serão 
iguais. (MOREIRA, 2020). 
 
Propriedades Operatórias dos 
Números Reais 
 
 Serão usados como exemplo 
os números reais “a”, “b” e “c”. 
 Associatividade: 
1) a ∙ (b ∙ c) = (a ∙b) ∙ c 
 
2) a + (b + c) = (a + b) + c 
 
Exemplos com valores 
a = 2 / b= 3 / c = 4 
 
1) 2. (3 . 4) = 24 
(2 . 3) . 4 = 24 
 
2) 2 + (3 + 4) = 9 
 (2 + 3) + 4 = 9 
 
 
 Comutatividade: 
 
1) a ∙ b = b ∙ a 
 
2) a + b = b + a 
 
Exemplos com valores 
a = 4/ b= 3 
 
1) 4 . 3 = 12 
3 . 4 = 12 
 
2) 4 + 3 = 7 
3 + 4 = 7 
 
 Elemento neutro único para a 
soma e para a multiplicação: 
 
1) a + 0 = a 
2) a ∙ 1 = a 
 
Exemplos com valores 
a = 5 
 
1) 5 + 0 = 5 
2) 5 . 1 = 5 
 
 Elemento inverso único para a 
soma e para a multiplicação: 
 
1) a + (- a) = 0 
 
2) 
 
 
 
 
 
7 
CÁLCULO I E II 
 
Exemplos com valores 
a= 6 
 
1) 6 + (- 6) = 0 
2) 6 . 1 = 1 
 6 
 
 Distributividade: 
 
1) a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c 
 
Exemplo com valor 
 a = 3 / b= 7 / c = 9 
 
1) 3. (7 + 9) = 48 
 
3 . 7 + 3 . 9 = 48 
 
Funções 
 
De acordo com Stewart (2013), 
as funções são peças fundamentais 
do cálculo e podem ser representa-
das de diferentes maneiras, como ta-
belas, gráficos, equações ou até mes-
mo por meio de palavras. Geral-
mente o gráfico é a melhor de forma 
de representar uma função, por 
causa da transmissão de muita in-
formação em um relance. 
As funções aparecem quando 
uma quantidade depende da outra, 
por exemplo: 
1. A área A de um círculo depen-
de do seu raio r. A regra que conecta 
r e A é dada pela equação . A 
cada número r positivo está associa-
do um único valor de A e dizemos 
que A é uma função de r. 
2. A população do mundo P de-
pende do tempo t. A tabela mostra as 
estimativas da população mundial 
P(t) no momento t em certos anos. 
 
 
Fonte: Stewart 
 
P(1980) 4.450.000.000. Po-
rém, para cada valor do tempo t, 
existe um valor correspondente de 
P, e dizemos que P é uma função de 
t. 
3. O custo x de enviar uma enco-
menda pelo correio depende de seu 
peso y. Embora não haja uma fór-
mula simples relacionando y e x, o 
correio tem uma fórmula que per-
mite calcular x quando y é dado. 
 
“Uma função f é uma lei que as-
socia, a cada elemento x em um 
conjunto D, exatamente um ele-
mento, chamado f(x), em um 
conjunto E”. 
 
 
8 
CÁLCULO I E II 
 
Geralmente, funções para as 
quais D e E são consideradas con-
juntos de números reais, o conjunto 
D é denominado domínio da função. 
O número representado por f(x), sig-
nifica o valor de f em x e é lido como 
“f de x”. A imagem de f é o conjunto 
de todos os valores possíveis de f (x) 
obtidos quando x varia por todo o 
domínio. O símbolo que representa 
um número arbitrário no domínio 
de uma função f é denominado uma 
variável independente. Um símbolo 
que representa um número na ima-
gem de f é denominado uma variável 
dependente. No Exemplo 1, a variá-
vel r é independente, enquanto A é 
dependente. 
Podemos então, assimilar uma 
função a uma máquina, se x estiver 
no domínio da função f, quando x 
adentrar na máquina, ele será aceito 
como entrada, e a máquina forne-
cerá uma saída f (x) conforme a lei 
que estabelece a função. Assim, po-
demos compreender o domínio co-
mo o conjunto de todas as entradas, 
enquanto a imagem é o conjunto de 
todas as possíveis saídas. 
 
Exemplo de máquina para a função 
f 
 
Fonte: Stewart 
Outra maneira de representar 
a função é como um diagrama de fle-
chas, como mostra na figura a se-
guir. Cada flecha conecta um ele-
mento de D com um elemento de E. 
A flecha indica que f(x) está associ-
ado a x, f(a) está associado a “a” e as-
sim por diante. 
 
Diagrama de flechas para f 
 
 
Fonte: Stewart 
 
A função é a relação entre dois 
ou mais conjuntos, estabelecida por 
uma lei de formação, isto é, uma re-
gra geral. Os elementos de um grupo 
devem ser relacionados com os ele-
mentos do outro grupo, através des-
sa lei. A lei de formação que intitula 
uma determinada função possui três 
características básicas: domínio, 
contradomínio e imagem. Essas ca-
racterísticas podem ser representa-
das por um diagrama de flechas, isso 
facilitará o entendimento por parte 
do estudante. 
 
 
9 
CÁLCULO I E II 
 
 Observe: Dada a seguinte fun-
ção f(x) = x + 1, e os conjuntos A(1, 
2, 3, 4, 5) e B(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Va-
mos construir o diagrama de flechas. 
 
 
 
Observe o quadro. Nessa situ-
ação, temos que: 
 
A B 
X F(x) 
1 2 
2 3 
3 4 
4 5 
5 6 
 
 Domínio: representado por to-
dos os elementos do conjunto 
A. (1, 2, 3, 4, 5) 
 Contradomínio: representado 
por todos os elementos do 
conjunto B. (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) 
 Imagem: representada pelos 
elementos do contradomínio 
(conjunto B) que possuem cor-
respondência com o domínio 
(conjunto A).(2, 3, 4, 5, 6) 
 
 
O conjunto domínio possui al-
gumas características especiais que 
definem ou não uma função. Todos 
os elementos do conjuntodomínio 
devem possuir representação no 
conjunto do contradomínio. Caso 
isso não ocorra, a lei de formação 
não pode ser uma função. Observe: 
 
Função 
 
 
 
Não é uma função 
 
 
 
Restam elementos no conjun-
to domínio, que não foram associa-
dos ao conjunto imagem. 
 
Não é função 
 
 
 
 
 
 
10 
CÁLCULO I E II 
 
Um único elemento do domí-
nio não deve possuir duas imagens. 
 
Função 
 
 
 
Dois elementos diferentes do 
domínio podem possuir a mesma 
imagem. 
Exemplo: Vamos considerar o 
conjunto A formado pelos seguintes 
elementos {–3, –2, 0, 2, 3}, que irão 
possuir representação no conjunto B 
de acordo com a seguinte lei de for-
mação y = x². 
 
 
 
Aplicada a lei de formação, te-
mos os seguintes pares ordenados: 
{(–3, 9), (–1, 1), (0, 0), (2, 4), (4, 
16)}. Essa relação também pode ser 
representada com a utilização de di-
agramas de flechas, relacionando 
cada elemento do conjunto A com os 
elementos do conjunto B. Observe: 
 
 
No diagrama é possível obser-
var com mais clareza que todos os 
elementos de A, estão ligados, a um 
elemento de B, então podemos dizer 
que essa relação é uma função. Des-
sa forma o domínio é dado pelos ele-
mentos do conjunto A, e a imagem, 
pelos elementos do conjunto B. 
Geralmente o método mais 
utilizado para visualizar uma função 
é através de seu gráfico. Se “f” for 
uma função com domínio D, então 
seu gráfico será o conjunto de pares 
ordenados. 
 
 
 
O gráfico de “f” consiste de to-
dos os pontos (x, y) no plano coorde-
nado tais que y= f(x) e x está no do-
mínio de f. O gráfico de uma função 
f nos fornece uma imagem útil do 
comportamento ou “histórico” da 
função. Uma vez que a coordenada y 
de qualquer ponto (x, y) sobre o grá-
fico é y= f(x), podemos ler o valor 
f(x) como a altura do ponto no grá-
fico acima de x. 
 
 
11 
CÁLCULO I E II 
 
 
Fonte: Stewart 
 
O gráfico de f também nos per-
mite visualizar o domínio de f sobre 
o eixo x e a imagem sobre o eixo y. 
 
Fonte: Stewart 
 
Exemplo: para o gráfico de 
uma função “f” a seguir. 
a) Encontre os valores de f(1) e f(5). 
b) Quais são o domínio e a imagem 
de f? 
 
 
Fonte: Stewart 
a. Vemos na Figura 6 que o ponto 
(1, 3) encontra-se no gráfico de f, en-
tão, o valor de f em 1 é f(1)=3 . (Em 
outras palavras, o ponto no gráfico 
que se encontra acima de x = 1 está 3 
unidades acima do eixo x.) Quando x 
= 5, o ponto no gráfico que corres-
ponde a esse valor está 0,7 unidade 
abaixo do eixo x e estimamos que 
f(5) -0,7 . 
b. (b) Vemos que f(x) está defi-
nida quando , logo, o domí-
nio de f é o intervalo fechado [0, 7]. 
Observe que os valores de f variam 
de -2 a 4, assim, a imagem de f é. 
 
 
Função Polinomial 
 
Toda função na forma
é considerada uma função polino-
mial, onde p(x) está em função do 
valor de x. A cada valor atribuído a x 
existe um valor em y, pois x: domí-
nio da função e y: imagem. O grau de 
um polinômio é expresso através do 
maior expoente natural entre os mo-
nômios que o formam. Veja: 
 
g(x) = 4x³ + 10x² - 5x + 2: po-
linômio grau 3. 
 
f(x) = -9x² + 12x - 6: polinômio 
grau 2. 
 
h(x) = -3x+ 6: 
Polinômio grau 1. 
 
 
12 
CÁLCULO I E II 
 
Em uma função polinomial, à 
medida que os valores de x são atri-
buídos descobrimos os respectivos 
valores em y [p(x)], vão construindo 
o par ordenado (x,y) usado nas re-
presentações gráficas no plano car-
tesiano. Observe: 
Dada a função polinomial p(x) 
= 2x³ + 2x² - 5x + 1. Determine os 
pares ordenados: 
 
 Quando x=0. 
 
p(x) = 2x³ + 2x² - 5x + 1 
p(0) = 2.0³ + 2.0² - 5.0 + 1 
p(0) = 0 + 0 – 0 + 1 
p(0) = 1 
par ordenado (0,1). 
 
 Quando x = 1 
 
p(1) = 2.1³ + 2.1² - 5.1 + 1 
p(1) = 2 + 2 – 5 + 1 
p(1) = 0 
par ordenado (1,0) 
 
 Quando x = 2 
 
p(2) = 2.2³ + 2.2² - 5.2 + 1 
p(2) = 2.8 + 2.4 - 10 + 1 
p(2) = 16 + 8 - 10 + 1 
p(2) = 15 
par ordenado (2,15) 
 
Polinômio Nulo 
 
Um polinômio é nulo quando 
todos os seus coeficientes forem 
iguais a zero. P(x) = 0. 
Função Racional 
 
Uma função racional f é a ra-
zão de dois polinômios: 
 
 
Onde P e Q são polinômios. O 
domínio consiste em todos os valo-
res de x tais que . Um exem-
plo simples de uma função racional 
é a função f(x)= 1/x, cujo domínio é
. 
Exemplos: 
 
E uma função racional, pois 
tem dois polinômios. 
 
 
Não é uma função racional, 
pois a variável x está dentro de um 
radical. 
 
E uma função racional, pois 
tem dois polinômios e a variável x 
não está dentro do radical. 
 
 
Não é uma função racional, 
pois não é dada pelo quociente de 
dois polinômios, a variável x está 
dentro de um radical. 
 
 
13 
CÁLCULO I E II 
 
Função Trigonométrica 
 
As funções podem ser periódi-
cas, e são funções que possuem um 
comportamento periódico. Ou seja, 
que ocorrem em determinados in-
tervalos de tempo. As funções trigo-
nométricas são exemplos de funções 
periódicas visto que apresentam cer-
tos fenômenos periódicos. 
São também denominadas 
funções circulares, e tem relação 
com as voltas no ciclo trigonométri-
co. Em cálculo, convenciona-se dar a 
medida de ângulos em radianos (ex-
ceto quando explicitamente mencio-
nado). Por exemplo, quando utiliza-
mos a função f(x)= senx, entende-se 
que x seja o seno de um ângulo cuja 
medida em radianos é x. 
No círculo trigonométrico ca-
da número real está associado a um 
ponto. 
 
Círculo trigonométrico e ângulos 
representados em graus e radianos 
 
 
Fonte: Toda Matéria 
As principais funções trigono-
métricas são: 
Função seno: É uma função f: 
R→R que associa a cada número 
real x o seu seno, então, f(x) = senx. 
O sinal da função f(x) = senx é posi-
tivo no 1º e 2º quadrante, e é nega-
tivo quando x pertence ao 3º e 4º 
quadrante. 
 
 
O domínio e o contradomínio 
da função seno são iguais a R. Ou 
seja, ela está definida para todos os 
valores reais: Dom(sen)=R. Já o 
conjunto da imagem da função seno 
corresponde ao intervalo real [-1, 1]: 
-1 < sen x < 1. 
 
 
Fonte: Matematica Básica 
 
 
 
14 
CÁLCULO I E II 
 
Em relação à simetria, a fun-
ção seno é uma função ímpar: sen(-
x) = -sen(x). 
Exemplo: sabendo que π/6 = 
30º e seno de 30º= 1/2 então: 
 
 
 
Função cosseno: É uma função f: 
R → R que associa a cada número 
real x o seu cosseno, então f(x) = 
cosx. O sinal da função f(x) = cosx é 
positivo no 1º e 4º quadrante, e é ne-
gativo quando x pertence ao 2º e 3º 
quadrante. 
 
 
 
O domínio e o contradomínio 
da função cosseno são iguais a R. Ou 
seja, ela está definida para todos os 
valores reais: Dom(cos)=R. Já o 
conjunto da imagem da função cos-
seno corresponde ao intervalo real [-
1, 1]: -1 < cos x < 1. 
 
 
 
 
 
Fonte: Matematica Básica 
 
Em relação à simetria, a fun-
ção cosseno é uma função par: cos(-
x) = cos(x). 
Exemplo: sabendo que π/6 = 
30º e cosseno de 30º= então: 
 
 
Função tangente: É uma função f: 
R → R que associa a cada número 
real x a sua tangente, então f(x) = 
tgx. O sinal da função tangente é po-
sitivo quando x pertence ao primeiro 
e terceiro quadrantes. Já no segundo 
e quarto quadrantes, o sinal é nega-
tivo. 
 
 
 
 
15 
CÁLCULO I E II 
 
O domínio da função tangente 
é: Dom(tan)={x ∈ R│x ≠ de π/2 + 
kπ; K ∈ Z}. Assim, não definimos tg 
x, se x = π/2 + kπ. Já o conjunto da 
imagem da função tangente corres-
ponde a R, ou seja, o conjunto dos 
números reais. Em relação à sime-
tria, a função tangente é uma função 
ímpar: tg(-x) = -tg(-x). 
Exemplo: sabendo que π/3 = 
60° e que a tg 60º = √3 então: 
 
 
 
Função Exponencial 
 
E aquela cujo a variável está no 
expoente e a base é sempre maior 
que 0 e ≠ de 1. Essas restrições são 
necessárias, pois 1 elevado a qual-
quer número resulta em 1. Dessa for-
ma, em vez de exponencial, estaría-
mos diante de uma função constan-
te. Além disso, a base não pode ser 
negativa, nemigual a 0, pois para al-
guns expoentes a função não estaria 
definida. 
Exemplo: a base igual a - 3 e o 
expoente igual a 1/2. Como no con-
junto dos números reais não existe √ 
de número negativo, não existiria 
imagem da função para esse valor. 
A função f(x)=2x é chamada de 
função exponencial, pois a variável x 
é o expoente. Ela não pode ser con-
fundida com a função potência 
g(x)=x2, na qual a variável é a base. 
Uma função exponencial é 
uma função do tipo f(x)=bx, onde b é 
a base. 
b>0 
b ≠1 
 
Exemplo: 
f(x) = 7x 
f(x) =( 〖0,4)x 
 
Gráfico da função exponencial 
 
Na função exponencial a base 
é sempre maior que zero, portanto, a 
função terá sempre imagem positi-
va. Assim sendo, não apresenta pon-
tos nos quadrantes III e IV, que re-
presenta uma imagem negativa. A 
curva exponencial não toca no eixo 
x. 
 
 
Fonte: Toda Matéria 
 
 
 
 
16 
CÁLCULO I E II 
 
A função exponencial pode ser 
crescente ou decrescente. 
Crescente: quando a base for 
>1. 
Exemplo 
 Vamos atribuir valores para y 
= 2x e encontrar sua imagem. 
 
 
Fonte: Toda Matéria 
 
Atribuído valores para x, nota-
se que quando aumenta o valor a 
imagem também aumenta, então a 
função é crescente. Veja a represen-
tação no gráfico. 
 
 
Fonte: Toda Matéria 
Decrescente: a base é um nú-
mero entre 0 e 1, ou seja, 0 < a < 1. 
Exemplo: vamos atribuir valo-
res a f(x) = e encontrar sua ima-
gem. 
 
 
Fonte: Toda Matéria 
 
Atribuídos valores para x, no-
ta-se que quando aumenta o valor a 
imagem reduz, então a função é de-
crescente. Veja a representação no 
gráfico. 
 
 
Fonte: Toda Matéria 
 
 
17 
CÁLCULO I E II 
 
 
 
Função Logarítmica 
 
Toda função definida pela lei 
de formação f(x) = logaX, com a ≠ 1 
e a > 0 é denominada função logarít-
mica de base a Nesse tipo de função 
o domínio é representado pelo con-
junto dos números reais maiores 
que zero e o contradomínio, o con-
junto dos reais. 
Exemplos de funções logarít-
micas: 
 
 
A função logarítmica é a in-
versa da função exponencial. 
 
Sendo o logaritmo de um nú-
mero definido como o expoente ao 
qual se deve elevar a base a para ob-
ter o número x, ou seja, y = 
 Assim, conhecendo 
o gráfico da função exponencial de 
mesma base, por simetria podemos 
construir o gráfico da função 
logarítmica. 
 
 
Fonte: Toda Matéria 
 
Analisando o gráfico, é possí-
vel perceber que a função exponen-
cial cresce rapidamente, a função lo-
garítmica cresce lentamente. 
 
 
 
 
18 
CÁLCULO I E II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20 
CÁLCULO I E II 
 
2. Limites e Continuidade 
 
 
Fonte: Freepik2 
 
Limites 
 
definição de limite é utilizada 
com objetivo de expor o com-
portamento de uma função nos mo-
mentos em que se aproxima de de-
terminados valores. O limite de uma 
função possui grande importância 
no cálculo diferencial e em outros 
ramos da matemática. 
Dizemos que uma função f(x) 
tem um limite A quando x → a (→: 
ler-se tende). 
 
 
 
 
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Noção Intuitiva de Limite 
 
Seja a função f(x)=2x+1. Va-
mos dar valores a x que se aproxi-
mem de 1, pela esquerda (valores 
menores que 1) e calcular o valor 
correspondente de y: 
 
 
A 
 
 21 
CÁLCULO I E II 
 
Pela sua direita (valores maio-
res que 1) e calcular o valor corres-
pondente de y: 
 
 
 
Notamos que à medida que x 
se aproxima de 1, y se aproxima de 3, 
ou seja, quando x tende para 1, y 
tende para 3. O limite da função é 3. 
 
 
 
Outro exemplo de limite é 
quando x se aproxima de 3cm. A 
área (x2) se aproxima de 9cm² como 
um limite. Então temos, 
 
Onde a notação (x→3) indica 
que x tende a 3 e “lim” significa “o li-
mite de”. 
 
Propriedades do limite 
 
O limite da soma é a soma dos 
limites. 
 
 
Exemplo: 
 
 
O limite do produto de duas ou 
mais funções de mesma variável de-
ve ser igual a multiplicação de seus 
limites. 
 
 
 Exemplo: 
 
 
O limite do quociente é o quo-
ciente dos limites desde que o deno-
minador não seja zero. 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
O limite da raiz positiva de 
uma função é igual à mesma raiz do 
 
 22 
CÁLCULO I E II 
 
limite da função, lembrando que 
esta raiz precisa ser real. 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
Limites laterais 
 
Se x se aproxima de “a” através 
de valores maiores que “a’ ou pela 
sua direita, esse limite é chamado de 
limite lateral à direita de a. Escreve-
mos: 
 
 
Se x se aproxima de “a” através 
de valores menores que “a” ou pela 
sua esquerda, esse limite é chamado 
de limite lateral à esquerda de a. Es-
crevemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limites Infinitos 
 
A expressão x→+∞ (ler-se que 
x tende para o infinito) significa que 
x assume valores superiores a qual-
quer número real e x→-∞ (ler-se que 
x tende para menos infinito), da 
mesma forma, indica que x assume 
valores menores que qualquer nú-
mero real. 
Vamos analisar o gráfico a se-
guir. 
 
 23 
CÁLCULO I E II 
 
 
 
a. lim
𝑥→∞
1
𝑥
= 0= ou seja, à medida 
que x aumenta, y tende para zero e o 
limite é zero. 
b. lim
𝑥→−∞
1
𝑥
= 0 ou seja, à medida 
que x diminui, y tende para zero e o 
limite é zero. 
c. lim
𝑥→+0
1
𝑥
= ∞ ou seja, quando x 
se aproxima de zero pela direita de 
zero (x→0+) ou por valores maiores 
que zero, y tende para o infinito e o 
limite é infinito. 
d. lim
𝑥→−0
1
𝑥
= −∞ ou seja, quando x 
tende para zero pela esquerda 
(x→0-) ou por valores menores que 
zero, y tende para menos infinito. 
 
Se η é um número inteiro posi-
tivo, então temos: 
 
lim
𝑥→±∞
1
𝑥
𝜂 = 0 
 
E sendo constante K, temos: 
lim
𝑥→±∞
𝑘 = 𝑘 
 
Exemplos: 
a. lim
𝑥→+∞
(3 +
1
𝑥
) = lim
𝑥→+∞
3 + 
 
lim
𝑥→+∞
1
𝑥
= 3+0 = 3 
 
b. lim
𝑥→−∞
(
𝜋√2
𝑥3
) = lim
𝑥→−∞
𝜋√2.
1
𝑥3
= 
lim
𝑥→−∞
𝜋√2 . lim
𝑥→−∞
1
𝑥3
= 
 
π√2 . 0 = 0 
 
No Limite de uma função poli-
nomial quando x→±∞ podemos di-
vidir o numerador e o denominador, 
pela maior potência de x do denomi-
nador. 
Exemplos: 
A) Quando o numerador e 
denominador possuem o mesmo 
grau. 
 
 
Neste exemplo, divide todo o 
numerador e denominador por x². 
Observação: 
 
 
 
 
 
 24 
CÁLCULO I E II 
 
B) Quando o numerador 
possui grau menor que o denomina-
dor. 
 
 
Neste exemplo, divide todo o 
numerador e denominador por x³. 
C) Quando o numerador 
possui grau maior que o denomina-
dor. 
 
 
Neste exemplo, divide todo o 
numerador e denominador por x. 
Observação: no cálculo de li-
mites no infinito de funções polino-
mial, podemos considerar apenas o 
limite no infinito do quociente entre 
os termos de maior grau tanto do 
numerador como do denominador. 
Exemplo: 
 
 
 
Limites Trigonométricos 
 
 
 
Obs: Usa x em radianos. Para 
demonstrar que o valor é =1 analisa-
remos o gráfico. 
 
 
 
Para x→+0, temos: 
sen x < x < tg x. 
 
Dividindo a dupla desigualda-
de por sen x > 0, temos: 
sen x < x < tg x. 
 
 25 
CÁLCULO I E II 
 
 
 
 Invertendo temos: 
 
 Porém lim
𝑥→0
1 = lim
𝑥→0
cos = 1 
 
 Adotando as letras g, f e h. g(x) 
< f(x) < h(x) são funções contí-
nuas. 
 
 lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) = 𝑏 Como f(x) 
encontra-se entre g(x) e h(x) ou seja, 
entre 1 e 1, então lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑏 
Logo, lim
𝑥→0
(
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
)
.
= 1 
 
 
 
Limites Exponenciais 
 
 
 
Neste caso, “e” representa a 
base dos logaritmos naturais. Trata-
se do número irracional e cujo valor 
aproximado é 2,7182818. 
Veja a tabela com valores de x 
e de 
 
 
Notamos que à medida que 
 
 
Exemplo: 
Demonstre que lim
𝑥→+0
(1 + 𝑥)1/𝑥 
e Trocamos a variável x por x= 
1
𝑡
 
 
 
 
 
 26 
CÁLCULO I E II 
 
Desta forma os dois são iguais 
a “e’. 
 
Funções Contínuas 
 
As funções contínuas estão vi-
gorosamente vinculadas com os li-
mites, pois quando se quersaber se 
uma função é contínua deve-se ana-
lisar também a existência do limite. 
Podemos afirmar, de maneira 
grosseira que uma função é contínua 
quando conseguimos desenhar seu 
gráfico sem tirar o lápis do papel, ou 
seja, de maneira interrupta. Ou ain-
da, quando o gráfico da função não 
possui quebras ou saltos em todo 
seu domínio. 
Para uma função f(x) ser con-
tínua em x=a se as devidas condi-
ções forem satisfeitas. 
 f(a) está definida 
 lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) existir 
 lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = f(a) 
 
Caso falhar qualquer uma des-
tas condições, a função f(x) é dita 
descontínua em x = a. 
Exemplos 
A) Determine se f(x) é con-
tínua em x = 1, onde: 
 
 
 
A função está definida f(1)=1 . 
Fazendo a análise do limite temos: 
 
 
 
Devemos então conferir 
se lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = f(a). 
 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = 2 ≠ 1 = f(1) então f(x) é 
descontínua em x=1. 
Podemos observar essa des-
continuidade no gráfico a seguir. 
 
 
Fonte: Dicas de Cálculo 
 
B) Determine se f(x) é contí-
nua em x= 1, onde: 
 
 
 27 
CÁLCULO I E II 
 
 
 
A função está definida em x= -
1, pois 
f(-1) = (-1)²- (-1)-2 
f(-1) = 1+1-2 = 0 
 
Vamos calcular os limites late-
rais, pois são funções diferentes. 
 Pela direita 
 
lim
𝑥→1+
𝑥2 − 𝑥 − 2 = 
 
 Pela esquerda 
 
lim
𝑥→1−
𝑥 + 1 = 0 
 
O limite existe pois, os limites 
laterais são iguais. 
 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = 0 
 
Então, deve-se analisar se a 
função em x=-1 é igual ao limite nes-
te mesmo ponto. 
 
 
 
Conclui-se que f(x) é contínua 
em x=-1. Vamos observar essa conti-
nuidade no seguinte gráfico. 
 
Fonte: Dicas de Cálculo 
 
Exercícios resolvidos 
 
1) Verifique se a seguinte fun-
ção é contínua em x=1. 
 
 
 
Primeiramente temos: 
f (x)= 2-x 
f(1) = 2-1 = 1 
 
Calculando os limites laterais, 
se o limite existir e for igual a f(1) = 
1, então f(x) será contínua em x = 1. 
 Pela direita 
 
 
 
 28 
CÁLCULO I E II 
 
 Pela esquerda 
 
lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1−
(2 − 𝑥) = 1 
 
Neste exercício 1 podemos 
concluir que os limites laterais são 
diferentes, então f(x) não é contínua 
em x=1. 
 
2) Verifique se a seguinte fun-
ção é contínua em x=1. 
 
 
 
Primeiramente temos: 
 
f (x)= x + 2 
f(1) = 1+2 = 3 
 
Calculando os limites laterais, 
se o limite existir e for igual a f(1) = 
3, então f(x) será contínua em x = 1. 
 
 Pela direita 
 
 
 
 
 Pela esquerda 
 
lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1−
(𝑥 + 2) = 3 
 
Neste exercício 2 podemos 
concluir que os limites laterais são 
iguais, então f(x) é contínua em x=1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30 
CÁLCULO I E II 
 
3. A Derivada 
 
 
Fonte: Perseus 
 
Reta Tangente e Velocida-
de Instantânea 
 
método de encontrar a reta 
tangente a uma curva e o mé-
todo de encontrar a velocidade de 
um objeto, implicam em determinar 
um tipo de limite. Este tipo especial 
de limite é chamado de derivada e 
veremos que ele pode ser interpre-
tado como uma taxa de variação 
tanto nas ciências quanto na enge-
nharia. Para entender o conceito de 
derivada, primeiramente você pre-
cisa saber o que é uma reta tangente. 
 
Coeficientes da Reta 
 
Coeficiente angular: está direta-
mente relacionado com a inclinação 
de uma reta ou com a inclinação de 
um segmento de reta. 
Exemplo: Sejam A( X1, Y1) e 
B(X2,Y2) dois pontos distintos no 
plano cartesiano. Então o coefici-
ente angular 𝓂 do segmento de 
reta𝐴𝐵 é dado por: 
 
 
 
Fonte: Brasil Escola 
O 
 
 31 
CÁLCULO I E II 
 
Sendo o coeficiente angular a 
variação na vertical (eixo y) pela va-
riação na horizontal (eixo x) da incli-
nação de uma reta ou de um seg-
mento de reta, vamos verificar no 
gráfico a seguir. 
 
Fonte: Brasil Escola 
 
Completando o segmento de 
reta com um triângulo retângulo e 
colocando um ponto C para melhor 
visualização, temos na vertical𝐵𝐶 a 
variação no eixo y do segmento de 
reta, sendo representada por∆𝑦 e na 
horizontal𝐴𝐶 a variação no eixo x, 
sendo representada por∆𝑥.Desta 
forma: 
 
 
 
Fonte: Brasil Escola 
Então: 
 
 
 
No plano cartesiano uma reta 
pode surgir de várias formas, po-
dendo ser crescente, decrescente, 
estar na horizontal ou na vertical. 
 Reta crescente: seu coeficiente 
angular será sempre um valor 
positivo, assim 𝓂 > 0. 
 Reta decrescente: seu coefici-
ente angular será um valor ne-
gativo, assim 𝓂 < 0.. 
 Reta horizontal: seu coefici-
ente angular não é nem posi-
tivo e nem negativo, assim 
𝓂 = 0.. 
 Reta na vertical: é igual a zero, 
então ele não existe. 
 
Levando em consideração o 
triângulo BCA e que o coeficiente 
angular é igual à tangente do ângulo 
de inclinação, teremos: 
 
 
 
Exemplo: Determine o coefici-
ente angular da reta que passa pelos 
pontos A(-2,1) e B(3,4)? 
 
 
 32 
CÁLCULO I E II 
 
 
 
 Reta formada pelo seu ponto e 
coeficiente angular: A equação 
da reta que passa pelo ponto 
(X0 e Y0) e possui coeficiente 
angular 𝓂 é dada por Y- Y0 = 
𝓂 (X-X0) 
 
Exemplo: 
Escreva a equação da reta que 
passa pelo ponto (3,2) com inclina-
ção 
−3
2
 
Y- Y0 = 𝓂 (X – X0) 
 Y- 2 = 
−3
2
 (x - 3) 
2Y-4 = -3X + 9 
2Y +3 – 13 = 0 
 
 Coeficiente angular da reta 
tangente 
 
Tendo uma curva y = f(x) e um 
ponto p(x1, y1) sobre ela. O coefici-
ente angular da reta tangente a 
curva no ponto p é dada por: 
 
𝓂 = lim
∆𝑥→0
(
𝑓(𝑋1 + ∆𝑥)
∆𝑋
)
.
− 𝑓(𝑋1) 
 
Exemplo: Encontre o coefici-
ente angular da reta tangente a cur-
va y=x²-6x+8 no ponto (x1,y1) 
 
f(x) = x²-6x+8 
f(x1) = x1²-6x1+8 
 
f(x1+∆𝑥) = (x1+∆𝑥)² - 6 (x1+∆𝑥)+8 
f(x1+∆𝑥) = x1²+2∆𝑥1∆𝑥+(∆𝑥)²-6x1-
6∆𝑥+8 
 
 
 
Velocidade média 
 
A velocidade é uma grandeza 
que resulta da variação de tempo e 
variação de espaço percorrido por 
um móvel, ela mede a variação da 
posição do móvel no tempo, e nos 
oferece um valor que representa o 
quanto o móvel está rápido ou deva-
gar ao realizar um determinado tra-
jeto. Quando estiver o termo veloci-
dade escalar, refere-se a uma gran-
deza escalar, que tem apenas valor 
numérico, sem preocupar com as ca-
racterísticas de um vetor que são di-
reção e sentido. 
 
 33 
CÁLCULO I E II 
 
A velocidade média esta ligada 
a um intervalo de tempo ∆t 
Exemplo: Um carro parte do 
repouso (velocidade inicial zero) e 
percorre 200m em 10s. Qual a velo-
cidade média deste móvel nos 10s de 
movimento? 
Temos que a variação de es-
paço representada por ∆𝑠foi de 
200m, e a variação de tempo repre-
sentada por ∆𝑡 foi de 10s, assim, a 
velocidade média é dada por: 
Vm = ∆S/∆t 
Vm = 200m / 10s 
Vm = 20m/s 
 
Embora a velocidade média 
ter sido dada por 20m/s, isto não 
significa que o carro estava sempre 
nessa velocidade de 20m/s, uma vez 
que ele partiu da velocidade inicial 
zero e aumentou ao longo do per-
curso. 
 
Velocidade Instantânea 
 
A velocidade instantânea está ligada 
a um instante de tempo t, diferente 
da velocidade média que esta ligada 
a um intervalo de tempo ∆t. Para sa-
ber a velocidade instantânea do 
carro no instante 4s, sabendo que a 
aceleração do mesmo é de 2m/s, de-
vemos utilizar a equação abaixo: 
 
V = V0 + a.t 
 
Onde: 
V: é a velocidade final do móvel. 
V0: é a velocidade inicial do móvel. 
a: é a aceleração do móvel. 
t: é o tempo. 
 
Esta é a função para encontrar 
a velocidade para o movimento uni-
formemente variado. Então para en-
contrar a velocidade instantânea do 
carro, é só substituir os valores da 
seguinte forma. 
V = V0 + a.t 
V = 0 + 2 . 4 
V = 8 m/s 
 
Assim, a velocidade do móvel no ins-
tante 4s é igual a 8m/s e esta pode 
ser chamada de velocidade instantâ-
nea já que se refere ao instante 4s. 
 
Definição de derivada 
 
A derivada corresponde a taxa 
de variação de uma função y = f(x) 
em relação à x, dada pela relação ∆x 
/ ∆y. Considerando uma função y = 
f(x), a sua derivada no ponto x = x0 
correspondeà tangente do ângulo 
formado pela intersecção entre a 
reta e a curva da função y = f(x), isto 
é, o coeficiente angular da reta tan-
gente à curva. Temos que: 
 
lim
∆𝑥→0
(
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
)
.
 
 
Se o limite existir. Temos que 
a taxa de variação instantânea de 
 
 34 
CÁLCULO I E II 
 
uma função y = f(x) em relação a x é 
dada pela expressão dy / dx. A deri-
vada de uma função y = f(x), pode 
ser representada também pelos sím-
bolos: 
 Dxf(x) 
 F’(x) 
 DxY 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
Exemplo: 
1) Dada a função f(x)= 3x²+2x-1 
encontre f ’(3). 
 
f ’(3)= lim
∆𝑥→0
(
𝑓(3+∆𝑥)−𝑓(3)
∆𝑥
)
.
= 
 
f ‘(3) = 3.3²+2.3-1 = 32 
 
 f(3+∆𝑥)=3.(3+∆𝑥)²+2(3+∆𝑥)-1= 
 
 
 f(3+∆𝑥)= 32+20∆𝑥 + 3(∆𝑥)2 
 
lim
∆𝑥→0
(
32 + 20∆𝑥 + 3(∆𝑥)2 − 32
∆𝑥
)
.
 
 
lim
∆𝑥→0
(
20∆𝑥 + 3(∆𝑥)²
𝑛
)
𝑛
 
 
lim
∆𝑥→0
∆𝑥 (
20 + 3∆𝑥
∆𝑥
) . 
 
lim
∆𝑥→0
20 + 3∆𝑥 
 
lim
∆𝑥→0
20 + 3.0 = 20 
 
Derivadas Laterais e Conti-
nuidade 
 
Derivadas Laterais 
 
Caso o limite exista, as deriva-
das laterais são definidas por: 
 
lim
∆𝑥→0+
(
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
)
.
 
 
Quando esta tender a zero pela di-
reita. 
lim
∆𝑥→0−
(
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
)
.
 
 
Quando esta tender a zero pela es-
querda. 
 
Uma função será derivável em 
um ponto se existirem derivadas la-
terais e se essas derivadas forem 
iguais. 
Exemplos: 
1) Seja f a função definida por 
 
𝑓(𝑥) = {
5 − 2𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 3
4𝑥 − 13, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3 
 
 
Encontre f ’+(3) e f ’-(3). 
 
Vamos fazer o cálculo pela direita. 
 
lim
∆𝑥→0+
(
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
)
.
 
 
 
 
 
 35 
CÁLCULO I E II 
 
f(3)= 4.3-13= 
f(3)= 12-13=-1 
 
f(3+∆𝑥) = 4(3+∆𝑥)-13 = 
f(3+∆𝑥) = 12+4∆𝑥 − 13 = 
f(3+∆𝑥) = 4∆𝑥 − 1 
 
lim
∆𝑥→0+
(
𝑓(3 + ∆𝑥) − 𝑓(3)
∆𝑥
)
.
= 
 
lim
∆𝑥→0+
(
4∆𝑥 − 1 + 1
∆𝑥
)
.
= 4 
 
 
Agora o cálculo pela esquerda. 
 
lim
∆𝑥→0−
(
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
)
.
 
 
f(3+∆x) = 5-2(3+∆x) = 
f(3+∆x) = 5-6+2∆x = 
f(3+∆x) = -1-2∆x 
 
lim
∆𝑥→0−
(
𝑓(3 + ∆𝑥) − 𝑓(3)
∆𝑥
)
.
= 
 
lim
∆𝑥→0−
(
−1 − 2∆𝑥 + 1
∆𝑥
)
.
= −2 
 
Podemos concluir que as derivadas 
existem, porém como são valores di-
ferentes a função x=3 não será deri-
vável, assim, consideramos que a de-
rivada naquele ponto não existe. 
 
2) Seja f a função definida por 
 
𝑓(𝑥) = {
𝑥2, 𝑠𝑒 𝑥 < 1
 2𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1
 
 
Encontre f ’+(1) e f ’-(1). 
 
Cálculo pela direita 
 
f(1)= 2.1-1 = 
f(1)= 1 
 
f(1+∆x) = 2(1+∆x)-1 = 
f(1+∆x) = 2+2∆x-1= 
f(1+∆x)=1+2∆x 
 
lim
∆𝑥→0+
(
𝑓(1 + ∆𝑥) − 𝑓(1)
∆𝑥
) =. 
 
lim
∆𝑥→0+
(
1 + 2∆𝑥 − 1
∆𝑥
)
.
= 
 
lim
∆𝑥→0+
2 = 2 
 
Cálculo pela esquerda. 
 
f(1+∆x) = (1+∆x)² = 
f(1+∆x) = 1+2∆x+(∆𝑥)² 
 
lim
∆𝑥→0−
(
𝑓(1 + ∆𝑥) − 𝑓(1)
∆𝑥
)
.
= 
 
lim
∆𝑥→0−
(
1 + 2∆𝑥(∆𝑥)2 − 1
∆𝑥
) =. 
 
lim
∆𝑥→0−
(
∆𝑥(2 + ∆𝑥)
∆𝑥
)
.
= 
 
lim
∆𝑥→0−
2 + ∆x = 2 + 0 = 2 
 
 
 36 
CÁLCULO I E II 
 
Podemos concluir que as deri-
vadas existem, e tem valores iguais, 
então a função x=1 será derivável, 
assim, consideramos que a derivada 
naquele ponto existe. 
 
Continuidade 
 
Em relação a continuidade, se 
uma função f é derivável em um nú-
mero x, ela será então contínua em 
x. isso se deve por uma razão em que 
uma função descontínua em um 
ponto, apresenta um salto, então 
não pode ser derivável nesse ponto. 
Porém, existem funções contínuas 
que não são deriváveis, por exemplo 
a função f(x) = [x]. Vejamos: 
 
𝑓(𝑥) = {
−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
 
 
lim
∆𝑥→0
(
𝑓(0 + ∆𝑥) − 𝑓(0)
∆𝑥
)
.
= 
 
Cálculo pela direita 
 
lim
∆𝑥→0+
(
0 + ∆𝑥 − 0
∆𝑥
)
.
= 1 
 
Cálculo pela esquerda 
 
lim
∆𝑥→0−
(
−0 − ∆𝑥 − 0
∆𝑥
)
.
= −1 
 
Podemos concluir que não 
existem derivadas da função x=0, 
porém o gráfico é contínuo em x=0. 
Veja: 
 
Fonte: Stewart 
 
Regras de derivação 
 
 Derivada de uma constante 
 
Se C é uma constante e f(x)= C 
para todo x, então f’(x)=0 
 
Exemplo: 
f(x) = 7 
f(x)=0 
 
 Derivada de uma potência 
 
Se 𝓃 é um número inteiro po-
sitivo e f(x)= 𝑥𝓃, então f(x) = 𝑥𝓃−1 
Exemplo: 
f(x) = 𝑥9 
f(x) = 9𝑥9−1 
f(x)= 9𝑥8 
 
 Derivada do produto de uma 
constante por uma função 
 
A derivada de uma constante 
multiplicando uma função, é a cons-
tante multiplicando a derivada da 
função. 
 
 
 37 
CÁLCULO I E II 
 
Exemplo: 
f(x)= 5x³ 
f(x)= 5.3x² 
f(x)= 15x² 
 
 
 
 Derivada da soma / subtração 
 
A derivada de uma soma é a 
soma das derivadas. 
 
Exemplo: 
f(x)= 2x³-4x+5 
f(x)= 2.3x²-1.4+0 
f(x)=6x²-4 
 
 Derivada do produto 
 
Sejam f e g funções e h a fun-
ção definida por h(x)= f(x).g(x). se a 
derivada f ’(x) e g’(x) existem então: 
h’(x) = f(x). g’(x)+f ’(x).g(x) 
 
Exemplo: 
f(x)= 𝑥4. (5x³-2) 
f(x)= 𝑥4. (5.3x²-0)+4x³.(5x³-2) 
f(x)= 𝑥4.15x²+20𝑥6-8x³ 
f(x)= 15𝑥6+20𝑥6-8x³ 
f(x)= 35𝑥6-8x³ 
 
 Derivada do quociente 
 
Sejam f e g funções e h a fun-
ção definida por h(x)= f(x)/g(x) no 
qual g(x)≠0. Se a derivada f ’(x) e 
g’(x) existem então: 
 
 
 h’(x)= 
𝑔(𝑥).𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥).𝑔′(𝑥)
[𝑔(𝑥)]²
 
 
 
Exemplo: 
f(x)= 
𝑥³
𝑥2+5
 = 
 
f(x)= 
(𝑥2+5).3𝑥2−𝑥3.2𝑥+0
(𝑥2+5)²
 = 
 
f(x)= 
3𝑥4+15𝑥2−2𝑥4 
𝑥4+10𝑥2+25
 = 
 
f(x)= 
𝑥4+15𝑥²
𝑥4+10𝑥2+25
 
 
Regra da cadeia 
 
É uma fórmula para a derivada 
da função composta de duas fun-
ções. Se y é uma função derivável de 
u e se u é uma função derivável de x, 
então y é uma função derivável de x. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 
𝑑𝑦
𝑑𝑢
 .
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
Exemplos: 
1) Determine 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 de y=(3x+1)³. 
 
Vamos calcular pelo método estu-
dado até aqui, expandindo e deri-
vando o polinômio resultante. 
 
y=(3x+1)³ 
y= (3x+1)².(3x+1)¹ 
y= (9x²+6x+1).(3x+1) 
y=27x³+18x²+3x+9x²+6x+1 
y= 27x³+27x²+9x+1 
 
 38 
CÁLCULO I E II 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 81𝑥2 + 54𝑥 + 9 
 
Agora utilizando o método da 
regra da cadeia, usando u para re-
presentar (3x+1). Então temos: 
y=(3x+1)³ 
u= (3x+1) 
y= u³ 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑢2. 3 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3. (3𝑥 + 1)2. 3 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 9(9𝑥2 + 6𝑥 + 1) 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 81𝑥2 + 54𝑥 + 9 
 
2) Determine 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 de y=(3x³-
2x)³. 
 
y= (3x³-2x)³ 
u = (3x³-2x) 
y= u³ 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑢2. (9𝑥2 − 2) 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (27𝑥2 − 6)(3𝑥3 − 2𝑥)² 
Derivadas de funções 
 
 Derivada da função inversa 
 
Dizemos que a função inversa 
de f representada por 𝑓−1 é uma fun-
ção tal que para todo x no domínio 
de f temos: 
 
f(x)=y ⟺ 𝑓−1(y) = x. 
 
Uma função 𝑓 
 
Sua inversa 𝑓−1 
 
Fonte: Info Escola 
 
 
 39 
CÁLCULO I E II 
 
Exemplo: 
 
1) Se y=f(x)=3x-6, determine a 
função inversa 𝑓−1(𝑥). 
Primeiro vamos trocar o x por 
y e isolar o y. 
 
y=3x-6 
x=3y-6 
3y=x+6 
y= 
𝑥
3
 + 2 
 
f(x)= 3x-6 ⟺ 𝑓−1(𝑥) = 
𝑥
3
 + 2 
 
Se atribuirmos um valor para 
x, como por exemplo x=4 te-
mos: 
f(4) = 3.4-6 
f(4) =6 
 
Verificando na função inversa. 
𝑓−1(𝑥) = 
6
3
 +2 
𝑓−1(𝑥) = 2 + 2 = 4 
 
Derivando a função f(x) e sua 
função inversa 𝑓−1(x). 
f(x) = 3x-6 
f(x) = 3 
 
𝑓−1(𝑥) = 
6
3
+ 2 
 
𝑓−1(𝑥) = 
1
3
 
 
 
 
A existência de uma função in-
versa deve atender a duas proprie-
dades: 
 Para quaisquer x1 e x2 no do-
mínio de f, se x1 ≠ x2, então 
f(x1) ≠ f(x2). 
 Para qualquer y no contra-do-
mínio de f, existe algum x no 
domínio de f, tal que f(x)=y. 
 
Dessa forma, uma função que 
atenda a essas duas propriedades é 
chamada de bijetora. Na imagem a 
seguiré possível perceber que ape-
nas a função em destaque é bijetora. 
 
 
Fonte: Aquino 
 
A derivada da função inversa, 
é o inverso da derivada, assim utili-
zamos: 
(𝑓−1(𝑥))’ = 
1
𝑓′(𝑓−1(𝑥))
 
 
 
 
 
 
 
 40 
CÁLCULO I E II 
 
Exemplo: 
Seja y = 27x³, determine a de-
rivada de sua função inversa. 
 
y=27x³ 
x=27y³ 
y³= 
𝑥
27
 
 
y=√
𝑥
3
3
 
 
f ’(x)= 27x³ = 3.27x² = 81x² 
 
(𝑓−1(𝑥))’ = 
1
𝑓′(𝑓−1(𝑥))
 = 
 
(𝑓−1(𝑥))’ = 
1
81𝑥²
 = 
 
(𝑓−1(𝑥))′ = 
1
81(√𝑥/3 )
3 2
 = 
 
(𝑓−1(𝑥))′ = 
1
81. √
𝑥2
9
3
= 
 
(𝑓−1(𝑥))′ = 
1
9𝑥3
2 
 
 
Derivadas polinomiais 
 
Para calcular as derivadas po-
linomiais vamos utilizar as regras de 
potência e as regras básicas de deri-
vação. 
Exemplos: Vamos calcular as 
derivadas. 
 
1) f(x)= 3x²-2x+1 
f’(x)= 2.3x-2+0 
f’(x)= 6x-2 
 
 
2) f(x)= 𝑥5 + 2𝑥3 − 𝑥² 
f’(x)= 5𝑥4 + 3.2𝑥2 − 2𝑥 
f’(x)= 5𝑥4 + 6𝑥2 − 2𝑥 
 
3) f(x)= 𝑥4 + 3𝑥3 − 𝑥² 
f’(x)=4x³+3.3x²-2x 
f’(x)= 4x³+9x²-2x 
 
Derivada exponencial 
 
Para calcular a derivada expo-
nencial utilizamos algumas proposi-
ções. 
 
1ª proposição: 
Se y=𝑎𝑥 (a>0 e a ≠ 1) utilizamos a 
expressão, onde ln é o logaritimo na-
tural. 
 
 y’ = 𝑎𝑥. 𝑙𝑛𝑎 
 
Exemplo: 
 
Tendo y=2𝑥, determine a sua 
derivada no ponto de abscissa 3. 
a=2 
y’= 2𝑥. 𝑙𝑛² 
 
f’(3)= 2³.ln² 
f’(3)= 8.ln² 
 
2ª proposição: 
Utilizamos quando estiver 
uma função exponencial onde o ex-
poente é uma função derivável em 
 
 41 
CÁLCULO I E II 
 
relação a variável x, se y=𝑎𝑢 (a>0 e 
a≠1). 
A derivada dessa função é 
dada pela expressão. 
 
y’=𝑎𝑢.lna.u’ 
 
Exemplo: 
Seja y=24𝑥³, determine a sua 
derivada. 
a=2 
u=4x³ 
u’= 3.4x²=12x² 
 
y’=24𝑥
3
. 𝑙𝑛2.12𝑥² 
 
3ª proposição 
A função exponencial é exata-
mente igual a sua derivada. Se 
y=𝑒𝑥então y’=𝑒𝑥. 
Exemplo: 
Seja y=4𝑒𝑥, determine 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
. 
y=𝑒𝑥 
y’= 4.𝑒𝑥 
 
4ª proposição 
Se o expoente for uma função 
derivável em relação ao expoente x, 
utlilizamos a expressão. 
 
y’=𝑒𝑢. 𝑢′ 
 
Exemplo: 
Sendo y=3𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥, determine 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
. 
 u=senx 
 u’=cosx 
 
y’= 3𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 
Derivada Logarítimica 
 
Assim como as derivadas ex-
ponenciais para calcular a derivada 
logarítimica utilizamos algumas 
proposições. 
 
1ª proposição 
Se y=log𝑎 𝑥, (a>0 e a≠ 1) te-
mos a expressão. 
 
 y’= 
1
𝑥
 log𝑎 𝑒 
 
Exemplo: 
Seja y=log4 𝑥, determine sua 
derivada. 
 
 y’=
1
𝑥
 log4 𝑒 
 
2ª proposição 
Se y=log𝑎 𝑢 e 𝓊 é uma função deri-
vável de x com u>0, temos a expres-
são. 
 
 y’= 
1
𝑢
. log𝑎 𝑒. 𝓊′ 
 
Exemplo: 
Seja f(x)=log2 5𝑥³, determine 
f ’(x). 
a=2 
u=5x³ 
u’=3.5x² = 15x² 
 
y’= 
1
5𝑥³
. log2 𝑒. 15𝑥² 
 
 
 
 
 
 42 
CÁLCULO I E II 
 
3ª proposição 
Se y=lnx e x>0 temos a expres-
são. 
 
y’ = 
1
𝑥
 
 
Exemplo: 
Sendo y= ln8, determine a de-
rivada da função 
y’ = 
1
8
 
 
4ª proposição 
Se y=lnu, e u é uma função derivável 
de x com u>0, então temos a expres-
são. 
 
y’=
1
𝑢
.u’ 
 
Exemplo: 
Seja y=ln(9x³) determine y’. 
 
u=9x³ 
u’=3.9x² = 27x² 
 
y’=
1
9𝑥3
. 27𝑥2 
 
y’=3𝑥−1 
 
y’= 
3
𝑥
 
 
 Derivada trigonométrica 
 
As funções trigonométricas 
muitas vezes são usadas em modelos 
de fenômenos do mundo real. Em 
particular, as vibrações, ondas, mo-
vimentos elásticos, campo eletro-
magnético, ritmos cardíacos e outras 
grandezas que variem de maneira 
periódica podem ser descritos utili-
zando-se as funções trigonométri-
cas. 
 Derivada da função seno 
 
 Se y=sex, então y’=cosx 
 
 y=sen(x) → y’=cos(x) 
 
 Se y=sen(u) e u é uma função 
diferencial de x, então. 
 
 y’= cos(u).u’ 
 
Exemplo: 
Seja y=sen(4x³), determine y’. 
 
u=4x³ 
 
u’=3.4x² 
u’=12x² 
 
y’=cos(4x³).12x² 
 
 Derivada da função cos-
seno 
 
Se y=cosx, então y’=-senx 
 
 y=cos(x) → y’=-sen(x) 
 
Se y=cos(u) e u é uma função 
derivável de x, então. 
 
 y’=-sen(u).u’ 
 
Exemplo: 
Seja f(x)=cos(
𝜋
2
− 𝑥) determi-
ne f’(x). 
 
 
 
 43 
CÁLCULO I E II 
 
u= 
𝜋
2
 – x 
 
u’=0-1x 
u’=-1 
 
f’(x)=-sen(
𝜋
2
− 𝑥). (-1) 
 
f’(x)= sen(
𝜋
2
− 𝑥) 
 
Lembrando que nesse cálculo 
π/2 é constante, então seu valor é 
zero. 
 
 Derivada da função tangente 
 
Se y=tg(u) e u é uma função derivá-
vel de x, então. 
 
 y’ = sec²u.u’ 
 
Exemplo: 
Seja f(x)=tg(7x³-10), determi-
ne f’(x). 
u=7x³-10 
 
u’= 3.7x²-10 
u’= 21x²-0 
u’= 21x² 
 
f’(x)= sec²(7x³-10).21x² 
 
 Derivada da função cotan-
gente 
 
Se y=cotg(u) e u é uma função 
derivável de x, então. 
 
 y’= -cosec²u.u’ 
 
Exemplo: 
Seja y=(3+2.𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥)4, determi-
ne y’. 
y=(3+2.𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥)4 
y=4(3+2.cotgx)³ 
 
u=(3+2cotgx) 
u’=(0+2.(-cosec²x)) 
 
y’=4(3+2cotgx)³.(-2.cosec²x) 
y’=-8(3+2cotgx)³.cosec²x 
 
 Derivada da função secante 
 
Se y= sec(u) e u é uma função 
derivável de x, então. 
 
 y’=sec(u).tg(u).u’ 
 
Exemplo: 
Seja y=x³.𝑠𝑒𝑐
5
3𝑥, determine y’. 
 
u=x³ 
u’=3x² 
 
v=𝑠𝑒𝑐
5
3 𝑥 → v=(𝑠𝑒𝑐𝑥)
5
3 
 
v’ = 
5
3
 . (𝑠𝑒𝑐𝑥)
2
3 . 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑡𝑔𝑥 
 
y= u.v 
y’=u.v’+v.u’ 
y’= x³.
5
3
 (𝑠𝑒𝑐𝑥)
2
3 .secx.tgx+ 
(𝑠𝑒𝑐𝑥)
5
3. 3x² 
 
 
y’ = 
5𝑥³
3
.(𝑠𝑒𝑐𝑥)
5
3.tgx+3x²(𝑠𝑒𝑐𝑥)
5
3 
 
 
 44 
CÁLCULO I E II 
 
y’= x².(𝑠𝑒𝑐𝑥)
5
3.(
5
3
x.tgx+3 
 
Lembrando que para calcular 
5/3 -1 deve tirar o m.m.c. 
 
 Derivada da função cossecante 
 
Se y=cosec(u) e u é uma fun-
ção derivável de x, então. 
 
 y’=-cosec(u).cotg(u).u’ 
 
Exemplo: 
Seja f(x)=(
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥
𝑥2+1
), determine y’. 
u=cosecx 
 
u’=-cosecx.cotgx 
 
v=x²+1 
 
v’=2x+1 → v’=2x+0 = 2x 
 
y=
𝑢
𝑣
 
 
y’=
𝑣.𝑢′−𝑢.𝑣′
𝑣²
 
 
y’= 
(𝑥²+1).(−𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥).𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥−(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥).2𝑥
(𝑥2+1)²
 
 
y’=(-cosecx)[
(𝑥2+1).𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥+2𝑥
(𝑥2+1)²
] 
 
Derivada das funções trigono-
métricas inversas 
 
As derivadas trigonométricas 
inversas são seis, no qual u é uma 
função derivável de x. então, temos 
as seguintes fórmulas. 
 
 
Fonte: I.pinimg 
 
Exemplos: 
Calcule a derivada das funções: 
1) y=arc sen 3x 
 
u=3x 
u’=1.3 = 3 
 
y’=
𝑢′
√1−𝑢²
 
 
y’= 
3
√1−(3𝑥)²
 
 
y’= 
3
√1−9𝑥²
 
 
2) y=arc cos x³ 
 
u= x³ 
u’=3x² 
 
 
 45 
CÁLCULO I E II 
 
y’= 
−𝑢′
√1−𝑢²
 
 
y’=
−3𝑥²
√1−(𝑥³)²
 
 
y’= 
−3𝑥²
√1−𝑥6
 
 
3) y=arc tg 
𝑥
4
 
 
u=
𝑥
4
 
 
u’=
1
4
 
 
y’= 
𝑢′
1+𝑢²
 
 
y’=
1
4
1+(
𝑥
4
)²
 
 
y’= 
1/4
1+
𝑥2
16
 
 
y’= 
1/4
16+
𝑥2
16
 
 
y’= 
1
4
 . 
16
16+𝑥²
 
 
y’= 
4
16+𝑥²
 
 
4) y= arc cotg x² 
 
u= x² 
u’= 2x 
 
 
y’= 
−𝑢′
1+𝑢²
 
 
y’= 
−2𝑥
1+(𝑥²)²
 
 
y’= 
−2𝑥
1+𝑥4
 
 
5) y=arc sec (3x-5) 
 
u=3x-5 
u’= 3 
 
y’= 
𝑢′
|𝑢|√𝑢2−1
 
 
y’= 
3
|3𝑥−5|√(3𝑥−5)2−1
 
 
y’=
3
|3𝑥−5|√(9𝑥2−30𝑥+25)−1
 
 
y’= 
3
|3𝑥−5|√9𝑥2−30𝑥+24
 
 
6) y= arc cosec 𝑥5 
 
u=𝑥5 
u’=5𝑥4 
 
y’= 
−𝑢′
|𝑢|√𝑢2−1
 
 
y’=
−5𝑥4
|𝑥5|√(𝑥5)2−1
 
 
y’= 
−5𝑥4
|𝑥5|√𝑥10−1
 
 
Acréscimos 
 
Sendo y = f (x) uma função. 
Se x varia de x1 a x2, definimos 
o acréscimo de x denotado por ∆𝑥 
como: 
∆𝑥 = 𝑋2 − 𝑋1 
 
 
 46 
CÁLCULO I E II 
 
A variação de x origina uma 
correspondente variação de y, deno-
tada por ∆𝑦 dada por : 
 
∆𝑦 = 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1) 
 
 ∆𝑦 = 𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1) 
 
 
Fonte: passo a passo 
 
Exemplo: 
 
Se y=4x²-5x+4 calcule ∆𝑦 para 
x=3 e ∆𝑥 =1,5 
 
∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) 
∆𝑦 = 𝑓(3 + 1,5) − 𝑓(3) 
∆𝑦 = 𝑓(4,5) − 𝑓(3) 
∆𝑦 = 62,5 − 25 
∆𝑦 = 37,5 
 
𝑓(4,5) = 4(4,5)2 − 5(4,5) + 4 
𝑓(4,5) = 81 − 22,5 + 4 
𝑓(4,5) = 62,5 
 
𝑓(3) = 4(3)2 − 5.3 + 4 
𝑓(3) = 36 − 15 + 4 
𝑓(3) = 25 
 
Diferencial 
 
Sejamy=f(x) uma função deri-
vável e ∆𝑥 um acréscimo de x . Defi-
nimos: 
 A diferencial da variável inde-
pendente x denotada por dx, 
como: 
𝑑𝑥 = ∆𝑥 
 
 A diferencial da variável inde-
pendente y denotada por dy, 
como: 
 
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥). ∆𝑥 
 
 
 
Fonte: passo a passo 
 
Exemplo: 
 
Sendo y=5x²-4x , ∆𝑥 = 2 e x=3 
encontre ∆𝑦 e dy. 
∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) 
∆𝑦 = 𝑓(3 + 2) − 𝑓(3 ) 
∆𝑦 = 𝑓(5) − 𝑓(3) 
∆𝑦 = 105 − 33 
∆𝑦 = 72 
𝑓(5) = 5. (5)2 − 4.5 
 
 47 
CÁLCULO I E II 
 
𝑓(5) = 5.25 − 20 
 𝑓(5) = 125 − 20 
𝑓(5) = 105 
 
 𝑓(3) = 5. (3)2 − 4.3 
𝑓(3) = 5.9 − 12 
𝑓(3) = 45 − 12 
𝑓(3) = 33 
 
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥). ∆𝑥 
 𝑑𝑦 = 2.5𝑥 − 4.2 
𝑑𝑦 = 10𝑥 − 8 
𝑑𝑦 = 10.3 − 8 
 𝑑𝑦 = 30 − 8 
𝑑𝑦 = 22 
 
Derivação Implícita 
 
O método de derivação implí-
cita é usado quando não consegui-
mos diferenciar as funções, isto é, 
quando não conseguimos isolar as 
variáveis da função. 
 
f(x,y)=0 É a forma implícita de 
uma função y=f(x). 
 
y=x²-1 É a forma explícita de 
uma função y=f(x). 
 
Para calcular a derivada de 
uma função implícita, fazemos a de-
rivação de ambos os lados da equa-
ção em relação a x e, então, na reso-
lução da equação isolando y’. É ne-
cessário utilizar a regra da cadeia. 
Exemplo: 
A) x²+y²=4 
2x+2y.y’=0 
y’=- 
2𝑥
2𝑦
 
 
y’= 
𝑥
𝑦
 
 
Notamos que o y é uma função 
variável de x, desta forma sendo 
uma função composta, usamos a re-
gra da cadeia. 
 
B) 2x²+y²=9 
2.2x+2y.y’=0 
4x+2y.y’=0 
y’= 
−4𝑥
2𝑦
 
 
y’= 
−2𝑥
𝑦
 
 
C) x³+y³=6xy 
3x²+3y².y’=6.y+6x.y’ 
y’(3y²-6x)=6y-3x² 
 
y’= 
6𝑦−3𝑥²
3𝑦2−6𝑥
 
 
y’=
2𝑦−𝑥²
𝑦2−2𝑥
 
 
Neste exemplo usamos a regra 
da cadeia, mais a regra do produto. 
 
O Teorema do Valor Médio 
 
Seja f uma função contínua 
[a,b] e derivável em (a,b). então, 
existe um ponto C ∈ (a,b), tal que: 
f’(c)= 
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
 
 
Melhorando a expressão para 
tirar essa divisão, temos: 
 
 48 
CÁLCULO I E II 
 
 f(b)-f(a)= f’(c).(b-a) 
 
Geometricamente falando, te-
mos que existe um ponto no interior 
do intervalo, tal que a inclinação da 
reta tangente ao gráfico desse ponto 
é igual a inclinação da reta secante 
que passa pelo ponto (a,b). 
 
 Intervalos de crescimento e 
decrescimento 
 
Suponha que f’(x)>0 para todo 
o x em um intervalo I. Assim, a fun-
ção f nesse intervalo é crescente. 
 Suponha que f’(x)<0 para 
todo o x em um intervalo I. Assim, a 
função f nesse intervalo é decres-
cente. 
Suponha que f’(x)=0 para todo 
o x em um intervalo I. Assim, a fun-
ção f nesse intervalo é constante. 
Suponha que duas funções sa-
tisfazem f’(x)= g’(x) para todo x. As-
sim, f(x)=g(x)+k e k ∈ ℝ. 
Exemplos: 
 
A) f(x)= x³-2x, x ∈ [-2,2] 
 
f(x)= x³-2x 
f(-2)= (-2)³-2.(-2) 
f(-2)= -8+4 
f(-2)=-4 
 
f(x)= x³-2x 
f(2)= (2)³-2.2 
f(2)= 8-4 
f(2)=4 
 
f(b)- f(a)= f’(c).(b-a) 
f(2)-f(-2)=f’(c).(2-(-2)) 
4-(-4)= f’(c).4 
 8=f’(c).4 
 f’(c)= 8/4 
 f’(c)= 2 
 
B) f(x)= x²+2x-1, x ∈ [1,5] 
 
f(x)= x²+2x-1 
f(1)= 1²+2.1-1 
f(1)= 1+2-1 
f(1)=2 
 
f(x)= x²+2x-1 
f(5)= 5²+2.5-1 
f(5)= 25+10-1 
f(5)=34 
 
f(b)- f(a)= f’(c).(b-a) 
f(5)-f(1)=f’(c).(5-1) 
34-2= f’(c).4 
 32=f’(c).4 
 f’(c)= 32/4 
 f’(c)= 8 
 
Derivadas de ordem supe-
rior 
 
Vimos até agora a derivada de 
uma função f, representada por f ’. 
Mas como f ’ também é uma função 
podemos encontrar a sua derivada. 
Assim, podemos calcular (f ’)’ encon-
trando f ”. Como f ” também é uma 
 
 49 
CÁLCULO I E II 
 
função, podemos calcular sua deri-
vada e encontrar f ’”. Dizemos então, 
que f ’ é a derivada de primeira or-
dem de f, f ” é a derivada de segunda 
ordem e f ”’ a derivada de terceira or-
dem de f. 
De um modo geral, 𝑓(𝑛) repre-
senta a derivada de ordem n de f . A 
notação 𝑓(0) representa a própria 
função f. porém é importante desta-
car que não é toda função que possui 
derivada de qualquer ordem. 
Temos, segundo a notação de 
Leibniz as seguintes expressões. 
 
y’= 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
 
y’’= 
𝑑
𝑑𝑥
 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) = 
𝑑²𝑦
𝑑𝑥²
 
 
y’’’= 
𝑑
𝑑𝑥
 
𝑑²𝑦
𝑑𝑥²
=
𝑑³𝑦
𝑑𝑥
 
 
𝑦𝑛 =
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
 
 
Exemplo: 
 
1) y=x³ 
y’= 3x² 
y”=6x 
y”’= 6 
 
2) y= - 𝑥5+x³-8 
y’= - 5𝑥4+3x² 
y”= - 20x³+6x 
y’”= - 60x²+6 
 
3) Calcule y’’ sendo y uma função 
implícita de x tal que x²+y³=1. 
 
2x+3y².y’=0 
 
 y’=- 
2𝑥
3𝑦²
 
 
Utilizando a regra do quoci-
ente, vamos encontrar y’’. 
 
y’’ =- 
(2𝑥)′(3𝑦2)−2𝑥(3𝑦²)′
(3𝑦²)²
 
 
y”=- 
2.(3𝑦2)−2𝑥(6𝑦𝑦′)
9𝑦4
 
 
y”= - 
6𝑦2−12𝑥𝑦𝑦′
9𝑦4
 
 
Podemos simplificar dividindo 
por 3y. 
 
y”= - 
2𝑦−4𝑥𝑦′
3𝑦³
 
 
Taxas relacionadas 
 
São expressões que relacio-
nam quantidades que estão vari-
ando em relação as outras, cujas ta-
xas de variação são conhecidas. 
Exemplos: 
1) Uma escada com 25 m de com-
primento está apoiada a uma 
parede vertical. se o pé da es-
cada for puxado horizontal-
mente, afastando da parede 
3m/s, qual a velocidade com 
 
 50 
CÁLCULO I E II 
 
que a escada está deslizando, 
quando seu pé está a 15m de 
comprimento da parede? 
 
 
Fonte: Engenharia 
 
t → tempo decorrido desde qua 
a escada começou a deslizar pela pa-
rede. 
y → distância do solo ao topo 
da escda. 
x → distância do pé da escada 
até a parede. 
 
Então temos: 
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 = 3 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=? Para x=15 
 
Aplicando o teorema de Pitá-
goras temos a expressão: 
 
y²+x²=25² 
 y²= 625-x² 
 
Derivando a função em relação 
a t. 
 
y²=625-x² 
 
2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0 − 2𝑥 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 = - 
2𝑥
2𝑦
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −
𝑥
𝑦
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 
 
Substituindo os valores conhecidos 
na equação, devemos encontrar y 
para x=15. 
 
y²=625-x² 
y²=625-15² 
y²=625-225 
y²=400 
y=√400 
y=20 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −
15
20
. 3 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −2,25 
 
Sendo assim, o topo da escada está 
deslizando a 2,25m/s. já o sinal ne-
gativo quer dizer que y é decres-
cente. 
 
2) Uma aeronave está decolando 
a um angulo de 30° com a ho-
rizontal. Com que agilidade a 
aeronave estará ganhando al-
tura se sua velocidade for de 
900 km/h? 
 
 51 
CÁLCULO I E II 
 
 
Fonte: Dicas de Cálculo 
 
Podemos relacionar a distân-
cia percorrida pela aeronave e a al-
tura que ele se encontra do solo atra-
vés das relações trigonométricas. 
 
Sen(30º)= 
𝑦
ℎ
 
 
Sen(30º)= 
1
2
 
 
1
2
=
𝑦
ℎ
 
 
 h=2y 
 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= 2 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
 
 900=2 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 450 
 
Assim, concluímos que a aero-
nave ganha altura a uma velocidade 
de 450 km/h. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 
 
 53 
CÁLCULO I E II 
 
4. Aplicações da Derivada 
 
 
Fonte: Freepik 
 
Funções Crescentes 
 
contínua em [a,b] e derivável 
em (a,b). 
 
 
Fonte: Mapa da Prova 
 
Para todo f’(x)>0, x ∈ (a,b) f é 
crescente. 
 
X1< X2 ⟹ f(X1) < f(X2) 
 
Funções Decrescentes 
 
F contínua em [a,b] e derivável em 
(a,b). 
 
 
Fonte: Mapa da Prova 
 
Para todo f’(x)<0, x ∈ (a,b) f é 
decrescente. 
 
X1> X2 ⟹ f(X1) > f(X2) 
 
Exemplo: 
F 
 
 54 
CÁLCULO I E II 
 
Encontre os intervalos onde a 
função é crescente e decrescente e, 
se houver , os pontos críticos da 
função. 
 
f(x)=x³-3x+4 
 
f ’(x)=3x²-3 
 
f ’(x)=0 
3x²-3=0 
3x²=3 
 x²=3/3 
 x²=1 
x=ñ1 
 
Os pontos críticos são [1,-1] 
 
Para {
𝑥 < 1 − 2
−1 < 𝑥 < 1 0 
𝑥 > 1 2
 
 
f ’(x)= 3x²-3 
f ’(x)=3.(-2)²-3 
f ’(x)=3.4-3 
f ’(x)=9 
Para x<1, atribuindo x=2 a função é 
crescente. 
 
f’(x)= 3x²-3 
f ’(x)=3.(0)²-3 
f ’(x)=3.0-3 
f ’(x)=-3 
Para -1<x<1, atribuindo x=0 a 
função é decrescente. 
 
f ’(x)= 3x²-3 
f ’(x)=3.(2)²-3 
f ’(x)=3.4-3 
f ’(x)= 9 
Para x>1, atribuindo x=2 a função é 
crescente. 
 
Máximos e mínimos 
 
Para facilitar o entendimento 
podemos dizer grosseiramente que 
os pontos de máximos e mínimos de 
uma função são os pontos de picos e 
de depressões da função. Vejamos o 
gráfico. 
 
 
Fonte: Dicas de Cálculo 
 
Como podemos observar no 
gráfico os pontos f(a) e f(b) são pon-
tos de máximo local e f(0) é ponto de 
mínimo local. 
E ainda, podemos dizer que o 
ponto f(b) é um máximo absoluto e 
f(0) é ponto de mínimo absoluto, 
pois f(b) é o maior valor de f e f(0) é 
o menor valor de f : 
 
f(0) ≤ f(x) ≤ f(b) 
 
Devemos ficar atento pois, 
nem todo ponto de inflexão é um 
 
 55 
CÁLCULO I E II 
 
ponto de máximo ou mínimo, sem-
pre faça o estudo do sinal da função 
antes e depois dos pontos encontra-
dos, pois o sinal deve mudar. Veja o 
exemplo da função: 
 f(x)=x³ para o domínio 𝑥 ∈
 ℝ, na qual f'(x)=3x² e 3x²=0 onde 
encontramos x=0, porém esta fun-
ção é monótona crescente (sempre 
crescente), não havendo troca de si-
nal em 0. Logo, não há pontos de 
máximos e de mínimos. Veja a re-
presentação gráfica dessa função. 
 
 
Fonte: Morgado 
 
É importante ressaltar que 
quando temos uma função f conti-
nua em um intervalo fechado, [a,b], 
então tem-se pontos de máximos ou 
mínimos locais em a e b, mas não ne-
cessariamente máximos ou mínimos 
absolutos. 
Exemplos: 
1) Encontre os pontos máximos e 
mínimos da função 
 
f(x)=x²-2x-3 com 𝑥 ∈ ℝ 
 
f ’(x)=2x-2 
 
f ’(x)=0 
2x-2=0 
 x=2/2 
 x=1 ponto crítico 
 
Calculando valores antes e de-
pois do ponto crítico. 
f’(0)=2x-2 
f’(0)=2.0-2 
f’(0)=-2 
 
f’(2)=2x-2 
f’(2)=2.2-2 
f’(2)=2 
 
f(x)=x²-2x-3 
f(0)= 0²-2.0-3= -3 
f(1)= 1²-2.1-3= -4 
f(2)= 2²-2.2-3= -3 
 
Este é um ponto de mínimo 
absoluto, visto que ela é continua e 
não há outros pontos de inflexão. 
 
Antiderivadas 
 
O conceito de antiderivadas ou 
primitivas de funções é um precur-
sor ao Teorema Fundamental do 
Cálculo e é aqui que começamos a 
integração. 
Seja f :D→ ℝ uma função. 
 
 56 
CÁLCULO I E II 
 
Uma primitiva de f é uma fun-
ção F que satisfaz F’(x)=f(x) para 
todo 𝑥 ∈ 𝐷. 
Isso significa que seja uma 
função f : D → ℝ e a função F : D→ ℝ, 
então F é primitiva de f se a derivada 
de F for igual a f. 
Usamos a notação: 
 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 
 
Se F(x) é uma primitiva de f, 
então F(x)+c também é uma primi-
tiva de f. 
C= constante de integração. 
 
É importante lembrar que o 
uso da palavra “antiderivada”, que é 
a correspondente de “primitiva”, 
pode facilitar na memorização do 
conceito 
Exemplos: 
1) ∫ 𝑥2𝑑𝑥 = 
𝑥³
3
+ 𝑐 
 
2) ∫ 𝑥3𝑑𝑥 = 
𝑥4
4
+c 
 
3) ∫ cos(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑐 
 
4) ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = − cos(𝑥) + 𝑐 
 
5) ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑐 
 
6) ∫
1
𝑥
 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑥| 
 
7) ∫ 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 
 
8) ∫ 𝑥𝑚 = 
𝑥𝑚+1
𝑚+1
+ 𝑐 
 
9) ∫ 𝑠𝑒𝑛(5𝑥)𝑑𝑥 =
−cos (5𝑥)
5
+ 𝑐 
 
Exercícios resolvidos 
 
A) Seja f’’(x)=12x²+6x-4 
f(0)=4 e f(1)=1 encontre 
f(x). 
 
f’(x)=4x³+3x²-4x+c 
f(x)= 𝑥4 + 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝐶𝑥 +
𝐶2 
 
f(0)=04 + 03 − 2.02 +
𝐶. 0 + 𝐶2 = 4 
 
 f(0)=C2=4 
 
 f(1)= 14 + 13 − 2.12 + 𝐶. 1 +
 4 = 1 
 
 f(1)=C=-3 
 
f(x)=𝑥4 + 𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥 + 4 
 
57 
 
 57 
58 
 
 
CÁLCULO I E II 
 
58 
5. Referências Bibliográficas 
 
GOUVEIA, R. Funções Trigonométricas. 
Mai/ 2019. Disponível em: 
https://www.todamateria.com.br/fun-
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JOULE, E. Velocidade média e Velocidade 
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https://efeitojoule.com/2009/01/veloci-
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PAIS, Luiz Carlos. Didática da Matemá-
tica: uma Análise da Influência Francesa. 
2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2002. 
Coleção Tendências em Educação Mate-
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PROFESSOR A. Professor A: questionário. 
[dez. 2007]. Aplicado por: Sílvia Pereira 
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Questionário concedido para o trabalho de 
conclusão de curso (TCC sobre o ensino da 
disciplina Calculo I no curso de Licencia-
tura em Matemática com Enfoque em In-
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Cálculo Diferencial e Integral I: (O caso da 
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Learning, 2013. Tradução EZ2 Translate. 
Cálculo volume I. São Paulo. Disponível 
em: https://docero.com.br. Data do aces-
so: 17/07/2020. 
 
 
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