Apostila hidráulica e Hidrologia - Uniplan

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Hidráulica e Hidrologia
Prof. Dr. Klecius R. S. Celestino
Aula 2:
Escoamento sobre regime permanente. Equação da continuidade: conceito da 
equação da continuidade. Aplicações na engenharia e exercícios.
Escoamento dos fluidos perfeitos
• Hidrodinâmica
• A hidrodinâmica tem por objeto o estudo do movimento dos fluidos 
perfeitos.
• O que é um fluido perfeito ou ideal?
O que são “Fluidos Ideais”?
 Por definição:
“Escoamento ideal ou escoamento sem 
atrito, é aquele no qual não existem 
tensões de cisalhamento atuando no 
movimento do fluido”.
O que são “Fluidos Ideais”?
 De acordo com a lei de Newton, para um fluido em 
movimento esta condição é obtida
- Quando a viscosidade do fluido é nula (ou desprezível):
µ = 0
ou
-Quando os componentes da velocidade do escoamento não 
mais exibem variações de grandeza na direção perpendicular 
ao componente da velocidade considerada:
= 0
dy
dvx
Condições Ideais de 
Escoamento
Um fluido que quando em escoamento 
satisfaz as condições acima, é 
chamado de fluido ideal.
Fluidos Incompressíveis
Compressíveis:
ρ→ varia
 Incompressíveis:
ρ→ é constante
 Quanto à variação no tempo:
 Permanente: quando as propriedades em
uma dada seção do escoamento não se 
alteram com o decorrer do tempo (força, 
velocidade, pressão). Linhas de corrente, 
trajetórias e linhas de emissão coincide – A 
vazão é constante!;
▪ Figura A-4.3 (pg 60)
 Não Permanente:quando as propriedades
do fluido mudam no decorrer do 
escoamento;
Classificação do Escoamento
O QUE É VAZÃO? COMO CALCULA? 
QUAIS SÃO OS TIPOS DE VAZÃO?
Isto significa que a vazão representa a rapidez
com a qual um volume escoa.
As unidades de medida adotadas são
geralmente o m³/s,m³/h, l/h ou o l/s.
A forma mais simples para se calcular a vazão 
volumétrica é apresentada a seguir na 
equação
9
Qv representa a vazão volumétrica,
V é o volume e
t o intervalo de tempo para se encher o
reservatório.
10
Uma outra forma matemática de se determinar
a vazão volumétrica é através do produto entre
a área da seção transversal do conduto e a
velocidade do escoamento neste conduto
como pode ser observado na figura a seguir.
11
Pela análise da figura, é possível observar que
o volume do cilindro tracejado é dado por:
Substituindo essa equação na equação de
vazão volumétrica, pode-se escrever que:
12
A partir dos conceitos básicos de cinemática
aplicados em Física, sabe-se que a relação d/t
é a velocidade do escoamento, portanto,
pode-se escrever a vazão volumétrica da
seguinte forma:
Qv representa a vazão volumétrica, v é a
velocidade do escoamento e A é a área da
seção transversal da tubulação.
13
• Vazão em Volume
Vazão é a quantidade em volume de 
fluido que atravessa uma dada seção do 
escoamento por unidade de tempo. 
Vazão
• Vazão em Massa
Vazão em massa é a quantidade em 
massa do fluido que atravessa uma dada seção 
do escoamento por unidade de tempo. 
. 
Vazão
EXERCÍCIOS
 A-4-a (PG 67)
 A-4-B (PG 67)
Escoamento
•São dois tipos os escoamentos de fluídos:
•O laminar e
•O turbulento.
•Os líquidos se deslocam pelos tubos, até determinadas
velocidades de forma LAMINAR (em camadas). A camada
central do líquido é mais rápida. A camada externa está
praticamente parada, presa às paredes do tubo.
•Aumentando-se a velocidade de circulação, ao se atingir a
VELOCIDADE CRÍTICA, o fluxo se torna TURBULENTO.
Escoamento
•Um fluxo TURBULENTO gera o aumento de:
• resistência a circulação e de
•perdas
•A VELOCIDADE CRÍTICA:
•Tem valor fixo;
•Depende da viscosidade do fluído sob pressão e
do diâmetro do tubo;
•Pode ser calculada.
Número de Reynolds (Re)
Para se saber quando o fluxo é laminar ou turbulento, devemos definir
o número de Reynolds, que se obtém através da fórmula:





vDvD
Re
onde:
Re = Número de Reynolds
 = Densidade
V = Velocidade (cm/s) 
D = Diâmetro interno do tubo (cm)
 = Viscosidade absoluta (poise)
 = Viscosidade cinética (cst)
Número de Reynolds (Re)
De 0 à 1500
De 1500 à 2300
Acima de 2300
Fluxo Laminar
Transição
Fluxo turbulento
Equação da continuidade
 A equação da continuidade é a equação da conservação da 
massa expressa para fluidos incompressíveis (massa 
específica constante).
Equação da Continuidade
 É a equação que mostra a conservação da 
massa de líquido no conduto, ao longo de todo 
o escoamento;
 Pela condição de escoamento em regime 
permanente, podemos afirmar que entre as 
seções (1) e (2), não ocorre nem acúmulo, 
nem falta de massa:
m1 = m2 = m = cte 
Equação da Continuidade
ρ = Δm/V Δm=ρ.V
V = A.Δl
Q= Δm/Δt = ρ.V/ Δt = ρ. A.Δl /Δt = ρ.A.v
Equação da Continuidade
 Dadas duas seções do escoamento:
Equação da Continuidade
ρAv = constante
Se ρ é constante (não há variação de massa):
A1V1= A2V2
Equação da Continuidade
Q = A1 v1 = A2 v2 = constante 
A equação da continuidade estabelece que:
• o volume total de um fluido incompressível (fluido 
que mantém constante a densidade apesar das 
variações na pressão e na temperatura) que entra em 
um tubo será igual aquele que está saindo do tubo;
• a vazão medida num ponto ao longo do tubo será 
igual a vazão num outro ponto ao longo do tubo, 
apesar da área da seção transversal do tubo em cada 
ponto ser diferente.
Equação da Continuidade
Isto equivale a dizer que:
• No escoamento de fluidos incompressíveis em 
regime permanente, a vazão em volume, ou 
simplesmente a vazão, que passa através de qualquer 
seção do tubo de corrente é constante.
•De forma genérica:
Q = A1 v1 = A2 v2 = constante
Q=AU, onde:
U=velocidade média
Problema Resolvido 1
Uma mangueira de diâmetro de 2 cm é 
usada para encher um balde de 20 litros.
a)Se leva 1 minuto para encher o balde. 
Qual é a velocidade com que a água passa 
pela mangueira?
b)Um brincalhão aperta a saída da 
mangueira até ela ficar com um diâmetro 
de 5 mm, e acerta o vizinho com água. 
Qual é a velocidade com que a água sai da 
mangueira?
Problema Resolvido 1
Solução:
a) A área da seção transversal da mangueira será dada por 
A1 = πr
2 = π(2 cm /2)2 = π cm2.
Para encontrar a velocidade, v1 , usamos 
Taxa de escoamento (vazão)=
A1v1 = 20 L / min = 20 x 10
3 cm3 / 60s
v1= (20 x 10
3 cm3 / 60 s) / (π cm2) = 106,1 cm/s.
b) A taxa de escoamento ( A1v1 ) da água que se aproxima da 
abertura da mangueira deve ser igual a taxa de escoamento que 
deixa a mangueira ( A2v2 ). Isto resulta em: 
v2= A1v1 / A2 = (π. 106,1) / (π. (0,5/2)
2) = 1698 cm/s.
Num sistema de drenagem, uma pipa de 
25 cm de diâmetro interno drena para 
outra pipa conectada de 22 cm de 
diâmetro interno.
Se a velocidade da água através da pipa 
maior é 5 cm/s, determine a velocidade 
média na pipa menor.
Problema Resolvido 2
SOLUÇÃO
Usando a equação da continuidade, temos
A1 v1 = A2 v2
π(12,5 cm)2 (5 cm/s) = π(11,0 cm)2 (v2)
Resolvendo para v2:
v2 = 6,42 cm/s.
Problema Resolvido 2
Assumindo o fluxo de um fluido 
incompressível como o sangue, se a 
velocidade medida num ponto dentro de 
um vaso sanguíneo é 40 m/s, qual é a 
velocidade num segundo ponto que tem 
um terço do raio original?
Problema Resolvido 3
Este problema pode ser resolvido usando a equação da continuidade:
ρ1A1v1= ρ2A2v2 onde:
ρ é a densidade do sangue
A é a área da seção transversal
v é a velocidade
e os subscritos 1 e 2 referem-se às localizações dentro do vaso.
Desde que o fluxo sangüíneo é incompressível, temos 
ρ1= ρ2
v1 = 40 cm/s
A1=πr1
2
A2 = πr2
2 r2=r1/3,A2= π(r1/3)
2 = (π r1
2)/9 ou A2=A1/9
A1/A2 = 9
Resolvendo:
v2 = (A1v1)/A2 = 9 v1 = 9 x 40 cm/s = 360 cm/s
Problema Resolvido 3
Equação de Bernoulli para 
fluidos ideais
Aula 3
Equação de Bernoulli
A equação de Bernoulli é um 
caso particular da equação da 
energia aplicada ao 
escoamento, onde adotam-se 
as seguintes hipóteses:
 Escoamento em regime permanente
 Escoamento incompressível
 Escoamento de um fluido considerado ideal, ou seja, 
aquele onde a viscosidade é considerada nula, ou 
aquele que não apresenta dissipação de energia ao 
longo do escoamento
 Escoamento apresentando distribuição uniforme das 
propriedades nas seções
 Escoamento sem presença de máquina hidráulica, 
ou seja, sem a presença de um dispositivo que 
forneça, ou retira energia do fluido
 Escoamento sem troca de calor
Equação de Bernoulli
 A energia presente em um fluido em escoamento 
sem troca de calor pode ser separada em três 
parcelas:
 Energia de pressão (piezocarga);
 Energia cinética (taquicarga);
 Energia de posição (hipsocarga);
Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli
 Consideramos um trecho sem derivações, de uma 
instalação hidráulica::
PHR - plano horizontal de 
referência;
Zi - cota da seção i, tomando-se 
como base o eixo do conduto em 
relação ao PHR;
Vi - velocidade média do 
escoamento na seção i;
pi - pressão estática na seção i.
Equação de Bernoulli
 Pela condição do escoamento em regime 
permamente, pode-se afirmar que entre as seções (1) 
e (2) não ocorre, nem acúmulo, nem falta de massa, 
ou seja:
A mesma massa m que atravessa a seção (1), 
atravessa a seção (2).
 Relembrando os conceitos de energia:
 Energia Cinética: 
 Energia Potencial de posição:
 Energia Potencial de Pressão: 
Equação de Bernoulli
 Energia Mecânica Total em uma Seção do 
Escoamento Unidirecional, Incompressível em 
Regime Permanente:
 A energia total representa a somatória da energia 
cinética , energia potencial de posição e energia 
potencial de pressão:
Equação de Bernoulli
 Carga Mecânica Total em uma Seção do Escoamento 
Unidirecional, Incompressível em Regime 
Permanente (Hi):
 Pela condição do escoamento se dar em regime permanente 
podemos afirmar que tanto a massa (m), como o peso (G) do 
fluido, que atravessa uma dada seção do escoamento, é 
constante ao longo do mesmo;
 Por este motivo, é comum considerar a energia, ou por 
unidade de massa, ou por unidade de peso do fluido, além 
disto, esta consideração origina uma unidade facilmente 
visualizada: a carga.
Equação de Bernoulli
 Carga Mecânica Total em uma Seção do Escoamento 
Unidirecional, Incompressível em Regime 
Permanente (Hi):
 Define-se carga como sendo a relação da energia pelo peso 
do fluido, portanto a carga total em uma seção i (Hi), pode ser 
definida como mostramos a seguir:
Equação de Bernoulli
cinética aargc
2g
v
pressão de aargc
p
potencial aargcz
2



É importante saber que:
Exercício 1
 Óleo de soja é bombeado através de uma tubulação 
de diâmetro constante uniforme. A energia 
adicionada pela bomba a massa de fluido é de 209,2 
J/kg. A pressão na entrada da tubulação é de 103,4 
kN/m². A seção de saída está a 3,05 m acima da 
entrada e a sua pressão é de 172,4 kN/m². Calcule a 
perda de carga do sistema sabendo que a densidade 
do óleo é de 919 kg/m³.
fB
CCCC
hw
g
v
Z
g
gP
g
v
Z
g
gP

22
2
2
2
2
2
1
1
1

Exercício 2
 0,14m³/s de água escoam sem atrito através da 
expansão indicada na figura ao lado. A pressão na 
seção 1 é igual a 82,74 kPa. Suponha escoamento 
unidimensional e encontre a pressão no ponto 2.
CCCC g
v
Z
g
gP
g
v
Z
g
gP
22
2
2
2
2
2
1
1
1  
Para ρ constante: Vazão Volumétrica =A1v1= A2v2
Exercício 3
 Água com densidade de 998 kg/m3 é transportada 
através de um tubo de diâmetro constante. A pressão de 
entrada no sistema é de 68,9 103 Pa (abs). O tubo é 
conectado a uma bomba que adiciona uma energia ao 
sistema de 300,0 J/kg. A saída do sistema está a 6,0 m 
acima da entrada e com uma pressão de 137,8 103 Pa. O 
escoamento do sistema é laminar. Calcule a perda de 
carga por fricção na tubulação do sistema.
aManométricaAtmosféricAbsoluta
fB
CCCC
PPP
hw
g
v
Z
g
gP
g
v
Z
g
gP


22
2
2
2
2
2
1
1
1

Dados
222111
22
22
2
2
2
2
2
1
1
1
;;
*
*
174,32;
*
*
1
174,32;81,9
,
;
;;
,
22
AvmAvm
A
FPghp
sLb
ftLb
g
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mkg
g
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BombadaPotência
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Pot
PPP
bombadaenergiawcarga;deperdahvelocidadev
nalidadepreoporciodefatorggravidadegpressãoP
BernoullideEquaçãowh
g
v
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g
gP
g
v
Z
g
gP
f
m
CC
e
Bomba
aManométricaAtmosféricAbsoluta
ef
c
ef
CCCC








•



