Gabarito Lista 3 Casa

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MAE 116 - Noções de Estatística
Grupo D - 2o semestre de 2014
Gabarito da Terceira Lista de Exercícios
Exercício 1
Jogam-se dois dados equilibrados, um em seguida do outro. Construa o modelo probabilístico
desse experimento aleatório e, em seguida, use o modelo construído para calcular a probabilidade
de ocorrer o evento “produto dos números mostrados nas faces superiores dos dados não é menor
que 12 e não é maior que 15”.
Podemos modelar esse experimento através de um espaço de probabilidade que consiste de todos os pares
de números inteiros entre 1 e 6, isso é:
Ω “ tp1, 1q, p1, 2q, p1, 3q, p1, 4q, p1, 5q, p1, 6q,
p2, 1q, p2, 2q, p2, 3q, p2, 4q, p2, 5q, p2, 6q,
...
p6, 1q, p6, 2q, p6, 3q, p6, 4q, p6, 5q, p6, 6qu.
Como o enunciado diz que os dados são equilibrados, então todos os resultados possíveis devem ser igualmente
prováveis. Dessa forma a probabilidade associada com cada ponto é 1{36.
Para cada ponto desse espaço podemos calcular o produto dos números mostrados nas duas faces, montando
a tabela:
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 8 10 12
3 3 6 9 12 15 18
4 4 8 12 16 20 24
5 5 10 15 20 25 30
6 6 12 18 24 30 36
As entradas destacadas em negrito não são menores que 12 nem maiores que 15, temos 6 destacados, dessa
forma a probabilidade do evento pedido vale 6{36 “ 1{6.
Exercício 2
Um açougue será inaugurado hoje e tem 50% de probabilidade de receber carne de um frigo-
rífico contratado para seu abastecimento. A cada dia consecutivo, a probabilidade de haver carne
no açougue depende somente do fato de ter havido carne ou não no dia anterior, obedecendo a
seguinte regra: 60% de chances de encontrar carne no açougue se, no dia anterior, esse produto
estava disponível, e 30% se, no dia anterior, ela estava em falta. Ao tomar conhecimento sobre
a inauguração do açougue, uma dona de casa resolveu ir até ele daqui dois dias. Determine a
probabilidade dessa senhora encontrar a carne no açougue.
Podemos montar a seguinte árvore de possibilidades para o problema:
1
Em falta
dia 0
Em falta
dia 1 Em falta dia 2
70%
Disponível dia 230%
70%
Disponível
dia 1 Em falta dia 2
40%
Disponível dia 260%
30%
50%
Disponível
dia 0
Em falta
dia 1 Em falta dia 2
70%
Disponível dia 230%
40%
Disponível
dia 1 Em falta dia 2
40%
Disponível dia 260%
60%
50
%
Olhando as 8 folhas dessa árvore de probabilidades, vemos que carne está disponível daqui a dois dias em
quatro delas. Dessa forma a probabilidade de carne estar disponível em dois dias vale:
50
100
60
100
60
100
` 50
100
40
100
30
100
` 50
100
30
100
60
100
` 50
100
70
100
30
100
“ 0, 435
Exercício 3
Uma fábrica tem três máquinas, A, B e C, que respondem, respectivamente, por 40%, 35%
e 25% da sua produção. 2% da produção da máquina A consistem em peças defeituosas; essa
proporção é de 1% para a máquina B e de 3% para a máquina C. Toma-se uma peça ao acaso da
produção da fábrica, e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de ter sido produzida
pela máquina B?
Vamos representar o espaço de probabilidade para esse problema como:
Ω “ tpa, dq, pa, fq, pb, dq, pb, fq, pc, dq, pc, fqu,
onde a, b, e c indicam a máquina de origem da peça sorteada, d indica que a peça é defeituosa e f indica que
ela está funcionando corretamente.
Antes de definir a função de probabilidade associada, vamos definir os eventos:
• A “ tpa, dq, pa, fqu: a peça escolhida veio da máquina A;
• B “ tpb, dq, pb, fqu: a peça escolhida veio da máquina B;
• C “ tpc, dq, pc, fqu: a peça escolhida veio da máquina C;
• D “ tpa, dq, pb, dq, pc, dqu: a peça escolhida é defeituosa;
• sD “ tpa, fq, pb, fq, pc, fqu: a peça escolhida não é defeituosa.
Como o enunciado diz que uma peça é escolhida ao acaso e nos dá a proporção da produção total que cada
máquina é responsável, faz sentido que nossa função de probabilidade deva satisfazer:
PpAq “ 0, 40 PpBq “ 0, 35 PpCq “ 0, 25.
Isso é justificado pelo fato de que temos um número muito grande de peças e cada uma pode ser escolha
com igual probabilidade. Então a probabilidade de escolhermos uma peça da máquina A é dada pela proporção
de peças produzidas por aquela máquina. Da mesma forma, como sabemos a proporção de peças defeituosas
de cada máquina, faz sentido assumir que:
PpD|Aq “ 0, 02 PpD|Bq “ 0, 01 PpD|Cq “ 0, 03
Dessa maneira queremos atribuir uma probabilidade à esse espaço amostral que satisfaça todas essas igual-
dades. Para isso note que, se nossa probabilidade satisfaz essas igualdades, então:
PpD|Aq “ PpAXDq
PpAq ñ PpAXDq “ PpD|AqPpAq “ 0, 02ˆ 0, 40 “ 0, 0080,
PpD|Bq “ PpB XDq
PpBq ñ PpB XDq “ PpD|BqPpBq “ 0, 01ˆ 0, 35 “ 0, 0035
PpD|Cq “ PpC XDq
PpCq ñ PpC XDq “ PpD|CqPpCq “ 0, 03ˆ 0, 25 “ 0, 0075
2
Como A X D “ tpa, dqu, B X D “ tpb, dqu e C X D “ tpc, dqu, então obtemos a probabilidade desses três
pontos. Para obter a probabilidade dos 3 outros pontos, note que:
PpAq “ Pptpa, dquq ` Pptpa, fquq ñ Pptpa, fquq “ PpAq ´ Pptpa, dquq “ 0, 40´ 0, 0080 “ 0, 392
PpBq “ Pptpb, dquq ` Pptpb, fquq ñ Pptpb, fquq “ PpBq ´ Pptpb, dquq “ 0, 35´ 0, 0035 “ 0, 3465
PpCq “ Pptpc, dquq ` Pptpc, fquq ñ Pptpc, fquq “ PpCq ´ Pptpc, dquq “ 0, 25´ 0, 0075 “ 0, 2425
Portanto podemos montar a seguinte tabela, associando o cada possível resultado do experimento com sua
probabilidade:
Ponto amostral Probabilidade
pa, dq 0, 008
pb, dq 0, 0035
pc, dq 0, 0075
pa, fq 0, 392
pb, fq 0, 3465
pc, fq 0, 2425
Poderíamos chegar a essa mesma tabela se tivéssemos montado a seguinte árvore de probabilidades para
esse problema:
Produzida
pela
máquina C Funciona
0, 97
Defeituosa0, 03
0, 25
Produzida
pela
máquina B Funciona
0, 99
Defeituosa0, 01
0, 35
Produzida
pela
máquina A Funciona
0, 98
Defeituosa0, 02
0,
40
O exercício pede para calcularmos PpB|Dq. Usando a definição de probabilidade condicional, podemos obter:
PpB|Dq “ PpB XDq
PpDq (1)
Como B X D “ tpb, dqu e D “ tpa, dq, pb, dq, pc, dqu, podemos calcular essas quantidades usando a tabela
como:
PpB XDq “ 0, 035
PpDq “ 0, 008` 0, 0035` 0, 0075 “ 0, 019
Finalmente voltando à (1), podemos concluir o exercício:
PpB|Dq “ PpB XDq
PpDq “
0, 0035
0, 019
“ 7
38
Note que muito do trabalho que tivemos nesse exercício consistiu em montar o espaço de probabilidade. Uma
segunda maneira, mais direta mas menos intuitiva, para resolver esse problema consiste em aplicar a fórmula
de Bayes, encontrada em muitos livros de probabilidade e estatística básica:
PpB|Dq “ PpD|BqPpBq
PpD|AqPpAq ` PpD|BqPpBq ` PpD|CqPpCq .
Note que com ela sequer precisamos descrever todo o espaço amostral. Ela é muito útil quando temos espaços
mais complicados ou abstratos, em que é difícil (ou impossível) de descreve-lo explicitamente. Além de nos
fornecer uma solução mais curta. A justificativa dessa fórmula está implícita no raciocínio que usamos para
montar o espaço de probabilidade desse problema.
3
Exercício 4
Verifique, no âmbito do Exercício 3, a validade da fórmula
P rB|Ds ` P “ sB ˇˇD‰ “ 1
tomando o evento “peça sorteada veio da máquina B” como B e o evento “peça sorteada é
defeituosa” como D. Aqui, sB denota o complementar do evento B, cuja interpretação em termos
do exercício é: “a peça sorteada não veio da máquina B”.
Primeiramente, utilizando a definição de probabilidade condicional obteremos que:
Pp sB|Dq “ Pp sB XDq
PpDq .
No exercício anterior calculamos PpDq “ 0, 019. Como sB XD “ tpa, dq, pc, dqu, temos que:
Pp sB XDq “ 0, 0080` 0, 0075 “ 0, 0155.
Portanto:
Pp sB|Dq “ Pp sB XDq
PpDq “
0, 0155
0, 019
“ 31
38
.
Com isso podemos conferir:
P rB|Ds ` P “ sB ˇˇD‰ “ 7
38
` 31
38
“ 1.
Exercício 5
Verifique, no âmbito do Exercício 3, o fato de que
P rB|Ds ` P “B ˇˇ sD‰não é obrigatoriamente 1
tomando B e D como os do Exc. 4. Aqui,D denota o complementar do evento D, cuja interpre-
tação em termos do exercício é: “a peça sorteada não é defeituosa”.
Utilizando a definição de probabilidade condicional, teremos:
PpB| sDq “ PpB X sDq
Pp sDq
Note que sD “ tpa, fq, pb, fq, pc, fqu e B X sD “ tpb, fqu. Dessa forma:
Pp sDq “ 0, 392` 0, 3465` 0, 2425 “ 0, 981
PpB X sDq “ 0, 3465.
De onde concluímos que:
PpB| sDq “ PpB X sDq
Pp sDq “ 0, 34650, 981 “ 77218 .
Finalmente observamos que:
PpB|Dq ` PpB| sDq “ 7
38
` 77
218
“ 1113
2071
‰ 1.
Exercício 6
Três moedas honestas são lançadas em sequência. Considere dois eventos: A = “obter uma
‘cara’ e uma ‘coroa’ nos dois primeiros lançamentos, em qualquer ordem”, e B = “obter duas
‘caras’ nos dois últimos lançamentos”.
(a) Calcule PrA|Bs. Compare o resultado com PrAs. (Não é preciso comentar; o resultado da com-
paração será usado na próxima aula teórica para a discussão do conceito de independência.)
4
(b) Calcule PrB|As. Compare o resultado com PrBs. (Não é preciso comentar; o resultado da
comparação será usado na próxima aula teórica para a discussão do conceito de independên-
cia.)
(a) Podemos representar o espaço amostral desse problema como:
Ω “ tpc, c, cq, pc, c, kq, pc, k, cq, pc, k, kq, pk, c, cq, pk, c, kq, pk, k, cq, pk, k, kqu,
onde c representa uma cara e k uma coroa. Como o enunciado diz que as moedas são honestas, então
modelaremos esse problema com um espaço equiprovável, isso é, cada ponto do espaço amostral tem uma
probabilidade associada de 1{8.
Podemos escrever os eventos mencionados como:
• A “ tpc, k, cq, pc, k, kq, pk, c, cq, pk, c, kqu;
• B “ tpc, c, cq, pk, c, cqu;
• AXB “ tpk, c, cqu.
As probabilidades de cada um desses eventos valem:
• PpAq “ 48 “ 12 ;
• PpBq “ 28 “ 14 ;
• PpAXBq “ 18 .
Finalmente, usando a definição da probabilidade condicional, teremos:
PpA|Bq “ PpAXBq
PpBq “
1{8
1{4 “
1
2
Aqui vale que PpA|Bq “ PpAq “ 12 .
(b) Já tendo calculado PpAXBq e PpAq no item anterior, podemos aplicar a definição de probabilidade condi-
cional para obter:
PpB|Aq “ PpAXBq
PpAq “
1{8
1{2 “
1
4
Novamente notamos que PpB|Aq “ PpBq “ 14 .
Exercício 7
(a) Numa escola há 7 professores e 3 professoras. Será formada uma comissão de três pessoas.
Qual a probabilidade que nesta comissão haja somente uma mulher (quer dizer, exatamente
uma mulher)?
(b) Numa escola há 7 professores e 3 professoras, sendo que um professor e uma professora são
irmãos. Será formada uma comissão de três pessoas. Qual a probabilidade que nesta comissão
haja somente uma mulher e que esta não seja a irmã de qualquer professor da comissão?
(c) No âmbito do item (b), responda a seguinte questão: Sabendo que na comissão há dois homens
e uma mulher, qual a probabilidade que esta seja a irmã de um dos homens da comissão?
(a) Ao todo temos
`
10
3
˘
maneiras de montar uma comissão de 3 pessoas, dessas
`
3
1
˘ˆ `72˘ têm exatamente uma
mulher e dois homens. Portanto, se modelarmos o espaço de probabilidade usando o princípio da simetria,
a probabilidade de que a comissão montada tenha 1 mulher e dois homens é de:`
3
1
˘`
7
2
˘`
10
3
˘ “ 21
40
5
(b) Vamos definir alguns eventos:
A: a comissão consiste de uma mulher e dois homens
A1: a comissão consiste de uma mulher e dois homens, sendo que essa mulher é a professora que têm um
irmão professor
A2: a comissão consiste de uma mulher e dois homens, sendo que essa mulher não é a professora que têm
um irmão professor
B: os professores irmão não estão juntos na comissão
A probabilidade que queremos calcular é dada por PpAXBq. Note que os eventos A1 e A2 são disjuntos e
que A “ A1 YA2. Dessa forma:
PpAXBq “ PpA1 XBq ` PpA2 XBq
“ PpB|A1qPpA1q ` PpB|A2qPpA2q. (2)
O número de possíveis comissões de 2 homens e 1 mulher, onde a professara que faz parte dela é aquela que
tem um irmão professor pode ser calculado como 1 ˆ `72˘ “ 21. De forma análoga, o número de comissões
compostas por dois homens e uma mulher onde ela não faça parte é dado por
`
2
1
˘ˆ `72˘ “ 42. Dessa forma
podemos calcular:
PpA1q “ 21`10
3
˘ “ 7
40
PpA2q “ 42`10
3
˘ “ 7
20
Quando essa professora não é escolhida para a comissão, então com certeza os irmão não estão juntos
na comissão, portanto PpB|A2q “ 1. Dentre as 21 comissões possíveis de uma mulher e dois homens
que essa professora faz parte, temos
`
6
2
˘ “ 15 que seu irmão não faz parte. Portanto podemos calcular
PpB|A1q “ 1521 “ 57 . Com isso, usando (2), podemos calcular:
PpAXBq “ 5
7
7
40
` 1 7
20
“ 19
40
(c) Usando os eventos definidos no item (b), queremos calcular Pp sB|Aq, onde sB é o complementar do evento B
e pode ser interpretado como “os irmãos estão juntos na comissão”. Como uma probabilidade condicional é
uma probabilidade, então Pp sB|Aq “ 1 ´ PpB|Aq. Usando esse fato com os resultados dos itens anteriores,
podemos calcular:
Pp sB|Aq “ 1´ PpB|Aq “ 1´ PpB XAq
PpAq “ 1´
19{40
21{40 “
2
21
Exercício 7 - Solução alternativa
Essa solução ilustra a generalidade do método da árvore de probabilidade. Ela é mais simples que o método
de contagem utilizado na solução anterior, porém muito mais trabalhosa.
As Figuras 1 e 2 representam uma possível árvore de probabilidade, que explora todas as possíveis formações
da comissão de professores. Note que elas representam uma única árvore, que foi quebrada em 4 na raiz por
questões de espaço em folha.
Nela H e M indicam respectivamente que um homem e uma mulher foram escolhidos para a comissão, entre
os professores que não têm irmãos. Io indica que o professor que tem uma irmã professora foi escolhido para a
comissão e Ia indica que a professora que tem um irmão professor foi escolhida. As probabilidades marcadas
na árvore são aquelas em caminhos que levam à formação de uma comissão com 2 homens e 1 mulher e que os
irmãos não estão juntos na comissão.
(a) Multiplicando as probabilidades em cada caminho que leva à uma comissão com exatamente uma mulher e
6
somando os resultados obteremos:
6
10
5
9
2
8
` 6
10
5
9
1
8
` 6
10
2
9
5
8
` 6
10
2
9
1
8
` 6
10
1
9
2
8
` 6
10
1
9
1
8
` 6
10
1
9
5
8
` 6
10
1
9
1
8
`
2
10
6
9
5
8
` 2
10
6
9
1
8
` 2
10
1
9
6
8
`
1
10
6
9
2
8
` 1
10
6
9
1
8
` 1
10
2
9
6
8
` 1
10
1
9
6
8
`
1
10
6
9
5
8
` 1
10
6
9
1
8
` 1
10
1
9
6
8
“ 21
40
(b) Novamente vamos somar os produtos das probabilidades de todos os caminhos onde a comissão é formada
de uma professora e dois professores, mas dessa vez vamos ignorar as comissões onde os dois irmão fazem
parte dela, isso é, os caminhos que passam tanto por Io quanto por Ia. Fazendo essa conta obteremos:
6
10
5
9
2
8
` 6
10
5
9
1
8
` 6
10
2
9
5
8
` 6
10
2
9
1
8
` 6
10
1
9
2
8
` 6
10
1
9
5
8
`
2
10
6
9
5
8
` 2
10
6
9
1
8
` 2
10
1
9
6
8
`
1
10
6
9
2
8
` 1
10
2
9
6
8
`
1
10
6
9
5
8
`
“ 19
40
(c) Podemos calcular a probabilidade de uma comissão ser formada pelos dois irmãos e mais um homem
contando os caminhos na árvore, obtendo:
6
10
1
9
1
8
` 6
10
1
9
1
8
` 1
10
6
9
1
8
` 1
10
1
9
6
8
` 1
10
6
9
1
8
` 1
10
1
9
6
8
“ 1
20
Dessa forma, a probabilidade de que os irmãos estejam juntos na comissão, dado que dois homens e uma
mulher foram selecionados para a comissão é dada por:
1{20
21{40 “
2
21
6
10
H �
�
�
��
�
�
��
��
��
�
HHHHH
A
A
A
A
A
A
A
AA
5
9
2
9
1
9
1
9
H
M
Io
Ia
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���XXX@
@@
�
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���XXX@
@@
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�
PPP@
@@
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�
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@@
2
8
1
8
5
8
1
8
2
8
5
8
H
M
Io
Ia
H
M
Io
Ia
H
M
Ia
H
M
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2
10
M �
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�
�
�
�
�
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�
HHHHH
A
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A
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6
9
1
9
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@@
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H
M
Io
Ia
H
M
Io
Ia
H
M
Ia
H
M
Io
5
8
1
8
6
8
Figura 1: Árvore de probabilidade para formação da comissão - Parte 1
7
1
10
Io �
�
�
�
�
�
�
��
A
A
A
A
A
A
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6
9
2
9
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@@
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@
@@
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@@
2
8
6
8
H
M
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1
10
Ia �
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6
9
H
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@
@@
�
��
@
@@
�
��
@
@@
H
M
Io
H
M
Io
H
M
5
8
Figura 2: Árvore de probabilidade para formação da comissão - Parte 2
8