Gabarito P1 Reposição (2017 I) s. resolução

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
Departamento de Matema´tica
Reposic¸a˜o da 1a Prova - MAT241 - Ca´lculo III - 19/04/2017
Nome: Matr´ıcula: Turma:
Turma 1 Turma 2 Turma 3 Turma 4 Turma 5
Ariane Je´ssyca Edson Sandro Edson
Seg 08 - 10 Seg 16 - 18 Ter 14 - 16 Seg 10 - 12 Ter 08 - 10
Qua 10 - 12 Qui 14 - 16 Qui 16 - 18 Qui 08 - 10 Qui 10 - 12
Em todas as questo˜es justifique suas respostas. Boa Prova!
Questa˜o 1: Sejam as retas r e s de equac¸o˜es parame´tricas dadas por
r :
 x = 1− ty = 2 + t, t ∈ R
z = 1− 2t
e s :
 x = 2 + 2ty = 1− 2t, t ∈ R
z = 4t
.
(a) (7 pontos) Determine a posic¸a˜o relativa entre as retas r e s.
(b) (10 pontos) Determine, se poss´ıvel, a equac¸a˜o do plano que as conte´m.
(c) (8 pontos) Calcule a distaˆncia entre r e s.
1
Questa˜o 2: (25 pontos) Seja pi o plano de equac¸a˜o x = 10. Determine a equac¸a˜o de duas retas r1 e r2 concorrentes,
formando um aˆngulo de 45◦, de tal maneira que as retas na˜o possuam ponto de intersec¸a˜o com o plano pi.
2
Questa˜o 3: Seja r a reta de equac¸o˜es parame´tricas
r :
 x = 4− ty = −4 + 2t, t ∈ R
z = t
.
Considere pi o plano de equac¸a˜o x− y + z = 2.
(a) (5 pontos) Verifique que a reta r e o plano pi possuem um u´nico ponto em comum, determinando tal ponto.
(b) (10 pontos) Determine a equac¸a˜o de um plano β que e´ ortogonal a pi e conte´m a reta r.
(c) (10 pontos) Determine a intersec¸a˜o entre pi e β.
3
Questa˜o 4: Julgue cada item abaixo como verdadeiro ou falso, justificando com um argumento lo´gico ou com um contra-
exemplo. Respostas sem justificativas na˜o sera˜o consideradas.
(a) ( ) (5 pontos) Se −→u e −→v tem a mesma norma, enta˜o −→u −−→v e −→u +−→v sa˜o ortogonais.
(b) ( ) (5 pontos) A superf´ıcie de equac¸a˜o 2x2 + 2y2 + 2z2 − 4x − 8y − 2 = 0 e´ um esfera de centro C = (1, 2, 0) e raio
r =
√
2.
(c) ( ) (5 pontos) A superf´ıcie de equac¸a˜o 2y2 + 2z2 − x2 − 4y + 4z = −4 representa um hiperboloide de duas folhas.
(d) ( ) (5 pontos) Existe um plano que conte´m os pontos A = (1, 0,−1), B = (0, 2, 3), C = (−2, 1, 1) e D = (4, 2, 3).
(e) ( ) (5 pontos) Se os vetores −→u = (x, 1, 3) e −→v = (x,−1,−1) sa˜o ortogonais, enta˜o x = 2 ou x = −2.
Boa Prova!
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