Equações Diferenciais: Conceitos e Exemplos

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AULA 1
Equac¸o˜es Diferenciais:
Sa˜o equac¸o˜es que envolvem a(s) derivada(s) de uma func¸a˜o. Como por exemplo:
f ′(t) = t.
Uma equac¸a˜o simples, que podemos resolver apenas integrando ambos os lados
da equac¸a˜o em relac¸a˜o a` varia´vel t. Obtendo assim, a soluc¸a˜o geral, isto e´, o
conjunto de todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial:
f(t) =
t2
2
+ c, c ∈ R
Notac¸o˜es: y′(t) = t, y′(x) = x, x′(t) = t etc.
As equac¸o˜es diferenciais aparecem naturalmente nas leis f´ısicas, como na Segunda
Lei de Newton:
ma = F,
onde F representa a forc¸a, m a massa e a a acelerac¸a˜o, portanto, podemos escrever:
mx′′(t) = F.
Exemplo 1. Considere uma part´ıcula de massa constante m em queda livre sem
atrito. Seja x(t) a func¸a˜o que representa a altura da part´ıcula, no tempo t, sob a
ac¸a˜o da gravidade g. Temos:
mx′′(t) = −mg
⇔ x′′(t) = −g
⇔ x′(t) = −gt+ v0
⇔ x(t) = −gt
2
2
+ v0t+ x0.
Exemplo 2. Se F (t) e´ um func¸a˜o conhecida (cont´ınua), enta˜o a equac¸a˜o diferencial
dada a seguir e´ trivial, no sentido em que se resolve simplesmente por integrac¸a˜o:
x′(t) = F (t)
⇔ x(t) =
∫
F (t) dt.
Exemplo 3. Considere agora uma part´ıcula em queda livre com atrito. Temos:
mx′′(t) = −mg − ν0x′(t),
onde ν0 > 0 e´ uma constante de atrito. Ao tentarmos proceder como no Exemplo 1,
temos:
x′′(t) = −g − ν0
m
x′(t)
⇔ x′(t) = −gt− ν0
m
x(t) + c
⇔ x(t) = −gt
2
2
+ ct− ν0
m
∫
x(t)dt.
O que na˜o nos conduz a` soluc¸a˜o pois x(t) na˜o e´ conhecida. Iremos resolver esta
equac¸a˜o diferencial mais tarde no curso.
1
2 AULA 1
Exemplo 4 (Modelo de crescimento populacional simplificado). Queremos deter-
minar a populac¸a˜o total P (t) num instante t supondo que a taxa de crescimento
da populacional e´ proporcional a` populac¸a˜o.
Como podemos expressar esta hipo´tese matematicamente?
Atrave´s da seguinte equac¸a˜o:
dP
dt
= kP (k > 0).
Voceˆ consegue determinar intuitivamente todas as soluc¸o˜es para esta equac¸a˜o?
Vamos considerar o caso particular em que k = 1,
dP
dt
= P , isto e´, queremos
achar func¸o˜es que quando derivadas da˜o elas pro´prias. Num primeiro momento,
podemos pensar que a soluc¸a˜o geral desta equac¸a˜o diferencial e´ P (t) = et + c, onde
c e´ constante. Verificamos que esta na˜o e´ a soluc¸a˜o geral pois,
dP
dt
= et 6= P (t) =
et + c. A soluc¸a˜o geral na verdade e´ P (t) = cet, pois
dP
dt
= cet = P (t).
Para um k geral, temos que a soluc¸a˜o e´ dada por:
P (t) = P0e
kt,
onde P0 e´ uma constante, pois
dP
dt
= P0(ke
kt) = k(P0e
kt) = kP (t). Note ainda,
que P (0) = P0.
Observe que neste modelo, a populac¸a˜o cresce indefinidamente. Isto na˜o parece
realista, por questo˜es como, por exemplo, o ambiente possuir recursos limitados.
Exemplo 5 (Modelo de crescimento populacional mais realista). Vamos considerar
enta˜o uma hipo´tese adicional: quando ha´ uma superpopulac¸a˜o, a populac¸a˜o comec¸a
a descrescer. Considerando que a populac¸a˜o comec¸a a descrescer quando e´ superior
a 10.000, devemos ter:
(1)
dP
dt
≈ kP, se P ≈ 0 e
(2)
dP
dt
< 0, se P > 10.000.
Voceˆ consegue determinar a equac¸a˜o que atende a estes itens?
dP
dt
= kP
(
1− P
10.000
)
Equac¸a˜o Log´ıstica.
Esta equac¸a˜o diferencial e´ dificil de resolver sem me´todo, como fize´mos no modelo
simpificado. Vamos resolveˆ-la no final desta aula.
Vamos omitir a varia´vel independente da func¸a˜o sempre que esta estiver impl´ıcita.
Equac¸a˜o Diferencial de Primeira Ordem
E´ uma equac¸a˜o da forma:
dy
dx
= f(x, y), y(x0) = y0, (1)
onde x e´ uma varia´vel independente, y e´ a func¸a˜o de x a ser determinada, f(x, y)
e´ uma func¸a˜o cont´ınua e y(x0) = y0 e´ uma condic¸a˜o inicial dada. O problema (1)
chama-se Problema de Valor Inicial e por um teorema da matema´tica, ele tem uma
u´nica soluc¸a˜o y(x) (a unicidade deve-se a` condic¸a˜o inicial).
AULA 1 3
Exemplo 6. Considere o problema:
y′ =
x
y2
, y(0) = 1.
Vamos tentar transforma´-la no caso trivial. Podemos escrever:
y2y′ = x.
Voceˆ consegue escrever o lado esquerdo da equac¸a˜o como a derivada de alguma
func¸a˜o f(y)?
Lembre-se que y e´ uma func¸a˜o de x, neste caso, para determinar a derivada de
f(y), devemos utilizar a Regra da Cadeia. Temos que
(
y3
3
)′
= y2y′. Podemos
enta˜o, reescrever a equac¸a˜o como: (
y3
3
)′
= x.
Agora, para resolver a equac¸a˜o, basta integrarmos dos dois lados relativamente
a` varia´vel x.
y3
3
=
x2
2
+ c
⇔ y =
(
3x2
2
+ 3c
) 1
3
Por fim, considerando que y(0) = 1, devemos ter c = 13 . Portanto a soluc¸a˜o do
problema e´ a func¸a˜o que satisfaz:
y =
(
3x2
2
+ 1
) 1
3
.
Equac¸o˜es Diferenciais Separa´veis
Sa˜o equac¸o˜es que podem ser escritas na forma:
dy
dx
= g(x)f(y), (f(y) 6= 0).
Estas equac¸o˜es sa˜o resolvidas, usando a notac¸a˜o de Leibniz, fazendo-se:
1
f(y)
· dy = g(x) · dx
⇔
∫
1
f(y)
dy =
∫
g(x) dx,
onde na primeira integral, y e´ para ser entendida como uma ‘varia´vel normal’.
Exemplo 7. Rescrevendo o Exemplo 6 com a notac¸a˜o de Leibniz, temos:
dy
dx
=
x
y2
⇔ y2 dy = x dx
⇔
∫
y2 dy =
∫
x dx
⇔ y
3
3
=
x2
2
+ c, etc
Exerc´ıcio 1) Determine quais das equac¸o˜es dadas a seguir sa˜o separa´veis.
• x′(t) = −gt− ν0
m
x(t)
4 AULA 1
• dP
dt
= kP
(
1− P
10.000
)
• dy
dx
= x2y
• dy
dx
= x2 + y
• dy
dx
= x2
Exerc´ıcio 2) Resolva as equac¸o˜es diferenciais dadas a seguir.
• dP
dt
= kP (k > 0)
• dy
dx
= x+ xy2, y(0) = 0
Exerc´ıcio 3) Suponha que no instante t = 0, a metade de uma populac¸a˜o de
100.000 coelhos e´ infectada por um v´ırus que comec¸a crescendo com uma taxa de
1.000 coelhos por dia. Assumindo que, para todo o instante t, a taxa com que o v´ırus
se espalha e´ proporcional a` quantidade de coelhos infectados vezes a quantidade de
coelhos na˜o infectados, determine o tempo que levara´ para que o v´ırus se espalhe
por 80% da populac¸a˜o.