trigonometria

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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Integral por Substituição
Trigonométrica
Contato: nibblediego@gmail.com
Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 05/01/2017 - Atualizado em 15/10/2017
O que você precisa saber?
É imprescindível que você tenha conhecimento das identidades trigonométricas
fundamentais (seno, cosseno, tngente, cosecnte, secnte e cotngente) e das
seguintes:
p1 : sen2() + cos2() = 1
p2 : 1 + cotg2() = csc2()
p3 : tg2() + 1 = sec2()
p4 : sen(2) = 2sen()cos()
p5 : cos(2) = cos2() − sen2()
p6 : cos(2) = 1 − 2sen2()
p7 : cos(2) = 2cos2() − 1
Se você sentir dificuldade para decorá-las tente se lembrar pelo menos das iden-
tidades fundamentais e das propriedades p1, p4 e p5, pois as demais (p2, p3, p6 e
p7) podem ser deduzidas através delas.
Como funciona?
O processo de resolução por substituição é descrito basicamente em três passos:
1. Primeiro determinamos qual será a substituição (em θ) a ser utilizada.
Isso é feito examinando o radical da função.
Radical Substituição a ser usadap
2 − 2  =  · sen(θ)p
2 + 2  =  · tg(θ)p
2 − 2  =  · sec(θ)
1
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2. Resolvemos a integral em θ.
3. E finalmente voltamos para a variável original da função.
Para entender melhor vamos calcular a integral
∫ Æ
10 − 42 d
IDENTIFICANDO A SUBSTITUIÇÃO
Note que o radical da função a ser integrada não se parece com nenhum dos rad-
icais da nossa tabela de substituição, assim precisamos trabalha-lo algebricamente
para identificar que tipo de substituição usaremos.∫ Æ
10 − 42 d
=
∫ √√√
4
�
10
4
− 2
�
d
=
∫ √√√√√4
‚p10
2
Œ2
− 2
 d
=
∫ p
4 ×
√√√√‚p10
2
Œ2
− 2 d
= 2
∫ √√√√‚p10
2
Œ2
− 2 d
Observe que o radical da integral recai agora no primeiro caso ( =  · sen(θ)),
com  =
p
10/2, assim as substituições que usaremos são:
 =
p
10
2
· sen(θ) (1)
e também
2
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d =
p
10
2
· cos(θ) dθ (2)
RESOLVENDO A INTEGRAL EM θ
Fazendo a substituição de (1) e (2) na integral
= 2
∫ √√√√‚p10
2
Œ2
−
‚p
10
2
sen(θ)
Œ2
·
p
10
2
cos(θ) dθ
=
p
10
∫ 
√√√√‚p10
2
Œ2
−
‚p
10
2
Œ2
· sen2(θ)
cos(θ) dθ
evidenciando
‚p
10
2
Œ2
e retirando-o de dentro do radical
=
p
10
∫ 
√√√√‚p10
2
Œ2
(1 − sen2(θ))
cos(θ) dθ
=
p
10
∫ ‚p
10
2
q
1 − sen2(θ)
Œ
cos(θ) dθ
= 5
∫ �q
1 − sen2(θ)
�
cos(θ) dθ
Como cos2(θ) = 1 − sen2(θ) (ver p1) então:
5
∫ �q
1 − sen2(θ)
�
cos(θ) dθ
= 5
∫ �q
cos2(θ)
�
cos(θ) dθ
3
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= 5
∫
(cos(θ)) · cos(θ) dθ
= 5
∫
cos2(θ) dθ
Para resolver essa integral ainda precisamos de outra identidade trigonométrica
(veja p7 ).
5
∫
cos2(θ) dθ
= 5
∫ �
1 + cos(2θ)
2
�
dθ
=
5
2
∫
(1 + cos(2θ)) dθ
=
5
2
∫
dθ +
5
2
∫
cos(2θ)dθ
=
5
2
θ +
5
4
sen(2θ) + C (sendo C uma constante.)
RETORNANDO A VARIÁVEL
Já sabemos que o “resultado" (em θ) da integral é
∫ Æ
10 − 42 d = 5
2
θ +
5
4
sen(2θ) + C onde (C ∈ R).
então o que falta agora é retornar a variável original, ou seja, passar de θ para
.
Como a substituição usada foi  =
p
10
2
· sen(θ) então sen(θ) = 2p
10
e como
sen(2θ) = 2 · sen(θ)cos(θ) então:
sen(2θ) = 2sen(θ)
Æ
1 − sen2(θ)
4
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⇒ sen(2θ) =
 4p
10
√√√
1 −
�
2p
10
�2
⇒ sen(2θ) =
 4p
10
√√√
1 − 4
2
10

⇒
∫ �Æ
10 − 42
�
d =
5
2
sn−1
�
2p
10
�
+
5
4
 4p
10
√√√
1 − 4
2
10

Exemplo 2: Calcule a integral
∫
d

p
25 − 2
Solução:
Como 25 = 52 então:∫
d

p
25 − 2 =
∫
d

p
52 − 2
Observando o radical do integrando vamos usar a substituição de  =  · sen(θ),
com  = 5.
 = 5 · sen(θ)⇒ d = 5 · cos(θ)dθ
∫
d

p
25 − 2 =
∫
5 · cos(θ)dθ
(5 · sen(θ))Æ52 − (5 · sen(θ))2
=
∫
�5 · cos(θ)dθ
(5 · sen(θ))
q
��52 −��52 · sen2(θ)
=
∫
cos(θ)dθ
5 · sen(θ)Æ1 − sen2(θ)
Usando p1
=
∫
���
�cos(θ)dθ
5 · sen(θ)Æ�����cos2(θ) =
∫
dθ
5 · sen(θ) =
1
5
∫
dθ
sen(θ)
5
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Como
1
sen()
= csc() então:
1
5
∫
dθ
sen(θ)
=
1
5
∫
csc(θ)dθ
= − 1
5
n|csc(θ) + cotg(θ)| + Constante
Acabamos de encontrar a solução da nossa integral em θ, mas como nosso prob-
lema originalmente estava em função de x devemos retornar a x. Como a substitu-
ição que fizemos foi de  = 5 · sen(θ) então:
sen(θ) =

5
⇒ csc = 5

Como sen2(θ) + cos2(θ) = 1 então:
cos(θ) =
Æ
1 − sen2(θ)
⇒ cos(θ) =
√√√
1 − 
2
25
e como cotg(θ) =
cos(θ)
sen(θ)
então:
cotg(θ) =
√√√
1 − 
2
25

5
=
p
25 − 2

O que implica em
− 1
5
n|csc(θ) + cotg(θ)| + Constante
= − 1
5
n
����5 +
p
25 − 2

���� + Constante (Solução).
6
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3. Calcule a integral
∫
3p
9 − 2 d
Solução:
Usando  = 3 · sen(θ) então:∫
3p
9 − 2 d =
∫
(3sen(θ))3Æ
32 − (3 · sen(θ))2 3cos(θ)dθ
⇒
∫
27sen3(θ)Æ
32 − 32 · sen2(θ)) 3cos(θ)dθ =
∫
27sen3(θ)Æ
32(1 − sen2(θ)) 3cos(θ)dθ
⇒
∫
27sen3(θ)Æ
1 − sen2(θ) cos(θ)dθ =
∫
27sen3(θ)Æ
cos2(θ)
cos(θ)dθ
⇒ 27
∫
sen3(θ) dθ (1)
Para resolver a integral (1) fazemos o seguinte.
27
∫
sen3(θ) dθ = 27
∫
sen2(θ) · sen(θ) dθ
⇒ 27
∫
(1 − cos2(θ))sen(θ) dθ = 27
∫ �
sen(θ) − sen(θ)cos2(θ)� dθ
⇒ 27
�∫
sen(θ) dθ −
∫
sen(θ)cos2(θ) dθ
�
⇒ 27
�
−cos(θ) −
∫
sen(θ)cos2(θ) dθ
�
(2)
A integral
∫
sen(θ)cos2(θ) dθ pode ser resolvida por substituição fazendo  =
cos(θ).
∫
sen(θ)cos2(θ) dθ = −
∫
2 d = − 
3
3
= − cos
3(θ)
3
assim, (2) fica como
⇒ 27
–
−cos(θ) −
‚
− cos
3(θ)
3
Ϊ
7
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⇒ 27
–
cos3(θ)
3
− cos(θ)
™
= 9cos3(θ) − 27cos(θ)
Como cos(θ) =
Æ
1 − sen2(θ) então:
9cos3(θ) − 27cos(θ) = 9 €Æ1 − sen2(θ)Š3 − 27 €Æ1 − sen2(θ)Š
E como fizemos inicialmente a substituição de  = 3sen(θ)
9
ۮ
1 − sen2(θ)Š3 − 27 €Æ1 − sen2(θ)Š = 9 €Æ1 − (/3)2Š3 − 27 €Æ1 − (/3)2Š
que após algum algebrismo resulta em:
− 1
3
p
9 − 2 �2 + 18� + constante
8
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