1ª Aula de Tópicos de Cálculo 2018 Aluno (atualizado)

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Tópicos de Cálculo 
 
 
Noções básicas de álgebra elementar
 
 
 
 
1ª Aula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.: José Fernando Santiago Prates 
Universidade de Franca – UNIFRAN 
Franca - 2018 
 
Tópicos de Cálculo 
 
José Fernando Santiago Prates 2 
 
1. Conjuntos Numéricos 
 Naturais : N ={0, 1, 2, 3,......, } 
 Inteiros : Z={ -, ...., -2, -1, 0, 1, 2,......, } 
 Racionais : Q = {
b
a
 tal que a, b  Z e b  0} 
 Irracionais: I = {Todos os números que não podem ser escrito como um racional} 
 Reais : R = Q  I 
 Complexos : C = {z = a + bi tal que a, b  R e i2 = – 1} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Propriedades das operações de Adição e Multiplicação 
 Para  a, b, c  R 
 a + b = b + a (comutativa) 
 a  b = b  a (comutativa) 
 (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c (associativa) 
 (a  b)  c = a  (b  c) = a  b  c (associativa) 
 a + 0 = a (elemento neutro na adição) 
 a  0 = 0 
 a  1 = a (elemento neutro no produto) 
 (a + b)  c = a  c + b  c (distributiva) 
2.1. Lembrete: Sinais nas operações de adição e subtração algébrica: 
 Efetua-se a operação prevalecendo o sinal do maior. 
Exemplos: 
1) –2 + 3 = 1 
2) 5 – 3 = 2 
3) 2 – 7 = – 5 
4) – 2 – 7 = – 9 
5) 2 + 7 = 9 
Tópicos de Cálculo 
 
José Fernando Santiago Prates 3 
 
2.2. Lembrete: Sinais nas operações de multiplicação e divisão algébrica temos: 
 Sinais iguais 
o  Resposta positiva 
 
 
 Sinais diferentes 
o  Resposta negativa 
 
 
 
Exemplos: 
1) (-2).(3) = -6 
2) (5).(-3) = -15 
3) (2).(–7) = -14 
4) (-2).(–7) = 14 
5) (2)(7) = 14 
6) (-2)(7) = -14 
7) 1 + 2(8 – 2(3 + 1)) = 
8) 2 + 3(5 + 3(1 – 3)) = 
 
3. Ordem de prioridade das operações aritméticas e algébricas 
 
 
 
 
(+)  (+) = + 
(–)  (–) = + 
(+)  (+) = + 
(–)  (–) = + 
(+)  (–) = – 
(–)  (+) = – 
(+)  (–) = – 
(–)  (+) = – 
Tópicos de Cálculo 
 
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Ex e r c í c i os 
1) Obter o valor da expressão 23[4((51)+23(31))] 
Solução: 
23[4((51)+23(31))] = 23[4((4) + 2  3(2))] 
= 23[4(4 + 2  6)] 
= 23[4(0)] = 2 
 
Logo, 23[4((5  1) + 23(3  1))] = 2 
 
2) Obter o valor da expressão (5+8÷(2×(3-2×(3-1)))) 
Solução: 
(5+8÷(2×(3-2×(3-1)))) = (5+8÷(2×(3-2×(2)))) 
 = (5+8÷(2×(3-4))) 
 = (5+8÷(2×(-1))) 
 = (5+8÷(-2)) 
 = (5-4) 
 = 1 
Logo, (5+8÷(2×(3-2×(3-1)))) = 1 
 
 
4. Decomposição de um número em um produto de fatores primos 
A decomposição de um número em um produto de fatores primos, onde o número é divido por 2, 
3, 5, 7... 
Exemplos: 
1. 20 = 2*2*5, 
2. 30 = 2*3*5, 
3. 36 = 2*2*3*3, 
4. 45 = 3*3*5, 
 
 
 
 
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5. Potenciação 
 
 an = aaaaaa...aa , 
Onde: a : Base, n : Expoente, an : Potência. 
5.1. Estudos de Casos 
 
 Quando a base é positiva a potência será sempre positiva. 
Exemplos: 1) (2)4 =(2)(2)(2)(2) = 16 
 2) (2)3 = (2)(2)(2) = 8 
 3) (5)3 = (5)(5)(5) = 125 
 
 Quando a base é negativa e o expoente par a potência será sempre positiva. 
Exemplos: 1) (-2)4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16 
 2) (-3)2 = (-3)(-3) = 9 
 3) (-7)2 = (-7)(-7) = 49 
 
 Quando a base é negativa e o expoente ímpar A potência será sempre negativa. 
Exemplos: 1) (-3)3 = (-3)(-3)(-3) = - 27 
 2) (-2)5 = (-2)(-2)(-2)(-2)(-2) = - 32 
 3) (-5)3 = (-5)(-5)(-5) = - 125 
5.2. Propriedades 
I. am  an = am+n 
Exemplos: 1) 2423 = 24+3 = 27 
2) 32333-4 = 32+3-4 = 31 
3) a5a-3 = a5-3 = a2 
II. am  an = am-n 
Exemplos: 1) 242-2 = 24(-2) = 26 
2) 2523 = 253 = 22 
3) y6y4 = y6-4 = y2 
4) x5x-3 = x5-(-3) = x8 
III. (a  b)n = an  bn 
Exemplos: 1) (23)3 = 2333 
2) (2a)3 = 23a3 
3) (3b)2 = 9b2 
 
n fatores 
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IV. (a  b)n = an  bn 
Exemplos: 1) (52)3 = 5323 
2) (2y5)3 = (2y)3(5)3 = (2)3(y)3(5)3 = 23y353 
V. (am)n = amn 
Exemplos: 1) (22)3 = 26 
2) (2y5)3 = (2)3 (y5)3 = 23y15 
VI. a1 = a 
Exemplos: 1) 21 = 2 
2) -71 = -7 
3) m1 = m 
VII. a0 = 1 
Exemplos: 1) 20 = 1 
2) x0 = 1 
VIII. a–n =
na
1 
Exemplos: 1) 4-2 = 
0625,0
16
1
4
1
2

 
2) 2-1 = 
12
1
 = 0,5 
3) 
2-3
1
 = 32 = 9 
4) 
3-7
1
 = 73 
IX. n pnp aa  
Exemplos: 1) 3 232 22  
2) 7 575 22  
3) 2421  
 
 
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6. Radiciação 
 a raiz n-ésima de um número b é um número a tal que an=b, 
ou seja, 
bn
=a  an=b , n  R* 
 
6.1. Propriedades 
I. n bm = pn b pm  
Exemplos: 1) 
15 310
 = 
515 b 510 
=
3 32
 
2) 
18 38
 = 
2 2 18 310
=
9 35
 
 
II. n ba  = nbn a  
Exemplos: 1) 
 6
=
 3 2 
 
2) 
4x 
=
x 4 
=
x 2
 
 
III. 
n
b
a
 = 
n b
n a 
Exemplos: 1) 
2
4 5
416
4 5
4
16
5

 
2) 
2
3
3 8
3 27
3
8
27

 
IV.  mn b = n bm 
Exemplos: 1)   33 55 xx 
 
2)   5 95 35 3 22  
 
V. n bm = nmb 
Exemplos: 1) 10 35 3 
 
2) 
6333 
 
 
 
 
 
Tópicos de Cálculo 
 
José Fernando Santiago Prates 8 
 
Ex em pl o 
1) Simplificar a expressão 2
1
3221
32
2
23








y.x.
y.x.. . 
Solução: 
2
1
3221
32
2
23








y.x.
y.x.. = 
2
1
3
2
2
1
1322
1
223







 
 y.x.y.x..
 = 
2
1
3
2
31
2
1
2
1
2
23







 
y..x.
 
 = 
2
1
3
7
2
1
2
3
23







 
y..x.
 = 67414321 23 y..x.  
Logo, 2
1
3221
32
2
23








y.x.
y.x.. = 67414321 23 y..x.  
2) Simplificar a expressão com expoente positivo 
3 2963 z.y.x.x.a
. 
Solução: 
 
3 2963 z.y.x.x.a
 =  
3
1
2
1
2963








z.y.x.x.a
= 
3
1
12
9
33








z.y.x.x.a
 = 
3
1
2
3
3
4
z.y.x.a
 
Logo, 
3 2963 z.y.x.x.a
= 
3
1
2
3
3
4
z.y.x.a
 
 
Tópicos de Cálculo 
 
José Fernando Santiago Prates 9 
 
Ex e r c í c i os 
1) Qual é o valor de 
 
13
5
1
45
2
0
22










y 
a) – 4 b) 1 c) 9 d) 5/4 
2) Qual é o valor de 
10
5620
1025
)1025()1010()109(

 
 
a) – 4 b) 1 c) 9 d) 5/4 
3) Simplificar as expressões abaixo 
a) 
3
3028
10
22  b) 2
1
3
1
2
1
3
2
34316125









 c) 



















4
3
4
3
3
2
3
2
1616.2727
 
 d) 
42
28
n
1n33

  e) 3
22
2
2
33
32
ba2
xy3
ba
yx9
















 
4) Simplificar a expressão 
3
3028
10
22  
512 
4) Simplificar a expressão 2
1
3
1
2
1
3
2
34316125








 
6 
5) Simplificar em potência positiva 2
22
23
)a.x( .20. b .21
)a.b.x( . 35.a .3 .12







 
3 
6) Simplificar em potência positiva 








322
235
)x.a.(b.7
)bx.(a.35
 
5a2 
7) Simplificar em potência positiva 
322
235
)x.a.(b.7
)bx.(a.175
 
5a 
10) Simplificar a expressão 
1513
1715
22
22


 
2 
11) Simplificar a expressão 2
2
1
2
1
273









 
48 
Tópicos de Cálculo 
 
José Fernando Santiago Prates 10 
 
12) Simplificar a expressão 
42
28
n
1n33

  
22n 
13) Simplificar a expressão 3
22
2
2
33
32
ba2
xy3
ba
yx9
















 
24x 
14) Simplificar a expressão 
)b.a).(b.a(
)b.a.()b.a.(b.a
2112
214212

 
b3/ a2 
14) Qual o valor da expressão 
       3n2nn 111 
 sendo n um número inteiro ímpar 
a) 3 b) 2 c) -3 d) -2 e) nda 
16) Qual o valor da expressão 
     
3
n
12
n
1
n
1
111 












 sendo n um número inteiro ´1mpar 
a) 3 b) 2 c) -1 d) -2 e) nda 
17) Na reta numérica ilustrada ao lado 
estão assinalados os pontos A, B, C e 
D.: Entre quais pontos consecutivos 
deve ser assinalado o número 
resultante do cálculo deda expressão 
n4
nn4
1010
101010


 
 
a) entre A e B b) entre B e C c) entre C e D d) Entre D e E e) 
nda 
 
18) Como 210 = 1 024, em algumas situações usamos a aproximação 210  103. Um multimilionário 
decidiu, no dia 30 de abril, fazer uma doação de 230 reais para 1000 instituições de caridade no 
mundo. Quanto recebeu cada uma, aproximadamente? 
a) 35 b) 510 c) 102 d) 106 e) nda 
 
 
 
 
A B C D E 
0 1 10 100 1000