Lista de Exercícios 1 - Respostas

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RESPOSTAS – SUGESTÕES – SOLUÇÕES 
01. 𝑊 não é subespaç o de ℝ2. Por exemplo, 𝑢 = (1, 1) ∈ 𝑊, mas (−1)𝑢 ∉ 𝑊. 
02. 𝑊 não é subespaç o de ℝ2. Por exemplo, 𝑢 = (1, 0) ∈ 𝑊, 𝑣 = (0, 1) ∈ 𝑊, mas 𝑢 + 𝑣 = (1, 1) ∉ 𝑊. 
03. 𝑊 é subespaç o de ℝ2. 
Dado 𝑚 ∈ ℝ, um vetor de ℝ2 per tencerá a 𝑊, se for da forma (𝑥,𝑚𝑥), sendo 𝑥 um número 
real (ou seja , um vetor de ℝ2 será elemen to de 𝑊, se sua segunda componen te for igual a 𝑚 
vezes a pr imeira). Assim, para quaisquer 𝑎, 𝑏, ∈ ℝ, 𝑢 = (𝑎,𝑚𝑎) ∈ 𝑊 e 𝑣 = (𝑏,𝑚𝑏) ∈ 𝑊. 
Com o 𝑢 + 𝑣 = (𝑎 + 𝑏,𝑚𝑎 + 𝑚𝑏) = (𝑎 + 𝑏,𝑚(𝑎 + 𝑏)), segue que 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑊. Além disso, desde que 
𝜆 ∈ ℝ, 𝜆𝑢 = 𝜆(𝑎,𝑚𝑎) = (𝜆𝑎, 𝜆𝑚𝑎) = (𝜆𝑎,𝑚(𝜆𝑎)) ∈ 𝑊. 
04. 𝑊 não é subespaç o de ℝ2. Para just i ficar a conclusão, basta tomar o mesmo exemplo do Ex . 
02 . 
05. 𝑊 não é subespaço de ℝ2. O exemplo dado para o Ex . 02 pode, mais uma vez, ser 
apresen tado com o just i fica t iva . 
06. 𝑊 é subespaç o de ℝ2 e a demonstração deste fa to pode ser elaborada de modo semelhan te 
àquela dada para o Ex . 03 . 
07. 𝑊 é subespaç o de ℝ3. 
Um vet or de ℝ3 estará em 𝑊, se possuir as tr ês componen tes iguais. Assim, dados 𝑎, 𝑏, ∈ ℝ, 
𝑢 = (𝑎, 𝑎, 𝑎) e 𝑣 = (𝑏, 𝑏, 𝑏) são vetores de 𝑊. Consequen temente, 𝑢 + 𝑣 = (𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑊 
e 𝜆𝑢 = (𝜆𝑎, 𝜆𝑎, 𝜆𝑎) ∈ 𝑊, para qualquer 𝜆 r ea l. 
08. 𝑊 não é subespaç o de ℝ3: (1, 2, 3) ∈ 𝑊, mas (−1)(1, 2, 3) ∉ 𝑊. 
09. 𝑊 não é subespaç o de ℝ3. Por exemplo, (0, 0, 1) ∈ 𝑊, mas 
1
2
(0, 0, 1) ∉ 𝑊. 
10. 𝑊 é subespaç o de ℝ4. Note que 𝑢 ∈ ℝ4 é elemen to de 𝑊, se 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑥 + 2𝑦, 𝑥 − 3𝑦), 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. 
11. 𝑊 é subespaç o de ℝ2. 
Observe que para a r esolução deste exercíci o, os vet ores de ℝ2 assumirão a forma de 
matr izes de ordem 2 × 1. 
Sejam, en tão, 𝑢 = [
𝑎
 𝑏 
] e 𝑣 = [
𝑐
 𝑑 
] vet ores de 𝑊. Assim, sendo 𝐴 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
 𝑎31 𝑎32 
], tem-se 
𝐴. 𝑢 = 𝐴. [
𝑎
 𝑏 
] = [
0
0
 0 
] e 𝐴. 𝑣 = 𝐴. [
𝑐
 𝑑 
] = [
0
0
 0 
]. 
Com o o produto de matr izes é distr ibut ivo, vê -se , en tão, que 
𝐴(𝑢 + 𝑣) = 𝐴. 𝑢 + 𝐴. 𝑣 = [
0
0
 0 
] + [
0
0
 0 
] = [
0
0
 0 
] 
e, por tan to, que 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑊. 
Para provar que 𝜆𝑢 ∈ 𝑊, ∀𝑢 ∈ 𝑊 e ∀𝜆 ∈ ℝ, basta lembrar que 𝑀(𝜆𝑁) = 𝜆(𝑀𝑁), ∀𝜆 ∈ ℝ, 
quaisquer que sejam as matr izes 𝑀, de ordem 𝑚 × 𝑛, e 𝑁, de ordem 𝑛 × 𝑝. (*) 
12. Se, agora , 𝑏 não cor responde à matriz nula de ordem 3 × 1, então 𝑊 não é subespaço. 
13. 𝑊 é subespaço de 𝑉 = 𝑀 2×2. Note que, para 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, um elemen to qualquer de 𝑊 pode ser 
escr i to com o uma matr iz do t ipo [
 𝑎 𝑏
 𝑎 −𝑏
 ]. 
14. 𝑊 não é subespaç o de 𝑉 = 𝑀 2×2. Por exemplo, 𝑢 = [
 1 3 
2 1
] ∈ 𝑊, mas (−1)𝑢 ∉ 𝑊. 
15. 𝑊 é subespaç o de 𝑉 = 𝑀 2×2. 
Se 𝐴,𝐵 ∈ 𝑊, en tão 𝐴𝑇 = 𝑇𝐴 e 𝐵𝑇 = 𝑇𝐵. Assim, 𝐴 + 𝐵 ∈ 𝑊, pois 
(𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇 = 𝑇𝐴 + 𝑇𝐵 = 𝑇(𝐴 + 𝐵). 
Complementarmen te, 𝜆𝐴 ∈ 𝑊, ∀𝜆 ∈ ℝ, já que, usando a observação (*) , apresen tada na 
r esolução do Exercício 11, é possí vel escrever 
(𝜆𝐴)𝑇 = 𝜆(𝐴𝑇) = 𝜆(𝑇𝐴) = 𝑇(𝜆𝐴). 
16. 𝑊 é subespaço de 𝑉 = 𝑀 2×2. Observe qu e uma matr iz quadrada 𝐴 será simétrica , se 
coincidir com sua tr ansposta , ou seja , se sa t isfizer a equação 𝐴 = 𝐴 𝑡 . Como consequência , 
uma matr iz simétr ica 𝐴, de ordem 2 × 2, deve ser da forma [ 
𝑎 𝑏 
𝑏 𝑐 
], para 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ. 
17. 𝑊 = { 𝐴 ∈ 𝑀 2×2 / 𝐴 = −𝐴
 𝑡 } e é subespaço de 𝑉 = 𝑀 2×2. 
18. 𝑊 é subespaç o de 𝑉 = 𝑀 2×3. Note que qualquer elemen to de 𝑊 pode ser escr i to sob a forma 
[ 
𝑥 𝑥 + 𝑦 𝑦
0 0 0
 ], 
para 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. 
19. 𝑊 = { [ 
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
 ] ∈ 𝑀 2×2 / 𝑎12 = 𝑎21 = 0 } é subespaço de 𝑉 = 𝑀 2×2. 
20. [ 
0 0
0 0
 ] ∉ 𝑊, logo 𝑊 não é subespaço de 𝑉 = 𝑀 2×2. 
21. 𝑊 é subespaç o de P2(𝑥). Para comprovar esta afi rmação, deve-se observar que o escalar 𝑎, 
que aparece como coefi cien te em 𝑝(𝑥), varia no con jun to dos números r eai s. 
Assim, 
i ) quando 𝑎 = 0, tem-se o pol inômio ident icamente nulo com o elemen to de 𝑊, 
i i ) se 𝑝(𝑥) = 𝜆𝑥2 ∈ 𝑊 e 𝑞(𝑥) = 𝑘𝑥2 ∈ 𝑊, 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) = (𝜆 + 𝑘)𝑥2 = 𝑎𝑥2 ∈ 𝑊, sendo 𝑎 = 𝜆 + 𝑘, e 
i i i ) se 𝑝(𝑥) = 𝜆𝑥2 ∈ 𝑊 e 𝜇 ∈ ℝ, 𝜇. 𝑝(𝑥) = 𝜇(𝜆𝑥2) = (𝜇. 𝜆)𝑥2 ∈ 𝑊, com 𝑎 = 𝜇. 𝜆. 
22. 𝑊 é subespaç o de P2(𝑥). Note que 𝑝(𝑥) ∈ 𝑊 ⟺ 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥
2 + 𝑏𝑥 + (𝑎 + 𝑏), com 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. 
23. 𝑊 é subespaço de P2(𝑥). Note que 𝑝(𝑥) ∈ 𝑊 ⟺ 𝑝(𝑥) = 𝑚(𝑥)𝑞(𝑥), onde 𝑚(𝑥) tem grau menor 
que o de 𝑝(𝑥). 
24. 𝑊 é subespaç o de P2(𝑥). 
i ) Denotando-se por (𝑥) o pol inômio iden ticamente nulo, tem -se (𝑥) = 0, ∀𝑥. Logo, 
(0) = 0 = 2.0 = 2. (1). 
i i ) Se 𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥) ∈ 𝑊, en tão 𝑝(0) = 2𝑝(1) e 𝑞(0) = 2𝑞(1). Assim, (𝑝 + 𝑞)(0) = 𝑝(0) + 𝑞(0) = 
2𝑝(1) + 2𝑞(1) = 2(𝑝(1) + 𝑞(1)) = 2(𝑝 + 𝑞)(1), ou se ja , (𝑝 + 𝑞)(𝑥) ∈ 𝑊. 
Agora , ver i fique que 𝑝(𝑥) ∈ 𝑊 ⇒ 𝜆𝑝(𝑥) ∈ 𝑊, ∀𝜆 ∈ ℝ. 
25. Para concluir que 𝑊 é subespaç o de P2(𝑥), basta descobr i r quando 𝑝(𝑥), pol inômio de P2(𝑥), 
é capaz de sa t isfazer a iden tidade 𝑝(𝑥) + 𝑝′(𝑥) = (𝑥). 
26. 𝑊 não é subespaço de P2(𝑥), pois, por exemplo, 𝑝(𝑥) = −𝑥
2 + 2𝑥 e 𝑞(𝑥) = −𝑥2 + 3𝑥 + 1 sã o 
vetores de 𝑊, mas 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) = −2𝑥2 + 5𝑥 + 1 não é . 
27. 𝑊 é subespaç o de P3(𝑥). 
28. 𝑊 não é subespaço de P4(𝑥). (𝑥), pol inômio ident icamente nulo , não é elemen to de 𝑊, 
pois não possui grau. Além disso, 𝑥2 + 𝑥, −𝑥2 + 2𝑥 ∈ 𝑊, porém (𝑥2 + 𝑥) + (−𝑥2 + 2𝑥) = 3𝑥 ∉
𝑊. 
29. a) F b) V c) V d) F e) V 
30. b) Seja 𝑊 o con jun to solução do sist ema l inear hom ogêneo dado. Pel o Exercíci o 11, 𝑊 é 
um subespaço do ℝ3, desde que se adot e a forma de matr izes coluna 3 × 1 para seus 
vetores (E viden temente, também pode-se considerar esse mesm o con jun to solução com o 
subespaç o do espaço das matr izes 3 × 1) . 
Daí , como 𝑢 = [ 
 3
 2
− 1
 ] ∈ 𝑊, segue que 10. 𝑢 ∈ 𝑊. 
31. ℝ3 = 𝑊1 ⊕ 𝑊2, ℝ
3 = 𝑊2 ⊕ 𝑊3 , ℝ
3 = 𝑊1 + 𝑊3 . 
32. Considere, por exemplo, 𝑊2 = { (𝑥, 𝑦) / 𝑥 = 0 }. 
33. 𝑊1 + 𝑊2 = 𝑀2×2, mas esta soma não é dir eta, pois 𝑊1 ∩ 𝑊2 = [[ 
1 −1 
0 0
]]. 
34. a) Apenas o con jun to 𝑈 é subespaç o de ℝ4 b) 𝑈 ∩ 𝑊 = {(0, 0, 0, 0), (3, −1, 0, 2)} c) Não 
35. a) Apenas o con jun to 𝑈 é subespaç o de 𝑀2×2 b) 𝑈 ∩ 𝑊 = { [
−3 −1
 3 2
] } c) Não 
36. a) Apenas o con jun to 𝑈 é subespaç o de P2(𝑥) b) 𝑈 ∩ 𝑊 = {2𝑥
2 − 𝑥 − 1} c) Não 
37. a) (𝑥, 𝑦) = 𝑎(1, 2) + 𝑏(1, 0) ⇔ (𝑥, 𝑦) = (𝑎 + 𝑏, 2𝑎) ⇔ 𝑎 =
𝑦
2
 e 𝑏 =
2𝑥−𝑦
2
 . 
Assim, 
(𝑥, 𝑦) =
𝑦
2
 (1, 2) +
2𝑥−𝑦
2
 (1, 0), ∀(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2. 
b) É claro que [(1, 2), (1, 0)] ⊆ ℝ2. Pelo i tem an terior , concluímos que ℝ2 ⊆ [(1, 2), (1, 0)]. 
Logo, ℝ2 = [(1, 2), (1, 0)]. 
38. Seja 𝑢 ∈ 𝑊1 ∩ 𝑊2 . Por um lado, 𝑢 = 𝑎(1, 2, 3) + 𝑏(1, −1, 1) = (𝑎 + 𝑏, 2𝑎 − 𝑏, 3𝑎 + 𝑏). Por outro, 
como 𝑢 também é vet or de 𝑊2 , segue que 3𝑎 + 𝑏 = 0, ou se ja , 𝑏 = −3𝑎. 
Dessa forma, 𝑢 = (−2𝑎, 5𝑎, 0) = 𝑎(−2, 5, 0) e, por tan to, pode-se tomar 𝑣 = (−2, 5, 0). 
39. a) Considere a com binação l inear 𝑎(𝑢 + 𝑣 − 2𝑤) + 𝑏(𝑢 − 𝑣 − 𝑤) + 𝑐(𝑢 + 𝑤) = 0⃗ , de onde se 
pode escrever (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑢 + (𝑎 − 𝑏)𝑣 + (−2𝑎 − 𝑏 + 𝑐)𝑤 = 0⃗ . Como {𝑢, 𝑣, 𝑤} éum con jun t o 
LI, segue que 
{
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0
 𝑎 − 𝑏 = 0
 −2𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 0
 
 
e, consequen temente, que 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 0. 
 
b) Procedimen to análogo ao an terior leva ao sistema 
 
 {
 𝑎 + 𝑏 = 0
 𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 0
 −3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 0
 , 
 
que possui in fin itas soluções, como, por exemplo, 𝑎 = 1, 𝑏 = −1, 𝑐 = 2. 
40. O con jun to 𝛼 é LD e qualquer subcon jun to seu com três vetores será LI. 
41. a) Sejam 𝐴 = {𝑣1, … , 𝑣𝑘} ⊂ 𝐵 = {𝑣1, … , 𝑣𝑘, 𝑣𝑘+1, … , 𝑣𝑛}. Se 𝐴 é LD, en tão 𝑎1𝑣1 + …+ 𝑎𝑘𝑣𝑘 = 0⃗ , 
com pel o menos um escalar 𝑎𝑖 ≠ 0. Mas, assim, 𝑎1𝑣1 + …+ 𝑎𝑘𝑣𝑘 + 0𝑣𝑘+1 + ⋯+ 0𝑣𝑛 = 0⃗ , com 
pelo menos um escalar 𝑎𝑖 ≠ 0, de onde se conclui que 𝐵 também é um con jun to LD. 
b) Considerando-se h ipótese e tese que compõem a proposição an terior , a demonstração do 
resul tado segue, agora , do fa t o de a negação da tese sempre imp l icar a negação da 
h ipótese. 
Finalmente, observe que s e 𝐵 for LD, não se pode garan t ir que 𝐴 se ja LD ou LI . 
Analogamente, se 𝐴 for LI, 𝐵 poderá ser LI ou LD. Dê exemplos que ver i fiquem essa s 
conclusões. 
42. Seja 𝐴 = {𝑣1, … , 𝑣𝑘}. Se 𝐴 é LD, en tão 𝑎1𝑣1 + …+ 𝑎𝑘𝑣𝑘 = 0⃗ , com pel o menos um esca lar 𝑎𝑖 ≠ 0. 
Sem perder a generalidade, pode -se supor que 𝑖 = 1. Dessa forma, 𝑣1 = −
𝑎2
𝑎1
 𝑣2 − ⋯−
𝑎𝑘
𝑎1
 𝑣𝑘 e , 
por tan to, um dos vet ores de 𝐴 é combinação l inear dos demais. 
Reciprocamente, se para a lgum 𝑖, 𝑣𝑖 = 𝑎1𝑣1 + …+ 𝑎𝑖−1𝑣𝑖−1 + 𝑎𝑖+1𝑣𝑖+1 + ⋯+ 𝑎𝑘𝑣𝑘, en tão 𝑎1𝑣1 +
 …+ 𝑎𝑖−1𝑣𝑖−1 − 𝑣𝑖 + 𝑎𝑖+1𝑣𝑖+1 + ⋯+ 𝑎𝑘𝑣𝑘 = 0⃗ é uma combinação l inear dos vetores de 𝐴 que 
r esul ta no vet or nulo, e na qual pelo menos um escalar (o coefi cien te do vet or 𝑣𝑖) não é 
nulo. 
43. Se 𝜆(𝑎, 𝑏) + 𝑘(𝑐, 𝑑) = (0, 0), en tão (𝜆𝑎 + 𝑘𝑐, 𝜆𝑏 + 𝑘𝑑) = (0, 0) e, assim, {
𝑎𝜆 + 𝑐𝑘 = 0
𝑏𝜆 + 𝑑𝑘 = 0
 . 
Agora , basta lembrar que o sist ema homogên eo acima tem solução ún ica , se for não nulo o 
determinan te de sua matr iz de coefi cien tes. 
44. De 𝜆(𝑎, 𝑏) + 𝑘(𝑐, 𝑑) = (0, 0), tem-se o sist ema {
𝑎𝜆 + 𝑐𝑘 = 0
𝑏𝜆 + 𝑑𝑘 = 0
 . Dele, mul tipl icando-se a equação 
super ior por 𝑐 e a in fer ior por 𝑑 e somando-se os resul tados, vem 𝜆(𝑎𝑐 + 𝑏𝑑) + 𝑘(𝑐2 + 𝑑2) = 0. 
Com o 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 = 0 e 𝑐2 + 𝑑2 = 1, concluí -se que 𝑘 = 0. Agora , sendo 𝑘 = 0, tem-se 𝑎𝜆 = 0 e 
𝑏𝜆 = 0. Mas, assim, 𝜆 = 0, pois, caso con trár io, ter -se-ia 𝑎 = 0 e 𝑏 = 0, con tradizendo a 
h ipótese 𝑎2 + 𝑏2 = 1. 
45. 𝑘 ≠ 0 e 𝑘 ≠ 1. 
46. 𝑎 = 0. 
47. 𝛼 é base de P3(𝑥). 
48. a) 𝛼 = {(2, 1, 0), (0, 0, 1)} é base de 𝑊1 e 𝑑𝑖𝑚𝑊1 = 2. 
b) 𝛽 = {(2, 1,−2)} é base de 𝑊2 e 𝑑𝑖𝑚𝑊2 = 1. 
c) 𝑊1 ∩ 𝑊2 = 𝑊2 e, por tan to, 𝛽 = {(2, 1, −2)} é base de 𝑊1 ∩ 𝑊2 e 𝑑𝑖𝑚(𝑊1 ∩ 𝑊2) = 1. 
d) 𝜃 = {(−2, 1, 0), (3, 0, 1)} é base de 𝑊3 e 𝑑𝑖𝑚𝑊3 = 2. 
e) C = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é base de 𝑊2 + 𝑊3 e 𝑑𝑖𝑚(𝑊2 + 𝑊3) = 3. 
f) 𝜙 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} é base de 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3/ 𝑧 = 0} e 𝑑𝑖𝑚𝑊 = 2. 
g) 𝜓 = {(1, 1, 0), (0, 0, 1)} é base de 𝑈 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3/ 𝑥 = 𝑦} e 𝑑𝑖𝑚𝑈 = 2. 
h ) 𝛾 = {(1, 2, 0), (0,−1, 1)} é base de 𝑇 = [(1, 2, 0), (1, 1, 1), (0, −1, 1)] e 𝑑𝑖𝑚𝑇 = 2. 
49. 𝛼 = {(0, 1, 0), (0, 0, 1)} é base de 𝑊1 e 𝑑𝑖𝑚𝑊1 = 2; 𝛽 = {(1, 2, 0), (3, 1, 2)} é base de 𝑊2 e 𝑑𝑖𝑚𝑊2 = 2; 
𝛾 = {(0, −5, 2)} é base de 𝑊1 ∩ 𝑊2 e 𝑑𝑖𝑚(𝑊1 ∩ 𝑊2) = 1;C = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é base de 
𝑊1 + 𝑊2 e 𝑑𝑖𝑚(𝑊1 + 𝑊2) = 3. 
50. 𝛼 = {(1, 1, 0, 0), (−1, 1, 4, 0), (3, 2,−2, 0)} é base de 𝑊 e 𝑑𝑖𝑚𝑊 = 3. 𝑊 é subespaço própr io de ℝ4. 
51. 𝛼 = {[ 
1 −1
0 0
 ] , [ 
0 0
1 0
 ] , [ 
0 0
0 1
 ]} é base de 𝑊1 e 𝑑𝑖𝑚𝑊1 = 3; 
𝛽 = {[ 
 1 0
−1 0
 ] , [ 
0 1
0 0
 ] , [ 
0 0
0 1
 ]} é base de 𝑊2 e 𝑑𝑖𝑚𝑊2 = 3; 
𝛾 = {[ 
 1 −1
−1 0
 ] , [ 
0 0
0 1
 ]} é base de 𝑊1⋂𝑊2 e dim(𝑊1⋂𝑊2) = 2; 
dim(𝑊1 + 𝑊2) = 4, por tan to 𝑊1 + 𝑊2 = 𝑀2×2 e, assim, qualquer base do espaço 𝑀2×2 será base 
de 𝑊1 + 𝑊2; 
𝑊1 + 𝑊2 = 𝑀2×2, mas esta soma não é dir eta. 
52. a) 𝛼 = {[ 
1 0
0 −1
 ] , [ 
0 1
0 0
 ] , [ 
0 0
1 0
 ]} é base de 𝑊 e 𝛽 = {[ 
1 0
0 −1
 ] , [ 
0 1
0 0
 ] , [ 
0 0
1 0
 ] , [ 
0 0
0 1
 ]} é base 
de 𝑀2×2, obt ida por completamen to de 𝛼. 
b) Basta tomar 𝑈 = [ [
0 0
0 1
] ]. 
53. a) 𝛼 = {[ 
1 0
1 0
 ] , [ 
0 1
0 −1
 ]} é base de 𝑊 e 𝑑𝑖𝑚𝑊 = 2. 
b) 𝛽 = {[ 
1 −1
0 3
 ] , [ 
1 1
0 2
 ] , [ 
 2 2
−1 1
 ]} é base de 𝑊 e 𝑑𝑖𝑚𝑊 = 3. 
c) 𝛾 = {[ 
1 0
0 0
 ] , [ 
0 1
1 0
 ] , [ 
0 0
0 1
 ]} é base de 𝑊 e 𝑑𝑖𝑚𝑊 = 3. 
d) 𝜃 = {[ 
1 0
0 0
 ] , [ 
0 0
0 1
 ]} é base de 𝑊 e 𝑑𝑖𝑚𝑊 = 2. 
54. 𝛼 = {𝑥3, 𝑥2 , 𝑥 − 1} é base de 𝑈 e 𝑑𝑖𝑚𝑈 = 3; 𝛽 = {𝑥3, 𝑥2, 1} é base de 𝑊 e 𝑑𝑖𝑚𝑊 = 3; 𝛾 = {𝑥3, 𝑥2} é 
base de 𝑈⋂𝑊 e 𝑑𝑖𝑚(𝑈⋂𝑊) = 2; 𝑑𝑖𝑚(𝑈 + 𝑊) = 4 e 𝜃 = {𝑥3, 𝑥2, 𝑥, 1} é base de 𝑈 + 𝑊. 
55. Não. Se ocor resse, estar ia sendo encon trado um subespaço do ℝ3 com dimensão 4. 
56. Eviden temente, 𝑑𝑖𝑚(𝑊1⋂𝑊2) ≤ 1, ou se ja , 𝑑𝑖𝑚(𝑊1⋂𝑊2) = 0 ou 𝑑𝑖𝑚(𝑊1⋂𝑊2) = 1. Se ocor resse 
𝑑𝑖𝑚(𝑊1⋂𝑊2) = 1, en tão ser ia possível encon trar uma base de 𝑊1⋂𝑊2 do t ipo 𝛼 = {𝑣}, onde 
𝑣 ≠ 0⃗ . Por um lado, como 𝑣 ∈ 𝑊1⋂𝑊2, 𝑣 ∈ 𝑊1 , e, sendo 𝑑𝑖𝑚𝑊1 = 1, 𝛼 também ser ia base para 
𝑊1 . Por consequência , ∀𝑢 ∈ 𝑊1 , 𝑢 = 𝜆𝑣, 𝜆 ∈ ℝ. Por outro lado, como 𝑣 ∈ 𝑊1⋂𝑊2 , 𝑣 ∈ 𝑊2 , e, 
sendo 𝑊2 um subespaç o, 𝜆𝑣 ∈ 𝑊2, ∀𝜆 ∈ ℝ, de onde se conclui que 𝑊1 ⊂ 𝑊2 , con tradizendo a 
h ipótese do probl ema. Logo, deve ocor rer , obr igator iamen te, 𝑑𝑖𝑚(𝑊1⋂𝑊2) = 0 e o r esul tado 
segue. 
57. 𝑑𝑖𝑚(𝑊1⋂𝑊2) = 2, 𝑑𝑖𝑚(𝑊1⋂𝑊2) = 3 ou 𝑑𝑖𝑚(𝑊1⋂𝑊2) = 4. 
58. Não, pois, nesse caso, pode ocor rer 𝑑𝑖𝑚(𝑈⋂𝑊) = 1. 
59. 𝑈 = [(0, 0, 1)] é um subespaço un idimensional de ℝ3; 𝑊 = [(1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1)] é um subespaço 
bidimensional de ℝ4. 
60. [(4, −1)]𝛽 = [ 
1
2
 ]; [(𝑥, 𝑦)]𝛽 = [ 
(𝑥 + 𝑦)/3
(𝑥 − 2𝑦)/3
 ]. 
61. [𝑝(𝑥)]𝛼 = [
 0
−1
 4
 0
 ]. 
62. Se 𝛽 é a base canôn ica de ℝ3, en tão 
[𝐼]𝛽
𝛼 = [
1 0 0
1 1 0
0 0 3
] e [𝐼]𝛼
𝛽
= [
 1 0 0
−1 1 0
 0 0 1/3
 ]. 
63. [𝐼]𝛽
𝛼 = [
−1/2 −1/2 3/2
1 0 −1
−1/2 1/2 1/2
] e [𝐼]𝛼
𝛽
= [
 1 2 1
 0 1 2
 1 1 1
 ]. 
64. [𝑣]𝛽 = [ 
 2
−1
 1
 ]. 
65. 𝛼 = {(1, 5), (0, 6)}. 
66. [𝑣]𝛼 = [ 
4
2
 ] e [𝑣]𝛾 = [ 
2
1
 ]. 
67. 𝑣 = (4, 2). 
68. Represen tando-se o espaço por 𝑉, [𝐼]𝛼
𝛼 será a matr iz iden t idade de ordem 𝑑𝑖𝑚𝑉 × 𝑑𝑖𝑚𝑉. 
69. 𝛼 e 𝛽 são bases de 𝑊 e 
[𝐼]𝛽
𝛼 = [
1 −1 0
0 1 −1
0 0 1
] e [𝐼]𝛼
𝛽
= [
1 1 1
0 1 1
0 0 1
 ]. 
 
70. [−𝑥2 + 2(𝑥 − 1)]𝛽 = [
 1 0 0
−2 1 0
 1 −1 1
 ] [
−1
 2 
−2
] = [
−1
 4 
−5
]. 
 
□□□□□□