Aulas1e2 Probabilidade e Estatística UFCG

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Probabilidade e Estat´ıstica
Modelos Discretos
UAEst/CCT/UFCG
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Modelos Probabil´ısticos
Motivac¸a˜o
Em muitas situac¸o˜es, alguns experimentos aleato´rios apresentam carac-
ter´ısticas bastante peculiares. Este fato possibilita que, uma vez identifi-
cadas estas caracter´ısticas, um particular modelo probabil´ıstico seja proposto
para modelar o fenoˆmeno em estudo.
Neste contexto passaremos ao estudo de alguns dos principais modelos pro-
babil´ısticos (tanto para varia´veis aleato´rias discretas quanto para cont´ınuas).
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Modelos Probabil´ısticos para Varia´veis Aleato´rias Discretas
1 Modelo de Bernoulli;
2 Modelo Binomial;
3 Modelo Hipergeome´trico;
4 Modelo Geome´trico e
5 Modelo de Poisson.
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Modelo (ou Distribuic¸a˜o) de Bernoulli
Em muitos experimentos os resultados sa˜o tais que ocorre ou na˜o ocorre
determinada caracter´ıstica. Por exemplo:
1 Ao lanc¸ar uma moeda: o resultado ou e´ cara, ou na˜o (ocorrendo, enta˜o,
coroa);
2 Ao lanc¸ar um dado: ocorre nu´mero par ou na˜o (ocorrendo nu´mero
ı´mpar);
3 Uma pessoa e´ escolhida ao acaso dentre 1000: ou ela e´ do sexo mas-
culino ou na˜o (e´ do sexo feminino);
4 Uma pessoa e´ escolhida ao acaso dentre 1000: ou ela e´ favora´vel a um
determinado projeto governamental ou na˜o.
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Modelo (ou Distribuic¸a˜o) de Bernoulli
Em todas estes casos, estamos interessados na ocorreˆncia (sucesso) ou na˜o
(fracasso) de determinada caracter´ıstica. Enta˜o, para cada experimento
acima podemos definir uma v.a. X, que assume os seguintes valores: 1, se
ocorrer sucesso, e 0, se ocorrer fracasso. E, indicaremos por p a probabili-
dade de sucesso, isto e´, P (sucesso) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.
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Modelo (ou Distribuic¸a˜o) de Bernoulli
Uma varia´vel aleato´ria X, que assume apenas os valores 0 e 1, e´ dita ter
distribuic¸a˜o de Bernoulli com paraˆmetro p, 0 < p < 1, se sua func¸a˜o de
probabilidade e´ dada por
P (X = x) =
{
p, se x = 1;
1− p, se x = 0.
Notac¸a˜o: X ∼ Ber(p).
Observac¸a˜o: Experimentos que resultam numa v.a. de Bernoulli sa˜o chama-
dos ensaios de Bernoulli.
Propriedades
E(X) = p;
V ar(X) = p(1− p).
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Modelo (ou Distribuic¸a˜o) Binomial
Definic¸a˜o (Experimento Binomial)
Um experimento binomial consiste de n tentativas independentes de um
mesmo experimento aleato´rio, onde cada tentativa admite apenas dois re-
sultados: sucesso, com probabilidade p, e fracasso, com probabilidade 1−p.
Pode-se dizer ainda que um experimento binomial consiste de n ensaios in-
dependentes de Bernoulli, cuja probabilidade de sucesso em cada ensaio e´
constante e igual a p, 0 < p < 1.
Definic¸a˜o (Varia´vel Aleato´ria Binomial)
Uma varia´vel aleato´ria definida como X: nu´mero de sucessos num experi-
mento binomial e´ dita ser uma Varia´vel Aleato´ria Binomial com paraˆmetros
n e p.
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Modelo (ou Distribuic¸a˜o) Binomial
Teorema
Se X e´ uma varia´vel aleato´ria binomial com paraˆmetros n e p, enta˜o
P (X = k) =
(
n
k
)
pk(1− p)n−k, k = 0, 1, ..., n,
em que k e´ o nu´mero de sucessos nos n ensaios.
Notac¸a˜o: X ∼ B(n, p).
Propriedades
E(X) = np;
V ar(X) = np(1− p).
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Exemplo 1
Um fabricante de pec¸as de automo´vel garante que uma caixa de suas pec¸as
contera´, no ma´ximo, duas defeituosas. Sabe-se que uma caixa conte´m 20
pec¸as, e a experieˆncia tem demonstrado que, em seu processo de fabricac¸a˜o,
6% das pec¸as sa˜o defeituosas. Selecionada uma dessas caixas, ao acaso,
encontre:
a) A probabilidade de que nenhum dos itens tenha defeito;
b) A probabilidade de que todas as pec¸as sejam defeituosas;
c) A probabilidade de que a caixa satisfac¸a a garantia;
d) O nu´mero de pec¸as defeituosas esperadas nesta caixa.
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Exemplo 2: Overbooking
Overbooking e´ uma pra´tica realizada na aviac¸a˜o no mundo todo. Consiste
na empresa ae´rea vender mais bilhetes do que o dispon´ıvel no voo com
base na me´dia de desisteˆncias dos voos anteriores. Uma empresa ae´rea
possui um avia˜o com capacidade para 100 lugares, se para um certo voˆo
essa empresa vendeu 103 passagens e, admitindo que a probabilidade de um
passageiro comparecer para embarque e´ de 93%, qual a probabilidade de
algum passageiro na˜o conseguir embarcar?
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Modelo (ou Distribuic¸a˜o) Hipergeome´trico(a)
Considere uma populac¸a˜o (conjunto) composta de N objetos, r dos quais
teˆm uma certa caracter´ıstica A, logo, N − r na˜o teˆm a caracter´ıstica A
(A). Suponha que n desses objetos (n ≤ N) sa˜o escolhidos ao acaso sem
reposic¸a˜o e que estamos interessados na varia´vel
X : nu´mero de elementos que possuem a caracter´ıstica A dentre os n.
Enta˜o, a varia´vel definida desta forma e´ dita ter distribuic¸a˜o hipergeome´trica
com paraˆmetros N , r e n e func¸a˜o de probabilidade dada por
P (X = k) =
( r
k
)( N−r
n− k
)
(
N
n
) , k = max{0, n− (N − r)}, ...,min{r, n}.
Notac¸a˜o: X ∼ hip(N, r, n).
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Modelo (ou Distribuic¸a˜o) Hipergeome´trico(a)
Propriedades
E(X) = n
(
r
N
)
;
V ar(X) = n
(
r
N
) (
1− rN
)
N−n
N−1 ,
em que rN e´ a probabilidade de se obter um objeto com a caracter´ıstica A
numa u´nica extrac¸a˜o.
Observac¸a˜o: Quando a populac¸a˜o e´ muito grande, ou seja,
N → ∞, quando comparado com n, a retirada ao acaso, com ou sem
reposic¸a˜o, sera˜o praticamente equivalentes, de modo que a distribuic¸a˜o
hipergeome´trica se aproxima da distribuic¸a˜o binomial.
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Exemplo 3
Em problemas de controle de qualidade, lotes com N itens sa˜o examina-
dos. O nu´mero de itens com defeito (atributo A), r, e´ desconhecido, mas,
digamos que, por experieˆncias passadas, voceˆ sabe que em lotes de N = 100
pec¸as, 10% sa˜o defeituosas. Se num certo lote de 100 pec¸as voceˆ escolhe
ao acaso 5 itens, sem reposic¸a˜o, qual e´
a) a probabilidade de nenhum item ser defeituoso?
b) a probabilidade de na˜o mais do que um item ser
defeituoso?
c) o nu´mero esperado de itens defeituosos?
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“Hora da chamada...”
Albert Einstein
Tudo deveria se tornar o mais simples poss´ıvel, mas na˜o simplificado.
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Modelo (ou Distribuic¸a˜o) Geome´trico(a)
Considere um experimento cujo os resultados podem ser classificados como
sucesso ou fracasso e que repetic¸o˜es deste experimento possam ser realizadas
de forma independente. Se p e´ a probabilidade de sucesso, enta˜o 1− p e´ a
probabilidade de fracasso, e se considerarmos a varia´vel aleato´ria X: nu´mero
de repetic¸o˜es ate´ ocorrer o primeiro sucesso, enta˜o:
P (X = k) = (1− p)k−1p, k = 1, 2, ...
A varia´vel aleato´ria definida acima e´ dita ter distribuic¸a˜o geome´trica com
paraˆmetro p.
Notac¸a˜o: X ∼ G(p).
Propriedades
E(X) = 1p e V ar(X) =
1−p
p2
.
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Exemplo 4
Se a probabilidade de um certo ensaio dar reac¸a˜o positiva for igual a 0,4,
qual sera´ a probabilidade de que menos de 5 reac¸o˜es negativas ocorram
antes da primeira positiva?
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Exemplo 5
Toda manha˜, antes de iniciar a produc¸a˜o, o setor de manutenc¸a˜o de uma
indu´stria faz a verificac¸a˜o de todo o equipamento. A experieˆncia indica
que em 95% dos dias tudo esta´ bem e a produc¸a˜o se inicia. Caso haja
algum problema, uma revisa˜o completa sera´ feita e a indu´stria so´ comec¸ara´
a trabalhar apo´s o almoc¸o. Fac¸a alguma suposic¸a˜o que julgar necessa´ria e
responda:
a) qual e´ a probabilidade de demorar 10 dias para ocorrer a
primeira revisa˜o completa?
b) qual e´ a probabilidade de demorar pelo menos 4 dias para
ocorrer a primeira revisa˜o completa?
c) qual o nu´mero me´dio de dias ate´ a ocorreˆncia da primeira
revisa˜o completa?
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Modelo (ou Distribuic¸a˜o) de Poisson
Suponha, agora, que o interesse num certo experimento seja contar o nu´mero
de ocorreˆncias de um certo evento, o qualpode ocorrer durante um intervalo
de tempo, ao longo de uma superf´ıcie ou volume. Por exemplo:
1 Durante o intervalo de uma hora, observar o nu´mero de carros que
passam numa rodovia;
2 Ao inspecionar a pintura de um carro, deseja-se observar o nu´mero de
falhas por unidade inspecionada;
3 Ao realizar o controle de qualidade de um produto aliment´ıcio, deseja-se
conhecer o nu´mero de bacte´rias por unidade inspecionada.
Em todas estas situac¸o˜es poderemos trabalhar com a distribuic¸a˜o de prob-
abilidade a seguir.
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Modelo (ou Distribuic¸a˜o) de Poisson
Definic¸a˜o
Dizemos que a varia´vel aleato´ria X : nu´mero de ocorreˆncias de um certo
evento num determinado intervalo de tempo, superf´ıcie ou volume, tem
distribuic¸a˜o de Poisson com paraˆmetro λ (λ > 0), se sua func¸a˜o de
probabilidade e´ dada por
P (X = k) =
e−λλk
k!
, k = 0, 1, 2, ...
Notac¸a˜o: X ∼ Poisson(λ).
Observac¸a˜o: O paraˆmetro λ e´ usualmente referido como a taxa de ocorreˆncia
e diz respeito ao nu´mero me´dio de eventos de certo tipo que ocorrem em
um intervalo de tempo, ou distaˆncia, ou a´rea, ou volume.
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Modelo (ou Distribuic¸a˜o) de Poisson
Propriedades
E(X) = λ
V ar(X) = λ
Observac¸a˜o: Se X tem distribuic¸a˜o Binomial, ou seja, X ∼ B(n, p), em
que n e´ bastante grande com p pequeno, de modo que np ≤ 7, enta˜o
a distribuic¸a˜o de X se aproxima da distribuic¸a˜o de Poisson com paraˆmetro
λ = np, isto e´, X ∼ Poisson(np).
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Exemplo 6
Um companhia recebe uma me´dia de 5 chamadas por minuto.
Obtenha:
a) A probabilidade de que a companhia na˜o receba chamadas
durante o intervalo de 1 minuto.
b) A probabilidade de que a companhia receba, no ma´ximo, 2
chamadas durante um intervalo de 4 minutos.
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Exemplo 7
Seja X ∼ B(200; 0, 01). Calcule P (X = 10) usando a distribuic¸a˜o binomial
e compare com o valor aproximado, desta probabilidade, obtido atrave´s da
distribuic¸a˜o de Poisson.
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Exerc´ıcios Sugeridos
8.1, 8.3 a 8.7, 8.10 a 8.14, 8.20 e 8.21 (Livro Texto)
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“Hora da chamada...”
Albert Einstein
O primeiro dever da inteligeˆncia e´ desconfiar dela mesma.
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Bibliografia
Probabilidade, Aplicac¸o˜es a` Estat´ıstica (2a edic¸a˜o). Paul L. Meyer
(1995). LTC.
Estat´ıstica Ba´sica (7a edic¸a˜o). Wilton O. Bussab e Pedro A. Morettin
(2011). Editora Saraiva.
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