3aProva_1300_2_2002

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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Cieˆncias Exatas – ICEx
Departamento de Matema´tica
Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
2o. Semestre de 2002 – 3a. Prova
11/03/03 – 13:00-14:40
Respostas sem justificativas na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1: Considere a coˆnica cuja equac¸a˜o e´:
x2 + y2 + 2xy − 5
√
2x− 7
√
2y + 14 = 0.
a) Encontre uma transformac¸a˜o de coordenadas que leve essa coˆnica para sua forma canoˆnica,
e fac¸a a transformac¸a˜o.
b) Esboce o gra´fico dessa coˆnica, indicando neste as coordenadas do(s) foco(s) da mesma.
c) Encontre a equac¸a˜o da reta y − x+√2 = 0 no sistema de coordenadas determinado no item
(a). Determine a(s) intersec¸a˜o(o˜es) dessa reta com a coˆnica, nesse sistema de coordenadas.
Questa˜o 2: Considere a matriz A dada por:
A =
 1 0 −21 0 −1
0 0 −1
 .
a) Se poss´ıvel, diagonalize a matriz A. Se na˜o for poss´ıvel, explique o motivo.
b) Calcule A301.
Questa˜o 3: Considere a matriz M dada por:
M =
 1 0 0 10 2 0 2
2 1 0 3
 .
a) Encontre uma base para o subespac¸o X que e´ definido como o conjunto das soluc¸o˜es da
equac¸a˜o homogeˆnea Mx = 0¯.
b) Seja o subespac¸o Z constitu´ıdo pelos vetores que sa˜o ortogonais aos vetores de X . Encontre
uma base para esse subespac¸o.
O gabarito da prova sera´ publicado no site oficial de GAAL: http://www.mat.ufmg.br/gaal