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Cálculo I e II 02 1. Números Reais e Funções 5 O Conjunto dos Números 5 Reais 5 Propriedades Operatórias dos Números Reais 6 Funções 7 Função Polinomial 11 Polinômio Nulo 12 Função Racional 12 Função Trigonométrica 13 Função Exponencial 15 Gráfico da função exponencial 15 Função Logarítmica 17 2. Limites e Continuidade 20 Limites 20 Noção Intuitiva de Limite 20 Propriedades do limite 21 Limites laterais 22 Limites Infinitos 22 Limites Trigonométricos 24 Limites Exponenciais 25 Funções Contínuas 26 3. A Derivada 30 Reta Tangente e Velocidade Instantânea 30 Coeficientes da Reta 30 Velocidade média 32 Velocidade Instantânea 33 Definição de derivada 33 Derivadas Laterais e Continuidade 34 Derivadas Laterais 34 Continuidade 36 Regras de derivação 36 Regra da cadeia 37 Derivadas de funções 38 3 Derivada da função inversa 38 Derivadas polinomiais 40 Derivada exponencial 40 Derivada Logarítimica 41 Derivada trigonométrica 42 Derivada das funções trigonométricas inversas 44 Acréscimos 45 Diferencial 46 Derivação Implícita 47 O Teorema do Valor Médio 47 Derivadas de ordem superior 48 Taxas relacionadas 49 4. Aplicações da Derivada 53 Funções Crescentes 53 Funções Decrescentes 53 Máximos e mínimos 54 Antiderivadas 55 5. Referências Bibliográficas 58 04 5 CÁLCULO I E II 1. Números Reais e Funções Fonte: Stoodi1 O Conjunto dos Números Reais conjunto dos números reais é composto pela junção do con- junto dos números racionais e irra- cionais. Existem inúmeras proprie- dades dos números reais, o qual são prolongamentos das propriedades dos números racionais. As proprie- dades dos números reais estão dire- tamente ligadas a ordem dos núme- ros e o estudo da matemática básica 1 Retirado em https://www.stoodi.com.br/blog/matematica/numeros-reais/ praticada nos componentes desse conjunto. A descrição dos números reais, dependem das definições dos con- juntos de números racionais e irraci- onais, o qual estes, dependem dos números inteiros. As propriedades mais importantes relacionadas ao conjunto dos números reais são: O conjunto dos números reais é um conjunto completo: po- demos relacionar os números reais a uma reta numérica, on- de é possível verificar que para O 6 CÁLCULO I E II cada número real existe ape- nas uma representação na re- ta, onde não é admitido apre- sentar um número que não re- presente número real, desta forma, pode-se dizer que o conjunto dos números reais é completo. O conjunto dos números reais é um conjunto ordenado: rela- cionando com a mesma reta numérica, podemos dizer que os números reais são ordena- dos, pois aqueles que estive- rem à direita da reta é maior do que aqueles que estiverem à esquerda, e se acontecer de es- tarem no mesmo ponto, serão iguais. (MOREIRA, 2020). Propriedades Operatórias dos Números Reais Serão usados como exemplo os números reais “a”, “b” e “c”. Associatividade: 1) a ∙ (b ∙ c) = (a ∙b) ∙ c 2) a + (b + c) = (a + b) + c Exemplos com valores a = 2 / b= 3 / c = 4 1) 2. (3 . 4) = 24 (2 . 3) . 4 = 24 2) 2 + (3 + 4) = 9 (2 + 3) + 4 = 9 Comutatividade: 1) a ∙ b = b ∙ a 2) a + b = b + a Exemplos com valores a = 4/ b= 3 1) 4 . 3 = 12 3 . 4 = 12 2) 4 + 3 = 7 3 + 4 = 7 Elemento neutro único para a soma e para a multiplicação: 1) a + 0 = a 2) a ∙ 1 = a Exemplos com valores a = 5 1) 5 + 0 = 5 2) 5 . 1 = 5 Elemento inverso único para a soma e para a multiplicação: 1) a + (- a) = 0 2) 7 CÁLCULO I E II Exemplos com valores a= 6 1) 6 + (- 6) = 0 2) 6 . 1 = 1 6 Distributividade: 1) a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c Exemplo com valor a = 3 / b= 7 / c = 9 1) 3. (7 + 9) = 48 3 . 7 + 3 . 9 = 48 Funções De acordo com Stewart (2013), as funções são peças fundamentais do cálculo e podem ser representa- das de diferentes maneiras, como ta- belas, gráficos, equações ou até mes- mo por meio de palavras. Geral- mente o gráfico é a melhor de forma de representar uma função, por causa da transmissão de muita in- formação em um relance. As funções aparecem quando uma quantidade depende da outra, por exemplo: 1. A área A de um círculo depen- de do seu raio r. A regra que conecta r e A é dada pela equação . A cada número r positivo está associa- do um único valor de A e dizemos que A é uma função de r. 2. A população do mundo P de- pende do tempo t. A tabela mostra as estimativas da população mundial P(t) no momento t em certos anos. Fonte: Stewart P(1980) 4.450.000.000. Po- rém, para cada valor do tempo t, existe um valor correspondente de P, e dizemos que P é uma função de t. 3. O custo x de enviar uma enco- menda pelo correio depende de seu peso y. Embora não haja uma fór- mula simples relacionando y e x, o correio tem uma fórmula que per- mite calcular x quando y é dado. “Uma função f é uma lei que as- socia, a cada elemento x em um conjunto D, exatamente um ele- mento, chamado f(x), em um conjunto E”. 8 CÁLCULO I E II Geralmente, funções para as quais D e E são consideradas con- juntos de números reais, o conjunto D é denominado domínio da função. O número representado por f(x), sig- nifica o valor de f em x e é lido como “f de x”. A imagem de f é o conjunto de todos os valores possíveis de f (x) obtidos quando x varia por todo o domínio. O símbolo que representa um número arbitrário no domínio de uma função f é denominado uma variável independente. Um símbolo que representa um número na ima- gem de f é denominado uma variável dependente. No Exemplo 1, a variá- vel r é independente, enquanto A é dependente. Podemos então, assimilar uma função a uma máquina, se x estiver no domínio da função f, quando x adentrar na máquina, ele será aceito como entrada, e a máquina forne- cerá uma saída f (x) conforme a lei que estabelece a função. Assim, po- demos compreender o domínio co- mo o conjunto de todas as entradas, enquanto a imagem é o conjunto de todas as possíveis saídas. Exemplo de máquina para a função f Fonte: Stewart Outra maneira de representar a função é como um diagrama de fle- chas, como mostra na figura a se- guir. Cada flecha conecta um ele- mento de D com um elemento de E. A flecha indica que f(x) está associ- ado a x, f(a) está associado a “a” e as- sim por diante. Diagrama de flechas para f Fonte: Stewart A função é a relação entre dois ou mais conjuntos, estabelecida por uma lei de formação, isto é, uma re- gra geral. Os elementos de um grupo devem ser relacionados com os ele- mentos do outro grupo, através des- sa lei. A lei de formação que intitula uma determinada função possui três características básicas: domínio, contradomínio e imagem. Essas ca- racterísticas podem ser representa- das por um diagrama de flechas, isso facilitará o entendimento por parte do estudante. 9 CÁLCULO I E II Observe: Dada a seguinte fun- ção f(x) = x + 1, e os conjuntos A(1, 2, 3, 4, 5) e B(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Va- mos construir o diagrama de flechas. Observe o quadro. Nessa situ- ação, temos que: A B X F(x) 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 Domínio: representado por to- dos os elementos do conjunto A. (1, 2, 3, 4, 5) Contradomínio: representado por todos os elementos do conjunto B. (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) Imagem: representada pelos elementos do contradomínio (conjunto B) que possuem cor- respondência com o domínio (conjunto A).(2, 3, 4, 5, 6) O conjunto domínio possui al- gumas características especiais que definem ou não uma função. Todos os elementos do conjuntodomínio devem possuir representação no conjunto do contradomínio. Caso isso não ocorra, a lei de formação não pode ser uma função. Observe: Função Não é uma função Restam elementos no conjun- to domínio, que não foram associa- dos ao conjunto imagem. Não é função 10 CÁLCULO I E II Um único elemento do domí- nio não deve possuir duas imagens. Função Dois elementos diferentes do domínio podem possuir a mesma imagem. Exemplo: Vamos considerar o conjunto A formado pelos seguintes elementos {–3, –2, 0, 2, 3}, que irão possuir representação no conjunto B de acordo com a seguinte lei de for- mação y = x². Aplicada a lei de formação, te- mos os seguintes pares ordenados: {(–3, 9), (–1, 1), (0, 0), (2, 4), (4, 16)}. Essa relação também pode ser representada com a utilização de di- agramas de flechas, relacionando cada elemento do conjunto A com os elementos do conjunto B. Observe: No diagrama é possível obser- var com mais clareza que todos os elementos de A, estão ligados, a um elemento de B, então podemos dizer que essa relação é uma função. Des- sa forma o domínio é dado pelos ele- mentos do conjunto A, e a imagem, pelos elementos do conjunto B. Geralmente o método mais utilizado para visualizar uma função é através de seu gráfico. Se “f” for uma função com domínio D, então seu gráfico será o conjunto de pares ordenados. O gráfico de “f” consiste de to- dos os pontos (x, y) no plano coorde- nado tais que y= f(x) e x está no do- mínio de f. O gráfico de uma função f nos fornece uma imagem útil do comportamento ou “histórico” da função. Uma vez que a coordenada y de qualquer ponto (x, y) sobre o grá- fico é y= f(x), podemos ler o valor f(x) como a altura do ponto no grá- fico acima de x. 11 CÁLCULO I E II Fonte: Stewart O gráfico de f também nos per- mite visualizar o domínio de f sobre o eixo x e a imagem sobre o eixo y. Fonte: Stewart Exemplo: para o gráfico de uma função “f” a seguir. a) Encontre os valores de f(1) e f(5). b) Quais são o domínio e a imagem de f? Fonte: Stewart a. Vemos na Figura 6 que o ponto (1, 3) encontra-se no gráfico de f, en- tão, o valor de f em 1 é f(1)=3 . (Em outras palavras, o ponto no gráfico que se encontra acima de x = 1 está 3 unidades acima do eixo x.) Quando x = 5, o ponto no gráfico que corres- ponde a esse valor está 0,7 unidade abaixo do eixo x e estimamos que f(5) -0,7 . b. (b) Vemos que f(x) está defi- nida quando , logo, o domí- nio de f é o intervalo fechado [0, 7]. Observe que os valores de f variam de -2 a 4, assim, a imagem de f é. Função Polinomial Toda função na forma é considerada uma função polino- mial, onde p(x) está em função do valor de x. A cada valor atribuído a x existe um valor em y, pois x: domí- nio da função e y: imagem. O grau de um polinômio é expresso através do maior expoente natural entre os mo- nômios que o formam. Veja: g(x) = 4x³ + 10x² - 5x + 2: po- linômio grau 3. f(x) = -9x² + 12x - 6: polinômio grau 2. h(x) = -3x+ 6: Polinômio grau 1. 12 CÁLCULO I E II Em uma função polinomial, à medida que os valores de x são atri- buídos descobrimos os respectivos valores em y [p(x)], vão construindo o par ordenado (x,y) usado nas re- presentações gráficas no plano car- tesiano. Observe: Dada a função polinomial p(x) = 2x³ + 2x² - 5x + 1. Determine os pares ordenados: Quando x=0. p(x) = 2x³ + 2x² - 5x + 1 p(0) = 2.0³ + 2.0² - 5.0 + 1 p(0) = 0 + 0 – 0 + 1 p(0) = 1 par ordenado (0,1). Quando x = 1 p(1) = 2.1³ + 2.1² - 5.1 + 1 p(1) = 2 + 2 – 5 + 1 p(1) = 0 par ordenado (1,0) Quando x = 2 p(2) = 2.2³ + 2.2² - 5.2 + 1 p(2) = 2.8 + 2.4 - 10 + 1 p(2) = 16 + 8 - 10 + 1 p(2) = 15 par ordenado (2,15) Polinômio Nulo Um polinômio é nulo quando todos os seus coeficientes forem iguais a zero. P(x) = 0. Função Racional Uma função racional f é a ra- zão de dois polinômios: Onde P e Q são polinômios. O domínio consiste em todos os valo- res de x tais que . Um exem- plo simples de uma função racional é a função f(x)= 1/x, cujo domínio é . Exemplos: E uma função racional, pois tem dois polinômios. Não é uma função racional, pois a variável x está dentro de um radical. E uma função racional, pois tem dois polinômios e a variável x não está dentro do radical. Não é uma função racional, pois não é dada pelo quociente de dois polinômios, a variável x está dentro de um radical. 13 CÁLCULO I E II Função Trigonométrica As funções podem ser periódi- cas, e são funções que possuem um comportamento periódico. Ou seja, que ocorrem em determinados in- tervalos de tempo. As funções trigo- nométricas são exemplos de funções periódicas visto que apresentam cer- tos fenômenos periódicos. São também denominadas funções circulares, e tem relação com as voltas no ciclo trigonométri- co. Em cálculo, convenciona-se dar a medida de ângulos em radianos (ex- ceto quando explicitamente mencio- nado). Por exemplo, quando utiliza- mos a função f(x)= senx, entende-se que x seja o seno de um ângulo cuja medida em radianos é x. No círculo trigonométrico ca- da número real está associado a um ponto. Círculo trigonométrico e ângulos representados em graus e radianos Fonte: Toda Matéria As principais funções trigono- métricas são: Função seno: É uma função f: R→R que associa a cada número real x o seu seno, então, f(x) = senx. O sinal da função f(x) = senx é posi- tivo no 1º e 2º quadrante, e é nega- tivo quando x pertence ao 3º e 4º quadrante. O domínio e o contradomínio da função seno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(sen)=R. Já o conjunto da imagem da função seno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 < sen x < 1. Fonte: Matematica Básica 14 CÁLCULO I E II Em relação à simetria, a fun- ção seno é uma função ímpar: sen(- x) = -sen(x). Exemplo: sabendo que π/6 = 30º e seno de 30º= 1/2 então: Função cosseno: É uma função f: R → R que associa a cada número real x o seu cosseno, então f(x) = cosx. O sinal da função f(x) = cosx é positivo no 1º e 4º quadrante, e é ne- gativo quando x pertence ao 2º e 3º quadrante. O domínio e o contradomínio da função cosseno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(cos)=R. Já o conjunto da imagem da função cos- seno corresponde ao intervalo real [- 1, 1]: -1 < cos x < 1. Fonte: Matematica Básica Em relação à simetria, a fun- ção cosseno é uma função par: cos(- x) = cos(x). Exemplo: sabendo que π/6 = 30º e cosseno de 30º= então: Função tangente: É uma função f: R → R que associa a cada número real x a sua tangente, então f(x) = tgx. O sinal da função tangente é po- sitivo quando x pertence ao primeiro e terceiro quadrantes. Já no segundo e quarto quadrantes, o sinal é nega- tivo. 15 CÁLCULO I E II O domínio da função tangente é: Dom(tan)={x ∈ R│x ≠ de π/2 + kπ; K ∈ Z}. Assim, não definimos tg x, se x = π/2 + kπ. Já o conjunto da imagem da função tangente corres- ponde a R, ou seja, o conjunto dos números reais. Em relação à sime- tria, a função tangente é uma função ímpar: tg(-x) = -tg(-x). Exemplo: sabendo que π/3 = 60° e que a tg 60º = √3 então: Função Exponencial E aquela cujo a variável está no expoente e a base é sempre maior que 0 e ≠ de 1. Essas restrições são necessárias, pois 1 elevado a qual- quer número resulta em 1. Dessa for- ma, em vez de exponencial, estaría- mos diante de uma função constan- te. Além disso, a base não pode ser negativa, nemigual a 0, pois para al- guns expoentes a função não estaria definida. Exemplo: a base igual a - 3 e o expoente igual a 1/2. Como no con- junto dos números reais não existe √ de número negativo, não existiria imagem da função para esse valor. A função f(x)=2x é chamada de função exponencial, pois a variável x é o expoente. Ela não pode ser con- fundida com a função potência g(x)=x2, na qual a variável é a base. Uma função exponencial é uma função do tipo f(x)=bx, onde b é a base. b>0 b ≠1 Exemplo: f(x) = 7x f(x) =( 〖0,4)x Gráfico da função exponencial Na função exponencial a base é sempre maior que zero, portanto, a função terá sempre imagem positi- va. Assim sendo, não apresenta pon- tos nos quadrantes III e IV, que re- presenta uma imagem negativa. A curva exponencial não toca no eixo x. Fonte: Toda Matéria 16 CÁLCULO I E II A função exponencial pode ser crescente ou decrescente. Crescente: quando a base for >1. Exemplo Vamos atribuir valores para y = 2x e encontrar sua imagem. Fonte: Toda Matéria Atribuído valores para x, nota- se que quando aumenta o valor a imagem também aumenta, então a função é crescente. Veja a represen- tação no gráfico. Fonte: Toda Matéria Decrescente: a base é um nú- mero entre 0 e 1, ou seja, 0 < a < 1. Exemplo: vamos atribuir valo- res a f(x) = e encontrar sua ima- gem. Fonte: Toda Matéria Atribuídos valores para x, no- ta-se que quando aumenta o valor a imagem reduz, então a função é de- crescente. Veja a representação no gráfico. Fonte: Toda Matéria 17 CÁLCULO I E II Função Logarítmica Toda função definida pela lei de formação f(x) = logaX, com a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarít- mica de base a Nesse tipo de função o domínio é representado pelo con- junto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o con- junto dos reais. Exemplos de funções logarít- micas: A função logarítmica é a in- versa da função exponencial. Sendo o logaritmo de um nú- mero definido como o expoente ao qual se deve elevar a base a para ob- ter o número x, ou seja, y = Assim, conhecendo o gráfico da função exponencial de mesma base, por simetria podemos construir o gráfico da função logarítmica. Fonte: Toda Matéria Analisando o gráfico, é possí- vel perceber que a função exponen- cial cresce rapidamente, a função lo- garítmica cresce lentamente. 18 CÁLCULO I E II 20 CÁLCULO I E II 2. Limites e Continuidade Fonte: Freepik2 Limites definição de limite é utilizada com objetivo de expor o com- portamento de uma função nos mo- mentos em que se aproxima de de- terminados valores. O limite de uma função possui grande importância no cálculo diferencial e em outros ramos da matemática. Dizemos que uma função f(x) tem um limite A quando x → a (→: ler-se tende). 2 Retirado em https://br.freepik.com/ Noção Intuitiva de Limite Seja a função f(x)=2x+1. Va- mos dar valores a x que se aproxi- mem de 1, pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y: A 21 CÁLCULO I E II Pela sua direita (valores maio- res que 1) e calcular o valor corres- pondente de y: Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1, y tende para 3. O limite da função é 3. Outro exemplo de limite é quando x se aproxima de 3cm. A área (x2) se aproxima de 9cm² como um limite. Então temos, Onde a notação (x→3) indica que x tende a 3 e “lim” significa “o li- mite de”. Propriedades do limite O limite da soma é a soma dos limites. Exemplo: O limite do produto de duas ou mais funções de mesma variável de- ve ser igual a multiplicação de seus limites. Exemplo: O limite do quociente é o quo- ciente dos limites desde que o deno- minador não seja zero. Exemplo: O limite da raiz positiva de uma função é igual à mesma raiz do 22 CÁLCULO I E II limite da função, lembrando que esta raiz precisa ser real. Exemplo: Limites laterais Se x se aproxima de “a” através de valores maiores que “a’ ou pela sua direita, esse limite é chamado de limite lateral à direita de a. Escreve- mos: Se x se aproxima de “a” através de valores menores que “a” ou pela sua esquerda, esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a. Es- crevemos: Limites Infinitos A expressão x→+∞ (ler-se que x tende para o infinito) significa que x assume valores superiores a qual- quer número real e x→-∞ (ler-se que x tende para menos infinito), da mesma forma, indica que x assume valores menores que qualquer nú- mero real. Vamos analisar o gráfico a se- guir. 23 CÁLCULO I E II a. lim 𝑥→∞ 1 𝑥 = 0= ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é zero. b. lim 𝑥→−∞ 1 𝑥 = 0 ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é zero. c. lim 𝑥→+0 1 𝑥 = ∞ ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita de zero (x→0+) ou por valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é infinito. d. lim 𝑥→−0 1 𝑥 = −∞ ou seja, quando x tende para zero pela esquerda (x→0-) ou por valores menores que zero, y tende para menos infinito. Se η é um número inteiro posi- tivo, então temos: lim 𝑥→±∞ 1 𝑥 𝜂 = 0 E sendo constante K, temos: lim 𝑥→±∞ 𝑘 = 𝑘 Exemplos: a. lim 𝑥→+∞ (3 + 1 𝑥 ) = lim 𝑥→+∞ 3 + lim 𝑥→+∞ 1 𝑥 = 3+0 = 3 b. lim 𝑥→−∞ ( 𝜋√2 𝑥3 ) = lim 𝑥→−∞ 𝜋√2. 1 𝑥3 = lim 𝑥→−∞ 𝜋√2 . lim 𝑥→−∞ 1 𝑥3 = π√2 . 0 = 0 No Limite de uma função poli- nomial quando x→±∞ podemos di- vidir o numerador e o denominador, pela maior potência de x do denomi- nador. Exemplos: A) Quando o numerador e denominador possuem o mesmo grau. Neste exemplo, divide todo o numerador e denominador por x². Observação: 24 CÁLCULO I E II B) Quando o numerador possui grau menor que o denomina- dor. Neste exemplo, divide todo o numerador e denominador por x³. C) Quando o numerador possui grau maior que o denomina- dor. Neste exemplo, divide todo o numerador e denominador por x. Observação: no cálculo de li- mites no infinito de funções polino- mial, podemos considerar apenas o limite no infinito do quociente entre os termos de maior grau tanto do numerador como do denominador. Exemplo: Limites Trigonométricos Obs: Usa x em radianos. Para demonstrar que o valor é =1 analisa- remos o gráfico. Para x→+0, temos: sen x < x < tg x. Dividindo a dupla desigualda- de por sen x > 0, temos: sen x < x < tg x. 25 CÁLCULO I E II Invertendo temos: Porém lim 𝑥→0 1 = lim 𝑥→0 cos = 1 Adotando as letras g, f e h. g(x) < f(x) < h(x) são funções contí- nuas. lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = lim 𝑥→𝑎 ℎ(𝑥) = 𝑏 Como f(x) encontra-se entre g(x) e h(x) ou seja, entre 1 e 1, então lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 Logo, lim 𝑥→0 ( 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥 ) . = 1 Limites Exponenciais Neste caso, “e” representa a base dos logaritmos naturais. Trata- se do número irracional e cujo valor aproximado é 2,7182818. Veja a tabela com valores de x e de Notamos que à medida que Exemplo: Demonstre que lim 𝑥→+0 (1 + 𝑥)1/𝑥 e Trocamos a variável x por x= 1 𝑡 26 CÁLCULO I E II Desta forma os dois são iguais a “e’. Funções Contínuas As funções contínuas estão vi- gorosamente vinculadas com os li- mites, pois quando se quersaber se uma função é contínua deve-se ana- lisar também a existência do limite. Podemos afirmar, de maneira grosseira que uma função é contínua quando conseguimos desenhar seu gráfico sem tirar o lápis do papel, ou seja, de maneira interrupta. Ou ain- da, quando o gráfico da função não possui quebras ou saltos em todo seu domínio. Para uma função f(x) ser con- tínua em x=a se as devidas condi- ções forem satisfeitas. f(a) está definida lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) existir lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = f(a) Caso falhar qualquer uma des- tas condições, a função f(x) é dita descontínua em x = a. Exemplos A) Determine se f(x) é con- tínua em x = 1, onde: A função está definida f(1)=1 . Fazendo a análise do limite temos: Devemos então conferir se lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = f(a). lim 𝑥→1 𝑓(𝑥) = 2 ≠ 1 = f(1) então f(x) é descontínua em x=1. Podemos observar essa des- continuidade no gráfico a seguir. Fonte: Dicas de Cálculo B) Determine se f(x) é contí- nua em x= 1, onde: 27 CÁLCULO I E II A função está definida em x= - 1, pois f(-1) = (-1)²- (-1)-2 f(-1) = 1+1-2 = 0 Vamos calcular os limites late- rais, pois são funções diferentes. Pela direita lim 𝑥→1+ 𝑥2 − 𝑥 − 2 = Pela esquerda lim 𝑥→1− 𝑥 + 1 = 0 O limite existe pois, os limites laterais são iguais. lim 𝑥→1 𝑓(𝑥) = 0 Então, deve-se analisar se a função em x=-1 é igual ao limite nes- te mesmo ponto. Conclui-se que f(x) é contínua em x=-1. Vamos observar essa conti- nuidade no seguinte gráfico. Fonte: Dicas de Cálculo Exercícios resolvidos 1) Verifique se a seguinte fun- ção é contínua em x=1. Primeiramente temos: f (x)= 2-x f(1) = 2-1 = 1 Calculando os limites laterais, se o limite existir e for igual a f(1) = 1, então f(x) será contínua em x = 1. Pela direita 28 CÁLCULO I E II Pela esquerda lim 𝑥→1− 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→1− (2 − 𝑥) = 1 Neste exercício 1 podemos concluir que os limites laterais são diferentes, então f(x) não é contínua em x=1. 2) Verifique se a seguinte fun- ção é contínua em x=1. Primeiramente temos: f (x)= x + 2 f(1) = 1+2 = 3 Calculando os limites laterais, se o limite existir e for igual a f(1) = 3, então f(x) será contínua em x = 1. Pela direita Pela esquerda lim 𝑥→1− 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→1− (𝑥 + 2) = 3 Neste exercício 2 podemos concluir que os limites laterais são iguais, então f(x) é contínua em x=1. 30 CÁLCULO I E II 3. A Derivada Fonte: Perseus Reta Tangente e Velocida- de Instantânea método de encontrar a reta tangente a uma curva e o mé- todo de encontrar a velocidade de um objeto, implicam em determinar um tipo de limite. Este tipo especial de limite é chamado de derivada e veremos que ele pode ser interpre- tado como uma taxa de variação tanto nas ciências quanto na enge- nharia. Para entender o conceito de derivada, primeiramente você pre- cisa saber o que é uma reta tangente. Coeficientes da Reta Coeficiente angular: está direta- mente relacionado com a inclinação de uma reta ou com a inclinação de um segmento de reta. Exemplo: Sejam A( X1, Y1) e B(X2,Y2) dois pontos distintos no plano cartesiano. Então o coefici- ente angular 𝓂 do segmento de reta𝐴𝐵 é dado por: Fonte: Brasil Escola O 31 CÁLCULO I E II Sendo o coeficiente angular a variação na vertical (eixo y) pela va- riação na horizontal (eixo x) da incli- nação de uma reta ou de um seg- mento de reta, vamos verificar no gráfico a seguir. Fonte: Brasil Escola Completando o segmento de reta com um triângulo retângulo e colocando um ponto C para melhor visualização, temos na vertical𝐵𝐶 a variação no eixo y do segmento de reta, sendo representada por∆𝑦 e na horizontal𝐴𝐶 a variação no eixo x, sendo representada por∆𝑥.Desta forma: Fonte: Brasil Escola Então: No plano cartesiano uma reta pode surgir de várias formas, po- dendo ser crescente, decrescente, estar na horizontal ou na vertical. Reta crescente: seu coeficiente angular será sempre um valor positivo, assim 𝓂 > 0. Reta decrescente: seu coefici- ente angular será um valor ne- gativo, assim 𝓂 < 0.. Reta horizontal: seu coefici- ente angular não é nem posi- tivo e nem negativo, assim 𝓂 = 0.. Reta na vertical: é igual a zero, então ele não existe. Levando em consideração o triângulo BCA e que o coeficiente angular é igual à tangente do ângulo de inclinação, teremos: Exemplo: Determine o coefici- ente angular da reta que passa pelos pontos A(-2,1) e B(3,4)? 32 CÁLCULO I E II Reta formada pelo seu ponto e coeficiente angular: A equação da reta que passa pelo ponto (X0 e Y0) e possui coeficiente angular 𝓂 é dada por Y- Y0 = 𝓂 (X-X0) Exemplo: Escreva a equação da reta que passa pelo ponto (3,2) com inclina- ção −3 2 Y- Y0 = 𝓂 (X – X0) Y- 2 = −3 2 (x - 3) 2Y-4 = -3X + 9 2Y +3 – 13 = 0 Coeficiente angular da reta tangente Tendo uma curva y = f(x) e um ponto p(x1, y1) sobre ela. O coefici- ente angular da reta tangente a curva no ponto p é dada por: 𝓂 = lim ∆𝑥→0 ( 𝑓(𝑋1 + ∆𝑥) ∆𝑋 ) . − 𝑓(𝑋1) Exemplo: Encontre o coefici- ente angular da reta tangente a cur- va y=x²-6x+8 no ponto (x1,y1) f(x) = x²-6x+8 f(x1) = x1²-6x1+8 f(x1+∆𝑥) = (x1+∆𝑥)² - 6 (x1+∆𝑥)+8 f(x1+∆𝑥) = x1²+2∆𝑥1∆𝑥+(∆𝑥)²-6x1- 6∆𝑥+8 Velocidade média A velocidade é uma grandeza que resulta da variação de tempo e variação de espaço percorrido por um móvel, ela mede a variação da posição do móvel no tempo, e nos oferece um valor que representa o quanto o móvel está rápido ou deva- gar ao realizar um determinado tra- jeto. Quando estiver o termo veloci- dade escalar, refere-se a uma gran- deza escalar, que tem apenas valor numérico, sem preocupar com as ca- racterísticas de um vetor que são di- reção e sentido. 33 CÁLCULO I E II A velocidade média esta ligada a um intervalo de tempo ∆t Exemplo: Um carro parte do repouso (velocidade inicial zero) e percorre 200m em 10s. Qual a velo- cidade média deste móvel nos 10s de movimento? Temos que a variação de es- paço representada por ∆𝑠foi de 200m, e a variação de tempo repre- sentada por ∆𝑡 foi de 10s, assim, a velocidade média é dada por: Vm = ∆S/∆t Vm = 200m / 10s Vm = 20m/s Embora a velocidade média ter sido dada por 20m/s, isto não significa que o carro estava sempre nessa velocidade de 20m/s, uma vez que ele partiu da velocidade inicial zero e aumentou ao longo do per- curso. Velocidade Instantânea A velocidade instantânea está ligada a um instante de tempo t, diferente da velocidade média que esta ligada a um intervalo de tempo ∆t. Para sa- ber a velocidade instantânea do carro no instante 4s, sabendo que a aceleração do mesmo é de 2m/s, de- vemos utilizar a equação abaixo: V = V0 + a.t Onde: V: é a velocidade final do móvel. V0: é a velocidade inicial do móvel. a: é a aceleração do móvel. t: é o tempo. Esta é a função para encontrar a velocidade para o movimento uni- formemente variado. Então para en- contrar a velocidade instantânea do carro, é só substituir os valores da seguinte forma. V = V0 + a.t V = 0 + 2 . 4 V = 8 m/s Assim, a velocidade do móvel no ins- tante 4s é igual a 8m/s e esta pode ser chamada de velocidade instantâ- nea já que se refere ao instante 4s. Definição de derivada A derivada corresponde a taxa de variação de uma função y = f(x) em relação à x, dada pela relação ∆x / ∆y. Considerando uma função y = f(x), a sua derivada no ponto x = x0 correspondeà tangente do ângulo formado pela intersecção entre a reta e a curva da função y = f(x), isto é, o coeficiente angular da reta tan- gente à curva. Temos que: lim ∆𝑥→0 ( 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑥 ) . Se o limite existir. Temos que a taxa de variação instantânea de 34 CÁLCULO I E II uma função y = f(x) em relação a x é dada pela expressão dy / dx. A deri- vada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos sím- bolos: Dxf(x) F’(x) DxY 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Exemplo: 1) Dada a função f(x)= 3x²+2x-1 encontre f ’(3). f ’(3)= lim ∆𝑥→0 ( 𝑓(3+∆𝑥)−𝑓(3) ∆𝑥 ) . = f ‘(3) = 3.3²+2.3-1 = 32 f(3+∆𝑥)=3.(3+∆𝑥)²+2(3+∆𝑥)-1= f(3+∆𝑥)= 32+20∆𝑥 + 3(∆𝑥)2 lim ∆𝑥→0 ( 32 + 20∆𝑥 + 3(∆𝑥)2 − 32 ∆𝑥 ) . lim ∆𝑥→0 ( 20∆𝑥 + 3(∆𝑥)² 𝑛 ) 𝑛 lim ∆𝑥→0 ∆𝑥 ( 20 + 3∆𝑥 ∆𝑥 ) . lim ∆𝑥→0 20 + 3∆𝑥 lim ∆𝑥→0 20 + 3.0 = 20 Derivadas Laterais e Conti- nuidade Derivadas Laterais Caso o limite exista, as deriva- das laterais são definidas por: lim ∆𝑥→0+ ( 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑥 ) . Quando esta tender a zero pela di- reita. lim ∆𝑥→0− ( 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑥 ) . Quando esta tender a zero pela es- querda. Uma função será derivável em um ponto se existirem derivadas la- terais e se essas derivadas forem iguais. Exemplos: 1) Seja f a função definida por 𝑓(𝑥) = { 5 − 2𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 3 4𝑥 − 13, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3 Encontre f ’+(3) e f ’-(3). Vamos fazer o cálculo pela direita. lim ∆𝑥→0+ ( 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑥 ) . 35 CÁLCULO I E II f(3)= 4.3-13= f(3)= 12-13=-1 f(3+∆𝑥) = 4(3+∆𝑥)-13 = f(3+∆𝑥) = 12+4∆𝑥 − 13 = f(3+∆𝑥) = 4∆𝑥 − 1 lim ∆𝑥→0+ ( 𝑓(3 + ∆𝑥) − 𝑓(3) ∆𝑥 ) . = lim ∆𝑥→0+ ( 4∆𝑥 − 1 + 1 ∆𝑥 ) . = 4 Agora o cálculo pela esquerda. lim ∆𝑥→0− ( 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑥 ) . f(3+∆x) = 5-2(3+∆x) = f(3+∆x) = 5-6+2∆x = f(3+∆x) = -1-2∆x lim ∆𝑥→0− ( 𝑓(3 + ∆𝑥) − 𝑓(3) ∆𝑥 ) . = lim ∆𝑥→0− ( −1 − 2∆𝑥 + 1 ∆𝑥 ) . = −2 Podemos concluir que as derivadas existem, porém como são valores di- ferentes a função x=3 não será deri- vável, assim, consideramos que a de- rivada naquele ponto não existe. 2) Seja f a função definida por 𝑓(𝑥) = { 𝑥2, 𝑠𝑒 𝑥 < 1 2𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1 Encontre f ’+(1) e f ’-(1). Cálculo pela direita f(1)= 2.1-1 = f(1)= 1 f(1+∆x) = 2(1+∆x)-1 = f(1+∆x) = 2+2∆x-1= f(1+∆x)=1+2∆x lim ∆𝑥→0+ ( 𝑓(1 + ∆𝑥) − 𝑓(1) ∆𝑥 ) =. lim ∆𝑥→0+ ( 1 + 2∆𝑥 − 1 ∆𝑥 ) . = lim ∆𝑥→0+ 2 = 2 Cálculo pela esquerda. f(1+∆x) = (1+∆x)² = f(1+∆x) = 1+2∆x+(∆𝑥)² lim ∆𝑥→0− ( 𝑓(1 + ∆𝑥) − 𝑓(1) ∆𝑥 ) . = lim ∆𝑥→0− ( 1 + 2∆𝑥(∆𝑥)2 − 1 ∆𝑥 ) =. lim ∆𝑥→0− ( ∆𝑥(2 + ∆𝑥) ∆𝑥 ) . = lim ∆𝑥→0− 2 + ∆x = 2 + 0 = 2 36 CÁLCULO I E II Podemos concluir que as deri- vadas existem, e tem valores iguais, então a função x=1 será derivável, assim, consideramos que a derivada naquele ponto existe. Continuidade Em relação a continuidade, se uma função f é derivável em um nú- mero x, ela será então contínua em x. isso se deve por uma razão em que uma função descontínua em um ponto, apresenta um salto, então não pode ser derivável nesse ponto. Porém, existem funções contínuas que não são deriváveis, por exemplo a função f(x) = [x]. Vejamos: 𝑓(𝑥) = { −𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 lim ∆𝑥→0 ( 𝑓(0 + ∆𝑥) − 𝑓(0) ∆𝑥 ) . = Cálculo pela direita lim ∆𝑥→0+ ( 0 + ∆𝑥 − 0 ∆𝑥 ) . = 1 Cálculo pela esquerda lim ∆𝑥→0− ( −0 − ∆𝑥 − 0 ∆𝑥 ) . = −1 Podemos concluir que não existem derivadas da função x=0, porém o gráfico é contínuo em x=0. Veja: Fonte: Stewart Regras de derivação Derivada de uma constante Se C é uma constante e f(x)= C para todo x, então f’(x)=0 Exemplo: f(x) = 7 f(x)=0 Derivada de uma potência Se 𝓃 é um número inteiro po- sitivo e f(x)= 𝑥𝓃, então f(x) = 𝑥𝓃−1 Exemplo: f(x) = 𝑥9 f(x) = 9𝑥9−1 f(x)= 9𝑥8 Derivada do produto de uma constante por uma função A derivada de uma constante multiplicando uma função, é a cons- tante multiplicando a derivada da função. 37 CÁLCULO I E II Exemplo: f(x)= 5x³ f(x)= 5.3x² f(x)= 15x² Derivada da soma / subtração A derivada de uma soma é a soma das derivadas. Exemplo: f(x)= 2x³-4x+5 f(x)= 2.3x²-1.4+0 f(x)=6x²-4 Derivada do produto Sejam f e g funções e h a fun- ção definida por h(x)= f(x).g(x). se a derivada f ’(x) e g’(x) existem então: h’(x) = f(x). g’(x)+f ’(x).g(x) Exemplo: f(x)= 𝑥4. (5x³-2) f(x)= 𝑥4. (5.3x²-0)+4x³.(5x³-2) f(x)= 𝑥4.15x²+20𝑥6-8x³ f(x)= 15𝑥6+20𝑥6-8x³ f(x)= 35𝑥6-8x³ Derivada do quociente Sejam f e g funções e h a fun- ção definida por h(x)= f(x)/g(x) no qual g(x)≠0. Se a derivada f ’(x) e g’(x) existem então: h’(x)= 𝑔(𝑥).𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥).𝑔′(𝑥) [𝑔(𝑥)]² Exemplo: f(x)= 𝑥³ 𝑥2+5 = f(x)= (𝑥2+5).3𝑥2−𝑥3.2𝑥+0 (𝑥2+5)² = f(x)= 3𝑥4+15𝑥2−2𝑥4 𝑥4+10𝑥2+25 = f(x)= 𝑥4+15𝑥² 𝑥4+10𝑥2+25 Regra da cadeia É uma fórmula para a derivada da função composta de duas fun- ções. Se y é uma função derivável de u e se u é uma função derivável de x, então y é uma função derivável de x. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 . 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Exemplos: 1) Determine 𝑑𝑦 𝑑𝑥 de y=(3x+1)³. Vamos calcular pelo método estu- dado até aqui, expandindo e deri- vando o polinômio resultante. y=(3x+1)³ y= (3x+1)².(3x+1)¹ y= (9x²+6x+1).(3x+1) y=27x³+18x²+3x+9x²+6x+1 y= 27x³+27x²+9x+1 38 CÁLCULO I E II 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 81𝑥2 + 54𝑥 + 9 Agora utilizando o método da regra da cadeia, usando u para re- presentar (3x+1). Então temos: y=(3x+1)³ u= (3x+1) y= u³ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 . 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3𝑢2. 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3. (3𝑥 + 1)2. 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 9(9𝑥2 + 6𝑥 + 1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 81𝑥2 + 54𝑥 + 9 2) Determine 𝑑𝑦 𝑑𝑥 de y=(3x³- 2x)³. y= (3x³-2x)³ u = (3x³-2x) y= u³ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 . 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3𝑢2. (9𝑥2 − 2) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (27𝑥2 − 6)(3𝑥3 − 2𝑥)² Derivadas de funções Derivada da função inversa Dizemos que a função inversa de f representada por 𝑓−1 é uma fun- ção tal que para todo x no domínio de f temos: f(x)=y ⟺ 𝑓−1(y) = x. Uma função 𝑓 Sua inversa 𝑓−1 Fonte: Info Escola 39 CÁLCULO I E II Exemplo: 1) Se y=f(x)=3x-6, determine a função inversa 𝑓−1(𝑥). Primeiro vamos trocar o x por y e isolar o y. y=3x-6 x=3y-6 3y=x+6 y= 𝑥 3 + 2 f(x)= 3x-6 ⟺ 𝑓−1(𝑥) = 𝑥 3 + 2 Se atribuirmos um valor para x, como por exemplo x=4 te- mos: f(4) = 3.4-6 f(4) =6 Verificando na função inversa. 𝑓−1(𝑥) = 6 3 +2 𝑓−1(𝑥) = 2 + 2 = 4 Derivando a função f(x) e sua função inversa 𝑓−1(x). f(x) = 3x-6 f(x) = 3 𝑓−1(𝑥) = 6 3 + 2 𝑓−1(𝑥) = 1 3 A existência de uma função in- versa deve atender a duas proprie- dades: Para quaisquer x1 e x2 no do- mínio de f, se x1 ≠ x2, então f(x1) ≠ f(x2). Para qualquer y no contra-do- mínio de f, existe algum x no domínio de f, tal que f(x)=y. Dessa forma, uma função que atenda a essas duas propriedades é chamada de bijetora. Na imagem a seguiré possível perceber que ape- nas a função em destaque é bijetora. Fonte: Aquino A derivada da função inversa, é o inverso da derivada, assim utili- zamos: (𝑓−1(𝑥))’ = 1 𝑓′(𝑓−1(𝑥)) 40 CÁLCULO I E II Exemplo: Seja y = 27x³, determine a de- rivada de sua função inversa. y=27x³ x=27y³ y³= 𝑥 27 y=√ 𝑥 3 3 f ’(x)= 27x³ = 3.27x² = 81x² (𝑓−1(𝑥))’ = 1 𝑓′(𝑓−1(𝑥)) = (𝑓−1(𝑥))’ = 1 81𝑥² = (𝑓−1(𝑥))′ = 1 81(√𝑥/3 ) 3 2 = (𝑓−1(𝑥))′ = 1 81. √ 𝑥2 9 3 = (𝑓−1(𝑥))′ = 1 9𝑥3 2 Derivadas polinomiais Para calcular as derivadas po- linomiais vamos utilizar as regras de potência e as regras básicas de deri- vação. Exemplos: Vamos calcular as derivadas. 1) f(x)= 3x²-2x+1 f’(x)= 2.3x-2+0 f’(x)= 6x-2 2) f(x)= 𝑥5 + 2𝑥3 − 𝑥² f’(x)= 5𝑥4 + 3.2𝑥2 − 2𝑥 f’(x)= 5𝑥4 + 6𝑥2 − 2𝑥 3) f(x)= 𝑥4 + 3𝑥3 − 𝑥² f’(x)=4x³+3.3x²-2x f’(x)= 4x³+9x²-2x Derivada exponencial Para calcular a derivada expo- nencial utilizamos algumas proposi- ções. 1ª proposição: Se y=𝑎𝑥 (a>0 e a ≠ 1) utilizamos a expressão, onde ln é o logaritimo na- tural. y’ = 𝑎𝑥. 𝑙𝑛𝑎 Exemplo: Tendo y=2𝑥, determine a sua derivada no ponto de abscissa 3. a=2 y’= 2𝑥. 𝑙𝑛² f’(3)= 2³.ln² f’(3)= 8.ln² 2ª proposição: Utilizamos quando estiver uma função exponencial onde o ex- poente é uma função derivável em 41 CÁLCULO I E II relação a variável x, se y=𝑎𝑢 (a>0 e a≠1). A derivada dessa função é dada pela expressão. y’=𝑎𝑢.lna.u’ Exemplo: Seja y=24𝑥³, determine a sua derivada. a=2 u=4x³ u’= 3.4x²=12x² y’=24𝑥 3 . 𝑙𝑛2.12𝑥² 3ª proposição A função exponencial é exata- mente igual a sua derivada. Se y=𝑒𝑥então y’=𝑒𝑥. Exemplo: Seja y=4𝑒𝑥, determine 𝑑𝑦 𝑑𝑥 . y=𝑒𝑥 y’= 4.𝑒𝑥 4ª proposição Se o expoente for uma função derivável em relação ao expoente x, utlilizamos a expressão. y’=𝑒𝑢. 𝑢′ Exemplo: Sendo y=3𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥, determine 𝑑𝑦 𝑑𝑥 . u=senx u’=cosx y’= 3𝑒𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 Derivada Logarítimica Assim como as derivadas ex- ponenciais para calcular a derivada logarítimica utilizamos algumas proposições. 1ª proposição Se y=log𝑎 𝑥, (a>0 e a≠ 1) te- mos a expressão. y’= 1 𝑥 log𝑎 𝑒 Exemplo: Seja y=log4 𝑥, determine sua derivada. y’= 1 𝑥 log4 𝑒 2ª proposição Se y=log𝑎 𝑢 e 𝓊 é uma função deri- vável de x com u>0, temos a expres- são. y’= 1 𝑢 . log𝑎 𝑒. 𝓊′ Exemplo: Seja f(x)=log2 5𝑥³, determine f ’(x). a=2 u=5x³ u’=3.5x² = 15x² y’= 1 5𝑥³ . log2 𝑒. 15𝑥² 42 CÁLCULO I E II 3ª proposição Se y=lnx e x>0 temos a expres- são. y’ = 1 𝑥 Exemplo: Sendo y= ln8, determine a de- rivada da função y’ = 1 8 4ª proposição Se y=lnu, e u é uma função derivável de x com u>0, então temos a expres- são. y’= 1 𝑢 .u’ Exemplo: Seja y=ln(9x³) determine y’. u=9x³ u’=3.9x² = 27x² y’= 1 9𝑥3 . 27𝑥2 y’=3𝑥−1 y’= 3 𝑥 Derivada trigonométrica As funções trigonométricas muitas vezes são usadas em modelos de fenômenos do mundo real. Em particular, as vibrações, ondas, mo- vimentos elásticos, campo eletro- magnético, ritmos cardíacos e outras grandezas que variem de maneira periódica podem ser descritos utili- zando-se as funções trigonométri- cas. Derivada da função seno Se y=sex, então y’=cosx y=sen(x) → y’=cos(x) Se y=sen(u) e u é uma função diferencial de x, então. y’= cos(u).u’ Exemplo: Seja y=sen(4x³), determine y’. u=4x³ u’=3.4x² u’=12x² y’=cos(4x³).12x² Derivada da função cos- seno Se y=cosx, então y’=-senx y=cos(x) → y’=-sen(x) Se y=cos(u) e u é uma função derivável de x, então. y’=-sen(u).u’ Exemplo: Seja f(x)=cos( 𝜋 2 − 𝑥) determi- ne f’(x). 43 CÁLCULO I E II u= 𝜋 2 – x u’=0-1x u’=-1 f’(x)=-sen( 𝜋 2 − 𝑥). (-1) f’(x)= sen( 𝜋 2 − 𝑥) Lembrando que nesse cálculo π/2 é constante, então seu valor é zero. Derivada da função tangente Se y=tg(u) e u é uma função derivá- vel de x, então. y’ = sec²u.u’ Exemplo: Seja f(x)=tg(7x³-10), determi- ne f’(x). u=7x³-10 u’= 3.7x²-10 u’= 21x²-0 u’= 21x² f’(x)= sec²(7x³-10).21x² Derivada da função cotan- gente Se y=cotg(u) e u é uma função derivável de x, então. y’= -cosec²u.u’ Exemplo: Seja y=(3+2.𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥)4, determi- ne y’. y=(3+2.𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥)4 y=4(3+2.cotgx)³ u=(3+2cotgx) u’=(0+2.(-cosec²x)) y’=4(3+2cotgx)³.(-2.cosec²x) y’=-8(3+2cotgx)³.cosec²x Derivada da função secante Se y= sec(u) e u é uma função derivável de x, então. y’=sec(u).tg(u).u’ Exemplo: Seja y=x³.𝑠𝑒𝑐 5 3𝑥, determine y’. u=x³ u’=3x² v=𝑠𝑒𝑐 5 3 𝑥 → v=(𝑠𝑒𝑐𝑥) 5 3 v’ = 5 3 . (𝑠𝑒𝑐𝑥) 2 3 . 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑡𝑔𝑥 y= u.v y’=u.v’+v.u’ y’= x³. 5 3 (𝑠𝑒𝑐𝑥) 2 3 .secx.tgx+ (𝑠𝑒𝑐𝑥) 5 3. 3x² y’ = 5𝑥³ 3 .(𝑠𝑒𝑐𝑥) 5 3.tgx+3x²(𝑠𝑒𝑐𝑥) 5 3 44 CÁLCULO I E II y’= x².(𝑠𝑒𝑐𝑥) 5 3.( 5 3 x.tgx+3 Lembrando que para calcular 5/3 -1 deve tirar o m.m.c. Derivada da função cossecante Se y=cosec(u) e u é uma fun- ção derivável de x, então. y’=-cosec(u).cotg(u).u’ Exemplo: Seja f(x)=( 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑥2+1 ), determine y’. u=cosecx u’=-cosecx.cotgx v=x²+1 v’=2x+1 → v’=2x+0 = 2x y= 𝑢 𝑣 y’= 𝑣.𝑢′−𝑢.𝑣′ 𝑣² y’= (𝑥²+1).(−𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥).𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥−(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥).2𝑥 (𝑥2+1)² y’=(-cosecx)[ (𝑥2+1).𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥+2𝑥 (𝑥2+1)² ] Derivada das funções trigono- métricas inversas As derivadas trigonométricas inversas são seis, no qual u é uma função derivável de x. então, temos as seguintes fórmulas. Fonte: I.pinimg Exemplos: Calcule a derivada das funções: 1) y=arc sen 3x u=3x u’=1.3 = 3 y’= 𝑢′ √1−𝑢² y’= 3 √1−(3𝑥)² y’= 3 √1−9𝑥² 2) y=arc cos x³ u= x³ u’=3x² 45 CÁLCULO I E II y’= −𝑢′ √1−𝑢² y’= −3𝑥² √1−(𝑥³)² y’= −3𝑥² √1−𝑥6 3) y=arc tg 𝑥 4 u= 𝑥 4 u’= 1 4 y’= 𝑢′ 1+𝑢² y’= 1 4 1+( 𝑥 4 )² y’= 1/4 1+ 𝑥2 16 y’= 1/4 16+ 𝑥2 16 y’= 1 4 . 16 16+𝑥² y’= 4 16+𝑥² 4) y= arc cotg x² u= x² u’= 2x y’= −𝑢′ 1+𝑢² y’= −2𝑥 1+(𝑥²)² y’= −2𝑥 1+𝑥4 5) y=arc sec (3x-5) u=3x-5 u’= 3 y’= 𝑢′ |𝑢|√𝑢2−1 y’= 3 |3𝑥−5|√(3𝑥−5)2−1 y’= 3 |3𝑥−5|√(9𝑥2−30𝑥+25)−1 y’= 3 |3𝑥−5|√9𝑥2−30𝑥+24 6) y= arc cosec 𝑥5 u=𝑥5 u’=5𝑥4 y’= −𝑢′ |𝑢|√𝑢2−1 y’= −5𝑥4 |𝑥5|√(𝑥5)2−1 y’= −5𝑥4 |𝑥5|√𝑥10−1 Acréscimos Sendo y = f (x) uma função. Se x varia de x1 a x2, definimos o acréscimo de x denotado por ∆𝑥 como: ∆𝑥 = 𝑋2 − 𝑋1 46 CÁLCULO I E II A variação de x origina uma correspondente variação de y, deno- tada por ∆𝑦 dada por : ∆𝑦 = 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1) ∆𝑦 = 𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1) Fonte: passo a passo Exemplo: Se y=4x²-5x+4 calcule ∆𝑦 para x=3 e ∆𝑥 =1,5 ∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑦 = 𝑓(3 + 1,5) − 𝑓(3) ∆𝑦 = 𝑓(4,5) − 𝑓(3) ∆𝑦 = 62,5 − 25 ∆𝑦 = 37,5 𝑓(4,5) = 4(4,5)2 − 5(4,5) + 4 𝑓(4,5) = 81 − 22,5 + 4 𝑓(4,5) = 62,5 𝑓(3) = 4(3)2 − 5.3 + 4 𝑓(3) = 36 − 15 + 4 𝑓(3) = 25 Diferencial Sejamy=f(x) uma função deri- vável e ∆𝑥 um acréscimo de x . Defi- nimos: A diferencial da variável inde- pendente x denotada por dx, como: 𝑑𝑥 = ∆𝑥 A diferencial da variável inde- pendente y denotada por dy, como: 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥). ∆𝑥 Fonte: passo a passo Exemplo: Sendo y=5x²-4x , ∆𝑥 = 2 e x=3 encontre ∆𝑦 e dy. ∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑦 = 𝑓(3 + 2) − 𝑓(3 ) ∆𝑦 = 𝑓(5) − 𝑓(3) ∆𝑦 = 105 − 33 ∆𝑦 = 72 𝑓(5) = 5. (5)2 − 4.5 47 CÁLCULO I E II 𝑓(5) = 5.25 − 20 𝑓(5) = 125 − 20 𝑓(5) = 105 𝑓(3) = 5. (3)2 − 4.3 𝑓(3) = 5.9 − 12 𝑓(3) = 45 − 12 𝑓(3) = 33 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥). ∆𝑥 𝑑𝑦 = 2.5𝑥 − 4.2 𝑑𝑦 = 10𝑥 − 8 𝑑𝑦 = 10.3 − 8 𝑑𝑦 = 30 − 8 𝑑𝑦 = 22 Derivação Implícita O método de derivação implí- cita é usado quando não consegui- mos diferenciar as funções, isto é, quando não conseguimos isolar as variáveis da função. f(x,y)=0 É a forma implícita de uma função y=f(x). y=x²-1 É a forma explícita de uma função y=f(x). Para calcular a derivada de uma função implícita, fazemos a de- rivação de ambos os lados da equa- ção em relação a x e, então, na reso- lução da equação isolando y’. É ne- cessário utilizar a regra da cadeia. Exemplo: A) x²+y²=4 2x+2y.y’=0 y’=- 2𝑥 2𝑦 y’= 𝑥 𝑦 Notamos que o y é uma função variável de x, desta forma sendo uma função composta, usamos a re- gra da cadeia. B) 2x²+y²=9 2.2x+2y.y’=0 4x+2y.y’=0 y’= −4𝑥 2𝑦 y’= −2𝑥 𝑦 C) x³+y³=6xy 3x²+3y².y’=6.y+6x.y’ y’(3y²-6x)=6y-3x² y’= 6𝑦−3𝑥² 3𝑦2−6𝑥 y’= 2𝑦−𝑥² 𝑦2−2𝑥 Neste exemplo usamos a regra da cadeia, mais a regra do produto. O Teorema do Valor Médio Seja f uma função contínua [a,b] e derivável em (a,b). então, existe um ponto C ∈ (a,b), tal que: f’(c)= 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎 Melhorando a expressão para tirar essa divisão, temos: 48 CÁLCULO I E II f(b)-f(a)= f’(c).(b-a) Geometricamente falando, te- mos que existe um ponto no interior do intervalo, tal que a inclinação da reta tangente ao gráfico desse ponto é igual a inclinação da reta secante que passa pelo ponto (a,b). Intervalos de crescimento e decrescimento Suponha que f’(x)>0 para todo o x em um intervalo I. Assim, a fun- ção f nesse intervalo é crescente. Suponha que f’(x)<0 para todo o x em um intervalo I. Assim, a função f nesse intervalo é decres- cente. Suponha que f’(x)=0 para todo o x em um intervalo I. Assim, a fun- ção f nesse intervalo é constante. Suponha que duas funções sa- tisfazem f’(x)= g’(x) para todo x. As- sim, f(x)=g(x)+k e k ∈ ℝ. Exemplos: A) f(x)= x³-2x, x ∈ [-2,2] f(x)= x³-2x f(-2)= (-2)³-2.(-2) f(-2)= -8+4 f(-2)=-4 f(x)= x³-2x f(2)= (2)³-2.2 f(2)= 8-4 f(2)=4 f(b)- f(a)= f’(c).(b-a) f(2)-f(-2)=f’(c).(2-(-2)) 4-(-4)= f’(c).4 8=f’(c).4 f’(c)= 8/4 f’(c)= 2 B) f(x)= x²+2x-1, x ∈ [1,5] f(x)= x²+2x-1 f(1)= 1²+2.1-1 f(1)= 1+2-1 f(1)=2 f(x)= x²+2x-1 f(5)= 5²+2.5-1 f(5)= 25+10-1 f(5)=34 f(b)- f(a)= f’(c).(b-a) f(5)-f(1)=f’(c).(5-1) 34-2= f’(c).4 32=f’(c).4 f’(c)= 32/4 f’(c)= 8 Derivadas de ordem supe- rior Vimos até agora a derivada de uma função f, representada por f ’. Mas como f ’ também é uma função podemos encontrar a sua derivada. Assim, podemos calcular (f ’)’ encon- trando f ”. Como f ” também é uma 49 CÁLCULO I E II função, podemos calcular sua deri- vada e encontrar f ’”. Dizemos então, que f ’ é a derivada de primeira or- dem de f, f ” é a derivada de segunda ordem e f ”’ a derivada de terceira or- dem de f. De um modo geral, 𝑓(𝑛) repre- senta a derivada de ordem n de f . A notação 𝑓(0) representa a própria função f. porém é importante desta- car que não é toda função que possui derivada de qualquer ordem. Temos, segundo a notação de Leibniz as seguintes expressões. y’= 𝑑𝑦 𝑑𝑥 y’’= 𝑑 𝑑𝑥 ( 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ) = 𝑑²𝑦 𝑑𝑥² y’’’= 𝑑 𝑑𝑥 𝑑²𝑦 𝑑𝑥² = 𝑑³𝑦 𝑑𝑥 𝑦𝑛 = 𝑑𝑛𝑦 𝑑𝑥𝑛 Exemplo: 1) y=x³ y’= 3x² y”=6x y”’= 6 2) y= - 𝑥5+x³-8 y’= - 5𝑥4+3x² y”= - 20x³+6x y’”= - 60x²+6 3) Calcule y’’ sendo y uma função implícita de x tal que x²+y³=1. 2x+3y².y’=0 y’=- 2𝑥 3𝑦² Utilizando a regra do quoci- ente, vamos encontrar y’’. y’’ =- (2𝑥)′(3𝑦2)−2𝑥(3𝑦²)′ (3𝑦²)² y”=- 2.(3𝑦2)−2𝑥(6𝑦𝑦′) 9𝑦4 y”= - 6𝑦2−12𝑥𝑦𝑦′ 9𝑦4 Podemos simplificar dividindo por 3y. y”= - 2𝑦−4𝑥𝑦′ 3𝑦³ Taxas relacionadas São expressões que relacio- nam quantidades que estão vari- ando em relação as outras, cujas ta- xas de variação são conhecidas. Exemplos: 1) Uma escada com 25 m de com- primento está apoiada a uma parede vertical. se o pé da es- cada for puxado horizontal- mente, afastando da parede 3m/s, qual a velocidade com 50 CÁLCULO I E II que a escada está deslizando, quando seu pé está a 15m de comprimento da parede? Fonte: Engenharia t → tempo decorrido desde qua a escada começou a deslizar pela pa- rede. y → distância do solo ao topo da escda. x → distância do pé da escada até a parede. Então temos: 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 =? Para x=15 Aplicando o teorema de Pitá- goras temos a expressão: y²+x²=25² y²= 625-x² Derivando a função em relação a t. y²=625-x² 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 0 − 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = - 2𝑥 2𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = − 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 Substituindo os valores conhecidos na equação, devemos encontrar y para x=15. y²=625-x² y²=625-15² y²=625-225 y²=400 y=√400 y=20 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = − 15 20 . 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −2,25 Sendo assim, o topo da escada está deslizando a 2,25m/s. já o sinal ne- gativo quer dizer que y é decres- cente. 2) Uma aeronave está decolando a um angulo de 30° com a ho- rizontal. Com que agilidade a aeronave estará ganhando al- tura se sua velocidade for de 900 km/h? 51 CÁLCULO I E II Fonte: Dicas de Cálculo Podemos relacionar a distân- cia percorrida pela aeronave e a al- tura que ele se encontra do solo atra- vés das relações trigonométricas. Sen(30º)= 𝑦 ℎ Sen(30º)= 1 2 1 2 = 𝑦 ℎ h=2y 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = 2 𝑑𝑦 𝑑𝑡 900=2 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 450 Assim, concluímos que a aero- nave ganha altura a uma velocidade de 450 km/h. 52 53 CÁLCULO I E II 4. Aplicações da Derivada Fonte: Freepik Funções Crescentes contínua em [a,b] e derivável em (a,b). Fonte: Mapa da Prova Para todo f’(x)>0, x ∈ (a,b) f é crescente. X1< X2 ⟹ f(X1) < f(X2) Funções Decrescentes F contínua em [a,b] e derivável em (a,b). Fonte: Mapa da Prova Para todo f’(x)<0, x ∈ (a,b) f é decrescente. X1> X2 ⟹ f(X1) > f(X2) Exemplo: F 54 CÁLCULO I E II Encontre os intervalos onde a função é crescente e decrescente e, se houver , os pontos críticos da função. f(x)=x³-3x+4 f ’(x)=3x²-3 f ’(x)=0 3x²-3=0 3x²=3 x²=3/3 x²=1 x=√±1 Os pontos críticos são [1,-1] Para { 𝑥 < 1 − 2 −1 < 𝑥 < 1 0 𝑥 > 1 2 f ’(x)= 3x²-3 f ’(x)=3.(-2)²-3 f ’(x)=3.4-3 f ’(x)=9 Para x<1, atribuindo x=2 a função é crescente. f’(x)= 3x²-3 f ’(x)=3.(0)²-3 f ’(x)=3.0-3 f ’(x)=-3 Para -1<x<1, atribuindo x=0 a função é decrescente. f ’(x)= 3x²-3 f ’(x)=3.(2)²-3 f ’(x)=3.4-3 f ’(x)= 9 Para x>1, atribuindo x=2 a função é crescente. Máximos e mínimos Para facilitar o entendimento podemos dizer grosseiramente que os pontos de máximos e mínimos de uma função são os pontos de picos e de depressões da função. Vejamos o gráfico. Fonte: Dicas de Cálculo Como podemos observar no gráfico os pontos f(a) e f(b) são pon- tos de máximo local e f(0) é ponto de mínimo local. E ainda, podemos dizer que o ponto f(b) é um máximo absoluto e f(0) é ponto de mínimo absoluto, pois f(b) é o maior valor de f e f(0) é o menor valor de f : f(0) ≤ f(x) ≤ f(b) Devemos ficar atento pois, nem todo ponto de inflexão é um 55 CÁLCULO I E II ponto de máximo ou mínimo, sem- pre faça o estudo do sinal da função antes e depois dos pontos encontra- dos, pois o sinal deve mudar. Veja o exemplo da função: f(x)=x³ para o domínio 𝑥 ∈ ℝ, na qual f'(x)=3x² e 3x²=0 onde encontramos x=0, porém esta fun- ção é monótona crescente (sempre crescente), não havendo troca de si- nal em 0. Logo, não há pontos de máximos e de mínimos. Veja a re- presentação gráfica dessa função. Fonte: Morgado É importante ressaltar que quando temos uma função f conti- nua em um intervalo fechado, [a,b], então tem-se pontos de máximos ou mínimos locais em a e b, mas não ne- cessariamente máximos ou mínimos absolutos. Exemplos: 1) Encontre os pontos máximos e mínimos da função f(x)=x²-2x-3 com 𝑥 ∈ ℝ f ’(x)=2x-2 f ’(x)=0 2x-2=0 x=2/2 x=1 ponto crítico Calculando valores antes e de- pois do ponto crítico. f’(0)=2x-2 f’(0)=2.0-2 f’(0)=-2 f’(2)=2x-2 f’(2)=2.2-2 f’(2)=2 f(x)=x²-2x-3 f(0)= 0²-2.0-3= -3 f(1)= 1²-2.1-3= -4 f(2)= 2²-2.2-3= -3 Este é um ponto de mínimo absoluto, visto que ela é continua e não há outros pontos de inflexão. Antiderivadas O conceito de antiderivadas ou primitivas de funções é um precur- sor ao Teorema Fundamental do Cálculo e é aqui que começamos a integração. Seja f :D→ ℝ uma função. 56 CÁLCULO I E II Uma primitiva de f é uma fun- ção F que satisfaz F’(x)=f(x) para todo 𝑥 ∈ 𝐷. Isso significa que seja uma função f : D → ℝ e a função F : D→ ℝ, então F é primitiva de f se a derivada de F for igual a f. Usamos a notação: ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 Se F(x) é uma primitiva de f, então F(x)+c também é uma primi- tiva de f. C= constante de integração. É importante lembrar que o uso da palavra “antiderivada”, que é a correspondente de “primitiva”, pode facilitar na memorização do conceito Exemplos: 1) ∫ 𝑥2𝑑𝑥 = 𝑥³ 3 + 𝑐 2) ∫ 𝑥3𝑑𝑥 = 𝑥4 4 +c 3) ∫ cos(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑐 4) ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = − cos(𝑥) + 𝑐 5) ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑐 6) ∫ 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑥| 7) ∫ 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 8) ∫ 𝑥𝑚 = 𝑥𝑚+1 𝑚+1 + 𝑐 9) ∫ 𝑠𝑒𝑛(5𝑥)𝑑𝑥 = −cos (5𝑥) 5 + 𝑐 Exercícios resolvidos A) Seja f’’(x)=12x²+6x-4 f(0)=4 e f(1)=1 encontre f(x). f’(x)=4x³+3x²-4x+c f(x)= 𝑥4 + 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐶2 f(0)=04 + 03 − 2.02 + 𝐶. 0 + 𝐶2 = 4 f(0)=C2=4 f(1)= 14 + 13 − 2.12 + 𝐶. 1 + 4 = 1 f(1)=C=-3 f(x)=𝑥4 + 𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥 + 4 57 57 58 CÁLCULO I E II 58 5. Referências Bibliográficas GOUVEIA, R. Funções Trigonométricas. Mai/ 2019. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/fun- coes-trigonometricas/. Data do acesso: 20/07/2020. ______. Função exponencial. Mai/ 2019. Disponível em: https://www.todamate- ria.com.br/funcão-exponencial/. Data do acesso: 21/07/2020. JOULE, E. Velocidade média e Velocidade Instatânea. 2020. Disponóvel em: https://efeitojoule.com/2009/01/veloci- dade-media-velocidade-instantanea/. Data do acesso: 27/07/2020. PAIS, Luiz Carlos. Didática da Matemá- tica: uma Análise da Influência Francesa. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2002. Coleção Tendências em Educação Mate- mática. PROFESSOR A. Professor A: questionário. [dez. 2007]. Aplicado por: Sílvia Pereira dos Santos. Jequié, BA, 2007. [2 laudas] Questionário concedido para o trabalho de conclusão de curso (TCC sobre o ensino da disciplina Calculo I no curso de Licencia- tura em Matemática com Enfoque em In- formática da UESB/Jequié). SANTOS, Raimundo Morais; NETO, Her- mínio Borges. Avaliação do Desempenho no Processo de Ensino-Aprendizagem de Cálculo Diferencial e Integral I: (O caso da UFC). Ceará, Artigo Científico/ UFC, 1991. Disponível em: < http://www.multimeios.ufc.br/arqui- vos/pc/artigos/artigo-avaliacao-do-de- sempenho-no-processo-de-ensino apren- dizagem.pdf>. 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