Aula 18 17.2

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Prof. Severino Rodrigues 
de Farias Neto
Unidade Acadêmica de 
Engenharia Química
Operações Unitárias I
Dinâmica das partículas em 
meio fluido
20/02/2018
4 ( )
3
p p f
R
d f
d g
u
C
 



E o valor de Cd? 
Partícula esférica
• Au2 tem dimensão de força
Ca = Fa / (½ Au
2) é adimensional
Ca é uma função das propriedades do fluido 
(, m) e da partícula (s, dp e forma);
 Re,formadC f
10
Re
d
p
C 
0, 44dC 
500Re4,0  p
510 x 2Re 500  p
Regime 
Intermediário
Regime Turbulento
(Equação Newton)
Coeficiente de Arraste
Re
p R f
p
f
d u 
m
(Re)fCd 
24
Re
d
p
C 
4,0Re p
Regime Laminar
(Eq. de Stokes)
Coeficiente de Arraste
viscosidade domina
inércia dominaStokes
CRISE
• Camada limite
• Separação da camada limite
• Turbulência na camada limite
CRISE:
Rugosidade da Partícula
Camada Limite
• Separação da camada limite
Rugosidade da Partícula
8
Decantação
Pode ser definido como 
sendo uma operação 
unitária que permite a 
separação dos constituintes 
sólido e fluido de uma 
suspensão, sob a ação de 
uma força propursora a 
aceleração da gravidade.
9
Decantação
Clarificação do 
líquido
Espessamento da 
suspensão
10
Decantação
Objetivos
Descontínuos
Contínuos
11
Decantação
12
Decantação
13
Decantação
14
Decantação
15
Decantação
Se colocarmos uma suspensão após 
a homogeneização em repouso, o 
processo de decantação inicia, 
pouco tempo depois é possível 
observar cinco zonas distintas:
A - Líquido clarificado;
B - Suspensão com a mesma 
concentração inicial;
C - Zona de transição;
D - Suspensão espessada na zona 
de compressão;
E - Sólido Grosseiro
16
Decantação
22/02/2018
A - Líquido clarificado – para suspensões que decantam 
muito rapidamente esta camada poderá ficar turva durante 
certo tempo por causa das partículas mais finas que 
permanecem em suspensão.
17
B B B
A AA
D D D
E E
C C
B – Suspensão com a 
mesma concentração 
inicial – A linha 
divisória entre A e B é 
geralmente nítida.
Zonas de Decantação
C – Zona de transição – a concentração da suspensão 
aumenta gradativamente de cima para baixo. A interface BC 
é geralmente nítida.
D – Suspensão espessada na zona de compressão – a 
suspensão na forma de flocos encontram-se uns sobre os 
outros, sem contudo atingirem a máxima compactação, uma 
vez que existe líquido aprisionado entre os flocos.
18
B B B
A AA
D D D
E E
C C
Zonas de Decantação
E – Sólido grosseiro – sólido que decantou no início do 
ensaio e sua espessura não aumenta muito durante a 
decantação.
19
B B B
A AA
D D D
E E
C C
Zonas de Decantação
As dimensões das partículas influenciam na 
velocidade de decantação.
20
Tempo t0
Z0
Tempo t1
Z1
Tempo t2
Z2
Velocidade de Decantação
Efeito da concentração de sólidos na suspensão.
21
C0 C1 C2
H
Tempo
C0 C1 C2
Velocidade de Decantação
Principais métodos 
para o 
dimensionamento de 
decantadores:
Método de Coe e 
Clevenger,
Método de Kynch,
Método de Talmadge
e Ficht,
Método de Roberts.
22
Dimensionamento
Hipóteses adotadas:
1.a velocidade de decantação 
dos sólidos em cada zona é 
função da concentração local da 
suspensão.
2.as características essências 
do sólido obtido durante os 
ensaios de decantação 
descontínua não se alteram 
quando se passa para o 
equipamento de larga escala.
Hipótese nem sempre verdadeira.
23
Método de Coe e Clevenger
O método consiste em:
1. Parte-se de 1 litro com 
suspensão de sólidos de 
alimentação e determina-se a 
concentração e velocidade 
inicial de decantação;
2. Dilui-se a suspensão com 
água e determina-se 
novamente a velocidade de 
decantação inicial
3. Repete-se o procedimento 
até que se tenha dados 
suficientes para relacionar a 
velocidade de decantação 
com a concentração;
4. De posse desta relação, a 
área do decantador é 
calculada para as diversas 
concentrações. 
24
O valor máximo da área 
encontrada será aquela 
necessária para permitir a 
decantação em regime 
permanente de todo sólido 
alimentado no decantador.
Na prática adota-se um 
coeficiente de segurança que 
pode exceder a 100%.
Método de Coe e Clevenger
• QA e CA são as vazões e 
concentrações da suspensão 
de alimentação.
• QC e QE são as vazões 
volumétricas de líquido 
clarificado e de lama 
espessada.
• CC e CE são as 
concentrações de líquido 
clarificado e de lama 
espessada.
25
QA, CA
QE, CE
QC
Zona limite
Sistema 
Método de Coe e Clevenger
• Na zona limitante, 
encontram-se as vazão de 
suspensão, Q, e a 
concentração, C.
•Para não haver partículas no 
vertedor de clarificado, a 
velocidade de ascensional do 
líquido nesta seção limite 
deverá ser menor que a 
velocidade de decantação 
das partículas 
correspondentes a 
concentração C.
26
QA, CA
QE, CE
QC
Zona limite
Sistema 
Método de Coe e Clevenger
• Não havendo arraste de 
partículas para cima, todo 
sólido que chega na zona 
limite sairá necessariamente 
pelo fundo do decantador
quando este opera em regime 
estacionário.
• Logo, a diferença entre Q e 
QE será a vazão volumétrica 
de líquido que sobe pelo 
decantador nessa seção.
27
QA, CA
QE, CE
QC
Zona limite
Sistema 
Método de Coe e Clevenger
• (Q – QE)/S será a 
velocidade ascensional do 
líquido nesta seção.
• Portanto, esta velocidade 
deverá ser menor que a 
velocidade de decantação 
nessa zona.
28
QA, CA
QE, CE
QC
Zona limite
Sistema 
Método de Coe e Clevenger
•A condição limite poderá ser 
escrita como:
Portanto,
Os balanços materiais de sólidos 
podem ser escritos como:
Assim,
Chega-se a equação da área de 
decantação
29
EQ Qu
S


EQ QS
u


A A E EQ C QC Q C 
A A A A
E
E
Q C Q C
Q e Q
C C
 
1 1
A A
E
Q C
C C
S
u
 
 
 
Método de Coe e Clevenger
Método de Kynch
• Kynch desenvolveu 
um método de 
dimensionamento 
de decantadores 
que requer apenas 
um ensaio.
• Ele demonstrou que 
a velocidade 
ascensional, v, 
depende apenas da 
concentração na 
zona limite.
30
• A massa de sólidos 
contido no recipiente 
no tempo t0 é igual a 
massa de sólidos em 
t1.
31
Tempo t0
Z0
Tempo t1
Z1
Tempo t2
Z2
0 1 2t t t
m m m 
0 0 1 1
0 0 0 1 1 1
0 1
0 0 1 1
Como, , então:
t t t t
t t t t t t
t t
t t t t
c V c V
c S z c S z
S S
c z c z
 
 


Método de Kynch
• O método consiste, 
basicamente, em medir as 
alturas entre as zonas de 
clarificado e de suspensão:
32
Tempo t0
Z0
Tempo t1
Z1
Tempo t2
Z2
q z
to zo
t1 z1
t2 z2
t3 z3
... ...
tn zn
Método de Kynch
• Cria-se a curva de 
decantação das 
alturas (Z) em função 
do tempo de 
decantação nesta 
cota (θ), Figura ao 
lado. 
• Traça-se uma 
tangente em um 
tempo (θ) qualquer e 
lê-se os valores de Zi 
e Z.
33
Zi
Z
q
Método de Kynch
• Repete-se o 
procedimento para 
diferentes tempos 
de decantação na 
cota Zi. 
• Com os valores de 
Z, Zi e θ determina-
se os valores da 
velocidade e da 
concentração como 
segue:
34
iZ ZdZu
dq q

 
0 0
i
Z C
C
Z

Zi
Z1
q1 q2
Z2
q3
Z3
Zi
Zi
Método de Kynch
• Com os resultados das 
concentrações e velocidades 
calculados, aplica-se o 
método de Coe e Clevenger 
para se determinar os 
valores das áreas, usando a 
equação ao lado.
• Do gráfico de S em função 
de C, determina-se o valor 
máximo que irá corresponder 
ao valor da menor área que o 
decantador deverá ter.
35
1 1
A A
E
Q C
C C
S
u
 
 
 
Aplica-se o fator de 
segurança de 100%, 
ou seja,
S = 2.Smáx
Método de Kynch
• Este é um método gráfico 
que permite localizar com 
exatidão o ponto crítico 
(início da zona de 
compressão), que às vezes 
é difícil de determinar pelos 
métodos anteriores. 
• Com os dados do ensaio de 
decantação traça-se um 
gráfico de Z - Zf versus θ 
em papel mono-log. 
36
(Z – Zf)
Método de Roberts
37
• A curva obtida mostra 
uma descontinuidade 
no ponto crítico, o que 
permite determinar θC
com precisão. 
• Conhecido este valor, 
identifica o valor na 
curva de Z versus θ
(Z – Zf)
Método de Roberts
38
• Com o valor de θC
traça-se uma 
tangente sobre a 
curva de Z versus θ
e identifica-se ZC e 
ZiC , para então se 
determinar os 
valores de uC e CC
usando as 
equações:
i C
C
C
dZ Z Z
u
dq q

  
0 0
C
iC
Z C
C
Z

Método de Roberts
39
• Com os valores de de uC e CC determina-se a área 
mínima do decantador usando a seguinte equação:
1 1
A A
C E
C
Q C
C C
S
u
 
 
 
Método de Roberts
40
• Este método gráfico 
permite calcular 
diretamente a área 
mínima do 
espessador quando 
se conhece o ponto 
de compressão (PC ) 
na curva de 
decantação. 
• Faz-se o gráfico de 
Z em função de θ;
• Identifica-se o valor 
de θE obtido pelo 
método de Roberts.
Zi
Z
qC
Método de Talmadge e 
Fitch
41
• Identifica-se a altura 
de espessamento, ZE;
• E, finalmente, 
determina-se o valor do 
tempo de 
espessamento, θE;
• Calcula-se, então, a 
área de decantação.
Zi
Z
qC
ZE
qE
Método de Talmadge e 
Fitch
42
• A área mínima 
pode ser calculada 
a partir das 
equações 
utilizadas 
anteriormente:
1 1
A A
iC E
iC
Q C
C C
S
u
 
 
 
i E
iC
E
Z Z
u
q

 0 0iC
iC
Z C
C
Z

Método de Talmadge e 
Fitch
43
• Substituindo as 
equações acima na 
expressão para o 
cálculo da área se 
• tem:
0 0
1 1
A A
E
iC
iC E
E
Q C
CZ
Z Z
S
C
Z
q
 
 
 
 
 



0 0
0 0
A A E
iC
E iC E
Z CQ C
S Z
Z C C Z Z
q 
  
 
Método de Talmadge e 
Fitch
44
• Logo, a área mínima será calculada por:
0 0
E
E
Z C
Z
C

Como, 
Logo, 
0 0
min
0 0 0 0
iC
EA A E
iC
E
Z C
Z
CQ C
S
Z C Z C
Z
C
q
 
 
 
 
 
 
min
0 0
A A EQ CS
Z C
q

Método de Talmadge e 
Fitch
Dimensionamento de Espessadores
V : Volume da suspensão 
com densidade média 
(ρm) 
VS : Volume do sólido com 
densidade (ρs ) 
(V-Vs) : volume do líquido 
com densidade (ρ)
• ORGANIZAR
Dimensionamento de Espessadores
V : Volume da suspensão 
com densidade média 
(ρm) 
VS : Volume do sólido com 
densidade (ρs ) 
(V-Vs) : volume do líquido 
com densidade (ρ)
Dimensionamento de Espessadores
VS : Volume do sólido 
Vazão mássica do sólido : 
QA.CA, (t/h)
Vazão volumétrica de sólido : 
QA.CA / ρS (m
3/h)
Tempo de residência do sólido 
na zona de compressão : 
tE - tC
Dimensionamento de Espessadores
• Substituindo Vs 
na expressão do 
Volume do 
sedimentador.
• Como H = V / S
• Temos....


 


m
s
cE
s
AA tt
CQ
V )(
Dimensionamento de Espessadores
Vazão mássica do sólido : QA.CA
Vazão volumétrica de sólido : 
QA.CA / ρS
Tempo de residência do sólido na 
zona de compressão .. tE - tC
área do sedimentador... S 
Densidades do sólido, líquido e 
média... (ρs, ρ, ρm)
...
Dimensionamento de Espessadores
Exemplo 01: 
Uma suspensão 
aquosa foi 
submetida a 
uma série de 
ensaios de 
decantação e 
foram obtidos os 
seguintes 
resultados : 
C g/L 265 285 325 415 465 550 
u (cm/h) 10 8 6 3 2 1 
 
Dimensionamento de Espessadores
• Exemplo 01: Uma suspensão aquosa foi submetida a uma série 
de ensaios de decantação e foram obtidos os seguintes 
resultados : 
Calcular
i) o diâmetro de um decantador com capacidade de processar uma 
vazão mássica de sólidos de 8 ton/h de uma suspensão 
contendo 236 Kg / m3. A lama deverá conter 550 Kg / m3 de 
sólidos. Usar o Método de Coe e Clevenger.
ii) a altura do sedimentador se (te-tc)=8h e as densidades do sólido, 
da suspensão e da água são 1,40; 1,06 e 1,00 g/cm3, 
respectivamente.
C g/L 265 285 325 415 465 550 
u (cm/h) 10 8 6 3 2 1 
 
• Resolução...
Considerando o método 
de Coe e Clevenger...
QA.CA = 8 ton / h 
CE = 0,550 ton / m
3
CA = 0,236 ton / m
3
u
CC
CQ
S
E
AA 







11
C t/m3 0,265 0,285 0,325 0,415 0,465 0,55 
u (m/h) 0,1 0,08 0,06 0,03 0,02 0,01 
S (m2) 156,4 169,1 167,8 157,7 132,9 0 
 
O valor máximo obtido corresponde a área 
mínima que o decantador !!! 
Temos S = 169,1 m2
Logo o diâmetro do equipamentos será..
Aproximadamente...de 15,7 m
e H = 
1,1 m 
• Video no You Tube...
• Determinación 
experimental de la 
velocidad de 
sedimentación
• Exercício 
• Geankoplis Ex: 14.3.11 (Kynch + Talmadge e Fitch) (3.a 
Edição) 
• Material disponível no site 
www.enq.ufsc.br/muller
Coeficiente de Arraste