TEORIA DE LAJES

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1
CÁLCULO DE ESFORÇOS EM LAJES (PLACAS) 
 
 
CARACTERISTICAS GERAIS: 
 
• Estrutura de superfície (placas). 
• Bi-dimensional: duas dimensões prevalecem sobre a terceira (espessura). 
• Cargas perpendiculares ao plano: concentradas, distribuída em linha ou distribuída 
por uma área. 
• Utilizadas como pisos, pavimentos, coberturas,... 
• Descarregam suas cargas nas vigas ou pilares que lhe servem de apoios. 
• Podem ser: maciças, nervuradas, mistas (pré-moldadas),... 
 
 
DESLOCAMENTOS : θx, θy , w ( rotação em X, rotação em Y e translação em Z) 
 
ESFORÇOS INTERNOS: Mx, Vx, My, Vy, Txy, Tyx. 
 
 2
EQUAÇÃO DIFERENCIAL DAS PLACAS 
Hipóteses iniciais: 
1. Espessura (h) constante e pequena em relação às outras dimensões. 
2. As flechas (w) que a placa apresenta quando carregada serão pequenas em 
relação à espessura. 
3. O material da placa é isotrópico e homogêneo. 
4. Obedece a lei de Hooke (elástico-linear). 
 
Tomando-se um elemento infinitesimal, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D
q
y
w
yx
w
x
w −
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
4
4
22
4
4
4
2 
 
onde w=w(x,y) é a solução dos deslocamentos e )1(12 2
3
ν−
=
EhD é a rigidez da placa. 
 
Esta equação é semelhante a equação da linha elástica “em duas direções”. 
 
Podemos relacionar com os esforços por: 
 






∂
∂
+
∂
∂
−= 2
2
2
2
y
w
x
wDM x ν 





∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−= 2
2
2
2
y
w
x
w
x
DVx 
 






∂
∂
+
∂
∂
−= 2
2
2
2
x
w
y
wDM y ν 





∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−= 2
2
2
2
x
w
y
w
y
DVy 
 
( ) 





∂∂
∂
−−=
yx
wDMxy
2
1 ν 
 
Entretanto a solução desta equação só é possível para alguns casos particulares, 
geralmente em forma de séries. 
Para alguns casos mais comuns recorremos a soluções aproximadas e para casos 
mais complexos utilizamos métodos numéricos como, por exemplo, o método dos 
elementos finitos (MEF). 
 3
SOLUÇÃO DE NAVIER 
 
Para placa retangular, simplesmente apoiada nas bordas, submetida a carga 
uniformemente distribuída q(x,y)=q0 constante e ν=0. A solução foi proposta por Navier 
em 1820 empregando uma serie dupla de Fourier para a carga e a deflexão, temos: 
 
∑∑
∞ ∞
=
m n mn
bynaxmqyxq )sin()sin(16),( 20
pipi
pi
 (m,n=1,3,...) 
 
[ ]∑∑
∞ ∞
+
=
m n bnammn
bynaxm
D
q
w 2226
0
)/()/(
)sin()sin(16 pipi
pi
 (m,n=1,3,...) 
 
[ ] b
yn
a
xm
bnammn
bnamq
x
wDM
m n
x
pipiν
pi
sinsin
)/()/(
)()(16
222
22
4
0
2
2
∑∑
∞ ∞
+
+
=
∂
∂
= 
 
[ ] b
yn
a
xm
bnammn
bnamq
y
wDM
m n
y
pipiν
pi
sinsin
)/()/(
)()(16
222
22
4
0
2
2
∑∑
∞ ∞
+
+
=
∂
∂
= 
 
[ ] b
yn
a
xm
bnamab
q
yx
wDM
m n
xy
pipi
pi
ν
coscos
)/()/(
1)1(16
2224
0
2
∑∑
∞ ∞
+
−
−=
∂∂
∂
= 
 
Para uma placa retangular a máxima deflexão ocorre no meio da placa, para x=a/2 y=b/2, 
então 
 
[ ]∑∑
∞ ∞
−
+
+
−
=
m n
nm
máx
bnammnD
q
w 222
1)
2
(
6
0
)/()/(
)1(16
pi
 
 
Aplicação: Para uma placa quadrada a=b, utilizando os quatro primeiros termos (m=1,3 e 
n=1,3) o que dá a solução quase exata, temos no meio da placa: 
 
wmax=0,004055q0a4/D 
 
Mx,máx=My,máx=0,0361q0a2 
 
 4
TEORIA DE GRASHOF (1878) 
 
• Teoria das grelhas 
• Teoria dos quinhões de carga 
 
 Consiste em assumirmos que a laje é formada por uma grelha de largura unitária e 
igualarmos a flecha máxima da laje. 
 
 
Equação de equilíbrio: 
 
qx+qy=q (1) 
 
Equação de compatibilidade: 
 
fx=fy (2) 
 
sabemos que para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme a flecha máxima 
no meio do vão é dada por f=5ql4/384EI, assim obtém-se: 
 
y
yx
x fEI
bq
EI
aqf ===
384
5
384
5 44
 
 
A solução é dada por: 
 
1444
4
+
=
+
= λ
q
ba
qbqx = 14
4
44
4
+
=
+
= λ
λq
ba
qaq y onde λ=a/b 
 
Os momentos são dados por: 
)1(88 4
22
max,
+
==
λ
qaaqM xx )1(8)1(88 4
22
4
422
max, +
=
+
== λ
λ
λ
λ qaqbbqM yy 
 
( ) =+= 1384
5
4
4
λEI
qafm 
 
 
 
 
 5
 
Aplicação 1: Para uma placa quadrada, temos: 
 
 
 
 b 
 
 
 
 a 
 
a=b e λ=1 
yx q
qqq ==
+
=
214λ 
EI
qa
EI
qa
EI
aqf xx
444
00651,0
768
5
384
5
=== 
2
22
max,max, 0625,0168
qaqaaqMM xyx ==== 
 
 
Aplicação 2: Para uma placa retangular com b=2a, temos: 
λ= a/b = a/2a = 1/2 
 a 
 b=2a 
 
 a 
( ) 17
16
384
5
1384
5 4
4
4
EI
qa
EI
qaf x =+= λ 
( ) q
qqqx 941,012/11 44
=
+
=
+
= λ 
( )
( ) q
qqq y 059,012/1
2/1
1 4
4
4
4
=
+
=
+
= λ
λ
 
 
Conclusão: ~94% da carga atua na menor direção da laje. 
 
 
 6
TEORIA DE MARCUS (1925) 
 
Propõe corretores á teoria de Grashoff , para levar em conta a rigidez à torção, que reduz 
a flecha e os momentos. 
 
)1(max,max, xGxMx MM ϕ−= )1(max,max, yGyMy MM ϕ−= 
 
Onde: 
 
2
2
0
max,
max,
6
5
b
a
M
M
x
G
x
x =ϕ 2
2
0
max,
max,
6
5
a
b
M
M
y
G
y
y =ϕ 
 
onde 
8
2
0
max,
qaM x = 8
2
0
max,
qbM y = 
momento máximo quando toda a carga age na direção do momento que e esta calculando 
e as bordas são supostas apoiadas: 
 
A flecha é corrigida por 
( )
EI
aqf xxx 721
4
ϕ−= 
Para uma placa com todos os bordos apoiados, temos: 
( )16
5
8
)1(8
6
5
4
2
2
2
2
4
2
+
=
+
= λ
λλϕ
b
a
qa
qa
x ( )16
5
8
)1(8
6
5
4
2
2
2
2
4
22
+
=
+
= λ
λλ
λ
ϕ
a
b
qb
qa
y 
 
Aplicação: Para uma placa quadrada, temos: 
 
12
5
8/1
16
1
6
5
==xϕ 22
2
max,max, 0365,0192
7
12
7
16
)1251( qaqa
qaMM Gx
M
x ===−= 
 
( )
EI
qa
EI
qa
EI
aqf x
244
00405,0
1728
7
72
2/
12
51 ==





−= 
 
 
 7
 
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 
 
DISCRETIZA A LAJE EM PEQUENOS ELEMENTOS RETANGULARES 
 
 
 
 
 
• Assume funções para representar a variação dos deslocamentos ao longo do 
elemento. 
• Impõe condições de compatibilidade e equilíbrio nos nós. 
 
 
APLICAÇÃO 
Para uma laje retangular com todos os bordos apoiados, complete o quadro abaixo: 
Dados: Lx=4,0m; Ly=5,0m; h=0,10m; E=2,4e7; ν=0,2; kN/m2; q= 10 kN/m2. 
 
qLx2= 160,00 (qLx4/D) = 1,229 )1(12 2
3
ν−
=
EhD =2083,33 
 
QUADRO COMPARATIVO 
 
TEORIA wmax/(mm) Mxm Mym 
Grashoff 11,82 14,19 9,08 
Marcus 7,84 8,82 5,65 
Navier (4 termos) 7,40 10,04 7,14 
MEF 2x2 
MEF 4x4 
MEF 8x8 
MEF 16x16 
 
 
 8
 
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 
 
DISCRETIZA A LAJE EM PEQUENOS ELEMENTOS RETANGULARES 
 
 
 
 
 
• Assume funções para representar a variação dos deslocamentos ao longo do 
elemento. 
• Impõe condições de compatibilidade e equilíbrio nos nós. 
• Na condição de equilíbrio energético �Minimiza a energia deformação 
 
 
APLICAÇÃO 
 
Para uma laje quadrada simplesmente apoiada nas bordas, complete o quadro abaixo: 
Dados: a=b=4,0m; h=0,10m; E=2,4e7; ν=0,0; kN/m2; q= 10 kN/m2. 
 
qa2= 160,00 (qa4/EI) = 1,28 )1(12 2
3
ν−
=
EhD 
 
QUADROCOMPARATIVO 
Para a laje quadrada a=b e ν=0,0 
TEORIA wmax/(qa4/EI) wmax[mm] Mmax/(qa2) Mmax[kNm] 
Grashoff 0,00651 0,0625 10 
Marcus 0,00405 0,0365 5,84 
Navier (1 termo) 0,00416 0,0411 6,58 
Navier (4 termos) 0,004055 0,0361 5,78 
MEF 2x2 
MEF 4x4 
MEF 8x8