Estrutura Cristalina Cap 3

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CAPÍTULO 3 - 
ESTRUTURA CRISTALINA 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Prof. C. P. Bergmann - DEMAT - EE – UFRGS – março 2003 
3. ESTRUTURA CRISTALINA 
3-1 INTRODUÇÃO 
3-2 ORDENAÇÃO DOS ÁTOMOS 
3-3 CÉLULAS UNITÁRIAS 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3-5 METAIS 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
3-7 CRISTAIS COVALENTES 
3-8 POLÍMEROS 
3-9 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
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3-1 INTRODUÇÃO 
antes de entender fenômenos que determinam propriedades nos materiais a 
partir da MICROESTRUTURA deve-se primeiramente entender a (ESTRUTURA 
ATÔMICA) e ESTRUTURA CRISTALINA dos materiais porque estas definem 
algumas de suas propriedades 
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ESTRUTURA ATÔMICA 
ESTRUTURA CRISTALINA 
MICROESTRUTURA 
 
ESTRUTURA PROPRIEDADES 
CIÊNCIA DOS MATERIAIS 
Ciência dos Materiais-DEMAT-EE-UFRGS 
3-1 INTRODUÇÃO 
♦ As propriedades de alguns materiais estão 
diretamente associadas à sua estrutura 
cristalina. 
 Ex: magnésio e berílio que têm a 
mesma estrutura (HC) se deformam muito 
menos que ouro e prata (CFC) que têm outra 
estrutura cristalina. 
 
 Explica a diferença significativa nas 
propriedades de materiais cristalinos e não 
cristalinos de mesma composição. 
 Ex: Materiais transparentes, 
translúcidos opacos e não-cristalinos. 
 
 As propriedades dos materiais sólidos 
cristalinos depende da estrutura cristalina, ou 
seja, da maneira na qual os átomos, 
moléculas ou íons estão espacialmente 
dispostos. 
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3-1 INTRODUÇÃO 
A diferença no comportamento 
mecânico de um material sólido é 
definida no arranjo atômico, e 
conseqüentemente na sua estrutura 
cristalina. 
Importância da estrutura cristalina 
 Grande parte da diferença das propriedades dos materiais é de interesse 
 tecnológico, assim as diferenças na estrutura cristalina de um mesmo composto 
 é de grande importância na Engenharia. 
 
Carbono grafite hexagonal 
 diamante cúbico 
Nitreto de boro cúbico 
 grafite 
Fe CCC 
 CFC O que se pode fazer para 
modificar a resistência 
mecânica de um material ? 
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3-1 INTRODUÇÃO 
Alotropia ou Polimorfismo: 
3-2 ORDENAÇÃO DE ÁTOMOS 
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Cristal Vidro Gás 
Ordem a longo 
alcance 
Ordem a curto 
alcance 
Sem 
ordenamento 
 Os materiais sólidos podem ser classificados de acordo com a regularidade 
na qual os átomos ou íons se dispõem em relação à seus vizinhos. 
3-2 ORDENAÇÃO DE ÁTOMOS 
3.2.1 Sem ordem 
Em gases, como o Ar e outros gases nobres. 
 Se confinados, os gases não apresentarão nenhuma ordem 
 entre seus átomos constituintes. 
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Argônio 
Hélio 
3-2 ORDENAÇÃO DE ÁTOMOS 
3.2.2 Ordenamento a curto alcance 
 Ângulos, distâncias e simetria com ordenação 
a curto alcance. 
 Ocorre na H2O, que apresenta uma orientação 
preferencial, no SiO2 e no polietileno. 
 em materiais não-cristalinos ou amorfos 
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H 
O 
O 
H2O 
SiO2 
Polietileno 
3-2 ORDENAÇÃO DE ÁTOMOS 
3.2.3 Ordem a longo alcance 
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Material cristalino 
 
 Átomos ordenados em longas distâncias atômicas 
 formam uma estrutura tridimensional 
 
 rede cristalina 
 
 Metais, muitas cerâmicos e alguns 
 polímeros formam estruturas 
 cristalinas sob condições 
 normais de solidificação 
 
3-2 ORDENAÇÃO DE ÁTOMOS 
3.2.3 Ordem a longo alcance 
 A rede é formada por átomos se repete regularmente 
 REDE: conjunto de pontos espaciais 
 que possuem vizinhança 
 idêntica. 
 Na rede a relação com vizinhos é constante: 
- simetria com os vizinhos; 
- distâncias define o parâmetro de rede; 
- ângulos entre arestas 
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PARÂMETROS PELOS QUAIS SE DEFINE UM CRISTAL 
Exemplo esquemático 
de rede 
3-2 ORDENAÇÃO DE ÁTOMOS 
3.2.3 Ordem a longo alcance 
 Na solidificação ou por saturação de uma solução. 
SOLIDIFICAÇÃO Cristais se formam no sentido 
 contrário da retirada de calor 
Mais baixa energia livre 
Maior empacotamento 
SATURAÇÃO de uma 
 solução. 
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 Como s cristais se formam? 
3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
 As estruturas ideais apresentam baixa energia e maior empacotamento, 
já as reais compreendem os defeitos possíveis nas ideais. 
 
 
 As estruturas ideais compreendem: 
 
- diferentes sistemas cristalinos ângulos a,b,g 
 tamanho das arestas a, b, c 
- sistemas cristalinos 7 diferentes 
- redes de Bravais 14 diferentes 
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3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
 CÉLULA UNITÁRIA menor subdivisão da rede cristalina 
 que retém as características de toda 
 a rede. 
 
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Célula unitária 
Arranjo de 
átomos em 
um cristal 
Rede 
cristalina 
Representação da célula unitária CFC 
3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
 CÉLULA UNITÁRIA existem diferentes tipos de células 
 unitárias, que dependem da relação 
 entre seus ângulos e arestas. 
 
 Existem 14 tipos diferentes: 
redes de Bravais, agrupadas em 
sete tipos de estruturas 
cristalinas (sistemas cristalinos). 
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Três diferentes tipos de estruturas cristalinas 
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3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
Sete sistemas cristalinos 
3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
Metais cristalizam 
preferencialmente: 
- hexagonal 
- CCC 
- CFC 
- CS  muito raro 
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7 sistemas cristalinos e 14 redes de Bravais 
METAIS 
 
Ligação metálica  não-
direcional: não há restrições 
quanto ao número e posições 
dos vizinhos mais próximos. 
 
 
 
Estrutura cristalina dos metais 
têm geralmente um número de 
vizinhos grandes e alto 
empacotamento atômico. 
Romboédrico 
Hexagonal 
3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.1 Número de átomos por célula unitária 
 É o número específico de pontos da 
rede que define cada célula unitária. 
 - Átomo no vértice da célula 
 unitária cúbica: partilhado por 
 sete células unitárias em contato 
 somente 1/8 de cada 
 vértice pertence a uma 
 célula particular. 
 
- Átomo da face centrada: 
 partilhado por 
 duas células 
 unitárias 
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3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
Cúbico Simples 
(CS) 
Cúbico Corpo Centrado 
(CCC) 
Cúbico Face Centrada 
(CFC) 
3.3.1 Número de átomos por célula unitária 
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SISTEMA CÚBICO 
3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
Cúbico Simples 
(CS) 
Cúbico Corpo Centrado 
(CCC) 
Cúbico Face Centrada 
(CFC) 
3.3.1 Número de átomos por célula unitária 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
SISTEMA CÚBICO 
3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
Cúbico Simples 
(CS) 
Cúbico Corpo Centrado 
(CCC) 
Cúbico Face Centrada 
(CFC) 
3.3.1 Número de átomos por célula unitária 
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SISTEMA CÚBICO 
3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.1 Número de átomos por célula unitária 
Exemplo 1: Determine o número de átomos da rede cristalina por célula no 
sistema cristalino cúbico. 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
CS n° pontos da rede = 8(cantos) *1 = 1 átomocélula unitária 8 
 
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3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.1 Número de átomos por célula unitária 
Exemplo 1: Determine o número de átomos da rede cristalina por célula no 
sistema cristalino cúbico. 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
CCC n° pontos da rede = 8(cantos)*1 + 1 (centro)= 2 átomos 
 célula unitária 8 
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3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.1 Número de átomos por célula unitária 
Exemplo 1: Determine o número de átomos da rede cristalina por célula no 
sistema cristalino cúbico. 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
CFC n° pontos da rede = 8(cantos)*1 + 6 (faces)*1= 4 átomos 
 célula unitária 8 2 
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3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.1 Número de átomos por célula unitária 
 
CS 1 átomo 
CCC 2 átomos 
CFC 4 átomos 
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3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.2 Relação entre raio atômico e parâmetro de rede 
 Determina-se primeiramente como os átomos estão em contato 
(direção de empacotamento fechado, ou de maior empacotamento) 
 
 Geometricamente determina-se a relação entre o raio atômico (r) e 
o parâmetro de rede (ao). 
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3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.2 Relação entre raio atômico e parâmetro de rede 
Exemplo 2: Determine a relação entre o raio atômico e o 
parâmetro da rede cristalina para as células unitárias do 
sistema cristalino cúbico (CS, CFC, CCC). 
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CÚBICO SIMPLES 
ao = 2r 
Contato entre os átomos ocorre através 
da aresta da célula unitária 
ao = r + r 
3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.2 Relação entre raio atômico e parâmetro de rede 
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ao = 4r 
 21/2 
Contato entre os átomos ocorre 
através da diagonal da face da 
célula unitária 
dface
2 = ao
2 + ao
2 
(4r)2 = 2ao
2 
Exemplo 2: Determine a relação entre o raio atômico e o 
parâmetro da rede cristalina para as células unitárias do 
sistema cristalino cúbico (CS, CFC, CCC). 
CÚBICO DE FACE CENTRADA 
3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.2 Relação entre raio atômico e parâmetro de rede 
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CÚBICO DE CORPO CENTRADO 
ao = 4r 
 31/2 
Contato entre os átomos ocorre 
através da diagonal do cubo da 
célula unitária 
Dcubo
2 = ao
2 + dface
2 
(4r)2 = 3ao
2 
Exemplo 2: Determine a relação entre o raio atômico e o 
parâmetro da rede cristalina para as células unitárias do 
sistema cristalino cúbico (CS, CFC, CCC). 
3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.2 Relação entre raio atômico e parâmetro de rede 
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Fe CCC 
Exemplo3: O raio atômico do ferro é 1,24 A Calcule o parâmetro de rede 
do Fe CCC e CFC. 
Fe CFC 
ao = 4r 
 31/2 
ao = 4 x 1,24 = 2,86 A 
 31/2 
ao = 4r 
 21/2 
ao = 4 x 1,24 = 3,51 A 
 21/2 
3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.3 Número de coordenação 
 O número de coordenação é o número de vizinhos mais próximos, 
depende de: - covalência: o número 
 de ligações covalentes 
 que um átomo pode 
 compartilhar; 
 - fator de empacotamento 
 cristalino. 
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CÚBICO 
SIMPLES 
NC = 6 
3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.3 Número de coordenação 
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CÚBICO DE 
CORPO 
CENTRADO 
NC = 8 
3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.3 Número de coordenação 
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CÚBICO 
DE FACE 
CENTRADA 
NC = 12 
3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.3 Número de coordenação 
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HEXAGONAL 
COMPACTO 
NC = 12 
3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.4 Fator de empacotamento 
 Fator de empacotamento é a fração de volume da célula unitária 
efetivamente ocupada por átomos, assumindo que os átomos são esferas 
rígidas. 
FE = (n° átomos / célula) * volume cada átomo 
 volume da célula unitária 
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Exemplo 4: Calcule o fator de empacotamento do sistema cúbico (CS, CFC 
e CCC). 
3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.4 Fator de empacotamento 
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CS FE = (1 átomo / célula) * (4r3/3) 
 ao
3 
 FE = (1 átomo / célula) * (4r3/3) = 0,52 
 (2r)3 
 
CCC FE = (2 átomo / célula) * (4r3/3) 
 ao
3 
 FE = (2 átomo / célula) * (4r3/3) = 0,68 
 (4r/31/2)3 
CFC FE = (4 átomo / célula) * (4r3/3) 
 ao
3 
 FE = (4 átomo / célula) * (4r3/3) = 0,74 
 (4r/21/2)3 
Exemplo 4: Calcule o fator de empacotamento do sistema cúbico. 
3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.5 Densidade 
 A densidade teórica de um cristal pode ser calculada usando-se as 
propriedades da estrutura cristalina. 
 = (n° átomos / célula)*(massa atômica de cada átomo) 
 (volume da célula unitária) * (n° de Avogadro) 
Exemplo 5: Determine a densidade do Fe CCC, que tem um a0 de 2,866 A. 
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3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.5 Densidade 
A densidade medida é 7,870 Mg/m3. Por que a diferença da densidade 
teórica e a medida? 
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 = (2 átomos / célula)*(55,85 g/g.mol) 
 (23,55 10-24 cm3/célula) * (6,02 1023 átomos/g.mol) 
 
  = 7,879 Mg/m3 
 
Átomos/célula = 2 átomos 
Massa atômica = 55,85 g/g.mol 
Volume da célula unitária = a0
3 = 23,55 10-24 cm3/célula 
Número de Avogadro = 6,02 1023 átomos/g.mol 
Exemplo 5: Determine a densidade do Fe CCC, que tem um a0 de 2,866 A. 
3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
 
 Átomos Número de Parâmetro Fator de 
 por célula coordenação de rede empacotamento 
 
 CS 1 6 2R 0,52 
CCC 2 8 4R/(3)1/2 0,68 
CFC 4 12 4R/(2)1/2 0,74 
 
CS CCC CFC 
Resumo da estrutura cúbica 
 Metais não cristalizam no sistema hexagonal simples 
 o fator de empacotamento 
 é muito baixo 
 
 Cristais com mais de um tipo 
 de átomo podem cristalizar neste 
 sistema 
3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.6 Estrutura hexagonal simples 
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3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.7 Estrutura hexagonal compacta 
 O sistema Hexagonal Compacta é mais comum nos metais (ex: Mg, Zn) 
 Neste sistema cada átomo em seu nível está localizado acima ou 
abaixo do interstício de 3 átomos de níveis adjacentes. 
 
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3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.7 Estrutura hexagonal compacta 
 O número de coordenação deste sistema é 12, 
pois cada átomo toca 3 átomos no seu nível inferior, 
seis no seu próprio plano e mais três no nível 
superior ao seu, resultando em um. 
 
 A razão c/a ideal é 1,633, mas a maioria dos metais 
 tem essa razão modificada devido a presença de ligações não metálicas. 
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3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.8 Alotropia ou transformações polimórficas 
 Alguns metais e não-metais podem ter mais de uma estrutura cristalina 
dependendo da temperatura e pressão. 
 Materiais de mesma composição química, mas que podem 
 apresentar estruturas cristalinas diferentes, são denominados de 
 alotrópicos ou polimórficos. 
 
 Geralmente as transformações polimórficas são acompanhadas de 
mudanças na densidade e mudanças de outras propriedades físicas. 
 
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3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.8 Alotropia ou transformações polimórficas 
 
Carbono grafite hexagonal 
 diamante cúbico 
Nitreto de boro cúbico 
 grafite 
Fe CCC 
 CFC 
 
Titânio a 
 b 
 
SiC (chega ter 20 modificações cristalinas) 
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Exemplos 
Diamante 
Grafite 
3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.8 Alotropia ou transformações polimórficas 
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Tambiente FeCCC, 
 NC 8 
 FE 0,68 
 
910°C FeCFC 
 NC 12 
 FE 0,74 
 
1390°C FeCCC 
3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.8 Alotropia ou transformações polimórficas 
Exemplo 6: Calcule a mudança de volume que ocorre quando o FeCCC é 
aquecido e transforma-se em FeCFC. Na transformação o parâmetro de rede 
muda de aCCC = 2,863A para aCFC = 3,591A. 
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Volume da célula CCC = a3 = 23,467A3 
Volume da célula CFC = a3 = 46,307A3 
FeCCC 2 átomos 
FeCFC 4 átomos 
1FeCFC 2FeCCC 
Mudança de Volume = Vf - Vi * 100 = 46,307 - 46,934 * 100 
 Vi 46,934 
 Mudança de Volume = -1,34% 
3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.8 Alotropia ou transformações polimórficas 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Mudança de Volume = -1,34% 
TRANSFORMAÇÕES 
DE FASE VERSUS 
DILATOMETRIA: 
 a 906°C e 1409°C 
A diferença deve-se 
provavelmente a 
impurezas e à 
policristalinidade. 
 
3-3 CÉLULA UNITÁRIA 
3.3.7 Estrutura hexagonal compacta 
 O sistema Hexagonal Compacta é mais comum nos metais (ex: Mg, Zn) 
 Neste sistema cada átomo em seu nível está localizado acima ou 
abaixo do interstício de 3 átomos de níveis adjacentes. 
 
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3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
 As propriedades de muitos materiais são direcionais, por exemplo o 
módulo de elasticidade do FeCCC é maior na diagonal do cubo que na 
direção da aresta. 
3.4.1 Coordenadas dos pontos 
 Pode-se localizar os pontos das 
posições atômicas da célula 
unitária cristalina construindo-se 
um sistema de eixos coordenados. 
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3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária 
 Algumas direções da célula unitária são de particular importância, por 
exemplo os metais se deformam ao longo da direção de maior 
empacotamento. 
 Algumas propriedades dos materiais dependem da direção do cristal 
em que se encontram e são medidas. 
 Os índices de Miller das direções são usados para descrever estas 
direções. 
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3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária 
ÍNDICES DE MILLER PARA DIREÇÕES: 
1. Definir dois pontos por onde passa a direção 
2. Definir o ponto alvo e origem, fazendo-se: ALVO-ORIGEM 
3. Eliminar as frações e reduzir ao m.m.c. 
4. Escrever entre colchetes, e se houver n° negativo o sinal é colocado 
sobre o n°. 
[h k l] 
x y z 
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3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária 
Exemplo 7: Determine os Índices de Miller das direções A, B e C, da figura 
abaixo. 
Direção A: 
1. alvo= 1, 0, 0; origem= 0, 0, 0 
2. alvo - origem = 1, 0, 0 
3. sem frações 
4. [1 0 0] Direção B: 
1. alvo= 1,1,1; origem= 0, 0, 0 
2. alvo - origem = 1, 1, 1 
3. sem frações 
4. [1 1 1] 
Direção C: 
1. alvo= 0, 0, 1; origem= 1/2, 1, 0 
2. alvo - origem = -1/2, -1, 1 
3. 2 (-1/2, -1, 1) = -1, -2, 2 
4. [1 2 2] 
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3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária 
 Algumas observações: 
 - direção e suas múltiplas são idênticas [111]  [222]; 
 - índices de Miller simétricos não são da mesma direção 
 (direções e suas negativas não são idênticas) [111]  [111]; 
 
FAMÍLIA DE DIREÇÕES: conjunto de Índices de Miller onde todos tem 
mesma simetria. 
 
 Exemplo para 
 simetria cúbica: 
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Para o sistema cúbico: 
 A simetria da estrutura permite que as direções equivalentes sejam agrupadas: 
 Família de direções: 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária 
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<100> para as faces 
<110> para as diagonais das faces 
<111> para a diagonal do cubo 
 
CCC 
Família de direções <111> 
 empacotamento 
 atômico fechado 
CFC 
Família de direções <110> 
 empacotamento 
 atômico fechado 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária 
 Outra maneira de caracterizar as direções é através da distância de 
repetição, fator de empacotamento e densidade linear. 
DENSIDADE LINEAR: É o número de átomos por unidades de 
 comprimento. 
L = número de átomos 
 unidade de comprimento 
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3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária 
Exemplo 8: Calcular a densidade linear na direção [1 0 0] para o potássio. 
Dados: K - CCC 
 r - 0,2312 nm 
L = n° átomos 
 unid comprimento 
L = 1/2 + 1/2 
 ao 
ao= 4r/3
1/2
 
L = 0,187 átomos/Å 
Exercício: Qual a densidade linear na direção [1 1 0] para o Cu? 
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3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária 
DISTÂNCIA DE REPETIÇÃO: De quanto em 
quanto se repete o centro de um átomo. É o 
inverso da densidade linear. 
FATOR DE EMPACOTAMENTO LINEAR: É quanto da direção está 
definitivamente coberta por átomos. 
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3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária 
Exemplo 9: Calcule a distância de repetição, densidade linear e o fator de 
empacotamento para a direção [1 1 1] do Cu CFC. (ao=3,6151 A) 
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Distância de repetição 
 
 
o centro do átomo se repete 
a cada diagonal do cubo 
 
 
Dr = a0 3
1/2 
Dr = 3,6151 10
-8*31/2 
Dr = 6,262 10
-8 cm 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.2 Direções da célula unitária 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Densidade linear L 
 
 
L = 1/ Dr = 1/ 6,262 10
-8 
 
L = 1,597 10
7 átomos/cm 
 
 
Fator de empacotamento FE 
 
 
FE = 2r/ Dcubo = 0,408 
Exercício: Compare a Dr, rL e o FE para as direções [1 1 1] e [1 1 0] do Cu CFC. 
Exemplo 9: Calcule a distância de repetição, densidade linear e o fator de 
empacotamento para a direção [1 1 1] do Cu CFC. (ao=3,6151 A) 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.3 Planos 
 Um cristal possui planos de átomos que influenciam as propriedades e 
o comportamento de um material. 
 Os Índices de Miller também são determinados para planos. 
ÍNDICES DE MILLER PARA PLANOS: 
1. Definir três pontos onde o plano corta x, y e z. 
2. Calcular os recíprocos dos valores obtidos. 
3. Eliminar as frações sem reduzir ao m.m.c. 
4. Escrever entre parênteses, e se houver n° negativo o sinal é colocado 
sobre este n°. 
OBS.: Se o plano passar pela origem, desloque-a. (h k l) 
x y z 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.3 Planos 
Exemplo 10: Determine os Índices de Miller para os planos A, B e C da 
figura abaixo. Plano A: 
1. 1 1 1 
2. 1/1 1/1 1/1 
3. Não tem frações 
4. (1 1 1) 
Plano B: 
1. 1 2  
2. 1/1 1/2 1/ 
3. 2 1 0 
4. (2 1 0) 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Plano C: passa pela 
origem 
 (x’, y’, z’) 
1.  -1 
2. 1/  1/-1 1/ 
3. 0 -1 0 
4. (0 1 0) 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.3 Planos 
Observações importantes: 
- Iguais Índices de Miller para direção e 
plano, significa que estes apresentam 
perpendicularidade. 
 
 Exemplo: (1 0 0)  [1 0 0] 
 
 
- Índices de Miller simétricos são o mesmo 
plano, depende apenas do referencial 
(planos e seus negativos são idênticos). 
 
 Exemplo: (0 2 0)  (0 2 0) 
 
 
- Planos e seus múltiplos não são 
idênticos (densidade planar diferente). 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.3 Planos 
DENSIDADE PLANAR: É o número de átomos por unidades de 
comprimento. 
P = número de átomos no plano 
 área do plano 
FATOR DE EMPACOTAMENTO PLANAR: É quanto da área está 
efetivamente coberta por átomos. 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
FEP = área dos átomos 
 área do plano 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.3 Planos 
DISTÂNCIA INTERPLANAR: É a distância de dois planos com mesmos 
índices de Miller. 
D (h, k, l) = a0 
 (h2 + k2 + l2)1/2 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Para o 
sistema 
cúbico 
d (110) = a 
 (12 + 12 + 02)1/2 
 
d (110) = a 
 21/2 
 
Ou, geometricamente: 
d = dface = a 2
1/2 
 2 2 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.3 Planos 
Exemplo 11: Calcule a densidade planar e o fator de empacotamento 
planar para os planos (0 1 0) e (0 2 0), para o sistema cúbico simples do 
polônio, o qual tem a0 = 3,34 10
-8 cm. 
planar (0 2 0) = zero 
FEplanar (0 2 0) = zero 
planar = n° átomos 
 área 
planar (0 1 0) = 1 átomo = 8,96 10
14 átomos/cm2 
 ao
2
 
FEplanar = área de átomos por face 
 área da face 
 
FEplanar (0 1 0) = 1 átomo (pr
2)= 0,79 
 ao
2 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
(010) 
(020) 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.3 Planos 
Exemplo 12: Calcule a distância interplanar entre dois planos adjacentes 
[1 1 1 ] no ouro, que tem a0 = 4,0786 Å. 
d (h, k, l) = a0 
 (h2 + k2 + l2)1/2 
d (h, k, l) = 4,0786 A = 2,355 Å 
 (12 + 12 + 12)1/2 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.3 Planos 
Família de planos: em cada célula unitária os planos formam um grupo 
equivalente que tem índices particulares devido a orientação de suas 
coordenadas. 
Exemplo: planos da família {1 1 0} (1 1 0) (1 0 1) (0 1 1) 
(1 1 0) (1 0 1) (0 1 1) 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
O átomo do centro do cubo é interceptado pela família de planos {111} para o CCC? 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.3 Planos 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
FAMÍLIA DE PLANOS {110} é paralelo a um eixo 
 z 
 y 
 x 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.3 Planos 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
FAMÍLIA DE PLANOS {111} 
  A simetria do sistema cúbico faz com que a família de planos tenha o 
mesmo arranjo e densidade 
  Deformação em metais envolve deslizamento de planos atômicos 
 Deslizamento ocorre mais facilmente nos planos e 
 direções de maior densidade atômica 
 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
3.4.3 Planos 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
CCC 
Família de planos {110}: 
maior densidade atômica 
 
 
CFC 
Família de planos {111}: 
maior densidade atômica 
 
 
3.4.4 Índices de Miller para a Célula Hexagonal 
 Chamados índices de Miller Bravais, devido a modificação em relação 
ao sistema cristalino 
 Estabelece-se 4 eixos, 3 coplanares 
 Tem-se 4 interseções e 4 índices de Miller 
 Índices de Miller Bravais: h k i l 
 
 onde: h + k = - i 
 
 Similar aos índices de Miller para plano da estrutura cristalina cúbica, 
determina-se os Índices de Miller Bravais. 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.4.4 Índices de Miller para a Célula Hexagonal 
 Direções na célula 
unitária hexagonal 
[h k i l] 
 
 Eixos: a1 a2 a3 c 
 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.4.4 Índices de Miller para a Célula Hexagonal 
Exemplo 13: Determine os índices de Miller para os planos A e B e para 
as direções C e D 
Plano A: 
1.    1 
2. 1/  1/  1/  1/1 
3. 0 0 0 1 
4. (0 0 0 1) ou (0 0 1) 
Plano B: 
1. 1 1 -1/2 1 
2. 1/1 1/1 -2/1 1/1 
3. 1 1 -2 1 
4. (1 1 -2 1) ou (1 1 1) 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.4.4 Índices de Miller para a Célula Hexagonal 
Direção C: 
1. alvo= 0, 0, 0, 1; origem= 1, 0, 0, 0 
2. alvo - origem = -1, 0, 0, 1 
3. sem frações 
4. [1 0 01] 
Direção D: 
1. alvo= 0, 1, 0, 0; origem= 1, 0, 0, 0 
2. alvo - origem = -1, 1, 0, 0 
3. sem frações 
4. [1 1 0 0] 
3-4 DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Exemplo 13: Determine os índices de Miller para os planos A e B e para 
as direções C e D 
Sistema cúbico 
Sistema 
hexagonal 
compacto 
3-5 METAIS 
Sumarizando: os metais cristalizam preferencialmente em sistemas 
cúbico(CCC, CFC) ou hexagonal (HC). Logo, a estrutura cristalina destes 
materiais já foi estudada. 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
CCC CFC 
Características de cristais metálicos comuns 
 
Estrutura a0 x R átomos NC FE Metais 
 por célula Típicos 
 
 CS a0 = 2R 1 6 0,52 Po 
 
 CCC a0 = 4R/3
1/2 2 8 0,68 Fe, Ti, W, Mo, 
 Nb, Ta, K, 
 Na, V, Cr, Zr 
 
 CFC a0 = 4R/2
1/2 4 12 0,74 Fe, U, Al, Au, 
 Ag, Pb, Ni, Pt 
 
 HC a0 = 2R 6 12 0,74 Ti, Mg, Zn, Be, 
 c0 = 1,633 a0 Co, 
Zr, Cd 
3-5 METAIS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
 Muitos materiais cerâmicos possuem ligações iônicas entre 
ânions e cátions. 
 possuem estruturas cristalinas que 
 asseguram a neutralidade elétrica. 
 
 Relação de raios: ânion (geralmente maior) 
 e cátion 
 
 Considera-se que o ânion vai formar a rede cristalina e o cátion 
preencherá os vazios da rede. 
 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.6.1 Introdução 
determina o tipo de 
arranjo cristalino. 
 Estrutura cristalina de uma célula unitária 
 existem pequenos espaços não 
 ocupados (vazios) sítios intersticiais. 
 
 Podem ser ocupados por átomos estranhos 
 a rede ex: impurezas e elementos liga nos metais 
 
 Estruturas iônicas (como muitos cerâmicos) podem ser 
entendidas como o ânion formando a rede cristalina e o cátion 
preenchendo os sítios intersticiais, respeitando a neutralidade 
iônica. 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.6.2 Sítios intersticiais 
Localização dos sítios intersticiais nas células unitárias cúbicas e hexagonal. 
Apenas um de cada grupo está representado. 
3.6.2 Sítios intersticiais 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.6.2 Sítios intersticiais 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
• Um átomo em um sítio intersticial toca dois ou mais átomos da 
célula unitária  NC 
• O tamanho de cada sítio intersticial pode ser calculado em 
termos do tamanhodos átomos da posição regular da rede. 
 
 Exemplo 14: Supondo uma esfera, calcule o tamanho de 
 um sítio intersticial: (a) cúbico (b) octaédrico. 
3.6.2 Sítios intersticiais 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
2R + 2r = 2R 2½ 
r = 2½ R - R 
r = (2½ - 1) R 
 
r /R= 0,414 
2R + 2r = 2R 3½ 
r = 3½ R - R 
r = (3½ - 1) R 
r /R= 0,732 
Exemplo 14: Supondo uma esfera, calcule o tamanho de um sítio intersticial: (a) cúbico (b) 
octaédrico. 
 
3.6.2 Sítios intersticiais 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
O átomo intersticial 
 
- tamanho menor do 
sítio intersticial 
- tamanho maior do 
sítio intersticial 
Razão entre raios 
determina NC e a 
localização do interstício 
2 0 - 0,155 
3 0,155 - 0,225 
4 0,225 - 0,414 
6 0,414 - 0,732 
8 0,732 - 1,000 
NC Razão raios 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.6.3 Tipos de estruturas 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.6.3.1 Teoria da rede cristalina para cristais iônicos 
Modelo matemático da estrutura cristalina de cristais iônicos 
 cálculo de propriedades do cristal: energia de ligação e espaçamento de 
 equilíbrio dos íons no cristal 
Considera-se que: 
 - rede construída com esferas rígidas que tocam-se em uma direção; 
 as esferas tem um raio fixo e definido; 
 - as esferas são eletricamente carregadas com cargas elementares; 
 - as cargas formam um arranjo periódico; 
 - a rede empacota de forma simples: cúbico, hexagonal ou cúbico de face centrada 
Ex: NaCl 
Características da rede: 
 
- Arranjo periódico de esferas 
- Esferas rígidas com raio fixo e definido 
- Esferas carregadas com cargas elementares 
- Tamanho dos íons: Na+: 0,98Ả e Cl-: 1,81Ả 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Cálculo da Energia de ligação entre duas esferas vizinhas 
 
2,1
2
21
0
2,1
4
1
r
ezz
E 

121  zz
2,1
2
0
2,1
4
1
r
e
E 

As outras esferas também devem ser consideradas 
 CADEIA LINEAR 
- + - + - + - + + 
a0 d0 
1 2 3 4 5 2’ 3’ 4’ 5’ 



 
2
1413'12141312
2... '''
k
CLCL EEEEEEEE
Como: 
CL
k
CL
r
e
E
2
04
1
)1( 

e 
041031021
3 2 drdrdr 
Então: 












 ...
5
1
4
1
3
1
2
1
1
4
2
00
2
d
e
ECL 
ln 2 
00
2
4 d
e
AE CLCL 

ACL = 2 ln2 = 1,386 
3.6.3.1 Teoria da rede cristalina para cristais iônicos 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
 CADEIA LINEAR 
Por comparação, a energia de ligação de um simples íon em uma molécula de dois 
íons, separado por uma distância d0, é: 
00
2
4 d
e
EMol 

Logo, ACL é a razão da energia de ligação de um íon na cadeia linear em relação a um 
íon na molécula: 
Mol
CL
CL
E
E
A 
IMPORTANTE: ACL > 1 significa que a situação de um íon na cadeia linear é energeticamente 
mais favorável que em uma molécula de dois íons, embora na cadeia linear, há a repulsão 
entre cargas. 
ENERGIA DE LIGAÇÃO EM UMA REDE TRIDIMENSIONAL? 
3.6.3.1 Teoria da rede cristalina para cristais iônicos 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
ENERGIA DE LIGAÇÃO EM UMA REDE TRIDIMENSIONAL 
Caso dos cristais iônicos CONSTANTE DE MADELUNG 
Energia de ligação de um íon na rede, EG é: com i, k = 1...N 
 
Pode-se escrever que: com e A = constante de Madelung 
 
Então a primeira aproximação de EG é: 
 
 
Fórmula geral para o cálculo da energia da rede em um cristal iônico: 



ki
ikG EE

ik
G
nd
e
E
1
4
1
0
2
0
  A
nik
1
00
2
4 d
e
AEG 

Significado de A: 
Razão entre a energia de 
ligação do íon na rede 
cristalina e a energia de 
ligação do íon na 
molécula 
N
d
ezz
AEG
00
2
21
4

3.6.3.1 Teoria da rede cristalina para cristais iônicos 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
ENERGIA DE LIGAÇÃO EM UMA REDE TRIDIMENSIONAL 
Constante de Madelung de vários cerâmicos: 
Tipo Estrutura Nome Valor de A 
AX NaCl Cloreto de sódio 1,748 
CsCl Cloreto de césio 1,763 
ZnS Blenda de zinco 1,638 
ZnS Wurtzita 1,641 
AX2 CaF2 Fluorita 5,03 
A2X3 Al2O3 Corindum 25,0 
• Os valores de A para a estrutura AX não são 
muito maiores que 1; 
• Diferença no tipo de estrutura AX difere muito 
pouco os valores de A; 
• A ligação mais forte é da estrutura do corindum 
Material Eteorica (kJ/mol) Eexperimental (kJ/mol) E/ Eteorica 
NaCl 858 766 - 0,11 
CsCl 687 649 - 0,05 
• Os valores medidos são 
menores que os valores 
teóricos 
• A diferença pode ser 
explicada pelo potencial de 
repulsão 
Verificação experimental da energia de ligação calculada 
3.6.3.1 Teoria da rede cristalina para cristais iônicos 
 Os compostos cerâmicos mais simples possuem igual 
número de átomos metálicos e não-metálicos. Podem ser 
iônicos como o MgO (Mg+2, O-2), ou covalentes como o ZnS. 
 
 NC 
Três formas principais: CsCl 8 
 NaCl 6 
 ZnS 4 
 
3.6.3.2 Estruturas do tipo AX 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
 
Tipo CsCl 
 Cada átomo A tem 
oito vizinhos X 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
rCs+ = 1,69 Å 
 RCl
- = 
1,81Å 
NC = 8 
r/R=0,92 
3.6.3.2 Estruturas do tipo AX 
Tipo CsCl 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Dc = 2 (R+r) 
Os íons se tocam pela diagonal do cubo 
ao= 2(r+R) 
 31/2 
3.6.3.2 Estruturas do tipo AX 
Tipo NaCl 
 Cada átomo A tem 
seis vizinhos intersticiais 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
rNa+= 1,02 Å 
 RCl
- = 
1,81Å 
NC = 6 
r/R=0,56 
Exemplos: MgO, MnS, LiF, FeO 
Na 
Cl 
3.6.3.2 Estruturas do tipo AX 
Tipo NaCl 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Os íons se tocam pela aresta do cubo 
ao= 2(r+R)
 
3.6.3.2 Estruturas do tipo AX 
Tipo ZnS 
 Os cátions ocupam 4 das 8 
posições intersticiais tetraedrais 
possíveis. 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
rZn+= 0,74 Å 
 RS
- = 
1,84Å 
NC = 4 
r/R=0,40 
Exemplos: BeO 
3.6.3.2 Estruturas do tipo AX 
Tipo ZnS 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Dc = 4 (R+r) 
Os íons se tocam pela diagonal do cubo 
ao= 4(r+R) 
 31/2 
3.6.3.2 Estruturas do tipo AX 
Tipo NiAs 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Estrutura hexagonal com seis interstícios com Ni+2 
3.6.3.2 Estruturas do tipo AX 
 Relação de 1 
cátion para 2 ânion 
 Estrutura cubica 
de face centrada 
 8 interstícios 
octaédricos ocupados 
3.6.3.3 Estruturas do tipo AnXm 
Ex: estruturas AX2 ou A2X3 
Tipo AX2 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Exemplos: UO2, PuO2, 
ThO2 
CaF2 
Exemplo: UO2, interstícios octaedrais disponíveis combustível nuclear
 produtos de fissão acomodados nas posições vazias. 
Exemplo: ZrO2 
Tipo AX2 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.6.3.3 Estruturas do tipo AnXm 
Exemplo: Pirita 
Tipo AX2 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGSFeS2 
Fe 
S 
3.6.3.3 Estruturas do tipo AnXm 
Exemplo: Al2O3 
Tipo A2X3 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Mantém 
neutralidade 
elétrica devido a 
valência 
3.6.3.3 Estruturas do tipo AnXm 
Tipo BaTiO3 
3.6.3.4 Estruturas do tipo AnBmXP 
 Óxido duplo com dois 
cátions 
 Estrutura mais complexa 
devido a presença de mais 
um átomo 
 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Estrutura da Perovskita 
Exemplos: CaTiO3, SrZnO3, SrSnO3, Ferritas e Espinélios 
Tipo FeAl2O4 
 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Estrutura do Espinélio 
A  metal valência +2 
B  metal valência +3 
 
O  forma rede CFC 
A  interstício octaédrico 
B  interstício tetraédrico 
 
Uso: materiais magnéticos não 
metálicos em aplicações 
eletrônicas 
3.6.3.4 Estruturas do tipo AnBmXP 
Exemplo 15: Calcule a densidade e o fator de empacotamento do MgO, 
sabendo-se que MMg é 24,31 g/mol e do MO é 15,99 g/mol. 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
= m/V 
Massa cél. unit.= 4Mg+2 + 4O-2  (4.MMg+ 4. MO)/6,02.10
23 íons= 26,78 . 10-23 g 
Volume da célula unitária = a0
3 = 0,0621 . 10-27m3 
= 26,78 . 10-23 g/ 0,0621 . 10-27 m3 = 4,31 . 106 g/m3 ou 4,31 g/cm3 
 
 
FE = Víons/Vcél. Unit.
 
Vol íons cél. unit.= 4VMg+2 + 4VO-2  (4. 4/3 r
3 + 4. 4/3 R3 )= 0,0433 . 10-29 m3 
Volume da célula unitária = a0
3 = 0,0621 . 10-27 m3 
FE = 0,0433 . 10-29 m3 / 0,0621 . 10-27 m3 = 69,8% 
 
3-6 CRISTAIS IÔNICOS 
3.6.3 Tipos de estruturas 
Solução: = m/V FE = Víons/Vcél. Unit. ao=? 
rMg+2= 0,066 nm RO-2 = 0,132 nm 
rMg+2/ RO-2 = 0,5  NC=6 CFC tipo NaCl 
ao=(2 RO-2 + 2 rMg+2 ) = 0,396 nm 
C 
 Ocupação dos interstícios ~ ZnS 
 Totalmente covalente 
 Forma metaestável 
3.7.1 Estruturas do Diamante 
3-7 CRISTAIS COVALENTES 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Exemplos: Ge, Si, Pb 
3.7.1 Estruturas do Diamante 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Dc = 8r 
Os átomos se tocam 
pela diagonal do cubo 
ao= 8r 
 31/2 
3-7 CRISTAIS COVALENTES 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
 
Solução: 
= m/V 
 
Massa cél. unit.= 8 C  8 x 12/6,02.1023 = 15,95 . 10-23 g 
Volume da célula unitária: ao
3 ao= 8 r / 3 
0,5 r = 0,077 nm 
 ao= 8 . 0,077 nm / 3 
0,5 = 0,356 nm 
 a0
3 = 0,0451 . 10-27m3 
= 15,95 . 10-23 g / 0,0451 . 10-27 m3 = 3,54 . 106 g/m3 ou 3,54 g/cm3 
Exemplo 16: Calcule a densidade do Diamante. 
3.7.1 Estruturas do Diamante 
3-7 CRISTAIS COVALENTES 
 Tipicamente: amorfos 
(ordem a curto alcance) 
 Sob condições especiais: 
estrutura cristalina. 
 Ex.: polietileno  estrutura 
ortorrômbica 
3-8 POLÍMEROS 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Difração de raios-X diferentes comprimentos de onda 
3-9 DIFRAÇÃO DE RAIOS X 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Espectro de radiação eletromagnética, salientando o 
comprimento de onda para a radiação X. 
A luz visível tem comprimento de onda da ordem de 1000 nm – ranhuras 
em um vidro 
3-9 DIFRAÇÃO DE RAIOS X 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Na estrutura cristalina: 
• Interação do fóton com o 
orbital de elétrons. 
• O empilhamento de átomos 
tem a mesma função que as 
ranhuras da figura ao lado. 
3-9 DIFRAÇÃO DE RAIOS X 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
 O FENÔMENO DA DIFRAÇÃO: 
 
 Quando um feixe de raios x é dirigido à um material cristalino, esses 
raios são difratados pelos planos dos átomos ou íons dentro do cristal 
• T= fonte de raios X 
• S= amostra 
• C= detector 
• O= eixo no qual a amostra e o 
detector giram 
Detector 
 Fonte 
O DIFRATÔMETRO: 
3-9 DIFRAÇÃO DE RAIOS X 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
• Para que ocorra a difração, o feixe de raios X precisa estar em fase com os planos 
do cristal. 
 
• De outra maneira, interferências destrutivas de ondas ocorrem e não é possível 
detectar um feixe de difração intenso. 
ABC = n 
AB = BC = d sen 
Então: 
 
n = 2d sen  
3-9 DIFRAÇÃO DE RAIOS X 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
• Na interferência construtiva, com feixes em fase, a diferença no 
comprimento da trajetória dos feixes de raios X adjacentes é um 
número inteiro de comprimentos de onda. 
ABC = n 
AB = BC = d sen 
• Esta relação é dada pela equação de Bragg: 
 n= 2d sen  
onde d é o espaçamento atômico e  é o ângulo de difração com a 
superfície (2 = ângulo de difração - ângulo medido experimentalmente) 
d é o espaçamento interplanar – função dos índices de Miller para 
planos. 
Distância interplanar (exemplos): 
Cúbico 
 Dhkl= ao/(h
2+k2+l2)0,5 
 
 
 
 
 
 
Hexagonal 
 Dhkl= ao/[4/3(h
2+hk+k2)+l2(ao
2/co
2)]0,5 
3-9 DIFRAÇÃO DE RAIOS X 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
CS CCC CFC 
 
Para o sistema cúbico (estrutura de metais): 
A lei de Bragg é necessária mas não suficiente. As células unitárias não 
primitivas provocam difração não prevista pela lei de Bragg para certos 
ângulos. 
 
3-9 DIFRAÇÃO DE RAIOS X 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
 Estrutura Difração não ocorre Difração ocorre 
 cristalina 
 CCC h+k+l=número par h+k+l=número ímpar 
 CFC h, k, l (par e ímpar) h, k, l (ou par ou ímpar) 
 HC h+2k=3n, l par (n é inteiro) todos outros casos
 
3-9 DIFRAÇÃO DE RAIOS X 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Exemplo de difração de raios X em um pó de alumínio. 
 = 0,1542 nm (radiação CuKa) 
3-9 DIFRAÇÃO DE RAIOS X 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Exemplo 17: Uma amostra de ferro CCC foi colocada num difractômetro de 
raios X incidentes com = 0,1541nm. A difração pelos planos {110} ocorreu 
para 2= 44,704o. Calcule o valor do parâmetro de rede do ferro CCC 
(considere a difração de 1a ordem, com n=1). 
Solução: 
d[110] 
2= 44,704o = 22,352o 
= 2.d[hkl] sen  
d[110]=  / 2 sen  = 0,1541nm / 2(sen 22,35
o) = 0,2026 nm 
ao(Fe) 
d[110]= ao / (h
2+k2+l2)0,5 
ao(Fe)= d[110]= ao / (h
2+k2+l2)0,5 = 0,2026nm (1,414) = 0,287 nm 
3-10 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Rede sem defeitos, ideal, 
T= 0K Propriedades:EL, E, 
diagrama de fases, 
equilíbrio termodinâmico 
ESTRUTURA CRISTALINA 
PERTURBAÇÕES NA ESTRUTURA CRISTALINA 
Estágio 1: vibração da rede, T>0 
Propriedades: k, a, C 
Estágio 2: defeitos pontuais 
(vacâncias, átomos intersticiais, 
substitucionais, Frenkel e Schottky) 
na rede 
Propriedades: difusão, processos 
de transporte condução iônica, 
reações de estado sólido, 
transformações de fase, evolução 
da microestrutura, deformação em 
Televadas 
Estágio 3: defeitos lineares, discordâncias 
Propriedades: mecânicas (deformação 
plástica), fragilidade, dureza 
Estágio 4: defeitos planares,falhas, 
contornos de grãos, de fases. 
Propriedades: magnéticas e dielétricas 
Não apresenta rede 
cristalina, defeito 
volumétrico. 
ESTRUTURA AMORFA 
• Todos os materiais apresentam imperfeições no arranjo de seus átomos, que reflete 
no comportamento do mesmo. 
 
• Controlar as imperfeições, significa obter materiais com diferentes propriedades e 
para novasaplicações. 
 
• Podem existir diferentes tipos de imperfeições na rede: 
i) vibrações da rede: quantizadas por fônons 
ii) defeitos pontuais: vacâncias, átomos intersticiais, átomos substitucionais, defeito 
Frenkel e Schottky; 
iii) defeitos lineares: discordâncias; 
iv) defeitos planares: superfícies interna e externa e interfaces (falhas de 
empilhamento, contorno de fases, superfícies livres); 
v) defeitos volumétricos: estruturas amorfas ou não-cristalinas 
Classificados pela ordem 
de grandeza na estrutura 
3-10 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
Defeitos possíveis em um material a partir da dimensão em 
 que ocorrem na estrutura 
3-10 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.10.1 Vibrações na rede 
As vibrações da rede são quantizadas por fônons. 
 
 Configuração cristalina ideal só ocorre 
 hipoteticamente 
 
 temperatura do zero 
 absoluto 
 
 demais temperaturas 
 
 vibração dos átomos na rede provoca 
 distorções no cristal perfeito; 
3-10 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
3.10.2 Defeitos pontuais 
Podem ser classificados segundo: 
 
 FORMA 
 
 
 ORIGEM DO DEFEITO 
 
 
 ESTEQUIOMETRIA 
- vacância 
- átomo intruso 
- schottky 
- frenkel 
- intrínseco 
- extrínseco 
 - sub rede de cátions 
não 
estequiométrico 
 - sub rede de ânions 
3-10 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
VACÂNCIAS: 
 Também denominado de lacuna 
 É a falta de um átomo na rede cristalina 
 Pode resultar do empacotamento 
imperfeito na solidificação inicial, 
ou decorrer de vibrações térmicas 
dos átomos em temperaturas elevadas 
3.10.2 Defeitos pontuais 
3.10.2.1 Quanto à forma 
3-10 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
VACÂNCIAS: 
 O número de vacâncias varia com a temperatura 
nv = n exp (-Q/RT) 
onde: 
nv: n° de vacâncias/cm3 
n: n° de pontos na rede/cm3 
Q: energia necessária para produzir a vacância (J/mol) 
R: cte dos gases (8,31 J/molK) 
T: temperatura em K 
3.10.2 Defeitos pontuais 
3.10.2.1 Quanto à forma 
3-10 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
VACÂNCIAS: 
Exemplo 18: Calcule o n° de vacâncias por centímetro cúbico e o n° de 
vacâncias por átomo de cobre, quando o cobre está (a) a temperatura 
ambiente, (b) 1084°C. Aproximadamente 83600 J/mol são requeridos para 
produzir uma vacância no cobre. 
Dados: 
a0 = 3,6151 x 10
-8 cm 
Q = 83600 J/mol 
R = 8,31J/mol K 
3.10.2 Defeitos pontuais 
3.10.2.1 Quanto à forma 
3-10 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
VACÂNCIAS: 
nv = n exp (-Q/RT) 
Exemplo 18 - Solução 
O número de átomos de cobre por parâmetro da rede por cm3 é: 
n = n° átomos/célula 
 volume da célula unitária 
n = 4 átomos/célula = 8,47 x 1022 átomos Cu/cm3 
 (3,6151 x 10-8)3 
 O que se quer saber? 
nv a Tamb e a 1084°C 
3.10.2 Defeitos pontuais 
3.10.2.1 Quanto à forma 
3-10 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
VACÂNCIAS: 
nv = n exp (-Q/RT) 
Exemplo 18 - Solução 
(a) Tambiente: 
T = 25 + 273 = 298 K 
nv = (8,47 x 10
22) exp [-83600/(8,31 x 298)] 
nv = 1,847 x 10
8 vacâncias/cm3 
nv = 1,847 x 10
8 vacâncias/cm3 
n 8,47 x 1022 átomos de Cu/cm3 
nv = 2,18 x 10
-15 vacâncias/ átomos de Cu 
n 
3.10.2 Defeitos pontuais 
3.10.2.1 Quanto à forma 
3-10 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
VACÂNCIAS: 
Exemplo 18 - Solução 
nv = n exp (-Q/RT) 
(b) T = 1084°C: 
T = 1084 + 273 = 1357 K 
nv = (8,47 x 10
22) exp [-83600/(8,31 x 1357)] 
nv = 5,11 x 10
19 vacâncias/cm3 
nv = 5,11 x 10
19 vacâncias/cm3 
n 8,47 x 1022 átomos de Cu/cm3 
nv = 6,03 x 10
-4 vacâncias/ átomos de Cu 
n 
3.10.2 Defeitos pontuais 
3.10.2.1 Quanto à forma 
3-10 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
VACÂNCIAS: 
Exemplo 19: O ferro tem a densidade medida de 7,87 Mg/m3. O parâmetro 
de rede do Fe CCC é 2,866 A. Calcule a percentagem de vacâncias no ferro 
puro. 
Dados: 
a0 = 2,866 A 
MFe = 55,85g/gmol 
% vacâncias = ? 
3.10.2 Defeitos pontuais 
3.10.2.1 Quanto à forma 
3-10 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS 
VACÂNCIAS: 
Exemplo 19 - Solução 
Utilizando-se a densidade medida pode-se calcular o n° de átomos por 
célula unitária: 
 = n° átomos/célula x massa de cada átomo 
 N° Avogadro x volume da célula unitária 
7,87 Mg/m3 = n° átomos/célula x 55,85 g/gmol 
 6,02 x 1023 x (2,866 x 10-8)3 
n°át/célula = 1,998 Deveriam ser 2 átomos no Fe CCC 
% Vacâncias = (2 - 1,998) x 100 / 2 = 0,1% 
3.10.2 Defeitos pontuais 
3.10.2.1 Quanto à forma 
3-10 IMPERFEIÇÕES NO ARRANJO CRISTALINO 
Ciência dos Materiais - DEMAT - EE - UFRGS