APOSTILA CALCULO 1

Prévia do material em texto

Aula 1
Velocidade instantânea e derivadas
1.1 Velocidade instantânea
Um ponto m¶ovel M desloca-se ao longo de uma linha reta horizontal, a partir de um
ponto O.
O
s
M
s = s(t)s = 0 0 ∆1s = s(t )0 s = s(t + t)0
 ∆ s
O deslocamento s, de M , em rela»c~ao ao ponto O, ¶e a distância de O a M , se M
est¶a µa direita de O, e ¶e o negativo dessa distância seM est¶a µa esquerda de O. Assim, s ¶e
positivo ou negativo, conforme M se encontre, respectivamente, µa direita ou µa esquerda
de O.
Com estas conven»c~oes, a reta passa a ser orientada, o que chamamos de eixo,
sendo O sua origem.
O deslocamento s depende do instante de tempo t, ou seja, s ¶e uma fun»c~ao da
vari¶avel t:
s = s(t)
Em um determinado instante t0, o deslocamento de M ¶e s0 = s(t0). Em um
instante posterior t1, o deslocamento de M ¶e s1 = s(t1).
A velocidade m¶edia do ponto M , no intervalo de tempo [t0; t1] ¶e dada por
vm =
s1 ¡ s0
t1 ¡ t0 =
s(t1)¡ s(t0)
t1 ¡ t0
Podemos tamb¶em escrever t1 = t0 + ¢t, ou seja, ¢t = t1 ¡ t0, e tamb¶em
¢s = s(t1)¡ s(t0) = s(t0 +¢t)¡ s(t0).
1
Velocidade instantânea e derivadas 2
Teremos ent~ao
vm =
s(t0 +¢t)¡ s(t0)
¢t
=
¢s
¢t
Por exemplo, vamos supor que s(t) = 1
2
at2 (ponto m¶ovel uniformemente ace-
lerado). Assim, no instante t = 0 o ponto m¶ovel est¶a em s(0) = 1
2
a ¢ 02 = 0.
A partir de um certo instante t0, temos uma varia»c~ao de tempo ¢t. Seja t1 =
t0 + ¢t. Podemos ter ¢t > 0 ou ¢t < 0 (quando ¢t < 0, t1 antecede t0). Teremos
ent~ao
s(t1) = s(t0 +¢t) =
1
2
a(t0 +¢t)
2 =
1
2
¢ ¡at20 + 2at0¢t+ a(¢t)2¢
A varia»c~ao do deslocamento do ponto m¶ovel, nesse intervalo de tempo, ser¶a
¢s = s(t1)¡ s(t0) = 1
2
at20 + at0¢t+
1
2
a(¢t)2 ¡ 1
2
at20
ou seja,
¢s = at0¢t+
a(¢t)2
2
A velocidade m¶edia do ponto, no intervalo de tempo [t0; t1], ser¶a dada por
¢s
¢t
=
at0¢t+
a(¢t)2
2
¢t
= at0 +
a¢t
2
Se ¢t ¼ 0, ent~ao tamb¶em teremos ¢s = at0¢t+ a(¢t)
2
2
¼ 0. No entanto,
¢s
¢t
= at0 +
a¢t
2
¼ at0
De um modo geral, de¯nimos a velocidade instantânea v(t0), do pontoM , no instante
t0, como sendo o limite da velocidade m¶edia no intervalo de t0 a t0 +¢t, quando ¢t
tende a zero (esta foi uma id¶eia de Isaac Newton), e escrevemos
v(t0) = lim
¢t!0
¢s
¢t
No nosso exemplo,
v(t0) = lim
¢t!0
µ
at0 +
a¢t
2
¶
= at0
1.2 Derivada de uma fun»c~ao
Uma fun»c~ao f ¶e uma lei que associa cada valor x de um certo conjunto A (o dom¶³nio
de f), um ¶unico valor f(x) de um certo conjunto B (o contra-dom¶³nio de f). Neste
Velocidade instantânea e derivadas 3
curso, teremos sempre A ½ R e B ½ R. Veja tamb¶em a observa»c~ao 1.1, mais adiante
nesta aula. Muitas vezes diremos \fun»c~ao f(x)", em lugar de \fun»c~ao f".
Dada uma fun»c~ao f(x), a fun»c~ao derivada f 0(x) (leia-se \f linha de x") ¶e a fun»c~ao
de¯nida quando consideramos, para cada x, sujeito a uma varia»c~ao ¢x6= 0, a varia»c~ao
correspondente de y = f(x),
¢y = ¢f = f(x+¢x)¡ f(x)
e ent~ao calculamos o valor limite da raz~ao
¢f
¢x
=
f(x+¢x)¡ f(x)
¢x
quando ¢x se aproxima inde¯nidamente de 0. Ou seja,
f 0(x) = lim
¢x!0
¢f
¢x
= lim
¢x!0
f(x+¢x)¡ f(x)
¢x
Para um valor espec¶³¯co de x, digamos x = x0,
f 0(x0) = lim
¢x!0
f(x0 +¢x)¡ f(x0)
¢x
¶e a derivada de f (ou de f(x)), no ponto x0.
Como primeiro e importante exemplo, temos
Regra 1.1 Se f(x) = xn, n inteiro positivo, ent~ao f 0(x) = nxn¡1
Demonstra»c~ao. Da ¶algebra elementar, temos as seguintes f¶ormulas de fatora»c~ao:
b2 ¡ a2 = (b¡ a)(b+ a)
b3 ¡ a3 = (b¡ a)(b2 + ab+ a2)
b4 ¡ a4 = (b¡ a)(b3 + ab2 + a2b+ a3)
que o leitor pode veri¯car, simplesmente efetuando os produtos µa direita, e ent~ao sim-
pli¯cando. De um modo geral, para n ¸ 4, vale a seguinte f¶ormula:
bn ¡ an = (b¡ a)(bn¡1 + abn¡2 + a2bn¡3 + ¢ ¢ ¢+ an¡3b2 + an¡2b+ an¡1) (1.1)
Sendo f(x) = xn, temos para ¢x6= 0,
¢f = f(x+¢x)¡ f(x) = (x+¢x)n ¡ xn (1.2)
Substituindo b = x+¢x e a = x, em 1.1, temos b¡ a = ¢x, e ent~ao obtemos
¢f = ¢x ¢ ((x+¢x)n¡1 + x ¢ (x+¢x)n¡2 + ¢ ¢ ¢+ xn¡2(x+¢x) + xn¡1)
Velocidade instantânea e derivadas 4
do que ent~ao
¢f
¢x
= (x+¢x)n¡1 + x ¢ (x+¢x)n¡2 + ¢ ¢ ¢+ xn¡2(x+¢x) + xn¡1
Da¶³, lim
¢x!0
¢f
¢x
= xn¡1 + xn¡1 + ¢ ¢ ¢+ xn¡1| {z }
n parcelas
= nxn¡1.
Portanto, (xn)0 = nxn¡1.
1.2.1 Nota»c~oes simb¶olicas para derivadas, habitualmente usadas
Sendo y = f(x), tamb¶em escrevemos ¢y = ¢f = f(x+¢x)¡ f(x), e denotamos
dy
dx
= (derivada de y em rela»c~ao a x) = lim
¢x!0
¢y
¢x
Assim temos
dy
dx
= f 0(x). Indicamos ainda
f 0(x0) =
µ
dy
dx
¶
x=x0
=
dy
dx
¯̄̄
¯
x=x0
A raz~ao
¢y
¢x
=
f(x0 +¢x)¡ f(x0)
¢x
¶e a taxa de varia»c~ao m¶edia de y, em rela»c~ao a x, no intervalo [x0; x0 + ¢x] (ou no
intervalo [x0 +¢x; x0], se ¢x < 0).
O valor
f 0(x0) =
µ
dy
dx
¶
x=x0
= lim
¢x!0
¢y
¢x
¶e chamado de taxa de varia»c~ao (instantânea) de y em rela»c~ao a x, no ponto x = x0.
Outras nota»c~oes freqÄuentemente utilizadas para as derivadas (os s¶³mbolos abaixo
tem o mesmo signi¯cado):
f 0(x) (nota»c~ao de Lagrange)
(f(x))0
df
dx
(nota»c~ao de Leibniz, leia-se \dê f dê x")
dy
dx
(sendo y = f(x))
d
dx
(f(x))
_x(t) (nota»c~ao de Newton, derivada de x em rela»c~ao µa vari¶avel t (tempo))
Velocidade instantânea e derivadas 5
Tamb¶em tem o mesmo signi¯cado as nota»c~oes para a derivada de f no ponto x0,
f 0(x0) (f(x))0jx=x0
df
dx
(x0)
dy
dx
¯̄̄
¯
x=x0
d
dx
(f(x))jx=x0
Exemplo 1.1 De acordo com a regra 1.1, temos
(x)0 = (x1)0 = 1x1¡1 = x0 = 1, ou seja (x)0 = 1.
(x2)0 = 2x2¡1 = 2x.
(x3)0 = 3x3¡1 = 3x2.
(x100)0 = 100x99.
Observa»c~ao 1.1 (Intervalos da reta, e dom¶³nios das fun»c~oes que estudaremos)
Aqui, e no restante do texto, estaremos assumindo sempre que nossas fun»c~oes s~ao fun»c~oes
de uma vari¶avel real x, com valores f(x) reais, e est~ao de¯nidas em intervalos ou reuni~oes
de intervalos de R, ou seja, tem os valores de x tomados em intervalos ou reuni~oes de
intervalos.
Os intervalos de R s~ao conjuntos de uma das formas:
[a; b] = fx 2 R j a · x · bg (intervalo fechado de extremos a e b);
]a; b[ = fx 2 R j a < x < bg (intervalo aberto de extremos a e b);
[a; b[ = fx 2 R j a · x < bg (intervalo de extremos a e b, semi-aberto em b);
]a; b] = fx 2 R j a < x · bg (intervalo de extremos a e b, semi-aberto em a):
sendo a e b n¶umeros reais, com a < b. Os intervalos acima s~ao os intervalos limitados.
Os intervalos ilimitados s~ao conjuntos de uma das formas:
[a;+1[ = fx 2 R j x ¸ ag (intervalo fechado de a a +1);
]a;+1[ = fx 2 R j x > ag (intervalo aberto de a a +1);
]¡1; b] = fx 2 R j x · bg (intervalo fechado de ¡1 a b);
]¡1; b[ = fx 2 R j x < bg (intervalo aberto de ¡1 a b);
]¡1;+1[ = R (intervalo aberto de ¡1 a +1);
sendo a e b n¶umeros reais.
Assim, por exemplo,
1. f(x) =
p
x ¶e uma fun»c~ao que est¶a de¯nida para os valores reais de x para os
quais
p
x existe e ¶e um n¶umero real, ou seja, para x ¸ 0. Assim, dizemos que o
dom¶³nio ou campo de de¯ni»c~ao de f ¶e o intervalo D(f) = [0;+1[.
Velocidade instantânea e derivadas 6
2. f(x) = 1=x ¶e uma fun»c~ao que est¶a de¯nida para os valores reais de x para os
quais 1=x existe e ¶e um n¶umero real, ou seja, para x6= 0. Assim, o dom¶³nio ou
campo de de¯ni»c~ao de f ¶e o conjunto D(f) = R ¡ f0g, ou seja, a reuni~ao de
intervalos ]¡1; 0[[ ]0;+1[.
3. f(x) =
p
2¡ x + 1p
x¡1 est¶a de¯nida para os valores reais de x para os quaisp
2¡ x e 1=px¡ 1 existem e s~ao n¶umeros reais, ou seja, para x · 2 (2¡x ¸ 0)
e x > 1 (x¡ 1 > 0). Assim, o dom¶³nio ou campo de de¯ni»c~ao de f ¶e o intervalo
D(f) =]1; 2].
Para um valor espec¶³¯co de x, digamos x = x0, no dom¶³nio de uma fun»c~ao f , ao
calcularmos o limite
f 0(x0) = lim
¢x!0
f(x0 +¢x)¡ f(x0)
¢x
estamos supondo que algum intervalo aberto, contendo x0, tamb¶em ¶e parte do dom¶³nio
de f , de modo que x0 +¢x tamb¶em estar¶a no dom¶³nio de f quando ¢x for n~ao nulo
e su¯cientemente pequeno.
1.3 Primeiras regras de deriva»c~ao (ou diferencia»c~ao)
Diferencia»c~ao ou deriva»c~ao de uma fun»c~ao ¶e o processo de c¶alculo da derivada da fun»c~ao.
Regra 1.2 Se f(x) ¶e uma fun»c~ao e c ¶e uma constante, ent~ao
(cf(x))0= cf 0(x):
Ou seja, a derivada de uma constante vezes uma fun»c~ao ¶e a constante vezes a derivada
da fun»c~ao.
Regra 1.3 Sendo f(x) e g(x) duas fun»c~oes,
(f(x) + g(x))0 = f 0(x) + g0(x):
Ou seja, a derivada de uma soma de duas fun»c~oes ¶e a soma das respectivas derivadas.
Demonstra»c~oes das propriedades 1.2 e 1.3. Alguns fatos sobre limites s~ao assumidos
intuitivamente.
(cf(x))0 = lim
¢x!0
cf(x+¢x)¡ cf(x)
¢x
= lim
¢x!0
c ¢ f(x+¢x)¡ f(x)
¢x
= c ¢ lim
¢x!0
f(x+¢x)¡ f(x)
¢x
= c ¢ lim
¢x!0
¢f
¢x
= cf 0(x)
Velocidade instantânea e derivadas 7
[f(x) + g(x)]0 = lim
¢x!0
[f(x+¢x) + g(x+¢x)]¡ [f(x) + g(x)]
¢x
= lim
¢x!0
[f(x+¢x)¡ f(x)] + [g(x+¢x)¡ g(x)]
¢x
= lim
¢x!0
·
f(x+¢x)¡ f(x)
¢x
+
g(x+¢x)¡ g(x)
¢x
¸
= lim
¢x!0
f(x+¢x)¡ f(x)
¢x
+ lim
¢x!0
g(x+¢x)¡ g(x)
¢x
= lim
¢x!0
¢f
¢x
+ lim
¢x!0
¢g
¢x
= f 0(x) + g0(x)
Exemplo 1.2 Sendo f(x) = 2x3 ¡ 3x5, temos
f 0(x) = (2x3 ¡ 3x5)0
= (2x3 + (¡3)x5)0
= (2x3)0 + ((¡3)x5)0 ((f + g)0 = f 0 + g0)
= 2(x3)0 + (¡3)(x5)0 ((cf)0 = cf 0)
= 2 ¢ 3x2 + (¡3) ¢ 5x4 ((xn)0 = nxn¡1)
= 6x2 ¡ 15x4
Observa»c~ao 1.2 Por um argumento tal como no exemplo acima, temos tamb¶em
(f(x)¡ g(x))0 = f 0(x)¡ g0(x).
Regra 1.4 A derivada de uma fun»c~ao constante ¶e 0: se f(x) = c = constante,
ent~ao f 0(x) = (c)0 = 0.
Demonstra»c~ao. Sendo f(x) = c = constante, ent~ao
¢f = f(x+¢x)¡ f(x) = c¡ c = 0.
Portanto, ¢f
¢x
= 0
¢x
= 0 (¢f
¢x
¶e 0 mesmo antes de calcularmos o limite). Logo
lim
¢x!0
¢f
¢x
= lim
¢x!0
0 = 0.
Assim, se c ¶e uma constante, (c)0 = 0.
Exemplo 1.3 Sendo y = ¡3t6 + 21t2 ¡ 98, calcular dy
dt
.
Aplicando as regras acima estabelecidas, indicando por u0 a derivada de u em
rela»c~ao a t,
dy
dt
= (¡3t6 + 21t2 ¡ 98)0
= ¡18t5 + 42t
Velocidade instantânea e derivadas 8
Exemplo 1.4 Sendo y =
1
x
, calcular
dy
dx
.
Temos y =
1
x
, e ent~ao
¢y =
1
x+¢x
¡ 1
x
=
x¡ (x+¢x)
x(x+¢x)
= ¡ ¢x
x(x+¢x)
¢y
¢x
= ¡ 1
x(x+¢x)
dy
dx
= lim
¢x!0
¢y
¢x
= lim
¢x!0
1
x(x+¢x)
= ¡ 1
x2
1.4 Problemas
1. A posi»c~ao de um ponto P sobre um eixo x, ¶e dada por x(t) = 4t2 + 3t¡ 2, com
t medido em segundos e x(t) em cent¶³metros.
(a) Determine as velocidades m¶edias de P nos seguintes intervalos de tempo:
[1; 1; 2], [1; 1; 1], [1; 1; 01], [1; 1; 001].
(b) Determine a velocidade de P no instante t = 1 seg.
(c) Determine os intervalos de tempo em que P se move no sentido positivo
e aqueles em que P se move no sentido negativo. (P se move no sentido
positivo ou negativo se x(t) aumenta ou diminui, respectivamente, µa medida
em que t aumenta.)
2. Se um objeto ¶e lan»cado verticalmente para cima, com velocidade inicial 110m/seg,
sua altura h(t), acima do ch~ao (h = 0), ap¶os t segundos, ¶e dada (aproximada-
mente) por h(t) = 110t ¡ 5t2 metros. Quais s~ao as velocidades do objeto nos
instantes t = 3 seg e t = 4 seg? Em que instante o objeto atinge sua altura
m¶axima? Em que instante atinge o ch~ao? Com que velocidade atinge o ch~ao?
3. Calcule f 0(x), para cada uma das fun»c~oes f(x) dadas abaixo, cumprindo as
seguintes etapas
i. Primeiro desenvolva a express~ao ¢f = f(x+¢x)¡ f(x), fazendo as simpli-
¯ca»c~oes cab¶³veis.
ii. Em seguida obtenha, uma express~ao simpli¯cada para ¢f
¢x
= f(x+¢x)¡f(x)
¢x
.
iii. Finalmente, calcule o limite lim
¢x!0
¢f
¢x
.
(a) f(x) = 17¡ 6x
(b) f(x) = 7x2 ¡ 5
Velocidade instantânea e derivadas 9
(c) f(x) = x3 + 2x
(d) f(x) =
p
x
(e) f(x) =
1
x+ 5
(f) f(x) = x5
(g) f(x) =
6
x2
4. Usando as regras de deriva»c~ao estabelecidas, calcule as derivadas das seguintes
fun»c~oes.
(a) f(t) = ¡6t3 + 12t2 ¡ 4t+ 7
(b) f(t) = (3t+ 5)2 Sugest~ao: Primeiro desenvolva o quadrado.
(c) f(x) = (¡2x2 + 1)3 Sugest~ao: Primeiro desenvolva o cubo.
(d) f(x) = (3x2¡7x+1)(x2+x¡1) Sugest~ao: Primeiro desenvolva o produto.
(e) f(x) = x3 ¡ x2 + 15
5. Determine o dom¶³nio de cada uma das seguintes fun»c~oes. Represente-o como um
intervalo ou uma reuni~ao de intervalos de R. No nosso contexto, o dom¶³nio de
uma fun»c~ao f ¶e o conjunto de todos os n¶umeros reais x para os quais f(x) ¶e um
n¶umero real.
(a) f(x) = x3 ¡ 5x+ 3
(b) f(x) = ¡p4¡ x
(c) f(x) = ¡p4¡ x2
(d) f(x) =
p
x2 ¡ 5x+ 4
(e) f(x) =
1p
2x¡ x2
1.4.1 Respostas e sugest~oes
1. (a) 11; 8; 11; 4; 11; 04; 11; 004 (cm/seg).
(b) 11 cm/seg
(c) P se move no sentido positivo quando t > ¡3=8, e no sentido negativo quando
t < ¡3=8
2. 80m/seg e 70m/seg. Em t = 11 seg. Em t = 22 seg, com a velocidade de ¡110m/seg.
3. (a) i. ¢f = ¡6¢x
ii. ¢f¢x = ¡6
iii. f 0(x) = ¡6
(b) i. ¢f = 14x¢x+ 7(¢x)2
ii. ¢f¢x = 14x+ 7¢x
Velocidade instantânea e derivadas 10
iii. f 0(x) = 14x
(c) i. ¢f = (3x2 + 2)¢x+ 3x(¢x)2 + (¢x)3
ii. ¢f¢x = 3x
2 + 2 + 3x(¢x) + (¢x)2
iii. f 0(x) = 3x2 + 2
(d) i. ¢f =
p
x+¢x¡px
ii. ¢f¢x =
p
x+¢x¡px
¢x
iii. f 0(x) = 1
2
p
x
. Sugest~ao. Ao calcular o limite lim
¢x!0
¢f
¢x , o leitor chegar¶a
µa express~ao 0=0, que n~ao tem signi¯cado matem¶atico. Para contornar este
problema, devemos \ajeitar" ¢f¢x , atrav¶es das simpli¯ca»c~oes dadas abaixo.
¢f
¢x
=
p
x+¢x¡px
¢x
=
p
x+¢x¡px
¢x
¢
p
x+¢x+
p
xp
x+¢x+
p
x
=
(x+¢x)¡ x
¢x ¢ (px+¢x+px) =
1p
x+¢x+
p
x
Aqui ¯zemos uso da identidade (
p
a¡pb)(pa+pb) = a¡ b.
(e) i. ¢f = 1
x+¢x+5 ¡ 1x+5 = ¡¢x(x+¢x+5)(x+5)
ii. ¢f¢x =
¡1
(x+¢x+5)(x+5)
iii. f 0(x) = ¡ 1
(x+5)2
(f) f 0(x) = 5x4
(g) f 0(x) = ¡12
x3
4. (a) f 0(t) = ¡18t2 + 24t¡ 4
(b) f 0(t) = 18t+ 30
(c) f 0(x) = ¡48x5 + 48x3 ¡ 12x
(d) f 0(x) = 12x3 ¡ 12x2 ¡ 18x+ 8
(e) f 0(x) = 3x2 ¡ 2x
5. (a) R
(b) ]¡1; 4]
(c) [¡2; 2]
(d) ]¡1; 1] [ [4;+1[
(e) ]0; 2[
Aula 2
Derivadas e retas tangentes. Novas
regras de deriva»c~ao
2.1 A derivada como inclina»c~ao de uma reta tangente
ao gr¶a¯co da fun»c~ao
Na aula anterior, o conceito de derivada foi apresentado atrav¶es do conceito de velocidade
instantânea. Veremos agora uma interpreta»c~ao geom¶etrica da derivada, em rela»c~ao ao
gr¶a¯co da fun»c~ao y = f(x). Esta ¶e uma id¶eia de Fermat.
x ∆ x
0
x
0
+
P
0
P
f( )
∆ x
∆ y
α β
r
t
0
x
y
∆ xx
0
+
f( )x
0
y = f(x)
Figura 2.1. A derivada da fun»c~ao f , em x0, ¶e a inclina»c~ao da reta t, tangente ao gr¶a¯co
de f em P0.
Fixado um valor x0, sendo de¯nido f(x0), seja ¢x 6= 0 um acr¶escimo (ou de-
11
Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivac»~ao 12
cr¶escimo) dado a x0. Sendo x1 = x0 +¢x, temos que a raz~ao
¢y
¢x
=
f(x0 +¢x)¡ f(x0)
¢x
=
f(x1)¡ f(x0)
x1 ¡ x0
¶e o coe¯ciente angular da reta r, secante ao gr¶a¯co da curva y = f(x), passando pelos
pontos P0 = (x0; f(x0)) e P = (x1; f(x1)).
Observando os elementos geom¶etricos da ¯gura 2.1, temos que quando ¢x tende
a 0, o ponto P tem como posi»c~ao limite o ponto P0, e a reta secante P0P ter¶a como
posi»c~ao limite a reta t, tangente ao gr¶a¯co de f no ponto P0.
Na ¯gura, temos ainda, da geometria anal¶³tica elementar,
tg ¯ = tangente do ângulo ¯
= coe¯ciente angular (ou inclina»c~ao) da reta secante P0P
=
¢y
¢x
:
tg® = tangente do ângulo ®
= coe¯ciente angular da reta t, tangente ao gr¶a¯co de f , no ponto P0:
Note aqui diferentes empregos (com diferentes signi¯cados) da palavra tangente: a tan-
gente (trigonom¶etrica) do ângulo ®, nos d¶a a inclina»c~ao, ou declividade, ou coe¯ciente
angular, da reta t, que ¶e (geometricamente) tangente ao gr¶a¯co de f (ou que tangencia
o gr¶a¯co de f) no ponto P0.
Quando ¢x tende a 0, ¯ tende a ®, e ent~ao ¢y
¢x
= tg ¯ tende a tg®.
Da¶³, lim
¢x!0
¢y
¢x
= tg®.
Assim, com este argumento geom¶etrico e intuitivo, interpretamos f 0(x0) = tg® como
sendo o coe¯ciente angular (ou a inclina»c~ao) da reta t, tangente ao gr¶a¯co de f (ou
seja, tangente µa curva y = f(x)) no ponto P0 = (x0; f(x0)).
Sabemos que a equa»c~ao de uma reta, de coe¯ciente angular m, passando por um
ponto P0 = (x0; y0), ¶e dada por
y ¡ y0 = m(x¡ x0):
Assim sendo, temos que a equa»c~ao da reta t, tangente µa curva y = f(x) no ponto
P0 = (x0; y0) = (x0; f(x0)) ¶e dada por
y ¡ y0 = f
0(x0) ¢ (x¡ x0)
Em geral, se queremos aproximar a fun»c~ao f(x), nas proximidades de x0, por uma
fun»c~ao da forma g(x) = ax+ b, tomamos g(x) = f(x0) + f
0(x0) ¢ (x¡ x0).O gr¶a¯co
Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivac»~ao 13
de g ser¶a ent~ao a reta tangente ao gr¶a¯co de f no ponto P0. Dizemos que g(x) ¶e uma
lineariza»c~ao de f(x) nas proximidades de x0.
A reta normal µa curva y = f(x), no ponto P0 dessa curva, ¶e a reta que passa por
P0 perpendicularmente µa curva. Isto, ¶e, r ¶e normal µa curva y = f(x), no ponto P0,
quando r ¶e perpendicular µa reta tangente µa curva nesse ponto.
Lembre-se que se duas retas s~ao perpendiculares, tendo coe¯cientes angulares m
e m0, ent~ao m0 = ¡1=m.
Assim, se f 0(x0) 6= 0, a equa»c~ao da reta r, normal µa curva y = f(x) no ponto
P0 = (x0; y0) ¶e
y ¡ y0 = ¡
1
f 0(x0)
(x¡ x0)
Exemplo 2.1 Qual ¶e a equa»c~ao da reta t, que tangencia a par¶abola y = x2, no ponto
P = (¡1; 1)? Qual ¶e a equa»c~ao da reta r, normal µa par¶abola nesse ponto?
1
1
-1
-1
x
y
P
t
r
Figura 2.2. Representa»c~ao gr¶a¯ca da curva y = x2 e das retas t e r, tangente e normal
µa curva no ponto P = (¡1; 1).
Solu»c~ao. Sendo y = x2, temos
dy
dx
= 2x. Em P , temos x0 = ¡1. O coe¯ciente
angular da reta t ¶e dado por
dy
dx
¯̄̄
¯
x=¡1
= 2 ¢ (¡1) = ¡2:
Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivac»~ao 14
Assim, a reta t, tangente µa curva y = x2 no ponto P , tem equa»c~ao
y ¡ 1 = (¡2)(x¡ (¡1))
ou seja, y = ¡2x¡ 1.
Para escrever a equa»c~ao da reta r, normal µa curva no ponto P , fazemos uso do
fato de que a declividade da reta r ¶e mr = ¡
1
mt
= 1
2
.
Portanto, r tem equa»c~ao y ¡ 1 = 1
2
(x+ 1), ou ainda y = 1
2
x+ 3
2
.
Na ¯gura 2.2 temos a representa»c~ao da curva y = x2 e das retas t e r, respecti-
vamente tangente e normal µa curva no ponto P = (¡1; 1).
Exemplo 2.2 Determine o coe¯ciente angular da reta tangente ao gr¶a¯co de y =
f(x) = x2 ¡ 4x, no ponto de abscissa (primeira coordenada) p. Em qual ponto a reta
tangente ao gr¶a¯co ¶e horizontal?
Solu»c~ao. O coe¯ciente angular da reta tangente µa curva y = x2 ¡ 4x, no ponto
de abscissa p, ¶e m = f 0(p). Como f 0(x) = 2x¡ 4, temos m = 2p¡ 4.
No ponto (p; f(p)) em que a reta tangente ¶e horizontal, temos m = 0, ou seja,
f 0(p) = 0. Logo, p = 2. Assim, o ponto procurado ¶e (2;¡4).
2.2 Novas regras de deriva»c~ao
Regra 2.1 (Derivada de um produto)
(fg)0 = f 0g + fg0
Demonstra»c~ao. Temos
¢f = f(x+¢x)¡ f(x), ¢g = g(x+¢x)¡ g(x).
Portanto
f(x+¢x) = f(x) + ¢f , g(x+¢x) = g(x) + ¢g.
Assim sendo
¢(fg) = f(x+¢x)g(x+¢x)¡ f(x)g(x)
= (f(x) + ¢f)(g(x) + ¢g)¡ f(x)g(x)
= f(x)g(x) + f(x)(¢g) + (¢f)g(x) + (¢f)(¢g)¡ f(x)g(x)
= f(x)(¢g) + (¢f)g(x) + (¢f)(¢g)
Portanto
Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivac»~ao 15
¢(fg)
¢x
= f(x)
¢g
¢x
+
¢f
¢x
g(x) +
¢f
¢x
(¢g)
= f(x)
¢g
¢x
+
¢f
¢x
g(x) +
¢f
¢x
¢g
¢x
¢x
E assim,
lim
¢x!0
¢(fg)
¢x
= lim
¢x!0
µ
f(x)
¢g
¢x
+
¢f
¢x
g(x) +
¢f
¢x
¢g
¢x
¢x
¶
= f(x)g0(x) + f 0(x)g(x) + f 0(x)g0(x) ¢ 0
= f 0(x)g(x) + g0(x)f(x)
Portanto, (f(x)g(x))0 = f 0(x)g(x) + f(x)g0(x).
Observa»c~ao 2.1 Para um valor espec¶³¯co de x, digamos x = x0, temos
¢f = f(x0 +¢x)¡ f(x0).
Embora n~ao tenhamos ainda mencionado, ¶e fato que se podemos calcular o limite
lim
¢x!0
¢f
¢x
= f 0(x0), ent~ao temos lim
¢x!0
¢f = 0.
De fato,
lim
¢x!0
¢f = lim
¢x!0
¢f
¢x
¢¢x = f 0(x0) ¢ 0 = 0:
Exemplo 2.3 Daremos um exemplo para ilustrar a regra da derivada de um produto,
que acabamos de deduzir. Considere p(x) = (x2 + x+ 2)(3x¡ 1)
Expandindo p(x), obtemos p(x) = 3x3 + 2x2 + 5x¡ 2, de onde obtemos p0(x) =
9x2 + 4x+ 5.
Por outro lado, se aplicarmos a f¶ormula da derivada de um produto, obtemos
p0(x) = (x2 + x+ 2)0(3x¡ 1) + (x2 + x+ 2)(3x¡ 1)0
= (2x+ 1)(3x¡ 1) + (x2 + x+ 2) ¢ 3
= 9x2 + 4x+ 5
Regra 2.2 Sendo g uma fun»c~ao deriv¶avel, quando g6= 0 temosµ
1
g
¶
0
= ¡
g0
g2
:
Demonstra»c~ao. Como na dedu»c~ao da propriedade 2.1, temos g(x+¢x) = g(x) + ¢g.
Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivac»~ao 16
Sendo y = 1=g(x), temos
¢y =
1
g(x+¢x)
¡
1
g(x)
=
1
g(x) + ¢g
¡
1
g(x)
=
g(x)¡ (g(x) + ¢g)
(g(x) + ¢g) ¢ g(x)
=
¡¢g
(g(x) + ¢g) ¢ g(x)
Logo,
¢y
¢x
=
¡¢g
¢x
¢
1
(g(x) + ¢g)g(x)
e portanto
dy
dx
= lim
¢x!0
¢y
¢x
= lim
¢x!0
¡¢g
¢x
¢
1
(g(x) + ¢g)g(x)
= ¡g0(x) ¢
1
(g(x))2
= ¡
g0(x)
(g(x))2
Aqui, ¯zemos uso da observa»c~ao 2.1: sendo g deriv¶avel, temos lim
¢x!0
¢g = 0.
Exemplo 2.4 Veri¯que que, sendo n um inteiro positivo, (x¡n)0 = ¡nx¡n¡1.
Solu»c~ao. Aplicando o resultado da propriedade 2.2, temos
(x¡n)0 =
µ
1
xn
¶
0
= ¡
(xn)0
(xn)2
= ¡
nxn¡1
x2n
= ¡nx¡n¡1
Regra 2.3 (Derivada de um quociente)µ
f
g
¶
0
=
f 0g ¡ fg0
g2
Demonstra»c~ao. Deixamos a dedu»c~ao desta regra para o leitor. Para deduzi-la, basta
escrever
f
g
= f ¢
1
g
e ent~ao combinar as regras (propriedades) 2.1 e 2.2.
Exemplo 2.5 Calcular y0, sendo y =
x3 ¡ 1
x3 + 1
Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivac»~ao 17
Solu»c~ao. Aplicando a f¶ormula para a derivada de um quociente, temos
y0 =
µ
x3 ¡ 1
x3 + 1
¶0
=
(x3 ¡ 1)0(x3 + 1)¡ (x3 + 1)0(x3 ¡ 1)
(x3 + 1)2
=
3x2(x3 + 1)¡ 3x2(x3 ¡ 1)
(x3 + 1)2
=
6x2
(x3 + 1)2
2.3 Problemas
1. Utilizando regras de deriva»c~ao previamente estabelecidas, calcule as derivadas das
seguintes fun»c~oes.
(a) f(x) =
4x¡ 5
3x+ 2
(b) f(z) =
8¡ z + 3z2
2¡ 9z
(c) f(w) =
2w
w3 ¡ 7
(d) s(t) = t2 +
1
t2
(e) f(x) =
1
1 + x+ x2 + x3
(f) f(x) =
x2 + 9x+ 2
7
2. Deduza a seguinte f¶ormula de deriva»c~ao:
(fgh)0 = f 0gh+ fg0h+ fgh0
Dê um bom palpite (chute) sobre como seria a f¶ormula para (f1f2 ¢ ¢ ¢ fn¡1fn)
0.
3. Ache as equa»c~oes das retas tangentes ao gr¶a¯co de y =
5
1 + x2
, nos pontos
P = (0; 5), Q = (1; 5=2) e R = (¡2; 1). Esboce (caprichadamente) o gr¶a¯co
dessa curva, plotando pontos com os seguintes valores de x: ¡3, ¡2, ¡1, 0, 1,
2 e 3. No mesmo sistema cartesiano, esboce tamb¶em as retas tangentes µa curva
nos pontos P , Q e R.
4. Escreva as equa»c~oes das retas tangente e normal µa curva y = x3 ¡ 3x2 ¡ x + 5
no ponto de abcissa x = 3.
5. Determine as equa»c~oes das retas t e n, respectivamente tangente e normal µa curva
y = x2, no ponto de abcissa p.
Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivac»~ao 18
6. (Teste sua sensibilidade sobre derivadas) Esboce o gr¶a¯co de y = x2¡4, plotando
os pontos de abcissas (valores de x) ¡2, ¡1, 0, 1, 2 e 3. Em cada um desses
pontos, esboce a reta tangente ao gr¶a¯co, e tente adivinhar o seu coe¯ciente
angular. Marque seu chute ao lado do ponto. Em seguida, calcule cada coe¯ciente
angular usando a derivada y0. Compare seu chute com a resposta exata.
2.3.1 Respostas e sugest~oes
1. (a) f 0(x) =
23
(3x+ 2)2
(b) f 0(z) =
¡27z2 + 12z + 70
(2¡ 9z)2
(c) f 0(w) =
¡4w3 ¡ 14
(w3 ¡ 7)2
(d) s0(t) = 2t¡
2
t3
(e) f 0(x) = ¡
1 + 2x+ 3x2
(1 + x+ x2 + x3)2
(f) f 0(x) =
2x+ 9
7
(Quando c ¶e uma constante, temos a regra
³
f
c
´
0
= f
0
c
)
2. (f1f2 ¢ ¢ ¢ fn¡1fn)
0 = f 01f2 ¢ ¢ ¢ fn¡1fn + f1f
0
2 ¢ ¢ ¢ fn¡1fn + ¢ ¢ ¢ + f1f2 ¢ ¢ ¢ f
0
n¡1fn +
f1f2 ¢ ¢ ¢ fn¡1f
0
n.
3. As equa»c~oes das três retas s~ao, respectivamente, y = 5, 5x+2y¡10 = 0, e 4x¡5y+13 =
0.
4. Reta tangente: y = 8x¡ 22. Reta normal: x+ 8y ¡ 19 = 0.
5. t : y = 2px¡ p2;
n : y = ¡
x
2p
+
1
2
+ p2 (se p6= 0); n : x = 0 (se p = 0).
Aula 3
Deriva»c~ao em cadeia e deriva»c~ao
impl¶³cita
A regra da cadeia ¶e uma regra de deriva»c~ao que nos permite calcular a derivada de
uma composi»c~ao (ou um encadeamento) de fun»c~oes, tais como f(g(x)) ou f(g(h(x))),
conhecendo-se as derivadas f 0(x), g0(x) e h0(x).
Quando temos uma fun»c~ao composta, tal como y = (x3 + x ¡ 1)10, podemos
decompô-la em fun»c~oes elementares. Simplesmente escrevemos
y = u10; u = x3 + x¡ 1:
Na nota»c~ao de Leibniz, a regra da cadeia nos diz que
dy
dx
=
dy
du
¢ du
dx
No caso, teremos ent~ao
dy
dx
=
dy
du
¢ du
dx
= 10u9 ¢ (3x2 + 1)
= 10(x3 + x¡ 1)9(3x2 + 1)
Repetindo tudo, passando da nota»c~ao de Leibniz para a nota»c~ao de Lagrange,
temos
y = f(u); u = g(x)
e ent~ao
dy
dx
=
dy
du
¢ du
dx
= f 0(u) ¢ g0(x)
= f 0(g(x)) ¢ g0(x)
19
Derivac»~ao em cadeia e derivac»~ao impl¶³cita 20
Regra 3.1 (Deriva»c~ao emcadeia) Se y = f(u) e u = g(x) ent~ao
dy
dx
=
dy
du
¢ du
dx
Em outras palavras, sendo y = f(g(x)), tem-se
y0 = [f(g(x))]0 = f 0(g(x)) ¢ g0(x):
Observa»c~ao 3.1 A id¶eia intuitiva que inspira a regra da cadeia ¶e a seguinte: sendo
y = f(u) e u = g(x), temos ¢u = g(x+¢x)¡ g(x) e, ¢y = f(u+¢u)¡ f(u)
Assumindo, para simpli¯car, que ¢u6= 0 sempre que ¢x6= 0 (o que nem sempre
ocorre!), temos
¢y
¢x
=
¢y
¢u
¢ ¢u
¢x
Quando ¢x tende a 0, ¢u tamb¶em tende a 0 (observa»c~ao 2.1), e assim
lim
¢x!0
¢y
¢x
= lim
¢u!0
¢y
¢u
¢ lim
¢x!0
¢u
¢x
e portanto
dy
dx
=
dy
du
¢ du
dx
Nos dispensaremos da tarefa de fazer uma dedu»c~ao mais rigorosa da regra da cadeia,
um procedimento poss¶³vel mas deveras so¯sticado.
Exemplo 3.1 Calcular
dy
dx
, sendo y = ((x2 + 1)10 + 1)8.
Solu»c~ao. Escrevemos
y = u8; u = v10 + 1; v = x2 + 1
Assim, estamos compondo (encadeando) três fun»c~oes. Aplicando a regra da cadeia
temos
dy
dx
=
dy
du
¢ du
dx
=
dy
du
¢ du
dv
¢ dv
dx
= 8u7 ¢ 10v9 ¢ 2x
= 160(v10 + 1)7(x2 + 1)9x
= 160x((x2 + 1)10 + 1)7(x2 + 1)9
Derivac»~ao em cadeia e derivac»~ao impl¶³cita 21
3.1 Derivadas de fun»c~oes dadas implicitamente
Muitas vezes, duas vari¶aveis x e y s~ao tais que, em um certo intervalo de valores de x,
y depende de x, ou seja, y ¶e uma fun»c~ao da vari¶avel x, mas em lugar de uma f¶ormula
y = f(x), temos uma equa»c~ao F (x; y) = c, inter-relacionando ambas as vari¶aveis, tal
como nos dois exemplos abaixo.
(1) x2 + y2 = 2
(2) x3 + y3 = x+ y + xy
µAs vezes, ¶e poss¶³vel resolver a equa»c~ao dada em y, ou seja, \isolar" y no primeiro
membro da equa»c~ao, expressando explicitamente y como vari¶avel dependendo de x. Por
exemplo, no caso da equa»c~ao (1), podemos fazer
y2 = 2¡ x2
e ent~ao
y = §
p
2¡ x2
Neste caso, deduzimos ent~ao que as fun»c~oes
y = f1(x) =
p
2¡ x2 e y = f2(x) = ¡
p
2¡ x2
ambas satisfazem a equa»c~ao x2 + y2 = 2.
No caso da equa»c~ao (2), podemos veri¯car que, por exemplo, o par (1; 0) satisfaz
a equa»c~ao, mas n~ao nos ¶e ¶obvio como resolver a equa»c~ao em y e obter uma fun»c~ao
y = f(x) satifazendo f(1) = 0 e x3 + (f(x))3 = x+ f(x) + xf(x).
No entanto, em ambos os casos, ¶e quase sempre poss¶³vel obter a derivada
dy
dx
, em
um determinado ponto x0, se conhecemos tamb¶em o valor correspondente y0.
Para isto, derivamos ambos os membros da equa»c~ao F (x; y) = c, considerando y como
fun»c~ao de x, e usamos as regras de deriva»c~ao, bem como a regra da cadeia, quando
necess¶ario.
Exemplo 3.2 Obtendo
dy
dx
, a partir da equa»c~ao x2 + y2 = 2, por deriva»c~ao impl¶³cita.
Denotaremos por (¤)0 a derivada da express~ao ¤ (a express~ao que estiver entre
parênteses), em rela»c~ao a x. Inicialmente notamos que, sendo y uma fun»c~ao de x,
temos, pela regra da cadeia, (y2)0 = 2y ¢ y0.
Para obtermos
dy
dx
(ou y0) no caso da equa»c~ao x2 + y2 = 2, fazemos
Derivac»~ao em cadeia e derivac»~ao impl¶³cita 22
x2 + y2 = 2
(x2 + y2)0 = (2)0
(x2)0 + (y2)0 = 0
2x+ 2yy0 = 0
yy0 = ¡x
y0 = ¡x
y
Isto quer dizer que, se y ¶e fun»c~ao de x satisfazendo x2 + y2 = 2, ent~ao
dy
dx
= ¡x
y
.
Como vimos, as fun»c~oes y = f1(x) =
p
2¡ x2 e y = f2(x) = ¡
p
2¡ x2 ambas
satisfazem x2 + y2 = 2. Pela deriva»c~ao \impl¶³cita" efetuada acima, temos
1. Se y = f1(x), ent~ao
dy
dx
= ¡x
y
= ¡ x
f1(x)
. Neste caso, y0 = ¡ xp
2¡ x2 ;
2. Se y = f2(x), ent~ao
dy
dx
= ¡x
y
= ¡ x
f2(x)
. Neste caso, y0 =
xp
2¡ x2
Exemplo 3.3 Obtendo
dy
dx
, a partir da equa»c~ao x3+ y3 = x2y2+ x+ y, por deriva»c~ao
impl¶³cita.
Para obtermos
dy
dx
(ou y0) no caso da equa»c~ao x3 + y3 = x2y2 + x+ y, fazemos
x3 + y3 = x2y2 + x+ y
(x3 + y3)0 = (x2y2 + x+ y)0
3x2 + 3y2y0 = (x2y2)0 + 1 + y0
3x2 + 3y2y0 = (x2)0y2 + x2(y2)0 + 1 + y0
3x2 + 3y2y0 = 2xy2 + x2 ¢ 2yy0 + 1 + y0
Obtemos ent~ao y0, deixando no primeiro membro somente os termos com y0:
3y2y0 ¡ 2x2yy0 ¡ y0 = 1 + 2xy2 ¡ 3x2
(3y2 ¡ 2x2y ¡ 1)y0 = 1 + 2xy2 ¡ 3x2
y0 =
1 + 2xy2 ¡ 3x2
3y2 ¡ 2x2y ¡ 1
Exemplo 3.4 Obter a reta tangente µa curva x3+y3 = x2y2+x+y no ponto P = (1; 0).
Note que o problema s¶o faz sentido porque o ponto (1; 0) de fato pertence µa curva:
13 + 03 = 12 ¢ 02 + 1 + 0.
Derivac»~ao em cadeia e derivac»~ao impl¶³cita 23
Primeiro obtemos
dy
dx
, por deriva»c~ao impl¶³cita, a partir da equa»c~ao x3 + y3 =
x2y2 + x+ y.
Isto j¶a foi feito no exemplo anterior, em que calculamos y0 =
1 + 2xy2 ¡ 3x2
3y2 ¡ 2x2y ¡ 1 .
O coe¯ciente angular da reta tangente procurada ¶e
dy
dx
¯̄̄
¯
x=1
y=0
=
1 + 2xy2 ¡ 3x2
3y2 ¡ 2x2y ¡ 1
¯̄̄
¯
x=1
y=0
=
1¡ 3
¡1 = 2
Assim sendo, a reta procurada tem equa»c~ao y¡0 = 2(x¡1), ou seja, y = 2x¡2.
3.2 Derivada da fun»c~ao potência f (x) = xr, sendo r
um n¶umero racional
Da ¶algebra elementar, temos
x
1
2 =
p
x (x ¸ 0)
x
1
3 = 3
p
x (x real qualquer)
x
1
n = n
p
x (n > 0, x ¸ 0 se n ¶e par, x qualquer se n ¶e ¶³mpar)
x
p
q = q
p
xp (q > 0; quando q ¶e par, x ¸ 0 se p ¶e ¶³mpar positivo, e x > 0 se p ¶e impar
negativo)
Regra 3.2
(x
1
n )0 =
1
n
¢ x 1n¡1
ou seja,
( n
p
x)0 =
1
n
n
p
xn¡1
Regra 3.3 Sendo p e q inteiros, com q > 0,
(x
p
q )0 =
p
q
¢ xpq¡1
Portanto, se r ¶e um expoente racional,
(xr)0 = rxr¡1
Demonstra»c~ao da regra 3.2.
Se y = x
1
n , ent~ao yn = x.
Aplicando deriva»c~ao impl¶³cita obtemos
nyn¡1y0 = 1
Derivac»~ao em cadeia e derivac»~ao impl¶³cita 24
Portanto y0 =
1
nyn¡1
=
1
n
¢ y1¡n = 1
n
¢ (x 1n )1¡n = 1
n
¢ x 1¡nn = 1
n
¢ x 1n¡1
Demonstra»c~ao da regra 3.3.
Sendo p e q inteiros, q > 0, se y = x
p
q , ent~ao yq = xp.
Por deriva»c~ao impl¶³cita, obtemos ent~ao
(yq)0 = (xp)0 ou, equivalentemente qyq¡1y0 = pxp¡1.
Assim, y0 =
pxp¡1
qyq¡1
=
pxpx¡1
qyqy¡1
=
pxpx¡1
qxpy¡1
=
p
q
yx¡1 =
p
q
xp=qx¡1 =
p
q
x
p
q
¡1
Exemplo 3.5 Calcular a derivada de f(x) = 3
p
3x2 + 3x+ 5
Solu»c~ao. Temos f(x) = (3x2 + 3x+ 5)
1
3 .
Aplicando deriva»c~ao em cadeia e a regra 3.3, temos
f 0(x) = [(3x2 + 3x+ 5)
1
3 ]0
=
1
3
(3x2 + 3x+ 5)¡
2
3 (3x2 + 3x+ 5)0
=
1
3
(3x2 + 3x+ 5)¡
2
3 (6x+ 3)
= (3x2 + 3x+ 5)¡
2
3 (2x+ 1)
=
2x+ 1
(3x2 + 3x+ 5)2=3
=
2x+ 1
3
p
(3x2 + 3x+ 5)2
Solu»c~ao alternativa. Sendo y = f(x), temos
y =
3
p
3x2 + 3x+ 5
e portanto
y3 = 3x2 + 3x+ 5
Aplicando deriva»c~ao impl¶³cita, obtemos
3y2y0 = 6x+ 3, ou seja, y0 =
6x+ 3
3y2
de onde
y0 =
2x+ 1
( 3
p
3x2 + 3x+ 5)2
=
2x+ 1
3
p
(3x2 + 3x+ 5)2
Derivac»~ao em cadeia e derivac»~ao impl¶³cita 25
3.3 Problemas
1. Calcule
dy
dx
(a) y =
µ
x3
3
+ 1
¶5
+
µ
x2
2
+ 1
¶4
(b) y =
((x3 + 7)4 + x)5
x2 + 1
(c) y =
µ
x
x+ 1
¶10
2. Calcule as derivadas das seguintes fun»c~oes.
(a) f(x) = (x2 ¡ 3x+ 8)3
(b) f(x) =
x
(x2 ¡ 1)4
(c) F (v) = (17v ¡ 5)1000
(d) s(t) = (4t5 ¡ 3t3 + 2t)¡2
(e) k(u) =
(u2 + 1)3
(4u¡ 5)5
3. Determine (i) a equa»c~ao da reta tangente µa curva no ponto indicado e (ii) os
pontos do gr¶a¯co em que reta tangente µa curva ¶e horizontal, nos casos
(a) y = (4x2 ¡ 8x+ 3)4, P = (2; 81).
(b) y = (2x¡ 1)10, P = (1; 1).
4. Se k(x) = f(g(x)), com f(2) = ¡4, g(2) = 2, f 0(2) = 3 e g0(2) = 5, calcule
k0(2).
5. Determine y0 sendo y uma fun»c~ao de x dada implicitamente pela equa»c~ao
(a) 2x3 + x2y + y3 = 1
(b)
1
x2
+
1
y2
= 1
(c) (y2 ¡ 9)4 = (4x2 + 3x¡ 1)2
6. Veri¯que primeiramente que o ponto P pertence µa curva dada e ache a equa»c~ao
da reta tangente µa curva no ponto P .
(a) xy = ¡16, P = (¡2; 8);
(b) 2x3 ¡ x2y + y3 ¡ 1 = 0, P = (2;¡3).
7. Calcule as derivadas das seguintes fun»c~oes.
Derivac»~ao em cadeia e derivac»~ao impl¶³cita 26
(a) f(x) = 3
p
8x3 + 27
(b) f(x) = (7x+
p
x2 + 3)6
(c) f(t) =
4
(9t2 + 16)2=3
(d) g(z) =
3
p
2z + 3p
3z + 2
(e) F (v) =
5
5
p
v5 ¡ 32
8. Calcule dy
dx
se
(a) 6x+
p
xy ¡ 3y = 4
(b) 3x2 + 3
p
xy = 2y2 + 20
9. Uma fun»c~ao ¶e par se f(¡x) = f(x) para todo x em seu dom¶³nio, e ¶e ¶³mpar se
f(¡x) = ¡f(x) para todo x em seu dom¶³nio. Sendo f deriv¶avel, demonstre que
(a) Se f ¶e par, ent~ao f 0 ¶e ¶³mpar (ou seja, se f(¡x) = f(x) para todo x no
dom¶³nio de f), ent~ao f 0(¡x) = ¡f 0(x);
(b) Se f ¶e ¶³mpar, ent~ao f 0 ¶e par.
3.3.1 Respostas e sugest~oes
1. (a)
dy
dx
= 5x2µ
x3
3
+ 1
¶4
+ 4x
µ
x2
2
+ 1
¶3
(b)
dy
dx
=
5((x3 + 7)4 + x)4(12x2(x3 + 7)3 + 1)(x2 + 1)¡ 2x((x3 + 7)4 + x)5
(x2 + 1)2
(c)
dy
dx
=
10x9
(x+ 1)11
2. (a) f 0(x) = 3(x2 ¡ 3x+ 8)2(2x¡ 3)
(b) f 0(x) =
¡(7x2 + 1)
(x2 ¡ 1)5
(c) F 0(v) = 17000(17v ¡ 5)999
(d) s0(t) = ¡2(4t5 ¡ 3t3 + 2t)¡3(20t4 ¡ 9t2 + 2)
(e) k0(u) =
(u2 + 1)2(4u2 ¡ 30u¡ 20)
(4u¡ 5)6
3. (a) (i) y ¡ 81 = 864(x¡ 2), (ii) (1; 1), (1=2; 0) e (3=2; 0).
(b) (i) y ¡ 1 = 20(x¡ 1), (ii) (1=2; 0).
4. k0(2) = 15.
Derivac»~ao em cadeia e derivac»~ao impl¶³cita 27
5. (a) y0 =
¡(6x2 + 2xy)
x2 + 3y2
(b) y0 = ¡y
3
x3
(c) y0 =
(4x2 + 3x¡ 1)(8x+ 3)
4y(y2 ¡ 9)3
6. (a) 4x¡ y + 16 = 0
(b) y + 3 = ¡36
23
(x¡ 2)
7. (a) f 0(x) = 8x2(8x3 + 27)¡2=3 =
8x2
3
p
(8x3 + 27)2
(b) f 0(x) = 6(7x+
p
x2 + 3)5
µ
7 +
xp
x2 + 3
¶
(c) f 0(t) =
¡48t
3
p
(9t2 + 16)5
(d) g0(z) =
¡3 3p2z + 3
2
p
(3z + 2)3
+
2
3
p
3z + 2 3
p
(2z + 3)2
(e) F 0(v) = ¡5v4(v5 ¡ 32)¡6=5 = ¡5v
4
5
p
(v5 ¡ 32)6
8. (a) y0 =
12
p
xy + y
6
p
xy ¡ x
(b) y0 =
18x5=3y2=3 + y
12x2=3y5=3 ¡ x
9. (a) Se f ¶e uma fun»c~ao par, temos a igualdade f(¡x) = f(x). Derivando ambos
os membros em rela»c~ao a x, temos [f(¡x)]0 = f 0(x). Por deriva»c~ao em cadeia,
aplicada ao primeiro membro, temos f 0(¡x) ¢ (¡x)0 = f 0(x), logo ¡f 0(¡x) =
f 0(x), ou seja f 0(¡x) = ¡f 0(x). Conclu¶³mos ent~ao que se f ¶e fun»c~ao par, sua
derivada f 0 ¶e fun»c~ao ¶³mpar.
Aula 4
Limites. Uma introdu»c~ao intuitiva
Nos cap¶³tulos anteriores, ¯zemos uso de um limite especial para calcular derivadas:
f 0(x) = lim
¢x!0
f(x+¢x)¡f(x)
¢x
.
Neste cap¶³tulo veremos os limites como ferramentas de estudo do comportamento
de fun»c~oes reais, provendo informa»c~oes importantes sobre seus gr¶a¯cos.
A de¯ni»c~ao formal de limite ¶e matematicamente so¯sticada, requerendo muitas
horas de estudo para ser entendida. O leitor interessado poder¶a encontr¶a-la em bons
livros-textos de c¶alculo. Ocorre por¶em que a de¯ni»c~ao de limite tem pouca ou nenhu-
ma serventia quando queremos calcular limites. Faremos uma explora»c~ao intuitiva do
conceito de limite e de suas propriedades, atrav¶es de exemplos e interpreta»c~oes gr¶a¯cas.
Exemplo 4.1 Considere a fun»c~ao f(x) = 2x+3. Quando x assume uma in¯nidade de
valores aproximando-se mais e mais de 0, o n¶umero 2x + 3 assume uma in¯nidade de
valores aproximando-se de 2 ¢ 0+ 3 = 3. Dizemos que o limite de f(x), quando x tende
a 0, ¶e igual a 3, e escrevemos
lim
x!0
f(x) = 3
Suponhamos que f(x) ¶e uma fun»c~ao real de¯nida em uma reuni~ao de intervalos, e
que x0 ¶e um ponto no interior ou no extremo de um desses intervalos. Os matem¶aticos
dizem que lim
x!x0
f(x) = L (L 2 R) quando podemos fazer f(x) arbitrariamente pr¶oximo
de L, tomando x su¯cientemente pr¶oximo de x0, mantendo x6= x0. No exemplo acima,
podemos fazer f(x) pr¶oximo de 3 o quanto quisermos, bastando tomar x bem pr¶oximo
de 0.
Exemplo 4.2 Aqui temos uma lista de exemplos intuitivos.
28
Limites. Uma introduc»~ao intuitiva 29
1. lim
x!a
x = a (a 2 R)
2. lim
x!a
xn = an (n 2 N, a 2 R)
3. Sendo p(x) = anx
n + an¡1xn¡1 + ¢ ¢ ¢+ a1x+ a0, (an; : : : ; a0 todos reais),
lim
x!x0
p(x) = anx
n
0 + an¡1x
n¡1
0 + ¢ ¢ ¢+ a1x0 + a0 = p(x0)
4. lim
x!2
x3 ¡ 3
x2 + 1
=
lim
x!2
(x3 ¡ 3)
lim
x!2
(x2 + 1)
=
8¡ 3
4 + 1
= 1
De¯ni»c~ao 4.1 Nos exemplos acima, de limites com x tendendo a x0, tivemos sempre
x0 no dom¶³nio de f e lim
x!x0
f(x) = f(x0). Quando isto ocorre, dizemos que f ¶e
cont¶³nua no ponto x0.
No pr¶oximo exemplo, temos um limite em que x! x0, mas x0 n~ao est¶a no dom¶³nio
de f .
Exemplo 4.3 Calcular lim
x!2
x3 ¡ 8
x¡ 2 .
Solu»c~ao. Note que, sendo f(x) = x
3¡8
x¡2 , temos que 262 D(f). Quando x se aproxima
de 2, x3 se aproxima de 8. Um c¶alculo direto nos d¶a ent~ao
lim
x!2
x3 ¡ 8
x¡ 2 =
0
0
Este resultado, 0=0, ¶e muito comum no c¶alculo de limites, e n~ao tem signi¯cado como
valor de um limite. A express~ao 0=0 ¶e um s¶³mbolo de indetermina»c~ao ocorrendo em uma
tentativa de c¶alculo de um limite. A ocorrência desta express~ao signi¯ca que o limite
ainda n~ao foi calculado.
Para evitar o s¶³mbolo de indetermina»c~ao 0=0, neste exemplo fazemos
lim
x!2
x3 ¡ 8
x¡ 2 = limx!2
(x¡ 2)(x2 + 2x+ 4)
x¡ 2
= lim
x!2
(x2 + 2x+ 4) (pois x¡ 26= 0)
= 22 + 2 ¢ 2 + 4 = 12
Exemplo 4.4 (C¶alculo de um limite com mudan»ca de vari¶avel)
lim
x!0
3
p
x+ 1¡ 1
x
= ?
Limites. Uma introduc»~ao intuitiva 30
Um c¶alculo direto nos d¶a 0=0, uma indetermina»c~ao.
Fazendo y = 3
p
x+ 1, temos y3 = x+ 1, e portanto x = y3 ¡ 1.
Quando x tende a 0, y tende a 1 (em s¶³mbolos: se x ! 0, ent~ao y ! 1). E a¶³
temos
lim
x!0
3
p
x+ 1¡ 1
x
= lim
y!1
y ¡ 1
y3 ¡ 1
= lim
y!1
y ¡ 1
(y ¡ 1)(y2 + y + 1)
= lim
y!1
1
y2 + y + 1
=
1
3
4.1 Limites in¯nitos. Limites no in¯nito
Consideremos agora a fun»c~ao f(x) =
1
x2
. Temos que o dom¶³nio de f ¶e o conjunto dos
n¶umeros reais diferentes de 0: D(f) = R¡ f0g.
Observe a tabela 4.1. Ali ¯zemos uso do fato de que f ¶e uma fun»c~ao par : f(¡x) =
f(x) para todo x 2 D(f).
Na primeira coluna da tabela 4.1, temos valores de x cada vez mais pr¶oximos de
0. Na ¶ultima coluna, vemos que os valores correspondentes de f(x) tornam-se cada
vez maiores. Neste exemplo, podemos fazer f(x) ultrapassar qualquer n¶umero positivo,
tomando x su¯cientemente pr¶oximo de 0. Dizemos que o limite de f(x), quando x
tende a 0 ¶e \+ in¯nito", e escrevemos
lim
x!0
f(x) = +1
ou seja,
lim
x!0
1
x2
= +1
A interpreta»c~ao geom¶etrica de lim
x!0
(1=x2) = +1 pode ser visualizada na ¯gura
4.1, onde temos um esbo»co do gr¶a¯co da curva y = 1=x2.
Agora observe a tabela 4.2. Notamos agora que, µa medida que x cresce inde¯nida-
mente, assumindo valores positivos cada vez maiores, f(x) =
1
x2
torna-se cada vez mais
pr¶oximo de 0. Isto tamb¶em ¶e sugerido pela ¯gura 4.1. Neste caso, dizemos que o limite
de f(x), quando x tende a \+ in¯nito", ¶e igual a 0, e escrevemos
lim
x!+1
1
x2
= 0
Limites. Uma introduc»~ao intuitiva 31
Tabela 4.1.
x x2 f(x) = 1
x2
§1 1 1
§0; 5 0; 25 100
25
= 4
§0; 2 0; 04 100
4
= 25
§0; 1 0; 01 100
§0; 01 0; 0001 10000
§0; 001 0; 000001 1000000
2
1-1 x
y
2
8
16
4
-2 0
Figura 4.1. lim
x!0
1=x2 = +1, ou seja, µa medida que x se aproxima de 0, y = f(x)
torna-se cada vez maior. Tamb¶em lim
x!+1
1=x2 = 0, ou seja, µa medida em que x cresce,
tomando valores cada vez maiores, f(x) aproxima-se de 0. E ainda lim
x!¡1
1=x2 = 0.
Nas tabelas 4.1 e 4.2 tamb¶em ilustramos:
lim
x!0
x2 = 0 lim
x!+1
x2 = +1
Tamb¶em podemos facilmente inferir
lim
x!¡1
x2 = +1 lim
x!¡1
1
x2
= 0
Com estes exemplos simples damos in¶³cio µa nossa ¶algebra de limites:
Limites. Uma introduc»~ao intuitiva 32
Tabela 4.2.
x x2 f(x) = 1
x2
1 1 1
2 4 1
4
= 0; 25
5 25 1
25
= 0; 04
10 100 0; 01
100 10000 0; 0001
103 106 10¡6
(+1) + (+1) = +1 (¡1) + (¡1) = ¡1
(§1)2 = +1 (+1)(¡1) = ¡1
(+1)3 = +1 (¡1)3 = ¡1
(¡1)(inteiro positivo par) = +1 (¡1)(inteiro positivo ¶³mpar) = ¡1
1
§1 = 0
+1+ c = +1 (c constante) ¡1+ c = ¡1 (c constante)
c ¢ (+1) =
(
+1 se c > 0
¡1 se c < 0 c ¢ (¡1) =
(
+1 se c < 0
¡1 se c > 0
+1
c
=
(
+1 se c > 0
¡1 se c < 0
¡1
c
=
(
+1 se c < 0
¡1 se c > 0
Mas aten»c~ao! Cautela com essa nova \aritm¶etica"! Os \resultados"
§1
§1 , (+1)¡ (+1), (¡1) + (+1), 0 ¢ (§1)
s~ao novos s¶³mbolos de indetermina»c~ao. Nada signi¯cam como valores de limites. Se
chegarmos a algum deles no c¶alculo de um limite, temos que repensar o procedimento
de c¶alculo.
Exemplo 4.5 Calcular lim
x!+1
3x2 ¡ 2x¡ 1
x3 + 4
Solu»c~ao. Uma substitui»c~ao direta nos d¶a
lim
x!+1
3x2 ¡ 2x¡ 1
x3 + 4
=
+1¡ (+1)¡ 1
+1+ 4
Limites. Uma introduc»~ao intuitiva 33
Para evitarmos s¶³mbolos de indetermina»c~ao, fazemos
lim
x!+1
3x2 ¡ 2x¡ 1
x3 + 4
= lim
x!+1
x2(3¡ 2
x
¡ 1
x2
)
x3(1 + 4
x3
)
= lim
x!+1
3¡ 2
x
¡ 1
x2
x(1 + 4
x3
)
=
3¡ 2
+1 ¡ 1+1
+1(1 + 4
+1)
=
3¡ 0
+1 ¢ (1 + 0) =
3
+1 = 0
Nos limites da forma lim
x!§1
p(x)
q(x)
, em que p(x) e q(x) s~ao polinômios em x, prevalecem
os termos de maior grau de ambos os polinômios, ou seja, se
p(x) =anx
n + an¡1x
n¡1 + ¢ ¢ ¢+ a1x+ a0;
q(x) = bmx
m + bm¡1x
m¡1 + ¢ ¢ ¢+ b1x+ b0
ent~ao lim
x!§1
p(x)
q(x)
= lim
x!§1
anx
n
bmxm
.
Deixamos a dedu»c~ao disto para o leitor, como um exerc¶³cio.
Por exemplo, no exemplo que acabamos de estudar, bastar¶³amos fazer
lim
x!+1
3x2 ¡ 2x¡ 1
x3 + 4
= lim
x!+1
3x2
x3
= lim
x!+1
3
x
=
3
+1 = 0
Mas aten»c~ao. Isto s¶o vale para limites de quocientes de polinômios, em que
x! §1.
Exemplo 4.6 Calcular lim
x!¡1
(x5 ¡ x3)
Temos
lim
x!¡1
(x5¡x3) = (¡1)5¡ (¡1)3 = (¡1)¡ (¡1) = (¡1)+(+1), portanto
chegamos a um s¶³mbolo de indetermina»c~ao.
Podemos no entanto fazer
lim
x!¡1
(x5 ¡ x3) = lim
x!¡1
x5(1¡ 1
x2
) = +1 ¢ (1¡ 0) = +1.
Exemplo 4.7 Calcular lim
x!0
1
x
.
Limites. Uma introduc»~ao intuitiva 34
Solu»c~ao. Aqui podemos ser induzidos a dizer, tal como no exemplo do limite lim
x!0
1
x2
,
que lim
x!0
1
x
¶e in¯nito. Ok, mas qual \in¯nito"? +1 ou ¡1 ? A resposta ¶e, neste caso,
nenhum dos dois!
Se x se aproxima de 0 por valores positivos, ent~ao 1=x tende a +1. Por¶em se x
se aproxima de 0 assumindo somente valores negativos, ent~ao 1=x tende a ¡1 (j1=xj
¯ca cada vez maior, por¶em 1=x mant¶em-se sempre < 0).
Neste caso, dizemos que n~ao existe o limite lim
x!0
1
x
.
O comportamento da fun»c~ao f(x) =
1
x
, nas proximidades de x = 0, ser¶a melhor
estudado na pr¶oxima aula, quando introduziremos o conceito de limites laterais.
4.2 Ilustra»c~oes geom¶etricas da ocorrência de alguns
limites
Na ¯gura 4.2 temos o esbo»co de um gr¶a¯co de uma fun»c~ao de¯nida no conjunto
R¡ fx0g, para a qual lim
x!x0
f(x) = a e lim
x!x1
f(x) = b = f(x1).
a
b
y = f(x)
y
x0 x0 x1
Figura 4.2. x0 n~ao est¶a no dom¶³nio de f , lim
x!x0
f(x) = a, e lim
x!x1
f(x) = b = f(x1)
Na ¯gura 4.3 temos o esbo»co de um gr¶a¯co de uma fun»c~ao de¯nida em todo o
conjunto R, para a qual lim
x!+1
f(x) = a e lim
x!¡1
f(x) = b.
Na ¯gura 4.4 temos o esboco de um gr¶a¯co de uma fun»c~ao de¯nida em R¡ fag,
para a qual lim
x!a
f(x) = +1. Na ¯gura 4.5 temos o esboco de um gr¶a¯co de uma
fun»c~ao de¯nida em R ¡ fag, para a qual lim
x!a
f(x) = ¡1. Na ¯gura 4.6 ilustramos o
esboco de um gr¶a¯co de uma fun»c~ao de¯nida em R¡fag, para a qual lim
x!a
f(x) = ¡1,
lim
x!¡1
f(x) = b e lim
x!+1
f(x) = ¡1.
Limites. Uma introduc»~ao intuitiva 35
a
b
y = f(x)
y
x0
Figura 4.3. lim
x!+1
f(x) = a, e lim
x!¡1
f(x) = b
a
y = f(x)
y
x0
Figura 4.4. lim
x!a
f(x) = +1
a
y = f(x)
y
x0
Figura 4.5. lim
x!a
f(x) = ¡1
Limites. Uma introduc»~ao intuitiva 36
a
y = f(x)
y
x0
b
Figura 4.6. lim
x!a
f(x) = ¡1, lim
x!¡1
f(x) = b, e lim
x!+1
f(x) = ¡1
4.3 Problemas
1. Calcule os limites.
(a) lim
x!2
x2 ¡ 4
x¡ 2 (b) limx!1
x2 ¡ x
2x2 + 5x¡ 7
(c) lim
k!4
k2 ¡ 16p
k ¡ 2 (d) limh!0
(x+ h)3 ¡ x3
h
(e) lim
h!¡2
h3 + 8
h+ 2
(f) lim
z!10
1
z ¡ 10
(g) lim
x!1
1
(x¡ 1)4 (h) limx!p2(x
2 + 3)(x¡ 4)
(i) lim
x!p2
15 (j) lim
x!1=2
2x2 + 5x¡ 3
6x2 ¡ 7x+ 2
(k) lim
x!¡2
x3 + 8
x4 ¡ 16 (l) lims!4
6s¡ 1
2s¡ 9
(m) lim
x!1
µ
x2
x¡ 1 ¡
1
x¡ 1
¶
(n) lim
h!0
4¡p16 + h
h
(o) lim
t!¡1
(4t2 + 5t¡ 3)3
(6t+ 5)4
(p) lim
h!0
(2 + h)¡2 ¡ 2¡2
h
2. Demonstre que se
p(x) = anx
n + an¡1x
n¡1 + ¢ ¢ ¢+ a1x+ a0; e
q(x) = bmx
m + bm¡1x
m¡1 + ¢ ¢ ¢+ b1x+ b0;
sendo a0; : : : ; an; b0; : : : ; bn n¶umeros reais com an 6= 0 e bm6= 0, ent~ao
Limites. Uma introduc»~ao intuitiva 37
(a) lim
x!§1
p(x)
q(x)
= lim
x!§1
anx
n
bmxm
(b) lim
x!§1
p(x) = lim
x!§1
anx
n
3. Calcule os limites.
(a) lim
x!+1
2x+ 3
x+ 3
p
x
(b) lim
x!+1
3
p
x2 + 1
x+ 1
(c) lim
x!+1
2x2 ¡ x+ 3
x3 ¡ 8x¡ 5 (d) limx!¡1
2x2 ¡ 3x¡ 4p
x2 + 1
(e) lim
x!+1
(2x+ 3)3(2¡ 3x)2
x5 + 5
(f) lim
x!+1
(
p
x+ a¡px)
(g) lim
x!+1
(
p
x2 + ax¡ x) (h) lim
x!+1
(x+ 3
p
1¡ x3)
(i) lim
x!+1
( 3
p
x+ 8x3 ¡ 2x) (j) lim
x!+1
x(
p
x2 + 1¡ x)
4. Considerando as duas primeiras colunas da tabela 4.1, de valores para a fun»c~ao
g(x) = x2, Jo~aozinho argumentou que, quanto mais pr¶oximo de 0 ¶e o valor de x,
mais pr¶oximo de ¡1 ¯ca g(x). Explique porquê Jo~aozinho est¶a certo. Isto quer
dizer que lim
x!0
g(x) = ¡1 ? Explique.
4.3.1 Respostas e sugest~oes
1. (a) 4 (b) 1=9 (c) 32 (d) 3x2 (e) 12 (f) n~ao existe (g) +1 (h) 5p2¡ 20 (i) 15
(j) ¡7 (k) ¡3=8 (l) ¡23 (m) 2 (n) ¡1=8 (o) ¡64 (p) ¡1=4
2. (a)
lim
x!§1
p(x)
q(x)
= lim
x!§1
anx
n
³
1 + an¡1anx + ¢ ¢ ¢+ a1anxn¡1 +
a0
anxn
´
bmxm
³
1 + bm¡1bmx + ¢ ¢ ¢+ b1bmxm¡1 +
b0
bmxm
´
= lim
x!§1
anx
n
bmxm
¢ lim
x!§1
1 + an¡1anx + ¢ ¢ ¢+ a1anxn¡1 +
a0
anxn
1 + bm¡1bmx + ¢ ¢ ¢+ b1bmxm¡1 +
b0
bmxm
= lim
x!§1
anx
n
bmxm
¢ lim
x!§1
1 + an¡1§1 + ¢ ¢ ¢+ a1§1 + a0§1
1 + bm¡1§1 + ¢ ¢ ¢+ b1§1 + b0§1
= lim
x!§1
anx
n
bmxm
¢ 1 + 0 + ¢ ¢ ¢+ 0
1 + 0 + ¢ ¢ ¢+ 0 = limx!§1
anx
n
bmxm
3. (a) 2 (b) 0 (c) 0
(d) +1.
Sugest~ao: lim
x!¡1
2x2 ¡ 3x¡ 4p
x2 + 1
= lim
x!¡1
x2
¡
2¡ 3x ¡ 4x2
¢q
x2
¡
1 + 1
x2
¢ = limx!¡1 x2
¡
2¡ 3x ¡ 4x2
¢
jxj
q
1 + 1
x2
.
Agora, como x! ¡1, temos x < 0, e ent~ao jxj = ¡x.
Limites. Uma introduc»~ao intuitiva 38
(e) 72
(f) 0. Sugest~ao:
p
x+ a¡px = (
p
x+ a¡px)(px+ a+px)p
x+ a+
p
x
.
(g) a=2 (h) 0. Sugest~ao: Para contornar a indetermina»c~ao +1¡1, fa»ca
x+
3
p
1¡ x3 = (x+
3
p
1¡ x3)[x2 ¡ x ¢ 3p1¡ x3 + ( 3p1¡ x3)2]
x2 ¡ x ¢ 3p1¡ x3 + ( 3p1¡ x3)2 , e use a identidade
(a+ b)(a2 ¡ ab+ b2) = a3 + b3.
(i) 0. Sugest~ao: Aproveite a id¶eia usada na solu»c~ao do problema anterior, agora fazendo
uso da identidade (a¡ b)(a2 + ab+ b2) = a3 ¡ b3.
(j) 1=2
Aula 5
Limites laterais
Para cada x real, de¯ne-se o valor absoluto ou m¶odulo de x como sendo
jxj =
(
x se x ¸ 0
¡x se x < 0
Por exemplo, jp2j = p2, j+ 3j = +3, j¡ 4j = 4, j0j = 0, j1 ¡ p2j = p2 ¡ 1 (pois
1¡p2 < 0).
Para apresentar o conceito de limites laterais, consideraremos a fun»c~ao
f(x) = x+
x
jxj
cujo campo de de¯ni»c~ao (dom¶³nio) ¶e o conjunto R¡ f0g.
Se x > 0, jxj = x e portanto f(x) = x + 1. Se x < 0, jxj = ¡x e portanto
f(x) = x¡ 1. O gr¶a¯co de f ¶e esbo»cado na ¯gura 5.1.
1
1
-1 x
y
-1
2-2
-2
2
Figura 5.1. Esbo»co do gr¶a¯co de f(x) = x+ x
jxj
.
39
Limites laterais 40
Se x tende a 0, mantendo-se > 0, f(x) tende a 1. Se tende a 0, mantendo-se
< 0, f(x) tende a ¡1.
Dizemos ent~ao que o limite de f(x), quando x tende a 0 pela direita, ¶e igual a 1,
e denotamos
lim
x!0+
f(x) = 1
Dizemos tamb¶em que o limite de f(x), quando x tende a 0 pela esquerda, ¶e igual
a ¡1, e denotamos
lim
x!0¡
f(x) = ¡1
De um modo geral, sendo f(x) uma fun»c~ao, se x0 est¶a no interior ou ¶e extremo
inferior de um intervalo contido em D(f),
lim
x!x+
0
f(x) signi¯ca lim
x!x0
x>x0
f(x)
Se x0 est¶a no interior ou ¶e extremo superior de um intervalo contido em D(f),
lim
x!x¡
0
f(x) signi¯ca lim
x!x0
x<x0
f(x)
Exemplo 5.1
Consideremos agora a fun»c~ao f(x) = 1=x. Conforme j¶a observado no exemplo 4.7, aula
4 (reveja-o), esta fun»c~ao n~ao tem limite quando x! 0.
Temos D(f) = R¡ f0g = ]¡1; 0[ [ ]0;+1[. Assim, 0 ¶e extremo superior do
intervalo ]¡1; 0[½ D(f), e tamb¶em ¶e extremo inferior do intervalo ]0;+1[½ D(f).
1
1
-1 x
y
-1
2-2
-2
2
3
3
0
y=1/x
Figura 5.2. limx!0+
1
x
= +1, limx!0¡ 1x = ¡1
No esbo»co do gr¶a¯co de f , ¯gura 5.2, ilustramos a ocorrência dos limites laterais
lim
x!0+
1
x
= lim
x!0
x>0
1
x
= +1 lim
x!0¡
1
x
= lim
x!0
x<0
1
x
= ¡1
Limites laterais 41
(Tamb¶em ilustramos que lim
x!+1
1
x
= lim
x!¡1
1
x
= 0.)
Neste caso, ¶e conveniente denotar, introduzindo novos s¶³mbolos em nossa ¶algebra
de limites,
lim
x!0+
1
x
=
1
0+
= +1 lim
x!0¡
1
x
=
1
0¡
= ¡1
Observa»c~ao 5.1 Em geral, dizemos que
lim
x!x0
f(x) = 0+ se
(i) lim
x!x0
f(x) = 0, e
(ii) f(x) mant¶em-se > 0 quando x! x0, ou seja, f(x) > 0 para todo x su¯ciente-
mente pr¶oximo de x0.
Dizemos que lim
x!x0
f(x) = 0¡ se
(i) lim
x!x0
f(x) = 0, e
(ii) f(x) mant¶em-se < 0 quando x! x0, ou seja, f(x) < 0 para todo x su¯ciente-
mente pr¶oximo de x0.
Escrevemos ainda lim
x!x+
0
f(x) = 0+ para indicar que
(i) lim
x!x+
0
f(x) = 0, e (ii) f(x) > 0 quando x! x0 e x > x0.
Analogamente, podemos tamb¶em conceituar os casos
lim
x!x+0
f(x) = 0¡, lim
x!x¡
0
f(x) = 0¡, e lim
x!x¡
0
f(x) = 0+.
Nossa ¶algebra de limites passa a contar agora com os seguintes novos resultados:
c
0+
=
(
+1 se c > 0
¡1 se c < 0
c
0¡
=
(
¡1 se c > 0
+1 se c < 0
Tamb¶em ¶e f¶acil intuir que
+1
0+
= +1 +1
0¡
= ¡1 ¡1
0+
= ¡1 ¡1
0¡
= +1
Exemplo 5.2
lim
x!1
(x¡ 1)2 = 0+, portanto lim
x!1
1
(x¡ 1)2 =
1
0+
= +1.
Limites laterais 42
lim
x!0+
2x¡ 3
x
=
¡3
0+
= ¡1
lim
x!+1
5
x¡ 3 =
5
+1 = 0
+
Exemplo 5.3 Calcular lim
x!¡2+
x+ 2
jx+ 2j e limx!¡2¡
x+ 2
jx+ 2j
Solu»c~ao. Observe que x+ 2 > 0 se e somente se x > ¡2.
Assim sendo, se x > ¡2, temos x+ 2 > 0 e ent~ao jx+ 2j = x+ 2.
Por outro lado, se x < ¡2, temos x+ 2 < 0 e ent~ao jx+ 2j = ¡(x+ 2).
Assim sendo, temos
lim
x!¡2+
x+ 2
jx+ 2j = limx!¡2
x>¡2
x+ 2
jx+ 2j = limx!¡2
x>¡2
x+ 2
x+ 2
= lim
x!¡2
1 = 1
lim
x!¡2¡
x+ 2
jx+ 2j = limx!¡2
x<¡2
x+ 2
jx+ 2j = limx!¡2
x<¡2
x+ 2
¡(x+ 2) = limx!¡2¡1 = ¡1
Observa»c~ao 5.2 A a¯rma»c~ao
lim
x!x0
f(x) = a
¶e equivalente µa a¯rma»c~ao, simultânea, de que
lim
x!x+
0
f(x) = a e lim
x!x¡
0
f(x) = a
Se no entanto f(x) ¶e de¯nida para x > x0, mas n~ao ¶e de¯nida para x < x0, ent~ao
limx!x0 f(x) = a signi¯ca limx!x+
0
f(x) = a
Por exemplo, limx!0
p
x = 0, muito embora
p
x n~ao esteja de¯nida para x < 0.
Neste caso, a¯rmar que limx!0
p
x = 0 signi¯ca que limx!0+
p
x = 0, j¶a que n~ao se
de¯ne o limite limx!0¡
p
x
Observa»c~ao 5.3 (O gr¶a¯co de uma fun»c~ao cont¶³nua em [a; b])
No exemplo ao in¶³cio da aula, vimos que a fun»c~ao f(x) = x+ x=jxj tem limites laterais
diferentes no ponto x0 = 0, sendo lim
x!0+
f(x) = 1 e lim
x!0¡
f(x) = ¡1. Assim, conforme
podemos vizualizar na ¯gura 5.1, o gr¶a¯co de f apresenta um salto no ponto 0.
Tamb¶em a fun»c~ao f(x) = 1=x tem um salto no ponto 0. Agora por¶em o salto ¶e
in¯nito, sendo lim
x!0+
f(x) = +1 e lim
x!0¡
f(x) = ¡1.
Limites laterais 43
a x
y
b0
f(a)
f(b)
Figura 5.3. f ¶e cont¶³nua e diferenci¶avel no intervalo [a; b].
a x
y
b0
f(a)
f(b)
c d
Figura 5.4. f ¶e cont¶³nua no intervalo [a; b], mas n~ao tem derivadas nos pontos c e d.
Na aula 4, estivemos observando que a fun»c~ao f(x) = 1=x2 tem limite in¯nito no
ponto 0: lim
x!0
f(x) = +1. Aqui, nas proximidades de 0, o gr¶a¯co \salta" para cima dos
dois lados, apresentando uma quebra na curva do gr¶a¯co.
Quando uma fun»c~ao f(x) ¶e cont¶³nua nos pontos de um intervalo [a; b], a curva
y = f(x), a · x · b, gr¶a¯co de f no intervalo [a; b], n~ao apresenta quebras ou saltos.
Intuitivamente falando, podemos desenhar o gr¶a¯co ligando o ponto inicial A =
(a; f(a)) ao ponto ¯nal B = (b; f(b)) sem tirarmos o l¶apis do papel, tal como na ¯gura
5.3.
Observa»c~ao 5.4 (Uma fun»c~ao cont¶³nua pode n~ao ter derivada sempre) J¶a na ¯gu-
ra 5.4 temos uma ilustra»c~ao de uma fun»c~ao cont¶³nua no intervalo [a; b] que, no entanto,
n~ao tem derivada em dois pontos desse intervalo. Note que nos pontos correspondentes
a c e d n~ao ¶e poss¶³vel tra»car retas tangentes ao gr¶a¯co de f .
Observa»c~ao 5.5 (Continuidade signi¯ca lim
¢x!0
¢f = 0) Na observa»c~ao 2.1, aula 2,
vimos que, sendo x0 2 D(f), se existe f 0(x0) ent~ao lim
¢x!0
¢f = 0. Na verdade, n~ao ¶e
necess¶ario termos f diferenci¶avel x0 para que tenhamos lim
¢x!0
¢f = 0.
Limites laterais 44
A condi»c~ao necess¶aria e su¯ciente para que tenhamos lim
¢x!0
¢f = 0 ¶e que f seja
cont¶³nua no ponto x0.
Vejamos: ¢f = f(x0 +¢x)¡ f(x0).
Fazendo x = x0 + ¢x, temos ¢f = f(x) ¡ f(x0). Temos que ¢x ! 0 se e
somente se x! x0.
Se lim
¢x!0
¢f = 0, ent~ao lim
x!x0
(f(x)¡ f(x0)) = 0, logo
lim
x!x0
f(x) = lim
x!x0
[(f(x)¡ f(x0)) + f(x0)] = 0 + f(x0) = f(x0). Assim, f ¶e cont¶³nua
em x0.
Se f ¶e cont¶³nua em x0, lim
x!x0
f(x) = f(x0). Logo, lim
x!x0
(f(x) ¡ f(x0)) = 0, e
ent~ao lim
¢x!0
¢f = 0.
Assim, lim
¢x!0
¢f = 0, lim
x!x0
f(x) = f(x0).
Quando existe f 0(x0), temos lim
¢x!0
¢f = 0 e ent~ao lim
x!x0
f(x) = f(x0), ou seja
Se f tem derivada em x0 ent~ao f ¶e cont¶³nua em x0.
No entanto, podemos ter f cont¶³nua em x0, sem ter derivada em x0. Veja proble-
mas 5 e 6 abaixo.
5.1 Problemas
-1/2
-1
1 20 x
y
Figura 5.5.
Limites laterais 45
1. Na ¯gura 5.5 est¶a esbo»cado o gr¶a¯co de uma fun»c~ao y = f(x). Complete as
igualdades:
(a) lim
x!1¡
f(x) = (b) lim
x!1+
f(x) = (c) lim
x!2¡
f(x) =
(d) lim
x!2+
f(x) = (e) lim
x!0¡
f(x) = (f) lim
x!0+
f(x) =
(g) lim
x!+1
f(x) = (h) lim
x!¡1
f(x) =
2. Em que pontos a fun»c~ao f do problema anterior ¶e de¯nida? Em quais pontos ¶e
cont¶³nua?
3. Calcule os limites laterais
(a) lim
x!¼¡
j¼ ¡ xj
x¡ ¼ (b) limx!¼+
j¼ ¡ xj
x¡ ¼ (c) limx!8¡
1
x¡ 8
(d) lim
x!8+
1
x¡ 8 (e) limx!2+
x2 ¡ 5x+ 4
2¡ x (f) limx!2+
p
x¡ 2
4. Calcule os limites lim
x!¡3+
f(x), lim
x!¡3¡
f(x) e diga se existe o limite lim
x!¡3
f(x).
Diga tamb¶em se f ¶e cont¶³nua no ponto ¡3.
(a) f(x) =
8<
:
1
2¡ 3x se x < ¡3
3
p
x+ 2 se x ¸ ¡3
(b) f(x) =
8<
:
9
x2
se x · ¡3
3
p
4 + x se x > ¡3
5. Veri¯que que a fun»c~ao f(x) = jxj ¶e cont¶³nua em x0 = 0, mas n~ao existe f 0(0)
(mostre que n~ao existe o limite lim
¢x!0
f(0+¢x)¡f(0)
¢x
). Mostre que existem os limites
laterais lim
¢x!0+
f(0+¢x)¡f(0)
¢x
e lim
¢x!0¡
f(0+¢x)¡f(0)
¢x
, chamados respectivamente de
derivada direita de f no ponto 0 (f 0(0+)) e derivada esquerda de f no ponto 0
(f 0(0¡)). Esboce o gr¶a¯co de f e interprete geometricamente os fatos deduzidos
acima.
6. Veri¯que que a fun»c~ao f(x) = 3
p
x ¶e cont¶³nua em x0 = 0, mas lim
¢x!0
f(0+¢x)¡f(0)
¢x
=
+1. Neste caso, por abuso de linguagem, dizemos que f 0(0) = +1. Esboce o
gr¶a¯co de f , tra»cando-o cuidadosamente atrav¶es dos pontos de abcissas 0, §1=8,
§1, §8, e interprete geometricamente o fato de que f 0(0) = +1.
5.1.1 Respostas e sugest~oes
1. (a) ¡1 (b) ¡1=2 (c) +1 (d) 0 (e) ¡1 (f) ¡1 (g) ¡1=2 (h) ¡1
2. A fun»c~ao f ¶e de¯nida em R¡ f1g. ¶E cont¶³nua em R¡ f1; 2g.
3. (a) ¡1 (b) 1 (c) ¡1 (d) +1 (e) +1 (f) 0
Limites laterais 46
4.
(a) lim
x!¡3+
f(x) = ¡1, lim
x!¡3¡
f(x) = 1=11. N~ao se de¯ne (n~ao existe) o limite
lim
x!¡3
f(x). f(¡3) = ¡1, mas como n~ao existe lim
x!¡3
f(x), f n~ao ¶e cont¶³nua no ponto
¡3.
(b) lim
x!¡3+
f(x) = 1, lim
x!¡3¡
f(x) = 1, lim
x!¡3
f(x) = 1. f ¶e cont¶³nua no ponto ¡3 pois
lim
x!¡3
f(x) = f(¡3).
5. Ao esbo»car o gr¶a¯co de f , notamos que f(x) = x, se x ¸ 0, e f(x) = x, se x · 0.
Assim, f 0(0+) = 1 indica a presen»ca de uma reta tangente ao gr¶a¯co de f , \µa direita do
ponto (0; 0)", como sendo a reta tangente ao gr¶a¯co de y = x, x ¸ 0, no ponto (0; 0) (a
reta tangente a uma reta ¶e a pr¶opria reta). Analogamente, interpreta-se f 0(0¡) = ¡1.
6. f 0(0) = +1 signi¯ca que a reta tangente µa curva y = 3px, no ponto (0; 0), ¶e vertical.
Aula 6
Esbo»cando gr¶a¯cos: primeiros passos
Existe o processo simples de esbo»car-se o gr¶a¯co de uma fun»c~ao cont¶³nua ligando-se
um n¶umero ¯nito de pontos P1 = (x1; f(x1)); : : : ; Pn = (xn; f(xn)), de seu gr¶a¯co, no
plano xy. Mas este procedimento nem sempre revela as nuances do gr¶a¯co.
Nesta aula veremos como as derivadas s~ao ferramentas auxiliares no esbo»co desses
gr¶a¯cos, provendo informa»c~oes qualitativas que n~ao podem ser descobertas atrav¶es de
uma simples plotagem de pontos.
6.1 Crescimento e decrescimento
x
f(x)
x
y
quando x cresce
f(x) cresce
1 2
xx
f(x )1
f(x )2
0
Figura 6.1. f ¶e crescente em um certo intervalo I.
De¯ni»c~ao 6.1
1. A fun»c~ao f(x) ¶e crescente no intervalo I (I ½ R) se, nesse intervalo, quando x
aumenta de valor, f(x) tamb¶em aumenta de valor.
Em outras palavras, f ¶e crescente se vale a implica»c~ao
x1 < x2 ) f(x1) < f(x2)
47
Esboc»ando gr¶aficos: primeiros passos 48
para quaisquer x1; x2 2 I.
2. A fun»c~ao f(x) ¶e decrescente no intervalo I (I ½ R) se, nesse intervalo, quando
x cresce em valor, f(x) decresce.
Em outras palavras, f ¶e decrescente se vale a implica»c~ao
x1 < x2 ) f(x1) > f(x2)
para quaisquer x1; x2 2 I.
x
f(x)
x
y
quando x cresce
f(x) decresce
f(x )
1
f(x )2
1 2
xx
y=f(x)
0
Figura 6.2. f ¶e decrescente em umcerto intervalo I.
Teorema 6.1 Suponhamos que f ¶e cont¶³nua no intervalo fechado [a; b] e tem derivada
nos pontos do intervalo aberto ]a; b[.
1. Se f 0(x) > 0 nos pontos do intervalo aberto ]a; b[, ent~ao f ¶e crescente no
intervalo [a; b].
2. Se f 0(x) < 0 nos pontos do intervalo aberto ]a; b[, ent~ao f ¶e decrescente no
intervalo [a; b].
N~ao iremos demonstrar o teorema 6.1 aqui. Iremos apenas ilustrar geometricamente o
fato de que esse teorema ¶e bastante plaus¶³vel.
Na ¯gura 6.3, em que f ¶e crescente em um certo intervalo [a; b], todas as retas
tangentes ao gr¶a¯co de f , no intervalo ]a; b[, s~ao inclinadas para a direita. Da¶³ os
coe¯cientes angulares dessas retas s~ao todos positivos. Como o coe¯ciente angular em
um ponto P = (c; f(c)) ¶e f 0(c), temos f 0(c) > 0 para cada c 2]a; b[.
O comportamento de f 0(x) nos extremos do intervalo n~ao precisa ser levado em
considera»c~ao. Na ¯gura 6.3, temos f 0(a) = 0 e f 0(b) = +1 (a reta tangente em
(b; f(b)) ¶e vertical, lim
x!b¡
f 0(x) = +1).
Na ¯gura 6.4, em que f ¶e decrescente em um certo intervalo [a; b], todas as retas
tangentes ao gr¶a¯co de f , no intervalo ]a; b[, s~ao inclinadas para a esquerda. Da¶³ os
Esboc»ando gr¶aficos: primeiros passos 49
a b
Figura 6.3. Os coe¯cientes angulares, das retas tangentes, sempre positivos, ¶e indicativo
de fun»c~ao crescente.
coe¯cientes angulares dessas retas s~ao todos negativos. Como o coe¯ciente angular em
um ponto P = (c; f(c)) ¶e f 0(c), temos f 0(c) < 0 para cada c 2]a; b[.
O comportamento de f 0(x) nos extremos do intervalo n~ao precisa ser levado em
considera»c~ao. Na ¯gura 6.4, temos f 0(a) = 0 e f 0(b) = ¡1 (a reta tangente em
(b; f(b)) ¶e vertical, lim
x!b¡
f 0(x) = ¡1).
a
b
Figura 6.4. Os coe¯cientes angulares, das retas tangentes, sempre negativos, ¶e indicativo
de fun»c~ao decrescente.
De¯ni»c~ao 6.2 (Pontos de m¶aximo e pontos de m¶³nimo locais)
Um ponto x0, no dom¶³nio da fun»c~ao f , ¶e um ponto de m¶³nimo local de f se existe um
intervalo [a; b] contido no dom¶³nio de f , com a < x0 < b, tal que f(x) ¸ f(x0) para
todo x em [a; b].
Isto ocorre, por exemplo, no caso em que existem intervalos [a; x0] e [x0; b] contidos
em D(f) tais que f ¶e decrescente em [a; x0] e ¶e crescente em [x0; b]. Veja ¯gura 6.5.
Se, ao contr¶ario, f(x) · f(x0), para todo x em [a; b], x0 ¶e um ponto de m¶aximo local
de f .
Isto se d¶a, por exemplo, quando existem intervalos [a; x0] e [x0; b] contidos em D(f)
tais que f ¶e crescente em [a; x0] e decrescente em [x0; b]. Veja ¯gura 6.6.
Esboc»ando gr¶aficos: primeiros passos 50
a bx0
f(x )0
Figura 6.5. x0 ¶e um ponto de m¶³nimo local. Note que f
0(x0) = 0 se f tem derivada em
x0 pois, em um ponto de m¶³nimo local, a reta tangente ao gr¶a¯co deve ser horizontal.
a bx0
f(x )0
Figura 6.6. x0 ¶e um ponto de m¶aximo local. Note que f
0(x0) = 0 se f tem derivada em
x0 pois, em um ponto de m¶aximo local, a reta tangente ao gr¶a¯co deve ser horizontal.
6.2 Derivadas de ordem superior e concavidades do
gr¶a¯co
Sendo f uma fun»c~ao, de¯nimos f 0 como sendo a fun»c~ao derivada de f , e f 00 (lê-se \f
duas linhas") como sendo a derivada da derivada de f , ou seja
f 00(x) = (f 0(x))0 = lim
¢x!0
f 0(x+¢x)¡ f 0(x)
¢x
¶E costume denotar tamb¶em, sendo y = f(x),
f 00(x) = f (2)(x) =
d2y
dx2
=
d
dx
µ
dy
dx
¶
A nota»c~ao d
2y
dx2
¶e lida \de dois y de x dois".
Analogamente, de¯nem-se
f 000(x) = f (3)(x) = (f 00(x))0 =
d3y
dx3
=
d
dx
µ
d2y
dx2
¶
e para cada n ¸ 2
f (n)(x) = (f (n¡1)(x))0 =
dny
dxn
=
d
dx
µ
dn¡1y
dxn¡1
¶
Esboc»ando gr¶aficos: primeiros passos 51
De¯ni»c~ao 6.3
1. O gr¶a¯co de y = f(x) ¶e côncavo para cima (ou tem concavidade voltada para
cima) no intervalo aberto I se, exceto pelos pontos de tangência, a curva y =
f(x) est¶a, nesse intervalo, sempre no semi-plano acima de cada reta tangente a
ela nesse intervalo (veja ¯gura 6.7).
Dizemos que o intervalo I ¶e aberto quando I tem uma das formas: ]a; b[, ]a;+1[,
]¡1; b[.
2. O gr¶a¯co de y = f(x) ¶e côncavo para baixo (ou tem concavidade voltada para
baixo) no intervalo aberto I se, exceto pelos pontos de tangência, a curva y =
f(x) est¶a, nesse intervalo, sempre no semi-plano abaixo de cada reta tangente
a ela (veja ¯gura 6.8).
x
Figura 6.7. Neste gr¶a¯co a curva y = f(x) ¶e côncava para cima, para valores de x em
um certo intervalo aberto I. Isto quer dizer que, exceto pelos pontos de tangência, a
curva y = f(x) (para x 2 I) est¶a sempre no semi-plano acima de cada reta tangente
a ela. Neste caso, µa medida em que x cresce, cresce tamb¶em o coe¯ciente angular da
reta tangente µa curva no ponto (x; f(x)), na ¯gura passando de negativo a positivo.
x
Figura 6.8. Neste gr¶a¯co a curva y = f(x) ¶e côncava para baixo, para valores de x em
um certo intervalo aberto I. Isto quer dizer que, exceto pelos pontos de tangência, a
curva y = f(x) (para x 2 I) est¶a sempre no semi-plano abaixo de cada reta tangente
a ela. Neste caso, µa medida em que x cresce, decresce o coe¯ciente angular da reta
tangente µa curva no ponto (x; f(x)), na ¯gura passando de positivo a negativo.
Esboc»ando gr¶aficos: primeiros passos 52
Teorema 6.2 Sendo f(x) deriv¶avel duas vezes nos pontos do intervalo aberto I,
1. se f 00(x) > 0 para todo x 2 I, ent~ao a curva y = f(x) ¶e côncava para cima em
I;
2. se f 00(x) < 0 para todo x 2 I, ent~ao a curva y = f(x) ¶e côncava para baixo em
I.
N~ao demonstraremos o teorema 6.2 aqui, mas faremos a seguinte observa»c~ao.
Se f 00(x) > 0 nos pontos x 2 I ent~ao, pelo teorema 6.1, a fun»c~ao f 0(x) ¶e crescente
em I. Assim, f 0(x) cresce µa medida em que x cresce, como na ¯gura 6.7. Desse modo,
temos a curva y = f(x) côncava para cima em I.
Se f 00(x) < 0 nos pontos x 2 I ent~ao, pelo teorema 6.1, a fun»c~ao f 0(x) ¶e
decrescente em I. Assim, f 0(x) decresce µa medida em que x cresce, como na ¯gura 6.8.
Desse modo, temos a curva y = f(x) côncava para baixo em I.
De¯ni»c~ao 6.4 (Pontos de in°ex~ao da curva y = f(x))
O ponto P = (x0; f(x0)) ¶e um ponto de in°ex~ao da curva y = f(x) se esta curva ¶e
côncava para cima (ou para baixo) em um intervalo ]®; x0[ (® real ou ¡1) e côncava
para baixo (respectivamente, para cima) em um intervalo ]x0; ¯[ (¯ real ou +1).
Isto quer dizer que o ponto P = (x0; f(x0)) ¶e um ponto de mudan»ca do sentido de
concavidade do gr¶a¯co de f . Veja ¯gura 6.9.
x
P
x0
Figura 6.9. P ¶e um ponto de in°ex~ao do gr¶a¯co de f .
Tendo em vista o resultado do teorema 6.2, se f 00(x) ¶e cont¶³nua, os candidatos a
pontos de in°ex~ao s~ao os pontos (x; f(x)) para os quais f 00(x) = 0.
Exemplo 6.1 Consideremos a fun»c~ao f(x) = x2 ¡ 3x.
Temos f 0(x) = 2x ¡ 3 e f 00(x) = 2. Assim, f e suas derivadas f 0 e f 00 s~ao todas
cont¶³nuas em R.
Analisando a varia»c~ao de sinal de f 0(x), deduzimos:
f 0(x) > 0, 2x¡ 3 > 0, x > 3=2
Assim, f(x) ¶e crescente no intervalo x ¸ 3=2 (ou seja, no intervalo [3=2;+1[).
Por outro lado, f(x) ¶e decrescente no intervalo ]¡1; 3=2].
Desse modo, em x0 = 3=2, temos um ponto m¶³nimo local, que acontece ser o
ponto de m¶³nimo de f(x). Note que f 0(3=2) = 0, pois se x0 ¶e um ponto de m¶aximo ou
Esboc»ando gr¶aficos: primeiros passos 53
m¶³nimo local, de uma fun»c~ao deriv¶avel, a reta tangente ao gr¶a¯co em (x0; f(x0)) deve
ser horizontal.
Como f 00(x) = 2 > 0 para todo x, o gr¶a¯co de f tem a concavidade sempre
voltada para cima.
Com os elementos deduzidos acima, notando que f(3=2) = ¡9=4, e que 0 e 3 s~ao
as ra¶³zes de f (solu»c~oes da equa»c~ao f(x) = 0), temos o esbo»co da curva y = x2 ¡ 3x
na ¯gura 6.10.
1 2 3
3/2
-9/4
-2
-1
0 x
y
Figura 6.10.
Aqui levamos em conta tamb¶em que lim
x!+1
f(x) = +1 e lim
x!¡1
f(x) = +1.
Exemplo 6.2 Consideremos a fun»c~ao f(x) = x3 ¡ 3x2.
Temos f 0(x) = 3x2¡6x e f 00(x) = 6x¡6. Assim, f e suas derivadas f 0 e f 00 s~ao todas
cont¶³nuas em R.
Analisando a varia»c~ao de sinal de f 0(x), deduzimos:
f 0(x) = 3x(x¡ 2) > 0, x < 0 ou x > 2
Assim, f(x) ¶e crescente no intervalo ]¡1; 0] e tamb¶em ¶e crescente no intervalo
[2;+1[, sendodecrescente no intervalo [0; 2]. Desse modo 0 ¶e ponto de m¶aximo local
de f e 2 ¶e ponto de m¶³nimo local. Repare que 0 e 2 s~ao ra¶³zes de f 0(x). Assim, nos
pontos (0; f(0)) = (0; 0) e (2; f(2)) = (2;¡4) as retas tangentes ao gr¶a¯co de f s~ao
horizontais.
Analisando a varia»c~ao de sinal de f 00(x), temos
f 00(x) = 6x¡ 6 > 0, x > 1
Assim, a curva y = x3 ¡ 3x2, gr¶a¯co de f , tem concavidade voltada para cima quando
x > 1, e para baixo quando x < 1. O ponto P = (1; f(1)) = (1;¡2) ¶e ponto de
in°ex~ao do gr¶a¯co.
Esboc»ando gr¶aficos: primeiros passos 54
1 2 3
-2
-1
0
x
y
-4
Figura 6.11.
Com os elementos deduzidos acima, notando que 0 e 3 s~ao as ra¶³zes de f (solu»c~oes
da equa»c~ao f(x) = 0), temos o esbo»co da curva y = x3 ¡ 3x2 na ¯gura 6.11.
Aqui levamos em conta tamb¶em que lim
x!+1
f(x) = +1 e lim
x!¡1
f(x) = ¡1.
6.3 Problemas
Cada uma das fun»c~oes f(x) dadas abaixo tem como dom¶³nio todo o conjunto R. Para
cada uma delas,
(a) Calcule f 0(x) e determine os intervalos em que f ¶e crescente e aqueles em que f
¶e decrescente;
(b) Determine os pontos de m¶aximo locais e os pontos de m¶³nimo locais de f , bem
como os valores de f(x) nesses pontos;
(c) Calcule f 00(x) e determine os intervalos em que a curva y = f(x) ¶e côncava para
cima e aqueles em que ela ¶e côncava para baixo;
(d) Determine os pontos de in°ex~ao da curva y = f(x);
(e) Calcule as ra¶³zes de f (solu»c~oes da equa»c~ao f(x) = 0), quando isto n~ao for dif¶³cil;
(f) Calcule os limites lim
x!+1
f(x) e lim
x!¡1
f(x).
(g) A partir dos dados coletados acima, fa»ca um esbo»co bonito do gr¶a¯co de f .
1. f(x) = ¡x2 + 2x+ 1
Esboc»ando gr¶aficos: primeiros passos 55
2. f(x) = x3 ¡ 6x2 + 9x
3. f(x) = 3x4 ¡ 4x3 ¡ 12x2 + 8
4. f(x) =
x2 + 3
x2 + 1
5. f(x) = 2x3 ¡ 9x2 + 12x¡ 6
6. f(x) =
4x
x2 + 1
6.3.1 Respostas e sugest~oes
1. (a) f 0(x) = ¡2x+2. f % (¶e crescente) em ]¡1; 1], e & (¶e decrescente) em [1;+1[.
(b) 1 ¶e ponto de m¶aximo local de f . f(1) = 2. (c) f 00(x) = ¡2. A curva y = f(x)
¶e sempre côncava para baixo. (d) A curva y = f(x) n~ao tem pontos de in°ex~ao.
(e) As ra¶³zes de f s~ao 1 ¡ p2 ¼ ¡0; 6 e 1 + p2 ¼ 2; 4. (f) lim
x!+1
f(x) = ¡1,
lim
x!¡1
f(x) = ¡1.
2. (a) f 0(x) = 3x2¡12x+9. f % em ]¡1; 1],& em [1; 3], e% novamente em [3;+1[.
(b) 1 ¶e ponto de m¶aximo local de f , 3 ¶e ponto de m¶³nimo local. f(1) = 4, f(3) = 0.
(c) f 00(x) = ¡6x¡ 12. A curva y = f(x) ¶e _ (côncava para baixo) em ]¡1; 2[ e ^
(côncava para cima) em ]2;+1[. (d) P = (2; 2) ¶e o ¶unico ponto de in°ex~ao do gr¶a¯co
de f . (e) As ra¶³zes de f s~ao 0 e 3. (f) lim
x!+1
f(x) = +1, lim
x!¡1
f(x) = ¡1.
3. (a) f 0(x) = 12x3 ¡ 12x2 ¡ 24x = 12(x3 ¡ x2 ¡ 2x). f & em ]¡1;¡1], % em [1; 0],
& em [0; 2] e % em [2;+1[. (b) ¡1 e 2 s~ao pontos de m¶³nimo locais de f , 0 ¶e ponto
de m¶aximo local. f(¡1) = 3, f(0) = 8, f(2) = ¡24. (c) f 00(x) = 36x2 ¡ 24x¡ 24 =
12(3x2 ¡ 2x ¡ 2). A curva y = f(x) ¶e ^ em ] ¡1; x1[ e em ]x2;+1[, e ¶e _ em
]x1; x2[, sendo x1 = (1 ¡
p
7)=3 ¼ ¡0; 5 e x2 = (1 +
p
7)=2 ¼ 1; 2. (d) Os pontos
de in°ex~ao do gr¶a¯co s~ao (x1; f(x1)) e (x2; f(x2)). (e) As ra¶³zes de f n~ao podem ser
determinadas com facilidade. Gra¯camente, poderemos notar que f tem uma raiz entre
0 e 1, e uma outra entre 2 e 3. (f) lim
x!+1
f(x) = +1, lim
x!¡1
f(x) = +1.
4. (a) f 0(x) =
¡4x
(x2 + 1)2
. f % em ]¡ 1; 0], e & em [0;+1[. (b) 0 ¶e ponto de
m¶aximo local de f . f(0) = 3. (c) f 00(x) =
4(3x2 ¡ 1)
(x2 + 1)3
. A curva y = f(x) ¶e ^ em
]¡1;¡p3=3[ e em ]p3=3;+1[, e ¶e_ em ]¡p3=3;p3=3[. (d) Os pontos de in°ex~ao
do gr¶a¯co s~ao (¡p3=3; 5=2) e (p3=3; 5=2), sendo p3=3 ¼ 0; 6. (e) f n~ao tem ra¶³zes:
f(x) > 0 para todo x real. (f) lim
x!+1
f(x) = 1, lim
x!¡1
f(x) = 1.
5. (a) f 0(x) = 6x2¡ 18x+12 = 6(x2¡ 3x+2). f % em ]¡1; 1], & em [1; 2], e % em
[2;+1[. (b) 1 ¶e ponto de m¶aximo local de f , 2 ¶e ponto de m¶³nimo local. f(1) = ¡1,
f(2) = ¡2. (c) f 00(x) = 12x¡ 18 = 6(2x¡ 3). A curva y = f(x) ¶e ^ em ]3=2;+1[
e ¶e _ em ]¡1; 3=2[. (d) O ponto de in°ex~ao do gr¶a¯co ¶e (3=2;¡3=2). (e) As ra¶³zes
Esboc»ando gr¶aficos: primeiros passos 56
de f n~ao podem ser determinadas com facilidade. Gra¯camente, poderemos notar que
f tem uma raiz entre 2 e 3 (f) lim
x!+1
f(x) = +1, lim
x!¡1
f(x) = ¡1.
6. (a) f 0(x) =
4(1¡ x2)
(1 + x2)2
. f & em ]¡1;¡1], % em [¡1; 1], e & em [1;+1[. (b) ¡1
¶e ponto de m¶³nimo local de f , 1 ¶e ponto de m¶aximo local. f(¡1) = 2, f(1) = 2. (c)
f 00(x) =
8x(x2 ¡ 3)
(1 + x2)3
. A curva y = f(x) ¶e _ em ]¡1;¡
p
3[, ^ em ]¡
p
3; 0[, _
em ]0;
p
3[ e ^ em
p
3;+1[. (d) Os pontos de in°ex~ao do gr¶a¯co s~ao (¡
p
3;¡
p
3),
(0; 0) e (
p
3;
p
3) (e) A ¶unica ra¶³z de f ¶e 0. (f) lim
x!+1
f(x) = 0, lim
x!¡1
f(x) = 0.
Esbo»cos dos gr¶a¯cos:
1.
1 2 3-1 0 x
y
2
-2
2.
1 2 3
2
0 x
y
4
3.
1 2 30
x
y
-1-2
10
-20
-10
(2,-24)
8
(-1,3)
4.
0 1 2
2
x
y
3 4-1-2-3
3
5.
1 2 3
4
0 x
y
2
-2
-4
-6
6.
0 1 2
2
x
y
3 4-1-2-3
-2
Aula 7
Esbo»cando gr¶a¯cos: zeros no
denominador e retas ass¶³ntotas
Na aula 6, estivemos concentrados no estudo de fun»c~oes cont¶³nuas em R, com derivadas
primeira e segunda tamb¶em cont¶³nuas.
Nesta aula, estaremos voltando nossa aten»c~ao para fun»c~oes alg¶ebricas. Uma fun»c~ao
¶e alg¶ebrica quando sua f¶ormula f(x) envolve todas ou algumas das quatro opera»c~oes
racionais +, ¡, £ e ¥, e eventualmente extra»c~oes de ra¶³zes n-¶esimas ( np ).
Na verdade, as fun»c~oes da aula 6 s~ao tamb¶em fun»c~oes alg¶ebricas.
As fun»c~oes alg¶ebricas que estaremos estudando agora, por¶em, tem uma ou v¶arias das
seguintes peculiaridades:
(i) o denominador na f¶ormula de f(x) se anula para um ou mais valores de x;
(ii) para alguns valores de x, f ¶e cont¶³nua em x, mas f 0 n~ao o ¶e;
(iii) para alguns valores de x, f e f 0 s~ao cont¶³nuas em x, mas f 00 n~ao o ¶e;
(iv) quando x ! +1 (ou quando x ! ¡1), a curva y = f(x) aproxima-se
inde¯nidamente de uma reta (chamada reta ass¶³ntota da curva y = f(x)). (Os
gr¶a¯cos das fun»c~oes dos problemas 4 e 6, p¶agina 55, tem ass¶³ntotas horizontais).
A apresenta»c~ao desses novos aspectos no esbo»co de gr¶a¯cos de fun»c~oes ser¶a feita
atrav¶es de exemplos. Vamos a eles.
Exemplo 7.1 Esbo»car o gr¶a¯co de f , sendo f(x) =
2x+ 1
x¡ 2 , ou seja, esbo»car a curva
y =
2x+ 1
x¡ 2 .
Detectando ass¶³ntotas verticais
Repare que D(f) = R¡ f2g.
57
Esboc»ando gr¶aficos: zeros no denominador e retas ass¶³ntotas 58
Agora, lim
x!2+
f(x) = lim
x!2
x>2
=
5
0+
= +1, e lim
x!2¡
f(x) = lim
x!2
x<2
=
5
0¡
= ¡1
Esses limites laterais, sendo in¯nitos, detectam que a reta vertical de equa»c~ao
x = 2 ¶e uma ass¶³ntota vertical do gr¶a¯co de f . Mais precisamente, esses limites laterais
detectam que
quando x ! 2+, os pontos correspondentes, no gr¶a¯co, \sobem" no plano xy, aproxi-
mando-se inde¯nidamente dessa reta. Quando x! 2¡, os pontos do gr¶a¯co \descem"
no plano xy, tamb¶em aproximando-se inde¯nidamente da reta ass¶³ntota.
Crescimento e decrescimento
Temos
f 0(x) =
(2x+ 1)0(x¡ 2)¡ (x¡ 2)0(2x+ 1)
(x¡ 2)2 =
2(x¡ 2)¡ (2x+ 1)
(x¡ 2)2
Portanto
f 0(x) =
¡5
(x¡ 2)2
Assim sendo f 0(x) < 0 para todo x em D(f) = R¡ f2g. Esta fun»c~ao f n~ao pode ter
m¶aximos nem m¶³nimos locais.
Temos o seguinte diagrama de sinais de f 0 e intervalos de crescimento e decresci-
mento de f :
f
f _ '
f (2)
2 x_
∃
Concavidades do gr¶a¯co
Temos
f 00(x) =
· ¡5
(x¡ 2)2
¸0
= [¡5(x¡ 2)¡2]0 = 10(x¡ 2)¡3
Temos o seguinte diagrama de sinais de f 00 e dire»c~oes de concavidades do gr¶a¯co de f :
f _ '' 2
xy = f(x)
+
Como 262 D(f), o gr¶a¯co n~ao tem ponto de in°ex~ao.
Comportamento no in¯nito (outras ass¶³ntotas)
lim
x!+1
f(x) = lim
x!+1
2x+ 1
x¡ 2 = 2
Esboc»ando gr¶aficos: zeros no denominador e retas ass¶³ntotas 59
Tamb¶em lim
x!¡1
f(x) = 2
Assim, a reta y = 2 ¶e uma ass¶³ntota horizontal µa direita e µa esquerda do gr¶a¯co
de f .
Esbo»co do gr¶a¯co de f , com base nos aspectos estudados acima: ¯gura 7.1
2
4
y = 2 
-4
-2
0
-4 -2
862 4
8
6
x = 2 
Figura 7.1.
Exemplo 7.2 Esbo»car o gr¶a¯co de y =
x2 ¡ 2x+2
x¡ 1 .
Detectando ass¶³ntotas verticais
Repare que D(f) = R¡ f1g.
Agora, lim
x!1+
x2 ¡ 2x+ 2
x¡ 1 =
1
0+
= +1, e lim
x!1¡
x2 ¡ 2x+ 2
x¡ 1 =
1
0¡
= ¡1
A reta vertical de equa»c~ao x = 1 ¶e uma ass¶³ntota vertical do gr¶a¯co da curva
y = x
2
¡2x+2
x¡1
.
Quando x est¶a pr¶oximo de 1, pontos da curva \sobem" no plano xy, aproximando-
se da ass¶³ntota, µa direita, e \descem", aproximando-se da ass¶³ntota, µa esquerda.
Crescimento e decrescimento. M¶aximos e m¶³nimos locais
Temos
y0 =
(x2 + 2x+ 2)0(x¡ 1)¡ (x¡ 1)0(x2 + 2x+ 2)
(x¡ 1)2
=
(2x¡ 2)(x¡ 1)¡ (x2 ¡ 2x+ 2)
(x¡ 1)2 =
x2 ¡ 2x
(x¡ 1)2
Esboc»ando gr¶aficos: zeros no denominador e retas ass¶³ntotas 60
Portanto
y0 =
x2 ¡ 2x
(x¡ 1)2 =
x(x¡ 2)
(x¡ 1)2
Assim, y0 = 0 para x = 0 e para x = 2.
As ra¶³zes do numerador de y0 s~ao 0 e 2, enquanto que 1 ¶e raiz do denominador.
Al¶em disso, em cada um dos intervalos ]¡1; 0[, ]0; 1[, ]1; 2[ e ]2;+1[, a derivada y0
mant¶em-se positiva ou negativa.
Este fato nos ¶e garantido por um teorema da An¶alise Matem¶atica, chamado teo-
rema do anulamento, ou teorema de Bolzano, que enuncia
Teorema de Bolzano Se uma fun»c~ao cont¶³nua f n~ao tem ra¶³zes em um intervalo,
ent~ao f(x) mant¶em-se positiva ou negativa em todos os pontos x do intervalo.
Com base nessas observa»c~oes, para analisar a varia»c~ao de sinais de y0 podemos
recorrer ao seguinte argumento:
Quando x ¶e muito grande, y0 > 0. Assim, y0 > 0 no intervalo x > 2. Quando x passa
por 2, y0 troca de sinal. Portanto, y0 < 0 para 1 < x < 2. Quando x passa por 1, y0
n~ao muda de sinal porque o termo x¡1 aparece elevado ao quadrado no denominador.
Assim sendo, temos ainda y0 < 0 no intervalo 0 < x < 1. Ao passar por 0, y0 troca
de sinal novamente e temos ent~ao y0 > 0 quando x < 0.
Temos ent~ao o seguinte diagrama de sinais de y0 e intervalos de crescimento e
decrescimento de y:
y
y' _
y(1)
2 x_
∃
10+ +
pto de
min
local
pto de
max
local
y' = 0y' = 0
Temos ent~ao que y cresce em ]¡1; 0], decresce em [0; 1[ e em ]1; 2], e cresce em
[2;+1[.
Concavidades e in°ex~oes do gr¶a¯co
Temos
y00 =
·
x2 ¡ 2x
(x¡ 1)2
¸0
=
(x2 ¡ 2x)0(x¡ 1)2 ¡ [(x¡ 1)2]0(x2 ¡ 2x)
(x¡ 1)4
=
(2x¡ 2)(x¡ 1)2 ¡ 2(x¡ 1)(x2 ¡ 2x)
(x¡ 1)4
=
(2x¡ 2)(x¡ 1)¡ 2(x2 ¡ 2x)
(x¡ 1)3 =
2
(x¡ 1)3
Esboc»ando gr¶aficos: zeros no denominador e retas ass¶³ntotas 61
y'' _ 1
xy = y(x)
+
Temos o seguinte diagrama de sinais de y00 e dire»c~oes de concavidades da curva y = y(x):
Como n~ao h¶a y para x = 1, o gr¶a¯co n~ao tem ponto de in°ex~ao.
Comportamento no in¯nito (outras ass¶³ntotas)
lim
x!+1
y(x) = lim
x!+1
x2 ¡ 2x+ 2
x¡ 1 = limx!+1
x2
x
= lim
x!+1
x = +1
Temos ainda lim
x!¡1
y(x) = lim
x!¡1
x2
x
= lim
x!¡1
x = ¡1
Assim, a curva n~ao tem ass¶³ntota horizontal.
Esbo»co do gr¶a¯co de f , com base nos elementos coletados acima: ¯gura 7.2
1
2
-2
-1
0
-4 -2
31 2
4
3
x = 1 
-3
y
x
Figura 7.2.
Ass¶³ntotas inclinadas!
H¶a algo mais que pode ser destacado no gr¶a¯co esbo»cado na ¯gura 7.2: a exis-
tência, at¶e aqui insuspeita, de uma ass¶³ntota inclinada (tamb¶em chamada ass¶³ntota
obl¶³qua).
Se lim
x!+1
[f(x)¡ (ax+ b)] = 0, para certos n¶umeros reais a e b, temos que a reta
y = ax+ b ¶e uma ass¶³ntota do gr¶a¯co de f µa direita, uma ass¶³ntota inclinada se a6= 0.
Esboc»ando gr¶aficos: zeros no denominador e retas ass¶³ntotas 62
Neste caso, µa medida em que x cresce, tornando-se muito grande, com valores
positivos, f(x) torna-se cada vez mais pr¶oximo de ax+ b.
Por raz~oes an¶alogas, a reta y = ax+b ¶e uma ass¶³ntota do gr¶a¯co de f , µa esquerda,
quando lim
x!¡1
[f(x)¡ (ax+ b)] = 0.
Como determinar os coe¯cientes a e b ?
Para determinar a, note que se lim
x!§1
[f(x)¡ (ax+ b)] = 0, ent~ao
lim
x!§1
f(x)
x
= lim
x!§1
[f(x)¡ (ax+ b)] + (ax+ b)
x
= lim
x!§1
f(x)¡ (ax+ b)
x
+ lim
x!§1
ax+ b
x
=
0
+1 + a = a
Assim, se a reta y = ax+ b ¶e uma ass¶³ntota do gr¶a¯co de f ent~ao
lim
x!+1
f(x)
x
= a ou lim
x!¡1
f(x)
x
= a
Para determinar b, basta agora calcularmos
lim
x!§1
(f(x)¡ ax) = b
No caso da curva que estamos estudando,
lim
x!§1
f(x)
x
= lim
x!§1
y
x
= lim
x!§1
x2 ¡ 2x+ 2
x(x¡ 1)
= lim
x!§1
x2 ¡ 2x+ 2
x2 ¡ x = limx!§1
x2
x2
= 1
e assim obtemos a = 1.
Al¶em disso,
lim
x!§1
µ
x2 ¡ 2x+ 2
x¡ 1 ¡ ax
¶
= lim
x!§1
µ
x2 ¡ 2x+ 2
x¡ 1 ¡ x
¶
= lim
x!§1
x2 ¡ 2x+ 2¡ x(x¡ 1)
x¡ 1
= lim
x!§1
¡x+ 2
x¡ 1 = ¡1
e assim obtemos b = ¡1.
Portanto, a reta y = x¡ 1 ¶e ass¶³ntota inclinada da curva.
Com base nos elementos coletados acima, incluindo a informa»c~ao adicional sobre
a ass¶³ntota inclinada, temos um novo esbo»co, mais preciso, da curva da ¯gura 7.2, na
¯gura 7.3.
Esboc»ando gr¶aficos: zeros no denominador e retas ass¶³ntotas 63
1
2
-2
-1
0
-4 -2
31 2
4
3
x = 1 
-3
y
x
y = x - 1
Figura 7.3.
Exemplo 7.3 Esbo»car o gr¶a¯co de y = f(x) = (x+ 2) 3
p
(x¡ 3)2.
O gr¶a¯co desta fun»c~ao f n~ao apresenta ass¶³ntotas verticais, visto que a fun»c~ao f
¶e cont¶³nua em todo o conjunto R, isto ¶e, em todos os pontos de R.
Crescimento e decrescimento. M¶aximos e m¶³nimos locais
Temos y = (x+ 2) 3
p
(x¡ 3)2.
Para calcular y0, primeiro faremos
y = (x+ 2)(x¡ 3)2=3
Desse modo, pela regra da derivada de um produto,
y0 = (x¡ 3)2=3 + (x+ 2) ¢ 2
3
(x¡ 3)¡1=3
Agora, para facilitar os c¶alculos, colocamos em evidência a fra»c~ao 1=3, e tamb¶em a
potência de x¡ 3 de menor expoente:
y0 =
1
3
(x¡ 3)¡1=3 ¢ [3(x¡ 3)1 + 2(x+ 2)]
=
1
3
(x¡ 3)¡1=3 ¢ (5x¡ 5)
=
5
3
(x¡ 3)¡1=3 ¢ (x¡ 1)
Para termos clareza quanto aos sinais de y0, reescrevemos y0 usando radicais:
y0 =
5(x¡ 1)
3 3
p
x¡ 3
Esboc»ando gr¶aficos: zeros no denominador e retas ass¶³ntotas 64
Note que a fun»c~ao f ¶e cont¶³nua em todos os pontos de R, mas f 0(x) n~ao se de¯ne
quando x = 3.
As ra¶³zes do numerador e do denominador de y0 s~ao 1 e 3, sendo y0 = 0 para
x = 1.
Temos ent~ao o seguinte diagrama de sinais de y0, e correspondentes intervalos de
crescimento e decrescimento de f :
y
y'
y'(3)
3 x_
∃
1+ +
pto de
max
local
y' = 0
pto de
min
local
Temos ent~ao que f cresce em ]¡ 1; 1], decresce em [1; 3] e cresce novamente
em [1;+1[. Aqui temos algo novo: f n~ao tem derivada em x0 = 3, mas x0 = 3 ¶e um
ponto de m¶³nimo local de f ! Como ¶e a geometria do gr¶a¯co de f nas proximidades
do ponto x0 = 3 ? A resposta a esta quest~ao vir¶a com o estudo das concavidades do
gr¶a¯co.
Concavidades e in°ex~oes da curva
Temos
y00 =
·
5
3
(x¡ 3)¡1=3 ¢ (x¡ 1)
¸0
=
¡5
9
(x¡ 3)¡4=3(x¡ 1) + 5
3
(x¡ 3)¡1=3
=
5
9
(x¡ 3)¡4=3[¡(x¡ 1) + 3(x¡ 3)1]
=
5
9
(x¡ 3)¡4=3(2x¡ 8)
=
10
9
(x¡ 3)¡4=3(x¡ 4)
Assim,
f 00(x) =
10(x¡ 4)
9 3
p
(x¡ 3)4
Temos o seguinte diagrama de sinais de y00 e dire»c~oes de concavidades do gr¶a¯co
de f (resista µa tenta»c~ao de simpli¯car o radical 3
p
( )4) :
y'' _ 4
xy = f(x)
+3 _
Esboc»ando gr¶aficos: zeros no denominador e retas ass¶³ntotas 65
O ponto (4; f(4)) = (4; 6) ¶e ponto de in°ex~ao do gr¶a¯co.
Deixamos ao leitor a veri¯ca»c~ao de que o gr¶a¯co de f n~ao tem retas ass¶³ntotas no
in¯nito, pois lim
x!§1
f(x)
x
= +1.
Com base nos elementos coletados acima, temos um esbo»co da curva y = f(x)
na ¯gura 7.4.
6
-2
4
0
2
31 2 4
-3
y
x
-2
Figura 7.4.
Neste esbo»co levamos em conta as aproxima»c~oes f(1) = 3 3
p
4 ¼ 3 ¢ (1; 6) = 4; 8,
f(0) = 2 3
p
9 ¼ 2 ¢ (2; 1) = 4; 2. Levamos em conta tamb¶em que ¡2 e 3 s~ao ra¶³zes de f
(isto ¶e, solu»c~oes de f(x) = 0).
Note que, antes e pouco depois de x0 = 3, o gr¶a¯co tem concavidade voltada
para baixo. Como f decresce em [1; 3] e cresce em [3;+1[, temos, no gr¶a¯co de f , a
forma»c~ao de um \bico" agudo no ponto (3; 0). Isto explica a inexistência de derivada
em x0. N~ao h¶a reta tangente ao gr¶a¯co no ponto (3; 0).
Observa»c~ao 7.1 (O gr¶a¯co de f em pontos com derivadas in¯nitas)
Quando f ¶e cont¶³nua em um intervalo contendo um ponto x0 no seu interior, e f
0 ¶e
cont¶³nua em todos os pontos desse intervalo, exceto em x0 e, al¶em disso, lim
x!x0
f 0(x) =
+1 ou ¡1, temos uma reta vertical tangente ao gr¶a¯co de f em P = (x0; f(x0)).