Gabarito P2 (2017 II)

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
Departamento de Matema´tica
2a Prova - MAT241 - Ca´lculo III - 21/10/2017
Nome: Matr´ıcula: Turma:
Turma 1 Turma 2 Turma 5
Edson Sandro Sandro
Seg 16 - 18 Qua 14 - 16 Ter 16 - 18
Qui 14 - 16 Sex 16 - 18 Sex 14 - 16
Em todas as questo˜es justifique suas respostas. Boa Prova!
Questa˜o 1: Seja f uma func¸a˜o definida por f(x, y) =
√
y2 − 4x2 − 16.
(a) (7 pontos) Determine o domı´nio de f e esboce-o.
(b) (6 pontos) Determine a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f, no ponto P = (−2, 6, 2).
(c) (7 pontos) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f.
(a) .
Dom(f) = {(x, y) ∈ R2; y2 − 4x2 − 16 ≥ 0}
= {(x, y) ∈ R2; y2 − 4x2 ≥ 16}
=
{
(x, y) ∈ R2; y
2
42
− x
2
22
≥ 1
}
.
x
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
y
−4
4
(b) Uma vez que a func¸a˜o f e´ diferencia´vel em P = (−2, 6, 2), um vetor normal ao gra´fico de f neste ponto e´ dado
por −→n =
(
∂f
∂x
(−2, 6), ∂f
∂y
(−2, 6),−1
)
. Note que
∂f
∂x
(x, y) =
1
2
√
y2 − 4x2 − 16 · (−8x) =
−4x√
y2 − 4x2 − 16
∂f
∂y
(x, y) =
1
2
√
y2 − 4x2 − 16 · (2y) =
y√
y2 − 4x2 − 16 .
Da´ı, −→n = (4, 3,−1) e a equac¸a˜o da plano tangente em P e´ dada por
〈(x+ 2, y − 6, z − 2), (4, 3,−1)〉 = 0
4x+ 3y − z = 8.
(c) .
Considerando z = f(x, y), obtemos
z =
√
y2 − 4x2 − 16
z2 = y2 − 4x2 − 16, z ≥ 0
−4x2 + y2 − z2 = 16, z ≥ 0.
−x
2
22
+
y2
42
− z
2
42
= 1, z ≥ 0.
Logo, o gra´fico da func¸a˜o e´ a parte superior
(z ≥ 0) de um hiperbolo´ide de duas folhas.
1
Questa˜o 2: Seja f uma func¸a˜o definida por
f(x, y) =

x3 cos(y)
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
(a) (7 pontos) Mostre que f e´ cont´ınua em (0, 0).
(b) (8 pontos) Calcule
∂f
∂−→u (0, 0), onde
−→u =
(
2√
5
, 1√
5
)
.
(c) (7 pontos) Calcule 〈∇f(0, 0),−→u 〉 . O resultado obtido neste item coincide com o resultado obtido no item anterior?
(d) (8 pontos) A func¸a˜o f e´ diferencia´vel para (x, y) 6= (0, 0)? E para (x, y) = (0, 0)? Justifique.
(a) Uma vez que −1 ≤ cos(y) ≤ 1 e 0 ≤ x
2
x2 + y2
≤ 1, para qualquer (x, y) 6= (0, 0), seque que
−1 ≤ x
2 cos(y)
x2 + y2
≤ 1,
para qualquer (x, y) 6= (0, 0). Da´ı, segue que, para (x, y) 6= (0, 0), a func¸a˜o f e´ o produto de uma func¸a˜o limitada
por uma func¸a˜o que tende a zero quando (x, y) tende a (0, 0). Logo,
lim
(x,y)→(0,0)
x3 cos(y)
x2 + y2
= lim
(x,y)→(0,0)
x · x
2 cos(y)
x2 + y2
= 0 = f(0, 0).
Portanto, f e´ cont´ınua em (0, 0).
(b) Vamos calcular tal derivada direcional pela definic¸a˜o, uma vez que na˜o sabemos se a func¸a˜o e´ ou na˜o diferencia´vel
em (0, 0). Observe que o vetor −→u e´ um vetor unita´rio. Assim,
∂f
∂−→u (0, 0) = limt→0
f(t · −→u )− f(0, 0)
t
= lim
t→0
f
(
2t√
5
,
t√
5
)
t
= lim
t→0
8t3
5
√
5
cos
(
t√
5
)
t2
t
= lim
t→0
8
5
√
5
cos
(
t√
5
)
=
8
5
√
5
.
(c) Neste caso, e´ necessa´rio o ca´lculo das derivadas parciais na origem. Desta forma,
∂f
∂x
(0, 0) = lim
t→0
f(t, 0)− (0, 0)
t
= lim
t→0
t3
t2
t
= lim
t→0
��t3
��t3
= 1
∂f
∂y
(0, 0) = lim
t→0
f(0, t)− (0, 0)
t
= lim
t→0
0
t
= 0.
Logo,
〈∇f(0, 0),−→u 〉 =
〈
(1, 0),
(
2√
5
,
1√
5
)〉
=
2√
5
.
Observe que 〈∇f(0, 0),−→u 〉 6= ∂f
∂−→u (0, 0).
(d) Para (x, y) 6= (0, 0) as derivadas parciais sa˜o dadas por
∂f
∂x
(x, y) =
(x2 + y2)3x2 cos(y)− x3 cos(y) · 2x
(x2 + y2)2
=
3x4 cos(y) + 3x2y2 cos(y)− 2x4 cos(y)
(x2 + y2)2
=
(x4 + 3x2y2) cos(y)
(x2 + y2)2
∂f
∂y
(x, y) =
(x2 + y2)(−x3 sen(y))− x3 cos(y) · 2y
(x2 + y2)2
= −x
3(x2 + y2) sen(y) + 2x3y cos(y)
(x2 + y2)2
.
Para (x, y) 6= (0, 0), as derivadas parciais de f sa˜o cont´ınuas, pois sa˜o quocientes de func¸o˜es cont´ınuas e possuem
denominadores na˜o nulos. Logo, f e´ diferencia´vel em R2 \ {(0, 0)}. A func¸a˜o f na˜o e´ diferencia´vel em (0, 0). De
fato, se f fosse diferencia´vel em (0, 0), dever´ıamos ter 〈∇f(0, 0),−→u 〉 = ∂f
∂−→u (0, 0), para qualquer
−→u 6= −→0 , fato que
na˜o ocorre. Logo f na˜o e´ diferencia´vel em (0, 0).
2
Questa˜o 3: Fac¸a o que se pede em cada item.
(a) (10 pontos) Mostre que a func¸a˜o f dada por f(x, y) = ln(x2 + y2) + 2 arctg
(y
x
)
satisfaz a equac¸a˜o de Laplace
∂2f
∂x2
(x, y) +
∂2f
∂y2
(x, y) = 0.
(b) (15 pontos) Seja f(x, y) uma func¸a˜o que possui derivadas parciais de primeira ordem cont´ınuas. Se
F (u, v) = f(x(u, v), y(u, v)), com x(u, v) = 3 cos(u) e y(u, v) = 4u sen(v). Determine
∂F
∂u
(pi
2
,
pi
2
)
e
∂F
∂v
(0, 2pi) ,
sabendo que
∂f
∂x
(3, 0) = 3pi,
∂f
∂x
(0, 2pi) = 0,
∂f
∂y
(3, 0) = pi e
∂f
∂y
(0, 2pi) = 4pi.
(a) Temos
∂f
∂x
(x, y) =
1
x2 + y2
· 2x+ 2 1
1 +
(
y
x
)2 · (− yx2) = 2xx2 + y2 −
2y
��x2
x2+y2
��x2
=
2x− 2y
x2 + y2
∂2f
∂x2
(x, y) =
∂
∂x
(
∂f
∂x
)
(x, y) =
(x2 + y2) · 2− (2x− 2y) · 2x
(x2 + y2)2
=
−2x2 + 2y2 + 4xy
(x2 + y2)2
∂f
∂y
(x, y) =
1
x2 + y2
· 2y + 2 1
1 +
(
y
x
)2 · ( 1x
)
=
2y
x2 + y2
−
2
x
x2+y2
x2
=
2y
x2 + y2
+
2
x
· x
2
x2 + y2
=
2x+ 2y
x2 + y2
∂2f
∂x2
(x, y) =
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
(x, y) =
(x2 + y2) · 2− (2x+ 2y) · 2y
(x2 + y2)2
=
2x2 − 2y2 − 4xy
(x2 + y2)2
.
Desta forma, observe que
∂2f
∂x2
(x, y) +
∂2f
∂y2
(x, y) = 0.
(b) Primeiramente, observe que x
(pi
2
,
pi
2
)
= 0, y
(pi
2
,
pi
2
)
= 2pi, x (0, 2pi) = 3 e x (0, 2pi) = 0. Ale´m disso,
∂x
∂u
= −3 sen(u), ∂x
∂v
= 0,
∂y
∂u
= 4 sen(v) e
∂y
∂v
= 4u cos(v). Da´ı, pela regra da cadeia,
∂F
∂u
(pi
2
,
pi
2
)
=
∂f
∂x
(0, 2pi) · ∂x
∂u
(pi
2
,
pi
2
)
+
∂f
∂y
(0, 2pi) · ∂y
∂u
(pi
2
,
pi
2
)
= 0 ·
(
−3 sen
(pi
2
))
+ 4pi ·
(
4 sen
(pi
2
))
= 16pi.
∂F
∂v
(0, 2pi) =
∂f
∂x
(3, 0) · ∂x
∂v
(0, 2pi) +
∂f
∂y
(3, 0) · ∂y
∂v
(0, 2pi) = 3pi · 0 + pi · (4 · 0 cos (2pi)) = 0.
3
Questa˜o 4: A superf´ıcie de um lago e´ representada por uma regia˜o D no plano xy, de modo que a profundidade (em metros)
sob o ponto (x, y) e´ dada pela func¸a˜o f(x, y) = 100− x2 − y2 − 2x.
(a) (8 pontos) Esboce a curva constitu´ıda pelos pontos cuja profundidade do lago coincida com a profundidade do
ponto P = (3, 4).
(b) (10 pontos) Um nadador esta´ nadando no lago e, num certo instante, se encontra no ponto Q = (−1, 2), e neste
ponto, decide nadar na direc¸a˜o e sentido em que a profundidade cresce mais rapidamente. Depois de nadar 3 m
na direc¸a˜o escolhida, quais as coordenadas do ponto R de sua nova localizac¸a˜o?
(c) (7 pontos) No ponto R o nadador decide avaliar novamente a direc¸a˜o e sentido de maior crescimento da profun-
didade e nadar 1 m nesta nova direc¸a˜o e sentido. Qual sera´ a nova posic¸a˜o do nadador?
(a) .
Uma vez que f(3, 4) = 100 − 32 − 42 − 2 · 3 = 69, a curva
procurada tem equac¸a˜o
100− x2 − y2 − 2x = 69
x2 + y2 + 2x = 31
(x+ 1)2 + y2 = (4
√
2)2,
que e´ a equac¸a˜o de um c´ırculo centrado no ponto (−1, 0) e
raio 4
√
2.
x
−1
y
P
(b) Como a func¸a˜o f e´ diferencia´vel, e esta func¸a˜o representa a profundidade do lago, a direc¸a˜o e sentido de maior
crescimento da profundidade e´ dada por ∇f(−1, 2). Uma vez que ∂f
∂x
(x, y) = −2x−2 e ∂f
∂y
(x, y) = −2y, segue que
∇f(−1, 2) = (0,−4). Uma vez que o nadador nadara´ 3 m, este devera´ nadar treˆs unidades na direc¸a˜o e sentido de
um vetor unita´rio que tem a mesma direc¸a˜o e sentido de ∇f(−1, 2) = (0,−4). Assim, a nova posic¸a˜o do nadador
devera´ ser
R = Q+ 3 · (0,−1) = (−1,−1).
(c) No ponto R encontrado anteriormente, o
nadador devera´ tomar a direc¸a˜o e sentido do vetor gradiente de f em R.
Assim, ∇f(−1,−1) = (0, 2). Como no item anterior, o nadador deve nadar uma unidade na direc¸a˜o e sentido de
um vetor unita´rio que tem a mesma direc¸a˜o e sentido de ∇f(−1,−1) = (0, 2). Assim, a nova posic¸a˜o do nadador
e´
S = R+ 1 · (0, 1) = (−1, 0).
Boa Prova!
4