Exercícios sobre Flexão Oblíqua

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Uberlândia - FECIV - Prof. Francisco A. R. Gesualdo
________________________________________________________________
1
Verificar a terça com as seguintes características: vão livre igual a 350 cm, inclinada de 20o.
Dicotiledônea C60. Ação permanente de grande variabilidade e kmod = 0,56. Terça em estrutura
que abriga alta concentração de pessoas.
Peso próprio : 0,7 kN/m
Sobrecarga : 0,4 kN/m
Vento sobrepressão: 0,06 kN/m
Vento sucção : 0,50 kN/m
θ 20 graus⋅=
L 350 cm⋅=
Seção retangular: kM 0.5=
Solução:
Características geométricas:
b 5 cm⋅= h 15 cm⋅= Ix
b h3⋅
12
= Iy
h b3⋅
12
=
Ix 1406 cm
4⋅= Iy 156.25 cm4⋅=
Sx b
h2
8
⋅= Sx 140.62 cm3⋅= Sy h
b2
8
⋅= Sy 46.88 cm3⋅=
Forças serão indicadas na direção x e y que correspondem às respectivas direções de atuação.
Peso Próprio Sobrecarga: Vento: 
qpp 0.70
kN
m
⋅= qsc 0.40
kN
m
⋅= qvpres 0.06
kN
m
=
qvsuc 0.50
kN
m
=
Universidade Federal de Uberlândia - FECIV - Prof. Francisco A. R. Gesualdo
________________________________________________________________
2
Resistência:
fc0k 6
kN
cm2
⋅= fv0k 0.8
kN
cm2
⋅= kmod 0.56= γwc 1.4= γwv 1.8=
Ec0m 2450
kN
cm2
⋅= Ec0ef kmod Ec0m⋅= Ec0ef 1372
kN
cm2
⋅=
fc0d kmod
fc0k
γwc
⋅= fc0d 2.4
kN
cm2
⋅=
fv0d kmod
fv0k
γwv
⋅= fv0d 0.25
kN
cm2
⋅=
γg 1.4= γq 1.4= ψ0 0.5= Pressão dinâmica do ventoEstado limite último
As solicitações na direção x provenientes da ação vertical serão decompostas por multiplicação
pelo seno do ângulo de inclinação.
Na direção x (não há componentes provenientes da ação do vento, pois estas atuam
exclusivamente na direção y):
qxd γg qpp⋅ γq qsc⋅+( ) sin θ( )⋅ 0.53 kNm⋅==
Na direção y:
a) Combinação para máximo valor positivo
Vento como ação variável secundária:
qy1da γg qpp⋅ γq qsc⋅+( ) cos θ( )⋅ γq ψ0⋅ qvpres⋅+ 1.49 kNm⋅==
Vento como ação variável principal
qy1db γg qpp⋅ γq 0.7⋅ qsc+( ) cos θ( )⋅ γq 0.75⋅ qvpres⋅+ 1.35 kNm⋅==
(0,7 é coeficiente de combinação ψ0 para situação de grande concentração de pessoas)
Portanto, o maior valor é: qy1d qy1da 1.49
kN
m
⋅==
b) Combinação para máximo valor negativo
Neste caso a sobrecarga não será considerada e à parcela do peso próprio será aplicado
o coeficiente γg igual a 0,9. Na ação do vento pode ser considerada redução pelo coeficiente
0,75. No entanto, como o objetivo é minorar a contribuição do vento esta redução não será
aplicada (adotado).
qy2d 0.9 qpp⋅ cos θ( )⋅ γq qvsuc−( )⋅+ 0.11− kNm⋅==
Observação: sendo a seção transversal simétrica, então o valor mais crítico refere-se ao
maior valor absoluto de, no caso, qy1d.
Universidade Federal de Uberlândia - FECIV - Prof. Francisco A. R. Gesualdo
________________________________________________________________
3
Esforços:
Mxd
qy1d L
2⋅
8
228.02 kN cm⋅⋅== Myd
qxd L
2⋅
8
80.65 kN cm⋅⋅==
Vxd
qxd L⋅
2
0.92 kN⋅== Vyd
qy1d L⋅
2
2.61 kN⋅==
Verificação da resistência σ:
σMxd
Mxd
Ix
h
2
⋅ 1.22 kN
cm2
⋅== σMyd
Myd
Iy
b
2
⋅ 1.29 kN
cm2
⋅==
kM
σMxd
fc0d
⋅
σMyd
fc0d
+ 0.79= < 1 (OK !)
Verificação da resistência τ: fv0d 0.25
kN
cm2
⋅=
τxd
Vxd Sy⋅
h Iy⋅
0.02
kN
cm2
⋅== τyd
Vyd Sx⋅
b Ix⋅
0.05
kN
cm2
⋅== ( OK ! )
Estabilidade lateral (somente em torno de x para instabilidade em y):
L1 L= γf 1.4= βE 4=
βM
4
π
βE
γf
⋅
h
b
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
1.5
h
b
0.63−
⋅= βM 12.28=
Primeira verificação:
L1
b
70.00=
Ec0ef
βM fc0d⋅
46.56= Como 70.00 > 46.56 (condição NÃO aceita)
Segunda verificação:
σc1dx
Mxd
Ix
h
2
⋅ 1.22 kN
cm2
⋅== σc2
Ec0ef
L1
b
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠ βM⋅
= σc2 1.6
kN
cm2
⋅=
σc1dy
Myd
Iy
b
2
⋅ 1.29 kN
cm2
⋅==
σc1d σc1dx σc1dy+ 2.51
kN
cm2
⋅== Como σc1d > σc2 (condição NÃO aceita)
Como as duas condições não foram verificadas, então a estabilidade não está garantida. Solução:
adotar contraventamento no ponto central da viga fazendo L1 = L/2.
Neste caso: L1
L
2
= Portanto:
L1
b
35.00=
Ec0ef
βM fc0d⋅
46.56= Como 35.00 > 46.56 (OK)
Universidade Federal de Uberlândia - FECIV - Prof. Francisco A. R. Gesualdo
________________________________________________________________
4
Estado limite de utilização ulimite
L
200
=
ψ2 0.4=
qxdu qpp ψ2 qsc⋅+( ) sin θ( )⋅ 0.29 kNm⋅== ; qydu qpp ψ2 qsc⋅+( ) cos θ( )⋅ 0.81 kNm⋅==
Como foi usado o contraventamento no ponto central para resolver o problema da estabilidade,
então, pode-se considerar que o vão para a direção X vale L/2. É também apropriado observar
que na flexão oblíqua a ABNT NBR 7190:1997 indica que a verificação da flecha é feita
isoladamente para cada direção, sem considerar o deslocamento resultante.
Desta forma, a viga terá três apoios de sustentação na direção x, ficando como indicado na
Figura 2. Então, a determinação da máxima flecha deve ser feita pela investigação dos
deslocamentos em uma viga sobre três apoios (uma vez hiperestática), Figura 2a. Por exemplo,
pode ser usado um programa computacional para mapear os deslocamentos. Para isto a viga
deve ser dividida em várias partes, o suficiente para se ter deslocamentos em pontos ao longo da
viga. Como se trata de caso relativamente simples, é possível encontrar uma expressão que
forneça este valor de deslocamento, como indicado na Figura 3.
a) Flexão em torno de y
b) Flexão em torno de x
Figura 2 - Apoios da terça em relação a x e y
u x( )
q x⋅ Lt x−( )2⋅ Lt 2 x⋅+( )⋅
48 E I⋅( )⋅=
xumax
Lt
4 q⋅ 55 33⋅ 39+( )⋅
65536 E I⋅( )⋅=
umax
Lt
4 q⋅ 55 33⋅ 39+( )⋅
65536 E⋅ I⋅=
O valor de umax pode ser aproximado por: umax
q L4⋅
185 E⋅ I⋅=
Figura 3 - Deslocamentos para viga sobre três apoios
Em relação aos deslocamentos na direção y (vertical), o vão é o próprio L e a flecha provem de
uma viga bi-apoiada.
Universidade Federal de Uberlândia - FECIV - Prof. Francisco A. R. Gesualdo
________________________________________________________________
5
Deslocamento na direção y:
ulimite
L
200
1.75 cm⋅== uy
5
384
qydu L
4⋅
Ec0ef Ix⋅
0.82 cm⋅== Como uy < ulimite, então OK
Deslocamento na direção x (simplificado para dois trechos bi-apoiados):
ulimite
L
2
200
0.88 cm⋅== ux
1
185
qxdu
L
2
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
4
⋅
Ec0ef Iy⋅
0.07 cm⋅==
Como ux < ulimite, então OK