Pré cálculo 2017.2 AP1 GABARITO

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AP1 – 2017-2 – GABARITO Pré-Cálculo 
 
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CEDERJ 
Gabarito da Avaliação Presencial 1 
Pré-Cálculo 
 
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Nas questões 1 e 2 considere os polinômios na variável 𝑥 ∈ ℝ: 
𝑝(𝑥) = 3𝑥3 − 2𝑥2 − 13𝑥 − 8 e 𝑞(𝑥) = −𝑥2 + 3𝑥 − 4 
Questão 1 [1,2 pt] 
Se possível, fatore os polinômios 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥). 
Lembre: fatorar um polinômio significa que o polinômio deve ser escrito como produto de fatores lineares (tipo 
𝑎𝑥 + 𝑏) e/ou fatores quadráticos irredutíveis em ℝ (tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, que não possui raízes reais). 
Resolução: 
As possíveis raízes inteiras de 𝑝(𝑥) são os divisores de −8, o termo independente do polinômio, logo 
são: ±1, ±2 ± 4, ±8. 
Vamos calcular o polinômio nas possíveis raízes, até encontrar uma primeira raiz. 
𝑝(1) = 3(1)3 − 2(1)2 − 13(1) − 8 = 3 − 2 − 13 − 8 = −20 ≠ 0 ⟹ 1 não é raiz de 𝑝(𝑥). 
𝑝(−1) = 3(−1)3 − 2(−1)2 − 13(−1) − 8 = −3 − 2 + 13 − 8 = 0 ⟹ −1 é raiz de 𝑝(𝑥). 
Para encontrar outras raízes, como são muitas as possíveis raízes, é menos trabalhoso dividir 𝑝(𝑥) por 
(𝑥 + 1), pois 𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑞1(𝑥), onde 𝑞1(𝑥) é um polinômio de segundo grau. Para dividir, vamos 
usar o algoritmo de Briot-Ruffini. 
 3 −2 −13 −8 
−1 3 3 × (−1) − 2 = −5 −5 × (−1) − 13 = −8 −8(−1) − 8 = 0 
 
Logo, 𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1)(3𝑥2 − 5𝑥 − 8). Determinando as raízes de 𝑞1(𝑥) = 3𝑥
2 − 5𝑥 − 8. 
𝑥 =
5±√25−4∙3∙(−8)
2∙3
=
5±√25+96
6
=
5±√121
6
=
5±11
6
= {
16
6
=
8
3
−
6
6
= −1
 . Logo, 𝑥 = −1 ou 𝑥 =
8
3
. 
Assim, a fatoração de 𝑝(𝑥) é: 
𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1)(3𝑥2 − 5𝑥 − 8) = (𝑥 + 1) ∙ 3(𝑥 + 1) (𝑥 −
8
3
) = (𝑥 + 1)2(3𝑥 − 8). 
Para fatorar 𝑞(𝑥) = −𝑥2 + 3𝑥 − 4, é preciso determinar suas raízes. 
𝑥 =
−3±√9−4∙(−1)∙(−4)
2∙(−1)
=
−3±√9−16
−2
=
−3±√−7
−2
, como não existe raiz real de número negativo, o 
polinômio 𝑞(𝑥) não possui raízes reais, isto é, 𝑞(𝑥) é irredutível em ℝ e não pode ser fatorado. 
 
Questão 2 [1,3 pt] 
Analise o sinal de 𝐸(𝑥) =
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
 na variável 𝑥 ∈ ℝ e determine o domínio da função 𝐹(𝑥) = √
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
. 
Lembre: analisar o sinal de uma expressão 𝐸(𝑥) na variável 𝑥 ∈ ℝ significa responder para quais valores de 𝑥 ∈ ℝ,
𝐸(𝑥) é nula, 𝐸(𝑥) é positiva e 𝐸(𝑥) é negativa. 
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Análise de sinal: vamos usar a fatoração de 𝑝(𝑥) encontrada na questão 1 e tabela de sinais da 
expressão 
𝐸(𝑥) =
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
=
−𝑥2+3𝑥−4
(𝑥+1)2(3𝑥−8)
 
• Sinal de −𝑥2 + 3𝑥 − 4: 
Como não possui raízes reais e o coeficiente do termo de grau 2 é −1 < 0, temos que 
−𝑥2 + 3𝑥 − 4 < 0 para qualquer número real. 
• Sinal de (𝑥 + 1)2: 
(𝑥 + 1)2 = 0 ⟺ 𝑥 + 1 = 0 ⟺ 𝑥 = −1 
(𝑥 + 1)2 > 0 para todo 𝑥 ≠ −1 , pois qualquer número não nulo elevado a expoente par é 
positivo. 
• Sinal de (3𝑥 − 8): 
3𝑥 − 8 = 0 ⟺ 3𝑥 = 8 ⟺ 𝑥 =
8
3
 
3𝑥 − 8 > 0 ⟺ 3𝑥 > 8 ⟺ 𝑥 >
8
3
 
 (−∞, −1) −1 (−1,
 8 
3
) 
 8 
3
 (
 8 
3
, ∞) 
−𝑥2 + 3𝑥 − 4 − − − − − 
(𝑥 + 1)2 + 0 + + + 
3𝑥 − 8 − − − 0 + 
𝐸(𝑥) =
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
=
−𝑥2+3𝑥−4
(𝑥+1)2(3𝑥−8)
 + 𝑛𝑑 + 𝑛𝑑 − 
 
Portanto, 𝐸(𝑥) =
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
= 0: não existe 𝑥 ∈ ℝ. 
 𝐸(𝑥) =
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
> 0: 𝑥 ∈ (−∞, −1 ) ∪ (−1,
 8 
3
) 
 𝐸(𝑥) =
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
< 0: 𝑥 ∈ (
 8 
3
, ∞) 
Domínio de 𝐹(𝑥) = √
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
= √
−𝑥2+3𝑥−4
(𝑥+1)2(3𝑥−8)
 
A restrição do domínio de 𝐹(𝑥) é que o radicando 
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
 deve ser positivo ou nulo. 
Pela análise de sinal de 
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
, temos que 
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
≥ 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞, −1 ) ∪ (−1,
 8 
3
). 
Portanto 𝐷𝑜𝑚(𝐹) = (−∞, −1 ) ∪ (−1,
 8 
3
). 
 
Nas questões 3 a 6 considere as funções 𝑓(𝑥) = √𝑥 , 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 4 , ℎ(𝑥) = √|𝑥| − 4 . 
Questão 3 [1,2 pt] Encontre os domínios das funções 𝑓 , 𝑔 , ℎ . 
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Descreva em palavras a transformação que deve ocorrer no gráfico da função 𝑓(𝑥) = √𝑥 para se 
obter o gráfico da função 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 4 . 
Descreva em palavras a transformação que deve ocorrer no gráfico da função 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 4 para 
se obter o gráfico da função ℎ(𝑥) = √|𝑥| − 4 . 
Resolução: 
Domínios das funções: 
▪ Para que √𝑥 possa ser calculada é preciso que 𝑥 ≥ 0 , logo o domínio de 𝑓(𝑥) = √𝑥 é 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [0 , +∞). O mesmo para a função 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 4 , logo 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = [0 , +∞). 
▪ Como |𝑥| ≥ 0, para todo 𝑥 ∈ ℝ , então √|𝑥| está definida para todo 𝑥 ∈ ℝ e 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = ℝ. 
O gráfico da função 𝑓(𝑥) = √𝑥 deve ser transladado verticalmente 4 unidades para baixo para se 
obter o gráfico da função 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 4 . 
Ao modular a variável 𝑥 na expressão √𝑥 − 4 , mantemos a parte do gráfico da função 𝑔(𝑥) =
√𝑥 − 4 para 𝑥 ≥ 0 e refletimos essa parte em torno do eixo 𝑦 e assim, obtemos o gráfico da 
função ℎ(𝑥) = √|𝑥| − 4 . 
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Questão 4 [1,2 pt] Encontre os pontos onde cada função 𝑔 e ℎ corta ou toca os eixos 
coordenados. 
Resolução: 
Função 𝒈(𝒙) = √𝒙 − 𝟒 : 
Interseção com o eixo 𝑦 : 
Fazendo 𝑥 = 0, obtemos 𝑔(0) = √0 − 4 = −4 . assim, a função 𝑔 toca o eixo 𝑦 é o ponto 
(𝟎 , −𝟒). 
Interseção com o eixo 𝑥 : 
Fazendo 𝑦 = 0, obtemos 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 4 = 0 ⟹ √𝑥 = 4 ⟹ (√𝑥 )
2
= 42 ⟹ 𝑥 = 16. 
Como elevamos ao quadrado, devemos testar e verificar se 𝑥 = 16 é raiz da equação dada. E é, pois 
√16 = 4 . Assim, o ponto de interseção da função 𝑔 com o eixo 𝑥 é o ponto (𝟏𝟔 , 𝟎). 
Função 𝒉(𝒙) = √|𝒙| − 𝟒 : 
Interseção com o eixo 𝑦 : 
Fazendo 𝑥 = 0, obtemos ℎ(0) = √|0| − 4 = −4 . assim, o ponto de interseção da função 𝑔 com o 
eixo 𝑦 é o ponto (𝟎 , −𝟒). 
Interseção com o eixo 𝑥 : 
Fazendo 𝑦 = 0, obtemos ℎ(𝑥) = √|𝑥| − 4 = 0 ⟹ √|𝑥| = 4 ⟹ (√|𝑥| )
2
= 42 ⟹ 
|𝑥| = 16 ⟹ 𝑥 = −16 𝑜𝑢 𝑥 = 16 . Verificamos que 𝑥 = −16 e 𝑥 = 16 são soluções da 
equação √|𝑥| = 4 , pois √|−16| = √|16| = √16 = 4 . Assim, os pontos de interseção da 
função ℎ com o eixo 𝑥 são (𝟏𝟔 , 𝟎) e (−𝟏𝟔 , 𝟎) . 
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Questão 5 [1,0 pt] Esboce o gráfico de cada função 𝑓 , 𝑔 e ℎ e identifique nos gráficos, através 
de suas coordenadas, os pontos onde esses gráficos cortam ou tocam os eixos coordenados. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 6 [0,5 pt] Estude a paridade da função ℎ(𝑥) = √|𝑥| − 4 . A função ℎ é par? É ímpar? 
Ou não é par e nem ímpar? Que característica importante você observa no gráfico da função ℎ ? 
Resolução: 
Como 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = ℝ , então a função ℎ está definida em um conjunto simétrico com relação a 
origem. 
Temos que: ℎ(−𝑥) = √|−𝑥| − 4 = √|𝑥| − 4 = ℎ(𝑥) , para todo 𝑥 ∈ ℝ . Portanto, a função h é 
uma função par. O gráfico da função ℎ é simétrico com relação ao eixo 𝑦 
 
Nas questões 7 a 9 considere as funções 𝑟(𝑥) = 𝑥2 , 𝑠(𝑥) = (𝑥 + 4)2 
Questão 7 [0,4 pt] Encontre o domínio da função 𝑠 . 
Descreva em palavras a transformação que deveocorrer no gráfico da função 𝑟(𝑥) = 𝑥2 para se obter 
o gráfico da função 𝑠(𝑥) = (𝑥 + 4)2 . 
Resolução: 
Domínio da função 𝑠(𝑥) = (𝑥 + 4)2 : 
A expressão (𝑥 + 4)2 pode ser calculada para todo 𝑥 ∈ ℝ, é um polinômio de grau 2, logo 𝐷𝑜𝑚(𝑠) =
ℝ. 
O gráfico da função 𝑟(𝑥) = 𝑥2 deve ser transladado horizontalmente 4 unidades para esquerda para 
se obter o gráfico da função 𝑠(𝑥) = (𝑥 + 4)2 . 
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Questão 8 [1,0 pt] Encontre os pontos onde a função 𝑠 corta ou toca os eixos coordenados. 
Esboce o gráfico de cada função 𝑟 e 𝑠 e identifique nos gráficos, através de suas coordenadas, os 
pontos onde esses gráficos cortam ou tocam os eixos coordenados. 
Resolução: 
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Função 𝑠(𝑥) = (𝑥 + 4)2 : 
Interseção com o eixo 𝑦 : 
Fazendo 𝑥 = 0, obtemos 𝑠(0) = (0 + 4)2 = 16 . assim, a função 𝑠 corta o eixo 𝑦 no ponto 
(𝟎 , 𝟏𝟔). 
Interseção com o eixo 𝑥 : 
Fazendo 𝑦 = 0, obtemos 𝑠(𝑥) = (𝑥 + 4)2 = 0 ⟺ 𝑥 + 4 = 0 ⟺ 𝑥 = −4. assim, o ponto de 
interseção da função 𝑠 com o eixo 𝑥 é o ponto (−𝟒 , 𝟎). 
 
 
 
 
 
 
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Questão 9 [0,4 pt] Observando o gráfico, estude o crescimento da função 𝑠(𝑥) = (𝑥 + 4)2. 
Responda para que valores reais de 𝑥 , a função 𝑠 é crescente e para que valores reais de 𝑥 , a 
função 𝑠 é decrescente. 
Resolução: 
Observando o gráfico da função 𝑠(𝑥) = (𝑥 + 4)2 , vemos que a função 𝑠 é: 
decrescente no intervalo.(-∞ , −4] e é crescente no intervalo [−4 , +∞). 
 
 
Nas questões 10 e 11 considere as funções 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 4, 𝑥 ≥ 0 e 𝑡(𝑥) = (𝑥 + 4)2 , 𝑥 ≥ −4 . 
Questão 10 [0,8 pt] Encontrando as composições 𝑔 ∘ 𝑡 e 𝑡 ∘ 𝑔 , mostre que as funções 𝑔 e 𝑡 são 
a inversa uma da outra. Justifique! 
Resolução: 
(𝑔 ∘ 𝑡)(𝑥) = 𝑔(𝑡(𝑥)) = 𝑔((𝑥 + 4)2) = √(𝑥 + 4)2 − 4 = |𝑥 + 4| − 4 = 𝑥 + 4 − 4 = 𝑥, aqui foi 
usado |𝑥 + 4| = 𝑥 + 4 , pois 𝑥 + 4 ≥ 0. Logo, (𝑔 ∘ 𝑡)(𝑥) = 𝑥 para todo 𝑥 ≥ −4 . 
(𝑡 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑡(𝑔(𝑥)) = 𝑡(√𝑥 − 4) = (√𝑥 − 4 + 4)
2
= (√𝑥 )
2
= 𝑥 . Logo, (𝑡 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑥 para 
todo 𝑥 ≥ 0 . 
Como (𝑔 ∘ 𝑡)(𝑥) = 𝑥 para todo 𝑥 ≥ −4 e (𝑡 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑥 para todo 𝑥 ≥ 0 , então as funções 
𝑔 e 𝑡 são a inversa uma da outra. 
 
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Questão 11 [1,0 pt] Esboce em um mesmo par de eixos coordenados os gráficos das funções 𝑔(𝑥) =
√𝑥 − 4 , 𝑥 ≥ 0, 𝑡(𝑥) = (𝑥 + 4)2 , 𝑥 ≥ −4 e 𝑦 = 𝑥 . Qual a relação que existe entre os gráficos 
das funções 𝑔 e 𝑡 ? 
Para esboçar os gráficos, observe que a função 𝑔(𝑥) é a mesma das questões (3) a (6) e a expressão da função 
𝑡(𝑥) é a mesma da função 𝑠(𝑥) das questões (7) a (9), com domínio restrito ao intervalo 𝑥 ≥ −4. 
Resolução: 
Os gráficos das funções 𝑔 e 𝑡 são simétricos com relação à reta 𝑦 = 𝑥.