Apostila + exercicios resolvidos -adensamento

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PUC-Rio, Departamento de Engenharia Civil 
ENG1211 – Mecânica dos Solos 
C. Romanel 60 
 
2. TEORIA DO ADENSAMENTO PRIMÁRIO 
 
2.1 Introdução 
 
Adensamento é a gradual redução de volume de um solo saturado de baixa 
permeabilidade devido à drenagem da água de seus vazios, com o processo 
hidráulico-mecânico continuando até que o excesso de poropressão gerado por 
um incremento de tensão total tenha sido completamente dissipado. O 
adensamento envolve os seguintes fenômenos interconectados: aumento da 
tensão efetiva, decréscimo da poropressão, decréscimo do teor de umidade, 
decréscimo do volume do solo e rearranjamento das partículas sólidas. 
 
Se o excesso de poropressão for negativo, com o solo aumentando de volume 
no tempo, o processo é chamado de expansão. 
 
A maior parte deste capítulo é reservada para estudo da teoria do 
adensamento unidimensional (deformações verticais apenas) proposta por 
Terzaghi (1923), incluindo os métodos experimentais para avaliação de 
parâmetros geotécnicos, soluções aproximadas (algébricas e gráficas), 
formulações para cálculo do recalque de adensamento primário e de 
compressão secundária, técnicas para aceleração da dissipação dos excessos 
de poropressão (drenos verticais), imposição de pré-carregamentos para 
aceleração de recalques, entre outros tópicos. 
 
2.2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL GOVERNANTE DO FLUXO DE ÁGUA EM MEIOS 
POROSOS 
 
A Fig. 2.1 mostra o movimento da água ao longo de trajetórias curvas, 
chamadas de linhas de fluxo, no solo de fundação de uma barragem de 
concreto de grande comprimento perpendicular ao plano do papel, com cortina 
impermeável à montante, caracterizando um problema de fluxo 2D. 
 
Considere as condições de fluxo no ponto P, representado em escala majorada 
pelo prisma de arestas infinitesimais dx, dy, dz na mesma figura. A velocidade 
no ponto P é tangente à linha de fluxo e pode ser representada por suas 
componentes horizontal vx e vertical vy, lembrando que vz = 0 neste problema 
2D. 
 
Assumindo que a água é incompressível, a vazão infinitesimal no elemento, 
definida como a diferença entre a vazão de entrada entdQ e a vazão de saída 
saidQ pode ser escrita como, 
 
saient dQdQdQ  (2.1) 
 
zxyzyx
ent ddvddvdQ  (2.2) 
 
zxy
y
yzyx
x
x
sai ddd
y
v
vddd
x
v
vdQ 

















 
(2.3) 
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zyx
yx ddd
y
v
x
v
dQ 












 
(2.4) 
 
(a) 
 
 
(b) 
Figura 2.1 - (a) Fluxo 2D no solo de fundação de barragem impermeável de concreto; (b) 
componentes de velocidade no elemento infinitesimal que representa o ponto P. 
 
A vazão no elemento de volume dV = dxdydz pode também ser expressa em 
função da variação com o tempo do volume de água dVw presente nos vazios 
dVw = SdVv onde S é o grau de saturação e dVv o volume infinitesimal de 
vazios. 
 
 
   
e
ddd
t
Se
t
e
edV
S
t
SdV
dV
t
dQ
zyxv
w



















1
1
 
(2.5) 
 
observando que dxdydz/(1+e) = dVs é o valor constante do volume de sólidos, 
independente do tempo. 
 
Como as Eqs. (2.4) e (2.5) são equivalentes, 
 
 
e
ddd
t
Se
ddd
y
v
x
v zyx
zyx
yx
















1
 
 (2.6) 
dx
x
v
v xx



 
xv 
yv 
dy
y
v
v
y
y



 
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Considerando a lei de Darcy para regime de fluxo laminar xhkv xx  e 
yhkv yy  resulta 
 
































t
S
e
t
e
S
ey
h
k
yx
h
k
x
yx
1
1
 
(2.7) 
 
onde kx e ky são os coeficientes de permeabilidade principais. 
 
Hipótese 1: solo é homogêneo 0 ykxk yx 
 


















t
S
e
t
e
S
ey
h
k
x
h
k yx
1
1
2
2
2
2
 
(2.8) 
 
Hipótese 2: solo é homogêneo e isotrópico kkk yx  
 


















t
S
e
t
e
S
ey
h
k
x
h
k
1
1
2
2
2
2
 
(2.9) 
 
Hipótese 3: na equação (2.9) o índice de vazios varia com o tempo 0 te 
mas grau de saturação S=1 permanece constante 0 tS . 
 
t
e
ey
h
k
x
h
k









1
1
2
2
2
2
 
(2.10) 
 
A Eq. 2.10 governa o adensamento 2D onde o solo permanece saturado mas o 
volume de vazios diminui (adensamento) ou aumenta (expansão) com o tempo. 
 
Hipótese 4: na equação (2.9) o índice de vazios permanece constante 0 te 
e grau de saturação permanece constante 0 tS . 
 
000 2
2
2
2
2
2
2
2
2












h
y
h
x
h
y
h
k
x
h
k 
 
(2.11) 
 
A Eq. 2.11 governa o fluxo permanente 2D onde o solo permanece com volume 
e grau de saturação (S =1) constantes, assunto já tratado em disciplina 
anterior. Esta equação diferencial parcial linear é conhecida como equação de 
Laplace. 
 
2.3 TEORIA DO ADENSAMENTO PRIMÁRIO DE TERZAGHI 
 
A teoria do adensamento de Terzaghi estuda a variação das poropressões com 
o tempo, sendo a deformação do esqueleto sólido determinada de forma 
independente com base na equivalência assumida entre a porcentagem média 
de dissipação dos excessos de proropressão Uv e o recalque de adensamento 
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primário no instante t. A teoria de Terzaghi é bastante utilizada na prática da 
engenharia geotécnica apesar de algumas limitações introduzidas por suas 
hipóteses básicas: a) solo isotrópico, completamente saturado; b) grãos 
minerais e a água são incompressíveis; c) validade da lei de Darcy; d) o 
coeficiente de adensamento cv permanece constante durante o adensamento; 
e) há uma única relação linear entre índice de vazios e tensão vertical efetiva 
que permanece constante durante o adensamento; f) as deformações que 
ocorrem no solo são infinitesimais. 
 
As maiores limitações1 dizem respeito às hipóteses d) e e). Evidências 
experimentais em solos mostram que o coeficiente de adensamento decresce 
rapidamente quando a tensão vertical efetiva atinge a pressão de pré-
adensamento e o comportamento tensão x deformação é tampouco linear ou 
elástico. Ressalte-se, neste ponto, que a não linearidade da curva tensão x 
deformação pode ser incorporada na obtenção do recalque final de 
adensamento primário mas não na solução da equação do adensamento 
primária desenvolvida por Terzaghi. 
 
Considere a equação diferencial governante para o adensamento 2D (Eq. 2.10) 
 
t
e
ey
h
k
x
h
k









1
1
2
2
2
2
 
(2.10) 
 
Para a situação 1D, admitindo z como eixo vertical 
 
t
e
ez
h
k z






1
1
2
2
 onde 
(2.12) 
 
 












ess
w
e uuh
zz
h

1
2
2
2
2
 
(2.13) 
 
Como a carga de elevação he varia linearmente com a coordenada vertical z, 
resulta na Eq. (2.13) que 0zh 2e
2  . Como na condição permanente a 
poropressãouss
2
 varia linearmente com a profundidade
3, então 0zu 2ss
2  e 
a Eq. 2.13 pode ser reescrita como: 
 
t
e
e1
1
z
uk
2
e
2
w
z







 
(2.14) 
 
 
1
 “Considerando que a teoria de Terzaghi produz resultados aceitáveis em muitos casos de campo, alguns 
engenheiros sentem que se todas as hipóteses realistas fossem consideradas simultaneamente certos 
efeitos poderiam se cancelar mutuamente” - Mesri & Rokhsar, 1974. 
2
 O índice ss (steady state) denota a condição permanente em t 
3
 Relembrar que para fluxo 1D em regime permanente o gradiente hidráulico é constante. 
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Considerando uma relação tensão x deformação linear para o esqueleto sólido, 
define-se como coeficiente de compressibilidade 4 'vv ddea  (Fig. 2.2). 
Assim, pela regra da cadeia do cálculo diferencial e em conjunto com o 
princípio das tensões efetivas de Terzaghi para solos saturados, é possível 
escrever 
 
 
  essv2
e
2
vw
z
'
v
'
v
2
e
2
w
z uu
tz
u
a
e1k
t
e
e1
1
z
uk



















 
(2.15) 
 
 
Figura 2.2 – Relação linear assumida entre a variação do índice de vazios ( e ) e a variação da 
tensão vertical efetiva (
'
v ) - Craig (2004). 
 
Como na condição permanente 0tuss  , obtém-se então a equação de 
adensamento de Terzaghi cuja “dedução marca o início da moderna mecânica 
dos solos” (Lambe e Whitman, 1969). Desenvolvida na década de 1920, “é 
ainda ensinada para todo estudante de engenharia geotécnica, ainda usada 
por todo engenheiro geotécnico, mesmo quando métodos mais avançados são 
também ensinados ou eventualmente empregados” (Duncan,1993). 
 
 
vw
z
v
vee
v
a
ek
c
tt
u
z
u
c

 








 1
2
2
 
(2.16) 
 
onde cv é denominado coeficiente de adensamento com unidades L
2 T-1. 
 
Se a tensão total permanecer constante  0tv  a Eq. 2.16 se transforma 
em um caso particular da equação de difusão (Eq. 2.17). Note que pelo fato da 
tensão total ser considerada constante, a ocorrência de deformações do 
esqueleto sólido é totalmente devida ao acréscimo das tensões efetivas 
decorrente da gradual dissipação dos excessos de poropressão. 
 
 
4
 O sinal negativo se justifica porque há uma diminuição do índice de vazios com o aumento da tensão 
vertical efetiva e o parâmetro de deformabilidade av é definido como quantidade positiva. 
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t
u
z
u
c e
2
e
2
v





 
(2.17) 
 
A equação diferencial parcial Eq. 2.17 é linear, isto é o excesso de poropressão 
ue e suas derivadas aparecem somente na primeira potência e também não há 
produtos entre a variável ue e suas derivadas. A superposição de soluções é 
válida e a linearidade da equação governante torna conveniente a utilização de 
parâmetros normalizados com o objetivo de expressar a Eq. 2.17 de forma 
adimensional e assim obter uma solução matemática geral que facilite a 
apresentação de resultados sob a forma de gráficos e tabelas. 
 
Define-se os parâmetros adimensionais por, 
 
2
v
v
H
tc
Te
H
z
Z 
 
(2.18) 
onde z representa a profundidade de um ponto a partir do topo da camada de 
solo saturado, Z a profundidade adimensional, Tv o fator tempo, H a espessura 
de drenagem da camada, igual à sua espessura real dividida pelo número de 
faces de drenagem (2 para drenagem no topo e base; 1 para drenagem no 
topo ou na base). 
 
Logo, a Eq. 2.17 pode ser transformada em 
 
v
e
2
e
2
v
e
v
22
e
2
2
v
T
u
Z
u
T
u
c
H
1
Z
u
H
c











 
 
(2.19) 
A solução da equação diferencial parcial (Eq. 2.19) naturalmente vai depender 
ainda das condições de contorno específicas do problema e de uma condição 
inicial, conforme algumas soluções típicas abordadas na seção seguinte. 
 
2.4 SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DE DIFUSÃO 
 
2.4.1 – Caso 1 
 
a) Condição inicial – no instante inicial t0 excesso de poropressão u0 uniforme 
ao longo da espessura b da camada para 0 ≤ z ≤ b. 
 
b) Condições de contorno – para t > 0 excesso de poropressão nulo ue = 0 nos 
contornos em z = 0 (Z = 0) e em z = b (Z = 2), admitindo-se duas faces de 
drenagem (b = 2H). 
 
Antes de prosseguir, pergunta-se que tipo de carregamento produziria um 
excesso inicial de poropressão u0 uniforme com a profundidade e deformações 
laterais nulas? Considere a fundação circular perfeitamente flexível de raio R, 
uniformemente carregada (q), na superfície de um semi-espaço linearmente 
elástico, homogêneo e isotrópico. Como já estudado no capítulo 1, a 
distribuição dos acréscimos das tensões principais causado pelo carregamento 
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da fundação pode ser determinada analítica (Poulos e Davis, 1974) ou 
graficamente, conforme Fig. 2.3. 
 
Nesta figura observe que as deformações horizontais são nulas em x/R = 0 
devido à simetria do problema em relação ao eixo z/R. Admitindo que o raio da 
fundação circular aumente infinitamente tal que, para qualquer ponto do maciço 
de solo P(x,z), resulte nos valores normalizados 0R/x  e 0R/z  , então o 
acréscimo de tensão vertical tende a tornar-se constante com a profundidade e 
igual ao valor do carregamento aplicado q. Observe também que as 
deformações horizontais seriam também nulas porque qualquer eixo vertical 
para uma fundação de raio infinito pode ser admitido como eixo de simetria (
0R/x  ). A designação 1D para o adensamento significa, portanto, 
unidimensional em termos de deformações, i.e. acontecem somente 
deformações verticais. Em campo, as condições para geração de deformações 
1D implica portanto na aplicação de um carregamento (aterro, radier) de 
grandes dimensões e, em laboratório, no confinamento lateral das amostras de 
solo ensaiadas. 
 
Figura 2.3 – Distribuição dos acréscimos das tensões principais em um semi-espaço linearmente 
elástico, isotrópico e homogêneo gerados pelo carregamento uniforme ∆q em uma fundação 
circular perfeitamente flexível de raio R. Distribuição dos acréscimos 3 para ν = 0.45 (Lambe e 
Whitman, 1969). 
 
A solução analítica da equação diferencial 2.19 é dada pela série de Fourier 
(Taylor, 1948) 
 
   1m2
2
McomesenMZ
M
u2
u v
2TM
0m
0
e 





 
 
(2.20) 
 
graficamente representada na Fig. 2.4 onde Uz é a porcentagem (ou grau) de 
dissipação dos excessos de poropressão na profundidade normalizada Z para 
o fator tempo Tv. Define-se Uz como 
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   1m2
2
MesenMZ
M
2
1U
u
u
1
u
uu
U
v
2TM
0m
z
0
e
0
e0
z









com
 
 
 
(2.21) 
 
O progresso do adensamento no tempo é visualizado através da série de 
curvasda Fig. 2.4, chamadas de isócronas. A inclinação da isócrona em 
relação ao eixo vertical, para quaisquer valores de Z e Tv, é proporcional ao 
valor do gradiente hidráulico que gera o fluxo vertical transiente da água. 
 
 
Figura 2.4 – Porcentagem de dissipação do excesso de poropressão Uz em função da 
profundidade normalizada Z e do fator tempo Tv para excesso uniforme de poropressão inicial 
u0 (Lambe e Whitman, 1969). 
 
Entre os pontos A e B da Fig. 2.5 o fluxo transiente, vertical e ascendente, no 
fator tempo Tv, ocorre devido à seguinte diferença de carga hidráulica 
 





 





 

w
B
e
B
ssB
e
w
A
e
A
ssA
e
BA uuh
uu
hhhh

 
 
(2.22) 
 
      BzAz
W
0B
ss
A
ss
w
B
e
A
e
w
B
ssB
e
w
A
ssA
e U1U1
u
hh
uuu
h
u
hh 





















 
 
 
2.23 
 
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Admitindo-se em princípio que na condição permanente não há fluxo, então a 
diferença de carga total hss é nula
5 em t  , 
 
0hhh Bss
A
ssss  
 
 
W
z0
W
A
z
B
z0 UuUUuh



 

 
 
(2.24) 
 
 
Figura 2.5 – Diferença de carga hidráulica h entre os pontos A e B no fator tempo Tv. 
 
No limite, quando os pontos A e B coincidirem ( 0 ZHz ), o gradiente 
hidráulico no tempo Tv, considerando a Eq. 2.24, pode ser calculado por 
 
Z
U
H
u
Z
U
lim
H
u
z
h
limi z
W
0z
0Z
W
0
0z 


 




 
 
(2.25) 
A interpretação geométrica da derivada 
Z
Uz

 é a inclinação que a tangente à 
isócrona Tv, traçada pelo ponto na profundidade normalizada Z = z/H, forma 
com o eixo vertical Z. 
 
Estas considerações sobre a interpretação do gradiente hidráulico permitem 
fazer as seguintes observações em relação às isócronas da Fig. 2.4: 
 
a) imediatamente após a aplicação do carregamento surgem grandes 
gradientes hidráulicos nas proximidades do topo e da base da camada, 
indicando que há uma rápida variação do volume de solo nestas regiões. Em 
 
5
 se na condição permanente ocorrer diferença de carga total, uma solução do problema de fluxo 
permanente 1D deve ser adicionada à solução do problema de fluxo transiente (adensamento 1D). 
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contrapartida, no meio da camada (Z =1), deformações significativas começam 
a ocorrer somente para valores de Tv > 0.05; 
 
b) o gradiente hidráulico em Z = 1 é sempre nulo (tangente vertical), logo não 
há fluxo d’água através do plano médio da camada de solo; 
 
c) para Tv > 0.3 as isócronas são quase que curvas senoidais perfeitas, i.e. 
apenas o primeiro termo da série da Eq. 2.20 (m = 0 com M = /2) torna-se 
importante para definição da isócrona. 
 
3.0TparaeZ
2
sen
u4
u v
T
40
e
v
2











 (2.26) 
Em termos de engenharia geotécnica, é mais conveniente conhecer, para certo 
valor do fator tempo Tv, a porcentagem média de dissipação dos excessos de 
poropressão Uv em toda a espessura da camada de solo saturado e não 
apenas em pontos isolados na profundidade normalizada Z. 
 
0
e
0
e0
v
u
u
1
u
uu
U 

 
 
(2.27) 
 
onde eu é o excesso médio de poropressão na camada de solo saturado para 
determinado valor de Tv. 
 
O valor de eu pode ser calculado com base na equivalência das áreas da Fig. 
2.6, uma compreendida entre a isócrona genérica Tv e o eixo vertical Tv   
(quando Uz = 100%) e outra área de forma retangular, com mesma espessura 
normalizada (Z=2), e largura igual ao valor médio do excesso de poropressão 
eu no mesmo fator tempo Tv. 
 
Figura 2.6 – Equivalência de áreas para determinação do excesso médio de poropressão eu no 
fator tempo Tv. 
 
   1m2
2
McomdZeMZsen
M
u2
2
1
udZuu2 v
2TM
2
0 0m
0
2
0
eee 





 
 
 
 (2.28) 
ūe 
2 
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       







0m
TM
2
0
e
0m
2
0
TM
2
0
e 0cosM2cose
M
u
uMZcose
M
u
u v
2
v
2
 
 
com cos(0) =1 e cos(2M) = -1. Logo, 
 
 
 





0m
TM
2
0
e
v
2
e
M
u2
u 
 
(2.29) 
 1m2
2
Mcome
M
2
1
u
u
1)T(U
0m
TM
2
0
e
vv
v
2
 


 
 
 
(2.30) 
 
A Eq. (2.30) também pode ser aproximada, com boa precisão, pelas seguintes 
expressões algébricas propostas por Fox (1948): 
60.0Upara085.0)U1log(933.0T
60.0UparaU
4
T
v
2
vv



 
 
(2.31) 
 
ou, alternativamente, ser estimada por meio da solução gráfica representada 
na Fig. 2.7 pela curva (1). Uma comparação dos valores obtidos pelas 
equações (2.30) e (2.31) é mostrada na Tabela 2.1. 
 
Tabela 2.1 – Comparação entre valores da porcentagem média de dissipação dos excessos de 
poropressão Uv. 
 
Tv Uv (%) 
Eq. 2.30 
Uv (%) 
Eq. 2.31 
0.001 03.57 03.57 
0.010 11.28 11.28 
0.020 15.96 15.96 
0.030 19.54 19.54 
0.040 22.57 22.57 
0.050 25.23 25.23 
0.060 27.64 27.64 
0.070 29.85 29.85 
0.080 31.92 31.92 
0.090 33.85 33.85 
0.100 35.68 35.68 
0.200 50.41 50.46 
0.300 61.32 61.33 
0.400 69.79 69.79 
0.500 76.40 76.40 
0.600 81.56 81.56 
0.700 85.59 85.59 
0.800 88.74 88.74 
0.900 91.20 91.20 
1.000 93.13 93.13 
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Figura 2.7 – Relação entre porcentagem média de dissipação dos excessos de poropressão Uv 
e fator tempo Tv (Craig, 2004). 
 
Teoricamente o adensamento primário se prolonga infinitamente no tempo (
t ) mas, para fins de engenharia, poderia ser escolhido um valor do fator 
tempo Tv que indicasse, na prática, o final do adensamento primário? Com 
base nos valores da porcentagem média de dissipação dos excessos de 
poropressão Uv da Tabela 2.2, geralmente se considera para propósito de 
engenharia o final do adensamento primário quando Tv = 1 (Lambe e Whitman, 
1969). 
 
 
curva 1 curva 1 curva 1 
curva 1 curva 2 curva 3 
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Tabela 2.2 - Porcentagem média de dissipação dos excessos de poropressão para alguns 
valores do fator tempo Tv. 
 
Tv Uv (%) Tv Uv (%) Tv Uv (%) 
1 93.13% 2 99.42 3 99.95 
 
 
Para consolidar os conceitos introduzidos até este ponto será resolvido em sala 
de aula o exercício proposto 1. 
 
2.4.2 – Caso 2 
 
a) Condição inicial – no instante inicial t0 excesso de poropressão u0 uniforme 
ao longo da espessura b dacamada para 0 ≤ z ≤ b. 
 
b) Condições de contorno – para t > 0 excesso de poropressão nulo ue = 0 no 
contorno em z = 0 (Z = 0) e velocidade de fluxo nula ( 0 zuzhi e ) no 
contorno impermeável em z = b (Z = 1), admitindo-se única face de drenagem 
(b = H). Alternativamente, com condições de contorno intercambiadas entre os 
contornos em Z = 0 e Z = 1. 
 
Neste caso as soluções obtidas no caso 1 para porcentagem de dissipação dos 
excessos de poropressão Uz na profundidade normalizada Z, no fator tempo Tv 
(Eq. 2.21 e Fig. 2.4), bem como para porcentagem média de dissipação dos 
excessos de poropressão Uv no fator tempo Tv (Eqs. 2.30 e 2.31, Fig. 2.7, 
Tabela 2.1) continuam válidas, porém restritas ao intervalo 0 ≤ Z ≤ 1. 
 
Note que se no caso 1 (dupla drenagem) uma camada de solo de espessura b 
atingir determinado valor de Uv no tempo t1, então a mesma camada, porém 
com drenagem simples (caso 2), atingirá a mesma porcentagem média de 
dissipação dos excessos de poropressão Uv no tempo t2 = 4t1. 
 
    1222v21v
2
v
1
v
2
vv
1
vv t4t
b
tc
2
b
tc
TTTUTU 






 
(2.32) 
 
2.4.3 – Caso 3 
 
Quando a distribuição inicial do excesso de poropressão for uma função da 
profundidade u0 = u0(z) então a solução da equação da difusão (Eq. 2.19) é 
dada por 





















  ...2,1ncomeH2
zn
sendz
H2
zn
sen)z(u
H
1
u 4
Tn
1n
H2
0
0e
v
22

 
(2.33)
 
 
Uma das únicas soluções de interesse prático na engenharia é a variação 
linear (triangular, trapezoidal) dos excessos iniciais de poropressão. Uma 
distribuição triangular pode ser gerada em campo pela redução da poropressão 
em aquífero granular por bombeamento (extração d’água da camada de areia 
inferior na Fig. 2.8a) ou pela variação do nível do lençol freático na camada 
permeável superior da Fig. 2.8b. Outros exemplos são o adensamento de 
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aterros hidráulicos devido ao peso próprio (Fig. 2.8c) ou o carregamento de 
fundações superficiais (Fig. 2.8d) onde a distribuição dos acréscimos iniciais de 
poropressão ao longo do eixo pode ser aproximada por uma distribuição 
trapezoidal (aproximação da distribuição dos acréscimos de tensão vertical 
obtida da solução pela teoria da elasticidade linear do capitulo 1). 
 
Figura 2.8a - Uma camada de argila, inicialmente sujeita ao fluxo permanente 1D gerado na 
camada de areia inferior (aquífero granular artesiano). Na figura a carga de pressão do aquífero 
é reduzida para o valor da carga de pressão hidrostática por meio de bombeamento. 
 
Figura 2.8b - A carga hidráulica da camada de argila está inicialmente em equilíbrio com o nível 
do lençol freático 1, que é elevado para o nível 2 devido ao enchimento do reservatório de uma 
barragem situado nas proximidades, por exemplo. Admite-se que carga hidráulica da camada 
de areia inferior não seja modificada. Note a ocorrência combinada na camada de argila de 
fluxo transiente (ascendente e descendente) e fluxo permanente (descendente, da camada de 
areia superior para a camada de areia inferior). 
 
 
Figura 2.8c – Distribuição triangular do excesso inicial de poropressão causada pelo peso 
próprio do material lançado (Jumikis, 1962). 
 
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Figura 2.8d – Distribuição trapezoidal aproximada dos excessos iniciais de poropressão 
causada pelo carregamento de fundação superficial. A linha tracejada corresponde à 
distribuição dos acréscimos de tensão vertical pela teoria da elasticidade linear (Jumikis, 1962) 
 
a) Condição inicial – no instante inicial t0 distribuição triangular do excesso de 
poropressão u0 ao longo da espessura b da camada para 0 ≤ z ≤ b. 
 
b) Condições de contorno – para t > 0 excesso de poropressão nulo ue = 0 nos 
contornos em z = 0 (Z = 0) e em z = b (Z = 2), admitindo-se duas faces de 
drenagem (b = 2H). 
 
A solução analítica da equação diferencial Eq. 2.19 neste caso é dada por 
 
  





 




...2,1
2
1
2
4
221
1
0 ncome
Zn
sen
n
u
u
vTnn
n
b
e



 
 
(2.34) 
 
onde Z é medido a partir do vértice da distribuição triangular e b0u representa o 
excesso de poropressão inicial na base desta distribuição. 
 
A porcentagem de dissipação do excesso de poropressão Uz na profundidade 
normalizada Z no fator tempo Tv é obtida pela Eq. 2.35 ou dos gráficos das 
isócronas da Fig. 2.9. 
 
  





 





...2,1
2
1
2
1
1
4
22
1
1
00
0
ncome
Zn
sen
n
U
u
u
u
uu
U
vTnn
n
z
b
e
b
e
b
z


 
(2.35) 
 
A porcentagem média de dissipação dos excessos de poropressão Uv = Uv(Tv) 
é determinada pela equivalências das áreas da Fig. 2.10, em relação ao 
excesso de poropressão equivalente �̅�𝑏 na base da distribuição triangular. 
 
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Figura 2.9 – Porcentagem de dissipação do excesso de poropressão Uz na profundidade 
normalizada Z, no fator tempo Tv, para distribuição triangular inicial de u0. 
 
 
Figura 2.10 – Equivalência de áreas de distribuição dos excessos de poropressão 
para determinado fator tempo Tv. 
    





 
 



,...2,1
2
1
2
2
2 2
0 1
4
22
10
2
0
ndZe
Zn
sen
n
u
udZu
u
n
vTn
n
b
b
e
b 

 
 
 
 
    











,...2,1)0cos()cos(
2
1
2
1
4
22
10 nn
n
e
n
u
u
n
vTn
n
b
b 


 
uma série que apresenta termos positivos não nulos apenas para valores 
ímpares de n. 
 











...,5,3,1
842
1
4
22
22
0
1
4
22
0 ne
n
u
n
e
n
u
u
n
vTnb
n
vTnb
b


 
Logo, a porcentagem média de dissipação dos excessos de poropressão, em 
relação ao excesso de poropressão inicial bu0 na base da distribuição triangular, 
é determinada por 
 
 
�̅�𝑏 
𝑍 = 2 
 
𝑍 = 0 
 
𝑢𝑒 
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 



,...,5,3,1ncome
n
8
1
u
u
1)T(U
1n
4
Tn
22b
0
b
vv
v
22

 (2.36) 
Comparando as Eqs. 2.30 e 2.36, com nmM
2
)12(
2

 , verifica-se que a 
porcentagem média de dissipação dos excessos de poropressão Uv = Uv(Tv) 
para a distribuição triangular com dupla face de drenagem (Eq. 2.36) é 
exatamente igual ao do caso 1 (Eq. 2.30). As soluções algébricas aproximadas 
(Eq. 2.31), bem como a solução gráfica da curva (1) da Fig. 2.7, podem então 
ser aplicadas no caso 3. Valores de Uv = Uv(Tv) permanecem os mesmos 
também para uma distribuição trapezoidal dos excessos iniciais de 
poropressão, conforme Tabela 2.1. 
 
Para consolidar os conceitos introduzidos até este ponto será resolvido em sala 
de aula o exercício proposto2. 
2.4.4 – Caso 4 
 
a) Condição inicial – no instante inicial t0 distribuição triangular do excesso de 
poropressão u0 ao longo da espessura b da camada para 0 ≤ z ≤ b. 
 
b) Condições de contorno – para t > 0 excesso de poropressão nulo ue = 0 no 
contorno em z = 0 (Z = 0) e velocidade de fluxo nula ( 0 zuzhi e ) no 
contorno impermeável em z = b (Z = 1), admitindo-se única face de drenagem 
(b = H). Alternativamente, com condições de contorno intercambiadas entre os 
contornos em Z = 0 e Z = 1. 
 
A distribuição dos excessos de poropressão com a profundidade para t > 0 
deve ser obtida através de solução numérica aproximada da Eq. 2.19, visto que 
no decorrer do adensamento há uma reversão do sentido de fluxo transiente 
(Fig. 2.11). Até determinado valor do fator tempo Tv a drenagem ocorre em 
ambos os sentidos, delimitados pelo ponto da isócrona com tangente vertical. A 
partir deste valor de Tv a drenagem passa a acontecer apenas do contorno 
impermeável para o contorno permeável. 
 
Em relação à porcentagem média de dissipação dos excessos de poropressão 
Uv = Uv(Tv) as soluções gráficas estão mostradas na Fig. 2.7 nas curvas (2) e 
(3), dependendo da posição da face impermeável em relação à distribuição 
triangular inicial de u0. A Tabela 2.3 mostra a relação entre Tv e Uv para ambos 
os casos de distribuição inicial dos excessos de poropressão: 𝑈𝑉
𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 2 quando a 
base da distribuição triangular está junto à superfície impermeável e 𝑈𝑉
𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 3 
quando o vértice da distribuição triangular está junto à superfície impermeável. 
Note que 
 
𝑈𝑉
𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 1 = 
𝑈𝑉
𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 2+𝑈𝑉
𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 3 
2
 (2.37) 
Para uma distribuição trapezoidal (𝑈𝑉
𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑜𝑖𝑑𝑎𝑙
) utilizar a equação de Frohlich 
 
𝑈𝑉
𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑜𝑖𝑑𝑎𝑙 = 
2𝑈𝑉
𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 1+ 𝑈𝑉
𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 2(𝜂−1)
𝜂+1
 (2.38) 
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onde η é a razão entre os excessos de poropressão inicial na base e no topo 
da distribuição trapezoidal (𝑢0
𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑢0
𝑡𝑜𝑝𝑜⁄ ). 
 
Figura 2.11 - Isócronas para distribuição triangular inicial dos excessos de poropressão com 
única face de drenagem, com reversão do sentido de fluxo no decorrer do adensamento 
(Craig, 2004). 
 
Tabela 2.3 - Porcentagem média de dissipação dos excessos de poropressão Uv para 
distribuição triangular inicial dos excessos de poropressão e única face de drenagem (Jumikis, 
1962). 
 
Tv Uv (%) 
Curva 2 da Fig. 2.7 
Uv (%) 
Curva 3 da Fig. 2.7 
0.004 0.85 15.05 
0.008 1.62 19.14 
0.012 2.41 22.55 
0.020 4.00 27.96 
0.028 5.60 32.18 
0.036 7.20 35.62 
0.048 9.50 39.78 
0.060 11.98 43.30 
0.072 14.36 46.20 
0.083 16.46 48.20 
0.100 19.76 51.48 
0.125 24.42 55.36 
0.150 28.86 58.54 
0.167 31.74 60.46 
0.175 33.06 61.30 
0.200 37.04 63.78 
0.250 44.32 68.12 
0.300 50.78 71.86 
0.350 56.49 75.15 
0.400 61.54 77.92 
0.500 69.94 82.86 
0.600 76.52 86.60 
0.700 81.65 89.53 
0.800 85.66 91.82 
0.900 88.80 93.58 
1 91.25 95.01 
2 99.30 99.60 
 
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2.5 CARREGAMENTO DEPENDENTE DO TEMPO 
 
As soluções apresentadas na seção anterior foram obtidas com a hipótese de 
carregamento instantâneo, sem variação da tensão total com o tempo. A Eq. 
2.31 permite uma estimativa do tempo de construção para que um 
carregamento possa ser admitido como instantâneo. Para 1% de dissipação 
média dos excessos de poropressão (Uv = 0,01) o tempo correspondente pode 
ser aproximado por: 
 
𝑡1% = 
𝜋𝐻2
4𝑐𝑣
× 10−4 ≈ 
𝐻2
𝑐𝑣
× 10−4 (2.38a) 
 
Logo, um carregamento aplicado em tempo inferior a t1% pode ser 
considerado como instantâneo. Há situações, no entanto, onde o tempo de 
construção não pode ser ignorado nos cálculos como, por exemplo, na 
construção de aterros que podem demorar semanas ou meses para serem 
completados. Em tais casos, a prática usual é subdividir o diagrama 
carregamento versus tempo (q x t) em um número adequado de carregamentos 
parciais e considerá-los aplicados instantaneamente no centro dos diferentes 
intervalos de tempo conforme Fig. 2.12. A curva recalque x tempo de cada 
carregamento parcial é obtida e todas são somadas para produzir uma curva 
final aproximada recalque x tempo considerando o carregamento dependente 
do tempo. 
 
 
 
Figura 2.12 - Subdivisão do carregamento dependente do tempo em carregamentos 
instantâneos parciais. 
 
Outro procedimento foi sugerido por Olson (1977) para carregamentos que 
crescem linearmente no tempo, atingindo um valor constante qc no tempo final 
de construção tc (Fig. 2.13). 
 
Para o caso de camada com dupla drenagem, o excesso infinitesimal de 
poropressão inicial du0, constante com a profundidade, gerado pela aplicação 
do incremento infinitesimal de carregamento dq no instante ti é expresso por 
i
c
c dt
t
q
dqdu 0 
 
(2.39) 
q q 
t 
qc 
q2 
q1 
qc 
q2 
q1 
t1 t2 tc 
 
t 
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No tempo t – ti , na profundidade normalizada Z, o excesso infinitesimal de 
poropressão vem da Eq. 2.20, 
 
  





 



2
2
0
)(
exp
2
H
ttcM
MZsendt
t
q
M
du iv
m
i
c
c
e 
 
 
(2.40) 
 
 
 
Figura 2.13 - Função carregamento versus tempo, linear para t ≤ tc e constante para t > tc 
 (Olson, 1989). 
 
A Eq. 2.40 deve então ser integrada considerando os períodos de 
carregamento crescente (t < tc) e de carregamento constante (t > tc). 
 
Para t < tc resulta, 
 
  





 



t
i
iv
m c
c
u
e dt
H
ttcM
MZsen
t
q
M
du
e
0
2
2
00
)(
exp
2
 
 
(2.41) 
 
    v
m c
c
e TMMZsen
TM
q
u 2
0
3
exp1
2



 
 
(2.42) 
 
com  
22
12
2 H
tc
T
H
tc
TmM vv
cv
c 

 
 
A porcentagem média de dissipação dos excessos de poropressão Uv é 
definida como 
c
e
c
c
v
q
dZu
t
t
q
U
2
2
2
0

 
 
(2.43) 
 
Substituindo a Eq. 2.42 na Eq. 2.43 resulta 
 
  






 

0
2
4
exp1
12
1
m
v
vc
v
v TM
MTT
T
U 
 
(2.44) 
 
 
Para t > tc uma análise similar leva às seguintes equações, 
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       v
m
c
c
c
e TMMZsenTM
TM
q
u 2
0
2
3
exp1exp
2



 
 
(2.45) 
 
    v
m
c
c
v TMTM
MT
U 2
0
2
4
exp1exp
12
1  


 
 
(2.46) 
 
Os gráficos da Fig. 2.14 mostram a evolução da porcentagem média de 
dissipação dos excessos de poropressão Uv para vários valores do fator tempo 
de construção Tc . 
 
 
 
Figura 2.14 – Porcentagem média de dissipação dos excessos de poropressão Uv = Uv(Tv) para 
vários valores do fator tempo de construção Tc (números no interior dos círculos) considerando 
carregamento linearmentecrescente. (Olson, 1977). 
 
 
2.6 DETERMINAÇÃO DE PARÂMETROS DO SOLO EM LABORATÓRIO 
 
A determinação experimental dos parâmetros geotécnicos necessários para 
estimativa da velocidade de adensamento (coeficiente de adensamento) bem 
como para cálculo do recalque de adensamento primário (parâmetros de 
compressibilidade) é feita normalmente em um equipamento desenvolvido por 
Terzaghi (1923), aperfeiçoado por Casagrande (1936), denominado edômetro 
(Fig. 2.15). É basicamente constituído por um sistema de aplicação de 
carregamento vertical (prensa de adensamento), uma célula de adensamento 
que contém a amostra de solo, um anel de confinamento, pedras porosas e 
uma placa rígida de transmissão do carregamento. 
 
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C. Romanel 81 
 
A deformação lateral da amostra de solo é impedida pelo anel, ocorrendo 
portanto somente deformações verticais durante o ensaio. Drenagem é 
permitida através das pedras porosas colocadas no topo e na base da amostra, 
de modo que a água expulsa dos poros durante o adensamento deve fluir na 
direção vertical. 
 
Quando um incremento de carregamento é aplicado na amostra de solo, há um 
aumento instantâneo da poropressão igual ao valor do acréscimo de tensão 
vertical total. À medida que a drenagem ocorre, os excessos de poropressão se 
dissipam e as tensões efetivas crescem com o tempo, transferindo o 
carregamento para o esqueleto sólito que se deforma gradualmente, 
produzindo um deslocamento vertical (recalque) medido por um extensômetro 
durante o ensaio. 
 
O procedimento de ensaio consiste em aplicar carregamentos incrementais na 
célula de adensamento (20kPa, 40kPa, 80kPa, 160kPa, 320kPa, 640kPa) por 
meio de um sistema de pesos e alavancas, duplicando a intensidade do 
carregamento anteriormente aplicado, mantendo-os constantes por até 24 
horas, dependendo do tipo de solo. Para cada um dos estágios de 
carregamento, a variação com o tempo da espessura da amostra é registrada 
por meio de leituras feitas no extensômetro na sequência de tempos 1/8, 1/4, 
1/2, 1, 2, 4, 8, 15, 30 minutos e 1, 2, 4, 8, 24 horas. Se for necessário conhecer 
o comportamento de expansão da amostra de solo, retiram-se as cargas na 
sequência inversa, registrando-se novamente as leituras do extensômetro com 
o tempo na fase de descarregamento. 
 
Para cada estágio de carregamento, as leituras são utilizadas para 
determinação do coeficiente de adensamento cv, normalmente feita com dois 
métodos de interpretação: a) método de Taylor ou t ; b) método de 
Casagrande ou log t. 
 
2.6.1 Coeficiente de adensamento cv 
 
a) Método de Taylor (1948) 
 
a.1) Justificativa teórica 
 
Considerando que a determinação da porcentagem média de dissipação dos 
excessos de poropressão para Uv ≤ 0.60 é aproximada pela Eq. 2.31, então em 
um gráfico Uv versus VT aquela equação é representada por uma linha reta 
com inclinação 
2
 em relação ao eixo vertical (Fig. 2.16). Uma nova reta 
traçada pela origem (Uv = 0), com inclinação 15% superior, intercepta a curva 
teórica em Uv = 90%, correspondente ao fator tempo 𝑇𝑣
90 = 0.848. 
 
Em laboratório, são plotadas as leituras do extensômetro versus a raiz 
quadrada dos tempos de medição e uma curva experimental é então traçada 
através destes pontos. Como o recalque de adensamento da amostra de solo e 
a drenagem acontecem na direção vertical (1D), então existe uma 
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C. Romanel 82 
 
proporcionalidade direta entre evolução das leituras do extensômetro (curva 
experimental) e da porcentagem média de dissipação dos excessos de 
poropressão Uv (curva teórica). Similarmente, como o coeficiente de 
adensamento é considerado constante durante o estágio de carregamento, 
também existe proporcionalidade entre o fator tempo vT e o tempo t . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.15 – Célula de adensamento, pedras porosas e papel filtro (acima), esquema da célula 
de adensamento com amostra de solo e execução do ensaio na prensa de adensamento do 
Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio (abaixo). 
 
a.2) Determinação do coeficiente de adensamento cv 
 
i) Para cada incremento de carregamento, construir a curva de adensamento 
marcando-se no eixo das ordenadas as leituras do extensômetro (variação da 
espessura da amostra de solo) e no eixo das abscissas os correspondentes 
valores da raiz quadrada do tempo desde o início do ensaio; 
 
ii) determinar o ponto da leitura inicial corrigida do extensômetro ds prolongando 
a reta definida pelos pontos iniciais do ensaio; 
 
iii) a partir do ponto ds, traçar uma nova reta com inclinação em relação ao eixo 
vertical 1,15 vezes maior do que a inclinação da reta do trecho inicial, 
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C. Romanel 83 
 
prolongando-a até interceptar a curva de laboratório no ponto com 
coordenadas ( 90t , d90); 
iv) o coeficiente de adensamento é calculado como 
90
2848.0
t
H
cv

 
v) no método de Taylor o final do adensamento também pode ser estimado 
calculando-se o valor da leitura  90100
9
10
dddd ss  . 
 
 
 
Figura 2.16 – Curvas teórica e experimental no método de Taylor para determinação do 
coeficiente de adensamento. 
 
b) Método de Casagrande (1940) 
 
b.1) Justificativa teórica 
 
A curva teórica Uv = Uv(Tv) é plotada em escala logarítmica para os valores do 
fator tempo Tv. A curva é composta por um trecho parabólico para Uv ≤ 0.60, 
seguido de um trecho intermediário linear e uma curva final para a qual o eixo 
das abscissas é uma assíntota horizontal (Fig. 2.17). O valor correspondente a 
Uv = 0 é obtido selecionando-se dois valores de fator tempo no trecho 
parabólico inicial (Tv1 e Tv2) tal que Tv2/Tv1 = 4. Logo, 
 
2
U
U
1
4
U
4
U
4
T
T
1v
2v
2
1v
2
2v
1v
2v 


 
 
(2.47) 
e a posição do ponto inicial pode ser marcado conforme indicado na Fig. 2.17. 
 
Teoricamente o adensamento termina (Uv = 100%) para um tempo t  . 
Todavia, uma aproximação finita pode ser feita para 𝑇𝑣
100 considerando a 
interseção da assíntota (eixos das abscissas) com o prolongamento do trecho 
linear intermediário da curva. O método de Casagrande é baseado no valor do 
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fator tempo correspondente a 50% de dissipação média dos excessos de 
poropressão, calculada como 𝑈𝑣
50 = (𝑈𝑣
0 + 𝑈𝑣
100)/2. Para 𝑈𝑣
50 o valor teórico 
correspondente do fator tempo é 𝑇𝑣
50 = 0.197. 
 
 
Figura 2.17 - Curva teórica Uv = Uv(Tv) plotada com fator tempo em escala logarítmica. 
 
 
b.2) Determinação do coeficiente de adensamento cv 
 
i) Para cada incremento de carregamento, construir a curva de adensamento 
marcando-se no eixo das ordenadas as leituras do extensômetro (variação da 
espessura da amostra de solo) e no eixo das abscissas, em escala logarítimica, 
os correspondentes valores de tempo; 
 
ii) determinaro ponto correspondente à leitura inicial corrigida do extensômetro 
ds selecionando-se, no trecho parabólico inicial do ensaio, dois pontos 
separados pela razão t2/t1 = 4. Medir a diferença entre as leituras do 
extensômetro nestes tempos e transportá-la acima da leitura de t1 para assim 
estabelecer o valor de ds; 
 
iii) determinar o ponto d100, correspondente a Uv = 100%, na interseção entre a 
reta do trecho intermediário da curva de adensamento e a tangente ao seu 
trecho final (Fig. 2.18). Devido à possibilidade de ocorrência de compressão 
secundária na amostra de solo, esta tangente pode não ser horizontal, como 
previsto pela teoria de adensamento primário de Terzaghi; 
 
iv) considerando a leitura média do extensômetro (ds + d100)/2 determinar o 
tempo t50 correspondente a 50% de adensamento; 
v) o coeficiente de adensamento é calculado como 
50
2
v
t
H197.0
c

 
 
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Figura 2.18 – Curvas teórica e experimental do método de Casagrande para determinação do 
coeficiente de adensamento. 
 
Uma das dificuldades na estimativa do coeficiente de adensamento, tanto pelo 
método de Taylor quanto de Casagrande, é que o valor da espessura de 
drenagem H, elevada ao quadrado, influencia o resultado final. Pode haver 
grande diferença entre valores de cv calculados com a espessura inicial da 
amostra e com algum outro valor de espessura reduzida, como as 
correspondentes para as leituras do extensômetro d100 ou d50, por exemplo. 
Duncan (1993) recomenda utilizar o valor da espessura de drenagem inicial da 
amostra mas usualmente as interpretações de ensaios de laboratório 
consideram a espessura de drenagem média H = (d100 - ds)/2. 
 
Ambos os métodos (Taylor e Casagrande) utilizam a mesma equação (Eq. 
2.31) para estabelecer o valor da leitura inicial corrigida ds mas diferem em 
relação ao método pelo qual estimam a leitura d100 correspondente ao final do 
adensamento primário. Em termos gerais, o método de Taylor é mais afetado 
pela compressão inicial da amostra, cujo efeito é aumentar o valor de cv, 
enquanto que o método de Casagrande é mais afetado pela ocorrência de 
compressão secundária, produzindo valores de cv usualmente mais baixos. 
Ambos os métodos são teoricamente válidos e deveriam produzir o mesmo 
valor para o coeficiente de adensamento se a curva teórica Uv versus Tv fosse 
fielmente reproduzida pelos resultados de laboratório. Duncan (1993), com 
base na constatação de que na maioria dos casos as velocidades de recalque 
estimadas pela teoria convencional do adensamento são inferiores às medidas 
em campo, sugere a utilização do método de Taylor que, por utilizar maiores 
valores de cv, tenderia a diminuir a diferença entre velocidades de recalque 
previstas e observadas. 
 
 
 
 
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2.6.2 Parâmetros de compressibilidade 
 
Gráficos típicos de valores de índice de vazios (e) pós-adensamento versus 
tensão vertical efetiva  'v são mostrados na Fig. 2.19, exibindo uma 
compressão inicial, seguida por um ciclo de expansão e de recompressão. A 
forma destas curvas depende da história de tensões do solo, sendo 
aproximadamente linear para argilas normalmente adensadas (NA) e 
possuindo trecho inicial curvo para argilas pré-adensadas (PA). 
 
No descarregamento, observa-se também que o solo não segue a mesma 
trajetória de tensão da fase de carregamento, indicando que deformações 
plásticas irrecuperáveis ocorreram. 
 
A compressibilidade do solo, com base no comportamento dos gráficos da Fig. 
2.19, pode ser representada pelos seguintes parâmetros: 
 
 
Figura 2.19 – Gráficos de índice de vazios versus tensão vertical efetiva (Craig, 2004). 
 
a) Índice de compressão Cc e índice de recompressão Cr 
 
Os resultados do ensaio edométrico são normalmente apresentados em um 
gráfico semi-log (Fig. 2.19, à direita) onde no eixo das ordenadas, em escala 
aritmética, são plotados os valores do índice de vazios no final do estágio de 
carregamento e no eixo das abscissas, em escala logarítmica, os 
correspondentes valores de tensão vertical efetiva. 
 
Para valores baixos de tensão efetiva, a taxa de decréscimo do índice de 
vazios é normalmente pequena, evidenciando que se trata da recompressão de 
um solo pré-adensado. De fato, ao se retirar uma amostra indeformada do 
interior do maciço de solo há um alívio de tensões e a amostra se comportará 
como pré-adensada enquanto o valor da máxima tensão a que já esteve 
submetida em campo (chamada de pressão de pré-adensamento 'vm ) não for 
ultrapassada pela tensão vertical efetiva induzida pelo carregamento do ensaio. 
 
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O índice de recompressão Cr pode ser definido no trecho de pré-adensamento 
ou, similarmente, em um ciclo de expansão e recompressão. Em geral 
recomenda-se a determinação de Cr no ciclo de expansão e recompressão 
porque no trecho inicial a amostra pode ainda exibir efeitos de perturbação 
sofridos durante a etapa de preparação da amostra. Leonards (1976) sugere 
que este ciclo seja executado próximo ao valor da pressão de pré-
adensamento e que uma mesma inclinação média seja adotada para identificar 
as trajetórias de recompressão e expansão. 
 
'log v
r
e
C


 
 
(2.48) 
 
Para tensão vertical efetiva superior à pressão de pré-adensamento, define-se 
no trecho linear (chamado de reta virgem) o índice de compressão Cc 
 
'log v
C
e
C


 
 
(2.49) 
 
Valores típicos de Cc em argilas saturadas variam de 0.1 - 0.5, aumentando 
com o índice de plasticidade do solo. Em turfas e solos orgânicos o índice de 
compressão pode atingir até 3, ainda que em alguns casos (argila da cidade do 
México, como exemplo) possa ser tão alto quanto 10 (Mesri et al., 1975). Ladd 
(1971) sugeriu o intervalo 0.1  Cr/Cc  0.2 enquanto que para Leonards (1976) 
valores típicos se situam entre 0.015  Cc  0.035, decrescendo com a 
diminuição do índice de plasticidade (IP) do solo. 
 
A pressão de pré-adensamento 'vm , definida como a máxima tensão vertical 
efetiva que a amostra de solo já esteve submetida em sua história, pode ser 
determinada por vários métodos propostos na literatura, dentre os quais o 
método de Casagrande (1936) e o método Pacheco Silva (ABNT, 1990), este 
último normalizado no Brasil pelo documento MB-3336 da Associação 
Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). 
 
Conhecida a pressão de pré-adensamento, é possível então determinar a 
razão de pré-adensamento do solo OCR6 definida como a razão entre a tensão 
vertical efetiva máxima 'vm e a tensão vertical efetiva atual 
'
v . 
 
a.1) Pressão de pré-adensamento: método de Casagrande (1936) 
 
Em relação à Fig. 2.20 o processo de determinação da pressão de pré-
adensamento segue os seguintes passos: 
i) marcar na curva o ponto A de máxima curvatura (ou de raio mínimo); 
ii) por este ponto, traçar uma horizontal e uma tangente à curva, formando 
entre elas o ângulo; 
iii) a interseção da bissetriz do ângulo  com o prolongamento da reta virgem 
determina então a pressão de pré-adensamento 'vm .6
 da terminologia inglesa overconsolidation ratio 
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Figura 2.20 - Método de Casagrande para determinação da pressão de pré-adensamento 
'
vm 
 
a.2) Pressão de pré-adensamento: método de Pacheco Silva (1990) 
 
Em relação à Fig. 2.21 o processo de determinação da pressão de pré-
adensamento segue os seguintes passos: 
i) Pelo índice de vazios inicial e0 traçar uma horizontal e determinar seu ponto 
de interseção com o prolongamento da reta virgem; 
ii) por este ponto, traçar uma vertical até cruzar com a curva de ensaio e, em 
seguida, a partir deste ponto de interseção traçar uma horizontal até encontrar 
o prolongamento da reta virgem, determinando-se assim a pressão de pré-
adensamento 'vm . 
 
 
Figura 2.21 - Método de Pacheco Silva para determinação da pressão de pré-adensamento 
'
v (escala log) 
 (escala log) 
ín
d
ic
e 
d
e 
v
az
io
s 
 
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b) Coeficiente de compressibilidade av 
 
Definido anteriormente na Fig. 2.2 como 
'
v
v
e
a


 . Na realidade, trata-se de 
uma relação tensão vs deformação pois 
 
   
 
'
v
v
0'
v
0
0
'
v
0
0
'
v
s
v
'
v
v e1
AL
LA
e1
V
V
e1
V
V
e
a














 
 
 
(2.50) 
 
onde A é a área da seção transversal da amostra, L= L - L0 a variação da 
espessura da amostra no estágio de carregamento sendo L0 e L as espessuras 
inicial e final, respectivamente, e0 o índice de vazios inicial. Como L < L0 o 
resultado final da Eq. 2.50 é positivo. 
 
c) Coeficiente de variação volumétrica mv 
 
Por definição, 
 
''
0
'
0
v
v
vv
v
AL
LA
V
V
m


 







 
 
(2.51) 
 
Conclui-se portando das Eqs. 2.50 e 2.51 que 
01 e
a
m vv

 
 
(2.52) 
 
d) Módulo de compressão confinada M 
 
Também chamado de módulo de deformação 1D ou módulo edométrico, tem a 
seguinte definição, já introduzida no capítulo 1 pela Eq. 1.9 
v
vM





'
 
 
(2.53) 
 
Das Eqs. 2.51, 2.52 e 2.53 
 
vv a
e
m
M 0
11 
 
 
(2.54) 
 
A relação entre o módulo de compressão confinada M (estado 1D de 
deformação) e o módulo de Young E (estado 3D de deformação) também foi 
estabelecida anteriormente no capítulo 1 (Eq. 1.9). 
 
 
  




121
1E
M 
(1.9) 
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Observação 1 - Note que se v = vu = 0.5 (condição não drenada) o valor de 
M e 0z  , i.e. o solo não apresenta recalque não drenado (também 
chamado imediato ou elástico) quando carregado. Observe também que à 
medida que o adensamento ocorre, os valores do coeficiente de Poisson vu = 
0.5 e do módulo de elasticidade não drenado Eu mudam gradualmente para os 
valores dos parâmetros elásticos do esqueleto sólido ' e 'E (condição 
drenada). Admitindo o comportamento do solo como elástico linear, existe a 
seguinte relação entre os parâmetros nas condições drenada e não drenada 
 
     '''
'
12
3
1212  





E
EEE
G u
u
u 
 
(2.55) 
 
onde G é o módulo de cisalhamento. Lambe e Whitman (1969) reportam que 
em solos a razão Eu/ E' é superior ao valor elástico teórico, não sendo incomum 
encontrar-se valores de 3 a 4 superiores no caso de argilas NA. 
 
Observação 2 - A Tabela 2.4 lista as relações existentes entre os diversos 
parâmetros de compressibilidade utilizados para cálculo de recalques na teoria 
unidimensional. 
 
Tabela 2.4 - Relação entre os parâmetros de compressibilidade no estado 1D de deformação 
(Lambe e Whitman, 1969) 
 
 M mv av Cc 
M 
v
vM





'
 
vm
M
1
 
va
e
M 0
1
 
 
C
v
C
e
M
435.0
1 '0  
mv 
M
mv
1
 
'
v
v
vm




 
01 e
a
m vv

 
  '01
435.0
v
C
v
e
C
m

 
av 
M
e
av
01 
  vv mea 01 
'
v
v
e
a


 
'
435.0
v
C
v
C
a

 
Cc  
M
e
C vC
435.0
1 '0  
 
435.0
1 '0 vv
C
me
C

 
435.0
'
vv
C
a
C

 'log v
C
e
C


 
onde 
'
v representa a tensão vertical efetiva média no intervalo. 
 
As relações entre os parâmetros M, mv e av foram estabelecidas a partir de 
suas definições. Entretanto, não são evidentes as relações entre estes 
parâmetros e o índice de compressão Cc mostradas na Tabela 2.4. 
 
Para compreender a relação entre Cc e av, por exemplo, considere a definição 
do índice de compressão em termos infinitesimais, 
 
   
'''
'
'
''
'
435.0
30.2
30.2
ln
30.2
log
log
v
c
v
C
v
v
v
vC
v
C
vC
v
C
CC
d
de
a
dC
d
C
dCde
d
de
C







 
 
 
(2.56) 
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No caso de incrementos de tensão finitos, considerar 'v igual ao valor médio 
da tensão vertical efetiva no intervalo ( 'v =
'
v ). 
 
 
2.7 RECALQUE NÃO DRENADO, DE ADENSAMENTO PRIMÁRIO E DE 
COMPRESSÃO SECUNDÁRIA 
 
Como já mencionado, o recalque total  de uma camada de solo pode ser 
decomposto em três parcelas, calculadas por formulações distintas: a) o 
recalque não drenado e ou recalque elástico ou recalque imediato, avaliado 
por formulação da teoria da elasticidade linear, que ocorre imediatamente após 
a aplicação do carregamento; b) recalque de adensamento primário c cuja 
evolução no tempo, na hipótese 1D de deformação, pode ser prevista com 
base na dissipação média dos excessos de poropressão Uv calculados pela 
teoria de adensamento de Terzaghi; c) recalque de compressão secundária 𝜌𝑠 
que pode ser significativo em turfas e solos altamente orgânicos. 
 
 
2.7.1 Recalque não drenado 
 
Parcela do recalque  e que ocorre imediatamente após o carregamento, sem 
qualquer mudança de volume do solo saturado. Normalmente calculada pela 
formulação da teoria da elasticidade linear considerando os parâmetros Eu 
(módulo de Young não drenado) e u = 0.5 de um meio elástico, isotrópico e 
homogêneo. Para o estado 1D de deformações, o recalque não-drenado é nulo 
pois, como já mencionado, M e 0z  . 
 
2.7.2 Recalque final de adensamento primário - método direto 
 
Considere uma camada de solo homogêneo saturado de espessura inicial b0 
sujeita a um carregamento infinito de intensidade q que provoca um recalque 
final de adensamento 
c
  t . Este deslocamento, considerado positivo na 
mecânica dos solos quando indica encurtamento da espessura da camada de 
solo (recalque), é definido como 
 
10
bb
c
 (2.57) 
 
onde b1 representa o valor da espessura final da camada. 
 
Definindo agora o acréscimo de deformação vertical de compressão como 
 
0
b
1
b
0
b
v

 
(2.58) 
obtém-se da Eq. 2.57 
 
v0
b
c
  (2.59) 
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Considerando que no caso 1D de deformações a variação de volume 
(compressão) é expressa como 
0
0
0 V
VV
V
V 


 
0
e1
e
0
b
0
V
V
0
b
v0
b
c 


 (2.60) 
com eee 0  a diferença entre os valores do índice de vazios inicial e final, 
respectivamente. 
 
Em termos do parâmetro 'vvvm   o recalque final de adensamento 
primário pode ser expresso da Eq. 2.59 como 
 
'
vv
m
0
b
v0
b
c
  (2.61) 
 
Em termos do parâmetro M = 1/mv resulta diretamente da Eq. 2.61 
M
'
v
0
b
c

  
(2.62) 
 
e em termos do parâmetro  01 ema vv  
'
v
0
e1
v
a
0
b
c


 
(2.63) 
 
Considerando os parâmetros Cc e Cr três situações devem ser examinadas: 
 
a) Solo pré-adensado com tensão vertical final '' vmvf   . 
Considerando na Eq. 2.60 que '
v
log
r
Ce
0
ee   resulta 
'
0v
'
v
'
0vlog
0
e1
r
C
0
b'
0v
log'
vf
log
0
e1
r
C
0
b
c










 

 
 
(2.64) 
b) Solo normalmente adensado com tensão vertical inicial '' 0 vmv   . 
'
0v
'
v
'
0v
0
C
0c log
e1
C
b





 
 
(2.65) 
c) Solo pré-adensado com ''' 0 vfvmv   













'
vm
'
vf
log
C
C
'
0v
'
vmlog
r
C
0
e1
0
b
c




 
 
(2.66) 
 
Observação 1 - Note da Eq. 2.66 que o recalque é calculado por meio de um 
modelo bilinear de comportamento mecânico do solo com índices Cr e Cc. 
 
Observação 2 - As Eqs. 2.61 a 2.66 se referem ao cálculo do recalque final de 
adensamento primário  t . Na prática da engenharia, é necessário 
também conhecer a evolução do recalque com o tempo. Como na teoria de 
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Terzaghi as deformações e a drenagem associada à dissipação dos excessos 
de poropressão ocorrem ambas na direção vertical, então o recalque de 
adensamento primário no tempo t é diretamente proporcional à porcentagem 
média de dissipação dos excessos de poropressão Uv neste mesmo tempo. 
 
  cv
t
c tU   (2.67) 
 
2.7.3 Recalque de adensamento primário - método indireto 
 
O recalque final de adensamento primário pode ser calculado pelo método 
indireto subdividindo-se a camada de solo em um número adequado de sub-
camadas, conforme explicado no capítulo 1, seção 1.7.1.2, utilizando valores 
dos parâmetros do estado 1D de deformação: M, av, mv, CC e Cr. 
 
 
2.7.4 Recalque de adensamento primário – carregamento não instantâneo 
 
Uma solução aproximada (Taylor, 1948) pode ser aplicada para a previsão de 
recalque de adensamento no caso de carregamento linearmente crescente 
com o tempo até t = tc (tempo de construção) e em seguida constante (Δq = qc). 
O recalque de adensamento no instante t para um carregamento não 
instantâneo )t(nic pode ser determinado em função do recalque de 
adensamento para carregamento instantâneo )t(ic por: 
 
a) no período de construção (0 < t  tc) 
 
recalque carregamento = recalque carregamento x fração do carregamento 
 não instantâneo em t instantâneo em 0.5t aplicada em t 
 
 
   
c
i
c
ni
c
q
q
t5.0t


  
 
(2.68) 
b) após o período de construção ( t > tc) 
 
recalque carregamento = recalque carregamento 
 não instantâneo em t instantâneo em (t - 0.5tc) 
 
 
 c
i
c
ni
c t5.0t)t(  (2.69) 
 
Um fato comum na prática da engenharia é a ocorrência de carregamentos 
descontínuos, isto é, uma obra (por exemplo, aterro) é construída durante certo 
tempo, em seguida interrompida e finalmente, depois de algum período, 
retomada com a continuidade da aplicação do carregamento, assumido como 
linearmente crescente até atingir o valor final qc no tempo tc. Nesta situação, as 
soluções para cada estágio de carregamento podem ser obtidas de forma 
independente, aplicando-se as equações ou método gráfico para cada 
carregamento separadamente, e os resultados somados para obtenção da 
curva final recalque x tempo. 
 
 
2.7.5 Recalque de compressão secundária 
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Compressão secundária é geralmente interpretada como aquela que ocorre 
após o término do adensamento primário (Fig. 2.22). Esta definição é bastante 
simplificada pois sugere que a compressão secundária somente inicia quanto 
toda a camada de solo completou o processo de adensamento. Se assim o 
fosse, elementos de solo junto aos contornos de drenagem não deveriam 
experimentar nenhum efeito de compressão secundária até que ocorresse o 
final do adensamento nos elementos de solo situados na região central da 
camada. 
 
A compressão secundária provavelmente resulta da ação de diferentes 
mecanismos, ainda não completamente compreendidos, dentre os quais: 
 
a) solos têm vazios de diferentes tamanhos, e água pode drenar dos vazios 
maiores de acordo com a teoria do adensamento primário e ser expulsa mais 
lentamente dos vazios menores, produzindo efeitos de compressão secundária. 
 
b) em solos orgânicos contendo restos vegetais, a água pode drenar dos 
vazios do solo de acordo com a teoria do adensamento primário e ser expulsa 
lentamente dos vegetais através das paredes das células, produzindo efeitos 
de compressão secundária; 
 
c) em alguns solos orgânicos, a condutividade hidráulica decresce mais do que 
uma ordem de magnitude durante o adensamento. O adensamento primário é 
naturalmente mais rápido na fase inicial do processo, diminuindo gradualmente 
com a redução da condutividade hidráulica do solo e produzindo efeitos 
aparentes de compressão secundária; 
 
d) curvas tensão x deformação altamente não lineares podem produzir um 
comportamento carga x recalque semelhante ao observado nas curvas 
experimentais envolvendo adensamento primário e compressão secundária. 
 
Como mencionado, não é completamente conhecido se, e em que grau de 
importância, qualquer um dos (ou outros) mecanismos acima controla os 
efeitos de compressão secundária e que podem variar para diferentes tipos de 
solo. 
 
Sob tais circunstâncias, embora exista na literatura formulação matemática 
para modelagem da compressão secundária (o modelo apresentado por 
Gibson e Lo (1961) é o mais conhecido) é pouco comum a sua aplicação na 
análise de problemas de recalque. A maioria dos métodos práticos é ainda 
baseada na proposição de Buisman (1936) que constatou em ensaios de 
laboratório uma relação linear entre a compressão secundária e o logaritmo do 
tempo, com inclinação representada através do coeficiente de compressão 
secundária C 
 
t
e
C
log

 
 
(2.71) 
A caracterização da compressão secundária por meio de curvas lineares é 
criticada por vários autores que afirmam que a curva recalque versus tempo 
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C. Romanel 95 
 
(escala log) tende a se tornar gradualmente horizontal e que uma 
representação da compressão secundária por segmento de reta éjustificada 
apenas porque o período de tempo da realização do ensaio de laboratório não 
foi suficientemente longo. Por outro lado, ensaios de longo prazo também são 
difíceis de serem executados e interpretados, pois questões surgem sobre a 
influência do crescimento de matéria orgânica devido à presença de oxigênio, a 
oxidação de minerais de ferro presentes na amostra, a influência de pequenas 
trepidações no ambiente do laboratório, etc. 
 
 
Figura 2.22 - Ocorrência de compressão secundária no método de Casagrande para 
determinação do coeficiente de adensamento. 
 
Mesri et al. (1994) sugerem que C seja relacionado com o índice de 
compressão Cc conforme Tabela 2.5. 
 
Tabela 2.5 - Valores de CCC para solos
7
 (Mesri et al., 1994). 
 
Solo 
CCC 
Argila e silte inorgânico 0.04 ± 0.01 
Argila e silte orgânico 0.05 ± 0.01 
Turfa 0.06 ± 0.01 
 
Sob ponto de vista prático, restaria ainda saber a partir de que tempo t* o 
recalque devido à compressão secundária deveria ser adicionado ao valor do 
recalque de adensamento primário. A maneira mais simples e utilizada (ainda 
que arbitrária) é considerar que a compressão secundária inicia a partir do final 
do adensamento primário (Fig. 2.22). 
 
 
7
 No caso de solos PA os valores da Tabela 2.5 se referem à relação rCC , indicando que a 
compressão secundária em solos pré-adensados é menos significativa do que para solos NA. 
L
ei
tu
ra
 d
o
 e
x
te
n
sô
m
et
r
o
 (
m
m
) 
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Considerando a Eq. 2.60, o recalque de compressão secundária s pode ser 
obtido como 
 
p
s
t
t
og
e
C
b
e
e
b 
0
0
0
0
11 



   
 
(2.72) 
 
onde e0 é o índice de vazios inicial, tp o tempo para final do adensamento 
primário e t o tempo onde se deseja avaliar a parcela de recalque s. 
 
De modo geral, pode-se dizer que dentre os aspectos relacionados com a 
estimativa de recalques na engenharia geotécnica, o tema da compressão 
secundária ainda foi pouco desenvolvido, tanto no sentido de compreender 
seus mecanismos como quantificar a influência e importância de cada um dos 
seus possíveis agentes. Na ausência de uma abordagem plenamente aceita, o 
método de Buisman (1936) é ainda o mais utilizado para fornecer estimativas 
da parcela de recalque causada por compressão secundária. 
 
2.8) DRENOS VERTICAIS 
 
A maioria dos depósitos de argila são anisotrópicos, formados por deposição 
de camadas horizontais (ou quase horizontais) com coeficiente de 
permeabilidade na direção horizontal kh superior ao valor do coeficiente de 
permeabilidade na direção vertical kv. Logo, se drenagem com fluxo na direção 
horizontal ocorrer, então a porcentagem média de dissipação dos excessos de 
poropressão, a evolução com o tempo do recalque de adensamento primário, o 
acréscimo de tensões efetivas e o aumento da resistência ao cisalhamento do 
solo aconteceriam sob velocidades maiores do que as estimativas previstas 
pela teoria do adensamento 1D. 
 
Uma técnica para acelerar a dissipação dos excessos de poropressão consiste 
na instalação de drenos verticais, com a execução de furos na camada de 
argila e posterior preenchimento utilizando areia bem graduada, que permita 
um fluxo eficiente da água (função de dreno) mas que também impeça a 
migração de partículas finas do solo através de seus vazios (função de filtro). 
 
Atualmente drenos pré-fabricados (Figs 2.23 e 2.24) são empregados, 
inseridos em furos previamente abertos ou no interior de tubos cravados 
através do maciço de solo até profundidades superiores a 60m. Para 
determinação do raio do dreno equivalente rd no caso de drenos pré-fabricados 
de forma retangular axb, várias sugestões existem na literatura, mas para 
aplicações práticas a seguinte expressão parece ser a mais recomendada 
(Atkinson e Eldred, 1981; Jansen e den Hoedt, 1983; Rixner et al. 1986): 
 
𝑟𝑑 = 
𝑎+𝑏
4
 (2.73) 
 
Drenos são normalmente instalados em configurações quadrada ou triangular 
(Fig. 2.25) e a definição do espaçamento entre eles, normalmente entre 1 a 4m, 
é o objetivo principal do projeto. O espaçamento deve ser, naturalmente, menor 
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do que a espessura da camada, não sendo vantajoso, portanto, a utilização de 
drenos em camadas relativamente finas. 
 
O raio de drenagem R é determinado pela equivalência de áreas entre um 
círculo e um quadrado (configuração quadrada) ou entre um círculo e um 
hexágono (configuração triangular). 
 
Para configuração quadrada, 
 
SSRSR 564.022   (2.74) 
 
onde S é a distância entre os drenos verticais. 
 
Para a configuração triangular 
 
SSR
S
R 525.0
2
3
34
6
42
2 

 
 
(2.75) 
 
A razão entre os coeficientes de adensamento na direção horizontal ch e na 
direção vertical cv situa-se normalmente no intervalo 21  vh cc , sendo o 
dreno mais eficiente quanto maior for esta relação. Ambos os coeficientes de 
adensamento na região de solo imediatamente vizinho à periferia do furo 
podem ser significativamente reduzidos devido ao amolgamento provocado 
pela instalação do dreno, fenômeno conhecido como efeito smear. Na 
formulação do adensamento radial, o efeito smear pode ser incorporado 
diminuindo-se o valor do coeficiente de adensamento horizontal ch ou 
reduzindo-se o valor do raio do dreno. Outra complicação que poderia ocorrer é 
a tendência do dreno de areia atuar como uma coluna, reduzindo o acréscimo 
de tensão vertical na camada de argila, no que pode resultar em baixos valores 
de poropressão não totalmente dissipados e recalques de adensamento 
primário não totalmente acontecidos. Este efeito é mínimo no caso de drenos 
pré-fabricados devido à grande flexibilidade dos geossintéticos (Fig. 2.26). 
 
Observações: 
 
i) Drenos verticais podem ser ineficientes em argilas pré-adensadas se o 
acréscimo de tensão vertical efetiva não for suficiente para ultrapassar o valor 
da pressão de pré-adensamento. De acordo com Bjerrum (1972) a utilização de 
drenos verticais em argilas PA é recomendada quando 
 
𝑙𝑜𝑔
𝜎𝑣𝑓
′
𝜎𝑣𝑚
′
𝑙𝑜𝑔
𝜎𝑣𝑓
′
𝜎𝑣0
′
> 0,6 (2.76) 
 
ii) O amolgamento de argilas pré-adensadas devido ao processo de instalação 
dos drenos pode majorar os valores de recalque de adensamento. 
 
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iii) Drenos verticais não podem controlar a ocorrência de recalque de 
compressão secundária de camadas de argila. 
 
iv) Parte ou toda a água coletada pelo sistema de drenos irá fluir para o tapete 
de drenagem na superfície (Fig. 2.23). Como a permeabilidade da areia é 
consideravelmente mais alta do que a da argila, é usualmente considerado no 
projeto que não haverá o desenvolvimento de resistência hidráulica no tapete, 
especificando-se uma camada suficientemente espessa (mais do que 0,5m) de 
areia limpa (porcentagem de finos inferior a 5%). 
 
 
 
Figura 2.23