RESPOSTA P3-PROBEST_2011-2

Prévia do material em texto

P3 - Probabilidade e Estatística – 2011.2 
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. 
Professores: Reinaldo Souza & Roxana Jimenez Contreras 
 
Problema 1 (2.0 pts) 
 
1.1) (0.4 pt) O que vem a ser um “estimador” e uma “estimativa” de um 
parâmetro. 
1.2) (0.4 pt) Qual a diferença entre as densidade Normal e T-Student. Em que 
situação elas ficam aproximadamente iguais? 
1.3) (0.4 pt) Seja X ~ Qui-quadrado(15). Qual é a Prob (7,26 ≤ X ≤25,0)? 
1.4) (0.8 pt) Mostre que se e são v.a. estatisticamente independentes, então 
 
 
Problema 2 ( 2,0 pts ) 
Em um experimento no qual temos uma variável aleatória discreta que modela “n” 
repetições de um experimento Bernoulli até obter o r-ésimo sucesso, pede-se: 
 
a) (0.5 pt) Qual o modelo probabilístico (paramétrico) que você adotaria para este 
experimento? 
 
RESPOSTA 
X ~ NegBin (r,p) 
 
b) (1,5 pt) Qual o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro deste 
modelo, descreva todos os passos para a obtenção do estimador. 
 
 RESPOSTA 
 
X
n
MV ˆ
 
 
 
Problema 3A (1.8 pts) Distribuição conjunta 
Sejam e v.a.'s contínuas com densidade conjunta: 
 
 
 
 
a) (0.6 pt) Encontre a constante “k” que faz desta expressão uma densidade. 
 
RESPOSTA 
 
3k
 
 
2y0 e 1 x < 0 onde,
3
.
),( 2  x
yx
yxf
 
 
 
2y0 e 1 x < 0 onde,
.
),( 2  x
k
yx
yxf
 
 
b) (0.4 pt) Encontre a densidade marginal de . 
 
RESPOSTA 
 
 
2.2
3
.2
)( x
x
xf 
 
 
 
c) (0.4 pt) Encontre a densidade marginal de . 
 
RESPOSTA 
 
 
3
1
6
)( 
y
yf
 
 
 
d) (0.4 pt) e são independentes? Por que? Justifique. 
 
RESPOSTA 
 
3
.2
3
.
9
.2
9
.
)().(
2.2 xyxxyx
yfxf 
 
 
Conclusão: 
)().(),( yfxfyxf 
 , então, X e Y não são independentes. 
 
 
 
Problema 3B (1.2 pts) Distribuição conjunta 
Sejam e v.a.'s contínuas com as densidades: 
 
1- Densidade conjunta 
 
 
2- Densidade marginal de : 
 
 
3- Densidade marginal de Y: 
 
 
 
Pede-se: 
 
 
 
 
 1 x < 0 onde,
2
3
)( 2  xxxf X
 1 x < 0 onde,
2
1
)(  yyfY
1y0 e 1 x < 0 onde,..2.
2
3
),( 2  yxxyxf
 
a) (0.5 pt) Encontre a densidade condicional de dado . 
 
RESPOSTA 
 
 
2.3
4.3
)(



x
yx
xXYf
 , onde 
]1,(
]1,0(
xy
x


 
 
 
 
b) (0.7 pt) Ache a Média condicional de dado . 
 
RESPOSTA 
  dyxyfyxXYE ).(.
2
0

 , onde 
]1,0(
]1,0(


y
x
 
 
 
12.18
8.9



x
x
xXYE
 
 
 
Problema 4A( 1,0 pts ) 
Uma máquina “A” produz peças circulares cujos diâmetros “Di” devem obedecer uma 
determinada especificação em mm, e, uma outra máquina “B” foi encontrada no 
mercado. Quer-se saber se os diâmetros médios das duas máquinas são próximas, ou 
seja, se as máquinas produzem peças que podem ser consideradas estatisticamente 
idênticas em termos dos diâmetros das mesmas. 
Tomou-se uma amostra de 12 peças da máquina “A”, e 18 peças da máquina “B”, tendo 
sido obtidas as seguintes estimativas amostrais: 
Máquina “A” : 
AX
= 98mm e SA = 9mm 
Máquina “B”: 
BX
= 100mm e SB = 8mm 
 
Encontre o Intervalo de Confiança para a Diferença das Médias das duas máquinas (µA-
µB) ao nível de significância de 95%. O que você conclui? As peças podem ser 
consideradas estatisticamente iguais? 
 
RESPOSTA 
 
 
 
 
 
 [ -8,4164 ; 4,417 ] 
 
Sim, O Zero está contido no Intervalo de Confiança , portando as médias de sua alturas 
podem ser iguais ao nível de significância de 95%. 
 
 
     
  















2
S.1S.1
.
11
2
B
2
A
mn
mn
mn
R
133,3R
IC
 
 
Problema 4B ( 1,0 pts) 
O diâmetro final de um cabo elétrico blindado é Normalmente distribuído. Uma amostra 
com tamanho 20, produz uma média de 0,790 e um desvio padrão amostral 0,010. 
Encontre o Intervalo de Confiança de 95% para a média da população. 
 
RESPOSTA 
 
 IC = [ 0,7853 ; 0,7947 ] 
 
 
 
Problema 4C (1.0 pts) 
Uma marca de máquina de lavar roupa quer saber a proporção das donas de casa que 
preferem usar sua marca. Pegam uma amostra aleatória de 100 Donas de casa e 20 
dizem que usaria. 
Calcule o Intervalo de Confiança de 90% para a verdadeira proporção das Donas de casa 
que preferem a marca de máquina de lavar. 
 
RESPOSTA 
 
 
IC= [0,1344;0,2656] 
 
 
 
 
 
 
 
 
BOA SORTE!!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORMULÁRIO PARA PROVA 
 
Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas 
 
Distribuição Bernoulli - X ~ Bernoulli(p) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Binomial - X ~ Bin (n,p) 
Função de probabilidade: 
 
Distribuição Geométrica - X ~ Geom (p) 
Função de probabilidade: 
 
Distribuição Binomial Negativa - X ~ NegBin (r,p) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Poisson - X ~ Poisson(μ) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Exponencial - X ~ Exp(λ) 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Normal - X ~ N(μ,σ2) 
Função de probabilidade: 
 
 
Se X ~ N(μ,σ2) 
)1,0(~ N
X
Z



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  1)Pr()( 1 xx ppxXxf 
  )1(
)!(!
!
)1(Pr)( xnxxnx pp
xnx
n
pp
x
n
xXxf  








 .)Pr()( 1 pqxXxf x
 ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








 
!
)Pr()(
x
e
xXxf
x  

  0 e 0 onde .exp.)(  xxxf 
 
R 0 onde .
2
1
)( 22
2
2
2


 



eexf
x
 
Intervalos de Confiança 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- onde a e b são tirados da tabela qui- 
quadrado com (n-1) graus de liberdade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 






 
n
zX
n
zX
n
zXIC

 2/12/12/1 ; 





 
n
s
tX
n
s
tX
n
s
tXIC nnn 2/1,12/1,12/1,1 ;  





 




  
)ˆ1(ˆ
ˆ , 
)ˆ1(ˆ
ˆ 
)ˆ1(ˆ
ˆ 2/12/12/1
n
pp
zp
n
pp
zp
n
pp
zpIC 
 RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ;    















2
)1()1(11 22
2
1
mn
SnSm
mn
R
aaSnbSn  1]/)1(/)1Pr[( 222 
 




n
i
i XX
n
s
1
22
1
1



n
i
iX
n
X
1
1
 
Tabelas