Apostila LOGARITMO

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Colégio Zaccaria
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 www.zaccaria.g12.br
	Apostila
	
	
	Nota:
	
	
	
	
	
	Data:
	
	
	2014
	
	Aluno(a):
	
	Nº
	Turma:
	2301
	Turno:
	Manhã 
	Professor(a):
	Carolina França
LOGARITMO
	Nesse material e nas aulas que o acompanham, vamos descobrir uma das grandes ferramentas de cálculo que proporcionou grandes avanços: o logaritmo. Para isso, vamos dividir o nosso estudo em capítulos que estarão completamente interligados. Para uma consulta mais rápida, eles estão listados abaixo no índice.
Índice
Berço do estudo: Função Exponencial. 
Necessidade e Definição do Logaritmo
Propriedades Operatórias
Logaritmo Decimal e Neperiano
Função Logarítimica
Equações e Inequações Logarítimicas
Anexo I: Tábua de logaritmos.
Anexo II: Exercícios Resolvidos
Referência Bibliográfica.
Rio de Janeiro,
Março de 2014.
Berço do Estudo: Função Exponencial
	Situação Problematizadora I
	Um biólogo acompanhou o crescimento da folha com forma circular de uma planta aquática. Durante suas observações, percebeu que a cada mês o diâmetro da folha da planta triplicava.
	Se no início das suas observações o biólogo mediu a folha e obteve 1 cm de diâmetro, qual será o diâmetro que ela terá ao final de seu prazo máximo de sobrevivência que é de 4 meses?
	Situação Problematizadora II 
	Imagine que, em uma região litorânea, a população de certa espécie de alga tem crescido de modo que a áre estimada da superfície coberta pelas algas aumenta 75% a cada ano, em relação à área da superfície coberta no ano anterior. Os biólogos estimam que, atualmente, a área coberta é de 4000m². Mantido esse crescimento, determine a área da superfície coberta pelas algas daqui a:
2 anos.
3 anos.
X anos.
A partir de situações como essas nos deparamos com funções exponenciais, onde a variável se encontra no expoente. Repare também que a função exponencial ela transforma Progressões Aritméticas (P.A.) em Progressões Geométricas (P.G).
Por que a>0 ?
Por que a?
	Situação Problematizadora III
Construa o gráfico da 1º Situação Problematizadora.
Em resumo, temos:
Da definição da função exponencial, decorrem propriedades que listamos abaixo e que são válidas para quaisquer m e n reais. 
Além dessas propriedades, também podemos construir que:
	
Situação Problematizadora IV
	Progressão Geométrica e Função Exponencial
Leia e compare os dois problemas a seguir:
	Situação Problematizadora V - 	Equações Exponenciais e Inequações Exponenciais.
	O casal Abel (A) e Beatriz (B) queria saber uma maneira de calcular o número de ascendentes que tinham conjuntamente. Primeiro contaram seus pais/mães (2º geração), num total de 4 pessoas: 2 de (A) e 2 de (B). Depois contaram os avôs e avós (3º geração) que eram 8: 4 de (A) e 4 de (B). Então construíram o seguinte esquema:
Em certo momento, Beatriz, que é craque em Matemática, desafioou o marido a responder a pergunta: “Em qual geração o número de ascendentes que tivemos corresponde a 4096?”
Dentro de muitas questões contextualizadas como essa de função exponencial nos deparamos com equações ou inequações exponenciais. Muitas podem ser solucionadas reduzindo-se o 1º e 2º membros a potências de mesma base. Mais tarde mergulharemos nas situações em que essa redução não nos oferece a solução imediata.
	Inequações Exponenciais
	Para facilitar a análise das inequações exponenciais, vale lembrar dos possíveis gráficos de função exponencial.
Exercícios
(UERJ) Uma empresa acompanha a produção diária de um funcionário recém-admitido, utilizando uma função f(d), cujo valor corresponde ao número mínimo de peças que a empresa espera que ele produza em cada dia (d), a partir da data de sua admissão. Considere o gráfico auxiliar abaixo, que representa a função y = ex. 
Utilizando f(d) = 100-100.e-0,2d e o gráfico acima, a empresa pode prever que o funcionário alcançará a produção de 87 peças num mesmo dia, quando d for igual a:
(A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20
(UERJ) Na Tabela de Classificação Periódica, as fileiras horizontais correspondem aos períodos, e as colunas verticais, aos grupos ou famílias. Nos períodos, os elementos são dispostos em ordem crescente de seus números atômicos. Considere três elementos químicos cujos números atômicos são consecutivos, representados por x, y e z. Na equação 2x + 2y + 2z = 7×164, y é o número atômico de um elemento químico da família denominada:
(A) alcalinos (B) halogênios (C) calcogênios (D) gases nobres
(UERJ) Pelos programas de controle de tuberculose, sabe-se que o risco de infecção R depende do tempo t, em anos, do seguinte modo: R = R0.e-kt, em que R0 é o risco de infecção no início da contagem do tempo t e k é o coeficiente de declínio. O risco de infecção atual em Salvador foi estimado em 2%.
Suponha que, com a implantação de um programa nesta cidade, fosse obtida uma redução no risco de 10% ao ano, isto é, k = 10%. Use a tabela para os cálculos necessários. O tempo, em anos, para que o risco de infecção se torne igual a 0,2%, é de:
 
 a) 21 b) 22 c) 23 d) 24
 4) Simplifique as potências.
a) 
b) 
 5) (FUVEST-SP) Efetue a expressão 
 6) Marque um “x” nas funções que representam exponenciais.
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 7) Considere as funções de IR em IR dadas por: ; e . Calcule:
 a) f(-3) b) h(3) + g(-1) c) 2.f(0) – 3.g(0) 
 d) x tal que f(x) = 18 e) x tal que h(x) = 1 
 8) Utilize as propriedades de potências e radicais e encontre o valor de x em cada caso.
 a) b) c) 
 d) e) f) 
 g) 
Necessidade e Definição do Logaritmo
	Situação Problematizadora I
	Um caminhão custa hoje R$ 100.000,00 e sofre uma desvalorização de 10% por ano de uso. Depois de quanto tempo de uso o valor do veículo será igual a R$ 20.000,00?
Para enfrentar esse e outros tipos de problemas que vamos estudar mais a fundo os Logaritmos.
Através de uma consulta na tábua dos logaritmos podemos terminar a solução desse problema. No entanto, esse cálculo não é tão simples assim, pois as tábuas de logaritmos e as calculadoras não usam a base 0,9. Em geral, é usada a base 10; como veremos mais tarde.
Por isso, precisamos estudar de modo mais aprofundado os logaritmos para ao final dessa unidade, compreendermos como calcular o valor de e muitos outros.
De modo geral:
Nessa equivalência temos:
Repare que: as restrições impostas à base do logaritmo ( a>0 e a ) provém das condições sobre a função exponencial e garantem que o logaritmo exista e seja único.
A restrição de b>0 é porque para todo valor x real. Dessa forma, temos também uma Condição de Existência para o logaritmando que é b>0.
Da definição de logaritmo decorrem como consequências algumas propriedades que listamos abaixo, sendo a, b e c números positivos com a e m um número real:
Faça os exercícios com o que aprendemos até aqui. Dica: procure mais de um modo fazê-los. 
Para focar na resolução, notação e linguagem do logaritmo focaremos nos próximos exercícios em questões mais diretas. Para mais tarde mergulharmos nas questões contextualizadas com mais agilidade e propriedade.
Exercícios
Calcule o valor de x em cada item e utilize a notação de logaritmos para indicar a resposta:
O logaritmo de 256 em certa base é 4. Qual é essa base?
O logaritmo de 729 em certa base é 6. Qual é essa base?
Calcule os logaritmos na base 5 dos números abaixo:
5
25
625
Calcule:
Determine x para que estejam definidos:
Calcule o valor de x:
Calcule o valor de:
Calcule
o valor de:
Propriedades Operatórias
Logaritmo de um produto
Logaritmo de um quociente
Logaritmo de uma potência
Observe que não se tratam de propriedades totalmente novas, mas de uma outra forma de escrever as propriedades das potências!
Essas propriedades quando bem usadas nas equações e inequações logaritmicas tornam-se um grande ganho em tempo além de contribuir para o desenvolvimento da criatividade de quem as utiliza.
Logaritmo Decimal
Os logaritmos de base 10 são chamados de logaritmos decimais e sua importância se deve ao fato de as tábuas de logaritmos e as calculadoras trabalharem com essa base, que é também a base do sistema de numeração de utilizamos.
Por simplificação, representamos por , para todo x > 0.
Usando as propriedades operatórias e conhecendo os valores de alguns logaritmos, verifique como é possível obter vários outros.
Mudança de Base
Para resolver o problema inicial desta unidade, era preciso encontrar o valor de . Uma das formas de determinar esse valor é usar os logaritmos de base 10, pois as tábuas de logaritmos e as calculadoras trabalham com o sistema de logaritmos decimais.
Para isso, usaremos a Mudança de Base
Vamos agora com o auxílio da calculadora, resolver o nosso problema inicial do caminhão e encontrar .
Logaritmo Neperiano (ou Natural)
Os logaritmos Naturais são logaritmos representados pela base “e” que é  um número irracional denominado de número de Euler equivalente a e=2,71828... Matematicamente representamos o logaritmo natural por:
Ln(x) = logex
Colog
Denomina-se cologaritmo de um número N (N > 0) numa base a ( positivo e diferente de 1) o oposto do logaritmo do número N na base a ou o logaritmo do inverso de N na base a.
 	ou consequentemente		 
EXERCÍCIOS
Qual é o tempo necessário para que um capital inicial empregado a taxa de 2% ao mês de juros compostos, que são capitalizados mensalmente, dobre de valor? (considere: log 1,02 = 0,0086 ; log 2 = 0,3010). 
Se log 2 = 0,30 calcule o valor real de x que satisfaz a sentença 
Se S é a soma das raízes da equação , então calcule o valor de 1073 - 10S.
Há números em que, para cada um deles, o quadrado do logaritmo decimal é igual ao logaritmo do seu respectivo quadrado. Logo, a soma dos valores reais dos números que satisfazem essa é:
(A) 90 (B) 99 (C) 100 (D) 101 (E) 201
Encontre os valores de x que satisfazem .
Se , determine o valor de 5k + 5-k.
(ITA) - Sejam x, y e z números reais positivos tais que seus logaritmos numa dada base k são números primos satisfazendo
Então, é igual a:
(A) 52 (B) 61 (C) 67 (D) 80 (E) 97
Se e , calcule .
O logaritmo decimal do número positivo x é representado por . Então, a soma das raízes de é igual a:
(A) 1 (B) 101 (C) 1000 (D) 1001
Função Logarítmica
Como já vimos nos tópicos anteriores, são várias as situações-problemas que a partir de uma função exponencial podem gerar a necessidade de um logaritmo. Contudo, outras situações já partem diretamente do Logaritmo como é o caso da Escala Richter, a medição do PH, a intensidade auditiva ou nível sonoro entre muitos outros. 
Situação Problematizadora I
(UERJ) Um aluno, para calcular o pH da água, sabendo que seu produto iônico, a 25ºC, corresponde a 10−14, utilizou, por engano, a seguinte fórmula:
O valor encontrado pelo aluno foi igual a:
(A) 1,4 (B) 3,5 (C) 7,0 (D) 10,0
 A partir de agora, vamos definir formalmente a função logaritmica e investigar seus gráficos e relações com outras funções.
Ou seja,
 
Gráfico cartesiano da Função Logarítmica
Situação Problematizadora II
Construa a tabela e esboce o gráfico da questão apresentada no início deste tópico, a questão sobre o PH.
A função logarítmica é inversa da função exponencial e portanto o seu gráfico é simétrico do gráfico da função exponencial em relação à reta y = x, sendo é representada graficamente por:
intercepta o eixo OX no ponto (1 ; 0). Em todos os casos?
não intercepta o eixo OY . Por quê?
quando a > 1 a função é crescente. Por quê?
quando 0 < a < 1 a função é decrescente. Por quê?
Se tratando do gráfico desenhado acima, qual seu DOMÍNIO E IMAGEM?
Sistemas, Equações e Inequações Logarítmicas
Surgirão conforme o desenvolvimento do problema e utilizaremos as propriedades e análise do crescimento da função logarítmica para resolvê-los.
Exemplos – Resolvidos:
Resolva, em IR, as equações.
 a) b) 
c) 
Solução. Em cada caso, é necessário delimitar as condições de existência dos logaritmos e verificar a validade do valor de “x”.
a) 
b) 
c) 
4) (UF-SE) Encontre o conjunto de valores reais x satisfazem o sistema .
Solução. O valore de “x” além de satisfazer a condição de existência deve ser solução de ambas as equações. Pela 2ª equação, x > – 2. 
Vá ao tópico de Exercícios Resolvidos para ver outros exemplos, além dos que já fizemos até agora.
Exercícios
O IDH - Índice de Desenvolvimento Humano - é um número entre 0 e 1, calculado pela média aritmética de três índices: de educação, de expectativa de vida ao nascer e do PIB em dólares. Com base nesses dados e na comparação entre os países, é possível analisar a qualidade de vida e o desenvolvimento humano no planeta. O cálculo do índice do PIB é feito através da seguinte fórmula mostrada, onde PIB per capita é o valor da renda per capita do país analisado, em dólar; 40000 dólares é o valor máximo de renda per capita no mundo.
Calcule aproximadamente o PIB per capta de um país que tenha o índice do PIB igual a 0,79.
	Índice do PIB =
	log(PIB per capita) – log 100
	
	log 40000 – log 100
O ouvido humano pode perceber uma extensa faixa de intensidades de ondas sonoras (som), desde cerca de 10 -12 w/m2 (que se toma usualmente como o limiar de audição) até cerca de 1w/m2 (que provoca a sensação de dor na maioria das pessoas). Em virtude da enorme faixa de intensidades a que o ouvido é sensível usa-se uma escala logarítma para descrever o nível de intensidade de uma onda sonora. O nível de intensidade G medido em decibéis (db) se define por , onde I é a intensidade do som.
a) Calcule nessa escala, o limiar de audição.
b) Calcule nessa escala, o limiar de audição dolorosa.  
(UERJ) Admita que, em um determinado lago, a cada 40 cm de profundidade, a intensidade de luz é reduzida em 20%, de acordo com a equação
na qual I é a intensidade da luz em uma profundidade h, em centímetros, e Io é a intensidade na superfície. Um nadador verificou, ao mergulhar nesse lago, que a intensidade da luz, em um ponto P, é de 32% daquela observada na superfície. A profundidade do ponto P, em metros, considerando log 2 = 0,3, equivale a:
 (A) 0,64 (B) 1,8 (C) 2,0 (D) 3,2
(UFCE) Se , então é igual a:
a) b) c) d) e) 
(FUVEST) Se log8 = a, então log5 vale:
a) b) c) d) e) 
(UERJ) Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial, atingindo o nível de toxidez T0, correspondente a dez vezes o nível inicial.
Leia as informações a seguir. 
    • A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias.
    • O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte equação:
Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessário para que a toxidez retorne ao nível inicial.
Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a:
(A) 30		(B) 32		(C) 34		(D) 36
(UERJ) Considere-se que uma população inicial cresce 3% ao
ano, observados os dados log3 = 0,477 e log103 = 2,013 o número aproximado de anos que ela triplicará é: 
A) 37 B) 47 C) 57 D) 67
O volume de um líquido volátil diminui 4% a cada 10 minutos. O tempo necessário para que o volume se reduza à quarta parte é: (Se necessário use log2 = 03, e log3 = 0,48)
(A) 4 horas (B) 5 horas (C) 6 horas (D) 8 horas (E)12 horas e 30 minutos.
 Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência natural a se desintegrar (emitindo partículas e se transformando em outro elemento). Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade original desse elemento diminui. Suponhamos que certa quantidade de um elemento químico radioativo com inicialmente m₀ gramas de massa se decomponha segundo a equação matemática , onde m(t) é a quantidade de massa radioativa no tempo t (em anos). Usando a aproximação log2 = 0,3, determine quantos anos demorará para que esse elemento se decomponha até atingir um oitavo da massa inicial. 
(UERJ)
Suponha que  e   são números reais positivos que apresentam logaritmos com bases diferentes, conforme as igualdades a seguir:
Calcule a razão .
Anexo I: Tábua de logaritmos.
A PRIMEIRA TÁBUA FEITA POR BRIGGS 
Sugestão de leitura: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2011/08/construcao-da-primeira-tabua-de.html
Anexo : Exercícios Resolvidos
1. Resolva em IR as seguintes equações.
a) 
b) 
Solução. Estabelecendo as condições de existência, temos:
a) b) 
2. A International Electrotechnical Commission - IEC padronizou as unidades e os símbolos a serem usados em Telecomunicações e Eletrônica. Os prefixos kibi, mebi e gibi, entre outros, empregados para especificar múltiplos binários são formados a partir de prefixos já existentes no Sistema Internacional de Unidades - SI, acrescidos de bi, primeira sílaba da palavra binário.
A tabela na figura 1 indica a correspondência entre algumas unidades do SI e da IEC.
Um fabricante de equipamentos de informática, usuário do SI, anuncia um disco rígido de 30 gigabytes. Na linguagem usual de computação, essa medida corresponde a p × 230 bytes.
Considere a tabela de logaritmos na figura 2.
Calcule o valor de p.
Solução. De acordo com a figura 1 e os valores, temos:
.
Utilizando os valores da figura 2, temos:
3. Jorge quer vender seu carro por R$40000,00. Pedro, para comprá-lo, dispõe de R$5000,00 e aplica este valor em um investimento que rende juros compostos a uma taxa de 28% a cada dois anos. Considere que a desvalorização do carro de Jorge seja 19% a cada dois anos, calculada sobre o valor do carro no período de dois anos imediatamente anterior. Calcule o tempo mínimo em que Pedro terá dinheiro suficiente para comprar o caro de Jorge. Utilize, em seus cálculos, log2 = 0,30 e log3 = 0,48.
Solução. Considere T o período de rendimento e desvalorização. Temos: 
Como cada período corresponde a 2 anos, o tempo mínimo será 2.T = 2(5) = 10 anos.
(Cesgranrio) O pH de uma solução é definido por pH = log(1/H+) onde H+ é a concentração de hidrogênio em íons-grama por litro de solução. Calcule o pH de uma solução tal que H+ = 1,0 × 10-8 .
Solução. Substituindo o valor indicado e aplicando as propriedades, vem:
5) (UERJ-2010) A acidez de frutas cítricas é determinada pela concentração de íons hidrogênio. Uma amostra de polpa de laranja apresenta pH = 2,3. Considerando log 2 = 0,3 calcule a concentração de íons hidrogênio nessa amostra, em mol.L-1.
Solução. O cálculo será o inverso do exercício anterior.
6) Qual é o tempo necessário para que um capital inicial empregado a taxa de 2% ao mês de juros compostos, que são capitalizados mensalmente, dobre de valor? (considere: log 1,02 = 0,0086 ; log 2 = 0,3010). 
Solução. Um capital C aplicado com uma taxa de juros compostos de i rende após um tempo n gera um montante calculado pela fórmula: . Se o montante esperado é o dobro do capital inicial então seu valor será M = 2C. Substituindo na fórmula e desenvolvendo, temos:
Logo, o capital dobra após 35 meses.
7) Em uma colônia, o número de formigas prolifera de acordo com a função f(p) = 500(2)0,75p, onde p é o período em dias. Calcule o valor de p no qual o número de formigas chegará a 256.000.
Solução. Igualando o número de formigas desejado a expressão da função, temos:
8) (Unifor-CE) Se log 2 = 0,30 calcule o valor real de x que satisfaz a sentença 
Solução. As bases são diferentes não permitindo igualar os expoentes. 
i) Aplicando a definição de logaritmo em relação ao 1º membro da equação vem: . 
ii) Pela propriedade da potência a expressão temos: 
iii) Escrevendo o logaritmo na base 10 vem: 
iv) Aplicando as propriedades e resolvendo a equação vem:
Referência Bibliográfica:
Matemática Ensino Médio – Kátia Stocco Smole e Maria Ignez Diniz
Matemática Ensino Médio – Dante
Matemática Elementar – Iezzi.
Temas e Problemas – IMPA.
www.vestibular.uerj.br
www.magiadamatemática.com
www.obaricentrodamente.com.br
www.professorwaltertadeu.mat.br