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Tópicos de Cálculo Noções básicas de álgebra elementar 1ª Aula Prof.: José Fernando Santiago Prates Universidade de Franca – UNIFRAN Franca - 2018 Tópicos de Cálculo José Fernando Santiago Prates 2 1. Conjuntos Numéricos Naturais : N ={0, 1, 2, 3,......, } Inteiros : Z={ -, ...., -2, -1, 0, 1, 2,......, } Racionais : Q = { b a tal que a, b Z e b 0} Irracionais: I = {Todos os números que não podem ser escrito como um racional} Reais : R = Q I Complexos : C = {z = a + bi tal que a, b R e i2 = – 1} 2. Propriedades das operações de Adição e Multiplicação Para a, b, c R a + b = b + a (comutativa) a b = b a (comutativa) (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c (associativa) (a b) c = a (b c) = a b c (associativa) a + 0 = a (elemento neutro na adição) a 0 = 0 a 1 = a (elemento neutro no produto) (a + b) c = a c + b c (distributiva) 2.1. Lembrete: Sinais nas operações de adição e subtração algébrica: Efetua-se a operação prevalecendo o sinal do maior. Exemplos: 1) –2 + 3 = 1 2) 5 – 3 = 2 3) 2 – 7 = – 5 4) – 2 – 7 = – 9 5) 2 + 7 = 9 Tópicos de Cálculo José Fernando Santiago Prates 3 2.2. Lembrete: Sinais nas operações de multiplicação e divisão algébrica temos: Sinais iguais o Resposta positiva Sinais diferentes o Resposta negativa Exemplos: 1) (-2).(3) = -6 2) (5).(-3) = -15 3) (2).(–7) = -14 4) (-2).(–7) = 14 5) (2)(7) = 14 6) (-2)(7) = -14 7) 1 + 2(8 – 2(3 + 1)) = 8) 2 + 3(5 + 3(1 – 3)) = 3. Ordem de prioridade das operações aritméticas e algébricas (+) (+) = + (–) (–) = + (+) (+) = + (–) (–) = + (+) (–) = – (–) (+) = – (+) (–) = – (–) (+) = – Tópicos de Cálculo José Fernando Santiago Prates 4 Ex e r c í c i os 1) Obter o valor da expressão 23[4((51)+23(31))] Solução: 23[4((51)+23(31))] = 23[4((4) + 2 3(2))] = 23[4(4 + 2 6)] = 23[4(0)] = 2 Logo, 23[4((5 1) + 23(3 1))] = 2 2) Obter o valor da expressão (5+8÷(2×(3-2×(3-1)))) Solução: (5+8÷(2×(3-2×(3-1)))) = (5+8÷(2×(3-2×(2)))) = (5+8÷(2×(3-4))) = (5+8÷(2×(-1))) = (5+8÷(-2)) = (5-4) = 1 Logo, (5+8÷(2×(3-2×(3-1)))) = 1 4. Decomposição de um número em um produto de fatores primos A decomposição de um número em um produto de fatores primos, onde o número é divido por 2, 3, 5, 7... Exemplos: 1. 20 = 2*2*5, 2. 30 = 2*3*5, 3. 36 = 2*2*3*3, 4. 45 = 3*3*5, Tópicos de Cálculo José Fernando Santiago Prates 5 5. Potenciação an = aaaaaa...aa , Onde: a : Base, n : Expoente, an : Potência. 5.1. Estudos de Casos Quando a base é positiva a potência será sempre positiva. Exemplos: 1) (2)4 =(2)(2)(2)(2) = 16 2) (2)3 = (2)(2)(2) = 8 3) (5)3 = (5)(5)(5) = 125 Quando a base é negativa e o expoente par a potência será sempre positiva. Exemplos: 1) (-2)4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16 2) (-3)2 = (-3)(-3) = 9 3) (-7)2 = (-7)(-7) = 49 Quando a base é negativa e o expoente ímpar A potência será sempre negativa. Exemplos: 1) (-3)3 = (-3)(-3)(-3) = - 27 2) (-2)5 = (-2)(-2)(-2)(-2)(-2) = - 32 3) (-5)3 = (-5)(-5)(-5) = - 125 5.2. Propriedades I. am an = am+n Exemplos: 1) 2423 = 24+3 = 27 2) 32333-4 = 32+3-4 = 31 3) a5a-3 = a5-3 = a2 II. am an = am-n Exemplos: 1) 242-2 = 24(-2) = 26 2) 2523 = 253 = 22 3) y6y4 = y6-4 = y2 4) x5x-3 = x5-(-3) = x8 III. (a b)n = an bn Exemplos: 1) (23)3 = 2333 2) (2a)3 = 23a3 3) (3b)2 = 9b2 n fatores Tópicos de Cálculo José Fernando Santiago Prates 6 IV. (a b)n = an bn Exemplos: 1) (52)3 = 5323 2) (2y5)3 = (2y)3(5)3 = (2)3(y)3(5)3 = 23y353 V. (am)n = amn Exemplos: 1) (22)3 = 26 2) (2y5)3 = (2)3 (y5)3 = 23y15 VI. a1 = a Exemplos: 1) 21 = 2 2) -71 = -7 3) m1 = m VII. a0 = 1 Exemplos: 1) 20 = 1 2) x0 = 1 VIII. a–n = na 1 Exemplos: 1) 4-2 = 0625,0 16 1 4 1 2 2) 2-1 = 12 1 = 0,5 3) 2-3 1 = 32 = 9 4) 3-7 1 = 73 IX. n pnp aa Exemplos: 1) 3 232 22 2) 7 575 22 3) 2421 Tópicos de Cálculo José Fernando Santiago Prates 7 6. Radiciação a raiz n-ésima de um número b é um número a tal que an=b, ou seja, bn =a an=b , n R* 6.1. Propriedades I. n bm = pn b pm Exemplos: 1) 15 310 = 515 b 510 = 3 32 2) 18 38 = 2 2 18 310 = 9 35 II. n ba = nbn a Exemplos: 1) 6 = 3 2 2) 4x = x 4 = x 2 III. n b a = n b n a Exemplos: 1) 2 4 5 416 4 5 4 16 5 2) 2 3 3 8 3 27 3 8 27 IV. mn b = n bm Exemplos: 1) 33 55 xx 2) 5 95 35 3 22 V. n bm = nmb Exemplos: 1) 10 35 3 2) 6333 Tópicos de Cálculo José Fernando Santiago Prates 8 Ex em pl o 1) Simplificar a expressão 2 1 3221 32 2 23 y.x. y.x.. . Solução: 2 1 3221 32 2 23 y.x. y.x.. = 2 1 3 2 2 1 1322 1 223 y.x.y.x.. = 2 1 3 2 31 2 1 2 1 2 23 y..x. = 2 1 3 7 2 1 2 3 23 y..x. = 67414321 23 y..x. Logo, 2 1 3221 32 2 23 y.x. y.x.. = 67414321 23 y..x. 2) Simplificar a expressão com expoente positivo 3 2963 z.y.x.x.a . Solução: 3 2963 z.y.x.x.a = 3 1 2 1 2963 z.y.x.x.a = 3 1 12 9 33 z.y.x.x.a = 3 1 2 3 3 4 z.y.x.a Logo, 3 2963 z.y.x.x.a = 3 1 2 3 3 4 z.y.x.a Tópicos de Cálculo José Fernando Santiago Prates 9 Ex e r c í c i os 1) Qual é o valor de 13 5 1 45 2 0 22 y a) – 4 b) 1 c) 9 d) 5/4 2) Qual é o valor de 10 5620 1025 )1025()1010()109( a) – 4 b) 1 c) 9 d) 5/4 3) Simplificar as expressões abaixo a) 3 3028 10 22 b) 2 1 3 1 2 1 3 2 34316125 c) 4 3 4 3 3 2 3 2 1616.2727 d) 42 28 n 1n33 e) 3 22 2 2 33 32 ba2 xy3 ba yx9 4) Simplificar a expressão 3 3028 10 22 512 4) Simplificar a expressão 2 1 3 1 2 1 3 2 34316125 6 5) Simplificar em potência positiva 2 22 23 )a.x( .20. b .21 )a.b.x( . 35.a .3 .12 3 6) Simplificar em potência positiva 322 235 )x.a.(b.7 )bx.(a.35 5a2 7) Simplificar em potência positiva 322 235 )x.a.(b.7 )bx.(a.175 5a 10) Simplificar a expressão 1513 1715 22 22 2 11) Simplificar a expressão 2 2 1 2 1 273 48 Tópicos de Cálculo José Fernando Santiago Prates 10 12) Simplificar a expressão 42 28 n 1n33 22n 13) Simplificar a expressão 3 22 2 2 33 32 ba2 xy3 ba yx9 24x 14) Simplificar a expressão )b.a).(b.a( )b.a.()b.a.(b.a 2112 214212 b3/ a2 14) Qual o valor da expressão 3n2nn 111 sendo n um número inteiro ímpar a) 3 b) 2 c) -3 d) -2 e) nda 16) Qual o valor da expressão 3 n 12 n 1 n 1 111 sendo n um número inteiro ´1mpar a) 3 b) 2 c) -1 d) -2 e) nda 17) Na reta numérica ilustrada ao lado estão assinalados os pontos A, B, C e D.: Entre quais pontos consecutivos deve ser assinalado o número resultante do cálculo deda expressão n4 nn4 1010 101010 a) entre A e B b) entre B e C c) entre C e D d) Entre D e E e) nda 18) Como 210 = 1 024, em algumas situações usamos a aproximação 210 103. Um multimilionário decidiu, no dia 30 de abril, fazer uma doação de 230 reais para 1000 instituições de caridade no mundo. Quanto recebeu cada uma, aproximadamente? a) 35 b) 510 c) 102 d) 106 e) nda A B C D E 0 1 10 100 1000
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