Relatório Pêndulo Simples

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PÊNDULO SIMPLES
1- INTRODUÇÃO
Neste experimento, realizado em sala de aula, tratou-se de analisar o comportamento físico de um pêndulo simples e estudar os fenômenos envolvidos. Para tal, foi necessário obter algumas grandezas iniciais, tais como o período de oscilação(T) e o comprimento do pêndulo(L). Após se obter os valores e realizar algumas manipulações algébricas, foi possível construir um gráfico relacionando, linearmente, os valores encontrados. Com a inclinação da reta de tendência, Pode-se, inclusive, determinar a constante de aceleração local da gravidade(g) com certa precisão, como será mostrado ao longo do relatório.
2- OBJETIVO
2.1 – Calcular a aceleração da gravidade prática.
3- TEORIA
3.1 – Esquema de um pêndulo simples contendo um corpo de massa m, como ilustrado a seguir:
O pêndulo simples é composto de um corpo de massa m e um fio inextensível de massa desprezível em relação à massa m do corpo. Quando o corpo suspenso pelo fio é afastado da sua posição vertical de equilíbrio estático e largado em queda livre, origina-se uma oscilação no plano vertical sob a ação da resultante das forças peso (do corpo) e da tensão (no fio), gerando um Movimento Harmônico, como ilustrado abaixo.
3.2 - Esquema de um pêndulo simples com as forças atuantes sobre o corpo de massa m.
EQUAÇÕES:
T = 2π √(m/K)
Como, K = (m*g)/L. Tem-se:
T = 2π √ (m/(m*g)/L)
T = 2π √ (L/g)
4- MATERIAL UTILIZADO
Conjunto Arete;
Cronômetro digital;
Fio de comprimentos(L) distintos;
Régua.
5- PROCEDIMENTO PRÁTICO
Neste experimento, foi utilizado o método do Pêndulo Simples como instrumento de verificação para calcular a aceleração da gravidade(g). Utilizou-se de cinco comprimentos(L) diferentes para o fio e foi marcado o período(T) em que o objeto completava o ciclo característico do MHS, com dez voltas completas. Valendo-se desses números, foi possível encontrar um coeficiente angular próximo ao teórico que é 4,0243035275. 
Nos dados abaixo, é possível verificar os valor obtidos com o experimento realizado de acordo com os comprimentos(L) utilizados.
6- DADOS
Na tabela abaixo, pode-se conferir os dados obtidos nas medições: 
6.1 – Tabela 1
	L(m)
	T(s)
	Tm(s)
	0,1
	6,28
	0,63
	0,15
	7,98
	0,8
	0,2
	9,22
	0,92
	0,25
	10,21
	1,02
	0,3
	10,91
	1,09
7- METODOLOGIA
A partir da equação do período(T) do pêndulo simples, é possível calcular a aceleração da gravidade, tendo apenas o Período para dado comprimento(L) do pêndulo.
T = 2π√(L/g) (Equação 1)
(T)² = (2π√[L/g])²
T² = 4π(L/g)
Onde: 
g= 4π²*L/T² (Equação 2)
Para que seja diminuído o erro, a prática se resumiu em medir 10 períodos para cada um dos 5 comprimentos distintos do pêndulo. Que assim foi possível, dar a origem a Tabela 1 (Dados).
Para a (Equação 2), tem-se:
T²/L = 4π²/g
Sabendo que T²= (4π²/g)*L é uma função do 1º grau de T²xL; onde 4π²/g é a tangente.
Foi verificado que para cada ponto da tabela 1, a condição de colinearidade e comparamos este valor (coluna 3 – tabela 1) com o seguinte valor teórico: 4π²/g = 4,0243035275.
Depois os seguintes passos foram realizados:
1º - Construção do gráfico de T²xL (tabela 2), que será apresentada à seguir no item 8 – Cálculos;
2º - Comparação dos valores práticos (T²/L), com o valor teórico (4,0243035275) para a escolha dos melhores pontos;
3º - Realização do MMQ (Métodos dos mínimos quadrados) com os melhores pontos, ou seja, aqueles que estão entre 3 e 5; e
4º - Cálculo da aceleração da gravidade prática.
8 - CÁLCULOS
7.1 – Cálculo do T(médio):
Exemplo:
T(s)/10= 0,628
Os demais seguiram a mesma linha de raciocínio.
7.2 – Cálculo do T²(s²):
Exemplo:
0,628² = 0,394384
Os demais seguiram a mesma linha de raciocínio.
7.3 – Cálculo T²/L:
Exemplo:
0,394384/L 
0,394384/0,10 = 3,94384
Os demais seguiram a mesma linha de raciocínio.
7.4 – Tabela 2
Com os Cálculos acima, obteve-se a seguinte Tabela:
	T²(s²)
	L(m)
	T²/L
	0,39
	0,1
	3,9
	0,63
	0,15
	4,2
	0,85
	0,2
	4,25
	1,04
	0,25
	4,16
	1,19
	0,3
	3,96
7.5 – Método dos Mínimos Quadrados:
Sabendo que T = 2π √(L/g), temos:
(T)² = (2π √[L/g])²
T² = 4π(L/g)
T²/L = 4π²/g
T²/L = 4,0243035275
T²/L = 4
Como o valor teórico de g = 9,81 m/s²; os valores práticos de T²/L, ou seja, da Gravidade prática, serão comparados com esse valor (4,0243035275), próximo a 4,0 m/s². Para que assim, sejam descartados os valores ruins.
Como todos os valores de T²/L se aproximaram de 4,0, usaram-se todos para a correção, com o Método dos Mínimos Quadrados.
Σxia² + Σxib = Σ xi*yi
Σ xia + nb = Σyi
Onde:
Xi= Valores de L;
Yi= Valores de T²;
n= Número de termos de T²/L utilizados para correção.
Sendo assim, temos:
Σ xia² = (0,1)² + (0,15)² + (0,2)² + (0,25)² + (0,3)²
Σ xia² = 0,225
Σ xia = (0,1) + (0,15) + (0,2) + (0,25) + (0,3)
Σ xia = 1
Σ xi*yi = (0,1*0,39) + (0,15*0,63) + (0,2*0,85) + (0,25*1,04) + (0,3*1,19)
Σ xi*yi = 0,9205
Σ yi = (0,39) + (0,63) + (0,85) + (1,04) + (1,19)
Σ yi = 4,1
nb = 5
Substituindo os valores nas Equações, obtém-se o sistema:
0,225a + b = 0,9205 (-1)
a + 5b = 4,1 (0,225)
-0,225a – b = -0,9205
0,225a + 1,125b = 0,9225
0 + 0,125b = 2000
b = 2000 / 0,125
b = 0,016
Substituindo o valor de b em uma das Equações iniciais, temos:
a + 5b = 4,1
a + 5*(0,016) = 4,1
a + 0,08 = 4,1
a = 4,1 – 0,08
a = 4,02
7.6 – Cálculo para Aceleração da Gravidade prática:
Agora, ao substituir os valores de a e b encontrados, na função y = b + ax, obtém-se assim, o valor da Aceleração da Gravidade(prática) corrigido.
T² = b + aL
a = b/(T²/L)
a = 4π²/ G(prática)
G(prática) = 4π²/a
Sendo assim:
G(prática) = 4π²/a
G(prática) = 4π²/(4,02)
G(prática) = 9,82 m/s²
Erro(%) = [ | ρ(teórico) – ρ(prático) | *100%] / ρ(teórico)
Erro(%) = [ |9810- 9820| * 100%] / 9810
Erro(%) = 0,1%
9- CONCLUSÃO
Obteve-se êxito no experimento ao verificar que a Aceleração da Gravidade(prática), com o valor de 9,82m/s² se aproxima da teórica, cujo valor é de 9,81m/s², com um erro percentual de aproximadamente 0,1%. Sendo este resultado, portanto, condizente com o valor verdadeiro estimado.