Exercícios de Álgebra I - Anéis e Ideais

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MTM5261 - A´lgebra I - Turma 03222 - 2013/01
Prof. Gilles Gonc¸alves de Castro
Lista de exerc´ıcios 4
1) Verifique que as seguintes relac¸o˜es sa˜o de equivaleˆncia:
(a) X = N× N, (a, b) ∼ (c, d) se a + d = b + c.
(b) X = Z× Z∗, (p, q) ∼ (r, s) se ps = qr.
(c) A anel, I subanel de A, a ∼ b se a− b ∈ A.
2) Definimos Z = N×N/ ∼ com a relac¸a˜o de equivaleˆncia dada no item (a)
do exerc´ıcio 1. Defina as operac¸o˜es de soma e produto em Z pensando
[(a, b)]“ = ”a− b e mostre que elas esta˜o bem definidas.
3) Defina a func¸a˜o f : N→ Z por f(a) = [(a, 0)]. Mostre que f(a + b) =
f(a) + f(b) e f(ab) = f(a)f(b) para todos a, b ∈ N.
4) Definimos Q = Z × Z∗/ ∼ com a relac¸a˜o de equivaleˆncia dada no
item (b) do exerc´ıcio 1. Defina as operac¸o˜es de soma e produto em Q
pensando [(p, q)]“ = ”p/q e mostre que elas esta˜o bem definidas.
5) Defina a func¸a˜o f : Z→ Q por f(m) = [(m, 1)]. Mostre que f(m+n) =
f(m) + f(n) e f(mn) = f(m)f(n) para todos m,n ∈ Z.
6) Em cada item, verifique se o subconjunto dado e´ ideal ou na˜o.
(a) Q em R.
(b) {0, 2, 4, 6} em Z8.
(c) Z[x] em Q[x].
(d) Z em Z[i].
(e) {ni : n ∈ Z} em Z[i].
(f) Z× {0} em Z× Z.
(g) {5n + 5m√2 : n,m ∈ Z} em Z[√2] (ver exerc´ıcio 1, lista 2).
(h) O conjunto de todos os polinoˆmios de grau par junto com o po-
linoˆmio nulo em Q[x].
7) Dado um anel A qualquer, definimos a unitizac¸a˜o de A no exerc´ıcio 13
da lista 2. Mostre que A× {0} e´ ideal de A× Z.
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8) Relembre que para um anel A e um elemento a ∈ A, 〈a〉 denota o ideal
gerado por a. Suponha que A e´ um anel comutativo com unidade,
mostre que 〈a〉 = aA := {ab : b ∈ A} e 〈a〉 = Aa := {ba : b ∈ A}.
9) As seguintes igualdades sa˜o verdadeiras ou falsas?
(a) 〈x〉 = 〈3x〉 em Z[x].
(b) 〈x〉 = 〈3x〉 em Q[x].
(c) 〈1 + i〉 = Z[i] em Z[i].
(d)
〈
2
〉
=
〈
10
〉
em Z14.
10) Determine todos ideais de Z12 e verifique que todos sa˜o principais.
11) Encontre
〈√
5
〉
e
〈
3 +
√
5
〉
em Z[
√
5].
12) Suponha que A seja um anel comutativo com unidade e que I, J sejam
ideais de A. Mostre que se I ⊆ J enta˜o I e´ ideal de J .
13) Sejam A anel comutativo com unidade e I, J ideais de A. Mostre que
I · J ⊆ I ∩ J . Deˆ um exemplo em que I · J 6= I ∩ J .
14) Sejam I, J,K ideais de uma anel comutativo com unidade A, mostre
que I · (J + K) = I · J + I ·K.
15) Mostre que o nilradical de uma anel comutativo definido no exerc´ıcio
11 da lista 2 e´ um ideal.
16) Seja A anel comutativo com unidade. Dado a ∈ A definimos o aniqui-
lador (em ingleˆs: annihilator) de a por Ann(a) = {r ∈ A : ar = 0}.
Mostre que Ann(a) e´ um ideal de A.
17) Mais geralmente se I e´ um ideal de A, definimos o aniquilador de I
por Ann(I) = {r ∈ A : ar = 0 ∀a ∈ I}. Mostre que Ann(I) e´ um ideal
de A.
18) Sejam A anel comutativo com unidade e e idempotente, isto e´, e2 = e.
Mostre que Ann(e) e´ um ideal principal.
19) Suponha que A seja um anel comutativo com unidade. Sejam a, b
elementos na˜o divisores de zero, mostre que 〈a〉 = 〈b〉 se e somente
existe existe um elemento invers´ıvel u ∈ A tal que a = ub.
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