Trabalho Matemática Aplicada PD

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Trabalho da Disciplina: Matemática Aplicada
2017
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 Situação problema:
Considerando que fui contratado pelos proprietários da Fábrica Sucos Saudável Ltda. para ajudá-los com a análise quanto aos preços praticados na comercialização de sucos naturais.
Temos o seguinte cenário;
 Atualmente, a fábrica vende 950 litros de sucos naturais por dia, operando no sistema de entrega expressa com o preço de venda de R$ 2,00 por 100 ml de suco de qualquer sabor. No entanto, após a realização de uma pesquisa de mercado, os empresários verificaram que seus preços são os menores entre os concorrentes, fato que demandou a realização de um estudo para compreensão quanto à possibilidade um aumento.
A pesquisa realizada junto ao mercado consumidor concluiu que, para um aumento de R$0,15 no preço de 100 ml, 16 litros de sucos deixariam de ser vendidos por dia, despertando, então, o interesse dos empresários quanto à obtenção de mais informações sobre o referido cenário.
Assim, na função de contratado para essa consultoria, preciso estabelecer as informações requeridas pelo cliente e apresentadas a seguir.
 
Informações requeridas:
1. Determine a função do preço do litro do suco em função do aumento.
2. Aponte a função da quantidade de suco (em litro) vendido em relação ao aumento.
3. Desenvolva a função da receita da fábrica em relação ao aumento.
4. Defina qual deveria ser o preço por 100 ml de suco para maximização da receita dos empresários.
5. Considerando que seus três principais concorrentes vendem os sucos naturais aos preços de R$41,20, R$38,60 e R$44,00, desenvolva um parecer quanto ao possível aumento no preço dos sucos.
Informações apresentadas:
1. Determine a função do preço do litro do suco em função do aumento. 
 O preço atual é de R$ 2,00 por 100 ml o que para um litro será o valor de R$ 20,00.
Então podemos falar que;
P(x) = 20 + x
Onde x representa a variação do valor do litro do suco. Se aumentarmos R$ 0,15 no preço de 100 ml estará aumentando R$ 1,50 / litro e teremos um novo valor do suco que passa a ser de R$ 21,50
P(1,50) = 20 + 1,50 
P(1,50) = 21,50
 
2. Aponte a função da quantidade de suco (em litro) vendido em relação ao aumento.
Atualmente a fabrica vende 950 litros de suco/dia e com o aumento de R$ 1,50 no valor do litro do suco teremos que subtrair a perda de venda ocorrida pelo aumento desse valor; Onde diz que para cada R$ 1,50 existe uma perda de 16 litros.
Podemos afirmar que: 
Q(x) = a – bx
Sendo que Q(x) é 934 e x a variação no preço do suco, dizemos que:
934= 950 – b*1,50
1,50b = 950 – 934
1,50b = 16
b = 16/1,50 = 10,666
3. Desenvolva a função da receita da fábrica em relação ao aumento.
A receita bruta da fábrica é o resultado do preço do litro pela quantidade vendida;
R(x) = P(x) * Q(x) ; Onde R é receita, P é o preço e Q a quantidade
R(x) = (20+x) * (950-10,66X)
R(x) = 19.000 – 213,2x + 950x – 10,66x²
R(x) = -10,66x² + 736,8x + 19.000
4. Defina qual deveria ser o preço por 100 ml de suco para maximização da receita dos empresários.
x que representa o aumento que maximiza a receita é a coordenada do vértice da parábola o qual é p seu ponto máximo. Então teremos;
R(x) = -10,66x² + 736,8x + 19.000
a = -10,66 ; b = 736,8 e c =19.000
xv = - b/2a
xv = - 736,8/2*(-10,66)
xv = - 736,8/(-21,32)
xv = 34,55
Ou seja, quando o aumento for de R$ 34,55 no litro, teremos a receita máxima.
34,55 / 10 = 3,45 + 2 = 5,45 (por cada 100 ml)
5. Considerando que seus três principais concorrentes vendem os sucos naturais aos preços de R$41,20, R$38,60 e R$44,00, desenvolva um parecer quanto ao possível aumento no preço dos sucos.
Considerando que o aumento de R$ 0,15 em 100 ml do suco o que representa R$ 1,50 de aumento no litro do suco elevando seu preço para R$ 21,50 ainda o deixa com o valor muito abaixo em relação aos seus concorrentes e levando em consideração que para obter a receita máxima o valor do litro deverá ser de R$ 54,50 esse deveria ser o novo preço, justamente para garantir a máxima receita. 
6. Organize a memória de cálculo das etapas anteriores, bem como suas conclusões quanto aos resultados.
Memória Q.1
 P(x) = 20 + x
Onde x representa a variação do valor do litro do suco. Se aumentarmos R$ 0,15 no preço de 100 ml estará aumentando R$ 1,50 / litro e teremos um novo valor do suco que passa a ser de R$ 21,50
P(1,50) = 20 + 1,50 
P(1,50) = 21,50
Memória Q.2
Q(x) = a – bx
Sendo que Q(x) é 934 e x a variação no preço do suco, dizemos que:
934= 950 – b*1,50
1,50b = 950 – 934
1,50b = 16
b = 16/1,50 = 10,666
Memória Q.3
A receita bruta da fábrica é o resultado do preço do litro pela quantidade vendida;
R(x) = P(x) * Q(x) ; Onde R é receita, P é o preço e Q a quantidade
R(x) = (20+x) * (950-10,66X)
R(x) = 19.000 – 213,2x + 950x – 10,66x²
R(x) = -10,66x² + 736,8x + 19.000
Memória Q.4
x que representa o aumento que maximiza a receita é a coordenada do vértice da parábola o qual é p seu ponto máximo. Então teremos;
R(x) = -10,66x² + 736,8x + 19.000
a = -10,66 ; b = 736,8 e c =19.000
xv = - b/2a
xv = - 736,8/2*(-10,66)
xv = - 736,8/(-21,32)
xv = 34,55
Ou seja, quando o aumento for de R$ 34,55 no litro, teremos a receita máxima.
34,55 / 10 = 3,45 + 2 = 5,45 (por cada 100 ml)
Conclusão Q.5
Considerando que o aumento de R$ 0,15 em 100 ml do suco o que representa R$ 1,50 de aumento no litro do suco elevando seu preço para R$ 21,50 ainda o deixa com o valor muito abaixo em relação aos seus concorrentes e levando em consideração que para obter a receita máxima o valor do litro deverá ser de R$ 54,50 esse deveria ser o novo preço, justamente para garantir a máxima receita.