Calculo-Estrutural-Concreto-Eberick

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROJETO DE EDIFICAÇÃO RESIDENCIAL 
EM CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
 
ARTUR ANTONIO DAL PRÁ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Florianópolis 
2007 
 
 
 Universidade Federal de Santa Catarina 
 Departamento de Engenharia Civil 
 Trabalho de conclusão de curso II 
 
 
 
 
TÍTULO: PROJETO DE EDIFICAÇÃO RESIDENCIAL EM CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
 
 
 
AUTOR: ARTUR ANTONIO DAL PRÁ MAT 0423639-4 
 
BANCA EXAMINADORA: 
 
 
___________________________________________ 
Prof. Narbal Ataliba Marcellino, Dr. (Orientador) 
 
 
___________________________________________ 
Prof. João Eduardo Di Pietro, Dr. (UFSC) 
 
 
___________________________________________ 
Prof. Roberto Caldas de A. Pinto, PhD. (UFSC) 
 
 
FLORIANÓPOLIS 
NOVEMBRO, 2007 
Trabalho de conclusão de curso apresentado ao 
Curso de Engenharia Civil, Centro Tecnológico, 
Universidade Federal de Santa Catarina. 
Orientador Prof. Narbal Ataliba Marcellino. 
 
 
 
Agradecimentos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao meu orientador, Prof. Narbal, pela revisão textual 
deste relato e pela disposição, sempre que necessário. 
À minha família, pelas oportunidades, apoio 
financeiro e compreensão. 
À minha namorada, pelo comprometimento, 
paciência e colaboração. 
 
iv 
 
SUMÁRIO 
 
 
1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS ....................................................................................... 9 
2 CONCEPÇÃO ESTRUTURAL .................................................................................... 10 
2.1 CASOS ESPECÍFICOS ............................................................................................. 12 
2.1.1 Vigas em cruz ..................................................................................................... 12 
2.1.2 Posicionamento dos pilares permitindo manobras dos veículos ........................ 13 
2.1.3 Sacadas projetadas para o exterior da edificação ............................................... 14 
3 MATERIAIS E DURABILIDADE ............................................................................... 15 
4 DADOS GERAIS ............................................................................................................ 16 
4.1 ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÕES EXCESSIVAS ....................................... 17 
5 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA ESTRUTURA ....................................................... 18 
5.1 LAJES ........................................................................................................................ 18 
5.2 VIGAS ....................................................................................................................... 18 
5.3 PILARES ................................................................................................................... 19 
6 LANÇAMENTO ESTRUTURAL E MODELO DE CÁLCULO .............................. 21 
6.1 CARGAS ................................................................................................................... 22 
6.1.1 Carga na laje do térreo ........................................................................................ 22 
6.1.2 Carga na laje da garagem.................................................................................... 22 
6.1.3 Carga na laje dos andares tipo ............................................................................ 23 
6.1.4 Carga na cobertura .............................................................................................. 23 
6.1.5 Carga no reservatório.......................................................................................... 23 
7 DIMENSIONAMENTO DAS LAJES .......................................................................... 25 
7.1 LAJES PRÉ-MOLDADAS ........................................................................................ 25 
7.1.1 Cargas ................................................................................................................. 27 
7.1.2 Estado limite último de flexão ............................................................................ 27 
7.1.3 Verificação do estado limite de serviço .............................................................. 29 
7.2 LAJES MACIÇAS ..................................................................................................... 31 
7.2.1 Vãos efetivos ...................................................................................................... 32 
7.2.2 Vinculação das lajes ........................................................................................... 34 
7.2.3 Ações nas lajes ................................................................................................... 37 
7.2.4 Verificação das flechas elásticas nas lajes .......................................................... 38 
7.2.5 Determinação dos momentos característicos nas lajes ....................................... 40 
7.2.6 Compatibilização dos momentos fletores ........................................................... 43 
7.2.7 Dimensionamento da armadura negativa ........................................................... 48 
7.2.8 Detalhamento da armadura negativa .................................................................. 51 
7.2.9 Dimensionamento da armadura positiva principal ............................................. 55 
7.2.10 Detalhamento da armadura positiva principal .................................................... 58 
7.2.11 Dimensionamento da armadura positiva secundária .......................................... 60 
7.2.12 Detalhamento da armadura positiva secundária ................................................. 61 
7.2.13 Dimensionamento da armadura secundária ........................................................ 63 
7.2.14 Cálculo aproximado da flecha ............................................................................ 64 
7.2.15 Reações de apoio das lajes nas vigas dos contornos .......................................... 64 
8 DIMENSIONAMENTO DAS VIGAS .......................................................................... 68 
8.1 DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL .............................. 70 
8.2 DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA TRANSVERSAL ............................... 73 
8.3 DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA DE PELE ............................................ 75 
8.4 DETALHAMENTO LONGITUDINAL ................................................................... 75 
8.4.1 Ancoragem da armadura de tração junto aos apoios .......................................... 78 
9 DIMENSIONAMENTO DOS PILARES ..................................................................... 81 
 
v 
 
10 COMPARAÇÕES E ANÁLISE ECONÔMICA ENTRE LAJES PRÉ-MOLDADAS 
E LAJES MACIÇAS .............................................................................................................. 88 
10.1 CRITÉRIOS PARA ANÁLISE ECONÔMICA ........................................................ 88 
10.2 LAJES PRÉ-MOLDADAS ........................................................................................ 89 
10.3 LAJES MACIÇAS ..................................................................................................... 92 
10.4 ANÁLISE FINAL ...................................................................................................... 93 
11 ESCADA .......................................................................................................................... 94 
11.1 CARGAS ................................................................................................................... 95 
11.2DIMENSIONAMENTO ............................................................................................ 96 
11.3 REAÇÃO DE APOIO DAS LAJES DA ESCADARIA NAS VIGAS ..................... 98 
11.4 DETALHAMENTO .................................................................................................. 98 
11.5 VERIFICAÇÃO DA FLECHA ................................................................................. 99 
11.6 VERIFICAÇÃO DA NECESSIDADE DE ARMADURA DE CISALHAMENTO
 100 
11.7 VERIFICAÇÃO DA COMPRESSÃO DIAGONAL DO CONCRETO ................. 100 
12 CONSIDERAÇÕES FINAIS ....................................................................................... 101 
13 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .................................................................................... 102 
ANEXOS ............................................................................................................................... 104 
ANEXO 1 - QUADRO RESUMO: VIGOTAS PRÉ-FABRICADAS ......................... 104 
ANEXO 2 - PROJETO ARQUITETÔNICO ................................................................ 112 
ANEXO 3 - PLANTA DE FÔRMAS DA ESTRUTURA ............................................. 112 
ANEXO 4 - DETALHE DA ARMAÇÃO POSITIVA E NEGATIVA DAS LAJES 
MACIÇAS 112 
ANEXO 5 - DETALHAMENTO DAS VIGAS ............................................................. 112 
ANEXO 6 - DETALHAMENTO DOS PILARES ........................................................ 112 
ANEXO 7 - QUADRO DE MOMENTOS FLETORES CARACTERÍSTICOS E 
REAÇÕES DE APOIO ........................................................................................................ 112 
ANEXO 8 - DIMENSIONAMENTO DOS VIGOTES TIPO TRILHO ..................... 112 
 
 
 
vi 
 
LISTA DE QUADROS 
 
Quadro 1 - Ambientes e suas cargas acidentais ........................................................................ 23 
Quadro 2 - Lajes pré-moldadas βn ............................................................................................ 26 
Quadro 3 - Peso próprio: Laje pré-moldada ............................................................................. 27 
Quadro 4 – Laje maciça, lef , tipo de armação, caso da laje para uso nas tabelas e cargas ...... 37 
Quadro 5 - Coeficientes e momentos característicos................................................................ 42 
Quadro 6 - Compatibilização dos momentos fletores negativos .............................................. 48 
Quadro 7 - Dimensionamento da armadura negativa ............................................................... 54 
Quadro 8 - Dimensionamento da armadura positiva principal ................................................. 59 
Quadro 9 - Dimensionamento das armaduras de distribuição .................................................. 63 
Quadro 10 - Verificação da flecha inelástica............................................................................ 64 
Quadro 11 - Charneiras plásticas para cálculo das reações de apoio ....................................... 65 
Quadro 12 - Reação de apoio das lajes nas vigas ..................................................................... 67 
Quadro 13 - Dimensionamento da armadura transversal - V39 ............................................... 75 
Quadro 14 - Comprimento de ancoragem ................................................................................ 77 
Quadro 15 - Ancoragem das barras tracionadas ....................................................................... 78 
Quadro 16 - Área de aço longitudinal - P26 ............................................................................. 85 
Quadro 17 - Quadro resumo – Custo das lajes pré-moldadas .................................................. 91 
Quadro 18 - Quadro resumo – Custo das lajes maciças ........................................................... 92 
Quadro 19 - Comparativo: Área de aço - escadaria .................................................................. 97 
Quadro 20 - Resumo do dimensionamento das vigotas ......................................................... 111 
 
vii 
 
LISTA DE ILUSTRAÇÕES 
 
Figura 1 - Perspectiva da estrutura ............................................................................................. 9 
Figura 2 – Planta das vigas como grelha .................................................................................. 12 
Figura 3 - Posicionamento favorecendo manobras, solução estrutural ................................... 13 
Figura 4 - Posicionamento favorecendo manobras, solução arquitetônica .............................. 13 
Figura 5 - Áreas de influência dos pilares ................................................................................ 19 
Figura 6 – Dimensões e colocação de laje pré-moldada .......................................................... 25 
Figura 7 - Dimensões adotadas ................................................................................................. 26 
Figura 8 - Vãos efetivos de lajes .............................................................................................. 32 
Figura 9 - Vinculações nas lajes maciças ................................................................................. 35 
Figura 10 - Compatibilização dos momentos fletores negativos e correção dos positivos ...... 43 
Figura 11 – Armaduras mínimas para lajes maciças ................................................................ 50 
Figura 12 - Detalhe da armação negativa ................................................................................. 51 
Figura 13 - Cargas na viga V39 ................................................................................................ 69 
Figura 14 - Diagrama de momentos fletores: V39 ................................................................... 70 
Figura 15 - Dimensionamento da armadura longitudinal - V39 ............................................... 72 
Figura 16 - Diagrama de esforços cortantes - V39 ................................................................... 73 
Figura 17 - Decalagem do diagrama de momentos fletores - V39 ........................................... 76 
Figura 18 - Comprimento das barras após decalagem, lb.nec e 10Ø .......................................... 77 
Figura 19 - Detalhamento manual da V39 (Tipo 1) ................................................................. 80 
Figura 20 - Detalhamento automático da V39 (Tipo 1) ........................................................... 80 
Figura 21 - Pilar P26 e vigas de travamento ............................................................................. 81 
Figura 22 - Comprimentos equivalentes - P26 ......................................................................... 82 
Figura 23 - Valores mínimos e momentos fletores .................................................................. 84 
Figura 24 - Dimensionamento de seção de pilar usando programa .......................................... 85 
Figura 25 - Comparativo - Armadura no P26 ........................................................................... 86 
Figura 26 - Seção transversal: P26 no pavimento Tipo 1 ......................................................... 86 
Figura 27 - Seção transversal: P26 no pavimento Garagens e colarinho ................................. 87 
Figura 28 – Elementos geométricos da escada ......................................................................... 95 
 
viii 
 
RESUMO 
 
Este trabalho apresenta o projeto estrutural em concreto armado de uma edificação 
residencial. Apresenta as etapas de concepção, cálculo dos esforços e dimensionamento dos 
elementos principais da estrutura, detalhando a definição das cargas, dimensionamento da 
escadaria, da rampa, das lajes maciças, das vigas e dos pilares. Diversas alternativas para 
vigotas pré-fabricadas foram calculadas para viabilizar a análiseeconômica entre a solução 
para lajes maciças ou lajes pré-moldadas. Finalmente, traz o detalhamento automático dos 
elementos estruturais. 
 
 
 
1 Considerações iniciais 
 
 
A estrutura estudada é uma edificação comercial e residencial multifamiliar, destinada 
ao uso de pessoas de classe média, situada na cidade de Chapecó – SC, atualmente em fase de 
construção. O primeiro pavimento é destinado a quatro salas comerciais e salão de festas 
(pavimento térreo), o segundo pavimento é destinado exclusivamente às garagens do edifício 
(pavimento garagens), com vaga para 16 automóveis. O terceiro, o quarto e o quinto 
pavimento são três andares tipo (tipo 1, tipo 2 e tipo 3), compostos cada um, de cinco 
apartamentos, totalizando 15 unidades. Em seguida figura o pavimento cobertura (pavimento 
cobertura), seguido de um pavimento que dá sustentação às caixas de água (pavimento 
reserv.) e de um último pavimento destinado a proteger os reservatórios (pavimento cob_res.). 
Este edifício possui distância de piso a piso de 2,85 m. 
Para o estudo da estrutura, e seu dimensionamento, será usado como recurso 
computacional o programa AltoQi Eberick V5, revisão 8. Não será verificada ação do vento, 
bem como a estabilidade global da estrutura. 
Obviamente, por ser uma edificação localizada na cidade de Chapecó, já em fase de 
construção, o projeto está aprovado e segue as exigências do código de obras do município. 
 
Figura 1 - Perspectiva da estrutura 
10 
 
 
2 Concepção estrutural 
 
 
Esta etapa antecede o pré-dimensionamento e o cálculo estrutural da edificação. É de 
extrema importância, pois o sucesso das demais etapas depende do êxito desta. 
Quando no lançamento da estrutura no programa de CAD, o uso de layers (níveis de 
desenho) facilita a sobreposição dos elementos e a visualização no lançamento da estrutura. 
Realizaram-se diversos estudos, visando reduzir o número de pilares, obtendo como 
resultado uma disposição inicial de pilares que apenas depois de calculado, se mostrará 
razoável ou indicará a necessidade de um novo rearranjo, pois será levada em consideração a 
magnitude dos esforços. 
O lançamento da estrutura inicia-se pelo posicionamento dos pilares, conforme DI 
PIETRO (2007), estes implicam diretamente na estabilidade, equilíbrio, funcionalidade e 
estética da edificação. São lançados preferencialmente no encontro de paredes, que são 
potenciais locais de encontros de vigas, para aperfeiçoar o “caminho das ações”. 
No lançamento dos pilares, deve-se objetivar manter alinhamento, para facilitar o 
traçado das vigas, proporcionando assim melhor funcionalidade a estrutura. Outro cuidado 
que mereceu atenção foi quanto à possibilidade da continuidade dos pilares, pois a falta de 
continuidade dos pilares (pilar apoiando em viga, ou seja, uma viga de transição), é uma 
solução onerosa quando comparada ao caso de continuidades de pilares. 
Quando os pilares que se mostram na área de manobras da garagem, foram tomadas 
algumas decisões para solucionar este inconveniente, criaram-se vigas de transição, ou as 
vagas de garagem eram reposicionadas, ou o pilar era deslocado para algum local próximo. 
Não apenas o posicionamento dos pilares, como também sua orientação, levando em 
conta a estabilidade global da edificação. 
As vigas foram lançadas preferencialmente abaixo das principais paredes, por questões 
arquitetônicas, a base das vigas é inicialmente fixada em 15 cm, para ocultar a estrutura. 
Os vãos das vigas seguem a referência do uso do vão econômico, o qual se dá por 
volta de 5,0 m, no entanto, nem sempre a arquitetura da edificação permitia um vão desta 
magnitude, pois as peças dos apartamentos distam em torno de 2,8 e 3,0 m, ocorrendo que em 
algumas situações as vigas ficaram com vão de 3,0 m. 
Um vão de 6,0 m é um vão possível, no entanto, a altura da viga aumenta 
demasiadamente e começa a se mostrar inconveniente para portas e janelas. Para vigas de 
canto, ou seja, aquelas vigas que recebem carga apenas de um dos lados da edificação, e não 
há restrições quanto a sua altura, pode-se fazer um vão de 6,5 m. 
11 
 
 
Outra preocupação foi quanto ao espaçamento entre vigas adjacentes, pois devem ser 
evitados grandes vãos de lajes, uma vez que estes conduzem a elevadas espessuras de lajes. 
 As lajes foram pré-dimensionadas. Por serem lajes de um piso de uma edificação, a 
espessura mínima adotada foi 7 cm. As espessuras das lajes dependeram também se a laje é 
unidirecional ou bidirecional. Para lajes unidirecionais, a espessura é o número inteiro, 
resultante do quociente entre o menor vão por 45 ou por 35. Já nas lajes bidirecionais, a 
espessura é o número inteiro, resultante do quociente entre o menor vão por 40 ou por 50. 
Num primeiro momento, durante o lançamento dos elementos estruturais, uma vez que 
esta etapa antecede o pré-dimensionamento, não foi dada a importância para a dimensão dos 
pilares e vigas, estando os mesmos servindo apenas para fins de posicionamento e orientação. 
12 
 
 
2.1 Casos específicos 
 
Este item traz considerações, discussões e justificativas sobre algumas decisões 
tomadas durante a concepção estrutural, são mostradas partes do projeto arquitetônico, sem se 
importar com a escala das imagens, de finalidade apenas qualitativa. Como foi um estudo 
inicial, alguns dos elementos estruturais mudaram de numeração no decorrer do trabalho. 
 
 
2.1.1 Vigas em cruz 
 
Para viabilizar o uso de um Box de garagem, a transição dada pelo pilar P7 foi 
inserida. Ela é suportada pelo conjunto de vigas que se cruzam, constituindo grelha e 
conseqüentemente, distribuindo os esforços e apresentando deformações menores. 
 
 
Figura 2 – Planta das vigas como grelha 
 
 
 
13 
 
 
2.1.2 Posicionamento dos pilares permitindo manobras dos veículos 
 
 
O ideal é que os pilares sejam posicionados de maneira a se situarem 
preferencialmente no encontro de vigas, mas por uma questão de viabilizar a entrada dos 
veículos na garagem do edifício, o posicionamento foi reestudado, obtendo-se como solução o 
uso do pilar de maneira mais afastada do veículo. 
 
Figura 3 - Posicionamento favorecendo manobras, solução estrutural 
 
 
Figura 4 - Posicionamento favorecendo manobras, solução arquitetônica 
14 
 
 
2.1.3 Sacadas projetadas para o exterior da edificação 
 
 
Neste caso, várias soluções podem ser idealizadas, pode ser feito uso de laje com 
bordo livre e engastada na viga de canto da edificação, ou usar vigas de contorno, conforme 
solução adotada e disposta na planta de fôrmas. 
Por questões arquitetônicas, as vigas terão altura de 50 cm, apesar de serem menos 
rígidas que as vigas que servem de apoio, para ocultar as instalações sanitárias. 
Procedimento análogo foi realizado às outras sacadas. 
 
 
 
 
15 
 
 
3 Materiais e durabilidade 
 
 
 
A classe de agressividade ambiental usada é a CAA II, de acordo com exigências da 
tabela 6.1 da NBR6118/03. Para esta CAA, segundo tabela 7.1 da norma, recomenda-se o uso 
de concreto C25 (fck = 25 MPa). 
Para as armaduras da edificação, adotou-se aço CA-50 (fyk = 50 kN/cm²). Exceção 
para as vigotas pré-fabricadas, onde foi feito uso de aço CA-60 (fyk = 60 kN/cm²) e concreto 
C20 (fck = 20 MPa). Tal decisão deveu-se ao fato de que as lajes pré-moldadas estão dispostas 
de maneira a estar protegida da ação da chuva e em ambiente predominantemente seco, por 
isso admite-se uma classe de agressividade mais branda. 
Para elementos pré-fabricados, a NBR6118/03 faz referência à NBR 9062/01 (norma 
que trata de elementos pré-moldados), no entanto, a NBR 14859-1/02 traz especificações mais 
rígidas para o caso de vigotas pré-fabricadas em concreto armado para lajes unidirecionais e 
quanto aos valoresrelativos aos cobrimentos das armaduras, recomenda para cobrimento, o 
valor mínimo de 1,0 cm, que foi efetivado para fins de dimensionamento. 
 A tabela 7.2 desta mesma norma recomenda para CAA II, cobrimento nominal (cmín + 
∆c) = 25 mm, onde ∆c =10 mm. Como a face superior das lajes recebe revestimento de 
argamassa de contrapiso, permite-se substituir as exigências desta tabela pelo disposto em 
7.4.7.4, onde para rigoroso controle de qualidade e de variações dimensionais (desde que 
explicitado nos desenhos de projeto), é possível adotar ∆c = 5 mm, assim o cobrimento 
mínimo a ser usado é 2,0 cm. A tabela 6.1 da NBR6118/2003 permite a adoção de um 
microclima com uma classe de agressividade mais branda para ambientes internos secos, no 
entanto, esta prática não foi usada para vigas e pilares situados no interior da edificação, para 
fins de padronização dos cobrimentos. 
Em todas as barras, assegurou-se que o cobrimento mínimo é maior que o diâmetro da 
maior barra da armação. 
Conforme item 7.4.7.6 desta norma, os agregados não podem ultrapassar Φmáx = 
1,20*cnom, isso fixa que os agregados devem ter diâmetro inferior a 2,4 cm para lajes. 
Considera-se para o concreto armado, peso específico (γ) de valor 25 kN/m³, para 
concreto simples e argamassa de contrapiso γ = 24 kN/m³, para revestimentos e alvenarias de 
tijolos maciços γ = 18 kN/m³ e para alvenarias de tijolos vazados γ = 13 kN/m³. 
Considerou-se para agregado graúdo, brita 0 (diâmetro entre 4,8 a 9,5 mm). 
16 
 
 
4 Dados gerais 
 
 
Este item trata de parâmetros de cálculo da NBR6118/03 usados no dimensionamento. 
Para evitar sua repetição a cada elemento estrutural dimensionado, estes são tratados uma 
única vez. Conforme item 8.2.5, a resistência média do concreto à tração é dada pela relação 
fct,m = 0,3*(fck)2/3 = 2,56 MPa. A norma define os valores inferiores e superiores a serem 
considerados: fctk,inf = 0,7*fct,m = 1,79 MPa e fctk,sup = 1,3*fct,m = 3,33 MPa. Ainda, conforme o 
item 19.4.1, fct,d = fctk,inf/γc = 1,28 MPa. 
Conforme item 8.2.8, o módulo de elasticidade inicial do concreto é dado por Eci = 
5600*fck1/2 = 28000 MPa, enquanto que o módulo de elasticidade secante é dado por 85% 
deste valor: 0,85*Eci = 23800 MPa. 
O coeficiente de ponderação das resistências dos materiais no ELU é dado pela tabela 
12.1 da NBR6118/03, onde γc=1,4 e γs=1,15, assim fcd = fck/1,4 = 17,86 MPa e fyd = fyk/1,15 = 
434,78 MPa. 
O item 8.3.5 traz que deve ser usado módulo de elasticidade 210 GPa (ou 210.000 
MPa) para o aço, quando na ausência de ensaios ou de valores fornecidos pelo fabricante. 
A relação entre os módulos de elasticidade (ou de deformação) longitudinal do aço e 
do concreto é 8,82
23800
210000
E
Es
α
cs
e === . 
De acordo com o item 17.3.5.2.1 da NBR6118/03, para fck=25 MPa e seções 
retangulares , ρmin=0,150%. 
 
 
17 
 
 
4.1 Estado limite de deformações excessivas 
 
A NBR6118/03 traz prescrições a respeito do estado limite de abertura de fissuras. 
Para o caso de concreto armado e CAA II, de acordo a tabela 13.3, com deve ser usada 
combinação freqüente de ações em serviço, sendo exigido que a abertura das fissuras seja 
0,3mm.w k ≤ 
A tabela 11.4 traz as combinações freqüentes de serviço, onde Fd,ser = 
ΣFgik+ψ1*Fq1k+Σψ2j*Fqjk. A tabela 11.2 traz para garagens ψ2=0,6 e para edifícios residenciais 
ψ2=0,3. 
Para o estado limite de serviço relativo a deformação excessiva, o item 17.3.2.1.2 trata 
do cálculo da flecha diferida no tempo para vigas de concreto armado. As lajes da escada 
podem ser tratadas como vigas de grande largura, portanto as considerações abaixo são 
válidas. Para tempo de escoramento t= 14 dias ou t= meses
30
14






, o coeficiente função do 
tempo ξ pode ser calculado pela equação ξ(t) = 0,68*(0,996t)*t0,32 quando t 70meses≤ . Da 
equação, ξ(14/30) = 0,53. 
Como ∆ξ= ξ(t)- ξ(t0), ∆ξ = 2 - 0,53 = 1,47. 
O fator αf é dado por 
ρ'*501
∆ξ
α f +
= , onde ρ’ é a taxa de armadura negativa, que é zero 
para lajes. Por isso, 1,47∆ξ.α f == . 
Ainda neste item, é citado que o valor da flecha total deve ser obtido da multiplicação 
entre a flecha imediata a0 por (1+αf). 
Para esta verificação é usada a combinação quase permanente de ações em serviço. 
 
18 
 
 
5 Pré-dimensionamento da estrutura 
 
 
A etapa de pré-dimensionamento dos elementos estruturais antecede o lançamento da 
estrutura no programa computacional. 
 
5.1 Lajes 
 
Adotou-se o critério definido por CARVALHO (2005), onde a espessura geralmente 
varia entre menor vão da laje por 60 ou por 40. Obviamente, para facilitar a execução, a 
espessura das lajes é sempre um valor múltiplo de 1 cm. 
 
5.2 Vigas 
 
Para pré-dimensionar as vigas, como estimativa o indicado por PINHEIRO (2005), 
onde a altura das vigas é dada por: 
• vão/12 no caso dos tramos internos da edificação; 
• vão/10 no caso dos tramos externos ou em vigas biapoiadas e; 
• vão/5 no caso de balanços. 
 
Obviamente, esta altura não é um valor final, é algo aproximado e é esperado que 
ocorram alterações, portanto é apenas uma estimativa inicial para viabilizar o 
dimensionamento. 
Inúmeras literaturas aconselham que diferentes valores de altura em uma mesma viga 
sejam evitados, pois podem ser fontes de erros durante a confecção das formas e das 
armaduras. Quando é usada apenas uma altura para diversos tramos de uma mesma viga, pode 
ocorrer o caso do uso da armadura dupla, pois um dos tramos pode estar submetido a 
solicitações muito superiores às dos outros tramos desta mesma viga. 
Algumas vezes, as alturas das vigas são aproximadas para valores mais convenientes, 
por exemplo, vigas mais carregadas têm sua altura aumentada enquanto que vigas menos 
solicitadas têm sua altura reduzida. 
Outras vezes, a altura da viga foi fixada em 50 cm, pois a viga tem finalidade de 
ocultar as instalações de água pluvial nas sacadas. 
19 
 
 
A NBR6118/03, no item 13.2.2 traz as dimensões limites para vigas, onde se encontra 
que não devem ser projetadas vigas com bw<12 cm, salvo em casos excepcionais. As vigas 
deste estudo possuem bw maior ou igual a 15 cm. 
 
5.3 Pilares 
 
 
O pré-dimensionamento dos pilares é realizado a partir do processo das áreas de 
influência, conforme recomenda PINHEIRO (2003). Cada pilar é responsável por suportar a 
carga referente à determinada superfície ou área de influência “A”, dada em m². 
O autor orienta que a quanto melhor a distribuição das cargas e dos vãos e quanto mais 
uniforme são os alinhamentos dos pilares, maior a precisão deste processo, sendo que o pré-
dimensionamento pode conduzir a valores muito distantes da realidade em determinadas 
situações, por isso apenas o dimensionamento determina as dimensões corretas dos pilares. 
Para pré-dimensionar um pilar, é calculada a área de influência, que é encontrada a partir das 
dimensões dos retângulos que são calculadas conforme as condições: 
 
• Se o pilar for de extremidade e de canto, na direção da sua menor dimensão, o lado 
mede 0,5L, onde “L” é a distância entre dois pilares. Na direção de sua maior 
dimensão, o lado mede 0,5L. 
• Se o pilar estiver ao lado do pilar de canto, na direção dos eixos entre estes pilares, o 
pilar de extremidade é responsável por suportar 0,55L. 
• Nos demais casos, de pilares de centro ou de extremidade, cada pilar suporta retângulo 
formado por metade do vão entre os eixos dos pilares. 
A figura abaixo ilustra o processo: 
 
 
Figura 5 - Áreas de influência dos pilares 
20 
 
 
As dimensões dos pilares variam conforme sua posição, em virtude das 
excentricidades de cargas, por isso é inserido um fator que tem por objetivo levar em 
consideração estas excentricidades, é o coeficiente de majoração da força normal “α”, 
determinadopor: 
 
• α = 1,3 se o pilar for interno ou de extremidade, na direção de sua maior dimensão. 
• α = 1,5 se o pilar for de extremidade, na direção da menor dimensão. 
• α = 1,8 se o pilar for de canto. 
 
O uso destes valores leva à obtenção da área de influência “A” e do coeficiente “α”, 
que quando inseridos na expressão abaixo, fornecem a área da seção de concreto necessária 
“Ac”: )f-(69,2*0,01f
0,7)(n*A**30A
ckck
c +
+α
= (cm²), onde 
fck é o valor da resistência a compressão característica do concreto em kN/cm² (25 
MPa equivalem a 2,5 kN/cm²). 
n é o número de pavimentos tipo que o pilar suporta, a cobertura é considerada pelo 
termo (n+0,7), supondo que a cobertura tenha carga referente a 70% da carga dos andares 
tipo. Para fins de simplificação, visto que os valores das dimensões dos pilares são apenas 
estimativas iniciais, os pilares que se prolongam até o pavimento “Salas comerciais” têm suas 
dimensões aumentadas, por isso foi adotado n=3 para todos os pilares. 
Obviamente, essa fórmula deve ser ajustada para o caso dos pilares que suportam as 
caixas de água. Os pilares são todos retangulares de Ac=b * h, sendo preferencialmente bw = 
15 cm. Para atender ao requisito de área mínima de seção transversal de 360 cm² prevista na 
NBR6118/03, item 13.2.3, o outro lado deve possuir dimensão mínima 25 cm. Sob hipótese 
alguma é correto dimensionar um pilar com a menor dimensão inferior a 12 cm. O 
procedimento é realizado em planilha eletrônica e ocultado deste relato para tornar a leitura 
do trabalho menos cansativa, dada a quantidade de pilares. O mesmo é realizado para as lajes 
maciças e pré-moldadas. 
Algumas das dimensões mostram-se exageradas. Isso foi corrigido aplicando a 
determinados pilares, menor lado maior que 15 cm e ajustando na expressão para obtenção do 
valor do maior lado. Da observação que a área mínima de seção transversal dos pilares deve 
ser maior ou igual a 360 cm² e que é prática fixar os lados em múltiplos de 5 cm, depreende-
se que para o caso de pilares de seção transversal quadrada, a dimensão mínima é 20*20 cm. 
21 
 
 
6 Lançamento estrutural e modelo de cálculo 
 
 
 Depois de pré-dimensionada, os dados são lançados no programa computacional, onde 
alguns cuidados devem ser atentados, ou seja, não devem ser inseridos valores incorretos, as 
unidades devem estar compatíveis entre si. Recomenda-se que a entrada de dados seja 
realizada sobre uma arquitetura de bastante clareza e precisão, que conste apenas as 
informações necessárias ao lançamento estrutural. 
 O programa computacional oferece recurso que permite fixar as seções de pilares e 
vigas. Para as vigas, pode ser necessário aumentar a seção transversal na largura, é indesejado 
que a estrutura fique aparente no lado externo da edificação. A arquitetura implica em um 
posicionamento do pilar que difere daquele imposto pelos nós da estrutura, isso gera 
momentos de excentricidade, que são considerados no dimensionamento dos pilares. 
Para auxiliar no dimensionamento da estrutura, usou-se o programa AltoQi Eberick 
V5, com os módulos master, fôrmas, escadas e fundações. 
 
22 
 
 
6.1 Cargas 
 
 A carga é devido a cargas permanentes e a cargas acidentais (ou variáveis) e segue as 
recomendações da NBR6120/1980. As cargas permanentes são devidas ao peso próprio da 
estrutura, ao revestimento e a carga extra, (como por exemplo, peso de paredes, da cobertura e 
das caixas de água). Em situações onde uma laje abrange dois recintos de diferentes cargas, 
adota-se o maior delas. 
 As cargas permanentes lineares (de parede) são lançadas sobre as lajes, sendo que nas 
situações onde existe uma viga diretamente abaixo da parede, considera-se a carga linear 
apenas nas vigas, não entrando a carga linear na carga das lajes. Serão descontadas as 
aberturas na fachada, uma vez que esses alívios de cargas caracterizam vantagem nas 
fachadas, onde não são permitidas mudanças arquitetônicas. Para as muretas da escada, 
sacada, área de serviço e platibandas, considera-se que tenham altura 1,10 m. 
 
6.1.1 Carga na laje do térreo 
 
O método construtivo consiste em fazer contrapiso diretamente sobre o solo, usando 
compactação mecânica com equipamento específico (chamado “sapo”). É um compactador 
mecânico de menores dimensões. Depois que o solo é compactado, dispõe-se camada de 
contrapiso diretamente sobre ele. Esta camada é uma laje e não consiste em um caso de 
flexão, mas em um caso de compressão. É adotada espessura 10 cm e para minimizar 
inconvenientes como a fissuração, é usada malha de aço de bitola 4,8 mm a cada 15 cm. 
 
6.1.2 Carga na laje da garagem 
 
Usou-se carga permanente de revestimento: 0,05 m * 24 kN/m³ = 1,20 kN/m². 
Considerando que a edificação é destinada a uso como edificação, é esperado que os veículos 
estacionados nos boxes de garagem tenham peso inferior a 25 kN/veículo (equivalente a 
aproximadamente 2,5 toneladas-força), a norma recomenda neste caso que a carga acidental 
tenha valor 3,0 kN/m². 
O projeto arquitetônico traz que as paredes do contorno da garagem são em alvenaria 
de tijolo até altura de 1,50 m, sendo que a partir daí devem ser assentados tijolos vazados, 
com intuito de garantir a área de ventilação exigida pelo código de obras da cidade. Adota-se 
para fins de dimensionamento, que o contorno possui paredes de altura 2,50 m confeccionadas 
23 
 
 
em alvenaria convencional, conforme os outros pavimentos, prevendo futura solução 
arquitetônica mais sofisticada no caso de substituição dos segmentos de tijolos vazados. 
 
6.1.3 Carga na laje dos andares tipo 
 
Usou-se carga permanente de revestimento cerâmico: 18 kN/m³ * 0,01 m + 24 kN/m³ 
* 0,05 m = 1,38 kN/m². A carga acidental varia de acordo com o ambiente: 
 
Ambiente 
Carga acidental 
(kN/m²) 
Sala de estar ou jantar, banheiro, cozinha, 
dormitórios 
1,5 
Balcões e sacadas (mesma carga da peça que se comunicam) 
Área de serviço e corredores sem acesso ao 
público (dentro dos apartamentos) 
2,0 
Terraços (estes sem acesso ao público), caso do 
poço de luz, pavimento “Tipo1“ 
2,0 
Corredores com acesso ao público (casos do 
corredor, na frente da escada) e escada 
3,0 
 
Quadro 1 - Ambientes e suas cargas acidentais 
 
 
6.1.4 Carga na cobertura 
 
A carga extra (considerada permanente), devida ao peso próprio do telhado de 
fibrocimento com estrutura de madeira tem valor 0,4 kN/m², conforme recomenda GIONGO 
(2007). 
Para regularizar a laje, estima-se 0,05 m*24 kN/m³ = 1,20 kN/m². A carga acidental é 
0,5 kN/m², conforme orienta a norma para terraços inacessíveis a pessoas. 
 
6.1.5 Carga no reservatório 
 
As caixas de água são dispostas sobre estrados de madeira, para viabilizar a instalação 
da parte hidráulica, a carga pode ser considerada uniformemente distribuída sobre a superfície 
das lajes que suportam este estrado. As lajes L1, L2 e L3 suportam as caixas de água (de 
diâmetro interno 2,00 m e diâmetro externo 2,65 m). 
24 
 
 
Dessa forma, dois reservatórios de fibrocimento, com 10.000 litros cada, portanto 
20.000 kgf mais 300 kgf devidos ao peso próprio das caixas de água e material das instalações 
hidráulicas, distribuídos em uma superfície igual a 14,85 m², resultam em 1367 kgf/m², o 
equivalente a 13,67 kN/m². 
A carga permanente de revestimento resulta 14,87 kN/m². 
A carga acidental usada é 0,50 kN/m. 
A laje L4 não suporta as caixas de água, por isso é dimensionada para suportar a carga 
permanente referente ao contrapiso e a carga acidental de 0,5 kN/m², prevendo futuras 
manutenções neste local. 
 
25 
 
 
7 Dimensionamento das lajes 
 
 
Descrevem-se abaixo os critérios usados no dimensionamento das lajes pré-moldadas 
com vigotas do tipo trilho e das lajes maciças. 
 
7.1 Lajespré-moldadas 
 
As lajes são nomeadas por βn, onde n é um número inteiro que é dado pela soma das 
alturas do material cerâmico com a espessura do capeamento de concreto, ambas na unidade 
centímetros. 
A figura abaixo mostra seção de concreto da vigota, das tavelas, indicação do intereixo 
(é a distância entre eixos de vigotas pré-fabricadas) e posicionamento. Mostra também, em 
linha preta, projeção de onde se situa a capa de concreto, que não foi desenhada para melhor 
destacar o esquema de assentamento das tavelas. 
A perspectiva foi desenvolvida pelo acadêmico em ambiente CAD-3D, usando 
AutoDesk AutoCad versão 2006 ®. 
 
Figura 6 – Dimensões e colocação de laje pré-moldada 
 
 As vigotas dimensionadas podem ser visualizadas nos anexos em “Quadro resumo: 
vigotas pré-fabricadas”. O quadro abaixo relaciona o tipo de laje com a espessura do 
revestimento cerâmico, da capa de concreto a ser empregada e os valores totais. 
 
26 
 
 
Laje 
 
# revestimento cerâmico 
(cm) 
# capa de concreto 
(cm) 
# total da laje 
(cm) 
β 10 7 3 10 
β 11 7 4 11 
β 12 8 4 12 
β 14 10 4 14 
β 16 12 4 16 
β 20 15 5 20 
 
Quadro 2 - Lajes pré-moldadas ββββn 
 
 É recomendado que seja dada atenção para eventuais problemas com puncionamento, 
para as lajes de capa de pequena espessura (3 cm), por esse motivo, este estudo não traz 
dimensionamento de lajes β10. 
Como as lajes pré-moldadas deste estudo são lajes com nervuras unidirecionais, no 
momento do posicionamento das vigotas, em geral, a colocação é feita na direção do menor 
comprimento da laje. Os materiais usados são definidos no item 3 - Materiais e durabilidade. 
É comum nas vigotas tipo trilho que cada barra de aço exceda 5 cm em cada 
extremidade das vigotas para proporcionar a ancoragem depois da montagem da laje. 
O dimensionamento e os critérios executivos (eventualmente citados neste trabalho) 
seguem as recomendações da NBR14859-1/02. Segundo esta norma, o intereixo mínimo (imín) 
para vigotas de concreto armado é 33 cm. O intereixo usado é 39 cm, pois leva em 
consideração a não-uniformidade do elemento de enchimento e falhas executivas. Ainda 
segundo esta norma, no item 5.3 deve ser assegurado espessura de capa de concreto de 2 cm 
acima de eventuais tubulações. 
 
Figura 7 - Dimensões adotadas 
 
27 
 
 
7.1.1 Cargas 
 
O valor do peso próprio para os diversos tipos de lajes foi feito segundo pesquisa na 
mesma obra a qual se refere o projeto estrutural, ali foram adquiridas as medidas do material 
cerâmico de enchimento e das vigotas, para cálculo de seu volume e posteriormente, do peso 
próprio. 
O quadro abaixo traz os valores de peso próprio calculados manualmente, em paralelo 
com os valores usados por DI PIETRO (2000). Conforme observado, os valores variam em 
menos de 20%, dado que os valores consultados referem-se ao mesmo tipo de laje e 
resultaram menos elevados, para fins de dimensionamento, adotaram-se os valores 
consultados. 
 
Laje 
Peso 
vigotas 
(kN) 
Área 
capa 
( cm²) 
Volume 
capa 
( cm³) 
Peso 
capa 
(kN) 
Área 
tavela 
( cm²) 
Volume 
tavela 
(m³) 
Peso 
tavelas 
(kN) 
Área: 
atuação 
(m²) 
Peso 
conjunto 
(kN) 
Carga 
(kN/m²) 
DI 
PIETRO 
(kN/m²) 
β10 0,3065 415,80 41580 1,040 114,64 0,00229 0,6191 1,14 1,9650 1,72 1,72 
β11 0,3065 529,35 52935 1,323 114,64 0,00229 0,6191 1,14 2,2489 1,97 1,65 
β12 0,3065 529,35 52935 1,323 131,02 0,00262 0,7075 1,14 2,3373 2,05 1,75 
β14 0,3065 529,35 52935 1,323 163,77 0,00328 0,8844 1,14 2,5142 2,21 1,95 
β16 0,3065 529,35 52935 1,323 196,53 0,00393 1,0612 1,14 2,6911 2,36 2,10 
β20 0,3065 642,90 64290 1,607 245,66 0,00491 1,3265 1,14 3,2402 2,84 2,50 
 
Quadro 3 - Peso próprio: Laje pré-moldada 
 
 
7.1.2 Estado limite último de flexão 
 
Para exemplo de cálculo, dimensiona-se a vigota com carga sobreposta 3,00 kN/m² e 
armadura 2 Ø 6,0 mm, da laje pré-moldada de tipo β11 (7 cm+4 cm). 
A carga sobreposta (g2) é a soma de todas as cargas que não constituem peso próprio 
da laje sem revestimento (g1). Cargas referentes aos revestimentos devem ser considerados na 
composição de g2. 
A soma das cargas g1 e g2 são dadas por p (kN/m²). 
Conforme “Quadro resumo: vigotas pré-fabricadas”, a área de aço (As) é dada, em 
cm². Para o caso, As = 0,5655 cm²/nervura. O dimensionamento é feito por nervuras, poderia 
ter sido optado por fazê-lo por metro, no entanto, fez-se assim por questões de simplicidade. 
28 
 
 
A tensão resistente de cálculo do aço CA-60 é dada por 
Pa521739,15k
1,15
600MPa
γ
f
f
s
yk
yd === . 
A tensão resistente de cálculo do concreto C20 é dada por 
a14285,71kP
1,40
20MPa
γ
ff
c
ck
cd === . 
A profundidade x da linha neutra é dada por 
0,7788cm.0,007788m
i*0,8*f*0,85
f*As
x
cd
yd
=== 
A espessura da capa de concreto da laje é 4 cm, como a profundidade da linha neutra 
não ultrapassa este valor, a linha neutra está contida no interior da capa de compressão de 
concreto, o que significa que a seção se comporta como uma viga retangular. 
A seção transversal adotada para cálculo é uma seção T, onde bw=4 cm (considera-se 
esta seção, pois o comprimento 8 cm na base é dado para viabilizar o apoio do material de 
enchimento) e bf é a largura colaborante (considerando caso de simplesmente apoiada) que 
assume o valor do intereixo: 39 cm. Algumas informações sobre a geometria podem ser 
observadas na figura 14.2 da NBR6118/03. 
O valor da altura útil é: d = hcapa – cobrimento-0,5*Ø, d=11,0-1,0-0,5*0,6=9,70 cm. 
Assim, x/d = 0,08 e a seção trabalha no domínio 2 de deformações, portanto, εs = 
10‰. 
O momento de cálculo máximo que a seção resiste é dado por: 
m*2,77kN
x*0,4d
f*A
M ydsd =
−
= . O momento característico é Mk = Md/1,4 = 1,98 kN*m. 
A carga por nervura, (intereixo igual a 39 cm), é p * i = 4,65 kN * m * 0,39 m, 
resultando 1,81 kN/m. 
Para o caso de viga bi apoiada, 
8
L²*qM = , assim o vão máximo é 
.m 2,95
q
8*ML == 
 
29 
 
 
7.1.3 Verificação do estado limite de serviço 
 
 
7.1.3.1 Deformação excessiva 
 
Segundo a tabela 13.1 da NBR6118/03, o deslocamento limite admitido é L / 250, ou 
seja: 2,95 m / 250 = 0,012 m = 1,20 cm. 
O módulo de elasticidade secante do concreto é Ecs = 4760*(fck)^0,5, fck em MPa. 
Assim, Ecs = 21287367,15 kPa. 
O coeficiente αe vale 9,865.
a21287,37MP
210000MPa
E
E
 α
cs
s
e === 
Em serviço, no estádio II, deve ser considerada a hipótese de seção fissurada, para isso 
é calculado altura da linha neutra no estádio II (xII), uma vez que bw = 4 m e As = As,ef. 
No estádio II a seção está fissurada e 
( )
=
+±
=
w
sew
2
sese
II b
A*α*d*b*2A*αA*α-
x 2,23 cm 
Considera-se seção retangular: 4IIse
3
II
II0x, 455,11cmd)²(x*A*α3
x*bw
I =−+= . 
A área da seção transversal de cálculo T é 189,01 cm. 
A distância entre o CG da seção até a fibra mais solicitada é 
=
+





=
A
2
²h
*b
2
²h
*)b-(b
y
w
f
wf
t 4,30 cm. O momento de inércia da seção T bruta de 
concreto é 1580,14 cm4. O momento de fissuração é 
t
cm,ct
r y
I*f*
M
α
= . Para seções T, α = 
1,2. Portanto, 
t
cm,ct
r y
I*f*
M
α
= =0,68 kN*m. 
Assim, ccsII
3
a
r
c
3
a
r
cseq I*EI*M
M1I*
M
M
*E(EI) ≤






















−+





= = 106,71 kN*m². 
A flecha imediata é 
eq
4
yserviço
0 (EI)
l*p
*
384
5
a = =
eq
4
y21
(EI)
l*0,4)*q)(g(g
*
384
5 ++
= 
026,0
106,71
2,95*3,00)*0,4(1,65
*
384
5
a
4
0 =
+
= cm = 0,26 mm. A flecha diferida no tempo leva 
emconsideração a fluência e é dada por af=a0*2,47=0,26 cm * 2,47 = 0,64 cm. 
30 
 
 
Se o deslocamento limite fixado por norma for menor ou igual a este valor, é válido o 
vão máximo calculado anteriormente, caso contrário, novo vão máximo é calculado, levando 
em consideração a rigidez axial equivalente. 
 
7.1.3.2 Estado limite último – Força cortante 
 
 Na verificação ao cisalhamento, Vsd é o esforço cortante solicitante de cálculo: 
2
L*i*p
V máxsd = = 2,68 kN e VRd1 é o esforço cortante resistente de cálculo: VRd1 = 3,22 kN, 
que leva em consideração uma série de parâmetros conforme item 19.4.1 da NBR6118/03. 
 Como VRd1> Vsd, a situação está de acordo, caso contrário, é necessário alterar a 
armadura, aumentar a altura da laje ou usar armadura transversal. 
 Uma importante prescrição normativa é que ao menos 50% das barras da armadura 
longitudinal sejam levadas ao apoio. Executivamente deve haver duas barras levadas ao apoio 
e excedendo um pouco seu comprimento. Os vigotes calculados possuem no máximo 4 barras, 
portanto, em todos os casos, serão levadas duas barras aos apoios. 
31 
 
 
7.2 Lajes maciças 
 
Assim como os outros elementos estruturais, as lajes são dimensionadas de acordo 
com os critérios da NBR6118/03. 
Estruturalmente, pode-se discretizar as lajes maciças como placas constituídas de 
concreto armado, conforme o item 14.4.2.1 desta norma pode-se assim entendê-las, pois as 
dimensões comprimento e largura são preponderantes em relação à dimensão espessura, e as 
ações atuam perpendicularmente ao plano que contém o comprimento e a largura. Este estudo 
traz pavimentos, cujas lajes constituintes se apóiam em vigas, situadas nos contornos das 
lajes. 
A partir do pré-dimensionamento, os valores das espessuras das lajes são arbitrados 
obedecendo aos limites mínimos que a norma recomenda para lajes maciças. Quando 
necessário, conforme as condições impostas pelo dimensionamento, os valores são corrigidos. 
O item 13.2.4.1 desta mesma norma recomenda os limites mínimos para espessura das 
lajes maciças. Neste estudo, usou-se 5 cm para lajes de cobertura não em balanço, 7 cm para 
lajes de piso e 10 cm para as lajes da garagem e da rampa, uma vez que elas suportam 
veículos de peso total menor ou igual a 30 kN (equivalente a 3000kgf ou 3tf). As plantas de 
fôrmas estão dispostas junto aos anexos. 
Define-se 
lx
ly
=λ , onde lx é sempre o menor vão. Quando λ for menor ou igual a 2, a 
laje “trabalha” em duas direções, por isso o tipo de armação é bidirecional, diz-se então que a 
laje é bidirecional, a menor direção é chamada de direção principal e a maior direção é 
chamada de direção secundária. Caso λ seja maior que 2, a laje “trabalha” na direção do 
menor vão e é unidirecional, sendo colocada armadura de distribuição de esforços na outra 
direção (direção secundária). 
Executivamente, as lajes e vigas são concretadas juntamente, constituindo uma peça 
única, sendo válida a consideração da compatibilização de deformações, pois há o 
monolitismo da estrutura. No entanto, para efeito de dimensionamento, considera-se que as 
lajes estejam simplesmente apoiadas nas vigas dos contornos. 
Neste estudo usou-se a teoria das linhas de ruptura, que surgiu da identificação da 
maneira com que as lajes atingem o estado de ruína, consiste em aumentar progressivamente a 
carga das lajes até que se iniciem as linhas de plastificação, que irão materializar as linhas de 
ruptura, sendo que estas definem as áreas das charneiras plásticas. Esse assunto é abordado 
nos itens 14.6.5 e 14.7.4 da norma. 
 
32 
 
 
Os vãos efetivos das lajes são avaliados conforme orientação desta norma no item 
14.7.2.2, lef = l0 + a1 + a2, onde l0 é o comprimento do vão de laje limitado pelas vigas (em 
toda edificação deste estudo não se fez uso de lajes com bordo livre) e a1 e a2 são 
determinados pelas considerações da figura 14.5, onde nota-se que “h” é a espessura da laje e 
“t” é o comprimento do apoio. 
Para facilitar a compreensão dos procedimentos de dimensionamento, é demonstrado 
minuciosamente o dimensionamento da laje L45, do pavimento Tipo 3. As rampas incluem-se 
neste mesmo tipo de dimensionamento. 
 
7.2.1 Vãos efetivos 
 
Esta laje possui dimensões de vão livre Lx e Ly, onde Lx é o menor vão. 
Do projeto de fôrmas, a partir da definição das lajes, infere-se que Lx=300 cm e 
Ly=430 cm. 
 
 
Figura 8 - Vãos efetivos de lajes 
 
 
Neste mesmo item, a norma recomenda que 


≤
1t*0,5
h*0,3
a1
 e 


≤
2t*0,5
h*0,3
a2
. 
Para estes níveis de solicitação, vãos e vinculações, não é esperado que alguma laje 
resulte em espessura maior que 16 cm (16 cm*0,3 = 4,8 cm) e considerando que os apoios são 
todos de comprimento superior a 10 cm (10 cm*0,5 = 5,0 cm), neste estudo o comprimento a1 
será limitado pelo comprimento dos apoios. 
Para dimensionamento das lajes, elaborou-se planilha que traz informações sobre que 
pavimento estão sendo efetuados os cálculos, os comprimento l0 das lajes, definidos por Lx e 
Ly, onde Lx é o menor vão e Ly é o maior vão. A partir da estimativa da espessura da laje, 
são obtidos os valores de lx e ly. 
33 
 
 
Na direção x (direção do menor vão): 



≤
1
1 t*0,5
h*0,3
a 



=
=
≤
7,5cm15*0,5
2,1cm7*0,3
a1 
a1 = 2,1 cm. 



≤
1
2 t*0,5
h*0,3
a 



=
=
≤
7,5cm15*0,5
2,1cm7*0,3
a1 
a2 = 2,1 cm 
lx = Lx + a1 + a2 = 2,1+300+2,1 = 304,2 cm 
 
Na direção y (direção do menor vão): 



≤
1
1 t*0,5
h*0,3
a 



=
=
≤
7,5cm15*0,5
2,1cm7*0,3
a1 
a1 = 2,1 cm. 



≤
1
2 t*0,5
h*0,3
a 



=
=
≤
7,5cm15*0,5
2,1cm7*0,3
a1 
a2 = 2,1 cm 
ly = Ly + a1 + a2 = 2,1+430+2,1 = 434,2 cm 
242,1
2,304
2,434
lx
ly
<===λ , por isso a laje bidirecional. 
Para as lajes bidirecionais, usou-se o método elástico da teoria da elasticidade. A 
determinação dos esforços nas lajes segundo essa teoria, é trabalhosa. Por esse motivo, foram 
elaboradas tabelas que permitem a obtenção de coeficientes que são usados em fórmulas e 
permitem a determinação dos momentos fletores e flechas, para isso é necessário informar a 
condição de vinculação e a relação entre os vãos das lajes. Obviamente, as lajes são tratadas 
por placas maciças, por conseguinte, estão separadas umas das outras, ou seja, são tratadas de 
maneira individual. 
34 
 
 
As tabelas usadas foram transcritas de CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO, a partir 
dos estudos de BARES, 1972. 
 
7.2.2 Vinculação das lajes 
 
As lajes são vinculadas entre si. Neste estudo, a vinculação dos lados da laje pode ser 
um apoio ou um engaste. Considera-se apoio quando a viga que suporta a laje é uma viga 
perimetral da edificação, ou quando no interior do pavimento, houver diferença de nível 
apreciável entre as lajes rebaixadas. 
Quando mais 67% da laje estar em continuidade com laje adjacente, com 
compatibilidade de rotação, ali haverá um engaste, caso contrário será apoio. 
Para uso das tabelas deste estudo, as lajes são classificadas em nove casos: 
• Caso 1: Totalmente apoiada. 
• Caso 2: Engaste no menor lado e apoio nos outros lados. 
• Caso 3: Engaste no maior lado e apoio nos outros lados. 
• Caso 4: Engaste em no maior e no menor lado. 
• Caso 5: Engastes nos menores lados e apoio nos maiores lados. 
• Caso 6: Engaste nos maiores lados e apoio nos menores lados. 
• Caso 7: Apoio no maior lado e engaste nos outros lados. 
• Caso 8: Apoio no menor lado e engaste nos outros lados. 
• Caso 9: Totalmente engastada. 
 
 Esta laje (L45) enquadra-se no caso 7. A figura abaixo mostra as vinculações da laje 
L45 e das outras que estão “envolvidas” em seu dimensionamento.A vinculação das outras 
lajes pode ser inferida a partir de quadro que traz as reações das lajes nas vigas, destacado no 
decorrer deste estudo. Nesta figura, os contornos com apenas uma linha representam lados 
apoiados, enquanto que o contorno com linhas inclinadas representa os lados engastados. 
 
35 
 
 
L37
h=7
L45
h=7
L44
h=7
L42
h=8
 
Figura 9 - Vinculações nas lajes maciças 
 
 
 Para o caso de lajes unidirecionais, adotou-se a nomenclatura: 
• aa: apoio-apoio, 
• ae: apoio-engaste ou engaste-apoio, 
• ee: engaste-engaste. 
 
 O quadro abaixo traz para o pavimento Tipo 3, as lajes, a espessura efetiva (já depois 
das diversas tentativas, oriundas do dimensionamento), seus vãos arquitetônicos, tipo de 
armação, caso para uso nas tabelas e cargas usadas. 
 
Pavimento Laje h Lx Ly λ Armação Caso gpp grev gext gtot q 
(cm) (cm) (cm) (kN/m²) (kN/m²) (kN/m²) (kN/m²) (kN/m²) 
Tipo 3 L1 7 285 440 1,54 Bidirecional 4 1,75 1,38 0,00 3,13 1,50 
Tipo 3 L2 7 125 285 2,24 Unidirecional aa 1,75 1,38 0,00 3,13 1,50 
Tipo 3 L3 7 145 285 1,94 Bidirecional 1 1,75 1,38 2,76 5,89 1,50 
Tipo 3 L4 7 280 285 1,02 Bidirecional 2 1,75 1,38 0,00 3,13 1,50 
Tipo 3 L5 8 300 535 1,77 Bidirecional 4 2,00 1,38 1,00 4,38 1,50 
Tipo 3 L6 7 290 375 1,29 Bidirecional 8 1,75 1,38 0,00 3,13 1,50 
Tipo 3 L7 7 100 290 2,82 Unidirecional ee 1,75 1,38 0,00 3,13 2,00 
Tipo 3 L8 7 290 410 1,41 Bidirecional 7 1,75 1,38 2,57 5,70 2,00 
Tipo 3 L9 7 230 440 1,90 Bidirecional 9 1,75 1,38 0,00 3,13 1,50 
36 
 
 
Pavimento Laje h Lx Ly λ Armação Caso gpp grev gext gtot q 
(cm) (cm) (cm) (kN/m²) (kN/m²) (kN/m²) (kN/m²) (kN/m²) 
Tipo 3 L10 9 385 535 1,38 Bidirecional 4 2,25 1,38 2,36 5,99 2,00 
Tipo 3 L11 8 275 440 1,59 Bidirecional 7 2,00 1,38 1,22 4,60 2,00 
Tipo 3 L12 7 30 300 8,89 Unidirecional ae 1,75 1,38 0,00 3,13 1,50 
Tipo 3 L13 7 95 300 3,07 Unidirecional ae 1,75 1,38 2,76 5,89 1,50 
Tipo 3 L14 7 300 380 1,26 Bidirecional 8 1,75 1,38 0,00 3,13 1,50 
Tipo 3 L15 7 300 410 1,36 Bidirecional 9 1,75 1,38 2,01 5,14 2,00 
Tipo 3 L16 7 230 550 2,37 Unidirecional ae 1,75 1,38 0,00 3,13 3,00 
Tipo 3 L17 7 30 300 8,89 Unidirecional ae 1,75 1,38 0,00 3,13 1,50 
Tipo 3 L18 7 95 270 2,76 Unidirecional ae 1,75 1,38 2,76 5,89 1,50 
Tipo 3 L19 7 270 380 1,40 Bidirecional 8 1,75 1,38 0,00 3,13 1,50 
Tipo 3 L20 7 270 410 1,51 Bidirecional 9 1,75 1,38 0,00 3,13 1,50 
Tipo 3 L21 7 265 280 1,06 Bidirecional 7 1,75 1,38 0,00 3,13 1,50 
Tipo 3 L22 7 265 330 1,24 Bidirecional 4 1,75 1,38 1,63 4,76 2,00 
Tipo 3 L23 7 285 290 1,02 Bidirecional 8 1,75 1,38 0,00 3,13 1,50 
Tipo 3 L24 7 185 285 1,53 Bidirecional 9 1,75 1,38 2,90 6,03 2,00 
Tipo 3 L25 7 285 410 1,43 Bidirecional 7 1,75 1,38 2,90 6,03 2,00 
Tipo 3 L26 7 90 230 2,49 Unidirecional ee 1,75 1,38 0,00 3,13 3,00 
Tipo 3 L27 9 280 415 1,47 Bidirecional 9 2,25 1,38 0,00 3,63 1,50 
Tipo 3 L28 7 280 330 1,18 Bidirecional 8 1,75 1,38 0,00 3,13 1,50 
Tipo 3 L29 7 270 395 1,46 Bidirecional 8 1,75 1,38 0,00 3,13 1,50 
Tipo 3 L30 7 270 300 1,11 Bidirecional 8 1,75 1,38 1,99 5,12 1,50 
Tipo 3 L31 7 150 270 1,78 Bidirecional 7 1,75 1,38 1,99 5,12 3,00 
Tipo 3 L32 7 120 330 2,69 Unidirecional ee 1,75 1,38 1,63 4,76 2,00 
Tipo 3 L33 7 55 120 2,10 Unidirecional ae 1,75 1,38 0,00 3,13 1,50 
Tipo 3 L34 7 30 265 7,87 Unidirecional ae 1,75 1,38 0,00 3,13 1,50 
Tipo 3 L35 7 95 265 2,71 Unidirecional aa 1,75 1,38 2,76 5,89 1,50 
Tipo 3 L36 7 265 285 1,07 Bidirecional 8 1,75 1,38 0,00 3,13 1,50 
Tipo 3 L37 7 265 430 1,61 Bidirecional 9 1,75 1,38 0,00 3,13 1,50 
Tipo 3 L38 11 90 305 3,23 Unidirecional ae 2,75 1,38 0,00 4,13 2,00 
Tipo 3 L39 8 280 290 1,04 Bidirecional 8 2,00 1,38 0,00 3,38 1,50 
Tipo 3 L40 7 120 330 2,69 Unidirecional ee 1,75 1,38 1,63 4,76 2,00 
Tipo 3 L41 7 55 120 2,10 Unidirecional ae 1,75 1,38 0,00 3,13 1,50 
37 
 
 
Pavimento Laje h Lx Ly λ Armação Caso gpp grev gext gtot q 
(cm) (cm) (cm) (kN/m²) (kN/m²) (kN/m²) (kN/m²) (kN/m²) 
Tipo 3 L42 8 305 475 1,55 Bidirecional 4 2,00 1,38 1,13 4,51 2,00 
Tipo 3 L43 7 315 330 1,05 Bidirecional 3 1,75 1,38 0,00 3,13 1,50 
Tipo 3 L44 7 300 340 1,13 Bidirecional 4 1,75 1,38 1,84 4,97 1,50 
Tipo 3 L45 7 300 430 1,43 Bidirecional 7 1,75 1,38 2,00 5,13 1,50 
Tipo 3 L46 7 145 280 1,90 Bidirecional 1 1,75 1,38 2,76 5,89 1,50 
 
Quadro 4 – Laje maciça, lef , tipo de armação, caso da laje para uso nas tabelas e cargas 
 
7.2.3 Ações nas lajes 
 
Como este item já foi abordado, demonstram-se rapidamente os procedimentos para a 
laje L45. 
A carga das lajes pode ser permanente ou variável (acidental). A carga extra é 
incorporado a carga permanente, conforme salientado anteriormente. 
Para a laje L45: 
Para uso das tabelas deste estudo, as lajes são classificadas em nove casos: 
• gpp (peso próprio da laje): é dado por h*pp_g γ= , onde γ é o peso específico do 
concreto armado 
³m
kN25CA =γ e h é a espessura da laje, para o caso h=7 cm. Assim 
.
²m
kN75,1m07,0*
³m
kN25g PP == 
• grev (peso próprio do revestimento e forro do andar inferior): é o correspondente a 5 
cm de contrapiso e 1 cm de revestimento cerâmico: 
.
²m
kN38,1m01,0*
³m
kN18m05,0*
³m
kN24g rev =+= 
• gext (peso próprio extra): nesta laje, há 4,80 m de parede, como é uma laje bidirecional, 
admite-se que o peso da parede esteja uniformemente distribuído ao longo da laje: 
.
²m
kN00,2
m30,4*m00,3
³m*)75,2*15,0*80,4(*
³m
kN13
L*L
Volume*g
yx
ext ==
γ
= 
• gtot (soma das parcelas permanentes): gpp + grev + gext = 1,75+1,38+2,00 = 5,13 kN/m². 
• q (carga acidental): 
²m
kN50,1 para dormitórios, conforme NBR6120/80. 
• p é a soma de gtot + q. 
• pd é a carga de cálculo, dada por 1,4*p, ações majoradas no ELU. 
38 
 
 
• pd,ser (1ª cond.) é a carga de serviço na primeira condição de verificação de flecha. 
Ψ2=0,3 para edifícios residenciais. Se fosse um edifício comercial, é pressuposta elevada 
concentração de pessoas, então Ψ2=0,4. Para as lajes do pavimento garagens, Ψ2=0,6. 
• pd,ser (2ª cond.) é a carga de serviço na segunda condição de verificação de flecha, usa-
se pd,ser = q, pois é suposto que a carga acidental atue subitamente na estrutura. 
 
 
7.2.4 Verificação das flechas elásticas nas lajes 
 
Durante o dimensionamento, para verificar se a espessura da laje atende às condições 
de flecha, nesta etapa o dimensionamento é interrompido e faz-se a verificação da flecha. 
Estando nos conformes, o dimensionamento segue. 
Importante ressaltar que para fissuração, é usada a combinação freqüente da 
NBR6118/03 e para flecha é usada a combinação quase permanente, equacionadas conforme a 
tabela 11.4 e coeficientes da tabela 11.2. 
Para verificar as flechas, é usado o coeficiente α, que permite calcular a magnitude do 
deslocamento vertical em lajes retangulares, desde que submetidas à carga uniformemente 
distribuída. É a flecha elástica, determinada supondo seção atuando no estádio I, ou seja, é 
suposto seção íntegra do concreto, não fissurada, o que é aceitável enquanto Matuante<Mr, onde 
Mr é o momento de fissuração. De acordo com λ e com o caso da laje, pode-se inferir de 
acordo com a tabela de BARES para cálculo de flechas elásticas (interpolando quando 
necessário), o valor de α a ser usado na expressão 
100
α
*
h*E
l*p
f 3
4
xserd,
0 = , se a laje for 
bidirecional. 
Caso a laje seja unidirecional, ela será tratada como uma viga, assim a flecha imediata 
(ou flecha no tempo=0: f0) 
• 
I*E
l*p
*
384
5f
4
xser,d
0 = , se a laje pertencer ao caso aa (apoio-apoio); 
• 
I*E
l*p
*
384
2f
4
xser,d
0 = , se a laje pertencer ao caso ae (apoio-engaste); 
• 
I*E
l*p
*
384
1f
4
xser,d
0 = , se a laje pertencer ao caso ee (engaste-engaste).A flecha diferida no tempo (ou flecha quando t = ∞) leva em conta o efeito da fluência 
do concreto, é dada por f∞ e determinada a partir de um coeficiente (1+αf) que aumenta o 
39 
 
 
valor da flecha imediata. Esse coeficiente é dado pela NBR6118/03, de acordo com o item 
17.3.2.1.2: 
'*501f ρ+
ξ∆
=α ,mas 'ρ é a taxa de armadura negativa, que é nula para lajes 
maciças em concreto armado. Assim, 47,1)t()t( 0f =ξ−ξ=ξ∆=α , conforme citado no 
início deste estudo (em Dados gerais). Assim, f∞ = (1+1,47)*f0. 
 A equação para fadm, na primeira condição traz o valor da flecha imediata admissível 
para qual ser feita comparação com a flecha imediata ocorrida com a carga de serviço pdser 
(1ªcond.), p = g+ψ2*q. A flecha admissível (fadm) é dada pela tabela 13.2 da NBR6118/03, 
levando em consideração a aceitabilidade sensorial, limitada visualmente para que sejam 
evitados deslocamentos visíveis em elementos estruturais, assim 
250
lf xadm = . 
 A equação para fadm, na segunda condição traz o valor da flecha imediata admissível 
para qual ser feita comparação com a flecha imediata ocorrida com a carga de serviço pdser 
(2ªcond.), p=q. A flecha admissível (fadm) é dada pela mesma tabela 13.2 da NBR6118/03, 
levando em consideração a aceitabilidade sensorial, limitada para que sejam evitadas 
vibrações sentidas no piso que causam desconforto aos usuários, assim 
350
lf xadm = . 
 O uso da carga de serviço caracteriza o Estado Limite de Serviço (ELS). 
 Para a laje L45 em estudo, a flecha considerando a primeira condição é: 
100
α
*
h*E
l*p
f 3
4
xserd,
0 = = 0,214cm100
3,66
*
0,07m*
m²
kN23800000
m*)(3,042*
m²
kN1,50)*0,3(5,13
3
44
=
+
 
f∞ = (1+1,47)*0,214 cm=0,53 cm 
.cm22,1
250
m042,3
250
lf xadm === 
Como f∞<fadm, a primeira condição da laje está verificada quanto à flecha. 
 
 Para a segunda condição, onde p = q, 
100
*
h*E
l*pf 3
4
x
0
α
= = cm058,0
100
66,3
*
m07,0*
²m
kN23800000
m*)042,3(*
²m
kN)50,1(
3
44
= 
f∞ = (1+1,47)*0,058 cm=0,142 cm 
.cm87,0
350
m042,3
350
lf xadm === 
Como f∞<fadm, a segunda condição da laje está verificada quanto à flecha. 
 
40 
 
 
 A demonstração do mesmo procedimento aplicado aos outros pavimentos e suas 
respectivas lajes está em planilha junto aos anexos. 
 
7.2.5 Determinação dos momentos característicos nas lajes 
 
 Verificadas as flechas, é dada continuidade aos dimensionamentos. Para a obtenção 
dos momentos característicos das lajes bidirecionais, é usada a tabela de BARES, que fornece 
os coeficientes µx, µx’, µy e µy’ de acordo com o caso da laje e o valor de λ. Caso necessário, é 
feita interpolação linear para obtenção dos valores intermediários. Os coeficientes são 
aplicados nas equações: 
100
l*p
*M
2
x
xx µ= , 100
l*p
*M
2
x
yy µ= , 100
l*p
*M
2
x
xx
−µ=− e 
100
l*p
*M
2
x
yy
−µ=− . 
 Para as lajes unidirecionais, os momentos são obtidos considerando-as como vigas de 
base 1 m. Os momentos característicos variam conforme a vinculação: 
• 
8
l*pM
2
x
=
+
 , se a laje pertencer ao caso aa (apoio-apoio); 
• 
22,14
l*pM
2
x
=
+
 e 
8
l*pM
2
x
=
−
, se a laje pertencer ao caso ae (apoio-engaste); 
• 
24
l*pM
2
x
=
+
 e 
12
l*pM
2
x
=
−
,se a laje pertencer ao caso ee (engaste-engaste). 
 
 Conforme a NBR6118/03, no item 17.3.1, a estrutura trabalhará no estádio II (regime 
fissurado) quando o momento atuante for maior que o momento de fissuração (Mr). 
 O momento de fissuração é dado pela expressão: 
t
cm,ct
r y
I*f*
M
α
= para o estado 
limite de deformação excessiva (ELS-DEF). Neste mesmo item, é informado que para seções 
retangulares, α=1,5. Os momentos atuantes e os momentos de fissuração são dados em 
kN*m/m. 
 Para a laje L45, os coeficientes são µx=4,07, µx'=9,05, µy=2,69, µy'=7,80. São obtidos 
por intermédio de interpolação linear nas tabelas de BARES. 
 Tendo os coeficientes, basta calcular os momentos característicos usando as 
expressões: 
100
²l*p
*M xxx µ= , 100
²l*p
*M xyy µ= , 100
²l*p
*M x
'x'x µ= e 100
²l*p
*M x
'y'y µ= . 
 
41 
 
 
m/m*2,50kN
100
3,042²*6,63
*4,07M x == , 
m/m*5,55kN
100
3,042²*6,63
*9,05M x' == , 
m/m*1,65kN
100
3,042²*6,63
*2,69M y == e 
m/m*4,78kN
100
3,042²*6,63
*7,80M y' == . 
 
 O quadro abaixo traz o dimensionamento para as lajes do pavimento Tipo 3. Na 
maioria dos casos, os coeficientes precisaram ser interpolados. 
 
Laje Mr µx µx' µy µy' Mx Mx' My My' M
+
 M- 
(kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) 
L1 3,14 4,91 9,43 2,68 8,08 1,90 3,65 1,04 3,13 
L2 3,14 0,97 0,00 
L3 3,14 9,74 0,00 3,70 0,00 1,60 0,00 0,61 0,00 
L4 3,14 3,21 0,00 3,71 8,56 1,20 0,00 1,39 3,20 
L5 4,10 5,41 11,49 2,08 8,16 2,96 6,28 1,14 4,46 
L6 3,14 3,44 7,54 1,79 5,76 1,38 3,02 0,72 2,31 
L7 3,14 0,23 0,46 
L8 3,14 4,00 8,94 2,70 7,76 2,67 5,96 1,80 5,17 
L9 3,14 4,01 8,24 1,21 5,72 1,02 2,09 0,31 1,45 
L10 5,19 4,44 9,82 2,62 7,92 5,40 11,95 3,19 9,64 
L11 4,10 4,60 9,86 2,56 8,01 2,38 5,09 1,32 4,14 
L12 3,14 0,04 0,07 
L13 3,14 0,51 0,91 
L14 3,14 3,37 7,44 1,83 5,77 1,44 3,19 0,78 2,47 
L15 3,14 3,28 7,12 1,85 5,69 2,17 4,70 1,22 3,76 
L16 3,14 2,36 4,20 
L17 3,14 0,04 0,07 
L18 3,14 0,51 0,91 
L19 3,14 3,64 7,82 1,64 5,74 1,27 2,72 0,57 2,00 
L20 3,14 3,83 7,59 1,65 5,72 1,33 2,64 0,57 1,99 
L21 3,14 2,42 6,10 2,68 6,52 0,81 2,05 0,90 2,19 
42 
 
 
Laje Mr µx µx' µy µy' Mx Mx' My My' M
+
 M- 
(kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) 
L22 3,14 3,92 8,97 2,75 7,71 1,92 4,39 1,35 3,77 
L23 3,14 2,67 6,29 2,12 5,50 1,03 2,44 0,82 2,13 
L24 3,14 3,63 7,63 1,62 5,72 1,04 2,19 0,47 1,64 
L25 3,14 4,07 9,05 2,69 7,80 2,73 6,08 1,81 5,24 
L26 3,14 0,23 0,45 
L27 5,19 3,52 7,49 1,70 5,67 1,47 3,13 0,71 2,37 
L28 3,14 3,17 7,13 1,95 5,74 1,19 2,67 0,73 2,15 
L29 3,14 3,72 7,93 1,58 5,73 1,29 2,76 0,55 1,99 
L30 3,14 2,98 6,82 2,03 5,67 1,48 3,39 1,01 2,82 
L31 3,14 5,13 10,64 2,35 8,16 0,99 2,05 0,45 1,57 
L32 3,14 0,43 0,87 
L33 3,14 0,11 0,20 
L34 3,14 0,04 0,07 
L35 3,14 0,91 0,00 
L36 3,14 2,85 6,59 2,07 5,60 0,96 2,21 0,69 1,88 
L37 3,14 3,74 7,81 1,53 5,72 1,25 2,62 0,51 1,92 
L38 7,76 0,40 0,72 
L39 4,10 2,74 6,41 2,10 5,54 1,08 2,54 0,83 2,19 
L40 3,14 0,43 0,87 
L41 3,14 0,11 0,20 
L42 4,10 4,93 10,82 2,39 8,09 3,08 6,76 1,49 5,05 
L43 3,14 4,19 8,91 2,84 0,00 1,98 4,20 1,34 0,00 
L44 3,14 3,42 8,07 2,81 7,43 2,05 4,83 1,68 4,45 
L45 3,14 4,07 9,05 2,69 7,80 2,50 5,55 1,65 4,78 
L46 3,14 9,63 0,00 3,75 0,00 1,58 0,00 0,62 0,00 
 
Quadro 5 - Coeficientes e momentos característicos 
 
43 
 
 
7.2.6 Compatibilização dos momentos fletores 
 
Determinados os momentos característicos, estes são dispostos na planta de formas, 
em ambiente CAD, para que seja procedida a compatibilização. O momento Mx é disposto na 
menor direção da laje, enquanto que o momento My atua na direção perpendicular ao Mx. 
 A compatibilização dos momentos fletores tem por objetivo garantir um diagrama de 
momentos fletores coerente. A figura abaixo é retirada de Andrade (2003) e mostra a 
grandeza ∆M/2 e a maneira que deve ser procedida o arredondamento do diagrama de 
momentos fletores positivos. 
 
Figura 10 - Compatibilizaçãodos momentos fletores negativos e correção dos positivos 
 
O valor de ∆M/2 é dado pela metade da variação em módulo entre os valores de 
momentos fletores negativos. Os valores positivos dos momentos fletores somente são 
corrigidos caso seu valor seja incrementado, é uma prática para manter a estrutura a favor da 
segurança. 
Quando uma laje confronta com duas outras lajes, pode acontecer de haver dois 
valores para ∆M/2. É usado o maior deles, outra prática que mantém a estrutura a favor da 
segurança. 
44 
 
 
O momento fletor negativo compatibilizado (M-) é dado por: 





+> −−
−
−
2
MM
)M(maior *0,80
M 21 
Para a laje L45, deve ser realizado procedimento de compatibilização entre as lajes 
vizinhas, ou seja, entre 
• L37 e L45 
M37=-2,62 kN*m/m 
M45=-5,55 kN*m/m 





=
+
=
+
=
> −−−
m/m*4,09kN
2
5,552,62
2
MM
m/m*4,44kN(5,55)*0,80
M 21 
m/m*4,44kNM =− 
m/m*0,56kN
2
4,445,55
2
∆M
=
−
= 
De acordo com essa nova configuração do diagrama de momentos fletores, o momento 
fletor positivo aumenta na L45 e reduz na L37, por isso é mantido para a L37 o valor do 
momento positivo antes da compatibilização e para a L45, soma-se m/m*0,56kN
2
∆M
= , 
resultando 2,50+0,56 = 3,06 kN*m/m. 
 
• L42 e L45 
M42=-6,76 kN*m/m 
M45=-4,78 kN*m/m 





=
+
=
+
=
> −−−
m/m*5,77kN
2
4,786,76
2
MM
m/m*5,41kN(6,76)*0,80
M 21 
m/m*5,77kNM =− 
m/m*0,50kN
2
5,77-6,76
2
∆M
== 
De acordo com essa nova configuração do diagrama de momentos fletores, o momento 
fletor positivo aumenta na L42 e reduz na L45, por isso é mantido para a L45 o valor do 
momento positivo antes da compatibilização e para a L42, soma-se m/m*0,50kN
2
∆M
= , 
resultando 3,08+0,50 = 3,58 kN*m/m. 
45 
 
 
Seria assim se o valor de 
2
∆M
entre as lajes L37 e L42 (que vale 0,68 kN*m/m) não 
fosse superior ao valor entre L42 e L45. 
Por esse motivo, o ajuste correto é aquele que fica a favor da segurança: 3,08+0,68 = 
3,76 kN*m/m. 
 
• L44 e L45 
M44=-4,45 kN*m/m 
M45=-4,78 kN*m/m 





=
+
=
+
=
> −−−
m/m*4,62kN
2
4,454,78
2
MM
m/m*kN82,3(4,78)*0,80
M 21 
m/m*4,62kNM =− 
m/m*0,08kN
2
4,624,78
2
∆M
=
−
= 
De acordo com essa nova configuração do diagrama de momentos fletores, o momento 
fletor positivo aumenta na L45 e reduz na L44, por isso é mantido para a L44 o valor do 
momento positivo antes da compatibilização e para a L45, soma-se m/m*0,08kN
2
∆M
= , 
resultando 1,65+0,08 =1,73 kN*m/m. 
O sinal negativo antes do valor dos momentos indica que se trata de momentos 
negativos. 
Nota-se que o momento fletor que atua na menor direção da laje L45 é maior que o 
momento fletor que atua na direção perpendicular, o que já era esperado, por uma questão de 
compatibilidade de deformações. 
Executivamente deve-se iniciar a colocação das barras de aço referente à armadura na 
menor dimensão, no decorrer do trabalho a explicação é aperfeiçoada. 
Para melhor compreensão dos procedimentos realizados na compatibilização dos 
momentos fletores nas lajes maciças em concreto armado segue junto aos anexos, as plantas 
de fôrmas com indicação das lajes e dos momentos fletores compatibilizados. 
Segue quadro completo com a compatibilização dos momentos fletores junto aos 
anexos. 
46 
 
 
Abaixo é demonstrada a compatibilização para o pavimento Tipo 3: 
 
Entre 
M1 M2 ∆M/2 M- Mr Seção fissurada 
(kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) para M-? 
L1 e L2 3,13 0,00 0,31 2,50 4,10 Não 
L1 e L6 3,65 3,02 0,16 3,34 4,10 Não 
L1 e L7 3,65 0,00 0,37 2,92 4,10 Não 
L4 e L5 0,00 4,46 0,45 3,57 4,10 Não 
L4 e L9 3,20 2,09 0,28 2,65 4,10 Não 
L5 e L9 4,46 1,45 0,45 3,57 4,10 Não 
L5 e L10 6,28 11,95 1,20 9,56 5,19 Sim 
L6 e L7 2,31 0,46 0,23 1,85 4,10 Não 
L6 e L14 3,02 3,19 0,04 3,11 4,10 Não 
L7 e L8 0,46 5,17 0,52 4,14 4,10 Sim 
L7 e L14 0,00 3,19 0,32 2,55 4,10 Não 
L8 e L9 5,17 1,45 0,52 4,14 4,10 Sim 
L8 e L11 5,17 4,14 0,26 4,66 4,10 Sim 
L8 e L15 5,96 4,70 0,32 5,33 4,10 Sim 
L9 e L10 1,45 9,64 0,96 7,71 4,10 Sim 
L9 e L11 2,09 5,09 0,51 4,07 4,10 Não 
L10 e L11 9,64 4,14 0,96 7,71 5,19 Sim 
L11 e L15 4,14 3,76 0,10 3,95 4,10 Não 
L12 e L13 0,07 0,91 0,09 0,73 4,10 Não 
L14 e L15 2,47 3,76 0,32 3,12 4,10 Não 
L14 e L19 3,19 2,72 0,12 2,96 4,10 Não 
L15 e L16 3,76 4,20 0,11 3,98 4,10 Não 
L15 e L20 4,70 2,64 0,47 3,76 4,10 Não 
L16 e L20 4,20 1,19 0,42 3,36 4,10 Não 
L16 e L21 0,00 2,19 0,22 1,75 4,10 Não 
L16 e L25 4,20 5,24 0,26 4,72 4,10 Sim 
L16 e L26 0,00 0,45 0,05 0,36 4,10 Não 
L17 e L18 0,07 0,91 0,09 0,73 4,10 Não 
L19 e L20 2,00 1,99 0,00 2,00 4,10 Não 
L19 e L23 2,72 2,44 0,07 2,58 4,10 Não 
47 
 
 
Entre 
M1 M2 ∆M/2 M- Mr Seção fissurada 
(kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) para M-? 
L19 e L24 2,72 1,64 0,27 2,18 4,10 Não 
L20 e L25 2,64 6,08 0,61 4,86 4,10 Sim 
L21 e L22 2,19 3,77 0,38 3,02 4,10 Não 
L21 e L27 2,05 2,37 0,08 2,21 4,10 Não 
L22 e L28 4,39 2,67 0,43 3,53 4,10 Não 
L23 e L24 2,13 2,19 0,01 2,16 4,10 Não 
L23 e L29 2,44 2,76 0,08 2,60 4,10 Não 
L24 e L25 2,19 5,24 0,52 4,19 4,10 Sim 
L24 e L29 1,64 2,76 0,28 2,21 4,10 Não 
L24 e L30 1,64 3,39 0,34 2,71 4,10 Não 
L25 e L26 5,24 0,00 0,52 4,19 4,10 Sim 
L25 e L30 0,00 3,39 0,34 2,71 4,10 Não 
L26 e L27 0,00 3,13 0,31 2,50 4,10 Não 
L26 e L31 0,45 1,57 0,16 1,26 4,10 Não 
L27 e L28 3,13 2,15 0,25 2,64 4,10 Não 
L27 e L31 3,13 2,05 0,27 2,59 4,10 Não 
L27 e L32 3,13 0,00 0,31 2,50 4,10 Não 
L27 e L38 3,13 0,00 0,31 2,50 4,10 Não 
L27 e L39 2,19 2,37 0,04 2,28 4,10 Não 
L28 e L32 2,67 0,87 0,27 2,14 4,10 Não 
L29 e L30 1,99 2,82 0,21 2,41 4,10 Não 
L29 e L36 2,76 2,21 0,14 2,49 4,10 Não 
L30 e L37 3,39 2,62 0,19 3,01 4,10 Não 
L31 e L38 1,57 0,00 0,16 1,26 4,10 Não 
L32 e L33 0,00 0,20 0,02 0,16 4,10 Não 
L32 e L40 0,87 0,87 0,00 0,87 4,10 Não 
L34 e L35 0,07 0,91 0,09 0,73 4,10 Não 
L36 e L37 1,88 1,92 0,01 1,90 4,10 Não 
L36 e L44 2,21 4,83 0,48 3,86 4,10 Não 
L37 e L38 1,92 0,00 0,19 1,54 4,10 Não 
L37 e L42 1,92 6,76 0,68 5,41 4,10 Sim 
L37 e L45 2,62 5,55 0,56 4,44 4,10 Sim 
48 
 
 
Entre 
M1 M2 ∆M/2 M- Mr Seção fissurada 
(kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) (kN.m/m) para M-? 
L38 e L39 0,00 2,54 0,25 2,03 5,19 Não 
L38 e L42 0,72 5,05 0,51 4,04 5,19 Não 
L39 e L40 2,54 0,00 0,25 2,03 4,10 Não 
L39 e L42 2,54 0,00 0,25 2,03 5,19 Não 
L39 e L43 2,54 0,00 0,25 2,03 4,10 Não 
L40 e L41 0,00 0,20 0,02 0,16 4,10 Não 
L40 e L43 0,87 4,20 0,42 3,36 4,10 Não 
L42 e L45 6,76 4,78 0,50 5,77 4,10 Sim 
L44 e L45 4,45 4,78 0,08 4,62 4,10 Sim 
 
Quadro 6 - Compatibilização dos momentos fletores negativos 
 
 
7.2.7 Dimensionamento da armadura negativa 
 
Agora é possível dimensionar os momentos negativos, o momento característico é 
dado diretamente da tabela acima, a armadura é disposta em cima do apoio, conforme 
detalhamento mais adiante. Nada impede que as armaduras positivas sejam dimensionadas 
antes das armaduras negativas. 
Para a laje L45, são dimensionadas 3 armaduras, pois é uma laje do tipo 7, ou seja, 
com 3 engastes e um apoio. 
A superfície das lajes é nivelada, mesmo que estas possuam alturas diferentes. Para a 
avaliação da altura útil (d’), é necessário o conhecimento da menor altura entre as lajes que 
estão sendo dimensionadas, para em seguida arbitrar um valor para o diâmetro da armadura e 
efetuar o dimensionamento. Deve atentar ao arbitrar o diâmetro, pois para diâmetros pequenos 
pode ser necessário que seja procedido pequeno espaçamento entre as barras, dificultando a 
execução. Comumente, são empregados