492447216-expoente-12-vol3

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EXPOENTE12
MATEMÁTICA A
Daniela Raposo
Luzia Gomes
VOL. 3
MANUAL DO
PROFESSOR
DE ACORDO COM
NOVO PROGRAMA E
METAS CURRICULARES
Cláudia Mendes Araújo 
(Universidade do Minho)
TEMA V
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
1. Juros compostos ....................................................................................................................................... 6
2. Número de Neper ..................................................................................................................................... 11
3. Funções exponenciais............................................................................................................................. 14
3.1. Propriedades da função definida nos números racionais por f (x) = a x, com a > 0: monotonia,
continuidade, limites e propriedades algébricas ...................................................................................... 14
3.2. Funções definidas nos números reais por f (x) = a x, com a > 0 e respetivas propriedades .................... 19
3.3. Algumas equações e inequações envolvendo exponenciais .................................................................. 23
3.4. O limite lim 1 + 
n
= e x ....................................................................................................................... 28
3.5. O limite notável = 1 ................................................................................................................ 31
3.6. Derivada da função exponencial de base e ........................................................................................... 33
4. Funções logarítmicas.............................................................................................................................. 35
4.1. Conceito de logaritmo............................................................................................................................. 35
4.2. Função logarítmica ............................................................................................................................... 38
4.3. Propriedades algébricas dos logaritmos ............................................................................................... 43
4.4. Resolução de algumas equações e inequações com logaritmos ............................................................ 47
4.5. Derivadas da função a x, a > 0 e das funções logarítmicas .................................................................... 54
4.6. Limites envolvendo funções exponenciais e funções logarítmicas ......................................................... 69
5. Modelos exponenciais ............................................................................................................................ 79
Síntese ............................................................................................................................................................. 86
Aprende Fazendo .............................................................................................................................................. 94
Desafio ............................................................................................................................................................ 119
Teste Final ....................................................................................................................................................... 120
TEMA VI
Primitivas e Cálculo Integral
1. Noção de primitiva ................................................................................................................................. 126
2. Cálculo integral....................................................................................................................................... 136
2.1. Definição intuitiva da noção de integral ................................................................................................. 136
2.2. Origem histórica do símbolo de integral ............................................................................................... 138
2.3. Propriedades do integral definido ........................................................................................................ 139
2.4. Teorema fundamental do cálculo (integral) e fórmula de Barrow ........................................................... 141
h
i
j
x
n
h
i
j
e h – 1
hlimh Æ 0
ÍNDICE
2.5. Cálculo de medidas de áreas de regiões do plano ................................................................................ 147
Síntese ........................................................................................................................................................... 150
Aprende Fazendo ............................................................................................................................................. 154
Desafio ........................................................................................................................................................... 159
Teste Final ....................................................................................................................................................... 160
TEMA VII
Números Complexos
1. Introdução aos números complexos .................................................................................................. 164
2. O corpo dos números complexos ....................................................................................................... 166
2.1. Propriedades das operações + e ¥ em R2 ............................................................................................. 166
2.2. A unidade imaginária i = (0, 1) ................................................................................................................ 168
2.3. Representação dos números complexos na forma z = a + bi................................................................. 168
3. Forma trigonométrica de um número complexo .............................................................................. 186
3.1. Complexos de módulo 1 ........................................................................................................................ 186
3.2. Argumento de um número complexo e representação trigonométrica dos números complexos ........... 188
4. Raízes n -ésimas de números complexos ......................................................................................... 206
4.1. Soluções das equações da forma zn = w, n ∈N e w ∈C ....................................................................... 206
4.2. Raízes em C de polinómios do segundo grau de coeficientes reais ....................................................... 213
5. Conjuntos de pontos definidos por condições sobre números complexos ................................ 216
5.1. Circunferência e círculo ........................................................................................................................ 216
5.2. Mediatriz e semiplanos definidos por mediatrizes ................................................................................ 217
5.3. Retas paralelas aos eixos coordenados ............................................................................................... 219
5.4. Semirretas e ângulos .......................................................................................................................... 220
Síntese ........................................................................................................................................................... 225
Aprende Fazendo ............................................................................................................................................ 234
Desafio ........................................................................................................................................................... 243
Teste Final ......................................................................................................................................................244
Soluções ...................................................................................................................................................... 247
TEMA III – Funções Reais de Variável 
Real
TEMA IV – Trigonometria e Funções
Trigonométricas
VOL. 2
TEMA I – Cálculo Combinatório
TEMA II – Probabilidades
VOL. 1
Desafio – Distância vertical
Um dos números mais importantes da matemática é o número de Neper. Representa-se
pela letra e, tem uma dízima infinita não periódica e as suas primeiras casas decimais são:
e = 2,718 281 828 459 045 235 360…
Consideremos os gráficos de duas funções, f(x) = ex e g(x) = x.
Sejam F e G dois pontos, um de cada gráfico, com a mesma abcissa. Seja d a distância
entre esses pontos.
Qual é a abcissa comum a F e a G que faz com que a distância d seja mínima?
Qual é essa distância?
E se, em vez da reta y = x, tivéssemos a reta y = 2x?
José Paulo Viana
TEMA V
Funções Exponenciais 
e Funções Logarítmicas
1. Juros compostos 
2. Número de Neper
3. Funções exponenciais
4. Funções logarítmicas
5. Modelos exponenciais 
UNIDADE 1
Juros compostos 
O estudo das funções exponenciais e logarítmicas torna-se fundamental pela variedade
de aplicações simples, surpreendentes e interessantes que daí resultam. Tem aplicações
nas mais diversas áreas do conhecimento: economia, biologia, física, química, arqueolo-
gia, …, como teremos oportunidade de ver mais à frente.
Consideremos o seguinte exemplo:
Formalizando a linguagem utilizada no exemplo anterior e de um modo geral:
Dados um número real r, uma unidade de medida temporal T e n ∈N, designa-se por
“aplicar juros compostos à taxa de r% a T durante n períodos de tempo T” a um dado ca-
pital disponível, em certo instante inicial t0, a operação que consiste em calcular um juro
igual a r% do capital disponível no início de cada período de tempo com duração igual
a T e adicioná-lo ao capital findo esse período, começando este processo a partir do ins-
tante t0, e levando-o a cabo n vezes seguidas.
TEMA V Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
6
Exemplo
Supõe que depositas 1000 euros num banco, a um juro composto de 4% ao ano. Designe-
mos por C0 o capital inicial de 1000 euros e por Cn o capital acumulado ao fim de n anos.
Ao fim de um ano, terás o capital inicial mais o valor correspondente a 4% desse mesmo
capital, isto é:
C1 = 1000 + ¥ 1000 = 1000 1 + 
Ao fim de dois anos, terás o capital que tinhas ao fim de um ano mais o valor correspon-
dente a 4% desse mesmo capital, isto é:
C2 = 1000 1 + + ¥ 1000 1 + = 1000 1 + ¥ 1 + =
= 1000 1 + 
2
Ao fim de três anos, terás o capital que tinhas ao fim de dois anos mais o valor corres-
pondente a 4% desse mesmo capital, isto é:
C3 = 1000 1 +
2
+ ¥ 1000 1 +
2
= 1000 1 +
2
¥ 1 + =
= 1000 1 + 
3
Facilmente intuímos que, ao fim de n anos, o capital será de:
Cn = 1000 1 + 
n
= C0 1 + 
n4
100
4
100
h
i
j
h
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h
i
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h
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4
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4
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4
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4
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4
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h
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i
j
PROFESSOR
FEL12_1.1
Resolução
Todos os exercícios de “Juros compostos” 
7
UNIDADE 1 Juros compostos 
Demonstração
Seja Cn o capital disponível ao fim de n períodos de tempo T.
Demonstremos por indução matemática que Cn = C0 1 + 
n
.
i) Para n = 1, tem-se que:
C1 = C0 1 + , que é uma proposição verdadeira.
ii) Seja n ∈N tal que Cn = C0 1 + 
n
. Mostremos que Cn + 1 = C0 1 + 
n + 1
.
Cn + 1 = Cn + Cn =
= Cn 1 + =
= C0 1 + 
n
1 + (hipótese de indução) 
= C0 1 + 
n + 1
∀ n ∈N, se Cn = C0 1 + 
n
, então Cn + 1 = C0 1 + 
n + 1
.
Por i) e ii) provámos que o capital disponível ao fim de n períodos de tempo T é igual
a C0 1 + 
n
.
Supõe, agora, que depositas 1000 euros num banco e que, em vez de se aplicar um juro
de 4% ao ano, se aplica um juro de 2% duas vezes ao ano (isto é, semestralmente). 
Então, ao fim do primeiro semestre, terias: 
C1 = 1000 + ¥ 1000 =
= 1000 1 + 
Ao fim do segundo semestre, terias:
C2 = 1000 1 + + ¥ 1000 1 + =
= 1000 1 + ¥ 1 + =
= 1000 1 + 
2
h
i
j
r
100
h
i
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r
100
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2
100
2
100
2
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100
2
100
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2
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r
100
h
i
j
h
i
j
r
100
h
i
j
O Simão recebeu no seu
primeiro aniversário uma
prenda de 500 euros. 
A sua mãe, que é
bancária, depositou este
valor numa modalidade
de juros à taxa de 2,5% ao
ano. Supondo que esta
taxa se mantém, qual será
o capital acumulado
quando o Simão atingir 
os 18 anos? Apresenta o
resultado aproximado 
às centésimas.
1
O Pedro pretende
depositar 50 000 euros
durante um período de
dois anos. O banco A
oferece-lhe ao ano uma
taxa de 2,5% e o banco B
oferece-lhe
semestralmente uma taxa
de 1,25%. Qual dos dois
bancos propõe uma
situação mais lucrativa
para o Pedro? Justifica a
tua resposta.
2
Determina a taxa anual a
que esteve depositado um
capital que duplicou em
15 anos. Apresenta o
resultado em percentagem
aproximada às décimas.
3
FEL12_1.2
Soluções
1. 760,81 € 
2. O banco B.
3. 4,7%
PROFESSOR
Dado um capital inicial C0, e aplicando-se juros compostos à taxa de r% a T, tem-se 
que o capital disponível, ao fim de n períodos de tempo T, é igual a C0 1 + 
n
.hi
j
r
100
h
i
j
8
TEMA V Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
Foi efetuado um depósito
a um ano de 1500 euros
num banco, num regime
de juro composto à taxa
anual de 1,2%. Determina
o valor do rendimento
obtido ao fim de um ano,
se os juros pagos forem
capitalizados
proporcionalmente e:
a) anualmente; 
b) semestralmente; 
c) trimestralmente; 
d) mensalmente. 
4
Soluções
4.
a) 18 € b) 18,05 €
c) 18,08 € d) 18,10 €
Sejam r um número real, n um número natural e C0 um capital disponível no início
de um determinado período de um ano. Se dividirmos esse ano em n períodos iguais,
de medida temporal T, e aplicarmos juros compostos à taxa de % a T, durante esses
n períodos ao capital inicial C0, o capital disponível ao fim de um ano é igual a:
C0 1 + 
nh
i
j
r
100n
h
i
j
r
n
Supõe, agora, que depositas 1000 euros num banco e que, em vez de se aplicar um juro
de 4% ao ano, se aplica um juro de 1% quatro vezes ao ano (isto é, trimestralmente). 
Então, ao fim do primeiro trimestre, terias:
C1 = 1000 + ¥ 1000 =
= 1000 1 + 
Ao fim do segundo trimestre terias:
C2 = 1000 1 + + ¥ 1000 1 + =
= 1000 1 + 1 + =
= 1000 1 + 
2
Ao fim do terceiro trimestre terias:
C3 = 1000 1 +
2
+ ¥ 1000 1 +
2
=
= 1000 1 +
2
1 + =
= 1000 1 + 
3
Ao fim do quarto trimestre terias:
C4 = 1000 1 +
3
+ ¥ 1000 1 +
3
=
= 1000 1 +
3
1 + =
= 1000 1 + 
4
Em geral, tem-se:
1
100
1
100
h
i
j
h
i
j
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j
1
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1
100
1
100
h
i
j
h
i
j
PROFESSOR
FEL12_1.3
9
UNIDADE 1 Juros compostos 
Foi efetuado um depósito a um ano de 5800 euros num banco, no regime de juro
composto à taxa anual de 2,1%.
a) Qual é o capital acumulado ao final de um ano?
b) Mostra que o capital acumulado ao fim de cinco anos é de aproximadamente
6435,12 euros.
c) Justifica que a sucessão dos capitais acumulados em cada um dos anos, a partir
do primeiro, é uma progressão geométrica de razão 1,021.
d) Obtém a expressão que permite obter o capital acumulado ao fim de n anos. 
e) Utiliza a calculadora para determinar ao fim de quantos anos é possível obter um
capital acumulado superior a 9000 euros.
f) Supondo que é dada a opção de capitalizar juros pagos proporcionalmente em
cada períodode três meses, mas com uma taxa de apenas 1,9% ao ano, determina
se um tal depósito permite obter ao fim de um ano um capital acumulado maior
ou menor do que o obtido na opção acima descrita.
Caderno de Apoio às Metas Curriculares, 12.º ano
Exercício resolvido
Sugestão de resolução
Sabemos que dado um capital inicial C0, e aplicando-se juros compostos à
taxa de r% a T, tem-se que o capital disponível ao fim de n períodos de tempo
T é igual a C0 1 +
n
. 
No contexto deste problema, C0 = 5800, r = 2,1, T = 1 ano. 
a) Assim, o capital acumulado ao final de um ano é:
5800 1 + = 5800(1 + 0,021) = 5800 ¥ 1,021 ≈ 5921,80 €
b) O capital acumulado ao fim de cinco anos é:
5800 1 + 
5
= 5800 ¥ 1,0215 ≈ 6435,12 €
c) Seja Cn o capital acumulado ao fim de n (n ∈N) anos. Um depósito a um
ano de um determinado capital inicial C0 num banco, no regime de juro
composto à taxa anual de 2,1% (= 0,021), significa que, ao fim do primeiro
ano, o capital será igual à soma do capital inicial com 0,021 desse mesmo
valor, isto é, C1 = C0 + 0,021C0 = C0 ¥ 1,021.
Este último valor passa a ser o capital do cliente e irá, por sua vez, um ano
depois, ser sujeito a um juro de 2,1% (= 0,021), ou seja, C2 = C1 + 0,021C1 =
= C1 ¥ 1,021.
E, assim, sucessivamente…, isto é, o capital acumulado ao fim de um ano cor-
responde ao capital acumulado no ano anterior multiplicado pelo fator 1,021,
que traduz o facto de o capital acumulado crescer à taxa de 2,1% ao ano. 
Logo, a sucessão C1, C2, …, Cn é uma progressão geométrica de razão 1,021.
h
i
j
r
100
h
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j
2,1
100
h
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j
h
i
j
h
i
j
2,1
100
h
i
j
(continua)
Foi efetuado um depósito
a um ano de 8500 euros
num banco, no regime de
juro composto à taxa
anual de 2%.
a) Qual é o capital
acumulado ao final de
um ano? 
b) Mostra que o capital
acumulado ao fim de
10 anos é de
aproximadamente 
10 361,45 euros. 
c) Justifica que a sucessão
dos capitais
acumulados em cada
um dos anos, a partir do
primeiro, é uma
progressão geométrica
de razão 1,02.
d) Obtém a expressão que
permite obter o capital
acumulado ao fim de n
anos. 
e) Utiliza a calculadora
para determinar ao fim
de quantos anos é
possível obter um
capital acumulado
superior a 10 000 euros.
f) Supondo que é dada a
opção de capitalizar
juros pagos
proporcionalmente
mensalmente, mas com
uma taxa de apenas
1,9% ao ano, determina
se um tal depósito
permite obter ao fim de
um ano um capital
acumulado maior ou
menor do que o obtido
na opção acima descrita. 
5
Soluções
5.
a) 8670 €
d) 8500 ¥ 1,02n
e) 9 anos
f) O capital acumulado é
inferior ao obtido na opção
acima.
PROFESSOR
10
TEMA V Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
Exercício resolvido
d) Cn = 5800 1 + 
n
=
= 5800 ¥ 1,021n
e) Cn > 9000 ⇔ 5800 ¥ 1,021n > 9000
Recorrendo à calculadora gráfica (na janela de visualização, consideramos
x ∈[0, 30] e y ∈[5800, 10 000]), obtemos as seguintes partes das represen-
tações gráficas das funções definidas por:
f1(x) = 5800 ¥ 1,021n e f2(x) = 9000
As representações gráficas levam-nos a induzir que, ao fim de 22 anos, será
possível obter um capital acumulado superior a 9000 euros. 
f) Sabemos que, dados um número real r, um número natural n e um capital
C0 disponível no início de um determinado período de um ano, se dividirmos
esse ano em n períodos iguais de medida temporal T, e aplicarmos juros com-
postos à taxa de % a T, durante esses n períodos ao capital inicial C0, o
capital disponível ao fim de um ano é igual a C0 1 +
n
.
No contexto deste problema:
• C0 = 5800
• n = = 4
• = = 0,475
• T = 3 meses
Logo, o capital disponível ao fim de um ano é igual a:
5800 1 + 
4
= 5800 ¥ 1,004754 ≈ 5 910,99 €
Na opção descrita na alínea b), o capital acumulado é de 5921,80 euros e
com esta nova modalidade é de 5910,99 euros, logo esta última modalidade
devolve um capital acumulado inferior.
h
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2,1
100
h
i
j
r
n
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i
j
r
100n
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j
1,9
100 ¥ 4
h
i
j
h
i
j
12
3
1,9
4
r
n
A população de bactérias
de uma determinada
cultura cresce à taxa de
3,1% por dia. Se a
população inicial é de 
10 000 bactérias, qual é 
o número de bactérias
existentes passados 
10 dias?
6
Um determinado
automóvel custou 48 900
euros. Sabendo que
desvaloriza a uma taxa de
13% ao ano, determina o
valor do automóvel ao fim
de quatro anos?
7
Uma população é
constituída por 2,4
milhares de bactérias. Esta
população, quando
atacada por um
medicamento, diminui
15% em cada hora. Qual
das seguintes expressões
pode traduzir a função
que dá o número, em
milhares, de bactérias ao
fim de n horas? 
(A) 2,4 ¥ 1,15n
(B) 2,4 ¥ 0,85n
(C) 2,4 ¥ 0,15n
(D) 2,4 – 0,15n
8
Soluções
6. ≈ 13 570
7. 28 014,69 €
8. Opção (B)
PROFESSOR
Apresentação
“Juros compostos” 
Teste interativo
“Juros compostos” 
Págs. 94, 95, 99, 101 e 111
Exercícios 2, 8, 29, 30, 41
e 71
APRENDE FAZENDO
Págs. 47 e 48
Exercícios 1, 2, 3, 4, 5, 7,
8, 9 e 10
CADERNO DE EXERCÍCIOS
E TESTES
11
UNIDADE 2
Número de Neper
UNIDADE 2 Número de Neper
Consideremos a sucessão de termo geral un = 1 + 
n
.hi
j
h
i
j
1
n
Demonstração (+)
Utilizando a fórmula do desenvolvimento de um binómio, tem-se:
un = 1 + 
n
=
= 1 + nC1 ¥
1
+ nC2 ¥
2
+ nC3 ¥
3
+ … + 
n
=
= 1 + n ¥ + ¥ + ¥ + … + = 
= 1 + 1 + ¥ + ¥ + … + = 
= 2 + ¥ + ¥ + … + = 
= 2 + ¥ + ¥ ¥ + … + = 
= 2 + ¥ 1 – + ¥ 1 – ¥ 1 – + … + 
Portanto, un = 2 + ¥ 1 – + ¥ 1 – ¥ 1 – + … + (repare-se que esta
soma tem n parcelas).
Donde:
un + 1 = 2 + ¥ 1 – + ¥ 1 – ¥ 1 – + … + 
(repare-se que esta soma tem n + 1 parcelas).
Vamos agora comparar as parcelas de un e de un + 1:
Vamos começar por provar que ¥ 1 – > ¥ 1 – . 
Tem-se, ¥ 1 – > ¥ 1 – ⇔ 1 – > 1 – 
⇔ – > – ⇔ < ⇔ n + 1 > n, o que é sempre verdade.
Também se prova que ¥ 1 – ¥ 1 – > ¥ 1 – ¥ 1 – . 
E assim sucessivamente.
h
i
j
1
n
h
i
j
h
i
j
1
n
h
i
j
h
i
j
1
n
h
i
j
h
i
j
1
n
h
i
j
h
i
j
1
n
h
i
j
1
n
n(n – 1)
2
1
n2
n(n – 1)(n – 2)
3!
1
nn
1
2
n(n – 1)
n ¥ n
1
3!
n(n – 1)(n – 2)
n ¥ n ¥ n
1
nn
1
2
n – 1
n
1
3!
(n – 1)(n – 2)
n ¥ n
1
nn
1
2
n – 1
n
1
3!
n – 1
n
1
nn
n – 2
n
1
2
1
n
h
i
j
h
i
j
1
3!
h
i
j
1
n
h
i
j
h
i
j
2
n
h
i
j
1
nn
1
2
h
i
j
1
n
h
i
j
1
3!
h
i
j
1
n
h
i
j
h
i
j
2
n
h
i
j
1
nn
1
2
h
i
j
1
n + 1
h
i
j
1
3!
h
i
j
1
n + 1
h
i
j
h
i
j
2
n + 1
h
i
j
1
(n + 1)n + 1
1
2
h
i
j
1
n + 1
h
i
j
1
2
h
i
j
1
n
h
i
j
1
2
h
i
j
1
n + 1
h
i
j
1
2
h
i
j
1
n
h
i
j
1
n + 1
1
n
1
n + 1
1
n
1
n + 1
1
n
1
3!
h
i
j
1
n + 1
h
i
j
h
i
j
2
n + 1
h
i
j
1
3!
h
i
j
1
n
h
i
j
h
i
j
2
n
h
i
j
1
n3
FEL12_1.4
PROFESSOR
(+) Demonstração facultativa
Teorema
A sucessão de termo geral un = 1 + 
n
é crescente.hi
j
1
n
h
i
j
Resolução
Todos os exercícios de “Número de
Neper” 
12
TEMA V Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
PROFESSOR
FEL12_1.4
Demonstração (+)
Comecemos por provar, por indução matemática, que ∀ n ≥ 3, n! > 2n – 1.
i) n = 3
3! > 23 – 1 ⇔ 6 > 4, que é uma proposição verdadeira.
ii) Hipótese de indução: n! > 2n – 1
Tese de indução: (n + 1)! > 2n
(n + 1)! = (n + 1)n!
> (n + 1) 2n – 1 (hipótese de indução)
> 4 ¥ 2n – 1
= 22 ¥ 2n – 1
= 2n + 1
> 2n
Provámos, assim, que ∀ n ≥ 3, n! > 2n – 1. 
Este resultado será utilizado na prova de que un = 1 + 
n
é limitada.
Como vimos, 1 + 
n
é crescente, logo o seu primeiro termo, que é 2, é um minorante,
isto é, 1 + 
n
≥ 2, ∀ n ∈N. Vamos agora provar que 1 + 
n
< 3, ∀ n ∈N.
Já vimos, na demonstração anterior, que:
un = 2 + ¥ 1 – + ¥ 1 – ¥ 1 – + … + 
h
i
j
1
n
h
i
j
h
i
j
1
n
h
i
j
h
i
j
1
n
h
i
j
h
i
j
1
n
h
i
j
1
2
h
i
j
1
n
h
i
j
1
3!
h
i
j
1
n
h
i
j
h
i
j
2
n
h
i
j
1
nn
(+) Demonstração facultativa
Teorema
A sucessão de termo geral un = 1 + 
n
é limitada.hi
j
1
n
h
i
j
Verifica-se que:
• un + 1 tem mais uma parcela positiva do que un;
• as primeiras parcelas de un + 1 e de un são iguais;
• a segunda parcela de un + 1 é superior à segunda parcela de un;
• a terceira parcela de un + 1 é superior à terceira parcela de un;
•e assim sucessivamente.
Donde se conclui que ∀ n ∈N, un + 1 > un, isto é, a sucessão é crescente.
13
UNIDADE 2 Número de Neper
FEL12_1.4
Soluções
9. 
a) 2000,00 € b) 2250,00 €
c) 2441,40 € d) 2613,04 €
e) 2714,57 € f) 2718,13 €
g) 2718,28 € h) 2718,28 €
PROFESSOR
Como 1 – < 1, tem-se que ¥ 1 – < .
Como 1 – 1 – < 1, tem-se que ¥ 1 – 1 – < .
E assim sucessivamente.
Então, un < 2 + + + … + .
Como, para n ≥ 3, já se provou que n! > 2n – 1, vem que, para n ≥ 3, se tem < .
Vem, então:
un < 2 + + + … + < 2 + + + … + 
Aplicando agora a fórmula que dá a soma dos n primeiros termos de uma progressão
geométrica, vem:
+ + … + = ¥ = 1 – 
n – 1
Portanto, tem-se un < 2 + 1 – 
n – 1
, ou seja, un < 3 – 
n – 1
.
Como 3 – 
n – 1
< 3, conclui-se, finalmente, que un < 3.
Portanto, todos os termos da sucessão estão compreendidos entre 2 e 3, pelo que a 
sucessão é limitada.
1
n
1
n
h
i
j
h
i
j
1
2
1
2
h
i
j
1
n
h
i
j
h
i
j
2
n
h
i
j
1
3!
h
i
j
1
n
h
i
j
h
i
j
2
n
h
i
j
1
3!
1
2
1
3!
1
n!
1
n!
1
2n – 1
1
2
1
3!
1
n!
1
2
1
22
1
2n – 1
1
2
1
22
1
2n – 1
1
2
h
i
j
1
2
h
i
j1
2
1 –
1 –
n – 11
2
h
i
j
h
i
j
h
i
j
1
2
h
i
j
h
i
j
1
2
h
i
j
h
i
j
1
2
h
i
j
Recorda que toda a sucessão monótona e limitada é convergente.
Prova-se que o limite de 1 + 
n
é um número irracional, designado por número de
Neper ou número de Euler. Esse número é geralmente representado pela letra e.
lim 1 + 
n
= e
Repara que do ponto de vista dos juros compostos, un representa o montante disponível
ao fim de um ano, dividindo esse ano em n períodos iguais e capitalizando-se um juro
de no final de cada um deles, relativamente a um capital inicial de C0 = 1 e a uma
taxa anual de juros de 100%.
h
i
j
1
n
h
i
j
h
i
j
1
n
h
i
j
100%
n
Teorema
A sucessão de termo geral un = 1 + 
n
é convergente.hi
j
1
n
h
i
j
No país das maravilhas
será aplicado um juro de
100% ao ano a um capital
inicial de 1000 euros.
Determina o capital
acumulado ao fim de um
ano, com aproximação às
centésimas, se o juro for
capitalizado:
a) anualmente;
b) semestralmente; 
c) trimestralmente;
d) de mês a mês;
e) diariamente (considera
365 dias); 
f) hora a hora;
g) minuto a minuto; 
h) continuamente.
9
Apresentação
“Número de Neper 
Teste interativo
“Número de Neper” 
Pág. 94
Exercício 1
APRENDE FAZENDO
Pág. 48
Exercício 6
CADERNO DE EXERCÍCIOS
E TESTES
UNIDADE 3
Funções exponenciais 
TEMA V Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
14
Consideremos a seguinte situação:
No dia 1 de setembro de 2016, às 9 horas, uma equipa de biólogos retirou uma amostra
de água de um lago e concluiu que ali existia 1 milhar de fungos por cada centímetro cú-
bico. Sabe-se, também, que esta espécie de fungos duplicava de dia para dia.
Completemos a tabela:
Repara que quanto maior for a população de fungos, maior será o aumento por unidade
de tempo. 
O aumento da população de fungos não se verifica a uma taxa constante; o que é cons-
tante em cada um destes períodos é a variação relativa: se no primeiro dia a população
duplicou, o mesmo acontecerá nos dias seguintes, isto é, P(t + 1) = 2 ¥ P(t).
De um modo geral, podemos expressar o número de fungos, em milhares, por centímetro
cúbico de água, ao fim de t dias, por P(t) = 1 ¥ 2t.
Apesar de a população de fungos duplicar de dia para dia, é óbvio que não o faz repen-
tinamente ao fim de exatamente 24 horas. Essa duplicação vai-se fazendo continuamente.
Supondo que este modelo se mantém válido para números racionais, conseguiríamos
determinar o número de fungos, por exemplo:
• às 21 horas do dia 2 de setembro de 2016
Repara que às 21 horas do dia 2 de setembro de 2016 correspondem a t = .
Assim, P = 2 = √∫2∫3 ≈ 2,828 milhares.
• às 15 horas do dia 3 de setembro de 2016
Às 15 horas do dia 3 de setembro de 2016 correspondem a t = .
Assim, P = 2 = 4√∫2∫9 ≈ 4,757 milhares.
• às 9 horas do dia 31 de agosto de 2016
Às 9 horas do dia 31 de agosto de 2016 correspondem a t = –1.
Assim, P(–1) = 2–1 = = 0,5 milhar.
3
2
3
2
h
i
j
h
i
j
3
2
9
4
h
i
j
9
4
h
i
j
9
4
1
2
3.1. Propriedades da função definida nos números
racionais por f (x) = ax, com a > 0: monotonia,
continuidade, limites e propriedades algébricas
Numa pequena cidade,
uma notícia espalha-se de
modo que ao meio-dia de
um determinado dia uma
centena de pessoas já
tinha conhecimento da
notícia. Sabe-se ainda que
de hora a hora o número
de pessoas que sabia da
notícia duplicava.
Nesse dia, quantas
pessoas tinham
conhecimento da notícia:
a) às 13 h?
b) às 15 h?
c) às 12 h 30 min?
d) às 13 h 45 min? 
10
Soluções
10.
a) 200 b) 800
c) ≈ 141 d) ≈ 336
PROFESSOR
t (tempo decorrido em dias) 0 1 2 3 4 5 6
P (número, em milhares, de fungos por cm3 de água) 1 2 4 8 16 32 64
Resolução
Todos os exercícios de “Funções
exponenciais” 
15
UNIDADE 3 Funções exponenciais
O exemplo anterior ilustra um modelo matemático definido por uma expressão em que
a base é constante e o expoente é variável.
Comecemos por estudar algumas propriedades da função definida nos números racio-
nais por f(x) = ax, com a > 0, como, por exemplo, monotonia, continuidade e limites.
Analisemos, o exemplo anterior:
f(x) = 2x
Determinemos as imagens, quando necessário, aproximadas às centésimas, de alguns
valores de x pela função f:
Em geral, tem-se:
Provemos algumas destas propriedades.
x … –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,25 …
f(x) … 0,25 0,35 0,5 0,71 1 1,41 2 2,83 4 4,76 …
Indica os valores reais de
a e b de modo que a
função f definida em Q
por f(x) = b ax seja:
a) crescente e o seu
gráfico passe no ponto
de coordenadas (0, 2);
b) decrescente e o seu
gráfico passe no ponto
de coordenadas (0, 3).
11
FEL12_2.1
FEL12_2.2
FEL12_2.3
FEL12_2.4
Soluções
11. 
a) a > 1 e b = 2
b) 0 < a < 1 e b = 3 
PROFESSOR
Teorema
Dado um número real a > 0, a função definida no conjunto dos números racionais
por f(x) = ax tem as seguintes propriedades principais:
1. É crescente se a > 1 e decrescente se a < 1.
2. f(x) = 1.
3. f é contínua.
4. Se a > 1, f(x) = +∞ e f(x) = 0.
5. Se 0 < a < 1, f(x) = 0 e f(x) = +∞.
lim
x Æ 0
lim
x Æ +∞
lim
x Æ –∞
lim
x Æ +∞
lim
x Æ –∞
y
x1 1,5 2,25–1–2 2
2
4
O
16
TEMA V Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
(+) 1. Se a > 1, a função definida em Q por f(x) = ax é crescente.
Comecemos por constatar que:
para quaisquer m, n ∈N: m < n ⇒ am < an
pois: 
a > 1 ⇒ a2 > a ⇒ a3 > a2 ⇒ … ⇒ an + 1 > an
Pela transitividade da relação de ordem, vem que:
an > an – 1 > … > a2 > a
Logo:
m < n ⇒ am < an
Utilizando a propriedade acima, para expoente natural, e algumas propriedades
algébricas de radicais que apendeste no 10.º ano de escolaridade, vejamos como
o resultado acima se pode agora estender ao conjunto dos números racionais po-
sitivos, isto é, para quaisquer m, n, p, q ∈N, , ∈Q+: < ⇒ a < a .
• Tem-se que, para , ∈Q+:
< ⇒ mq < pn
⇒ amq < apn
⇒ q√∫a∫m∫q < q√∫a∫p∫n
⇒ am < a
n
⇒ n√∫a∫m < a
⇒ a < a
• Vejamos o caso de dois racionais de sinais contrários, ou seja, para r’ ∈Q+ e 
r”∈Q– quaisquer. Nesse caso, sabemos que existe r ∈Q+ tal que r” = –r. Vejamos
que r” < r’ ⇒ ar” < ar’, ou equivalentemente, que –r < r’ ⇒ a–r < ar’.
r = e r’ = , com m, n, p e q ∈N
Como a > 1, então: 
am > 1m e n√∫a∫m > n√∫1 
e, consequentemente:
a > 1
isto é:
ar > 1
Analogamente, ar’ > 1 e tem-se que:
a–r = < 1 < ar’
p
q
m
n
m
n
p
q
m
n
p
q
m
n
p
q
m
n
p
q
m
n
p
q
p
q
p
q
h
i
j
h
i
j
p
q
m
n
m
n
1
ar
(+) Demonstração facultativa
Solução
12. a = 2 e b = 3
PROFESSOR
Considera a função
definida no conjunto dos
números racionais por 
f(x) = bax, com a e b
valores reais. Determina
os valores de a e b de
modo que o gráfico da
função f contenha os
pontos de coordenadas 
(2, 12) e (3, 24).
12
Recorda
Sejam a, b, c e d números
reais positivos, com a < b e
c < d, então ac < bd.
17
UNIDADE 3 Funções exponenciais
• Finalmente, vejamos o caso de dois números racionais negativos. Mostremos então
que, para quaisquer r, r’ ∈Q+, –r < –r’ ⇒ a–r < a–r’.–r < –r’ ⇒ r > r’
⇒ ar > ar’
⇒ < 
⇒ a–r < a–r’
Estendeu-se, assim, a propriedade ao conjunto de todos os números racionais.
No caso em que f(x) = ax, com 0 < a < 1, tem-se que:
> 1
Logo:
∀ m, n ∈Q: m < n ⇔ –m > –n
⇔
–m
> 
–n
(pois f(x) = ax, com a > 1, é crescente.)
⇔ am > an
Logo:
Se 0 < a < 1 a função definida em Q por f(x) = ax é decrescente.
3. A função f definida nos racionais por f(x) = ax é contínua.
Prova-se que f(x) = 1 (propriedade 2).
Considerando agora um qualquer número racional q:
f(x) = ax =
= ax – q + q =
= aq ax – q
f(x) = (aq ax – q) =
Consideremos a mudança de variável x – q = y: se x Æ q, então x – q Æ 0.
= aq ay =
= aq ¥ 1 =
= aq
Mostrou-se assim que a função f definida nos racionais por f(x) = ax é contínua em Q,
uma vez que existe f(x) e f(x) = f(q), para qualquer q ∈Q.
1
ar
1
ar’
1
a
h
i
j
1
a
h
i
j
h
i
j
1
a
h
i
j
lim
x Æ q
lim
x Æ q
lim
x Æ q
lim
x Æ 0
lim
y Æ 0
lim
x Æ q
18
TEMA V Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
4. Tem-se que :
• Se a > 1, ax = +∞
Não iremos demonstrar, mas resulta do facto de a função definida por f(x) = ax, com
a > 1, ser crescente e de lim an = +∞, como estudado no 11.º ano.
• Se a > 1, ax = 0
Sabemos, pela propriedade anterior, que se a > 1, ax = +∞.
Consideremos a mudança de variável y = –x: se x Æ –∞, então y Æ +∞.
ax = a–y =
= =
= =
= 
= 0
5. Se 0 < a < 1, ax = 0 e ax = +∞.
ax =
–x
= 
Consideremos a mudança de variável y = –x: se x Æ +∞, então y Æ –∞.
= 
y
= 0 pois > 1 e bx = 0 se b > 1.
ax =
–x
= 
Consideremos a mudança de variável y = –x: se x Æ –∞, então y Æ +∞.
= 
y
= +∞ pois > 1 e bx = +∞ se b > 1.
lim
x Æ +∞
lim
x Æ –∞
lim
x Æ +∞
lim
x Æ –∞
lim
y Æ +∞
lim
y Æ +∞
1
ay
lim
y Æ +∞
1
ay
1
+∞
lim
x Æ +∞
lim
x Æ –∞
lim
x Æ +∞
lim
x Æ +∞
h
i
j
1
a
h
i
j
lim
y Æ –∞
h
i
j
1
a
h
i
j
1
a
h
i
j
h
i
j
lim
x Æ –∞
lim
x Æ –∞
lim
x Æ –∞
h
i
j
1
a
h
i
j
lim
y Æ +∞
h
i
j
1
a
h
i
j
1
a
lim
x Æ +∞
h
i
j
h
i
j
Esquematizando / Resumindo
a > 1 0 < a < 1
• ax = +∞ (simbolicamente 
a+∞ = +∞)
• ax = 0 (simbolicamente 
a–∞ = 0)
lim
x Æ +∞
lim
x Æ –∞
• ax = 0 (simbolicamente 
a+∞ = 0)
• ax = +∞ (simbolicamente 
a–∞ = +∞)
lim
x Æ +∞
lim
x Æ –∞
y
x
1
O
y
x
1
O
19
UNIDADE 3 Funções exponenciais
Na unidade anterior foi cuidadosamente estudada a função f, definida nos racionais
por f(x) = ax, com a > 1. Façamos, agora, a extensão de f ao conjunto dos números reais,
mantendo-se as propriedades de monotonia, os limites e as propriedades algébricas da
função inicial.
Comecemos por analisar qual será, então, o significado da expressão ax (a ∈R+) para
todo o número real x.
Já sabes que:
• an = a ¥ a ¥ … ¥ a, n ∈N
• a0 = 1
• a–n = , n ∈N
• a = q√∫a∫p, p, q ∈N
E o que significa ax, com x irracional?
Consideremos ap. Qual é o seu significado?
A ideia básica é que todo o número irracional pode ser aproximado, com a aproximação
pretendida, por números racionais. 
Por exemplo, a partir da dízima infinita não periódica de p, construímos duas sucessões:
uma crescente com valores aproximados por defeito, e a outra decrescente, com valores
aproximados por excesso:
un: 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159; … Æ p–
vn: 3,2; 3,15; 3,142; 3,1416; 3,14160; … Æ p+
As sucessões (un) e (vn) são ambas convergentes para p e são tais que:
un < p < vn, ∀ n ∈N
A partir de (un) e (vn), vamos construir duas novas sucessões: 
a(un): a3,1; a3,14; a3,141; a3,1415; a3,14159; … Æ ap
a(vn): a3,2; a3,15; a3,142; a3,1416; a3,14160; … Æ ap
Uma vez que as sucessões (a(un)) e (a(vn)) são monótonas e limitadas, conclui-se que são
ambas convergentes, dependendo os seus limites, apenas, de a e de p. Chama-se ap a
esses limites.
n fatores
�����
1
an
p
q
3.2. Funções definidas nos números reais por f(x) = ax,
com a > 0 e respetivas propriedades
Sem utilizar a calculadora,
determina:
a) 32 + 64
b) 16 – 
c) 100–2,5
d)
e) ¥
–
13
2
5
2
3
3
2 hi
j
49
9
h
i
j
1
2
p2
√∫p
h
i
j
4
3h
i
j
h
i
j
16
81
h
i
j
1
4 hi
j
125
8
h
i
j
2
3
Escreve na forma de
potência de base natural.
a) √∫
b) 3√∫ –2
c)
14
1
4√∫7
1
5
1
6
h
i
j
h
i
j
Utilizando as propriedades
operatórias das potências,
simplifica as seguintes
expressões.
a) x
b) x
– 
c) x– 
– 
d) x
– 
e) (27x6)
f) (8x2y3)
g)
h) (z2012) ¥ (x10 + y20)0
15
1
3
3
2hi
j
h
i
j
h
i
j
2
3
h
i
j
3
4
h
i
j
7
8
h
i
j
8
7
h
i
j
5
6
h
i
j
6
5
2
3
1
3
h
i
j
x2y3
x0
h
i
j
1
6
1
1006
Soluções
13.
a) 20 b) c) 
d) p2 e) 
14.
a) 5
–
b) 6 c) 7
–
15.
a) √∫x b) c) x
d) e) 9x4 f) 2x y
g) x y h) z2
185
3
1
100 000
8
75
1
2
1
4
2
3
1
√∫∫x
1
x
2
3
1
3
1
2
PROFESSOR
20
TEMA V Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
O processo acima permite estender a função definida por f(x) = ax, em Q, ao conjunto
R, para a qual se mantêm, no essencial, as propriedades estudadas.
Na figura ao lado estão representadas partes
dos gráficos de três funções exponenciais de
bases 2, e e 5, respetivamente:
As seguintes propriedades resultam das definições, regras e propriedades das potências.
Definição
Dados um número real a > 0 e um número irracional x, se (qn)n ∈N é uma qualquer
sucessão de números racionais de limite x, a sucessão de termo geral aqn é convergente
e o respetivo limite depende apenas de x e de a. Esse limite representa-se por ax.
Definição
A função definida por f(x) = ax, em R, com a ∈R+, designa-se por função exponencial
de base a.
Nota
A função exponencial de base e designa-se simplesmente por função exponencial e
representa-se também por exp.
Algumas propriedades das funções exponenciais de base maior que um
A função exponencial de base a > 1 tem as seguintes propriedades principais:
1. Domínio: R
2. Contradomínio: R+
3. Zeros: não tem zeros, isto é, ax = 0 é uma equação impossível.
4. Sinal: é positiva em R, isto é, ax > 0, ∀ x ∈R.
5. Variação: é crescente .
6. Injetividade: é injetiva.
7. Continuidade: é contínua.
8. ax = +∞ e ax = 0.
9. Assíntotas: a reta de equação y = 0 é assíntota horizontal ao gráfico da função.
lim
x Æ +∞
lim
x Æ –∞
Considera a função g
definida, em R, por 
g(x) = ex. Esboça os
gráficos das seguintes
funções a partir do gráfico
de g, indicando as
transformações sofridas
pelo gráfico de g.
a) g1(x) = g(x) + 2
b) g2(x) = g(x – 1)
c) g3(x) = g(x + 1) – 1
d) g4(x) = –g(–x)
e) g5(x) = –g(x) + 2
f) g6(x) = |g(x) – 1|
16
Soluções
16. Consultar na página 247.
PROFESSOR
FEL12_2.5
FEL12_2.8
x
y
h(x) = 5x
g(x) = ex
f(x) = 2x
5
e
2
1
1O
Simulador
GeoGebra: Transformações de gráficos
de funções exponenciais
21
UNIDADE 3 Funções exponenciais
Na figura abaixo estão representadas partes dos gráficos de três funções exponenciais
de bases , e , respetivamente:1
2
1
e
1
5
As propriedades algébricas para potências de expoente racional permanecem válidas
para potências de expoente irracional. Assim: 
Algumas propriedades das funções exponenciais de base maior que zero e menor
que um
A função exponencial de base 0 < a < 1 tem as seguintes propriedades principais:
1. Domínio: R
2. Contradomínio: R+
3. Zeros: não tem zeros, isto é, ax = 0 é uma equação impossível.
4. Sinal: é positiva em R, isto é, ax > 0, ∀ x ∈R.
5. Variação: é decrescente .
6. Injetividade: é injetiva.
7. Continuidade: é contínua.
8. ax = 0 e ax = +∞.
9. Assíntotas: a reta de equação y = 0 é assíntota horizontal ao gráfico da função.
lim
x Æ +∞
lim
x Æ –∞
Propriedades
Sejam a, b ∈R+ e x, y ∈R:
• ax ¥ ay = ax + y
• (ax)y = ax ¥ y
• = a–x
• = ax – y
• (ab)x = ax ¥ bx
• 
x
= 
1
ax
ax
ay
h
i
j
a
b
h
i
j
ax
bx
5
e
1
O
x1
e
h(x) =
g(x) =
f(x) =
x1
5
x
y
x1
2
2
–1
Sem utilizar a calculadora,
completa com o símbolo
< ou >, de modo a obteres
proposições verdadeiras.
a) 8√∫2 2√∫5
b) 3p 9√∫2
c)
p
d)
p
17
1
4
1
27
h
i
j
1
9
h
i
j
h
i
j
1
2
h
i
j
Indica o valor lógico das
seguintes proposições.
a) 2p ¥ 2–p = 1
b) (2p)p = 22p
c)2√∫3 ¥ 2√∫1∫2 = 23√∫3
d) = 2–√∫2
18
2√∫2
2√∫8
FEL12_2.5
Soluções
17.
a) > b) > c) < d) >
18.
a) Proposição verdadeira.
b) Proposição falsa.
c) Proposição verdadeira.
d) Proposição verdadeira.
PROFESSOR
22
TEMA V Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
1. Determina, sem recurso à calculadora, o valor de 51 – p ¥ √∫1∫2∫8 – p ¥ ¥ .hi
j
1
5
h
i
j
1
5√∫2
5√∫2
25–√∫3∫2
Exercícios resolvidos
Sugestão de resolução
51 – p ¥ √∫1∫2∫8 – p ¥ ¥ = 51 – p ¥ √∫2∫
7 – p ¥ ¥ =
= 51 – p ¥ (5–1)23 √∫2 – p ¥ =
= 51 – p ¥ 5–8√∫2 + p ¥ = 
= 51 – p – 8√∫2 + p ¥ 58√∫2 =
= 51 – 8√∫2 + 8√∫2 =
= 51 =
= 5
h
i
j
1
5
h
i
j
1
5√∫2
5√∫2
25–√∫3∫2
h
i
j
1
5
h
i
j
1
5√∫2
5√∫2
(52)–√∫2∫5
1
5–2 ¥ 22 √∫2
1
5–8√∫2
2. Sendo x um número real e sabendo que 2x = 5, determina o valor de:
a) 2x + 1 b) 22x c) 8x d) 2 e) 2x – 2 f) 2–x + 1
x
2
Sugestão de resolução
a) 2x + 1 = 2x ¥ 2 = 5 ¥ 2 = 10
b) 22x = (2x)2 = 52 = 25
c) 8x = (23)x = (2x)3 = 53 = 125
d) 2 = (2x) = 5 = √∫5
e) 2x – 2 = = 
f) 2–x + 1 = 2–x ¥ 2 = ¥ 2 = ¥ 2 = 
x
2
2x
22
5
4
1
2
1
2
2
5
1
5
1
2x
Agora que definimos potências de expoente irracional, deves também saber que, à se-
melhança das funções definidas em R+ por f(x) = xb, com b ∈Q, também as funções defi-
nidas em R+ por f(x) = xb, com b ∈R, são contínuas.
Propriedade
A função definida em R+ por f(x) = xb, com b ∈R, é contínua.
Determina, sem recurso à
calculadora, o valor de:
a) 4–p ¥ 24p : 6p
b) (6√∫2)√∫2
c) – e0
19
e√∫3 + 1
e√∫3
Sendo x um número real e
sabendo que 5x + 1 = 15,
determina o valor de:
a) 5x
b) 53x
c) 25x
d) 5
e) 5–x + 2
f) 5
– + 1
20
x
2
x
3
Págs. 94, 95 e 99
Exercícios 3, 10 e 31
APRENDE FAZENDO
Pág. 50
Exercício 16
CADERNO DE EXERCÍCIOS
E TESTES
Soluções
19.
a) 1 b) 36 c) e – 1
20.
a) 3 b) 27 c) 9
d) 3√∫3 e) f)25
3
5√∫3
3
PROFESSOR
FEL12_2.6
23
UNIDADE 3 Funções exponenciais
Quando estudámos as propriedades da função exponencial, referimos que esta é uma
função é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1. Logo, é uma função injetiva. 
Assim, tem-se que:
ax = ay ⇔ x = y, ∀x, y ∈R
Na prática, esta propriedade é muito útil na resolução de equações exponenciais, já
que, no caso em que temos potências iguais e com a mesma base, concluímos que têm
expoentes iguais.
3.3. Algumas equações e inequações envolvendo
exponenciais
Equações exponenciais
Resolve, em R, as
equações.
a) 2x = √∫2
b) px = 1
c) = √∫5
d) 3x + 2 = 29
e) 9x = 
f) 5|x – 2| – 125 = 0
g) = 9
h) 3x ¥ x2 – 3x ¥ x = 0
21
1
5x
1
243
27x + 1
9x
Considera a função f, de
domínio R, definida por
f(x) = 10x. Qual é o valor
de k para o qual se verifica
f(k + x) = 100 ¥ f(x),
qualquer que seja o
número real x?
(A) 1
(B) 2
(C) 10
(D) 100
22
Soluções
21.
a) b) {0}
c) – d) {3}
e) – f) {–1, 5}
g) {–1} h) {0, 1}
22. Opção (B)
a
b
c
1
2
a
b
c
a
b
c
1
2
a
b
c
a
b
c
5
2
a
b
c
PROFESSOR
Resolve, em R, as equações.
a) 8x – = 0 
b) 4x2 – 1 – 8x = 0
c) 4x – 2x – 2 = 0 
d) 2 ¥ 9x – 8 ¥ 3x + 6 = 0
e) –3 ¥ 2–x + 1 + 2x = –1
f) 5x – 1 – 5x – 5x + 1 + 5x + 2 = 
1
32
96
25
Exercício resolvido
Sugestão de resolução
a) 8x – = 0 
⇔ 8x = 
⇔ (23)x = 2–5
⇔ 23x = 2–5
⇔ 3x = –5 
⇔ x = – 
C.S. = – 
1
32
1
32
5
3
5
3
a
b
c
a
b
c
(continua)
24
TEMA V Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
Exercício resolvido
b) 4x2 – 1 – 8x = 0 ⇔ 4x2 – 1 = 8x
⇔ (22)x2 – 1 = (23)x
⇔ 22x2 – 2 = 23x
⇔ 2x2 – 2 = 3x
⇔ 2x2 – 3x – 2 = 0 
⇔ x = 
⇔ x = 
⇔ x = 2 ∨ x = – 
C.S. = – , 2
c) 4x – 2x – 2 = 0 ⇔ (22)x – 2x – 2 = 0 
⇔ (2x)2 – 2x – 2 = 0
Considerando a mudança de variável 2x = y, obtém-se a equação do 2.o grau:
y2 – y – 2 = 0 ⇔ y = 
⇔ y = 
⇔ y = 2 ∨ y = –1 
Substituindo y por 2x, vem que:
2x = 2 ∨ 2x = –1 
equação impossível, pois 2x > 0, ∀x ∈R.
⇔ 2x = 21
⇔ x = 1
C.S. = {1}
d) 2 ¥ 9x – 8 ¥ 3x + 6 = 0 ⇔ 2 ¥ (32)x – 8 ¥ 3x + 6 = 0 
⇔ 2 ¥ (3x)2 – 8 ¥ 3x + 6 = 0
Considerando a mudança de variável 3x = y, obtém-se a equação do 2.o grau:
2y2 – 8y + 6 = 0 ⇔ y = 
⇔ y = 
⇔ y = 3 ∨ y = 1 
Substituindo y por 3x, vem que:
3x = 3 ∨ 3x = 1
⇔ 3x = 3 ∨ 3x = 30
⇔ x = 1 ∨ x = 0
C.S. = {0, 1}
3 ± √∫9∫ ∫–∫ ∫4∫ ∫¥∫ ∫2∫ ∫¥∫ ∫(∫–∫2∫)
4
3 ± 5
4
1
2
1
2
a
b
c
a
b
c
1 ± √∫1∫ ∫–∫ ∫4∫ ∫¥∫ ∫(∫–∫2∫)
2
1 ± 3
2
�����
8 ± √∫6∫4∫ ∫–∫ ∫4∫8
4
8 ± 4
4
Resolve, em R, as
equações.
a) (3√∫4)x = 
b) 2x = 
c) √∫√∫∫∫3∫ ∫+ ∫ ∫√∫∫∫3∫ ∫+ ∫ ∫√∫∫∫3 = 3x
d) = 5–x
e) 2x + 1 + 2x + 2 + 2x + 3 = 7
f) 2 + 4 + 8 + 16 + … +
+ 2n = 254
23
1
4√∫8
3√∫2
4√∫2
8
10x
Soluções
23.
a) – b) – 
c) d) {3}
e) {–1} f) {7}
a
b
c
9
8
a
b
c
a
b
c
13
6
a
b
c
a
b
c
3
4
a
b
c
PROFESSOR
25
UNIDADE 3 Funções exponenciais
e) –3 ¥ 2–x + 1 + 2x = –1 ⇔ –3 ¥ 2 ¥ 2–x + 2x = –1 
⇔ – + 2x = –1 
Considerando a mudança de variável 2x = y, obtém-se a equação fracionária:
– + y = –1 ⇔ = 0 
⇔ y2 + y – 6 = 0 (pois y ≠ 0)
⇔ y = 
⇔ y = 
⇔ y = 2 ∨ y = –3 
Substituindo y por 2x, vem que:
2x = 2 ∨ 2x = –3
equação impossível, pois 2x > 0, ∀x ∈R.
⇔ x = 1
C.S. = {1}
f) 5x – 1 – 5x – 5x + 1 + 5x + 2 = ⇔ 5x ¥ 5–1 – 5x – 5x ¥ 5 + 5x ¥ 52 = 
⇔ 5x – 1 – 5 + 25 = 
⇔ 5x ¥ = 
⇔ 5x = ¥
⇔ 5x = 5–1
⇔ x = –1
C.S. = {–1}
6
2x
6
y
–6 + y2 + y
y
–1 ± √∫1∫ ∫+∫ ∫2∫4
2
–1 ± 5
2
�����
96
25
96
25
1
5
96
25
96
5
96
25
96
25
5
96
h
i
j
h
i
j
Resolve, em R, as
seguintes equações.
a) 4x + 1 – 9 ¥ 2x = –2 
b) 42x + 1 – 9 ¥ 22x + 2 = 0
c) 5x + 1 + 5–x + 2 = 126
24
Soluções
24.
a) {1, –2}
b) , –1
c) {2, –1}
a
b
c
a
b
c
1
2
PROFESSOR
Na resolução de uma equação exponencial, devem seguir-se estes passos:
1.o passo: Sempre que possível, escrever as potências na mesma base, aplicando as
regras operatórias das potências.
2.o passo: Obter uma igualdade do tipo ax = ay.
3.o passo: Aplicar ax = ay ⇔ x = y.
4.o passo: Resolver a equação obtida no passo anterior.
5.o passo: Apresentar o conjunto-solução.
Esquematizando / Resumindo
Págs. 99 e 102
Exercícios 32 e 43
APRENDE FAZENDO
Págs. 49 e 50
Exercícios 11 e 17
CADERNO DE EXERCÍCIOS
E TESTES
26
TEMA V Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
Resolve, em R, as inequações.
a) 10x > 0,001 
b)
x
> 
c) x2 ¥ 5x – 5x ≤ 0
d) 6x – 3x > 3x
e) –4x + 2x ≥ –2
1
2
1
32
h
i
j
h
i
j
Exercício resolvido
Sugestão de resolução
a) 10x > 0,001 ⇔ 10x > 10–3
⇔ x > –3 (pois a exponencial de base 10 é estritamente crescente.)
C.S. = ]–3, +∞[
b)
x
> ⇔
x
> 
5
⇔ x < 5 pois a exponencial de base é estritamente decrescente.
C.S. = ]–∞, 5[
Outro processo
x
> ⇔ 2–x > 2–5
⇔ –x > –5 (pois a exponencial de base 2 é estritamente crescente.)
⇔ x < 5
C.S. = ]–∞, 5[
c) x2 ¥ 5x – 5x ≤ 0 ⇔ 5x(x2 – 1) ≤ 0 
⇔ x2 – 1 ≤ 0 (pois 5x > 0, ∀x ∈R)
⇔ –1 ≤ x ≤ 1
C.S. = [–1, 1]
1
2
1
32
1
2
1
2
1
2
1
2
1
32
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
Quando estudámos as propriedades da função exponencial, referimos que esta é mo-
nótona. Tem-se que:
• se a > 1, a função é estritamente crescente, logo ax < ay⇔ x < y, ∀x, y ∈R;
• se 0 < a < 1, a função é estritamente decrescente, logo ax < ay⇔ x > y, ∀x, y ∈R.
Na prática, esta propriedade é muito útil na resolução de inequações exponenciais.
Inequações exponenciaisResolve, em R, as
inequações.
a) 1 – 3x < –8 
b)
x – 2
≤ 27–x
c) 10x2 – 3x > 0,01
d) 83x2 – 5x > 
e) 2 < 4
f) ≥ 1
25
1
3
1
16
h
i
j
h
i
j
1
x
2x
1 – 2x
Soluções
25.
a) ]2, +∞ [
b) ]–∞ , –1]
c) ]–∞ , 1[ ∪ ]2, +∞ [
d) –∞ , ∪ , +∞
e) ]–∞, 0[ ∪ , +∞
f) [–1, 0[
1
2
ÈÍÎ
ÈÍÎ
ÈÍÎ
ÈÍÎ
ÈÍÎ
4
3
ÈÍÎ
1
3
PROFESSOR
Cálculo auxiliar
x2 – 1 = 0 ⇔ x2 = 1 
⇔ x = –1 ∨ x = 1
+ +
–1 1–
27
UNIDADE 3 Funções exponenciais
d) 6x – 3x > 3x ⇔ 6x – 2 ¥ 3x > 0
⇔ 2x ¥ 3x – 2 ¥ 3x > 0 
⇔ 3x ¥ (2x – 2) > 0 
⇔ 2x – 2 > 0 (pois 3x > 0, ∀x ∈R) 
⇔ 2x > 2
⇔ x > 1
C.S. = ]1, +∞[
e) –4x + 2x ≥ –2 ⇔ –(2x)2 + 2x + 2 ≥ 0
Considerando a mudança de variável 2x = y, obtém-se:
–y2 + y + 2 ≥ 0 ⇔ y ≥ –1 ∧ y ≤ 2 
Voltando à variável x, tem-se:
2x ≥ –1 ∧ 2x ≤ 2 
condição universal
⇔ 2x ≤ 2 
⇔ x ≤ 1
C.S.= ]–∞, 1]
���
Cálculo auxiliar
–y2 + y + 2 = 0 ⇔ y = 
⇔ y = 
⇔ y = 2 ∨ y = –1 
–1 ± √∫1∫ ∫–∫ ∫4∫ ∫¥ ∫ ∫(∫–∫2∫)
–2
–1 ± 3
–2
+–1 2
––
Na resolução de uma inequação exponencial, devem seguir-se estes passos:
1.o passo: Sempre que possível, escrever as potências na mesma base, aplicando as
regras operatórias das potências.
2.o passo: Obter uma desigualdade do tipo ax < ay ou ax ≤ ay ou ax > ay ou ax ≥ ay.
3.o passo: Se a > 1, aplicar
Se 0 < a < 1, aplicar
4.o passo: Resolver a inequação obtida no passo anterior.
5.o passo: Apresentar o conjunto-solução.
ax < ay ⇔ x < y
ax ≤≤ ay ⇔ x ≤ y
ax > ay ⇔ x > y
ax ≥ ay ⇔ x ≥ y
�
�
�
�
�
ax < ay ⇔ x > y
ax ≤ ay ⇔ x ≥ y
ax > ay ⇔ x < y
ax ≥ ay ⇔ x ≤ y
�
�
�
�
�
Esquematizando / Resumindo
Determina o domínio de
cada uma das funções
definidas por:
a) f(x) = 
b) g(x) = √∫3∫ ∫–∫ ∫9∫2∫x
c) h(x) = 
d) i(x) =√ ∫
e) j(x) = √∫–∫1∫6∫x∫ ∫+ ∫ ∫4∫x∫ ∫+ ∫ ∫2
26
2x – 1
3 – x
x
ex – 1
1
(ex + 2)(125 – 5x)
Soluções
26.
a) R\{0} b) –∞, c) R\{3}
d) [0, 3[ e) –∞, 1
2
1
4
ÈÍÎ
ÈÍÎ
ÈÍÎ
ÈÍÎ
PROFESSOR
Págs. 99 e 102
Exercícios 33 e 44
APRENDE FAZENDO
Págs. 49 e 50
Exercícios 12 e 18
CADERNO DE EXERCÍCIOS
E TESTES
3.4. O limite lim 1 + 
n
= e xhi
j
x
n
h
i
j
28
TEMA V Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
O teorema seguinte, que não será demonstrado, é uma ferramenta útil no cálculo de li-
mites de algumas sucessões.
Uma consequência deste teorema é o resultado seguinte:
Para x ≠ 0:
lim 1 + 
n
= lim 1 + 
n
= lim 1 + ¥ x = 
= lim 1 + 
x
= 
= lim 1 + 
x
= 
= ex
Para x = 0 também se verifica lim 1 + 
n
= ex.
Os resultados anteriores e a propriedade seguinte, que iremos demonstrar ainda neste
tema, são ferramentas muito úteis para o cálculo de limites de algumas sucessões, como
terás oportunidade de observar nos exercícios resolvidos da página seguinte.
h
i
j
x
n
h
i
j
h
i
j
x
n
h
i
j
1
n
x
h
i
i
j
1
n
x
h
i
i
j
h
i
i
j
h
i
i
j
n
x
h
i
i
j
1
n
x
h
i
i
j
n
xÈÍ
Í
Î
È
Í
Í
Î
h
i
i
j
1
n
x
h
i
i
j
n
x ÈÍ
Í
Î
È
Í
Í
Î
Esta última propriedade estende-se ao caso em que a é zero ou +∞ e b é +∞ ou –∞.
Teorema
Seja f a função definida, em R\[–1, 0], por f(y) = 1 + 
y
. Tem se que:
1 + 
y
= e
1
y
h
i
j
h
i
j
lim
y Æ ±∞
h
i
j
1
y
h
i
j
Teorema
lim 1 + 
n
= exhi
j
x
n
h
i
j
Propriedade
Dadas duas sucessões de termos gerais, respetivamente, xn e yn tais que xn tem os
termos todos positivos, lim xn = a e lim yn = b (a > 0 e b ∈R), tem-se que:
lim (xnyn) = ab
Soluções
27.
a) e5 b) e2 √∫e c)
d) e6 e) ep f) g) e3
28. Opção (A)
1
e
1
e
PROFESSOR
FEL12_2.7
Calcula os seguintes
limites.
a) lim 1 + 
n
b) lim 1 + 
n
c) lim 1 – 
n
d) lim 1 + 
3n
e) lim 1 + 
n + 1
f) lim 1 – 
n2
g) lim
n
27
5
n
5
2n
1
n
2
n
p
n
1
n2
n + 7
n + 4
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
O valor de lim 1 + é:
(A) 4√∫e
(B) √∫e
(C) e2
(D) e4
28 hi
j
1
2n
h
i
j
n
2
29
UNIDADE 3 Funções exponenciais
1. Calcula, caso existam, os seguintes limites.
a) lim 1 + 
n
b) lim c) lim 1 – 
n2
d) lim 
n
e) (*) lim 
n2
f) lim 1 – 
n2
g) lim 
n
Caderno de Apoio às Metas Curriculares, 12.º ano
h
i
j
1
5n
h
i
j
h
i
j
1
n + 1
h
i
j
h
i
j
2
n4
h
i
j
h
i
j
n4 + n + 1
n4 + 2n2
h
i
j
h
i
j
4 – n
4 + n
h
i
j
h
i
j
4 + 3n
2 + n
h
i
j
3
2
h
i
i
j
h
i
i
j
n 2n
n – 
Exercícios resolvidos
Sugestão de resolução
a) lim 1 + 
n
lim 1 + 
n
= e
b) lim lim = lim = lim = 
= lim = = = = e3
c) lim 1 – 
n2
lim 1 + 
n + 1 ¥
= lim 1 + 
n + 1
= 
= lim 1 + 
n + 1 lim
= (e–1)+∞ = 0
d) lim 
n
= lim = lim = lim
Se n par, lim = lim = = e–8
Se n ímpar, lim = lim = – = –e–8
Como encontramos duas subsucessões com limites distintos, concluímos que
não existe lim 
n
.hi
j
4 – n
4 + n
h
i
j
h
i
i
j
1
5
n
h
i
i
j
h
i
j
1
5n
h
i
j
(1∞)
=
1
5
3
2
h
i
i
j
h
i
i
j
n 2n
n – 
(1∞)
=
1
e–3
h
i
j
1
n + 1
h
i
j
(1∞)
= hi
j
–1
n + 1
h
i
j
n2
n + 1 hi
j
–1
n + 1
h
i
j
n2
n + 1ÈÍÎ
ÈÍÎ
ÈÍÎ
h
i
j
–1
n + 1
h
i
j
ÈÍÎ
n2
n + 1
h
i
j
4 – n
4 + n
h
i
j
e–4
e4
e–4
e4
(continua)
Calcula, caso existam, os
seguintes limites.
a) lim
–n3
b) lim 
c) lim
3n – 1
d) lim
e) lim
n
f) lim 1 – 
n
g) lim 
h) lim
n
i) lim
n
j) lim
3n2 + 1
k) lim 
n + 1
+ en
29
n3 – 1
n3
2
n2
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
2n2 + 4n + 1
n2 + 2
h
i
j
h
i
j
4 – 2n
4 + 2n
h
i
j
h
i
i
j
h
i
i
j
5
4
4n
nn2 –
n2
h
i
j
n – 2
1 + n
h
i
j
h
i
j
3n + 1
3n + 2
h
i
j
n
4
h
i
j
1 – n
1 + n
h
i
j
h
i
i
j
h
i
i
j
n
2
n
1 +
1 + n
n + 3
2n – 3
3n + 3
2n – 2
ÈÍÎ
ÈÍÎ
(*) grau de dificuldade elevado 
(*) Os graus de dificuldade elevados
correspondem a desempenhos que não
serão exigíveis à totalidade dos alunos.
Soluções
29.
a) e b) e5 c) e–9
d) e
–
e) Não existe. f) 1
g) 0 h) 0 i) +∞
j) +∞ k) Não existe.
1
12
PROFESSOR
3
2n
n
n
n
n
h
i
i
i
i
j
h
i
i
i
i
j
2n
– 
1
e
–
23
2
h
i
j
h
i
j
h
i
i
i
i
j
h
i
i
i
i
j
3
2
n
1 2n
1 – 
– 3
2
12n
2n
1 + 
h
i
i
j
h
i
i
jn
– 3
2
1
2n
1 + 
h
i
i
j
h
i
i
jn
È
Í
Í
Î
È
Í
Í
Î
– 3
2
1
2n
1 + 
h
i
i
j
h
i
i
jn
È
Í
Í
Î
È
Í
Í
Î
lim
4
n
4
n
n
n
n
n
h
i
i
i
i
j
h
i
i
i
i
j
n
+
– 4
n
4
n
h
i
i
i
i
j
h
i
i
i
i
j
n
+ 1
– 1 
(–1)n 1 – 
nh
i
j
4
n
h
i
j
1 + 
nh
i
j
4
n
h
i
j
1 – 
nh
i
j
4
n
h
i
j
1 + 
nh
i
j
4
n
h
i
j
(–1)n 1 – 
nh
i
j
4
n
h
i
j
1 + 
nh
i
j
4
n
h
i
j
– 1 – 
nh
i
j
4
n
h
i
j
1 + 
nh
i
j
4
n
h
i
j
(–1)n 1 – 
nh
i
j
4
n
h
i
j
1 + 
nh
i
j
4
n
h
i
j
30
TEMA V Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
2. Calcula, caso existam, os seguintes limites.
a) lim 
– 
b) lim hi
j
4 + 2n
2 + 3n
h
i
j
1
n2 hi
j
4n2 + n
–n + n3
h
i
j
–2n2 + 2
3n2 + 1
Exercícios resolvidos
e) lim 
n2
lim
n2
= lim 1 + 
n2
= 
= lim 1 + 
n2
= 
= lim 1 + ¥ ¥
n2
= 
= lim 1 + = 
= lim 1 + 
lim
= e–2
f) lim 1 – 
n2
lim 1 – 1 + 
n2
=
= lim 1 – 
n2
lim 1 + 
n2
= e–√∫2 e√∫2 = e0 = 1 
g) lim 
n
= lim = lim = 
= lim = lim = = +∞
h
i
j
n4 + n + 1
n4 + 2n2
h
i
j
h
i
j
2
n4
h
i
j
h
i
j
4 + 3n
2 + n
h
i
j
(1∞)
= hi
j
n4 + n + 1
n4 + 2n2
h
i
j
h
i
j
–2n2 + n + 1
n4 + 2n2
h
i
j
h
i
i
j
1
n4 + 2n2
–2n2 + n + 1
h
i
i
j
h
i
i
j
1
n4 + 2n2
–2n2 + n + 1
h
i
i
j
n4 + 2n2
–2n2 + n + 1
–2n2 + n + 1
n4 + 2n2
h
i
i
j
1
n4 + 2n2
–2n2 + n + 1
h
i
i
j
n4 + 2n2
–2n2 + n + 1
–2n2 + n + 1
n2 + 2ÈÍ
Í
Î
È
Í
Í
Î
È
Í
Í
Î
h
i
i
j
1
n4 + 2n2
–2n2 + n + 1
h
i
i
j
n4 + 2n2
–2n2 + n + 1 ÈÍ
Í
Î
–2n2 + n + 1
n2 + 2
(1∞)
=
h
i
j
√∫2
n2
h
i
j
h
i
j
√∫2
n2
h
i
j
È
Í
Î
È
Í
Î
h
i
j
√∫2
n2
h
i
j
h
i
j
√∫2
n2
h
i
j
Sugestão de resolução
a) lim 
– 
= lim 
lim – 
= lim 
0
= 1
b) lim = lim 
lim 
Verifica-se que a sucessão que se encontra na base tende para 0 e a sucessão
do que se encontra no expoente para – . Logo, o limite é +∞.
2
3
h
i
j
h
i
j
h
i
j
4 + 2n
2 + 3n
h
i
j
1
n2 ÈÍÎ
h
i
j
4 + 2n
2 + 3n
h
i
j
1
n2ÈÍÎ
h
i
j
h
i
j
h
i
j
4n2 + n
–n + n3
h
i
j
–2n2 + 2
3n2 + 1 ÈÍÎ
h
i
j
4n2 + n
–n + n3
h
i
j
–2n2 + 2
3n2 + 1ÈÍÎ
2
3
Calcula, caso existam, os
seguintes limites.
a)
b)
c)
Caderno de Apoio às Metas
Curriculares, 12.º ano
30
3n – 2
4n + 1
h
i
j
h
i
j
2n – 1
n + 1
h
i
j
4n – 2
3n + 1
h
i
j
3n – 1
n2 + 1
h
i
j
2n2 – 1
n2 + 3
h
i
j
1 – 2n
3n + 4
Calcula, caso existam, os
seguintes limites.
a)
n
(Recorda o 
processo de resolução
deste exercício
utilizado no vol. 1,
página 148.)
b)
c)
Caderno de Apoio às Metas
Curriculares, 12.º ano
31
2n
5n + 1
h
i
j
h
i
j
h
i
j
3n2 – 2
n + 3
h
i
j
2n + 1
2 – 3n
h
i
j
2n2 – 1
n3 + 3
h
i
j
1 – 2n
3n + 4
Soluções
30. a) b) 1 c) 2
–
31. a) 0 b) 0 c) +∞
9
16
2
3
PROFESSOR4
n
2
n
3n
n
n
n
h
i
i
i
i
j
h
i
i
i
i
j
n
+
+ 4
n
2
n
h
i
i
i
i
j
h
i
i
i
i
j
n
+ 1
+ 3 
3 1 + 
nh
i
j
4
3n
h
i
j
h
i
j
h
i
j
1 + 
nh
i
j
2
n
h
i
j
1 + 
nh
i
j
2
n
h
i
j
4
3 4
3+∞ ¥ e
e2
n
1 + 3n
h
i
i
j
h
i
i
jn
Cálculo auxiliar
n4 + 0n3 + 0n2 + n + 1 n4 + 2n2
–n4 – 2n2 1
– 2n2 + n + 1
Assim, = 1 + .n
4 + n + 1
n4 + 2n2
–2n2 + n + 1
n4 + 2n2
Outro processo de resolução da 
alínea g)
lim
n
= lim
lim n
=
= 3+∞ = +∞ 
h
i
j
4 + 3n
2 + n
4 + 3n
2 + n
ÈÍÎ
h
i
j
h
i
j
h
i
j
ÈÍÎ
Págs. 98 e 100
Exercícios 25 e 35
APRENDE FAZENDO
Pág. 49
Exercício 13
CADERNO DE EXERCÍCIOS
E TESTES
31
UNIDADE 3 Funções exponenciais
3.5. O limite notável = 1e
h – 1
h
lim
h Æ 0
A aplicação das propriedades operatórias dos limites a conduz a uma inde-
terminação do tipo e prova-se que = 1.
Este limite faz parte de uma lista de limites que se designam por limites notáveis. 
lim
h Æ 0
eh – 1
h
lim
h Æ 0
eh – 1
h
h
i
j
0
0
h
i
j
1. Determina, se existirem, os seguintes limites. 
a) b) c)
d) e) f)
lim
x Æ 0
x
ex – 1
lim
x Æ 0
2ex – 2
7x
lim
x Æ 0
e2x – 1
x
lim
x Æ 3
ex – e3
x – 3
lim
x Æ 0
ex – 1
e4x – 1
lim
x Æ 0
ex – e–x
x
Exercícios resolvidos
(continua)
Determina, se existirem,
os seguintes limites.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
32
lim
x Æ 0
ex – 1
3x
lim
x Æ 0
1 – ex
x
lim
x Æ 0
e3x – 1
x
lim
x Æ 0
4x
ex – 1
lim
x Æ 5
ex – e5
x – 5
lim
x Æ 1
e – ex
x – 1
lim
x Æ 0
ex – 1
e2x – 1
lim
x Æ 0
sen x
ex – 1
FEL12_2.9
Soluções
32. 
a) b) –1 c) 3 d) 4
e) e5 f) –e g) h) 1
1
3
1
2
PROFESSOR
Sugestão de resolução
a) = = = 1 Limite notável: = 1
b) = = ¥ = ¥ 1 = 
c) = ¥ 2 = 
Consideremos a mudança de variável 2x = y: se x Æ 0, então y Æ 0.
= ¥ 2 =
= 2 ¥ Limite notável: = 1
= 2 ¥ 1 =
= 2 
d) = = e3 ¥ = 
Consideremos a mudança de variável x – 3 = y: se x Æ 3, então y Æ 0.
= e3 ¥ =
= e3 ¥ 1 =
= e3 Limite notável: = 1
lim
x Æ 0
x
ex – 1
1
ex – 1
xlimx Æ 0
1
1
lim
x Æ 0
ex – 1
x
h
i
j
h
i
j
lim
x Æ 0
2ex – 2
7x
lim
x Æ 0
2(ex – 1)
7x
2
7
lim
x Æ 0
ex – 1
x
2
7
2
7
lim
x Æ 0
e2x – 1
x
lim
x Æ 0
e2x – 1
2x
lim
y Æ 0
ey – 1
y
lim
y Æ 0
ey – 1
y
h
i
j
lim
y Æ 0
ey – 1
y
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
lim
x Æ 3
ex – e3
x – 3
lim
x Æ 3
e3 ¥ (ex – 3 – 1)
x – 3
lim
x Æ 3
ex – 3 – 1
x – 3
lim
y Æ 0
ey – 1
y
h
i
j
lim
y Æ 0
ey – 1
y
h
i
j
( )00
( )00
( )00
Simulador
GeoGebra: Limites notáveis
�
�
�
32
TEMA V Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
Exercícios resolvidos
e) = = = =
Consideremos a mudança de variável 4x = y: se x Æ 0, então 4x Æ 0.
= =
= ¥ =
= ¥ = 
Outro processo
= ¥ = ¥ ¥ =
= ¥ ¥ = 1 ¥ ¥ = 
Consideremos a mudança de variável 4x = y: se x Æ 0, então 4x Æ 0.
= ¥ =
= ¥ = 
f) = = = 
= e–x ¥ = e0 ¥ ¥ 2 = 
= 1 ¥ ¥ 2 = 
Consideremos a mudança de variável 2x = y: se x Æ 0, então 2x Æ 0.
= ¥ 2 = 
=2 ¥ =
= 2 ¥ 1 =
= 2 
lim
x Æ 0
ex – 1
e4x – 1
lim
x Æ 0
ex – e–x
x
lim
x Æ 0
ex – 1
x
e4x – 1
x
1
4
1
1
1
4
1
4
1
4
lim
x Æ 0
ex – 1
e4x – 1
lim
x Æ 0
h
i
j
h
i
j
ex – 1
1
1
e4x – 1
lim
x Æ 0
h
i
j
ex – 1
x
x
4x
h
i
j
4x
e4x – 1
lim
x Æ 0
ex – 1
x
lim
x Æ 0
x
4x
4x
e4x – 1
lim
x Æ 0
1
4
1
4
1
1
1
4
lim
x Æ 0
lim
x Æ 0
e–x(e2x – 1)
x
lim
x Æ 0
lim
x Æ 0
lim
x Æ 0
e2x – 1
x
lim
x Æ 0
h
i
j
h
i
j
e2x – 1
2x
h
i
j
e2x – 1
2x
h
i
j
lim
y Æ 0
h
i
j
ey – 1
y
h
i
j
lim
y Æ 0
ey – 1
y
Determina o valor real de
k para o qual a função f é
contínua em x = 0, sendo:
33
Seja a um número real
diferente de 0. Qual é o
valor de ?
(A)
(B)
(C) 1
(D) 2a
Adaptado de Exame Nacional de
Matemática A, 2016, 1.ª fase
34
aex – a – a
x2 – a2
1
2a
1
2
lim
x Æ a
Soluções
33. –3
34. Opção (B)
PROFESSOR
f(x) = se x < 0
2x + 3 se x ≥ 0
1 – ekx
x 1
¥ 4lim
x Æ 0
e4x – 1
4x
1
¥ 4lim
y Æ 0
ey – 1
y
1
lim
y Æ 0
ey – 1
y
1
lim
y Æ 0
ey – 1
y
1
lim
x Æ 0
e4x – 1
4x
lim
x Æ 0
ex – 1
x
lim
x Æ 0
e4x – 1
x
e–x – 1e
x
e–x
h
i
j
h
i
j
x
Outro processo de resolução da 
alínea f)
= =
= + =
= + =
= 1 + = 
Consideremos a mudança de variável
–x = y: se x Æ 0, então y Æ 0.
= 1 + =
= 1 + 1 =
= 2
lim
x Æ 0
ex – e–x
x
ex – 1 + 1 – e–x
x
h
i
j
ex – 1
x
1 – e–x
x
e–x – 1
–x
ey – 1
y
lim
x Æ 0
lim
x Æ 0
h
i
j
lim
x Æ 0
lim
x Æ 0
lim
x Æ 0
ex – 1
x
1 – e–x
x
lim
y Æ 0
Págs. 100 e 106
Exercícios 36 e 55
APRENDE FAZENDO
Pág. 49
Exercício 14
CADERNO DE EXERCÍCIOS
E TESTES
33
UNIDADE 3 Funções exponenciais
3.6. Derivada da função exponencial de base e
Considera a função real de variável real definida por f(x) = ex. 
Seja x ∈R:
f ’(x) = =
= =
= =
= ex ¥ =
= ex ¥ (pois ex é uma constante.)
= ex ¥ 1 nota que: (limite notável)
= ex
Como x é um número real qualquer, conclui-se que f ’(x) = ex, isto é:
(ex)’ = ex, ∀ x ∈R
Observa que a função derivada de ex é a própria função.
Pelo teorema da derivada da função composta, vem que: 
(eu)’ = u’eu
lim
h Æ 0
f(x + h) – f(x)
h
lim
h Æ 0
ex + h – ex
h
lim
h Æ 0
ex(eh – 1)
h
lim
h Æ 0
(eh – 1)
h
lim
h Æ 0
eh – 1
h
lim
h Æ 0
eh – 1
h
h
i
j
h
i
j
ÈÍÎ
ÈÍÎ
1. Determina uma expressão designatória da função derivada de cada uma das se-
guintes funções.
a) f(x) = e–5x
b) g(x) = e√∫x
c) h(x) = ex(–x4 – 5x3 + 2x + 9)
d) i(x) = – 
e) j(x) = 
x3
ex
ex – e–x
ex + e–x
Exercícios resolvidos
Sugestão de resolução
a) f ’(x) = (–5x)’e–5x = –5e–5x
b) g’(x) = (√∫x)’e√∫x = ¥ x
–
¥ e√∫x = 1
2
1
2 e√∫x
2√∫x
(continua)
Recorrendo à definição de
derivada de uma função
num ponto, determina:
a) f ’(2), sendo f(x) = ex;
b) f ’(3), sendo f(x) = e2x.
35
Sendo h(x) = ep, o valor de
h’(1) é:
(A) ep
(B) 0
(C) pep – 1
(D) 1
36
FEL12_2.10
Soluções
35.
a) e2 b) 2e6
36. Opção (B)
PROFESSOR
Recorda
Dadas uma função f,
diferenciável num ponto 
a ∈Df, e uma função real
de variável real g,
diferenciável em f(a), a
função composta g o f é
diferenciável em a e:
(g o f)’(a) = f ’(a) ¥ g’(f(a))
( )00
34
TEMA V Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
Exercícios resolvidos
c) h’(x) = (ex)’ ¥ (–x4 – 5x3 + 2x + 9) + ex ¥ (–x4 – 5x3 + 2x + 9)’ = 
= ex(–x4 – 5x3 + 2x + 9) + ex(–4x3 – 15x2 + 2) =
= ex(–x4 – 5x3 + 2x + 9 – 4x3 – 15x2 + 2) =
= ex(–x4 – 9x3 – 15x2 + 2x + 11)
d) i’(x) = – = – = – = – 
e) j’(x) = =
= =
= = =
= = 
3x2 ¥ ex – x3 ¥ ex
(ex)2
ex(3x2 – x3)
(ex)2
3x2 – x3
ex
(ex – e–x)’ ¥ (ex + e–x) – (ex – e–x) ¥ (ex + e–x)’
(ex + e–x)2
(ex + e–x) ¥ (ex + e–x) – (ex – e–x) ¥ (ex – e–x)
(ex + e–x)2
(ex + e–x)2 – (ex – e–x)2
(ex + e–x)2
e2x + 2exe–x + e–2x – (e2x – 2exe–x + e–2x)
(ex + e–x)2
e2x + 2 + e–2x – e2x + 2 – e–2x
e2x + 2exe–x + e–2x
4
e2x + 2 + e–2x
(x3)’ ¥ ex – x3 ¥ (ex)’
(ex)2
2. Seja f a função definida, em R\{0}, por f(x) = e + 3.
a) Determina a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1.
b) Averigua se existe alguma reta tangente ao gráfico de f que seja paralela à bisse-
triz dos quadrantes ímpares.
1
x
Sugestão de resolução
a) Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1. Sabemos que o
declive da reta t é o valor da derivada de f em x = 1, isto é, m = f ’(1) e, como
f ’(x) = e + 3
’
= ’ ¥ e + 0 = – e , então m = – e = –e.
Ou seja, a equação reduzida da reta t é y = –ex + b, onde b é tal que f(1) =
= –e ¥ 1 + b, uma vez que o ponto de coordenadas (1, f(1)) pertence à reta t.
Assim:
e + 3 = –e ¥ 1 + b ⇔ b = 2e + 3 
Concluímos, assim, que y = –ex + 2e + 3 é a equação da reta tangente ao
gráfico de f no ponto de abcissa 1.
b) Para a reta tangente ao gráfico de f ser paralela à bissetriz dos quadrantes
ímpares terá que ter declive 1 e, portanto, terá de haver um ponto de tan-
gência de coordenadas (x1, y1) tal que f ’(x1) = 1:
– e = 1 ⇔ e = –1, que é uma equação impossível, pois e > 0,
∀ x ∈R\{0}.
Conclui-se, assim, que não há nenhuma reta tangente ao gráfico de f que
seja paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares.
h
i
j
h
i
jh
i
j
h
i
j
1
x
1
x
1
x 1
x2
1
x 1
1
1
1
1
x2
1
x 1
x2
1
x 1
x2
1
x
Determina uma expressão
designatória da função
derivada de cada uma das
seguintes funções.
a) f (x) = 6x2 + ex
b) g(x) = (x2 + 3x) ¥ ex
c) h(x) = 
d) i(x) = e2x – 7
e) j(x) = e
f) k(x) = 3ex + √∫x + x2
37
2x
ex
1
x
Seja f a função definida,
em R, por f(x) = e2x + 3.
a) Determina a equação
reduzida da reta
tangente ao gráfico de f
no ponto de abcissa 0.
b) Determina a equação
reduzida da reta
tangente ao gráfico de f
que é paralela à reta de
equação y = 2x.
38
Soluções
37.
a) f ’(x) = 12x + ex
b) g’(x) = (x2 + 5x + 3) ¥ ex
c) h’(x) = 
d) i’(x) = 2e2x – 7
e) j’(x) = – e
f) k’(x) = 3 1 + ex + √∫x + 2x
38.
a) y = 2e3x + e3 b) y = 2x + 4
2 – 2x
ex
1
x2
1
x
1
2√∫x
h
i
j
h
i
j
PROFESSOR
Apresentação
“Funções exponenciais” 
Teste interativo
“Funções exponenciais” 
Simulador
GeoGebra: A exponencial e a reta
tangente
Pág. 50
Exercício 15
CADERNO DE EXERCÍCIOS
E TESTES
Resolução
Todos os exercícios de “Funções
logarítmicas” 
PROFESSOR
35
UNIDADE 4 Funções logarítmicas
UNIDADE 4
Funções logarítmicas
UNIDADE 4 Funções logarítmicas
4.1. Conceito de logaritmo
Consideremos as seguintes equações:
• 2x = 8 • 2x = • 2x = 1
• 2x = 0 • 2x = –2 • 2x = 9
Em todas estas equações pretendemos descobrir o valor de x a que é preciso elevar o 2
para obter o valor que está no segundo membro da igualdade:
• 2x = 8 ⇔ 2x = 23 ⇔ x = 3 C.S. = {3} 
Repara que 3 é o número a que tens que elevar 2 para obter 8.
• 2x = ⇔ 2x = 2–1 ⇔ x = –1 C.S. = {–1} 
Repara que –1 é o número a que tens que elevar 2 para obter .
• 2x = 1 ⇔ 2x = 20 ⇔ x = 0 C.S. = {0} 
Repara que 0 é o número a que tens que elevar 2 para obter 1.
• 2x = 0 Equação impossível C.S. = { } 
Repara que não existe nenhum número ao qual se possa elevar o 2 para obter 0.
• 2x = –2 Equação impossível C.S. = { } 
Repara que não existe nenhum número ao qual se possa elevar o 2 para obter –2.
• 2x = 9 
Seguindo o mesmo raciocínio utilizado na resolução das equações das alíneas anteriores,
vem que:
2x = 2número a que devo elevar o 2 para obter 9
x = número a que devo elevar o 2 para obter 9
Este valor de x existe e é único! 
Para o representar, usamos a notação log2(9) e lê-se “logaritmo de 9 na base 2”. 
Assim:
2x = 9 ⇔ x = log2(9) C.S. = {log2(9)}
1
2
1
2
1
2
1
–2
x
y y = 2x
y = 9
y = 8
y = 1
y = 
y = –2
1
2
1
2
36
TEMA V Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
Definição
O logaritmo de um número positivo x numa dada base a, com a ∈R+\{1}, é o expoente
a que é preciso elevar a base para obter esse número e representa-se por loga(x).
loga(x) = y ⇔ x = ay
Propriedades
Seja a um número real positivo diferente de 1. Tem-se:
• loga(a) = 1
• loga(1) = 0
• ∀ x ∈R, loga(ax) = x
• ∀ x ∈R+, aloga(x) = x
Exemplos
1. log2(4) = 2, pois 22 = 4.
2. log10(100) = 2, pois 102 = 100.
3. log3(81) = 4, pois 34 = 81.
4. log4(16) = 2, pois 42 = 16.
5. log5 = –1, pois 5–1 = .
6. log6(1) = 0, pois 60 = 1.
7. log6(6) = 1, pois 61 = 6.
8. log7(73) = 3, pois 73 = 73.
9. log8(84) = 4, pois 84 = 84.
10. loge(e2) = 2, pois e2 = e2.
11. 2log28 = 8.
12. 9log9(10) = 10.
1
5
1
5
h
i
j
h
i
j
Designa-se o logaritmo de base 10 por logaritmo decimal, representando-o também
por log e designa-se o logaritmo de base e por logaritmo neperiano, representando-o
também por ln.
Expressões como loga(0) e loga(–1) não têm significado em R, visto não existir nenhum
valor real x tal que ax = 0 ou ax = –1.
Qualquer que seja a base, não existe logaritmo de zero nem de um número negativo.
Da definição de logaritmo, resultam as seguintes propriedades:
Calcula, sem recurso à
calculadora.
a) log2(64)
b) log2
c) log3(√∫3)
d) log4
e) log (32)
f) log√∫5(25)
g) log2012(1)
h) log2012(2012)
i) log12(1210)
j) 3log3(81)
39
1
2
1
16
1
2
h
i
j
h
i
j
h
i
j
h
i
j
Determina os valores que
x pode tomar de modo
que cada uma das
seguintes expressões tenha
significado em R.
a) log2(x + 1)
b) log3(2x)
c) log4(x2)
d) log(x2 + 1)
e) ln (2 – x)
40
Simplifica as seguintes
expressões, nos respetivos
domínios.
a) 31 + log3(x)
b) 43log4(x)
c) 56log5(x) – 2log5(x)
d) log3(9x)
41
Soluções
39.
a) 6 b) –1 c) d) –2 e) –5
f) 4 g) 0 h) 1 i) 10 j) 81
40.
a) ]–1, +∞[ b) R+ c) R\{0}
d) R e) ]–∞, 2[
41.
a) 3x b) x3 c) x4 d) 2x
1
2
PROFESSOR
FEL12_3.2
37
UNIDADE 4 Funções logarítmicas
Demonstração
• loga(a) representa, por definição, o expoente a que é preciso elevar o a para obter a.
Como a1 = a, vem que:
loga(a) = 1
• loga(1) representa, por definição, o expoente a que é preciso elevar o a para obter 1.
Como a0 = 1, vem que:
loga(1) = 0
• loga(ax) representa, por definição, o expoente a que é preciso elevar o a para obter ax.
Como ax = ax, vem que:
loga(ax) = x
• loga(x) representa, por definição, o expoente a que é preciso elevar o a para obter x.
Naturalmente, se elevarmos a a esse expoente, obteremos x, isto é:
aloga(x) = x
Como calcular log2(9) com recurso à calculadora?
CASIO fx-CG10/20
“RUN” Æ “MAT (F4)” Æ “logab (F2)” Æ “Preencher (número, base)” Æ “EXE”
Texas TI-nspire 
“MENU” Æ “CTRL 10X” Æ “Preencher (número, base)” Æ “ENTER" 
Escreve o número 13 na
forma de um:
a) logaritmo de base 2;
b) logaritmo de base 3;
c) logaritmo de base 5;
d) logaritmo de base 10;
e) logaritmo de base e.
42
Escreve o número 13 na
forma de:
a) potência de base 2;
b) potência de base 3;
c) potência de base 5;
d) potência de base 10;
e) potência de base e.
43
Notas
As duas últimas propriedades podem também ser lidas da seguinte forma:
1. Todo o número real x pode ser representado na forma de um logaritmo numa
qualquer base a ∈R+\{1}: loga(ax) = x, ∀ x ∈R.
2. Todo o número real positivo x pode representar-se na forma de uma potência com
qualquer base a ∈R+\{1}: aloga(x) = x, ∀ x ∈R+.
Texas TI-84 Plus
“Log” Æ ”Preencher (número,
base)” Æ ”ENTER”
Soluções
42.
a) log2(8192)
b) log3(1 594 323)
c) log5(1 220 703 125)
d) log(10 000 000 000 000)
e) ln(e13)
43.
a) 2log2(13) b) 3log3(13)
c) 5log5(13) d) 10log(13)
e) eln(13)
PROFESSOR
38
TEMA V Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
4.2. Função logarítmica
Consideremos a função f: R → R+ definida por f(x) = ax, com a ∈R+\{1}.
Pelas propriedades das funções exponenciais, estudadas na unidade anterior, concluí-
mos que f é bijetiva, logo admite função inversa, f –1: R+ → R, que se designa por função
logarítmica de base a:
ax = y ⇔ x = loga(y) 
⇔ f –1(y) = loga(y)
Se utilizarmos x como variável independente:
f–1(x) = loga(x)
Pelas propriedades estudadas no 10.º ano sobre a função inversa, sabes que:
f o f–1(x) = x, ∀ x ∈Df–1 e f–1 o f(x) = x, ∀ x ∈Df
o que neste caso se traduz por:
aloga(x) = x, ∀ x ∈R+ e loga(ax) = x, ∀ x ∈R
A função logarítmica de base 10 representa-se por log e a função logarítmica de base e
representa-se por ln.
Graficamente, se a > 1, tem-se: 
y = ax
y = x
y = loga(x)
y
xO
Definição
A função definida por f(x) = loga(x), em R+, com a ∈R+\{1}, designa-se por função
logarítmica de base a e representa-se por loga.
Recorda
Os gráficos de duas
funções inversas entre si,
quando representados no
mesmo referencial, são
simétricos em relação à
reta de equação y = x
(bissetriz dos quadrantes
ímpares).
John Napier (Neper) 
(1550-1617)
A invenção dos logaritmos
é atribuída a Napier, que
se dedicou a procurar
instrumentos para
simplificar cálculos
aritméticos. As suas
descobertas permitiram
que se efetuassem, com
rapidez e precisão,
operações como a
multiplicação de dois
números com muitos
algarismos ou uma
potenciação com
expoente fracionário. 
Várias leis matemáticas e
diversos fenómenos
físicos, químicos,
biológicos e económicos
são descritos por funções
logarítmicas e pela sua
função inversa, a função
exponencial.
Contextualização histórica
PROFESSOR
FEL12_3.1
FEL12_3.2
39
UNIDADE 4 Funções logarítmicas
Observa em baixo as representações gráficas das funçõeslogarítmicas de bases 2, e e 10:
Conhecidas as propriedades das funções exponenciais, e definindo as funções logarít-
micas como as respetivas funções inversas, é possível deduzir as propriedades abaixo. 
Vejamos uma justificação para cada uma das propriedades:
As propriedades 1. e 2. resultam imediatamente da definição de função logarítmica.
y
x1
y = log2(x)
y = ln(x)
y = log(x)
O
Considera a função g
definida, em R+, por 
g(x) = log(x).
a) Esboça os gráficos das
seguintes funções a
partir do gráfico de g,
indicando as
transformações sofridas
pelo gráfico de g:
i) g1(x) = g(x) + 2 
ii) g2(x) = g(x – 1) 
iii) g3(x) = g(x + 1) – 1
iv) g4(x) = –g(–x) 
v) g5(x) = –|g(x)| + 2
b) Em cada caso, indica o
domínio, o
contradomínio e a
equação da assíntota ao
gráfico da função, caso
exista.
44
Soluções
44.
a) Consultar na página 247.
b) Dg1 = R
+; D’g1 = R; x = 0
Dg2 = ]1, +∞[; D’g2 = R; x = 1
Dg3 = ]–1, +∞[; D’g3 = R; x = –1
Dg4 = R
–; D’g4 = R; x = 0
Dg5 = R
+; D’g5 = ]–∞, 2]; x = 0
PROFESSOR
Algumas propriedades das funções logarítmicas de base superior a um
A função logarítmica de base a > 1 tem as seguintes propriedades principais:
1. Domínio: R+
2. Contradomínio: R
3. Variação: é crescente. 
4. Zeros: tem um único zero, isto é, loga(x) = 0 ⇔ x = 1.
5. Sinal: é positiva em ]1, +∞[, isto é, loga(x) > 0 ⇔ x > 1.
é negativa em ]0, 1[, isto é, loga(x) < 0 ⇔ 0 < x < 1.
6. Injetividade: é injetiva.
7. Continuidade: é contínua.
8. loga(x) = +∞ e loga(x) = –∞.
9. Assíntotas: a reta de equação x = 0 é assíntota vertical ao gráfico da função.
lim
x Æ +∞
lim
x Æ 0+
3. A função logarítmica de base a > 1 é crescente.
Se loga(x1) ≥ loga(x2), então, como a função exponencial de base a > 1 é crescente,
aloga(x1) ≥ aloga(x2), ou seja, x1 ≥ x2.
Por contrarrecíproca, x1 < x2 ⇒ loga(x1) < loga(x2), e acabámos de provar que a função
loga(x) é crescente.
Simulador
GeoGebra: Transformações de gráficos
de funções logarítmicas
40
TEMA V Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
4. loga(x) = 0 ⇔ x = 1, pois loga(1) = 0.
Como a função logarítmica é bijetiva, 1 é o único zero.
5. Para a > 1:
Em R+:
• loga(x) > 0 ⇔ aloga(x) > a0 (pois a função exponencial de base a é crescente.)
⇔ x > 1
Ou seja:
loga(x) > 0 ⇔ x > 1, isto é, a função loga(x) é positiva em ]1, +∞[.
• loga(x) < 0 ⇔ aloga(x) < a0 (pois a função exponencial de base a é crescente.)
⇔ x < 1
Ou seja:
loga(x) < 0 ⇔ 0 < x <1, isto é, a função loga(x) é negativa em ]0, 1[.
8. loga(x) = +∞ e loga(x) = –∞, a > 1
Sabemos que a função loga(x) é a função inversa da função exponencial de base a.
Sendo f(x) = ax, e sabendo que f(x) = +∞ e f(x) = 0+, facilmente concluímos
que f–1(x) = +∞ e f–1(x) = –∞, isto é, loga(x) = +∞ e loga(x) = –∞.
Observa, agora, as representações gráficas das funções logarítmicas de bases , e :
lim
x Æ +∞
lim
x Æ 0+
1
10
1
e
1
2
lim
x Æ +∞
lim
x Æ –∞
lim
x Æ +∞
lim
x Æ 0+
lim
x Æ +∞
lim
x Æ 0+
1
y = log (x) 1
10
1
e
1
2
y = log (x) 
y = log (x) 
y
xO
Considera a função, de
domínio R+, definida por:
f(x) = ex In(x)
Prova que a equação 
f(x) = 500 tem, pelo
menos, uma solução no
intervalo ]5, 6[.
Em eventuais cálculos
intermédios, sempre que
procederes a
arredondamentos,
conserva três casas
decimais.
45
Sejam a e b dois números
reais, com a > 1.
Seja f a função de domínio
]–b, +∞[ definida por 
f(x) = loga(x + b).
Sabe-se que:
• o ponto (0, 2) pertence
ao gráfico de f;
• o ponto (1, –2) pertence
ao gráfico de f –1.
Determina os valores de a
e b.
46
Solução
46. a = 2 e b = 4
PROFESSOR
FEL12_3.3
FEL12_3.4
FEL12_3.5
41
UNIDADE 4 Funções logarítmicas
Na figura está
representada, num
referencial o.n. xOy, parte
do gráfico da função f,
definida em ]–1, +∞[, por
f(x) = log (x + 1).
Está também representado
um triângulo retângulo
[ABO].
Sabe-se ainda que o ponto
A pertence ao gráfico de f
e tem abcissa 7 e que o
ponto B pertence ao eixo
das ordenadas. 
Determina a área do
triângulo [ABO].
47
7
–1
y
x
O
B A
f
1
2
Vejamos uma justificação para cada uma das propriedades:
As propriedades 1. e 2. resultam imediatamente da definição de função logarítmica.
3. A função logarítmica de base 0 < a < 1 é decrescente.
Se loga(x1) ≤ loga(x2), então, como a função exponencial de base 0 < a < 1 é decres-
cente, aloga(x1) ≥ aloga(x2), ou seja, x1 ≥ x2. 
Por contrarrecíproca, x1 < x2 ⇒ loga(x1) > loga(x2), e acabámos de provar que a função
loga(x) é decrescente. 
4. loga(x) = 0 ⇔ x = 1, pois loga(1) = 0 e, como a função logarítmica é bijetiva, 1 é o
único zero.
5. Para 0 < a < 1:
Em R+:
• loga(x) > 0 ⇔ aloga(x) < a0 (pois a função exponencial de base a é decrescente.)
⇔ x < 1
Ou seja, loga(x) > 0 ⇔ 0 < x < 1, isto é, a função loga(x) é positiva em ]0, 1[.
• loga(x) < 0 ⇔ aloga(x) > a0 (pois a função exponencial de base a é decrescente.)
⇔ x > 1
Ou seja, loga(x) < 0 ⇔ x > 1, isto é, a função loga(x) é negativa em ]1, +∞[.
8. loga(x) = –∞ e loga(x) = +∞, 0 < a < 1
Sabemos que a função loga(x) é a função inversa da função exponencial de base a.
Sendo f(x) = ax, e sabendo que f(x) = +∞ e f(x) = 0+, facilmente concluímos
que f–1(x) = +∞ e f–1(x) = –∞, isto é, loga(x) = +∞ e loga(x) = –∞.
lim
x Æ +∞
lim
x Æ 0+
lim
x Æ +∞
lim
x Æ –∞
lim
x Æ +∞
lim
x Æ 0+
lim
x Æ +∞
lim
x Æ 0+
Algumas propriedades das funções logarítmicas de base maior que zero e menor
que um
A função logarítmica de base 0 < a < 1 tem as seguintes propriedades principais:
1. Domínio: R+
2. Contradomínio: R
3. Variação: é decrescente. 
4. Zeros: tem um único zero, isto é, loga(x) = 0 ⇔ x = 1.
5. Sinal: é positiva em ]0, 1[, isto é, loga(x) > 0 ⇔ 0 < x < 1.
é negativa em ]1, +∞[, isto é, loga(x) < 0 ⇔ x > 1.
6. Injetividade: é injetiva.
7. Continuidade: é contínua.
8. loga(x) = –∞ e loga(x) = +∞.
9. Assíntotas: a reta de equação x = 0 é assíntota vertical ao gráfico da função.
lim
x Æ +∞
lim
x Æ 0+
FEL12_3.3
FEL12_3.4
FEL12_3.6
Solução
47. 21
2
PROFESSOR
42
TEMA V Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas
1. Determina o valor de x que satisfaz cada uma das seguintes igualdades.
a) log2(x) = 3 b) log(x) = 4
c) ln (x) = 5 d) 3x = 6
e) 10x = 7 f) ex = 8
Exercícios resolvidos
Sugestão de resolução
Sabemos que loga(x) = y ⇔ x = ay. Assim:
a) log2(x) = 3 ⇔ x = 23 ⇔ x = 8
b) log(x) = 4 ⇔ x = 104 ⇔ x = 10 000
c) ln (x) = 5 ⇔ x = e5
d) 3x = 6 ⇔ x = log3(6)
e) 10x = 7 ⇔ x = log(7)
f) ex = 8 ⇔ x = ln (8)
2. O nível N de um som, medido em decibéis, é função da sua intensidade I, medida
em watt por metro quadrado, de acordo com a igualdade N = 120 + 10 log (I).
a) Numa estrada com muito trânsito verifica-se que o som tem uma intensidade
de 0,5 watt por metro quadrado. Qual é o nível de som produzido? Apresenta
o resultado em decibéis, arredondado às unidades.
b) Um som é considerado ensurdecedor se o seu nível estiver entre 100 e 120 de-
cibéis. Qual é a menor intensidade de som para que este seja considerado en-
surdecedor?
Sugestão de resolução
a) Pretende-se saber o valor de N quando I = 0,5:
N = 120 + 10 log (0,5) ≈ 117
O nível de som produzido é de aproximadamente 117 decibéis.
b) Como a função log é crescente, para determinar qual é a menor intensidade
de som para que este seja considerado ensurdecedor, basta resolver a equa-
ção 120 + 10 log (I) = 100:
120 + 10 log (I) = 100 ⇔ log (I) = ⇔ log (I) = –2 ⇔ I = 10–2
Conclui-se assim que a menor intensidade de som para que este seja consi-
derado ensurdecedor é 10–2 watt por metro quadrado.
100 – 120
10
Determina o valor de x
que satisfaz cada uma das
seguintes igualdades.
a) log2(x) = 4
b) ln(x) = 5
c) ln(x) = 1
d) ln(x) = 0
e) ln(x) = –2
f) log(x) = 3
g) 4x = 3
h) 10x = 4
i) ex = 6
j) ex = –2
48
A fórmula H(d) = 221 – 0,2d,
com H expresso em horas
e d em decibéis, é usada
em alguns países para
calcular o número
máximo de horas de
trabalho diário de um
trabalhador, em função do
nível de ruído produzido
no local de trabalho.
a) Qual deve ser o número
máximo de horas de
trabalho diário numa
fábrica em que