AP1 Pré Cálculo Gabarito 2023.1

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Gabarito da AP 1 Pré-Cálculo para Engenharia - 2023/1
AP1 – PRÉ-CÁLCULO PARA ENGENHARIA –GABARITO – 2023/1
Questão 1 [2,0 pontos]
Considere a equação
√
x− 1 = 2− |x|. .
a) [1,0 ponto] Determine para quais valores de x a expressão
√
x− 1 está bem definida. Con-
sidere também o membro direito para determinar os valores admisśıveis de x na equação.
Solução:
A expressão
√
x− 1 está bem definida apenas se x − 1 ≥ 0, ou seja, se x ≥ 1. Como
√
x− 1 ≥ 0, então 2− |x| ≥ 0, e portanto |x| ≤ 2. Isto significa que −2 ≤ x ≤ 2. Como, pelo
membro esquerdo, temos x ≥ 1, conclúımos que 1 ≤ x ≤ 2.
b) [1,0 ponto] Resolva a equação.
Solução:
Vamos elevar ambos os membros de
√
x− 1 = 2−|x| ao quadrado: assim, x−1 = (2−|x|)2 =
|x|2− 4|x|+ 4. Como |x|2 = x2, e pelo item (a), devemos ter 1 ≤ x ≤ 2 (em particular, x > 0),
a equação fica
x2 − 5x + 5 = 0.
Pela Fórmula de Báshkara, temos duas ráızes: x1 =
5 +
√
5
2
, que é maior do que 2 e portanto
não está no conjunto de valores admisśıveis; e x2 =
5−
√
5
2
, que pertence ao intervalo de valores
posśıveis, pois
√
5 > 2, donde
√
5/2 > 1.
Conclusão: a equação possui uma solução, x =
5−
√
5
2
.
Questão 2 [3,0 pontos]
Considere a expressão E(x) =
(2x + 1)
(x− 1)(x− 2)
. Faça o que se pede:
(a) [0,5 ponto] Encontre os valores de x tais que E(x) = 0.
Solução:
Note que E(x) = 0, se e somente se, 2x + 1 = 0.
Assim, x = −1
2
.
(b) [1,5 pontos] Complete a tabela abaixo com o estudo do sinal de cada expressão escrita na
tabela. Observe que o estudo do sinal já foi feito para a expressão 2x + 1.
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x < −1
2
−1
2
< x < 1 1 < x < 2 x > 2
2x + 1 −−−− + + + + + + + + +
x− 1 −−− −−− + + + + + +
x− 2 −−− −−− −−− + + +
E(x) = (2x+1)
(x−1)(x−2) −−− + + + −−− + + +
(c) [1,0 ponto] Encontre os valores de x tais que E(x) > 0.
Solução:
Pelo o estudo do sinal feito no item (b), temos que:
E(x) > 0 para x ∈ (−1
2
, 1) ∪ (2,+∞).
Questão 3 [2,0 pontos] Uma plataforma A de streaming de música exige uma assinatura
de 20 reais para que o ouvinte tenha a liberdade de ouvir músicas e baixá-las (ou seja, fazer
o download) para seu celular ou computador, mas o download custa 1 por música. Numa
plataforma B, a assinatura é gratuita, mas o download de músicas custa 5 reais por faixa.
Dependendo do número de músicas que um certo álbum ou artista possua, pode ser mais
vantajoso utilizar a plataforma A ou B para fazer downloads. Qual número de músicas faz com
que A seja mais vantajosa para o consumidor?
Solução:
Seja x o número de faixas a serem baixadas. Na plataforma A, o custo para o consumidor
é CA = 20 + x, enquanto na plataforma B, o custo fica CB = 5x. Para que a plataforma A seja
mais vantajosa, devemos ter CA < CB, isto é,
20 + x < 5x,
ou seja, 4x > 20, donde x > 5. O número de músicas no download deve ser maior do que
5, ou no mı́nimo 6 faixas.
Questão 4 [1,5 ponto] Considere a parábola cuja equação canônica é dada por:
y − 2 = (x − 1)2. Determine a equação da reta que passe pelo vértice da parábola e pelo
ponto de interseção da parábola com o eixo Oy.
Solução:
Da equação y − 2 = (x− 1)2, conclúımos que o vértice da parábola é o ponto V = (1, 2).
Para determinar os pontos de interseção dessa parábola com o eixo Oy, fazemos x = 0 na
equação y − 2 = (x− 1)2, obtemos y = 3.
Logo, o ponto A = (0, 3) é o ponto de interseção dessa parábola com o eixo Oy.
Assim, queremos determinar a equação da reta que passa pelos pontos (1, 2) e (0, 3).
O coeficiente angular da reta que passe pelo vértice da parábola e pelo ponto de interseção
da parábola com o eixo Oy. é: m =
3−2
0−(1) = −1
Logo, y − 3 = −1x. Portanto, y = −x + 3 é a equação da reta .
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Questão 5 [1,5 ponto] Determine a reta perpendicular à reta de equação x + 3y − 2 = 0
no seu ponto de abscissa igual a 5.
Solução:
Primeiramente vamos determinar a ordenada do ponto de abscissa igual a 5.
5 + 3y − 2 = 0⇒ 3y = −3⇒ y = −1.
Reescrevendo a equação x + 3y − 2 = 0, temos que y = −x
3
+ 2
3
. Logo, m = −1
3
e portanto,
o coeficiente da variável x da reta procurada é n = − 1
m
= 3. Ou seja, a reta procurada tem
equação y = 3x + p. Para determinar o valor de p, substitúımos o ponto (5,−1) na equação.
−1 = 3 · 5 + p⇒ p = −16
Portanto, a equação da reta procurada é y = 3x− 16.
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RASCUNHO
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