Cálculo Diferencial e Integral IV

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Indaial – 2020
CálCulo DiferenCial e 
integral iV
Prof.ª Daniela Rego Amazonas
1a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2020
Elaboração:
Prof.ª Daniela Rego Amazonas
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
A489c
 Amazonas, Daniela Rego
 Cálculo diferencial e integral IV. / Daniela Rego Amazonas. – 
Indaial: UNIASSELVI, 2020.
 297 p.; il.
 ISBN 978-65-5663-010-6
1. Cálculo diferencial. - Brasil. 2. Cálculo integral. – Brasil. Centro 
Universitário Leonardo Da Vinci.
CDD 515.33
III
apresentação
Prezado estudante, bem-vindo a mais uma etapa do seu curso de 
Cálculo Diferencial e Integral. Ao longo das disciplinas de Cálculo, você 
veio criando as bases necessárias para o entendimento dos assuntos que 
serão tratados aqui, desde os conceitos básicos de derivada até a resolução 
de integrais usando as técnicas mais diversas. Quanto melhor for o seu 
domínio dos assuntos tratados nas disciplinas anteriores, mais fáceis serão 
sua compreensão e destreza ao tratar dos problemas apresentados nesta 
disciplina.
Falaremos, aqui, de três assuntos importantes, a saber: Equações 
Diferenciais, Transformada de Laplace e Séries de Fourier. Apesar de 
parecerem assuntos desconexos, estão interligados, cujas aplicações, nas 
mais diversas ciências, são infindáveis.
Procuramos, ao longo das unidades, fazer a apresentação dos assuntos 
de maneira formal, prezando pelo bom uso da linguagem matemática, mas 
sem exageros, facilitando sua leitura. Você também observará que existe um 
número muito grande de exemplos, cujo objetivos são ilustrar situações-
problema e facilitar o entendimento dos conceitos e técnicas apresentadas. 
Além disso, apresentaremos uma variedade de aplicações ao logo de todo 
o livro. É preciso não somente incentivar a leitura, mas também mostrar o 
quão importante e variado é o estudo dos assuntos desta disciplina.
Ao logo de toda a sua jornada estudando Matemática, você já deve 
ter tido a conclusão de que dedicação, organização e concentração são 
fundamentais. Nesta disciplina, além desses três fatores, acrescentamos a 
prática. Refaça os exemplos e resolva as atividades propostas mais de uma 
vez. Tenha certeza de que você domina as técnicas antes de ir para o próximo 
exemplo ou exercício. Dessa forma, temos convicção de que seu desempenho 
será excepcional.
Desejamos uma boa leitura e que esta disciplina seja mais um 
incentivo para você continuar aprendendo.
Profª. Dra. Daniela Amazonas
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos 
materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais 
os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais 
que possuem o código QR Code, que é um código 
que permite que você acesse um conteúdo interativo 
relacionado ao tema que você está estudando. Para 
utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos 
e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar 
mais essa facilidade para aprimorar seus estudos!
UNI
V
VI
Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma disciplina e com ela 
um novo conhecimento. 
Com o objetivo de enriquecer teu conhecimento, construímos, além do livro 
que está em tuas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, por meio dela terás 
contato com o vídeo da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complementares, 
entre outros, todos pensados e construídos na intenção de auxiliar teu crescimento.
Acesse o QR Code, que te levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para teu estudo.
Conte conosco, estaremos juntos nessa caminhada!
LEMBRETE
VII
UNIDADE 1 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS .......................................................................................1
TÓPICO 1 – PROBLEMAS DE VALOR INICIAL E PROBLEMAS DE CONTORNO ................3
1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................3
2 PROBLEMAS DE VALOR INICIAL E PROBLEMAS DE CONTORNO ....................................3
3 CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ..................................................................4
3.1 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL .......................................................................7
4 TIPOS DE SOLUÇÕES ..........................................................................................................................8
5 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI) ...........................................................................................9
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................15
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................16
TÓPICO 2 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM ...........................................19
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................19
2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS ...................................................19
3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES .......................................................................................22
4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS ............................................................................................28
5 SOLUÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO ....................................................................................................32
6 APLICAÇÃO ..........................................................................................................................................39
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................44
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................45
TÓPICO 3 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM .....................47
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................47
2 DEFINIÇÃO ...........................................................................................................................................47
3 PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO ....................................................................................................484 INDEPENDÊNCIA LINEAR ..............................................................................................................49
5 CARACTERÍSTICAS DA SOLUÇÃO ..............................................................................................50
6 ENCONTRANDO A SOLUÇÃO .......................................................................................................56
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................78
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................79
TÓPICO 4 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM SUPERIOR .....................81
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................81
2 RAÍZES REAIS DISTINTAS ..............................................................................................................82
3 RAÍZES REAIS REPETIDAS ..............................................................................................................83
4 RAÍZES COMPLEXAS DISTINTAS .................................................................................................84
5 RAÍZES COMPLEXAS REPETIDAS.................................................................................................85
6 EQUAÇÕES NÃO HOMOGÊNEAS .................................................................................................86
RESUMO DO TÓPICO 4........................................................................................................................89
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................90
TÓPICO 5 – EQUAÇÃO DE CAUCHY-EULER .................................................................................91
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................91
sumário
VIII
2 EQUAÇÃO HOMOGÊNEA ................................................................................................................92
3 EQUAÇÃO NÃO HOMOGÊNEA .....................................................................................................96
LEITURA COMPLEMENTAR ...............................................................................................................98
RESUMO DO TÓPICO 5........................................................................................................................99
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................100
UNIDADE 2 – TRANSFORMADA DE LAPLACE .........................................................................101
TÓPICO 1 – TRANSFORMADA DE LAPLACE .............................................................................103
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................103
2 REVISÃO DE INTEGRAIS IMPRÓPRIAS ...................................................................................103
3 DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE .................................................................104
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................113
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................114
TÓPICO 2 – TRANSFORMADA INVERSA E TRANSFORMADA DA DERIVADA ............115
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................115
2 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE ..............................................................................115
3 TRANSFORMADA DE LAPLACE DA DERIVADA ...................................................................125
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................128
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................129
TÓPICO 3 – PROPRIEDADES OPERACIONAIS E OS TEOREMAS DE TRANSLAÇÃO ...131
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................131
2 TEOREMA DE TRANSLAÇÃO NO EIXO-S ................................................................................131
3 TEOREMA DE TRANSLAÇÃO NO EIXO-t .................................................................................133
4 TRANSFORMADA DE UMA FUNÇÃO PERIÓDICA ...............................................................136
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................139
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................140
TÓPICO 4 – DERIVAÇÃO DA TRANSFORMADA E TRANSFORMADA DA INTEGRAL ....141
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................141
2 DERIVAÇÃO DA TRANSFORMADA ..........................................................................................141
3 TRANSFORMADA DA INTEGRAL ..............................................................................................143
4 DELTA DE DIRAC ..............................................................................................................................147
RESUMO DO TÓPICO 4......................................................................................................................151
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................152
TÓPICO 5 – RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS POR TRANSFORMADAS DE 
LAPLACE ..........................................................................................................................153
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................153
2 METODOLOGIA ................................................................................................................................153
3 EXEMPLOS ..........................................................................................................................................153
RESUMO DO TÓPICO 5......................................................................................................................174
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................175
TÓPICO 6 – APLICAÇÕES DAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE ......................................177
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................177
2 OSCILADOR HARMÔNICO FORÇADO ....................................................................................177
3 FÓRMULA DE DUHAMEL ............................................................................................................180
4 CIRCUITOS RLC ................................................................................................................................182
5 FUNÇÃO IMPULSO ..........................................................................................................................185
IX
6 METABOLISMO DE UM MEDICAMENTO ...............................................................................1867 FUNÇÃO GAMA ................................................................................................................................189
8 TRANSFORMADAS DE LAPLACE ...............................................................................................192
RESUMO DO TÓPICO 6......................................................................................................................198
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................199
UNIDADE 3 – SÉRIES DE FOURIER ................................................................................................201
TÓPICO 1 – SEQUÊNCIAS, SÉRIES NUMÉRICAS E SÉRIES DE POTÊNCIA ......................203
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................203
2 SEQUÊNCIAS .....................................................................................................................................203
3 SÉRIES NUMÉRICAS ........................................................................................................................206
4 SÉRIES DE POTÊNCIA .....................................................................................................................211
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................220
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................221
TÓPICO 2 – DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES DE FUNÇÕES PERIÓDICAS .........................223
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................223
2 FUNÇÕES PERIÓDICAS ..................................................................................................................223
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................230
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................231
TÓPICO 3 – SÉRIES TRIGONOMÉTRICAS E DEFINIÇÃO DE SÉRIE DE FOURIER .........233
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................233
2 PRODUTO INTERNO .......................................................................................................................233
3 SÉRIE DE FOURIER ...........................................................................................................................238
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................249
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................250
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................251
TÓPICO 4 – CONDIÇÃO DE CONVERGÊNCIA DAS SÉRIES DE FOURIER .......................251
3 CONVERGÊNCIA DAS SÉRIES DE FOURIER ...........................................................................252
2 FUNÇÕES CONTÍNUAS POR PARTES ........................................................................................252
RESUMO DO TÓPICO 4......................................................................................................................256
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................257
TÓPICO 5 – DESENVOLVIMENTO EM SÉRIES DE FOURIER .................................................259
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................259
2 DETERMINAÇÃO DOS COEFICIENTES DA SÉRIE DE FOURIER ......................................259
RESUMO DO TÓPICO 5......................................................................................................................272
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................273
TÓPICO 6 – APLICAÇÕES DAS SÉRIES DE FOURIER ...............................................................275
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................275
2 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS .............................................275
3 IDENTIDADE DE PARSEVAL ........................................................................................................281
4 TRANSFORMADA DE FOURIER ..................................................................................................284
5 SÉRIES DE FOURIER GENERALIZADAS ...................................................................................287
RESUMO DO TÓPICO 6......................................................................................................................295
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................296
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................297
X
1
UNIDADE 1
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• classificar as equações diferenciais;
• entender e resolver um problema de valor inicial;
• identificar e resolver equações diferenciais de primeira ordem;
• identificar e resolver equações diferenciais de segunda ordem;
• identificar e resolver equações diferenciais de ordem superior.
Esta unidade está dividida em cinco tópicos. No decorrer da unidade 
você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo 
apresentado.
TÓPICO 1 – PROBLEMAS DE VALOR INICIAL E PROBLEMAS DE 
CONTORNO
TÓPICO 2 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
TÓPICO 3 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA 
ORDEM
TÓPICO 4 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM 
SUPERIOR
TÓPICO 5 – EQUAÇÃO DE CAUCHY-EULER
Preparado para ampliar teus conhecimentos? Respire e vamos em 
frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverás 
melhor as informações.
CHAMADA
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
PROBLEMAS DE VALOR INICIAL E PROBLEMAS 
DE CONTORNO
1 INTRODUÇÃO
Devemos estudar as equações, pois elas aparecem em diferentes situações 
e nas mais variadas ciências. Ao longo do texto, apresentaremos algumas 
aplicações bem comuns, mas você deve ficar ciente de que, todos os dias, novas 
equações diferenciais surgem, e que um grande desafio para o cientista é encontrar 
soluções.
Iniciaremos nosso estudo definindo e classificando as equações 
diferenciais. Em seguida, tentaremos resolvê-las através de diferentes técnicas 
que devem ser aplicadas em conformidade com algumas características. Para 
haver compreensão, apresentaremos, para cada nova técnica, diferentes exemplos 
numéricos.
 
2 PROBLEMAS DE VALOR INICIAL E PROBLEMAS DE 
CONTORNO
Desde as primeiras séries do ensino fundamental, deparamo-nos com 
estruturas matemáticas que chamamos de equações. O desafio é aprender 
técnicas para encontrar suas soluções. É importante lembrar que a solução de 
uma equação é todo valor que satisfaz a igualdade, ou seja, aquele valor que, ao 
ser substituído no lugar das variáveis, torna a expressão verdadeira.
Ao longo de toda a vida acadêmica, aprendemos que existem diferentes 
tipos de equações, em geral, classificadas de acordo com alguma característica 
importante. Por exemplo, temos asequações polinomiais, sendo a mais famosa a 
equação de segundo grau (ou quadrática), cuja principal característica é o fato de 
poder ser escrita na forma de polinômio.
Neste tópico, introduziremos as equações diferenciais, em que a incógnita 
é uma função e a equação envolve termos na função e suas derivadas. A solução 
da equação sempre será uma função que, ao ser derivada, ela e suas derivadas 
satisfazem a equação diferencial.
 
UNIDADE 1 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
4
Você deve lembrar que a derivada de uma função y = f(x) é uma outra 
função ( )'dy f x
dx
= . Por exemplo, a função y = ex2 tem, por derivada, a função:
2
2 xdy xe
dx
=
Ainda:
Agora, imagine que você se depara somente com a equação (1), sem 
saber como ela foi obtida. Como você faria para encontrar a função y = f(x)? Os 
procedimentos para encontrar a função desconhecida y = f(x) serão apresentados 
ao longo desta unidade.
Definição 1: chama-se equação diferencial toda equação que envolve uma 
função incógnita e suas derivadas.
Exemplo 1: 
0dy y
dx
− =
 dy
dx
 representa a derivada e y = f(x) representa a função incógnita.
3 CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
As equações diferenciais podem ser classificadas de acordo com o tipo, 
ordem, grau ou linearidade. 
1) Tipo: as equações diferenciais (ED) podem ser classificadas em ordinárias ou 
parciais.
 
Equação diferencial ordinária (EDO) é aquela na qual há só uma variável 
independente, de modo que todas as derivadas que ocorrem nela são denominadas 
derivadas ordinárias. 
Exemplo 2:
2dydx x y
dt dt
+ = +
2dy xy
dx
= (1)
.
TÓPICO 1 | PROBLEMAS DE VALOR INICIAL E PROBLEMAS 
5
Equação diferencial parcial (EDP) é aquela em que há mais de uma 
variável independente, de modo que as derivadas que ocorrem são denominadas 
derivadas parciais. 
Exemplo 3:
2 2
2 2 0
u u
x y
∂ ∂
+ =
∂ ∂
 Nesta unidade, nosso foco de estudo se remeterá às equações diferenciais 
ordinárias, doravante chamadas de equações diferenciais.
2) Ordem: a ordem da equação diferencial (ED) é determinada pela derivada de 
maior ordem presente.
Exemplo 4:
EDO de 1ª Ordem:
 
2dy xy
dx
=
EDO de 2ª Ordem:
2
2
32
2
cos , 
5 4 x
d y ky x
dx
d y dy y e
dxdx
ω+ =
 
+ − = 
 
EDO de 3ª Ordem:
EDO de 5ª Ordem:
3
3 ,
d y x
dx
=
5 4 3 2
4 3 2
5 4 3 2 0
d y d y d y d yx x x x y
dx dx dx dx
+ + + + =
3) Grau: é a potência na qual se encontra elevada a derivada de ordem mais alta 
de uma equação diferencial. Está relacionado ao “grau algébrico” da equação 
diferencial.
.
,
,
.
UNIDADE 1 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
6
Exemplo 5: 
EDO de grau 1
0dy x
dx
+ =
EDO de grau 6:
 
4 3 62
2 9
d y dy dy x
dx dxdx
     
+ + =     
    
Nem sempre podemos classificar uma equação diferencial de acordo com o 
grau, pois os coeficientes podem depender de y = f(x) Por exemplo:
32
2 5 1 0
y d y dye
dxdx
 
+ − = 
 
A equação anterior não possui grau, pois não pode ser escrita em forma de um polinômio, 
devido à presença do termo ey acompanhando a segunda derivada da função.
NOTA
4) Linearidade: a equação diferencial (ED) pode ser classificada como linear ou 
não linear.
Uma equação diferencial é classificada como linear quando ela pode ser 
escrita da seguinte forma: 
As equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades:
 
• A variável dependente y e todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é, 
a potência de cada termo envolvendo y é 1.
• Os coeficientes a0, a1, ..., an não dependem da variável dependente y. Dependem 
de uma variável independente x.
Quando a equação diferencial não pode ser escrita como em (2), então, 
dizemos que ela é não linear. 
(2)( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
1
1 1 01
n n
n nn n
d y d y dya x a x a x a x y f x
dxdx dx
−
− −
+ +…+ + =
,
.
.
TÓPICO 1 | PROBLEMAS DE VALOR INICIAL E PROBLEMAS 
7
Exemplo 6:
Equação diferencial linear de 2ª ordem:
 
2
2 5 0
d y y
dx
+ =
Equação diferencial não linear de 1ª ordem:
cos 0dy y
dx
− =
3.1 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Uma vez entendido o que é uma equação diferencial e como classificá-
la, é necessário entender como resolver tal equação. Você já deve ter resolvido 
equações diferenciais, em formas simples, desde os seus primeiros cursos de 
cálculo quando resolveu integrais. Por exemplo, já sabemos que: 
3
2 .
3
xx dx c∫ = +
Ao analisar com mais detalhes o resultado anterior, você pode perceber 
que, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, o resultado de uma integração é 
uma função cuja derivada é o integrando, ou seja: 
3
2 .
3
d x c x
dx
 
+ = 
 
Portanto, quando resolvemos a integral de x2, estamos interessados em 
encontrar uma função y = f(x), de forma que: 
2 ,dy x
dx
=
procuramos a solução de uma equação diferencial. 
 
Dizemos que f(x) é uma solução de uma equação diferencial quando 
substituímos y = f(x) e suas respectivas derivadas na equação e a identidade se 
mantém.
 
.
.
3
2 .
3
xx dx c∫ = +
UNIDADE 1 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
8
Exemplo 7: a função f(x) = ln x é solução da equação
2
2 2
1 2 .d y dy
x dxdx x
−
− =
Com efeito, tomando y = f(x), obtemos:
 
1dy
dx x
=
e
2
2 2
1 .d y
dx x
−
=
Portanto
Note que a função f(x) = ln x + c também é solução da equação (3), pois a 
derivada de uma constante é zero. 
 
4 TIPOS DE SOLUÇÕES
Solução geral: é a solução da ED que contém tantas constantes arbitrárias 
quantas forem as unidades da ordem da equação. Assim, se a ED é de ordem 1, 
a solução geral terá uma constante arbitrária. Se for de ordem 2, deverão haver 
duas constantes arbitrárias, e assim sucessivamente. Por exemplo, a solução geral 
da equação:
2
2 2
1 2d y dy
x dxdx x
−
− =
é f(x) = ln x + c.
Solução particular: é a solução da ED deduzida da solução geral, 
atribuindo-se valores particulares às constantes arbitrárias. Por exemplo, ainda 
usando a equação diferencial:
2
2 2
1 2 ,d y dy
x dxdx x
−
− =
2
2 2 2
1 1 1 1 2 d y dy
x dx x xdx x x
− −
− = − = (3).
TÓPICO 1 | PROBLEMAS DE VALOR INICIAL E PROBLEMAS 
9
uma solução particular seria f(x) = ln x, com c = 0.
Solução singular: existem casos em que a equação diferencial apresenta 
uma solução que não pode ser obtida da solução geral. Por exemplo, a equação 
diferencial
2' 0y xy y− + =′
tem como solução geral y = cx – c2, para qualquer c constante. O fato pode ser 
corroborado ao derivar essa solução geral e substituir o resultado obtido na 
equação diferencial. Por outro lado, a função 2
1
4
y x= é uma solução singular da 
equação diferencial, pois satisfaz a equação, mas não pode ser obtida a partir da 
solução geral.
 
No momento, você deve estar se perguntando: “será que toda equação 
diferencial tem solução?” Para responder a essa pergunta, iniciaremos explicando 
o que é um problema de valor inicial e, depois, apresentaremos um teorema 
importante que garantirá a solução do problema.
5 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)
Observa-se um fenômeno que ocorre com as equações diferenciais. As 
soluções, na verdade, não são apenas uma função, mas uma família de soluções 
indexadas por um ou mais parâmetros. Em geral, no caso de uma equação de 
ordem n, há n constantes que indexam a família de soluções. Em muitos casos, 
estamos interessados em encontrar uma dessas soluções que satisfaça uma 
condição do tipo y(x0) = y0. Essa condição é chamada de condição inicial. Um 
problema que envolve a solução de uma equação diferencial sujeita a uma condição 
inicial é chamado de problema de valor inicial (PVI). Assim, a solução para um 
problema de valor inicial é uma função que satisfaça a equação diferencial em 
um determinado intervalo I ⊆ R , cujo gráfico passa pelo ponto (x0, y0) com 0x I∈ .
 
Um PVI de uma equação diferencial de ordem n tem que apresentar n 
condições iniciais no ponto x = x0. Por exemplo, o PVI de uma equação diferencial 
de primeira ordem é:
 
( ) ( ) ( )
( )
1 0
0 0
dya x a x y b x
dx
y x y

+ =

 =
No caso de uma equação diferencial de segundaordem, temos o seguinte 
PVI:
 
ℝ 0x I∈
.
UNIDADE 1 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
10
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2 1 02
'
0 0 0 0, 
d y dya x a x a x y b x
dxdx
y x y y x y

+ + =

 = = ′
Seguindo o mesmo raciocínio, uma equação diferencial de grau n tem o 
PVI:
(4)
O termo “condições iniciais” vem de sistemas físicos. Por exemplo, em 
problemas envolvendo o deslocamento de um determinado objeto em que a variável 
independente é o tempo, y(t
0
) = y
0
 e y´(t
0
) = y
1
 representam posição e velocidade, 
respectivamente, de um objeto em um tempo inicial t
0
.
NOTA
Exemplo 8: resolva a equação diferencial utilizada no Exemplo 6:
2
2 2
1 2d y dy
x dxdx x
−
− =
sujeita à condição inicial y(1) = 0. 
A solução mais geral para o problema, sem considerar a condição inicial, 
é:
 
f(x) = ln x + c.
 
Impondo a condição inicial, você poderá determinar a constante c e, assim, 
ter uma solução única para o PVI. De fato, como a condição inicial é y(1) = 0, temos 
que:
( )1
( ) l
ln
n 
1
 
0
 f x
y
x c
c=
=
+ =
+
.
'
.
TÓPICO 1 | PROBLEMAS DE VALOR INICIAL E PROBLEMAS 
11
assim, concluímos que c = 0. Logo, a solução do PVI apresentado é f(x) = ln x.
 
A condição inicial do problema, não necessariamente, é definida no início 
do intervalo de solução da equação diferencial. No Exemplo 7, o intervalo de 
definição da solução da equação diferencial é ( )0,+∞ , e a condição inicial foi 
definida em x = 1. Em geral, em problemas físicos ou, ainda, quando o PVI é 
oriundo de algum modelo físico, a condição inicial é definida no começo do 
intervalo de definição da solução para algum tempo inicial t0 (normalmente, a 
variável independente da função em problemas físicos é o tempo). 
 
Exemplo 9: a Segunda Lei de Newton afirma que a força resultante 
atuando sobre um corpo é proporcional à massa vezes a aceleração, ou seja:
 
F = ma
m representa a massa do corpo e a sua aceleração. Suponha que um corpo é atirado 
para cima do topo de um prédio. Qual é a posição s(t) do corpo em relação ao solo 
no tempo t?
 
Para resolver o problema, você deve lembrar que a aceleração de um corpo 
é matematicamente descrita como a segunda derivada da posição em relação ao 
tempo, ou seja:
 
2
2 .
d sa
dt
=
Quando o corpo é jogado para cima, com direção positiva, e nenhuma 
outra força, além da gravidade, atua sobre o corpo, então a Segunda Lei de 
Newton dá:
 
2
2 
d sF P m mg
dt
= ⇒ = −
ainda
2
2
d s g
dt
= −
 
O sinal de negativo vem do fato de a direção ser positiva para cima. Além 
disso, o peso do corpo é uma força que atua para baixo (direção oposta).
 
Se a altura do prédio é s0 e a velocidade inicial do corpo é v0, então, a 
posição do corpo em relação ao solo é determinada pelo seguinte PVI:
.
UNIDADE 1 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
12
( ) ( )
2
2
0 00 , 0
d s g
dt
s s s v

= −

 =′=
Embora ainda não tenhamos apresentado as técnicas para resolver esse 
tipo de PVI, você pode observar que podemos resolver a equação diferencial 
simplesmente integrando a constante –g duas vezes em relação ao tempo, ou seja: 
1
2
1 22
ds gt c
dt
gts c t c
= − +
= − + +
.
.
Observe que, na primeira derivada da posição em relação ao tempo, é a 
velocidade do corpo. Ainda, como as condições iniciais são para t = 0, elas dão as 
duas constantes de integração e a solução é
2
0 02
gts v t s= − + +
a famosa fórmula do deslocamento de uma partícula que você já deve ter estudado 
em Física.
 
Logo, percebe-se que, na primeira derivada, encontramos a velocidade 
em função do tempo e, na derivada segunda, encontramos a aceleração.
 
Ao tentar resolver um problema de valor inicial, você pode se perguntar: 
existe uma solução, e se essa solução existe, será que ela é única? A resposta a essa 
pergunta é dada pelo teorema que segue.
 
Teorema 1 (Existência e Unicidade): considere o seguinte PVI
onde an(x), an–1(x), an–2(x), ... , a2(x), a1(x), a0(x), b(x) são funções contínuas em um 
intervalo aberto I ⊆ R com ( ) 0na x ≠ para todo x I∈ . Se x = x0 é algum ponto do 
intervalo, então, existe uma única solução y = y(x) para o problema de valor inicial.
ℝ
TÓPICO 1 | PROBLEMAS DE VALOR INICIAL E PROBLEMAS 
13
Exemplo 10: seja o problema de valor inicial:
( ) ( )
2
2 4 12
0 4, 0 1
d y y x
dx
y y

− =

 =′=
A equação diferencial é linear, os coeficientes a2(x) = 1, a0(x) = –4 e b(x) = 12x 
são contínuos e ( )2 1 0a x = ≠ em qualquer intervalo I contendo x = 0. Assim, pelo 
Teorema 1, a função tem solução única em I.
Existem outros tipos de condições nos quais podemos aplicar a solução 
da condição inicial para determinar uma única solução para o problema. Por 
exemplo: estamos interessados em resolver uma equação diferencial em um 
intervalo (a, b) da reta. É necessário impor condições para a solução em a e 
em b, ou seja, enquanto que no PVI as condições iniciais são dadas para um 
mesmo ponto x = x0, aqui, estamos falando em condições em pontos distintos 
x1 = a e x2 = b. Um exemplo é o estudo da dissipação de uma barra onde as 
extremidades têm, por exemplo, temperatura zero. 
Condições como a apresentada são chamadas de condições de contorno 
ou condições de fronteira e, o problema associado, um problema de valor de 
contorno (PVC). No caso de uma equação diferencial de segunda ordem, temos 
o seguinte PVC:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2 1 02
'
1 0 2 0
,
, 
d y dya x a x a x y b x
dxdx
y x y y x y

+
′
+ =

 = =
em que 1 2x x≠ .
 
Exemplo 11: verifique que a função y = 4x3 – 3x + 3 satisfaz o seguinte PVC:
( ) ( )
2 22 32 3
.
0 3, 2 13
x y xy y x
y y
 + −
=
′′ = −
 =
′
Como a função é y = 4x3 – 3x + 3, sua primeira derivada será y´ = 12x – 3 e, 
a segunda, y´´ = 12. Assim, substituindo na equação diferencial do PVC: 
( ) ( )2 22 12 12 3 32 3.x x x y x+ − − = −
Logo, a função satisfaz a equação diferencial. Agora, devemos testar se 
as condições de contorno também são satisfeitas. Assim, substituindo os valores 
x = 0 e x = 2 na função dada, obtemos:
.
'
UNIDADE 1 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
14
As condições de contorno também são satisfeitas. Portanto, a equação 
dada é solução do PVC.
O estudo de como resolver problemas de valor de contorno é um pouco 
sofisticado e não será abordado neste material. 
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
 4 3 3
0 4 0 3 0 3 3
2 4 2 3 2 3 13
y x x x
y
y
= − +
= − + =
= − + = .
15
Neste tópico, você aprendeu que:
• Uma equação diferencial é toda equação que envolve uma função incógnita e 
suas derivadas.
• É possível classificar uma equação diferencial de acordo com:
ᵒ Tipo: ordinária ou parcial.
ᵒ Ordem: determinada pela derivada e maior ordem.
ᵒ Grau: determinada pela potência em que se encontra elevada a derivada de 
ordem mais alta.
ᵒ Linearidade: linear ou não linear.
• A solução de uma equação diferencial pode ser geral, particular ou singular.
• Um problema de valor inicial (PVI) é todo problema que envolve a solução de 
uma equação diferencial sujeita a uma condição inicial.
RESUMO DO TÓPICO 1
16
1 Classifique as seguintes equações quanto ao tipo, ordem, grau e linearidade:
AUTOATIVIDADE
( )
( ) ( )
2
2
3 3
3
2
2
2 2
2 2 2
2 2
2
2
2 52 2 4
2 2 4
2
a) 1
b) 3
c) 2 
d) 6 0
e) 
f) 
g) 1 
h) 1 0
x
d y y
dx d y
dx
dy x
dx
dy xy e
dx
d y y
dt
d y d yx x x c y o
dx dx
dy dyy x x
dx dx
d y d y d yx y
dx dx dx
xy dy x dx
−
− =
=−
+ =
+ =
+ − − =
 
+ =  
 
   
− − = +   
   
− + =
2 Quais das seguintes afirmações estão corretas?
I- Toda equação diferencial pode ser classificada de acordo com seu grau. 
II- Toda equação diferencial de primeira ordem tem solução única.
II- Toda equação diferencial tem solução.
IV- A equação diferencial 
2
1
2cos ln 0
d y dyx x
dxdx
− + = é linear.
a) ( ) I e II.
b) ( ) II e III.
c) ( ) III e IV.
d) ( ) IV e I.
e) ( ) II.
17
( )( ) ( ) ( )( )2 22 cos ln 1 sen ln
.
x x x x
y
x
− +
=′
3 Verifique qual das funçõesa seguir é solução da equação diferencial:
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
2
3
2
2
a)( ) sen ln .
2b)( ) 1 sen ln .
3
c)( ) cos ln .
d)( ) 1 cos ln .
y x x x
y x x x
y x x x
y x x x
=
 
= + 
 
=
= +
18
19
TÓPICO 2
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA 
ORDEM
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico, vamos reter nossa atenção às equações diferenciais de 
primeira ordem, e aprender alguns métodos analíticos de resolução. Para alcançar 
esses objetivos, é preciso observar que as equações diferenciais ainda podem ser 
classificadas em lineares, separáveis e exatas, e que a cada uma dessas subclasses 
deve ser aplicado um método analítico diferente de resolução.
 
2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS
 
Iniciaremos nossos estudos para resolver equações diferenciais de 
primeira ordem, analisando o que chamamos de equações separáveis.
Definição 2: uma equação diferencial separável ou que tem variáveis 
separáveis é aquela que pode ser escrita na forma:
( ) ( )dy g x h y
dx
= (5)
Em outras palavras, podemos dizer que uma equação diferencial separável 
é aquela cuja forma normal é 
( ),dy f x y
dx
=
A função f(x,y) pode ser fatorada como uma função de x multiplicada por 
uma função de y. 
Exemplo 12: a equação diferencial
 
3 42 x ydy y xe
dx
+=
é separável, pois:
( ) ( )( )3 4 42 3 2, .x y yxf x y y xe xe y e+= =
.
.
UNIDADE 1 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
20
Assim, temos ( ) ( ) 43 2 e yxg x xe h y y e= = .
Observe que se ( ) 0h y ≠ , podemos reescrever a equação (5) como:
 
( ) ( )dyp y g x
dx
=
com p(y) = 1/h(y). Se a solução da equação (5) for y = ρ(x), então:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
dy g x h y
dx
x g x h yρ =′
=
Lembrando que se p(y) = 1/h(y), temos:
( )( ) ( ) ( )p x x g xρ ρ′ =
Portanto:
( )( ) ( ) ( )p x x g x dxρ ρ = ∫′∫ (6)
(7)
sabendo que ( )dy x dxρ= ′ , assim, podemos reescrever (6) como:
( ) ( )p y dy g x dx∫ = ∫
Resolvendo as integrais:
P(y) = G(x) + c
com P(y) e G(x) são as primitivas de p(y) e g(x), respectivamente.
 
Em resumo, a equação (5) mostra como identificar uma equação separável 
e, a equação (7), como organizá-la e resolvê-la. 
.
3
2 .
3
xx dx c∫ = +
3
2 .
3
xx dx c∫ = + .
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA 
21
Você deve observar que, ao resolvermos as integrais na equação (7), optamos 
por usar uma única constante c em vez de usar uma para cada integral. Lembre-se: a soma 
de duas constantes é uma constante.
NOTA
Exemplo 13: resolva a seguinte equação diferencial dy – (y – 1)2dx = 0.
Pelas características da equação, utilizaremos o método de separação de 
variáveis, assim:
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
1 0
1
1
1
1
1
1
1
dy y dx
dy y dx
dy dx
y
dy dx
y
x c
y
− − =
= −
=
−
∫ = ∫
−
− = +
−
Isolando y temos
1 x cy
x c
− + +
=
+
Exemplo 14: resolva o seguinte problema de valor inicial:
( )24 1
1
4
dx x
dt
x π

= +
   =   
3
2 .
3
xx dx c∫ = +
.
.
.
3
2 .
3
xx dx c∫ = +
UNIDADE 1 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
22
No exemplo, você deve dar atenção ao fato de que há condições iniciais 
que devem ser levadas em consideração ao resolver a equação diferencial. Dessa 
forma, devemos iniciar o processo resolvendo a equação diferencial por separação 
de variáveis: 
2
2
1
1 4
1
1 4
1
tan 4
dx dt
x
dx dt
x
x t c−
=
+
∫ = ∫
+
= +
Aplicando as condições iniciais, temos que, quando 
4
t π= , x = 1, e, portanto: 
1tan 1 4
4
cπ−  − = 
 
Concluímos que:
4
c π π= −
Substituindo o último resultado na solução geral da equação diferencial, 
temos:
1tan 4
4
x t π π− = + −
Isolando x, chegamos ao seguinte resultado:
tan 4
4
x t π π = + − 
 
3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES
Continuaremos nossos estudos tratando de um outro caso particular: as 
equações lineares. Você deve lembrar que já apresentamos o conceito de equação 
linear. Agora, para continuarmos tratando de equações diferenciais de primeira 
ordem, daremos foco ao caso em que n = 1 na equação (2).
3
2 .
3
xx dx c∫ = +
.
.
.
.
.
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA 
23
Definição 3: chamamos de equação diferencial linear de primeira ordem 
uma equação que assume o seguinte formato:
( ) ( ) ( )1 0
dya x a x y f x
dx
+ = (8)
(9)
Quando f(x) = 0, dizemos que a equação é homogênea, caso contrário, ela 
é dita não homogênea. 
Feita a divisão da equação (8) pelo coeficiente a1(x), obtemos um formato 
mais conveniente e que será o ponto de partida para encontrarmos a solução. 
Assim, a equação (8) é reescrita da seguinte forma: 
( ) ( )dy p x y g x
dx
+ =
Um fato importante sobre a equação (9) é que sua solução pode ser 
representada como a soma de duas outras soluções particulares, ou seja:
y = y1 + y2
com y1 é a solução da equação homogênea:
( )1 1 0
dy
p x y
dx
+ =
e com y2 é a solução da equação não homogênea:
( ) ( )2 2
dy
p x y g x
dx
+ =
Para mostrar que é verdade, observe que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 2 1 2 0
d y y dy dy
p x y y p x y p x y f x f x
dx dx dx
 +       +  +  = + + + = + =    
   
Dessa forma, para encontrar a solução de (9), basta deduzir os valores 
de y1 e y2. Você deve observar que a equação homogênea é separável e pode ser 
resolvida como segue:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
ln
p x dx
dy
p x y
dx
dy
p x y
dx
dy
p x dx
y
dy p x dx
y
y p x dx c
y ce− ∫
+ =
+ =
+ =
∫ = − ∫
= − ∫ +
=
.
.
.
g g
UNIDADE 1 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
24
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
ln
p x dx
dy
p x y
dx
dy
p x y
dx
dy
p x dx
y
dy p x dx
y
y p x dx c
y ce− ∫
+ =
+ =
+ =
∫ = − ∫
= − ∫ +
=
Veja que a solução da equação homogênea é composta pela multiplicação 
de uma constante c por uma função ( ) ( )p x dxx eµ −∫= , e essa função recebe o nome 
de fator integrante. 
Agora, assumiremos que a equação não homogênea tem uma solução similar 
àquela que encontramos para a equação homogênea, ou seja, todas as suposições que 
fizemos para y1 são válidas para y2, exceto pelo fato de que vamos trocar a constante 
c por um parâmetro variável u(x), resultando em ( ) ( )2 y u x xµ= . O procedimento é 
chamado de variação de parâmetro e é importante que você o entenda, pois ele será 
utilizado novamente no próximo tópico. Ao substituir o valor de y2 na equação (9), é 
possível encontrar:
( ) ( )du p x u g x
dx
µ µ+ =
Usando a regra do produto na primeira parcela da soma, temos:
( ) ( )
( ) ( ) 
du du p x u g x
dx dx
d duu p x g x
dx dx
µµ µ
µ µ µ
+ + =
 
+ + = 
 
Verifique que:
( ) 0d p x
dx
µ µ+ =
3
2 .
3
xx dx c∫ = +
3
2 .
3
xx dx c∫ = +
3
2 .
3
xx dx c∫ = +
.
.
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA 
25
logo:
( )du g x
dx
µ =
Resolvendo a última equação por separação de variáveis, temos:
( )
( )
( )
( )
g x
du dx
x
g x
u dx
x
µ
µ
=
= ∫
Assim, a solução y2 que procuramos é da forma:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )2 p x dx p x dx
g x
y u x x dx x e e g x dx
x
µ µ
µ
−∫ ∫ = = ∫ = ∫  
 
Com esses resultados, se a equação linear (9) possui solução, ela será da 
forma:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 p x dx p x dx p x dxy y y ce e e g x dx− ∫ − ∫ ∫= + = + ∫
 
É claro que você não precisará memorizar a fórmula para obter a solução 
da equação diferencial desejada, mas o exercício de deduzir é importante. Quando 
você for usar um procedimento bem mais prático (que apresentaremos em 
seguida), você entenderá de onde surgiram tais fatores. Agora, se multiplicarmos 
a equação por ( )p x dxe ∫ , teremos:
( ) ( ) ( )p x dx p x dxe y c e g x dx∫ ∫= + ∫
Derivando ambos os membros:
( ) ( ) ( )p x dx p x dxd e y e g x
dx
∫ ∫=
.
.
3
2 .
3
xx dx c∫ = +
3
2 .
3
xx dx c∫ = +
.
.
.
UNIDADE 1 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
26
ainda
( ) ( ) ( ) ( ) ( )p x dx p x dx p x dxdye p x e y e g x
dx
∫ ∫ ∫+ =
Dividindo por ( )
p x dxe ∫ , retornamos à equação (9). Logo, é preciso 
identificar a função p(x), encontrar o fator integrante ( )p x dxe ∫ , multiplicara 
equação diferencial pelo fator integrante, integrar ambos os membros da equação 
e isolar y, obtendo, assim, a solução desejada.
 
Exemplo 15: resolva a equação diferencial 2 0
dy y
dx
+ = , calculando o fator 
integrante.
Devemos, primeiramente, identificar a função p(x) que, para este exemplo, 
é igual a 2. Assim, o fator integrante será:
( ) 2 2p x dx dx xe e e∫ ∫= =
Ao multiplicar o fator integrante encontrado pela equação diferencial 
por temos
2 2
2
2 0
0
x x
x
dye e y
dx
d e y
dx
+ =
   =
Observe que as duas últimas equações são equivalentes ao aplicar a regra 
do produto na última. Integrando, temos:
2
2
x
x
e y c
y ce
=
=
Exemplo 16: resolva 34
dyx y x x
dx
+ = − .
Observe que a equação é linear de primeira ordem, assim, vamos resolvê-
la calculando o fator integrante. Temos que escrever na forma da equação (9) para 
o encontro de p(x):
 
24 1dy y x
dx x
+ = −
.
.
2 2
2
2 0
0
x x
x
dye e y
dx
d e y
dx
+ =
   = .
.
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA 
27
logo
( ) 4p x
x
=
O fator integrante é
4
4ln 4dx xxe e x
∫
= =
Multiplicando em ambos os membros da equação diferencial por temos
4 3 6 4
4 6 4
4dyx x y x x
dx
d x y x x
dx
+ = −
  = − 
Integrando:
7 5
4
3
4
7 5
7 5
x xx y c
x x cy
x
= − +
= − +
Exemplo 17: resolva o seguinte problema de valor inicial:
 
( )1 2
xdyx y e
dx
y

+ =

 =
No caso de um problema de valor inicial, envolvendo uma equação 
diferencial linear de primeira ordem, vamos, primeiramente, encontrar a solução 
geral, fazendo uso do fator integrante. Uma vez concluída a etapa, utilizaremos a 
condição dada para determinar o resultado. Assim, reescrevendo a equação para 
a identificação de p(x), temos: 
1 xdy ey
dx x x
+ =
.
.
.
.
.
.
UNIDADE 1 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
28
Dessa forma:
( ) 1p x
x
=
e
1dx
xe x
∫
=
Multiplicando o fator integrante em ambos os membros da equação 
diferencial:
xdyx y e
dx
+ =
Seguindo os procedimentos de resolução, é possível chegar ao resultado:
xe cy
x
+
=
A partir das condições iniciais dadas: x = 1 e y = 2. Substituindo esses 
valores na última equação, o valor da constante se torna c = 2 – e. Assim, o 
resultado do PVI é:
 
2xe ey
x
+ −
=
4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS
É preciso identificar e resolver equações diferenciais de primeira ordem 
exatas. Dessa forma, iniciaremos com a seguinte definição: 
Definição 4: uma expressão diferencial do tipo:
( ) ( ), ,M x y dx N x y dy+
é chamada de derivada exata em uma região R do plano xy se ela corresponde 
à derivada total de alguma função f(x,y) definida em R. Assim, a equação 
diferencial de primeira ordem da seguinte forma é chamada de equação exata 
se o lado esquerdo for uma derivada exata, portanto uma equação diferencial 
exata é da forma
.
.
.
.
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA 
29
( ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ = (10)
É importante ressaltar que estamos tratando do caso especial em que 
f(x,y) = c e c constante.
 
Exemplo 18: a expressão (2xy2 – 3)dx + (2x2y + 4)dy é uma derivada exata, 
pois ela corresponde à derivada total da função f(x,y) = x2y2 – 3x + 4y. Para verificar, 
você pode usar o que aprendeu sobre derivadas parciais. Lembre-se: se f(z) = f(x,y) 
então, z depende de x e y. Ao derivar f em relação à x e em relação à y, temos: 
Uma vez que você já entende o que é uma equação exata, o teorema, que 
apresentaremos a seguir, dá uma condição necessária e suficiente para identificar 
equações exatas.
Teorema 2: sejam M(x,y) e N(x,y) funções contínuas e que tenham 
primeiras derivadas parciais contínuas em uma região retangular R definida por 
a < x < b e c < y < d. Então, é necessário e suficiente que:
M N
y x
∂ ∂
=
∂ ∂
(11)
M(x,y)dx + N(x,y)dy são uma derivada exata.
Exemplo 19: para a expressão (2xy2 – 3)dx + (2x2y + 4)dy apresentada no 
Exemplo 17, temos que M(x,y) = (2xy2 – 3) e N(x,y) = (2x2y + 4) e, por conseguinte:
4M Nxy
y x
∂ ∂
= =
∂ ∂
.
( )
( )
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
, 3 4
 3 4
 2 3
, 3 4
 3 4
 2 4
f x y x y x y
df x y x y
dx
df xy
dx
f x y x y x y
df x y x y
dy
df x y
dx
= − +
= − +
= −
= − +
= − +
= +
( )
( )
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
, 3 4
 3 4
 2 3
, 3 4
 3 4
 2 4
f x y x y x y
df x y x y
dx
df xy
dx
f x y x y x y
df x y x y
dy
df x y
dx
= − +
= − +
= −
= − +
= − +
= +
( )
( )
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
, 3 4
 3 4
 2 3
, 3 4
 3 4
 2 4
f x y x y x y
df x y x y
dx
df xy
dx
f x y x y x y
df x y x y
dy
df x y
dx
= − +
= − +
= −
= − +
= − +
= +
y
.
UNIDADE 1 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
30
Agora, você deve estar se perguntando: como resolver uma equação 
diferencial exata depois de identificá-la? O procedimento é relativamente simples, 
e vamos ilustrá-lo através do próximo exemplo. 
Exemplo 20: resolva a seguinte equação diferencial:
( ) ( )2 1 3 7 0x dx y dy− + + =
No exemplo, temos ( ) ( ), 2 1 e , 3 7M x y x N x y y= − = + . É uma equação 
exata, uma vez que:
0M N
y x
∂ ∂
= =
∂ ∂
Assim, temos:
2 1f x
x
∂
= −
∂
e
 
3 7.f y
y
∂
= +
∂
Agora, tomamos a expressão que contém a derivada parcial de f em 
relação a x, e integramos para encontrar a própria f(x,y), obtendo: 
( ) ( )
( ) ( )2
, 2 1
,
f x y x dx
f x y x x g y
= ∫ −
= − + (12)
onde g(y) é a “constante” de integração. O próximo passo consiste em derivar (12) 
em relação a y e igualar o resultado a N(x,y), uma vez que ( ),f N x y
y
∂
=
∂
. Logo:
( ) 3 7f g y y
y
∂
=
∂
′ = +
Agora, devemos integrar g´(y) em relação à y para substituir seu valor em 
(12). Portanto:
( ) 23 7
2
g y y y= +
.
.
M(x,y) = 2x-1
N(x,y) = 3y+7.
3
2 .
3
xx dx c∫ = +
.
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA 
31
e
( ) 2 23, 7
2
f x y x x y y= − + +
Por último, temos que f(x,y) = c, assim, isolando y, temos, como resposta:
( )27 6 49
3
x x c
y
− + − − − +
=
e 
( )27 6 49
3
x x c
y
− − − − − +
=
 
No último exemplo, resolvemos a equação do segundo grau em y para 
poder isolá-lo, mas isolar y não é um passo obrigatório, principalmente quando 
a solução da equação produz potências de y. Por exemplo, poderíamos ter 
representado o resultado do Exemplo 17 como:
 
2 23 7
2
x x y y c− + + =
 
Exemplo 21: resolva o seguinte problema de valor inicial:
( ) ( )
( )
2 2 3cos 3 2 2 sen ln 0
0
y x x y x dx y x x y dy
y e
 − − + − + =

=
No exemplo, omitiremos a prova de que a equação diferencial do PVI é 
uma equação exata. Partindo do fato de que ( ) ( )2 2, cos 3 2M x y y x x y x= − − e 
( ) ( )3, 2 sen lnN x y y x x y= − + , temos que:
2 2cos 3 2f y x x y x
x
∂
= − −
∂
Integrando em relação à x, temos:
( ) ( )2 3 2, senf x y y x yx x g y= − − +
.
.
.
.
.
.
UNIDADE 1 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
32
Derivando o último em relação à y:
 
( )32 sen 'f y x x g x
y
∂
= − +
∂
Igualando o resultado obtido à N(x,y), chegamos à:
g´(y) = ln y.
Assim, g(y) = y ln y – y e ( ) 2 3 2, sen lnf x y y x yx x y y y= − − + − .
A partir das condições iniciais, sabemos que, quando x = 0, temos que 
y = e e, portanto, c = 0. Logo, a solução do PVI é: 
2 3 2sen ln 0y x yx x y y y− − + − =
Depois de ter estudado e aprendido todas as técnicas de resolução de 
EDO’s de primeira ordem, é possível que você tenha observado que algumas 
delas podem ser resolvidas por mais de uma técnica diferente. Portanto, fique 
ciente de que não existe uma técnica “mais correta” para resolver uma equação 
diferencial. Qualquer que seja a técnica escolhida, a solução sempre será a mesma. 
O que você deve sempre buscar é aplicar aquela técnica que facilmente resolverá 
seu problema. Essa observação é válida para todos os casos que apresentaremos 
nesta unidade. 
5 SOLUÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Você deve ter observado que existem equações diferenciais de primeira 
ordem que não se encaixam em nenhuma das características apresentadas para 
identificar qual técnica deve ser usada. Assim, a partir de agora, focaremos nossa 
atenção em uma técnica que chamamos de solução por substituiçãoe que pode 
ser muito útil para a resolução de outros tipos de equações diferenciais.
 
Em termos gerais, a solução por substituição consiste em transformar 
a equação diferencial em outra equação através da substituição de y por uma 
função g(x,u), em que u é considerada uma função de x. Para tratar do tema de 
forma mais didática, vamos separá-lo em cinco casos.
• Equações Homogêneas: se a função f possui a propriedade.
( ) ( ), ,f tx ty t f x yα=
.y
.
.
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA 
33
Para algum α ∈R , então, dizemos que f é uma função homogênea de 
grau α . Por exemplo, a função a seguir é homogênea de grau 2: 
( ) 2 2,f x y x y= +
pois
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2, , .f tx ty tx ty t x y t f x y= + = + =
A equação de primeira ordem:
( ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ =
é chamada de homogênea se ambas as funções M(x,y) e N(x,y) são homogêneas 
de mesmo grau, ou seja: 
( ) ( ) ( ) ( )2 2, , e , ,M tx ty t M x y N tx ty t N x y= =
Não confunda essa definição de equação homogênea com a apresentada 
anteriormente, quando falamos de equações lineares. Observe que, agora, estamos tratando 
de outras características.
ATENCAO
Além disso, se M(x,y) e N(x,y) são funções homogêneas de grau α , 
podemos fazer a seguinte substituição: 
( ) ( ) ( ) ( ), 1, e , 1, , yM x y x M u N x y x N u u
x
α α= = =
ainda
( ) ( ) ( ) ( ), ,1 e , ,1 , .xM x y y M v N x y y N v v
y
α α= = =
ℝ
α α
UNIDADE 1 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
34
Esses dois últimos conjuntos de equações são propriedades que mostram 
que as substituições y = ux e x = vy podem ser usadas para transformar equações 
homogêneas em equações diferenciais de primeira ordem separáveis.
 
Para ilustrar de uma forma mais clara e objetiva, é preciso analisar o 
seguinte exemplo.
Exemplo 22: resolva (y2 + yx)dx – x2dy = 0.
O primeiro passo para resolver o problema consiste em identificar se os 
coeficientes da equação diferencial, M(x,y) = y2 + yx e N(x,y) = x2, são funções 
homogêneas. Então, fazemos:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2, ,M tx ty ty tytx t y yx t M x y= + = + =
e
 
( ) ( ) ( )2 2 2 2, ,N tx ty tx t x t N x y= = =
Logo, ambas as funções são homogêneas de grau 2. Agora, aplicando a 
técnica de substituição, fazemos y = ux, dando dy = udx + xdu. Substituindo na 
equação diferencial:
( ) ( )2 2 2 2
2 2 3
0
 0
u x ux dx x udx xdu
u x dx x du
+ − + =
− =
A equação resultante pode ser resolvida usando a técnica de separação de 
variáveis. Assim, temos:
2
1 1
1ln
dx du
x u
x c
u
=
= − +
Agora, devemos reestabelecer as variáveis originais fazendo yu
x
= , então:
 
lny x x cy= − +
• Equação de Bernoulli: equações diferenciais que têm a forma:
( ) ( ) ndy p x y f x y
dx
+ =
.
( ) ( )2 2 2 2
2 2 3
0
 0
u x ux dx x udx xdu
u x dx x du
+ − + =
− = .
.
.
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA 
35
n∈R é chamada de equação de Bernoulli. 
Você deve observar que, quando n = 0 ou n = 1, a equação de Bernoulli é linear, 
contudo, para outros valores de n, é necessário usar a substituição u = y1–n, reduzindo-a 
à forma linear. Vejamos um exemplo de como é realizado o procedimento.
 
Exemplo 23: resolva ( ) 21dyx x y xy
dx
− + = .
Primeiramente, dividiremos toda a equação por x para que ela fique no 
formato de equação de Bernoulli.
( ) 21 xdy y y
dx x
+
− =
Assim, temos n = 2 e u = y–1, portanto, y = u–1. Aplicando a regra da cadeia:
2dy dy du duu
dx du dx dx
−= = −
Agora, temos que fazer as substituições necessárias para transformar a 
equação de Bernoulli numa equação linear. Logo:
( )2 1 21 xduu u u
dx x
− − −+− − =
Ainda:
( )1
1
xdu u
dx x
+
+ = −
Podemos resolver a equação linear usando o fator integrante. Portanto, 
temos que:
( ) ( )1 xp x
x
+
=
O fator integrante será:
( )p x dx xe xe∫ =
ℝ
.
.
.
.
.
.
UNIDADE 1 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
36
Logo, temos, como resultado da aplicação do fator integrante:
x xd xe u xe
dx
  = − 
Integrando os membros, temos:
x x
x
xe e cu
xe
− + +
=
Trazendo de volta a variável y, temos, como resultado:
x
x x
xey
xe e c
=
− + +
• Redução para variáveis separáveis: quando nos deparamos com equações 
diferenciais da seguinte forma:
( )dy f Ax By C
dx
= + +
Podemos substituir Ax + By + C por u, sempre que 0B ≠ . Dessa forma, 
transformamos a equação de tal forma que é possível resolvê-la através de 
variáveis separáveis. Veja o seguinte exemplo. 
Exemplo 24: encontre a solução de ( )21 .dy x y
dx
= + +
Uma maneira bem simples de resolver essa equação é fazer a substituição 
u = x + y + 1. Temos sempre que lembrar de calcular a derivada de u para que a 
expressão fique correta. Logo, 1 dydu
dx dx
= + e: 
2
2
1
1
du u
dx
du u
dx
− =
= +
.
.
.
.
.
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA 
37
Agora, é possível resolver a equação por separação de variáveis, então:
( )
2
1
1
tan
tan
du dx
u
u x c
u x c
−
=
+
= +
= +
Substituindo de volta as variáveis originais, temos:
( )
( )
1 tan
tan 1
x y x c
y x c x
+ + = +
= + − −
• Equação de Lagrange: equações que têm a seguinte forma: 
( ) ( ) , y x y yϕ ψ′ ′= +
são chamadas Equações de Lagrange. Uma técnica de substituição consiste em 
trocar y' por um parâmetro t e, em seguida, diferenciar a equação e substituir 
dy = tdx. Dessa forma, reduzimos a equação original a uma linear, esta que é 
considerada em x como uma função de t. O exemplo a seguir ilustra com detalhes 
o procedimento.
 
Exemplo 25: resolva y = 2xy' – 2y' + 1.
O primeiro passo da solução consiste em substituir y' por t, obtendo:
 
y = 2xt – 2t + 1.
Em seguida, derivamos a equação resultante e substituímos dy por tdx, 
assim:
( )
2 2 2
2 2
2 1
tdx tdx xdt dt
dxt x
dt
xdx
dt t
= + −
= −
−
= −
Observe que o resultado é uma equação linear de primeira ordem que 
pode ser facilmente resolvida por separação de variáveis, ou seja: 
( )
1 2
1
dx dt
tx
= −
−
.
.
.
.
UNIDADE 1 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
38
A solução é:
 
2 1
cex
t
= +
Agora, devemos substituir o valor de x na equação parametrizada em t, 
obtendo o sistema:
2 1
2 1
c
c
ex
t
ey
t

= +

 = +
• Equação de Clairaut: são equações da seguinte forma:
( )y xy yϕ′= + ′
com ( )yϕ ′ é uma função qualquer. 
Observe que a diferença entre esse tipo de equação e a equação de 
Lagrange está exclusivamente relacionada ao primeiro termo da adição. Temos 
x multiplicado por y', e não por uma função, como na equação de Lagrange. 
Assim, a forma de resolver essa equação é similar à apresentada para resolver as 
equações de Lagrange, com uma pequena diferença na forma como se apresenta 
a solução final. 
Exemplo 26: resolva y – xy' = ln y'.
Observamos que tem a forma de uma equação de Clairaut. Assim, 
iniciamos a resolução fazendo a seguinte substituição y' = t, obtendo: 
y = xt + ln t.
Em seguida, derivamos a equação resultante e substituímos dy por tdx, ou 
seja: 
1
1 0
tdx tdx xdt dt
t
dt x
t
= + +
 
+ = 
 
.
.
1
1 0
tdx tdx xdt dt
t
dt x
t
= + +
 
+ = 
 
.
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA 
39
Temos duas possibilidades:
1. Para dt = 0, temos que t = c, logo, uma das soluções é o feixe de retas y = cx + ln c.
2. Para 1 0x
t
+ = , temos 1x
t
= − . Substituindo, y = ln t – 1. Com y' = t, chegamos a 
y' = ey+1. Ainda, resolvendo por separação de variáveis, y = – ln(– ex – c).
Assim, ambas as equações y = cx + ln c e y = – ln(– ex – c) são as soluções 
que estávamos procurando.
 
6 APLICAÇÃO
 
Como você deve ter observado, o estudo de equações diferenciais de 
primeira ordem é extenso e as técnicas para resolver são variadas. Contudo, 
antes de finalizar este tópico, é preciso abordar, em um último exemplo, uma 
aplicação do estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Modelaremos e 
estudaremos o fenômeno de crescimento populacional.
Exemplo 27: crescimento populacional.
O estudo do crescimento populacional ou dinâmica populacionalé 
importante em várias áreas do conhecimento, como biologia, ecologia, demografia 
etc. Propõe-se um modelo matemático que descreva, de forma satisfatória, o 
crescimento (decrescimento também) de uma certa população. No exemplo, 
abordaremos dois modelos extremamente simples de crescimento populacional, 
a saber, o modelo exponencial e o modelo logístico.
 
Comecemos com o modelo exponencial. Dada uma população de uma 
certa espécie, denominaremos por p(t) o número de indivíduos dessa espécie no 
instante t. De forma intuitiva, o número de indivíduos pode crescer sem limites 
caso não haja nenhum tipo de restrição ao crescimento da população, como 
predadores, escassez de recursos, fatores climáticos inóspitos etc. 
 
No modelo em questão, a hipótese é que a taxa de crescimento da 
população é proporcional à população atual. O fato é extremamente natural, pois 
o aumento (ou diminuição) da população se dá a partir dos indivíduos presentes. 
Por exemplo, se a taxa de natalidade é maior que a taxa de mortalidade, a 
tendência é que a população aumente, no caso, a taxa é positiva. Se as taxas de 
natalidade e mortalidade são iguais, então, a população se mantém constante. Por 
fim, se a taxa de mortalidade é maior, a população diminui.
Vejamos, matematicamente, o modelo exponencial de crescimento 
populacional. Como dito, a hipótese é que a taxa de variação da população, ou 
seja, a derivada temporal de p(t), é proporcional à população atual, ou seja, p(t). 
Portanto, esse modelo, em termos matemáticos, é:
 
UNIDADE 1 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
40
dp p
dt
β=
com β é a taxa de crescimento da população. Observe que a equação anterior é 
uma equação diferencial de primeira ordem separável, cuja solução é:
( ) .tp t ceβ=
Suponha que, no instante inicial, a população da espécie tenha 75 
indivíduos, portanto, p(0) = 75 Aplicando a condição inicial, obtemos: 
( ) 75 .tp t eβ=
Considere cinco valores para a taxa β de crescimento da população, a 
saber 0,4; 0,1; 0, 0,1 e 0,4. β β β β= − = − = = = A seguir, podemos visualizar 
os resultados para o crescimento populacional de uma determinada espécie.
GRÁFICO 1 – CRESCIMENTO POPULACIONAL DE UMA DETERMINADA ESPÉCIE
FONTE: O autor
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA 
41
Observe que, inicialmente, para 0β = , o número de indivíduos se mantém 
constante, pois, no caso, a taxa de crescimento da população é zero. Nos casos em 
que 0β < , o número de indivíduos decresce e será zero no tempo infinito. Por 
outro lado, quando 0β > , a população cresce indefinidamente. 
 
Fixaremos nossas análises quando a taxa de crescimento β é positiva. 
Em resumo, a taxa de crescimento, neste modelo, é constante, mesmo quando 
o número de indivíduos da espécie é elevado. O modelo exponencial pode 
descrever o crescimento de populações com um número pequeno de indivíduos 
e para um período de tempo relativamente curto.
O modelo exponencial seria de grande valia se existissem recursos infinitos 
disponíveis para a população. O modelo logístico surge para acomodar o fato. 
Na verdade, no mundo real, quando uma população cresce demasiadamente, 
os recursos começam a acabar ou a diminuir, portanto, espera-se que, com o 
crescimento da população, a taxa de crescimento diminua.
 
No modelo logístico, a taxa de crescimento da população será variável 
com a quantidade de indivíduos, assim, denominaremos a taxa de h(p), em que 
p é a população. Contudo, deve haver um certo comportamento. A taxa de ser 
β , quando p(t) é pequena, deve diminuir quando a população aumenta, e deve 
ser negativa (população diminui) quando p(t) for muito grande. Uma função que 
satisfaz a hipótese é ( ) ,h p a pβ= − em que a é uma constante positiva.
 
O modelo logístico é representado pela seguinte equação:
( ) ( ) .dp h p p ap p
dt
β= = −
O modelo é comumente escrito da seguinte forma:
1 ,dp p p
dt S
β
 
= − 
 
sendo .S a
β= O fator β é a taxa intrínseca de crescimento, ou seja, é a taxa 
de crescimento populacional de nenhum fator limitador. A constante S é o 
fator suporte da população e, com os exemplos a seguir, fica clara a função que 
desempenha S.
 
Analisemos com mais detalhes o modelo logístico. Primeiramente, é 
uma equação de primeira ordem separável. A solução da equação está sujeita à 
condição inicial p(0) = p0:
( ) ( )
0
0 0
.t
p S
p t
p S p e β−
=
+ −
UNIDADE 1 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
42
Fixando a taxa de crescimento intrínseca da população em 50%β = e seu 
fator suporte em 100, obtemos:
A seguir, analisaremos o crescimento de uma população através do 
modelo logístico. Para essa população, fixamos a taxa de crescimento intrínseca 
em 50%β = e seu fator suporte em 100 indivíduos.
( ) ( )
0
0,5
0 0
100
100 t
p
p t
p p e−
=
+ −
(13)
GRÁFICO 2 – CRESCIMENTO POPULACIONAL DE UMA DETERMINADA ESPÉCIE
FONTE: O autor
Note que, quando o número inicial de indivíduos é menor, a população 
cresce até atingir o suporte. Essa curva, em geral, tem a forma de “S”, evidenciando 
que, quando a população é pequena, a taxa de crescimento é alta, e depois 
diminui, conforme a população cresce. Quando a população tem um número 
inicial maior, o número de indivíduos diminui até o suporte. A razão é que já no 
início a população enfrenta problemas com recursos e, portanto, sua população 
diminuirá até a relação crescimento e recursos se estabilizar. Observe que: 
( ) ( )
0 0
00 0
lim lim tt t
p S p S
p t S
pp S p e β−→∞ →∞
= = =
+ −
O número de indivíduos tende para o suporte em um intervalo de tempo 
suficientemente grande. 
 
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA 
43
Concluímos o estudo das equações diferenciais de primeira ordem. 
No próximo tópico, estudaremos as equações diferenciais lineares de segunda 
ordem. É importante você estar ciente de que existe a possibilidade de você 
se deparar com equações mais complexas que não estamos abordando nesta 
unidade. Assim, recomendamos, como leituras complementares, os livros 
presentes na bibliografia. 
44
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• A técnica de solução por substituição consiste em transformar a equação 
diferencial em outra equação através da substituição de y por uma função 
g(x,u), em que u é considerada uma função de x, auxiliando a resolver outros 
tipos de EDO’s que não se encaixam nas outras técnicas.
45
AUTOATIVIDADE
1 Quais das seguintes afirmações não são verdadeiras?
I- As equações de Clairaut são exemplos de equações diferenciais lineares.
II- A solução encontrada através do fator integrante é a solução geral de uma 
equação diferencial de primeira ordem. 
III- As equações diferenciais exatas são resolvidas através da separação de 
variáveis.
IV- A equação de Lagrange é um exemplo da equação de Clairaut.
a) ( ) I e II.
b) ( ) III e IV.
c) ( ) I, II e IV.
d) ( ) I, II,III e IV.
 
2 No texto, usamos a palavra “homogênea” em duas definições distintas. 
Explique a diferença entre as duas definições.
3 Durante nossos estudos sobre equações diferenciais ordinárias de primeira 
ordem, vimos que, de acordo com o tipo, temos uma determinada 
metodologia mais adequada a ser aplicada nas soluções. Dadas as equações 
diferenciais de primeira ordem, classifique-as de acordo com o tipo e 
encontre sua solução.
( ) ( )
3 2
3
2
a) 
b) 2
c) 6 4 4 4 0
2 2d) 
2 2
x ydy e
dx
y xy x
x y dx x y dy
dy y x
dx y x
+=
+ =
+ + −
−
=
+
′
=
46
47
TÓPICO 3
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 
SEGUNDA ORDEM
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Se g(x) é identicamente nula, dizemos que a equação anterior é homogênea. 
Se ( ) 0g x ≠ , dizemos que a equação é não homogênea. A solução geral da equação 
(14) será indexada por dois parâmetros, como veremos mais adiante. Podemos 
também definir condições iniciais, assim, teremos um PVI, que apresentará solução 
única. Para que possamos ilustrar o que acabamos de discutir, acompanharemos 
o seguinte exemplo: 
 
Exemplo 28: considere a seguinte equação diferencial de 2ªordem
Até agora, focamos nosso estudo nas equações diferenciais ordinárias 
de 1ª ordem. Passemos agora às equações diferenciais lineares de 2ª ordem, que 
surgem de forma natural no estudo de aplicações, por exemplo, em fenômenos 
de condução de calor, dinâmica de fluidos, eletromagnetismo, mecânica clássica 
etc.
 
Genericamente, uma equação diferencial de 2ª ordem tem a seguinte 
forma:
2
2 , ,
d y dyf y x
dxdx
 
=  
 
 
O estudo da resolução de equações diferenciais pode ser muito difícil ou 
até mesmo impossível, por isso, neste tópico, focaremos em equações diferenciais 
lineares de 2ª ordem. 
2 DEFINIÇÃO
Equações diferenciais lineares de 2ª ordem têm a seguinte forma:
( ) ( ) ( )
2
2
d y dyP x Q x y g x
dxdx
+ + = (14)
.
.
(15)0y′′ = .
48
UNIDADE 1 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
A equação é simples, e necessitamos apenas de integração para resolvê-
la. Note que serão necessários dois processos de integração para encontrarmos a 
solução. Com efeito, a equação anterior significa que: 
 
y' = c1
portanto
1 1 2 y c dx c x c= = +∫
A solução da equação (15) tem dois parâmetros que indexam a solução, a 
saber, c1 e c2.
 
Para definir o problema de valor inicial corretamente, você precisará de 
duas condições iniciais para determinar os dois parâmetros da solução geral de 
(14). Essas condições são y(x0) = y0 e y'(x0) = y'0. Para haver unicidade do problema 
de valor inicial, pede-se que as funções P, Q e g sejam contínuas no intervalo de 
definição da solução.
 
3 PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
Começaremos nosso estudo de como resolver equações diferenciais 
lineares de 2ª ordem pela equação homogênea:
Se y1(x) e y2(x) são soluções de (16), então, a combinação linear dessas 
soluções, isto é, y(x) = ay1(x) + by2(x), sendo a e b dois números reais, será uma 
solução de (16). De fato, se y1(x) e y2(x) são soluções de (16), então: 
( ) ( )
( ) ( )
2
1 1
12
2
2 2
22
0
0
d y dy
P x Q x y
dxdx
d y dy
P x Q x y
dxdx
+ + =
+ + =
.
( ) ( )
2
2 0
d y dyP x Q x y
dxdx
+ + = (16).
TÓPICO 3 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
49
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O fato é conhecido como o princípio da superposição para equações 
diferenciais lineares 2ª ordem.
Apesar de termos demonstrado o princípio da superposição para equações 
diferenciais lineares de 2ª ordem, a propriedade é válida para equações diferenciais de 
qualquer ordem.
NOTA
O princípio da superposição é fundamental para a construção de uma 
solução geral. Contudo, há outro conceito para estudar as soluções das equações 
lineares de 2ª ordem, a saber, o conceito de independência linear entre funções 
em um intervalo da reta.
 
4 INDEPENDÊNCIA LINEAR
 
O conceito de independência linear é o mesmo que se estuda em álgebra 
linear. As funções ( ) ( )1 , , ny x y x são ditas linearmente independentes, em um 
intervalo da reta l, se a única solução da equação homogênea formada pela 
combinação linear das funções:
( ) ( )1 1 0, para todo n na y x a y x x I+ + = ∈
é 1 0,na a= = = ou seja, a equação anterior admite apenas a solução trivial.
No caso de duas funções, y1(x) e y2(x), o fato de elas serem linearmente 
independentes significa que uma não é múltipla da outra, ou seja, ( ) ( )1 2 c , y x y x≠
com 0.c ≠ Existe um critério prático para determinar se duas funções são 
linearmente independentes. Para isso, é necessário definir o conceito de 
wronskiano. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 22 2
2 2
1 1 2 2
1 22 2 0 0 0
d y dy d dP x Q x y ay by P x ay by Q x ay by
dx dxdx dx
d y dy d y dy
P x Q x y P x Q x y
dx dxdx dx
+ + = + + + + +
   
= + + + + + = + =      
   
.
50
UNIDADE 1 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Definição 5: Dadas f1(x) e f2(x) duas funções reais de uma variável real e derivável. 
O determinante ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
1 2
1 2
1 2
,
' '
f x f x
W f f x
f x f x
= é chamado de Wronskiano das 
funções f1(x) e f2(x).
Vejamos um exemplo de como calcular o Wronskiano de duas funções.
 
Exemplo 29: considere as funções ( ) ( )41 2 x xf x e e f x e−= = definidas em 
toda a reta. O wronskiano de f1(x) e f2(x) é:
 
( )( )
4
3 3
1 2 4, 4 5 04
x x
x x x
x x
e e
W f f x e e e
e e
−
−
−
= = − − = − ≠
−
para qualquer valor de x.
Agora, podemos definir um critério para classificar a independência 
de soluções de equações diferenciais de 2ª ordem. Enunciamos o resultado no 
teorema a seguir.
 
Teorema 3: Se y1(x) e y2(x) são soluções de uma equação diferencial 
linear de 2ª ordem definidas em um intervalo da reta. As soluções y1(x) e y2(x) 
são linearmente independentes se, e somente se, ( )( )1 2, 0W f f x ≠ para todos os 
valores de x no intervalo. 
5 CARACTERÍSTICAS DA SOLUÇÃO
 
A partir do Teorema 3, podemos determinar as soluções gerais para 
equações diferenciais lineares homogêneas de 2ª ordem. Com efeito, y1(x) e y2(x) 
são soluções linearmente independentes da equação diferencial linear homogênea 
de 2ª ordem.
 
( ) ( )
2
2 0
d y dyP x Q x y
dxdx
+ + =
A solução geral da equação é:
( ) ( ) ( )1 1 2 2y x c y x c y x= +
 
Exemplo 30: a equação diferencial linear de 2ª ordem homogênea é:
12 0y y y− −′ ′ =′
.
.
.
TÓPICO 3 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
51
As funções 3 41 2 e 
x xy e y e−= = formam a solução geral da equação, pois:
( )( )
4 3
1 2 4 3, 3 4 7 04 3
x x
x x x
x x
e e
W y y x e e e
e e
−
−
= = − − = − ≠
−
são linearmente independentes e, ao substituirmos 3 41 2
x xy c e c e−= + na 
equação diferencial, temos: 
( ) ( ) ( )3 4 3 4 3 41 2 1 2 1 29 16 3 4 12 0x x x x x xc e c e c e c e c e c e− − −+ − − + − + =
Uma vez determinadas as características da solução da equação 
diferencial linear homogênea de 2ª ordem, focaremos, por enquanto, no estudo 
das características de uma solução geral para equação diferencial não homogênea 
de 2ª ordem: 
( ) ( ) ( )
2
2
d y dyP x Q x y g x
dxdx
+ + = (17)
Para isso, usaremos fortemente o fato de que as derivadas de funções 
são operadores lineares. Contudo, primeiramente, vamos definir o conceito de 
solução particular.
 
Definição 6: uma função yp(x) que satisfaz a equação (17) é dita ser uma 
solução particular da equação diferencial.
Exemplo 31: a função yp(x) = x ln x é uma solução particular de:
 
2
2
1 d y dyx y x
dx xdx
+ − = +
pois:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
1 1ln ln ln ln 1 lnp p p
d y dy d dx y x x x x x x x x x x x x
dx dx x xdx dx
+ − = + − = + + − = +
Uma vez que a solução particular é obtida, então, a solução geral da 
equação diferencial não homogênea é a soma da solução da equação diferencial 
homogênea associada com a solução particular. Enunciaremos precisamente o 
resultado no teorema a seguir.
 
.
.
52
UNIDADE 1 | EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Teorema 4: considere a equação diferencial linear de 2ª ordem:
( ) ( ) ( )
2
2
d y dyP x Q x y g x
dxdx
+ + =
A solução geral da equação não homogênea é obtida pela soma da solução geral 
da equação homogênea associada:
 
( ) ( )
2
2 0
d y dyP x Q x y
dxdx
+ + =
dada por ( ) ( ) ( )1 1 2 2 , hy x c y x c y x= + com uma solução particular yp(x) da equação 
não homogênea. Isto é: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2h p py x y x y x c y x c y x y x= + = + +
A demonstração segue a linearidade do operador de derivação. Com 
efeito, yh(x) e yp(x) são, respectivamente, solução da equação homogênea associada 
e solução particular da equação não homogênea. Portanto: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
22
2 2 
 
h p h p h p
p ph h
h p
d y dy d dP x Q x y y x y x P x y x y x Q x y x y x
dx dxdx dx
d y dyd y dy
P x Q x y P x Q x y
dx dxdx dx
     + + = + + + + +     
  
 = + + + + +       
( ) ( ) 0 g x g x= + =
demonstrando, assim, que ( ) ( ) ( )h py x y x y x= + é solução de (15).
Exemplo 32: considere a equação diferencial 54 12 7 .xy y y e′ −′ ′ − = A 
solução