Livro-Texto_Álgebra Linear

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Instituto Federal de Educação,
Ciência e Tecnologia
de Pernambuco
2010
Recife-PE
Licenciatura em Matemática
Álgebra Linear
Autoria
Jorge Luiz Farias
Moacyr Cunha Filho
Adaptação dos livros Álgebra Linear I (Aulas 1,2, 3, 5, 6 e 7), autoria Moacyr 
Cunha Filho e Álgebra Linear II (Aulas 4, 8, 9 e 10) de Jorge Luiz Farias.
Presidência da República Federativa do Brasil
Ministério da Educação
Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES
Este Caderno foi elaborado em parceria entre o Instituto Federal de Educação, 
Ciência e Tecnologiade Pernambuco - IFPE e a Universidade Aberta do Brasil - UAB
Equipe de Elaboração
Coordenação do Curso
Maria de Fátima Neves Cabral
Supervisão de Tutoria
Sônia Quintela Carneiro
Logística de Conteúdo
Giselle Tereza Cunha de Araújo
Maridiane Viana
Coordenação Institucional
Reitoria
 Pró-Reitoria de Ensino
 Diretoria de Educação a Distância
Pró-Reitoria de Extensão
Pró-Reitoria de Pesquisa e Inovação
Pró-Reitoria de Administração e Planejamento
Projeto - Capa
Giselle Tereza Cunha de Araújo
Verônica Emília Campos Freire
Revisão de Conteúdo
Moacyr Cunha Filho 
Sumário
Aula 1 - Matrizes
Aula 2 - Determinantes 
Aula 3 - Sistemas Lineares 
Aula 4 - Transformações Lineares 
Aula 5 - Espaços Vetoriais 
Aula 6 - Autovalores e Autovetores 
7Aula 1 - Matrizes
1. Apresentação
A partir deste momento, você está dando início ao estudo de um capítulo 
que com certeza lhe trará novos conhecimentos, mesmo que já tenha 
visto esses assuntos propostos. Durante o desenvolvimento do texto, 
nos fi xamos no objetivo de levar para uma abordagem livre de termos e 
palavras difíceis que pudessem comprometer a sua compreensão. Nosso 
desejo consiste em tornar essa leitura menos cansativa, mais útil e de 
qualidade. Durante esse módulo, iremos desenvolver diversas ativida-
des que serão de fundamental importância para o conhecimento dessa 
disciplina. Para tanto, faz-se necessário que não deixe de realizar as ati-
vidades previstas para a semana. A resolução dos problemas propostos, 
a leitura e a utilização dos materiais disponibilizados são fundamentais 
para uma aprendizagem profícua. Procure organizar o seu tempo de 
modo a não deixar pendentes as atividades previstas para cada etapa. 
Fazemos votos e estamos trabalhando para o sucesso de todos.
2. Objetivo(s)
2.1 Conhecer os tipos de matrizes; »
2.2 Trabalhar com igualdade entre matrizes; »
2.3 Operacionalizar com matrizes; »
2.4 Identifi car equações matriciais. »
3. Introdução
Um dos primeiros registros sobre as matrizes surgiu na antiga China, sob 
a forma de tabelas.
Essas tabelas aparecem na obra de Chui-Chang Suan-Shun (nove capí-
tulos sob a arte da matemática), escrita por volta de 250 a. C. 
Com o auxílio dessas tabelas, os chineses resolviam sistemas de equa-
ções lineares, utilizando as matrizes, como são atualmente conhecidas.
Avançando quase dois mil anos, o matemático inglês Arthur Cayley foi um 
dos primeiros a introduzir matrizes na matemática, criando, em 1857, a 
álgebra das matrizes.
A ÁLGEBRA LINEAR
O termo matriz foi utilizado pela 
primeira vez pelo matemático 
e advogado inglês James 
Sylvester, que o defi niu, em 
1850, como um “arranjo oblongo 
de termos”. Sylvester comunicou 
seu trabalho sobre matrizes 
para o seu colega advogado 
e matemático inglês Arthur 
Cayley, que, então, introduziu 
algumas das operações básicas 
de matrizes num livro intitulado 
Memoir on the Theory of 
Matrices, publicado em 1858.
James Sylvester Arthur Cayley
(1814 – 1897) (1821 – 1895)
8
No século XX, o matemático alemão David Hilbert apresentou um estudo 
aprofundado sobre as matrizes, introduzindo, em 1904, as matrizes infi ni-
tas, associando-as com as equações integrais.
Quanto às aplicações, as matrizes são utilizadas na computação, na 
mecânica, em circuitos elétricos e na eletrônica.
Um exemplo interessante do uso na eletrônica é o medidor de vibrações.
As informações detectadas por esse engenhoso instrumento são proces-
sadas utilizando a linguagem das matrizes.
3.1 Tipos de matrizes
3.1.1 Matriz linha
É toda matriz do tipo 1 x n (n∈R*).
naaaaA 1131211 ...=
Exemplos:
[ ] 31742 xA −= [ ] 419252 xB −=
3.1.2 Matriz coluna
É toda matriz do tipo mx1 (m∈R*).
Exemplo:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
11
ma
a
B M
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
9
5
2
B
3.1.3 Matriz quadrada
É toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas. Assim, 
chamamos matriz quadrada de ordem n toda matriz do tipo n x n. 
Exemplos: 
ANOTAÇÕES PESSOAIS
9
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
51421
749
532
1750
68
BA
Toda matriz quadrada possui duas diagonais:
A principal, composta por elementos » aij ,tais que i=j, isto é:
nnaaaaa ,...,,,, 44332211
A secundária, em que os elementos » aij são tais que, i+j = n+1. Veja 
como são as diagonais de uma matriz quadrada do tipo 3 x 3.
3.1.4 Matriz nula
É toda matriz do tipo m x n cujos elementos são todos nulos. Para indicar 
uma matriz nula, utiliza-se a notação:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
00
00
00
00
00
2322 xx OO
3.1.5 Matriz diagonal
É toda matriz quadrada em que os elementos não pertencentes à diago-
nal principal são todos nulos.
Exemplos:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
300
080
006
70
05
ML
ANOTAÇÕES PESSOAIS
10
3.1.6 Matriz identidade
É toda matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são 
iguais a 1. Para indicar uma matriz identidade de ordem n, utilizamos a 
notação:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
100
010
001
10
01
32 II
3.1.7 Matriz inversa
Uma matriz quadrada A é dita invertível quando existe outra matriz deno-
tada A-1 tal que:
A-1 • A = I
A • A-1= I
onde I é a matriz identidade A-1 e a matriz inversa de A.
Exemplo: 
Dada a matriz ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
15
20
A , obter a sua inversa, se existir.
Fazendo ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=−
dc
ba
A 1 devemos ter 21 IAA =⋅ − , ou seja:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 10
01
55
22
10
01
15
20
dbca
dc
dc
ba
Pela igualdade de matrizes, temos:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=⇒=⇒=−
=⇒=
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=⇒=−⇒=−
=⇒=
5
11515
002
10
10
2
1505
2
112
bbdb
dd
aaca
cc
Atenção: Uma matriz invertível 
pode ter mais de uma inversa?
A resposta é não. Vejamos por 
que através do teorema.
Teorema:
Se B e C são ambas inversas da 
matriz A, então B = C.
Prova. Como B é uma inversa 
de A, temos BA = I. Multiplicando 
ambos os lados pela direita por 
C, dá (BA)C = IC = C. Mas (BA)
C = B(AC) = BI= B, de modo que 
C = B.
11
Assim: 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
2
1
5
1
10
1
dc
ba
Por outro lado, temos: ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++
−+=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⋅
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
10
01
0100
5
1
5
110
15
20
0
2
1
5
1
10
1
Portanto: 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=−
0
2
1
5
1
10
1
1A .
3.1.8 Matriz transposta
Dada uma matriz A de ordem m x n, a matriz transposta dela será repre-
sentada por At de ordem “invertida” n x m. 
Essa ordem invertida signifi ca que, para transformarmos uma matriz em 
matriz transposta, basta trocarmos os elementos das linhas pelo das 
colunas e vice-versa. 
Exemplo:
1. Dada a matriz 
23
74
62
51
x
A
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−= , a matriz transposta representada por 
At, será: 
32765
421
x
tA ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=
Observamos que a ordem das matrizes A e da sua transposta At foi inver-
tida, o que era linha virou coluna e o que era coluna virou linha.
2. Dada a matriz 
33
437
615
892
x
B
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
= , a matriz transposta representada 
por
Bt, será: 
33
468
319
752
x
tB
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
ANOTAÇÕES PESSOAIS
12
3 - Dadas as matrizes ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
23
51
A e ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=
34
10
B , efetuar:
tBA )( +a) 
tBA )( ⋅b) 
tAB )( ⋅c) 
tt BA ⋅d) 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=+⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=+⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
−++
=+
54
71
)(
57
41
3243
)1(501
) tBABABAa
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⋅⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⋅⇒
⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅+−⋅⋅+⋅
⋅+−⋅⋅+⋅
=⋅⇒⎥
⎦
⎤⎢
⎣
⎡ −
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⋅
314
820
)(
38
1420
32)1(34203
35)1(14501
34
10
23
51
)
tBABA
BABAb
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=⋅⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −−
=⋅⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=⋅
262
133
)(
2613
23
23
51
34
10
) tABABABc
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=⋅
⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⋅⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
262
133
31
40
25
31
31
40
,
25
31
)
tt
tttt
BA
BABAd
3.2 Matriz Genérica
Uma matriz genérica do tipo n x m é representada da seguinte maneira:
ANOTAÇÕES PESSOAIS
13
Essa matriz m x n possui m.n elementos. Podemos expressá-la de forma 
mais reduzida, por meio de uma lei de formação para seus elementos.
( )
mxnij
aA =
{ } { }njmi ...,,3,2,1...,,3,2,1 ∈∈ e
Exemplo: 
1. Determinar a matriz 32)( xijaA = tal que 
22 jiaij += .
A matriz A procurada é do tipo 2 x 3, isto é:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
232221
131211
aaa
aaa
A
Para obter o valor de cada elemento da matriz, basta substituir os valores 
de i e j na lei da formação 22 jiaij += .
13322
8222
5122
11312
6212
3112
23
2
23
22
2
22
21
2
21
13
2
13
12
2
12
11
2
11
=⇒+⋅=
=⇒+⋅=
=⇒+⋅=
=⇒+⋅=
=⇒+⋅=
=⇒+⋅=
aa
aa
aa
aa
aa
aa
Portanto: ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
1385
1163
A
3.3 Igualdade de matrizes
Duas matrizes são defi nidas como iguais se têm o mesmo tamanho, e 
suas entradas correspondentes são iguais.
Exemplo: 
1. Sejam as matrizes ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=
925
143
A e ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
925
46
z
yx
B . 
Determinar x, y e z, para que A = B.
ATENÇÃO: A defi nição de 
multiplicação de matrizes exige 
que o número de colunas do 
primeiro fator A seja igual ao 
número de linhas do segundo 
fator B para que seja possível 
formar o produto de A B. Se 
esta condição não é satisfeita, 
o produto não está defi nido. 
Uma maneira conveniente de 
determinar se o produto de duas 
matrizes está ou não defi nido é 
escrever o tamanho do primeiro 
fator e, à direita, escrever o 
tamanho do segundo fator. Se 
os números internos coincidem, 
então o produto está defi nido. 
nxmnxrrxm
ABBA
=
14 Se A = B, então ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
925
46
925
143
z
yx
. Assim, devemos ter: 
055
11
2
136
=⇒=+
=⇒−=−
=⇒=
zz
yy
xx
2 - Dadas as matrizes ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=
83
4yx
A e ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
yx
B
23
44
. Determinar 
x e y, para que A = B.
Se A = B, então ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
yx
yx
23
44
83
4
. Dessa forma, temos:
4123
82
4
82
4
=⇒=
⎩
⎨
⎧
=+
=−
⇒
⎩
⎨
⎧
=+
=−
xx
yx
yx
yx
yx
Substituindo x por 4 em x-y = 4, obtemos y = 0. Portanto, x = 4 e 
y = 0.
3.4 Adição de matrizes
Se A e B são matrizes de mesmo tamanho, então a matriz soma A + B 
das Matrizes A e B é a matriz obtida pela soma das estradas de B com as 
entradas correspondentes de A.
Exemplo:
1. :,
35
22
10
20
34
51
entãoBeASe
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=+⇒
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
++
++
−++
=+
55
56
41
3250
2324
)1(501
BABA
De modo geral, se mxnijmxnij bBeaA )()( == ,então A + B é a matriz 
mxnijcC )(= tal que:
A ÁLGEBRA LINEAR
O conceito de multiplicação 
matricial deve-se ao matemático 
alemão Gotthold Eisenstein, que 
introduziu a ideia, por volta de 
1844, para simplifi car o processo 
de efetuar substituições em 
sistemas lineares.
Gotthold Eisenstein
(1823 – 1852)
15ijijij bac += , com mi ≤≤1 e nj ≤≤1
3.5 Subtração de matrizes
Se A e B são matrizes de mesmo tamanho, então a matriz diferença A - B 
das matrizes A e B é a matriz obtida pela subtração das entradas de B e 
das entradas correspondentes de A.
Exemplo:
1 - Dadas as matrizes ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
64
20
23
45
BA e , determinar A-B.
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=−+=−
−
41
25
64
20
23
45
)(
43421
B
BABA
3.6 Equação matricial
Toda equação, cuja incógnita é uma matriz, recebe o nome de equação 
matricial.
Exemplos:
1. Considerando as matrizes ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
=
343
205
102
431
BeA . 
Determinar a matriz X tal que A + X = B.
Vamos somar a matriz –A aos dois membros:
ABXABAXA −=⇒−+=−++ )()(
Então, temos:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
102
431
343
205
X . Portanto: ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−−
=
245
236
X
ANOTAÇÕES PESSOAIS
16
2. Dadas as matrizes ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
46
22
17
94
BeA , resolver o sistema: 
⎩
⎨
⎧
=−−
=+
AYX
BYX2
Somando as duas igualdades membro a membro, vem:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⇒+=
=−−
=+
315
96
46
22
19
74
2
XXBAX
AYX
BYX
Considerando a segunda equação do sistema, temos:
)( AXYAXYAYX −+−=⇒−−=⇒=−−
Então:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−−
=⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−−
=
224
1610
19
74
315
96
YY
3.7 Multiplicação de um número real por uma matriz]
Considere um número real k e uma matriz A, do tipo m X n.
Multiplicar o número k pela matriz A (k x A) signifi ca multiplicar todos os 
elementos dessa matriz pelo número k. De modo geral, temos:
Se mxnijaA )(= , e Rk∈ , então Ak ⋅ é uma matriz do tipo m X n cujos 
elementos são dados por: Ak ⋅ , com mi ≤≤1 e nj ≤≤1 .
Exemplos:
1. Considerando a matriz ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
=
21
43
A e o número k = 2, determinar a 
matriz do tipo B, do mesmo tipo que a matriz A, tal que B = kA.
Então, temos:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
=⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⋅
⋅−⋅
=⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
⋅=
42
86
2212
42)3(2
21
43
2 BBB
ANOTAÇÕES PESSOAIS
172. Com as matrizes
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
01
610
95
14
86
30
,
34
50
12
CeBA , 
determinar a matriz 3A + B – 2C.
Temos 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=⇒
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅=
912
150
36
3
34
50
12
33 AA
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=⇒
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
⋅=
02
1220
1810
2
01
610
95
22 CC
Então:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
=−+
⇒
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=−++=−+
1014
1126
244
23
02
1220
1810
14
86
30
912
150
36
)2(323
CBA
CBACBA
3. Dadas as matrizes ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
3
01
28
04
BeA , determinar a matriz X 
tal que X + 3A – B = 0.
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−
=⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⇒
⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⇒−=⇒=−+
325
011
624
012
31
01
28
04
3
31
01
303
XX
XABXBAX
3.8 Multiplicação de matrizes
Se A é uma matriz m x r e B é uma matriz r x n, então o produto A x B é 
uma matriz m x n cujas entradas são determinadas como segue. Para 
obter a entrada na linha i e coluna j de AB, destaque a linha i de A e a 
coluna j de B. Multiplique as entradas correspondentes desta linha e, 
então, some os produtos resultantes. 
ANOTAÇÕES PESSOAIS
18
Exemplos:
1. Se ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
43
21
A e ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
21
53
B , obter as matrizes BA ⋅ e AB ⋅
Efetuando o produto de BA ⋅ , temos:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2313
95
21
53
43
21
 Portanto, ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⋅
2313
95
BA
Agora efetuando o produto AB ⋅ , temos:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
107
2618
43
21
21
53
 Portanto ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⋅
107
2618
AB
Observe que ABBA ⋅≠⋅ , logo:
A propriedade comutativa não vale para a multiplicação de matizes.
2. Com as matrizes ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
43
12
A e ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
15421
1108
B ,tal que 
BXA =⋅ .
Inicialmente, devemos determinar o tipo de matriz X, se ela existir.
3222 xmxnx BXA =⋅
Assim, m deve ser 2, e n deve ser 3, isto é, a matriz X é do tipo 2 x 3 e 
vamos indicá-la por:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
fed
cba
X
Então, temos:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−+−+−
+++
⇒
⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
15421
1108
434343
222
15421
1108
43
12
fcebda
febda
fed
cba
Dessa forma, obtemos os seguintes sistemas:
ANOTAÇÕES PESSOAIS
19
3,1
1543
12
2,4
443
102
6,1
2143
82
=−=⇒
⎩
⎨
⎧
=+−
=+
==⇒
⎩
⎨
⎧
−=+−
=+
==⇒
⎩
⎨
⎧
=+−
=+
fc
fc
fc
eb
eb
eb
da
da
da
Portanto: ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=
326
141
X
3. Dadas as matrizes ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
23
51
A e ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=
34
10
B , efetuar:
a) tBA )( +
b) tBA )( ⋅
c) tAB )( ⋅
d) tt BA ⋅
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=+⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=+⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
−++
=+54
71
)(
57
41
3243
)1(501
) tBABABAa
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⋅⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⋅⇒
⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅+−⋅⋅+⋅
⋅+−⋅⋅+⋅
=⋅⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⋅
314
820
)(
38
1420
32)1(34203
35)1(14501
34
10
23
51
)
tBABA
BABAb
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=⋅⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −−
=⋅⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=⋅
262
133
)(
2613
23
23
51
34
10
) tABABABc
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=⋅
⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⋅⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
262
133
31
40
25
31
31
40
,
25
31
)
tt
tttt
BA
BABAd
ANOTAÇÕES PESSOAIS
20
4. Matriz Genérica
Uma matriz genérica do tipo n x m é representada da seguinte maneira:
Essa matriz m x n possui m.n elementos. Podemos expressá-la de forma 
mais reduzida, por meio de uma lei de formação para seus elementos.
( )
mxnij
aA =
{ } { }njmi ...,,3,2,1...,,3,2,1 ∈∈ e
Exemplo: 
1. Determinar a matriz 32)( xijaA = tal que 
22 jiaij += .
A matriz A procurada é do tipo 2 x 3, isto é:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
232221
131211
aaa
aaa
A
Para obter o valor de cada elemento da matriz, basta substituir os valores 
de i e j na lei da formação 22 jiaij += .
13322
8222
5122
11312
6212
3112
23
2
23
22
2
22
21
2
21
13
2
13
12
2
12
11
2
11
=⇒+⋅=
=⇒+⋅=
=⇒+⋅=
=⇒+⋅=
=⇒+⋅=
=⇒+⋅=
aa
aa
aa
aa
aa
aa
Portanto: ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
1385
1163
A
ANOTAÇÕES PESSOAIS
21
4.1 Igualdade de matrizes
Duas matrizes são defi nidas como iguais se têm o mesmo tamanho, e 
suas entradas correspondentes são iguais.
Exemplo: 
1 - Sejam as matrizes ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=
925
143
A e ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
925
46
z
yx
B . 
Determinar x, y e z, para que A = B.
Se A = B, então ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
925
46
925
143
z
yx
. Assim, devemos ter: 
055
11
2
136
=⇒=+
=⇒−=−
=⇒=
zz
yy
xx
2. Dadas as matrizes ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=
83
4yx
A e ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
yx
B
23
44
. Determinar x 
e y, para que A = B.
Se A = B, então ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
yx
yx
23
44
83
4
. Dessa forma, temos:
4123
82
4
82
4
=⇒=
⎩
⎨
⎧
=+
=−
⇒
⎩
⎨
⎧
=+
=−
xx
yx
yx
yx
yx
Substituindo x por 4 em x-y = 4, obtemos y = 0. Portanto, x = 4 e
y = 0.
5. Adição de matrizes
Se A e B são matrizes de mesmo tamanho, então a matriz soma A + B 
das Matrizes A e B é a matriz obtida pela soma das estradas de B com as 
entradas correspondentes de A.
ANOTAÇÕES PESSOAIS
22
Exemplo:
1. :,
35
22
10
20
34
51
entãoBeASe
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=+⇒
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
++
++
−++
=+
55
56
41
3250
2324
)1(501
BABA
De modo geral, se mxnijmxnij bBeaA )()( == ,então A + B é a matriz 
mxnijcC )(= tal que:
ijijij bac += , com mi ≤≤1 e nj ≤≤1
6. Subtração de matrizes
Se A e B são matrizes de mesmo tamanho, então a matriz diferença A - B 
das matrizes A e B é a matriz obtida pela subtração das estradas de B 
das entradas correspondentes de A.
Exemplo:
1. Dadas as matrizes ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
64
20
23
45
BA e , determinar A-B.
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=−+=−
−
41
25
64
20
23
45
)(
43421
B
BABA
7. Equação matricial
Toda equação cuja incógnita é uma matriz recebe o nome de equação 
matricial.
Exemplos:
1. Considerando as matrizes ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
=
343
205
102
431
BeA . 
Determinar a matriz X tal que A + X = B.
ANOTAÇÕES PESSOAIS
23
Vamos somar a matriz –A aos dois membros:
ABXABAXA −=⇒−+=−++ )()(
Temos ,então:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
102
431
343
205
X . Portanto: ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−−
=
245
236
X
2. Dadas as matrizes ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
46
22
17
94
BeA , resolver o sistema: 
⎩
⎨
⎧
=−−
=+
AYX
BYX2
Somando as duas igualdades membro a membro, vem:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⇒+=
=−−
=+
315
96
46
22
19
74
2
XXBAX
AYX
BYX
Considerando a segunda equação do sistema, temos:
)( AXYAXYAYX −+−=⇒−−=⇒=−−
Então:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−−
=⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−−
=
224
1610
19
74
315
96
YY
8. Multiplicação de um número real por uma matriz
Considere um número real k e uma matriz A, do tipo m X n.
Multiplicar o número k pela matriz A (k x A) signifi ca multiplicar todos os 
elementos dessa matriz pelo número k. De modo geral, temos:
Se mxnijaA )(= , e Rk∈ , então Ak ⋅ é uma matriz do tipo m X n cujos 
elementos são dados por: Ak ⋅ , com mi ≤≤1 e nj ≤≤1 .
Exemplos:
1. Considerando a matriz ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
=
21
43
A e o número k = 2, determinar a 
ANOTAÇÕES PESSOAIS
24 matriz do tipo B, do mesmo tipo que a matriz A, tal que B = kA.
Então temos:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
=⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⋅
⋅−⋅
=⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
⋅=
42
86
2212
42)3(2
21
43
2 BBB
2. Dadas as matrizes 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
01
610
95
14
86
30
,
34
50
12
CeBA , 
determinar a matriz 3A + B – 2C.
Temos 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=⇒
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅=
912
150
36
3
34
50
12
33 AA
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=⇒
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
⋅=
02
1220
1810
2
01
610
95
22 CC
Então:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
=−+
⇒
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=−++=−+
1014
1126
244
23
02
1220
1810
14
86
30
912
150
36
)2(323
CBA
CBACBA
3. Dadas as matrizes ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
3
01
28
04
BeA , determinar a matriz X 
tal que X + 3A – B = 0.
ANOTAÇÕES PESSOAIS
25
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−
=⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⇒
⇒⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⇒−=⇒=−+
325
011
624
012
31
01
28
04
3
31
01
303
XX
XABXBAX
9. Multiplicação de matrizes
Se A é uma matriz m x r e B é uma matriz r x n, então o produto A x B é 
uma matriz m x n cujas entradas são determinadas como segue. Para 
obter a entrada na linha i e coluna j de AB, destaque a linha i de A e a 
coluna j de B. Multiplique as entradas correspondentes desta linha e 
desta coluna e, então, some os produtos resultantes. 
Exemplos:
1. Dadas as matrizes ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
43
21
A e ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
21
53
B , obter as matrizes 
BA ⋅ e AB ⋅
Efetuando o produto de BA ⋅ , temos:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2313
95
21
53
43
21
 Portanto, ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⋅
2313
95
BA
Agora efetuando o produto AB ⋅ , temos:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
107
2618
43
21
21
53
 Portanto ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⋅
107
2618
AB
Observe que ABBA ⋅≠⋅ , logo:
A propriedade comutativa não vale para a multiplicação de matizes.
2. Dadas as matrizes ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
43
12
A e ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
15421
1108
B tal que 
BXA =⋅ .
Inicialmente, devemos determinar o tipo de matriz X, se ela existir.
3222 xmxnx BXA =⋅
ANOTAÇÕES PESSOAIS
26
Assim, m deve ser 2 ,e n deve ser 3, isto é, a matriz X é do tipo 2 x 3 e 
vamos indicá-la por:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
fed
cba
X
Referências
LANG, S. Álgebra Linear. Rio de Janeiro. Editora Ciência Moderna. 2003.
ANTON, H. Álgebra Linear com Aplicações. Bookman. 2005.
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra Linear Contemporânea. Bookman. 2006.
NOBLE, B.; DANIEL, J. W. Applied Linear Algebra. 2002.
29
Aula 2 - Determinantes
1 Objetivo(s)
2.1 Identifi car os Determinantes de 1ª, 2ª e 3ª ordens; »
2.2 Aplicar as propriedades dos Determinantes; »
2.3 Operacionalizar a regra prática de Sarrus. »
2 Apresentação
Durante a leitura deste segundo capítulo, você terá a oportunidade de 
verifi car como se aplicam os conhecimentos que aprendeu no capítulo 
anterior. Na realidade são inúmeras as aplicações que se podem utilizar 
nas diversas áreas do conhecimento. 
Muitas vezes, o estudo das aplicações de matrizes é tratado como algo 
que representa difi culdade, no entanto logo verá que este estudo não é 
tão difícil, desde que você tenha obtido bons resultados no que se refere 
à compreensão do conteúdo anterior.
Sugerimos que siga o seu ritmo de estudo, pois a sua curiosidade será 
logo despertada, terá imenso prazer em estudar o assunto. Quando sentir 
difi culdades em entender bem alguma coisa na primeira leitura, não desa-
nime, leia lentamente,um pouco de cada vez, meditando, tornando a ler, 
até perceber que o assunto está sendo compreendido. Afi nal: “Jamais 
diga que não pode, que não é capaz. Aquele que acredita em sua capa-
cidade e deseja ,de verdade, colocando em seu sonho, sua alma e o seu 
coração. Conseguirá”.
Reiteramos o que já foi falado anteriormente. Para que você obtenha 
sucesso na sua aprendizagem, faz-se necessário o domínio do que foi 
mostrado no capítulo anterior para, em seguida, dar início ao novo
conteúdo. 
A ÁLGEBRA LINEAR
O termo determinante foi 
introduzido pelo matemático 
alemão Carl Friedrich Gauss, 
em 1801, que o utilizou para 
encontrar as propriedades de 
certos tipos de funções.
Carl Friedrich Gauss
(1777-1855)
NOTA:
O termo matriz deriva da palavra, 
em latim, “ventre”, por serem 
as matrizes consideradas um 
recipiente de determinantes.
30
ANOTAÇÕES PESSOAIS 3. Introdução
A qualquer matriz quadrada, podemos associar um número real denomi-
nado determinante da matriz, que é um número único para cada matriz. 
Portanto, existe uma função que faz corresponder a cada matriz quadrada 
um único número real, a função determinante.
Defi nição: 
Dada a matriz quadrada [ ]ijaM = , com { } { }njeni ,...,3,2,1,...,3,2,1 ∈∈
a) Indicamos o produto dos n elementos da diagonal principal:
P = a11 · a22 · a33 · ... · ann 
Nesse produto:
b) Fixamos os primeiros índices e permutamos os segundos índices, 
obtendo n! permutações e, consequentemente, n! produtos;
c) Multiplicamos cada um dos n! por (-1)α ;
α → é o número de inversões da permutação formada pelos segun-
dos índices com relação à permutação 1, 2, 3, ..., n formada pelos 
primeiros índices e tomada como fundamental.
d) Adicionamos algebricamente os n! produtos obtidos em (b) cujos sinais 
foram a eles atribuídos em (c). A soma assim obtida é defi nida como o 
determinante associado à matriz M.
NOTAÇÃO:
Dada a matriz quadrada 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
nnnn
n
n
aAaa
MAMM
aAaa
aAaa
M
21
22221
11211
31
O determinante da matriz M é dado por:
nnnn
n
n
aAaa
MAMM
aAaa
aAaa
MDet
21
22221
11211
)( =
3.1 Determinante de uma matriz de 1ª ordem (n = 1)
Seja a matriz 11aM = . Por defi nição, 1111)( aaMDet ==
Exemplos:
 1) [ ]5=M
 2) [ ]7−=M
3.2 Determinante de uma matriz de 2ª ordem (n = 2)
Seja a matriz ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
2221
1211
aa
aa
M
Apliquemos os itens (a), (b), (c) e (d) da defi nição:
a) P = a11 · a22
b) a11 · a22 1 e 2 → primeiros índices fi xos
 a12 · a21 
⎭
⎬
⎫
12
21
e
e → segundos índices permutados
c) α = 0 → (-1)0 · a11 · a22,
 pois 1 2 têm zero inversões em relação a 1 2
 α = 1 → (-1)1 · a11 · a21,
 pois 2 1 têm uma inversão em relação a 1 2
d) 2112
1
2211
0 )1()1()det( aaaaM ⋅⋅−+⋅⋅−= → soma dos produtos
21122211)det( aaaaM ⋅−⋅=
ANOTAÇÕES PESSOAIS
32
Regra Prática
3.3 Propriedades dos determinantes
Em todas as situações abaixo, devemos considerar matrizes quadradas 
de ordem n>2.
2.4.1 Se In é a matriz identidade, então: det(In) = 1;
2.4.2 Se N é uma matriz nula, então: det(N) = 0;
2.4.3 Se uma linha (ou coluna) da matriz A for nula, então: det(A) = 0;
2.4.4 A matriz “A”, bem como a sua transposta At, possuem o mesmo 
determinante de “A”, isto é: det(At) = det(A);
2.4.5 Se B é a matriz obtida pela multiplicação de uma linha (ou coluna) 
da matriz A por um escalar k, então: det(B) = k det(A);
2.4.6 Se B=kA, onde k é um escalar, então: det(B) = kn det(A);
2.4.7 Se B é a matriz obtida pela troca de duas linhas (ou colunas) de A, 
então: det(B) = - det(A);
2.4.8 Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então: det(A) = 0;
2.4.9 Se a diferença entre os elementos de duas linhas (ou colunas) de 
uma matriz A é uma mesma constante, então: det(A) = 0;
2.4.10 Se uma linha (ou coluna) de A for múltipla de uma outra linha (ou 
coluna) de A, então: det(A) = 0;
2.4.11 Ao fi xar todas as linhas (ou colunas) de uma matriz exceto uma 
delas, o determinante de “A” será uma função linear da linha (ou coluna) 
não fi xada da matriz;
NOTA: 
SARRUS foi professor na 
universidade francesa de 
Strasbourg. A regra de SARRUS 
foi provavelmente escrita no ano 
de 1833.
Pierre Frederic Sarrus
(1798 – 1861)
33
2.4.12 Ao multiplicar (ou dividir) uma linha (ou coluna) de uma matriz por 
um número real k, o determinante da matriz será multiplicado (ou divi-
dido) por k.
3.4 Determinante de uma matriz de 3ª ordem (n = 3)
Seja a matriz 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Vamos aplicar a defi nição:
a) P = a11 · a22 · a33
b) a11 · a22 · a33 → primeiros índices fi xos
c) α = 0 → (-1)0 · a11 · a22 · a33,
 pois 1 2 3 têm zero inversões em relação a 1 2 3
 α = 1 → (-1)1 · a11 · a23 · a32,
 pois 1 3 2 têm uma inversão em relação a 1 2 3
 α = 1 → (-1)1 · a12 · a21 · a33,
 pois 2 1 3 têm uma inversão em relação a 1 2 3
 α = 2 → (-1)2 · a12 · a23 · a31,
 pois 2 3 1 têm duas inversões em relação a 1 2 3
 α = 2 → (-1)2 · a13 · a21 · a32,
 pois 3 1 2 têm duas inversões em relação a 1 2 3
 α = 3 → (-1)3 · a13 · a22 · a31,
 pois 3 2 1 têm três inversões em relação a 1 2 3
ANOTAÇÕES PESSOAIS
34
d) 
 
.
)1()1()1(
)1()1()1()det(
312213
3
322113
2
312312
2
332112
1
322311
1
332211
0
produtosdossoma
aaaaaaaaa
aaaaaaaaaM
→
⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅−
+⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅−=
312213322113
312312332112322311332211)det(
aaaaaa
aaaaaaaaaaaaM
⋅⋅−⋅⋅
+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅=
Note que, em cada um dos n! produtos, existe um único elemento de 
cada linha e de cada coluna.
Regra prática (regra de Sarrus)
1) Repetir as duas primeiras linhas abaixo da terceira.
2) Conservar o sinal do produto dos elementos da diagonal principal e 
dos produtos das duas “paralelas” a ela.
3) Trocar o sinal do produto dos elementos da diagonal secundária e 
dos produtos das duas “paralelas” a ela. 
Esquema:
3.5Expansão em Co-fatores; Regra de Cramer
Se A é uma matriz quadrada, então o determinante menor da entrada aij, 
ou simplesmente o menor aij, é denotado por Mij e defi nido como o deter-
minante da submatriz que sobra quando suprimimos a i-ésima linha e a 
j-ésima coluna de A. O número (-1)i+j Mij é denotado por Cij e é chamado 
o cofator de aij. 
A regra de Cramer é um 
teorema em álgebra linear, que 
dá a solução de um sistema de 
equações lineares em termos de 
determinantes. 
Gabriel Cramer
(1704 – 1752)
35
Exemplo:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
=
841
652
413
A
O menor de a11 é: 1684
65
841
652
413
11 =⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
=M
O cofator de a11 é 16)1( 1111
11
11 ==−=
+ MMC
De maneira semelhante, o menor de a32 é:2662
43
841
652
413
32 =⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
=M
O cofator de a32 é 26)1( 3232
23
32 −=−=⋅−=
+ MMC
2. Seja a matriz 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
987
654
321
A
12)7391(1
97
31
)1( 2222 −=⋅−⋅⋅=⋅−=
+A
No caso acima, o elemento escolhido foi o a22, ou seja, o número 5.
Referências
LANG, S. Álgebra Linear. Rio de Janeiro. Editora Ciência Moderna. 2003.
ANTON, H. Álgebra Linear com Aplicações. Bookman. 2005.
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra Linear Contemporânea. Bookman. 2006.
NOBLE, B.; DANIEL, J. W. Applied Linear Algebra. 2002.
ATENÇÃO:
Adjunta de uma matriz 3x3
Seja: 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
042
361
123
A
Os cofatores de A são:
161012
1624
16612
333231
232221
131211
=−==
===
−===
CCC
CCC
CCC
De modo que a matriz dos 
cofatores é:
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
161012
1624
16612
E a adjunta de A é:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
161616
1026
12412
)(Aadj
De tal forma que a inversa de 
uma matriz usando a adjunta é:
 
)(
)det(
11 Aadj
A
A =−
39
Aula 3 - Sistemas de equações lineares
1 Objetivo(s)
2.1 Introduzir os Sistemas de Equações Lineares; »
2.2 Resolver os Sistemas Lineares; »
2.3 Apresentar os Métodos de Eliminação. »
2. Introdução
O estudo de álgebra linear normalmente começa com a análise dos siste-
mas de equações lineares. Tais sistemas aparecem frequentemente em 
matemática aplicada, economia e engenharia ao modelarcertos fenôme-
nos. Por exemplo, em programação linear, geralmente é discutido como 
maximizar o lucro quando existem certas restrições relacionadas à difi -
culdade, disponibilidade de tempo, ou outras condições. Estas restrições 
podem ser colocadas na forma de um sistema de equações lineares.
3. Equação linear
Uma equação linear é uma equação composta exclusivamente de adi-
ções e subtrações de termos que são constantes ou o produto de uma 
constante pela primeira potência de uma variável.
a1 x1 + a2 x2 + ... +an xn = b
a » 1, a2, ..., an são números reais chamados coefi cientes
x » 1, x2, ..., x2 são as incógnitas
b é o termo independente »
3.1 Sistemas de equação linear
Um sistema de equações lineares (ou sistema linear) é uma coleção de 
equações lineares envolvendo o mesmo conjunto de variáveis.
Detalhe do atravessamento superior 
da treliça da ponte Hercílio Luz, 
Florianópolis, SC.
A treliça, um dos principais tipos 
de estrutura da Engenharia 
usada especialmente nos 
projetos de pontes e edifícios, 
consiste de barras retas, 
articuladas nas juntas e 
interligadas nas extremidades. 
Para saber que material será 
utilizado na fabricação de suas 
barras, é necessário calcular as 
forças às quais cada barra será 
submetida. O cálculo dessas 
forças é feito através de sistemas 
de equações lineares.
40
Exemplo: 
Numa lanchonete, os pastéis e refrigerantes têm o mesmo preço. Nesse 
lugar, paguei R$ 5,80 por 5 pastéis e 3 copos de refrigerante, e meu 
amigo pagou R$ 3,60 por 3 pastéis e 2 copos de refrigerante. Qual o 
preço do pastel e do refrigerante? 
Para equacionar essa situação, vamos chamar de:
X o preço de cada pastel.
Y o preço de cada refrigerante.
)(60,323
)(80,535
IIyx
Iyx
=+
=+
Então, 
Temos, assim, um sistema de duas equações lineares com duas incóg-
nitas. Para achar a solução desse sistema, utilizaremos o método da 
adição.
Multiplicando a equação (I) por 3 e a (II) por -5, temos:
60,0
00,181015
40,17915
=
−=−−
=+
y
yx
yx
Substituindo y por 0,60 na equação (I), temos: 
80,060,560,03580,535 =→=⋅+→=+ xxyx
Logo, o pastel custa R$ 0,80 e o refrigerante R$ 0,60
O par ordenado (0,80; 0,60) é solução do sistema. O conjunto de todas 
as soluções de um sistema é chamado de conjunto solução S ou con-
junto verdade V.
No exemplo, S = {(0,80; 0,60)}
Interseções de retas em R2 dão origem a sistemas lineares a duas incóg-
nitas. Por exemplo, considere o sistema linear
222
111
cybxa
cybxa
=+
=+
ANOTAÇÕES PESSOAIS
41
Os gráfi cos dessas equações são retas no plano xy, portanto cada solu-
ção (x , y) desse sistema corresponde a um ponto da interseção dessas 
retas. Assim:
1. As retas podem ser paralelas e distintas, caso em que não existe inter-
seção e, consequentemente, não existe solução.
2. As retas podem intersectar exatamente num ponto, caso em que o 
sistema tem exatamente uma solução.
3. As retas podem ser coincidentes, caso em que há uma infi nidade de 
pontos de interseção (todos os pontos da reta comum) e, consequente-
mente, existe uma infi nidade de soluções.
ANOTAÇÕES PESSOAIS
42
3.2 Resolução de sistemas de equações
Para um melhor entendimento das técnicas que podem ser utilizadas na 
resolução de sistemas lineares, serão sintetizadas, a seguir, as “opera-
ções” que podem ser feitas com as equações de um sistema, sem que 
seu conjunto solução seja alterado. Como será visto posteriormente, é 
possível determinar o conjunto solução de qualquer sistema linear (resol-
ver o sistema), usando apenas três “operações elementares”.
Se um sistema linear é obtido a partir de outro, através de uma dessas 
operações:
Trocar a posição de duas equações; 1. 
Trocar uma equação por um múltiplo (não nulo) de si mesma; 2. 
Trocar uma equação pela soma de si mesma com um múltiplo de 3. 
outra equação. 
Então ele possui as mesmas soluções que o sistema original.
3.2.1 Método da eliminação de variáveis
Um método bastante simples para a resolução de um sistema linear 
é eliminar as variáveis, uma após a outra. Este método consiste dos 
seguintes passos:
1. Na primeira equação, isole uma das variáveis em função das outras;
2. Substitua a expressão acima em cada uma das outras equações; 
Isso produz um outro sistema de equações, com uma equação a 
menos e uma variável a menos;
3. Repita o passo anterior até que reste apenas uma equação linear;
4. Resolva esta equação e use a resposta obtida para determinar as 
demais variáveis nas outras equações.
Exemplo: 
Se o sistema linear for:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=++
=−+
8342
7653
523
zyx
zyx
zyx
Pode-se resolver a primeira equação em x, obtendo x = 5 + 2z − 3y e 
usando essa expressão na segunda e terceira equações, segue:
ANOTAÇÕES PESSOAIS
43
⎩
⎨
⎧
−=+−
=+−
272
8124
zy
zy
Agora, se a primeira das duas equações for resolvida em y, obtém-se y = 
2 + 3z, que substituindo na última equação fornece:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+=
−+=
2
32
325
z
zy
yzx
Colocando z = 2 na segunda equação, tem-se y = 8 e usando esses 
valores na primeira equação segue que x = − 15.
Portanto, o conjunto solução deste sistema consiste de um único ponto 
{( − 15, 8, 2)}.
3.2.2 Método de eliminação de Gauss
O método precedente (eliminação simples ou redução de Gauss) é satis-
fatório para cálculos manuais em sistemas pequenos. Entretanto, vários 
obstáculos devem ser eliminados para empregar esse método em progra-
mas computacionais. Em grandes sistemas de equações, situações para 
as quais devemos estar preparados, as multiplicações podem resultar em 
números de grandes magnitudes que podem acarretar erros.
Exemplo: 
Uma lanchonete tem duas promoções em seu cardápio. A primeira 
oferece um sanduíche e três copos de sucos por R$ 10,00, e a segunda 
promoção oferece três sanduíches e um copo de suco por R$ 14,00. 
Determine o preço individual do sanduíche e do copo de suco.
3 sucos + 1 sanduíche = 10
1 suco + 3 sanduíches = 14
Logo: x = suco e y = sanduíche
2ªasomamose
3
1porequação1ªamosMultiplica
1431
1013
1431
1013
143yx
10y3x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⇒
⎩
⎨
⎧
=+
=+
−
ANOTAÇÕES PESSOAIS
44 ⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 1ªasomamose
3
1porequação2ªamosMultiplica410
10/31/31
3)(porequação1ªaDividimos
410
1013
3
8porequação2ªaDividimos32/38/30
1013
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
410
201
Respostas:
X = 2 e y = 4 
Portanto o suco custa R$ 2,00; e o sanduíche, R$ 4,00.
Referências
LANG, S. Álgebra Linear. Rio de Janeiro. Editora Ciência Moderna. 2003.
ANTON, H. Álgebra Linear com Aplicações. Bookman. 2005.
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra Linear Contemporânea. Bookman. 2006.
NOBLE, B.; DANIEL, J. W. Applied Linear Algebra. 2002.
47
Aula 4 - Espaços Vetoriais
1 Objetivo(s)
Introduzir Espaço Vetorial e Subespaço Vetorial; »
Apresentar Combinação Linear; »
Distinguir Vetores Linearmente Independentes e Linearmente »
Dependentes;
Introduzir Base e Dimensão de um Espaço Vetorial; »
Introduzir Espaço de Produto Interno e Espaço Nomado. »
2 Apresentação
Relembramos o que já foi falado anteriormente. Para que você obtenha 
sucesso na sua aprendizagem, faz-se necessário o domínio do que foi 
mostrado no capítulo anterior para, em seguida, dar início ao novo conte-
údo. 
 Agora, faremos um comentário sobre o que veremos nesta unidade para 
que você possa se familiarizar com a leitura que irá fazer. Iniciamos o 
capítulo no item introdução no qual mostramos a importância do estudo 
nas aplicações dos espaços vetoriais. Afi nal: “Embora uma nova lin-
guagem pareça um enigma antes de ser conquistada, é um poder, em 
seguida.”
 »
3. Espaço vetorial ou linear
Seja V um conjunto não vazio de objetos sobre os quais estão defi nidas 
operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Por adição 
vetorial queremos dizer uma regra que associa a cada par de objetos x 
e y de V um único objeto x + y que consideramos como uma soma de 
x com y, e, por multiplicação por escalar, queremos dizer uma regra 
que associa a cada escalar α e a cada objeto xde V um único objeto αx 
que consideramos como a multiplicação de x pelo escalar α. O conjunto 
V munido dessas operações será denominado um espaço vetorial e os 
objetos de V serão denominados vetores se valerem as seguintes pro-
priedades para quaisquer x, y e z de V e quaisquer escalares α e β.
ATENÇÃO: Os elementos de um 
espaço vetorial são denominados 
vetores; e os números reais, de 
escalares.
Vetor Nulo. Chamamos vetor 
nulo o elemento neutro de um 
espaço vetorial. Em R2,o vetor 
nulo é (0, 0); em R3,o vetor nulo é 
(0, 0, 0), etc.
48
V é 1) fechado na adição, ou seja, se x e y estão em V ,então x + y 
está em V.
 2) x + y = y + x
 3) (x + y) + z = x + (y + z)
V contém um objeto 4) 0 (que denominamos vetor nulo ou vetor zero) 
que se comporta como um zero aditivo no seguinte sentido: x + 0 = 
x para cada x em V
Para cada objeto5) x em V, existe um objeto –x em V (que denomina-
mos de negativo de x) tal que x + (-x) = 0 
V é 6) fechado na multiplicação por escalar, ou seja, se x está em V 
e α é um escalar, então αx está em V
α7) (x + y) = αx + αy
(8) α + β)x = αx + βx
α9) (βx) = (αβ)x
110) x = x
As 10 propriedades nessa defi nição são denominadas os axiomas de 
espaço vetorial, e um conjunto V com duas operações que satisfazem 
estes 10 axiomas são denominados espaço vetorial.
α, β ∈ K. K é chamado campo escalar associado ao espaço vetorial V. 
Dependendo da aplicação, os escalares podem ser números reais ou 
complexos. Os espaços vetoriais nos quais os escalares são números 
complexos, K = C (conjunto dos números complexos), são chamados 
de espaços vetoriais complexos; aqueles nos quais os escalares são 
números reais, K = R (conjunto dos números reais), são chamados espa-
ços vetoriais reais.
Obs.:
1) Todo elemento de V será chamado vetor;
2) Quando os escalares forem números complexos, V será um espaço 
vetorial complexo;
3) V poderá ser constituído de polinômios matrizes, etc.; mesmo assim, 
seus elementos serão chamados de vetores, pois eles satisfazem os 
axiomas de defi nições de espaço vetorial;
4) Todo vetor poderá ser representado por uma matriz linha ou matriz 
coluna.
ANOTAÇÕES PESSOAIS
49
Exemplos:
1) R2 com as operações:
(x, y) + (z, t) = (x + z, y + t)
k ∙ (x, y) = (kx, ky)
É um espaço vetorial, pois os axiomas acima são verifi cados. Cabe 
lembrar que o elemento neutro da adição 0V é o par ordenado (0, 0).
2) R2 com as operações abaixo não é um espaço vetorial.
(x, y) + (z, t) = (x + z, 0)
k ∙ (x, y) = (kx, ky)
Não possui elemento neutro, pois:
Seja 0V (e1, e2) tal que (x, y) + (e1, e2) = (x, y).
Mas, (x, y) + (e1, e2) = (x + e1, 0).
Assim, (x, y) = (x + e1, 0).
Portanto, para todo y ∈R, y = 0.
Logo, não existe elemento neutro.
3.1 Subespaços vetoriais
Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não vazio de V. O sub-
conjunto S é um subespaço vetorial de V se S é um espaço vetorial em 
relação à adição e à multiplicação por escalar defi nidas em V.
Teorema: Um subconjunto S, não vazio, de um espaço vetorial V é um 
subespaço vetorial de V se estiverem satisfeitas as condições:
I) Para quaisquer u, v ∈ S, tem-se: u + v ∈ S.
II) Para quaisquer α ∈ R, u ∈ S, tem-se: αu ∈ S.
Obs.: Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços: o 
conjunto {0}, chamado subespaço zero ou subespaço nulo, e o próprio 
espaço vetorial. Esses dois são os subespaços triviais de V. Os demais 
subespaços são denominados subespaços próprios de V. 
ATENÇÃO: Se V é um espaço 
vetorial arbitrário, então V é 
subespaço de V, ou seja, todo 
espaço vetorial é subespaço dele 
mesmo. 
ATENÇÃO: O conjunto unitário 
constituído pelo vetor nulo é um 
subespaço vetorial, denominado 
espaço nulo de V.
50
Por exemplo, os subespaços triviais de V = R3 são {(0, 0, 0)} e o próprio 
R3. Os subespaços próprios do R3 são as retas e os planos que passam 
pela origem.
Para V = R2, os subespaços triviais são: {(0, 0)} e R2, enquanto os subes-
paços próprios são as retas que passam pela origem.
Exemplo: 
V = R5 e H = {(0, x2, x3, x4, x5); xi∈R}. Isto é, H é o conjunto dos vetores de R5, 
cuja primeira coordenada é nula. Verifi car se H é subespaço de R5.
1ª condição:
u = ( 0, x2, x3, x4, x5), v = ( 0, y2, y3, y4, y5)∈H.
Então u + v = (0, x2 + y2, x3 + y3, x4 + y4, x5 + y5) que ainda pertence a H, pois tem 
a primeira coordenada nula.
2ª condição:
ku = (0, kx2, kx3, kx4, kx5)∈H, pois a primeira coordenada é nula para todo k∈R.
Assim, H é um subespaço de R5.
3.2 Combinação linear
O objetivo principal do uso de combinação linear é a obtenção de novos 
vetores a partir da combinação das duas operações anteriores com 
vetores dados.
A combinação linear de vetores x1, x2, x3, ..., xn pertencentes a um 
espaço vetorial X é uma soma da forma: 
α1x1 + α2x2 + α3x3 + ...+ αrxr (1)
A dependência ou independência linear de um conjunto de vetores V = 
{x1 x2 ... xr} (r > 1) pertencentes a V é estabelecida a partir da equa-
ção:
α1x1 + α2x2 + α3x3 + ... + αrxr = 0 (2)
onde α1, α2, ..., αr são escalares. 
Evidentemente a equação é satisfeita para α1 = α2 ... αr = 0. Se este for 
o único conjunto de r escalares que satisfi zer a equação, o conjunto V 
ANOTAÇÕES PESSOAIS
51
diz-se linearmente independente. Se a equação (2) for satisfeita para um 
conjunto qualquer de r escalares, não todos nulos, o conjunto V é linear-
mente dependente.
3.3 Vetores Linearmente Independentes e Linearmente Dependen-
tes
Um conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn} ⊆ V é linearmente independente 
(LI) quando k1 v1 + k2 v2 + ... + kn vn = 0V se ,e somente se, k1= k2 = ... 
= kn = 0.
Se existir pelo menos um ki ≠ 0, com i = 1,... , n, então o conjunto é line-
armente dependente (LD).
Exemplos:
1) {(1,3), (4,2)} é LI, pois:
k1∙(1,3) + k2∙(4,2) = (0,0) 
(k1 + 4k2, 3k1 + 2k2) = (0,0)
⎩
⎨
⎧
=+
=+
02k3k
04kk
Assim,
21
21
Matriz ampliada ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
041
023
e matriz escalonada ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
010
041
.
O sistema é possível e determinado com k1= k2 = 0.
Assim, o conjunto é LI. Um dos vetores não é múltiplo escalar do outro.
Foi visto que o espaço gerado por {(1, 3), (4, 2)} é R2, ou seja, 
[(1, 3), (4, 2)] = R2.
2) {(1, 3), (2, 6)} é LD, pois:
k1∙(1, 3) + k2∙(2, 6) = (0, 0)
(k1 + 2k2, 3k1 + 6k2) = (0, 0)
⎩
⎨
⎧
=+
=+
06k3k
02kk
Assim,
21
21
ANOTAÇÕES PESSOAIS
52
Matriz ampliada ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
063
021
e matriz escalonada ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
000
021
O sistema é possível e indeterminado, com k1= -2k2. Então, o conjunto é 
LD, pois (2, 6) = 2 ∙ (1, 3).
Os vetores (1,3) e (2,6) pertencem a uma mesma reta. O espaço gerado 
pelo conjunto {(1, 3), (2, 6)} é {(x, y) ∈R2 | y = 3x}, isto é, [(1, 3), (2, 6)] = 
{(x, y) ∈R2 | y = 3x}.
3.4 Base e Dimensão de um Espaço Vetorial
Seja um conjunto fi nito B⊆V. Diz-se que B é uma base do espaço veto-
rial V quando B é um conjunto linearmente independente e gera V, isto é, 
[B] =V.
O número de elementos (cardinalidade) de uma base B do espaço veto-
rial V é denominado dimensão do espaço vetorial V.
Se a dimensão de V é igual a n, diz-se que V é um espaço vetorial fi nito 
n-dimensional. Em particular, a dimensão do espaço nulo {0V} é zero. 
Não há base para o espaço nulo.
Notação: dimV
Exemplos:
1) Os conjuntos {(1,0), (0,1)} e {(1,3), (4,2)} são bases do R2.
O conjunto {(1,2), (3,5), (2,1)} não é base do R2, pois apesar de 
gerar R2, não é LI.
O conjunto {(1,2)} é LI, mas não gera o R2 , portanto também não é 
uma base do R2.
Toda base de R2 tem dois vetores de R2 que geram R2 e que são LI.
Logo, dimR2 = 2 .
2) {(-1, 0, 1),(2, 3, 0),(1, 2, 3)} é uma base do R3.
O conjunto {(-1, 0, 1), (2, 3, 0)} é LI, mas não gera o R3. Logo, não é 
base do R3.
ANOTAÇÕES PESSOAIS
53
O conjunto {(-1, 0, 1), (2, 3, 0), (1, 2, 3), (0, 2, 4)} gera o R3, mas não 
é LI. Também não é uma base do R3.
Toda base de R3 é formada por três vetores LI de R3.
Logo, dimR3 = 3 .
3.5 Espaço Normado
Um espaço vetorial normado é um espaço vetorial V no qual sedefi ne 
uma função de valor real que associa a cada elemento x ∈ V um número 
real indicado por ||x|| chamado norma de x satisfazendo as seguintes 
propriedades:
a) || x || ≥ 0 (positividade)
b) ||αx || = |α| || x || (homogeneidade)
c) || x + y || ≤ || x || + || y || (desigualdade triangular)
d) || x || = 0 se e somente se x = 0
Uma norma em V sempre defi ne uma métrica em V dada por:
d (x, y) = || x - y ||
chamada métrica induzida pela norma.
Um espaço vetorial normado completo (na métrica induzida pela norma) 
é chamado espaço de Banach.
3.6 Espaço de Produto Interno
Um espaço vetorial V no qual seja defi nido um produto interno (ou pro-
duto escalar) de vetores é chamado espaço de produto interno. Alguns 
autores o denominam pré-espaço de Hilbert. O produto interno, represen-
tado por ‹x, y›, é uma relação que a cada par ordenado (x, y) de vetores 
associa um escalar; é, portanto, uma relação V x V sobre K.
O produto interno satisfaz as seguintes condições: 
a) ‹x + y, z› = ‹x, z› + ‹y, z› (distributividade)
b) ‹αx, y› = α ‹x, y› (homogeneidade)
c) ‹x, y› = ‹y, x› (simetria)
d) ‹x, x› = 0 se e somente se x = 0 (positividade)
ANOTAÇÕES PESSOAIS
54
Um espaço vetorial com um produto interno é denominado um espaço 
com produto interno real, e as quatro propriedades nessa defi nição são 
os axiomas de produto interno.
Como consequência destas propriedades, torna-se válida a desigualdade 
de Schwarz:
| ‹x, y› | ≤ ‹x , x› ‹y , y›
ou 
| ‹x, y› | = || x || || y ||
Uma particularidade importante é a continuidade do produto interno, 
expressa por:
Se: xn → x, ym → y então <xn , ym> → <x, y> 
Um espaço de produto interno completo é chamado espaço de Hilbert. 
Conclui-se que um espaço de produto interno é um espaço normado. 
Pode-se afi rmar, por extensão, que um espaço de Hilbert é um espaço de 
Banach.
Referências
LANG, S. Álgebra Linear. Rio de Janeiro. Editora Ciência Moderna. 2003.
ANTON, H. Álgebra Linear com Aplicações. Bookman. 2005.
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra Linear Contemporânea. Bookman. 2006.
NOBLE, B.; DANIEL, J. W. Applied Linear Algebra. 2002.
1. Objetivos
1. Conhecer transformações lineares;
2. Trabalhar com isomorfi smo;
3. Fazer operações com transformações lineares;
4. Identifi car dilatação ou contração na direção do vetor.
2. Introdução
Nesta aula, estudaremos um tipo especial de função (ou aplicação), cujo 
domínio e contradomínio são espaços vetoriais reais. Assim, tanto a variável 
independente como a variável dependente são vetores, razão pela qual essas 
funções são chamadas vetoriais. Estamos particularmente interessados nas 
funções vetoriais lineares, que serão denominadas transformações lineares. 
Para dizer que T é uma transformação do espaço vetorial V no espaço veto-
rial W, escreve-se Sendo T uma função, cada vetor v V tem um só 
vetor w W, que será indicado por w = T(v).
Vamos exemplifi car, considerando V = e w = .
Uma transformação associa vetores v = (x,y) R2 com vetores w = 
(x,y,z) . Se a lei que defi ne a transformação T ,for:
T (x,y) = (3x, -2y, x - y)
O Diagrama apresenta três vetores particulares v e suas correspondentes 
imagens w.
UABÁlgebra Linear II 11
Aula 5 - Transformações Lineares
Deve fi car bem claro que, para calcular, por exemplo, T(2,1), tem-se: x = 2 e 
y = 1, e daí:
T(2,1) = (3 x 2, -2 x 1, 2 - 1) = (6, -2, 1).
3. Defi nição
Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T:V W é chamada trans-
formação linear de V em W se:
I) T(u+v) = T(u) + T(v)
II) T( u) = T(u)
Para todo u, v V e V R.
Observação
Uma transformação linear de V em V (é o caso de V = W) é chamada opera-
dor linear sobre V.
Exemplo:
1) , T(x,y) = (3x, -2y, x - y) é linear.
De fato:
I) Sejam u = (x1,y1) e v = (x2,y2) vetores genéricos de .
Então:
T(u+v) = T(x1 + x2, y1 + y2)
T(u+v) = (3(x1 + x2), -2(y1 + y2), (x1 + x2) - (y1 + y2))
T(u+v) = (3x1 + 3x2, -2y1 -2y2, x1 + x2 - y1 - y2)
T(u+v) = (3x1, -2y1, x1 - y1) + (3x2, -2y2, x2 - y2)
Licenciatura em MatemáticaUAB 12
T(u+v) = T(u) + T(v)
II) Para todo R e Para qualquer u = (x1, y1) , tem-se:
T( u) = T( x1, y1)
T( u) = (3 x1, -2 y1, x1 – y1)
T( u) = (3x1, -2y1, x1 - y1)
T( u) = T(u)
4. Propriedade
Se T: V W for uma transformação linear, então:
T(a1v1 = a2v2) = a1 T(v1) + a2 T(v2)
Para todo v1, V2 V e para todo a1, a2 R.
De forma análoga, tem-se:
T(a1v1 = a2v2 + ... + anvn) = a1 T(v1) + a2 T(v2) + ... + an T(vn)
Para todo vi, V e para todo ai, R, i = 1, 2, ..., n, isto é, a imagem de uma 
combinação linear de vetores é uma combinação linear das imagens desses 
vetores, com os mesmos coefi cientes.
Suponhamos agora que {v1, v2, ..., vn} seja uma base do domínio V e que se 
saiba quais são as imagens T(v1), T(v2), ..., T(vn) dos vetores desta base:
Sempre é possível obter a imagem T(v) de qualquer v V, pois sendo v uma 
combinação linear dos vetores da base, isto é:
V = a1v1 + a2v2 + ... + anvn
E, pela relação acima vem:
T(v) = a1T(v1) + a2T(v2) + ... + anT(vn)
UABÁlgebra Linear II 13
Assim, uma transformação linear T:V W fi ca completamente defi nida 
quando se conhecem as imagens dos vetores de uma base de V.
5. Núcleo de uma Transformação Linear
Defi nição
Chama-se núcleo de uma transformação linear T:V W o conjunto de 
todos os vetores v V que são transformados em 0 W. Indica-se esse con-
junto por N(T) ou ker (T):
N(T) = {v V/T(v) = 0}
 (Figura extraída do livro Álgebra Linear ,de Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle).
Observamos que N(T) C V e N(T) ≠ Ø, pois 0 N(T), tendo em vista que 
T(0) = 0.
Exemplos
1) O núcleo da transformação linear
T: R2, T(x,y) = (x + y, 2x - y)
É o conjunto:
N(T) = {(x,y) R2/T(x,y) = (0,0)}
Licenciatura em MatemáticaUAB 14
O que implica:
(x + y, 2x - y) = (0,0)
ou:
x + y = 0
2x – y = 0
Sistema cuja solução é:
x = 0 e y = 0
logo:
N(T) = {(0,0)}
2) Seja T: R3 R2 a transformação linear dada por:
T(x, y, z) = (x – y + 4z, 3x + y + 8z)
Nesse caso, temos:
N(T) = {(x,y,z) R3/T (x,y, z) = (0,0)}
Isto é um vetor (x, y, z) N(T) se, e somente se,
(x – y + 4, 3x + y + 8z) = (0,0)
ou:
 x – y + az = 0
3x + y + 8z = 0
Sistema homogêneo de solução x = -3z e y = z.
Logo:
N(T) = {(-3z, z, z)/z R}
UABÁlgebra Linear II 15
ou:
N(T) = {z (-3, 1, 1)/z R}
Ou, ainda: 
N(T) = [(-3,1,1)]
6. Imagem
Defi nição
Chama-se imagem de uma transformação linear T:V W o conjunto dos 
vetores w € W que são imagens de pelo menos um vetor v € V. Indica-se 
esse conjunto por Im(T) ou T(V):
Im(T) = {w W/T(v) = w para algum v V}
A fi gura esclarece a defi nição.
Observemos que Im(T) C W e Im(T) ≠ Ø, pois 0 = T(0) Im(T). Se Im(T) = W, 
T diz-se sobrejetora, isto é, para todo w W existe pelo menos um v V tal 
que T(v) = w. 
(Figura extraída do livro Álgebra Linear ,de Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle)
T
Licenciatura em MatemáticaUAB 16
7. Isomorfi smo
Chama-se isomorfi smo do espaço vetorial V no espaço vetorial W uma 
transformação linear T:V W, que é bijetora. Nesse caso, os espaços veto-
riais V e W são ditos isomorfos. Ressaltamos que todo espaço vetorial V de 
dimensão n é isomorfo a Rn. Assim, dois espaços vetoriais de dimensão fi nita 
são isomorfos de tiverem a mesma dimensão. 
Veremos ,mais adiante, que a todo isomorfi smo T:V W corresponde um 
isomorfi smo inverso T-1:W V, que também é linear.
Exemplos:
1) O operador linear
T:R2 R2, T(x,y) = (2x + y, 3x + 2y)
É um isomorfi smo no R2. Como dim V = dim W = 2, basta mostrar que T é 
injetor. De fato, N(T) = {(0,0)}, o que implica T ser injetora.
2) A transformação linear
T:P2 R
3, T(at2 + bt +c) = (a,a + b,b - c)
É também um isomorfi smo (verifi car!).
3) O espaço vetorial R2 é isomorfo ao subespaço W = {(x, y, z) � R3 /z = 0} do
R3 (W representa o plano xy de R3).
De fato, a aplicação linear T:R2 W, tal que T(x,y) = (x, y, 0) é bijetora: a 
cada vetor (x, y) de R2correspondente um só vetor (x, y, 0) de W e, recipro-
camente. Logo, R2 e W são isomorfos.
8. Operações com Transformações Lineares
8.1. Adição
Sejam T1:V W e T2:V W transformações lineares. Chama-se soma das 
transformações lineares T1 e T2 a transformação linear.
T1 + T2:V W
UABÁlgebra Linear II 17
v I (T1 + T2) (v) = T1 (v) + T2 (v), para todo v V
Se A e B são bases de V e W, respectivamente, demonstra-se que:
[T1 + T2] = [T1] + [T2] 
8.2 Multiplicação por Escalar
Sejam T:V W uma transformação linear e R. Chama-se produto de T
pelo escalar a transformação linear.
T:V W
v I ( T) (v) = T(v), para todo v V
Se A e B são bases de V e W, respectivamente, demonstra-se que:
[ T] = [T]
8.3 Composição
Sejam T1:V W e T2:W U Transformações lineares. Chama-se aplicação 
composta de T1 com T2, e se representa por T2 o T1, a transformação linear:
T2 o T1: V U
 V I (T2 o T1) (v) = T2(T1(v)), para todo v V
(Figura extraída do livro Álgebra Linear ,de Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle)
Licenciatura em MatemáticaUAB 18
Se A, B e C são bases de V, W e U, respectivamente, demonstra-se que:
[T2 o T1] = [T2] x [T1]
9. Exercício:
Sejam T1 : R
2 R3 e T2 : R
2 R3 transformações lineares defi nidas por:
T1(x,y) = (x + 2y, 2x – y, x) e T2 (x,y) = (-x, y, x + y). Determinar:
a) T1 + T2
b) 3T1 – 2T2
c) a matriz canônica de 3T1 – 2T2 e mostrar que:
[3T1 – 2T2] = 3 [T1] – 2[T2]
Solução:
a) (T1 + T2) (x, y) = T1 (x, y) + T2 (x, y)
(T1 + T2) (x, y) = (x + 2y, 2x – y, x) + (-x, y, x + y)
(T1 + T2) (x, y) = (2y, 2x, 2x+2y)
b) (3T1 – 2T2) (x, y) =(3T1)(x, y) – (2T2) (x, y)
(3T1 – 2T2) (x, y) = 3T1 (x, y) – (2T2 (x, y)
(3T1 – 2T2) (x, y) = 3(x + 2y, 2x-y,x) – 2(-x, y, x + y)
(3T1 – 2T2) (x, y) = (5x + 6y, 6x - 5y, x - 2y)
c) [3T1 – 2T2]= = 3[T1] – 2 [T2] 
9.1 Exercício:
Sejam S e T operadores lineares no R2 defi nidos por 
S (x,y) = (2x, y) e T(x,y) = (x,x - y).
Determinar:
a) S o T
b) T o S
c) S o S
d) T o T
UABÁlgebra Linear II 19
10. Dilatações e Contrações
a) Dilatação ou contração na direção do vetor
T:R2 R2
(x, y) I (x, y), R
ou:
(Figura extraída do livro Álgebra Linear ,de Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle)
Observamos que:
se | | > 1, T dilata o vetor;
se | | < 1, T contrai o vetor
se = 1, T é a identidade I;
se < 0, T troca o sentido do vetor.
A transformação T:R2 R2, T(x, y) = (x, y) é um exemplo de contração.
b) Dilatação ou contração na direção do eixo dos x
T:R2 R2
(x,y) I ( x,y), > 0
ou:
(Figura extraída do livro Álgebra Linear de Alfredo Steinbruch e Paulo 
Winterle)
Licenciatura em MatemáticaUAB 20
Observemos que: 
se > 1, T ,dilata o vetor;
se 0 < < 1, T contrai o vetor.
11. Exercícios:
1) Suponhamos que A ≠ 1 seja uma matriz quadrada, para a qual A3 = I. De-
termine se A é semelhante a uma matriz diagonal, quando A é uma matriz
sobre (i) o corpo real R, (ii) o corpo complexo C.
Como A3 = I, A é um zero do polinômio f(t) = t3 – 1 = (t - 1) (t2 + t + 1). O 
polinômio mínimo m(t) de A não pode ser t – 1, pois A ≠ 1. Portanto,
M(t) = t2 + t + 1 ou m(t) = t3 – 1
Como nenhum desses polinômios é um produto de polinômio lineares sobre 
R, A não é diagonalizável sobre R. Por outro lado, cada um dos polinômios 
é um produto de polinômios lineares distintos sobre C. Portanto, A é diago-
nalizável sobre C.
2) Determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan, para uma ma-
triz de ordem 5, cujo polinômio mínimo é m(t) = (t - 2)2.
J deve ter um bloco de Jordan de ordem 2 e os outros devem ser de ordem 
2 ou 1. Então, só existem duas possibilidades:
Note que todos os elementos diagonais devem ser 2, pois o único autovalor 
é 2.
3) Suponhamos que W seja um subespaço de um espaço vetorial V.Mostre
que ,se
u + W = u’ + W e v + W = v’ + W, então,
UABÁlgebra Linear II 21
(I) (u + v) + W = (u’ + v’) + W e
(II) ku + W = ku’ + W, para qualquer k K.
4) Seja V um espaço vetorial e W um subespaço de V. Mostre que a transfor-
mação natural n: V V/W, defi nida por
n(v) = v + W, é linear.
12. Resumo
Nessa aula, nós estudamos um tipo especial de função (ou aplicação), em 
que o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais reais. Logo, tanto a 
variável independente como a dependente são vetores, por isso essas fun-
ções são chamadas vetoriais.
Constatamos que, se uma transformação representar uma reta que não pas-
sa pela origem, então ela não é linear.
Vimos que, chama-se imagem de uma transformação linear T: V W ao 
conjunto dos vetores w e W que são imagens de pelo menos um vetor v V.
Uma transformação linear T: V W é injetora se, e somente se, N (T) = {0}.
Chamamos de isomorfi smo do espaço vetorial V, no espaço vetorial W, a 
uma transformação linear T: V W, que é bijetora.
13. Referências
ANTON, H.; Álgebra Linear com Aplicações. Bookman. 2005
LANG, S.; Álgebra Linear. Rio de Janeiro. Editora Ciência Moderna. 2003.
LIPSCHUTZ, S.; Álgebra Linear. Editora McGRAW Hill do Brail. LTDA. 1976
NOBRE, B.; DANIEL, J.W. Applied Linear Álgebra. 2002
STEINBRUCH, A.; WINTERLE P. Álgebra Linear. Makron do Brasil. Editora LTDA.1987
Licenciatura em MatemáticaUAB 22
57
Aula 6 - Autovalores e Autovetores
1 Objetivo(s)
2.1 Introduzir o conceito de Autovalores e Autovetores;»
2.2 Apresentar as propriedades dos Autovalores e Autovetores;»
2.3 Introduzir Autoespaço associado ao Autovalor;»
2.4 Defi nir Polinômio Característico»
2. Introdução
Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre um corpo K, A uma
matriz quadrada de ordem n e T:V→V uma transformação linear, defi -
nida para cada v∈V por:
T(v) = A∙v
Será que existe algum vetor v∈V, cuja imagem T(v) pela transformação 
T tenha a mesma direção que o vetor v? Ou seja, será que existe um 
escalar µ∈K tal que:
T(v) = µ·v
O vetor nulo tem essa propriedade para qualquer escalar, mas obser-
vamos que o vetor nulo não pode ser utilizado em uma base do espaço 
vetorial V, objetivo fundamental no contexto do estudo de autovalores e 
autovetores.
Estamos procurando vetores v∈V e escalares µ∈K para os quais 
T(v) = A∙v = µ·v
Subjacente ao processo de descoberta desses escalares e vetores 
está a solução de muitos problemas aplicados da Matemática, Física, 
Engenharias Civil e Elétrica, etc.
3. Autovalores e Autovetores
Seja A uma matriz quadrada de ordem n sobre um corpo K. Se existe um
escalar µ∈K e um vetor v≠ 0 tal que:
ATENÇÃO: Sinônimos para 
autovalor: valor próprio e valor 
característico.
58
A∙v = µ·v
Este escalar µ é denominado um autovalor de A e v é um autovetor 
associado a este escalar µ.
Exemplo 1: Seja uma matriz A e um vetor v∈R3 tal que:
A = 
300
020
001
e v =
z
y
x
Observamos que:
A∙v = 
3z
2y
1x
z
y
x
300
020
001
=⋅
Procuramos escalares µ tal que A∙v = µ·v, isto é:
z
y
x
3z
2y
1x
ì=
Devemos resolver o sistema com as três equações: 
(1–µ) x = 0, (2–µ) y = 0, (3–µ) z = 0
com a condição que vt = (x, y, z)≠ (0, 0, 0).
Usamos a notação vt = (x, y, z) para indicar a transposta do vetor coluna 
com os elementos x, y e z.
Temos três possibilidades para os autovalores.
Se x1. ≠ 0, então µ = 1. Com tais valores nas outras equações ,segue
que y = 0 e z = 0. Um vetor com estas propriedades é u = (1, 0, 0)t.
Se y2. ≠ 0 obtemos µ = 2, o que implica que x = 0 e z = 0. Um vetor
com estas propriedades é v = (0, 1, 0)t.
Se z3. ≠ 0, então µ = 3, garantindo que x = 0 e y = 0. Um vetor com
estas propriedades é w = (0, 0, 1)t.
Neste caso específi co, concluímos que, para cada autovalor, existe um 
único autovetor associado.
Exemplo 2: Seja uma matriz A e um vetor v∈R3 tal que:
ANOTAÇÕES PESSOAIS
59
A =
200
020
001
e v = 
z
y
x
Como:
A∙v =
2z
2y
1x
z
y
x
200
020
001
=⋅
Devemos obter escalares μ tal que A∙v = μ·v, isto é:
2z
2y
1x
 = μ·
z
y
x
Basta resolver o sistema de equações
(1–μ)∙x = 0, (2–μ)∙y = 0, (2–μ)∙z = 0
exigindo que vt = (x, y, z)≠ (0, 0, 0).
Existem duas possibilidades para os autovalores.
1. Se x≠ 0, então μ = 1, y = 0 e z = 0. Um vetor com estas proprieda-
des éu = (1, 0, 0)t.
2. Se y≠ 0, então μ = 2 e x = 0, mas existem infi nitos valores para z, 
inclusive z = 0. Um vetor com estas propriedades é v = (0, 1, 0)t.
3. Se z≠ 0, então μ = 2 e x = 0, mas existem infi nitos valores para y, 
inclusive y = 0. Um vetor com estas propriedades é w = (0, 0, 1)t.
Neste caso, observamos que, para o autovalor μ = 1, existe apenas um 
autovetor, mas, para o autovalor μ = 2, existem dois autovetores.
3.1 Propriedades dos autovalores e autovetores
A soma dos autovalores de uma matriz é igual ao seu traço, que é a »
soma dos elementos de sua diagonal principal;
Autovetores correspondentes a diferentes autovalores são linear- »
mente independentes;
Uma matriz é singular se e somente se tiver um autovalor nulo; »
Se » X for um autovetor de A, correspondente ao autovalor λ, e se 
A for inversível, então X é um autovetor de A-1, correspondente ao 
autovalor 1/ λ;
ANOTAÇÕES PESSOAIS
60
Se » X for um autovetor de A, então kX também o será, para qualquer 
k≠ 0, e ambos X e kX correspondem ao mesmo autovalor λ;
Uma matriz e sua transposta possuem os mesmos autovalores; »
Os autovalores de uma matriz triangular superior ou inferior são os »
valores de sua diagonal principal;
O produto de todos os autovalores de uma matriz, considerando sua »
multiplicidade, é igual ao determinante dessa matriz;
Se » X for um autovetor de A correspondente ao autovalor λ, então 
X é um autovetor de (A-cI), correspondente ao autovalor λ-c, para 
qualquer escalar c.
4. Autoespaço associado ao autovalor
Se μ é um autovalor de uma matriz A, defi nimos o autoespaço associado 
a μ como o conjunto de todos os vetores obtidos pela combinação linear 
dos autovetores associados a μ. Denotamos este conjunto por:
S(μ) = {v∈V: A∙v = μ·v}
Proposição: O conjunto S(μ) é um subespaço vetorial de V gerado pelos 
autovetores associados a μ.
Demonstração: O vetor nulo não é um autovetor, mas 0∈S(μ) pois A∙0 = 
μ0.
Se v∈S(μ) e w∈S(μ), então A∙v = μ·v e A∙w = μ·w, logo
A(v+w) = A∙v+A∙w = μ·v + μ·w = μ(v+w)
concluímos que v+w∈S∙(μ).
Analogamente, se k∈K e v∈S(μ), então:
A(kv) = μ(kv)
 concluímos que kv∈S(μ).
5. Polinômio característico
Ao invés de trabalhar diretamente com a resolução de sistemas, existe 
um processo mais simples para obter os autovalores de A.
Se A é uma matriz n x n sobre K e I é a matriz identidade de mesma 
ANOTAÇÕES PESSOAIS
61
ordem que A, defi nimos o polinômio característico de A como: 
f(µ) = det(µ–A)
Exemplo: Seja a matriz defi nida por:
A =
94
21
Assim:
f(µ) = det
94
22
−−
−−
ì
ì
= µ2–10µ+1
Algumas vezes, vemos, na literatura, o polinômio característico da matriz 
A defi nido na forma trocada 
f(µ) = det(A–µ)
Lema: Seja M uma matriz quadrada de ordem n. Um sistema M∙v = 0 tem 
solução não trivial se, e somente se, det(M) = 0.
Teorema: Os autovalores de uma matriz quadrada A de ordem n são os 
zeros do polinômio característico de A, isto é, escalares µ para os quais 
f(µ) = 0.
Demonstração: Os autovalores da matriz A podem ser obtidos a partir da 
existência de escalares µ e vetores não nulos v = (x, y, z)t para os quais: 
A.v = µv. Este sistema pode ser reescrito como A∙v = µI∙v, ou seja: 
(µ–A)v = 0
Este sistema terá uma solução não trivial se, e somente se, o determi-
nante da matriz µ–A for nulo (consequência da Regra de Cramer), isto é: 
det(A–µ) = 0
Observamos que det(A–µ) é uma função polinomial da variável µ, daí a 
razão de indicarmos esta expressão por: 
f(µ) = det(A–µ)
A partir deste Teorema, podemos obter os autovetores se resolvermos o 
sistema: (µ–A)v = 0.
Exemplo: Seja a matriz dada por:
A =
211
121
110
−
−
ANOTAÇÕES PESSOAIS
62
O polinômio característico associado à matriz A é:
f(µ) = µ³–4µ²+5µ–2
Como a soma dos coefi cientes deste polinômio é igual a zero, µ = 1 é um 
zero de f = f(µ) e f(1) = 0.
Dividindo esta função polinomial por (µ–1), obtemos a forma decom-
posta: f(µ) = (µ–1)∙(µ²–3µ+2). Com a fórmula quadrática, obtemos: f(µ) = 
(µ–1)∙(µ–1)∙(µ–2), signifi cando que os autovalores de A, são: 
µ = 1, µ = 1 e µ = 2
Em geral, o sistema (µ–A)v = 0 fi ca na forma
(µ–A)∙
0
0
0
z
y
x
211
121
11
z
y
x
=⋅
−−
−−
−−
=
ì
ì
ì
Para µ = 1, o sistema toma a forma:
0
0
0
z
y
x
111
111
111
=⋅
−−
−−
−−
e este sistema se reduz a apenas uma equação: x–y–z = 0. Como temos 
duas variáveis livres, podemos escrever x = y+z, para obter x em função 
de y e de z.
Se y = 1 e z = 0, então x = 1 e u = (1, 1, 0)t é um autovetor. Se y = 0 e z = 
1, então x = 1 e v = (1, 0, 1)t é outro autovetor.
Para µ = 2, o sistema toma a forma:
0
0
0
z
y
x
011
101
112
=⋅
−
−
−−
e este sistema se reduz a apenas uma relação x = y = z. Tomando x = y = 
z = 1, obtemos o terceiro autovetor da matriz A: w = (1, 1, 1)t.
ANOTAÇÕES PESSOAIS
63
Referências
LANG, S. Álgebra Linear. Rio de Janeiro. Editora Ciência Moderna. 2003.
ANTON, H. Álgebra Linear com Aplicações. Bookman. 2005.
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra Linear Contemporânea. Bookman. 2006.
NOBLE, B.; DANIEL, J. W. Applied Linear Algebra. 2002.
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