EDO 2 ordem

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Capítulo 3 – Equações Diferenciais 
O Wronskiano (de Josef Hoëné-Wronski, polonês, 1776 – 1853) 
Seja a equação diferencial, ordinária, linear e de 2ª. ordem 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos dividir por os 2 membros e escrever a equação não homogênea 
 
 
 
 
 
 
Claro, na divisão por os zeros dessa função terão papel e tratamento 
especial. 
À equação (1) temos associada a equação homogênea 
 
 
 
 
 
 
A linearidade da equação acima tem uma propriedade fundamental - o 
Princípio da Superposição: se duas funções linearmente independentes, 
e são soluções de (2) então, qualquer combinação linear será também 
solução de (2), isto é, a função 
 
satisfaz identicamente a equação (2). 
Chamamos de funções linearmente independentes, duas funções e 
que satisfazem 
 
em outras palavras, não podemos escrever . 
Se fosse possível escrever as 2 soluções seriam 
linearmente dependentes e teríamos o sistema de equações diferenciais 
( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
cuja solução é 
 
 
 
 
2 
 
Definimos o Wonskiano de 2 funções e 
 
 
 
 
 
 
 
 
da equação (5) vemos que se e são linearmente independentes 
então, 
O Wronskiano da equação homogênea (2) pode ser obtido simplesmente a 
partir da função . Senão, vejamos. Substituindo as soluções e , 
temos 
 
 
 
 
 
 
Multiplicando (6a) por , (6b) por e subtraindo (6a) de (6b) teremos 
 
 
 
 
 
ou 
 
 
 
Integrando (7) e incorporando a constante de integração 
 
 
 
 
onde é o valor de calculado num valor arbitrariamente escolhido 
 . Para 2 funções linearmente independentes , consequentemente 
 . 
A solução geral da homogênea (3), será a combinação linear das 2 soluções 
linearmente independentes 
 
As constantes e são determinadas pelas condições iniciais em 
 
 
 
Vamos agora demonstrar que se conhecemos uma solução da 
homogênea, então, a segunda solução linearmente independente, , pode 
ser obtida a partir do conhecimento de . Essa técnica é batizada de 
Método da Variação das Constantes. 
 
3 
 
Método da Variação das Constantes 
Vamos supor , onde é uma função inicialmente 
desconhecida. Derivando uma e duas vezes teremos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo (9a) e (9b) em (6b), temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
ou, 
 
 
 
 
 
 
por hipótese, o 1º. termo entre colchetes em (10) é nulo. 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
Integrando a equação acima 
 
 
Ou seja, 
 
 
Portanto, obtivemos a função 
 
 
 
 
 
 
Solução da Não Homogênea 
A equação não homogênea para 
 
tem como solução geral, a soma da solução geral da homogênea com 
uma solução particular da não homogênea 
 
com 
4 
 
 
 
 
 
 
A solução particular também é conhecida como integral particular e a 
solução da homogênea é também chamada de função complementar. 
Obs. As soluções independentes da homogênea, , são obtidas a 
menos de uma constante multiplicativa arbitrária ! ( ) 
Podemos, novamente, utilizar o Método da Variação das Constantes para obter 
a solução particular da não homogênea. 
 
onde e são 2 funções arbitrárias a serem determinadas. 
Derivando (14) 
 
 
 
 
 
 
Podemos impor que ( e são 2 funções arbitrárias) 
 
 
 
Então 
 
 
 
 
Derivando mais uma vez (17) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo (14), (17), (18) em (12), temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Colocando e em evidência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como os termos entre colchetes se anulam, teremos o sistema linear de 2 equações 
para 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
cuja solução é 
 
 
 
 
 
 
 
 . Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumindo, basta apenas determinar uma solução da homogênea que a 2ª. 
solução independente e a solução particular da não homogênea podem ser 
obtidas. 
O Método de Frobenius (Ferdinand Georg Frobenius, alemão, 1849-1917) 
As soluções da equação homogênea, 
 
em geral, podem ser obtidas utilizando a expansão de Frobenius (Laurent) em 
torno da origem 
 
 
 
 
ou Frobenius Generalizado 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que sempre podemos escolher , já que os números 
racionais serão obtidos para serem solução da equação homogênea (20). 
Mais forte ainda, temos sempre que assumir . 
Se na origem, , as funções forem analíticas então a origem é 
chamada de ponto ordinário, caso contrário, ponto singular. 
Há 2 tipos de pontos singulares: regular e irregular. 
Chamamos a origem de ponto singular regular se a função tem, no 
máximo, um polo simples na origem e a função tem, no máximo, um polo 
de ordem 2 na origem, isto é, 
 
 
 
 
 
 
 
Os métodos de Frobenius e Frobenius Generalizado sempre funcionarão 
quando as condições acima estiverem satisfeitas e podem funcionar ou não, 
caso contrário. 
6 
 
Exemplo 1: A Equação de Bessel de ordem - funções esféricas de Bessel 
 
Analisaremos o caso , Bessel esférica de ordem 1. 
 
Vamos tentar o Frobenius padrão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo em (24), temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou, coletando termos de mesma potênciaSimplificando, 
 
 
 
 
 
 
 
A equação (26) pode ser reescrita, explicitando os 2 primeiros termos da 1ª 
série, rerotulando os restantes e juntando-os com a 2ª. série 
 
 
 
 
 
 
O primeiro termo de (27) é chamado de equação indicial. Como e o 
termo tem que ser igual a zero para qualquer , teremos 
 
O segundo termo de (27) também tem que se anular para qualquer . Se 
substituirmos , obtemos . Se substituirmos , obtemos . 
7 
 
Logo, em ambos os casos, 
 
O último termo de (27) se anula para todo 
 
 
 
 
Ou, gera a assim chamada fórmula de recorrência 
 
 
 
 
Escolhendo , temos 
 
 
 
 
Para os índices pares, teremos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como . Toda a série ímpar se anula. Logo, para 
 , temos uma solução em série de Frobenius 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Que, obviamente, tem um polo de ordem 2 na origem. Note que é uma 
função par. 
Escolhendo , (como é outra série com outro valor de , utilizaremos 
coeficientes de Frobenius 
 ) temos 
 
 
 
 
 
 
Para os índices pares, teremos 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como 
 
 
 . Toda a série ímpar se anula. Logo, para 
 , temos uma segunda solução em série de Frobenius 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Que, obviamente, tem um zero de ordem 1 na origem. Note que é uma 
função ímpar. 
Portanto, a solução geral de (24) tem expansão em série de Frobenius 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se fizermos 
 
 
 
, a função pode ser escrita 
 
 
 
 
 
 
 
Se fizermos , a função pode ser escrita 
 
 
 
 
 
 
 
--------------------------------------------------------------------------------- 
Exemplo 2: A Equação de Bessel de ordem – funções cilíndricas de Bessel 
 
Analisaremos o caso 
 
 
, Bessel esférica de ordem 
 
 
. 
 
 
 
 
Vamos tentar o Frobenius padrão 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
 
Substituindo em (31) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Procedendo de maneira análoga ao exemplo 1, teremos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação indicial fornece 
 
 
 e 
 
 
. Substituindo esses valores no 2º. termo 
concluímos que se e se . 
Começaremos por 
 
 
. A fórmula de recorrência fica 
 
 
 
 
Série par: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo a série par fica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Série ímpar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo a série ímpar fica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
Ambas têm um ponto de ramificação na origem. 
A solução geral é, portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se tivéssemos escolhido 
 
 
 , teríamos 
 , e a fórmula de recorrência 
 
 
 
 
 
 
e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De modo que , não é uma nova solução (e nem poderia, senão a 
eq. de 2ª. ordem teria 3 soluções L.I.). 
Esse resultado é válido sempre: Se a equação indicial gera 2 soluções que 
diferem por um número inteiro, então a solução com o menor valor de já é a 
solução geral. 
Obviamente, a solução geral (35) pode ser reescrita 
 
 
 
 
 
 
 
Onde são constantes e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
são as funções de Bessel de ordem 
 
 
 
 
 
 , respectivamente. 
Exemplo 3: A equação diferencial de Legendre 
 
A série de Fourier 
 
 , fornece 
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação indicial nos dá 
Para o 2º termo temos . Escolhendo , o valor de é arbitrário. 
A equação de recorrência é 
 
 
 
 
A série de Frobenius gerada a partir de (39) converge? 
Pelo teste da razão, devemos ter 
 
 
 . Para suficientemente grande 
isso é sempre verdade para , mas para a série diverge. Existe, porém, 
uma solução finita para qualquer , basta que . Em geral, 
condições físicas exigem que a solução seja analítica em . 
Como a recorrência “morre” quando , como , o resultado será um Polinômio 
de grau !! Esse polinômio é chamado de Polinômio de Legendre, . Eles são 
obtidos de 
 
 
 
 
Usualmente, eles são escolhidos de sorte que . 
Obs.: uma vez fixado o valor de , a série par será polinomial se for par e a série 
ímpar será não polinomial e vice-versa. A série não polinomial corresponde à solução 
L.I. da equação de Legendre, , chamada de função de Legendre de 2ª. espécie. 
Abaixo, listamos os primeiros polinômios de Legendre 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que a paridade do polinômio de Legendre depende de 
 
 
 
12 
 
As funções de Legendre de 2ª. espécie, (que convergem para , mas 
divergem para ) podem ser obtidas da equação de Legendre 
 
 
 
 
 
 
 
via método da variação das constantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As primeiras funções de Legendre de 2ª. espécie sãoObserve que a paridade de é dada por 
 
 
 
Exemplo 4: A Equação de Bessel de ordem - A raiz dupla na equação 
indicial 
 
Substituindo a série Frobenius 
 
 
 , temos 
 
 
 
 
 
 
 
Simplificando, 
 
 
 
 
 
 
 
Ou, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde, temos uma única raiz dupla e 
 
13 
 
A fórmula de recorrência fica 
 
 
 
 
Portanto, o Frobenius usual só fornece uma única solução, a série par 
 
onde é a função de Bessel de ordem zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Falta a 2ª. solução L.I. Vamos tentar Frobenius generalizado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo essas expressões em (40) temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O termo entre colchetes é nulo (sumindo com o logaritmo), 2 termos se cancelam e o 
resultado final é uma equação não homogênea 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simplificando, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
Mas, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
os coeficientes podem facilmente ser obtidos. Voltando à (43), temos 
 
 
 
 
 
 
 
 (44) 
Donde, ; ; 
 
 
 ; ; 
 A fórmula de recorrência fica 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5: A Equação de Euler – Raízes complexas da equação indicial 
Seja a equação de Euler 
 
A série de Frobenius 
 
 
 , fornece 
 
 
 
 
Ou, 
 
 
A equação indicial é . Obviamente, . 
Então, 
 
 
 
Mas . Escolhendo o ramo principal 
 . Para real 
 . 
Escrevendo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6: A Equação de Bessel de ordem - Raízes diferem por inteiro 
 
Substituindo a série Frobenius 
 
 
 , os 2 primeiros termos são a 
equação indicial 
 e e fórmula de recorrência 
 
 
 
 
Desse modo em ambos os casos. As 2 raízes , fornecem 
 
 
 
 
e 
 
 
 
 
respectivamente. A equação (49 a) para explode e não pode ser utilizada. A 
equação (49 b) não tem problema e gera a Função de Bessel de ordem 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para obter a 2ª. solução, vamos usar Frobenius generalizado 
 
Que substituída em (47) nos dá 
 
 
Mas 
 
 que substituída em (51) fornece 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simplificando, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da equação indicial de (52) vemos que . Se escolhêssemos , o 1º. termo 
zeraria e os próximos termos seriam 
 e nunca seria possível igualar 
com o 2º. membro de (52) que começa com . Logo, escolhemos . Isso implica 
que e que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 7: Fórmula de recorrência de 3 termos 
 
Substituindo a série Frobenius 
 
 
 teremos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação indicial é com soluções e . A equação seguinte 
é . Portanto, escolhendo , teremos com valor arbitrário. 
Para os 2 primeiros termos de (55) , temos ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou, 
 
 
 
 
Para a situação com todos os 3 termos, fazemos ( ) no 1º. termo e( ) 
no 2º. termo de (55) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou, 
 
Portanto, a solução geral será 
17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo: 
Se a equação indicial tem 
1) Duas Raízes Distintas 
Cada uma delas fornece uma solução L.I. da equação diferencial homogênea. 
2) Duas Raízes Distintas que diferem por um inteiro 
a) A menor raiz fornece a solução geral. 
b) A menor raiz fornece não fornece solução (coeficientes infinitos), a maior 
raiz fornece uma única solução e Frobenius Generalizado fornece a 2ª. 
solução L.I. 
3) Raiz Dupla 
Frobenius fornece uma única solução e Frobenius Generalizado fornece a 2ª. 
solução L.I. 
 
Outros Métodos 
1) Expansão em torno do infinito: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação diferencial 
 
fica, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chamando 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 temos 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Reescrevendo 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
Pelos critérios discutidos 
 
 
 tem um polo simples e 
 
 
 um polo de 
ordem 4 na origem. 
Usando 
 
 
 e as expressões acima temos 
 
 
 
 
Com soluções 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Mudança da Variável Dependente 
 
Se mudarmos da função para a função através da equação 
 , onde está à nossadisposição. 
A equação diferencial 
 
Pode ser reescrita 
 
a) Podemos impor 
 
 
 
 
Donde 
 
 
 
 
 
 
 
b) A equação diferencial 
 
Descreve um oscilador harmônico quântico unidimensional. Para , ele 
recai no exemplo 7 discutido acima, com solução 
 
 . Chamando 
 
 
 
Obtemos 
 
Cuja solução leva aos Polinômios de Hermite 
 
19 
 
3) Mudança da Variável Independente 
 
Definindo uma nova variável , uma função arbitrária de , teremos, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E a equação fica 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: na equação de Euler , se substituirmos , 
temos 
 
 
 
Com solução