Lista de Exercícios 3 - Respostas

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1 . 
 
 
3 . 
5 . 
 
 
 
7 . 
 
9 . 
 
11
13
 
15
Ba
Po
15
au
 
15
Ba
Po
15
 
Po
 
 
UFP
ÁL G
RE
 
21 =λ ; au
22 −=λ ; a
Não tem au
11 −=λ ; au
22 =λ ; aut
23 −=λ ; au
11 =λ ; auto
11 −=λ ; au
 12 =λ ; au
. 01 =λ ; au
. 11 =λ ; aut
. 1 . Operad
ase de autov
l inômio mi
. 3 . Ope
tovalores r
. 5 . Operad
ase de autov
l inômio mi
. 7 . Operad
l inômio mi
PB - CCEN
G E B R A LIN E
SPOSTAS D
utovetores 
autovetores
utovalores r
u tovetores v
ovetores v
utovetores v
ovetores v =
utovetores A
utovetores 
u tovetores p
tovetores p
dor d iagona
vetores: =β
in imal: (xm
rador não
eais 
dor d iagona
vetores: =β
in imal: (xm
dor não diag
inimal: (xm
N - DEPART
E A R E GE OM
DA 3 ª LIST
( )yyv ,2= 
 ( yv ,2−=
reais 
⎜⎝
⎛ −= ,2, xxv
( )zzz ,,= 
( xxxv ,3, −=
( )w,0,0,0= 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
db
ba
A 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−= 0
0
b
b
A
cxp =)( 
dxp =)( 
a l izável ( ) ({ ,1,2 −= ( )(2) −= xxx
 d iagonal
al izável 
⎩⎨
⎧
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=
2
1,2,1
( )(1) −+= xxx
gonal izável
( )1) 4xx =−=
TAMENTO 
M E T R I A ANA
TA DE EXER
)y 
⎟⎠
⎞−
2
x 
)x 
⎟⎟⎠
⎞
 
)}1,2 )2+x 
izável –
( ) ( −⎟⎠
⎞ 3,1,1,1,1,
)( )22 +− x 
l 
)(xp 
DE MATE
A L Í T I C A 
RCÍCIOS –
2. 1λ
 2λ
4. 1λ
 2λ
 3λ
6. 1λ
 2λ
8. 1λ
 λ
10. λ
 λ
12. λ
 λ
14. λ
 λ
 λ
 λ
15. 2
Base
Polin
não 15. 4
Base
Polin
)
⎭⎬
⎫
1,3 
15. 6
Base
Polin
15. 8
Polin
MÁTICA 
– PE R Í O D O 2
211 += ; a
21−= ; au
11 = ; autove
2= ; autov
3= ; autov
4= ; autov
22 −= ; auto
3= ; autove
22 =λ ; auto
11 −=λ ; aut
22 =λ ; auto
11 =λ ; autov
12 −=λ ; auto
01 =λ ; autov
22 −=λ ; auto
61 −=λ ; auto
122 −=λ ; au
2. Operador
 de autovet
nômio mini
4. Operador
 de autovet
nômio mini
6. Operador
 de autovet
nômio mini
8. Operador
nômio mini
2013.2 
u tovetores 
u tovetores 
e tores (xv =
etores (v =
etores (v =
etores (xv =
ovetores v =
etores (v 0=
vetores v =
ovetores p
vetores xp(
vetores (xp
ovetores (p
vetores xp(
ovetores p(
ovetores (p
tovetores p
r d iagonal iz
tores : ⎪⎩
⎪⎨
⎧=β
mal: )( =xm
r d iagonal iz
tores : ({=β
mal: )( =xm
r d iagonal iz
tores : ({=β
mal: )( =xm
r não d iagon
mal: )( =xm
⎜⎜⎝
⎛= yyv ,
2
2
⎜⎜⎝
⎛−= yv ,
2
2
)0,0,x 
( )0,, xx 
( )xxx ,, 
( )zzxx ,, + 
( )xx ,0,= 
)w,0,0,0 
( )0,,0, zx= 
axxp =)( 
bx =) 
() 2 += xbaxx
)1()( −= xbx
dx =) 
cxx =)( 
3
1()( 2 −= xbx
⎜⎝
⎛ −= xaxp )( 3
zável 
⎩ ⎜
⎜
⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
,1,
2
2
( )( )21+−= x
zável ( ) ( )0,1,1,0,0,1
( )( )21 −−= xx
zável ( ) ( ),1,1,0,0,1,1
( )( )24 +−= xx
nal izável 
( ) ( 32 2 −−= xx
⎟⎟⎠
⎞
y 
⎟⎟⎠
⎞
y 
)1+ 
 
)
3
 
⎟⎠
⎞− x
5
3 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎟⎟⎠
⎞
1,
2
2 
) ( )( )21−−x
) ( )}1,1,1, 
)( )3−x 
( )}1,0,1, 
) 
)3 
15. 9 . Operador d iagonal izável 
Base de autovetores : 
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
01
10
,
10
00
,
01
10
,
00
01β 
Pol inômio minimal: ( )( )11)( +−= xxxm 
15. 10. Operador d iagonal izável 
Base de autovetores : { }1,x=β 
Pol inômio minimal: ( )( )21)( −+= xxxm 
15. 11. Operador não diagonal izável 
Pol inômio miminal : 3)( xxm = 
15. 12. Operador diagonalizável 
Base de autovetores: { }1,1,2 +−= xxxβ 
Pol inômio minimal: ( )( )11)( +−= xxxm 
 
15. 13. Operador não diagonalizável 
Pol inômio miminal : ( )31)( −= xxm 
15. 14. Operador diagonalizável 
Base de autovetores: ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −−= 1,,
3
1,
5
3 23 xxxxβ 
Pol inômio minimal: ( )( )( )1262)( +++= xxxxxm 
 
16. Temos que ( ) ( )θθ senT ,cos0,1 = e ( ) ( )θθ cos,1,0 senT −= . Logo [ ] ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −= θθ
θθ
cos
cos
sen
sen
T e o pol inômio 
caracter ís t ico será ( ) 1cos22 +−= λθλλp . Como ,, Ζ∈= kkπθ então 1cos ±=θ . Se k é par , o autovalor 
de T será 1=λ . Se k é ímpar, o autovalor de T será 1−=λ . 
 
17. ( ) ( )yxyyxT +−−= ,6, . 
 
18. Seja 0≠v um autovetor de T associado ao autovalor λ = 0 . Então ( ) 0.0. === vvvT λ . Como T é 
l inear , então ( ) 00 =T . Assim temos ( ) ( )0TvT = mas 0≠v . Logo T não é inje tor . 
 
19. Seja 0≠v um autovetor de T associado ao autovalor λ . Então ( ) vvT .λ= . Como T é invers ível , 
então ( )( ) ( )vTvTT .11 λ−− = ⇒ ( )vTv 1−= λ ⇒ ( ) vvT λ
11 =− . Logo λ
1
 é um autovalor de 1−T . 
20. Seja ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
cb
ba
A uma matr iz s imétr ica do operador l inear T . Então o pol inômio caracter ís t ico de T 
é : 
( ) ( )( ) ( ) 222 baccabca
cb
ba
p −++−=−−−=−
−= λλλλλ
λλ . 
 
Observe que ( ) .04 22 ≥+−=Δ bca Se 0=Δ teremos a = c e b = 0 . Logo A é uma matr iz d iagonal . Se 
0>Δ , o pol inômio caracter ís t ico terá duas raízes reais e d is t in tas , donde podemos concluir que T é 
d iagonal izável . 
 
21. a) Seja ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
dc
ba
A a matr iz do operador l inear T na base canônica. Então o pol inômio 
caracter ís t ico de T é : 
( ) ( )( ) ( ) ( ) AtrAbcaddabcda
dc
ba
p det22 +−=−++−=−−−=−
−= λλλλλλλ
λλ 
 
As ra ízes do pol inômio caracter ís t ico são: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
2
4
2
44 22 bcdadabcaddada +−±+=+−+±+=λ 
Logo os autovalores de A são: 
( ) ( )
2
42
1
bcdada +−++=λ e ( ) ( )
2
42
2
bcdada +−−+=λ ; 
 
b) Como a, b , c e d são números posi t ivos e dis t in tos , então 0>Δ . Logo o pol inômio caracter ís t ico 
terá duas raízes reais e d is t in tas , sendo λ 1 posi t ivo. 
 
22. a) a ≠ 1 b) a = 0. 
 
23. Se A é uma matr iz quadrada de ordem 2, seu pol inômio caracter ís t ico é: 
AAtrp det)()( 2 +−= λλλ . 
Como os pol inômios caracter ís t icos de A e B são iguais , então det A = det B . 
 
24. Os candidatos a polinômio minimal são: 
 
1 . ( )( )41)1()(1 +−+= λλλλp 2 . ( )( )41)1()( 21 +−+= λλλλp 
3 . ( )( )41)1()( 31 +−+= λλλλp 4 . ( ) ( )41)1()( 21 +−+= λλλλp 
5 . ( ) ( )41)1()( 221 +−+= λλλλp 6 . ( ) ( )41)1()( 231 +−+= λλλλp 
 
25. Se o operador é d iagonal izável seu polinômio minimal será ( )( )41)(1 +−= λλλλp . Uma das 
matr izes que pode representar o operador será 
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
=
400000
010000
001000
000100
000010
000001
P 
 
26. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= 11
12P .