Gabarito Lista 3 BD2020 - casa

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MAE116 – Noções de Estatı́stica
Grupos B e D – II Semestre de 2020
Lista de exercı́cios 3 – Noções de probabilidade – CASA (gabarito)
Exercı́cio 1.
De três eventos A, B e C, de um mesmo espaço amostral Ω, suponha que A e B são independentes
e que B e C são mutuamente exclusivos. Considere as seguintes probabilidades: P(A) = 0, 50,
P(B) = 0, 30, P(C) = 0, 10 e P(A|C) = 0, 30. Calcular as probabilidades de:
Solução:
(a) B e C ocorrerem simultaneamente.
A ocorrência simultânea dos eventos B e C é representada por B ∩ C, mas como B e C são
mutuamente exclusivos temos que:
B ∩ C = ∅.
Logo,
P(B ∩ C) = P(∅) = 0.
(b) Ocorrer ao menos um dentre A e B.
A probabilidade de ocorrência de pelo menos um dos eventos, A ou B, é representada por
P(A ∪B) = P(A) + P(B)− P(A ∩B).
Mas, sendo A e B eventos independentes, segue que
P(A ∩B) = P(A)× P(B) = 0, 5× 0, 3 = 0, 15.
Logo,
P(A ∪B) = P(A) + P(B)− P(A ∩B) = 0, 5 + 0, 3− 0, 15 = 0, 65.
1
(c) B não ocorrer.
A probabilidade de B não ocorrer pode ser representada por P(Bc), e para qualquer evento B ⊂ Ω,
temos que
P(B) = 1− P(Bc).
Logo,
P(Bc) = 1− P(B) = 1− 0, 3 = 0, 70
(d) Ocorrerem os três simultaneamente.
A ocorrência dos três eventos simultaneamente é representada por A ∩ B ∩ C. Sendo B e C
multualmente exclusivos, temos que
A ∩B ∩ C = A ∩ ∅ = ∅.
Portanto,
P(A ∩B ∩ C) = P(∅) = 0.
(e) Ocorrer A ou B ou C.
A probabilidade de ocorrência de A ou B ou C pode ser representada por
P(A ∪B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)− P(A ∩B)− P(A ∩ C)− P(B ∩ C) + P(A ∩B ∩ C).
Destes componentes, o enunciado fornece os valores das probabilidades P(A),P(B) e P(C); dos
itens anteriores, calculamos P(B∩C) e P(A∩B∩C). Assim, para obtermos a probabilidade desejada
(P(A ∪B ∪ C)), precisamos calcular o valor de P(A ∩ C).
Pela definição da probabilidade condicional, temos que
P(A|C) = P(A ∩ C)
P(C)
.
Como sabemos os valores de P(A|C) e P(C), podemos calcular P(A ∩ C) como
P(A ∩ C) = P(C)P(A|C) = 0, 1× 0, 3 = 0, 03.
Portanto,
P(A ∪B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)− P(A ∩B)− P(A ∩ C)− P(B ∩ C) + P(A ∩B ∩ C)
= 0, 5 + 0, 3 + 0, 1− 0, 15− 0, 03− 0 + 0
= 0, 72.
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Exercı́cio 2.
Temos três profissionais: um agrônomo, um biólogo e um engenheiro. Cada um deles plantou dez
mudas de álamos em vasos numa casa de vegetação. Sobreviveram nove das plantadas pelo agrônomo,
cinco pelo biólogo e duas pelo engenheiro. Dos trinta vasos, escolhe-se um ao acaso.
Solução:
Definamos os eventos:
• S=“A muda sobreviveu”
• A=“Muda Plantada pelo Agrônomo”
• E=“Muda Plantada pelo Engenheiro”
note que
Sobrevivência
Profissional S Sc Total
A 9 1 10
B 5 5 10
E 2 8 10
Total 16 14 30
(a) Qual é a probabilidade da muda do vaso escolhido ter sobrevivido?
Assim, a probabilidade da muda do vaso escolhido ter sobrevivido é:
P (S) =
16
30
= 0, 533
(b) Se a muda sobreviveu, qual é a probabilidade de ela ter sido plantada pelo
engenheiro?
Se a muda sobreviveu, a probabilidade de ela ter sido plantada pelo engenheiro é dada por:
P (E|S) = P (E ∩ S)
P (S)
=
2/30
0, 533
= 0, 1250
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Exercı́cio 3.
O estudo de uma tribo no Brasil revelou que 75% dos seus integrantes tinham sangue tipo A e o
restante tinha sangue tipo O; 60% de toda a população tinha fator Rh−. Usando estas informações e
sabendo-se que os eventos fator Rh e o tipo de sangue são independentes, encontre a probabilidade
de que um membro da tribo selecionado ao acaso tenha:
(a) Sangue tipo A ou Rh+
Defina os seguintes eventos:
A : O sangue do membro da tribo selecionado é tipo A;
O : O sangue do membro da tribo selecionado é tipo O;
Rh+ : O fator Rh do membro da tribo selecionado é positivo;
Rh− : O fator Rh do membro da tribo selecionado é negativo.
A probabilidade de que um membro da tribo tenha sangue tipo A ou Rh+ é representada por
P(A ∪Rh+) = P(A) + P(Rh+)− P(A ∩Rh+).
Pelo enunciado, obtemos que P(A) = 0, 75 e P(Rh+) = 0, 4. Além disso, como o tipo de sangue
e o fator Rh são independentes, temos que P(A ∩Rh+) = P(A)× P(Rh+) = 0, 3. Logo,
P(A ∪Rh+) = P(A) + P(Rh+)− P(A ∩Rh+) = 0, 75 + 0, 4− 0, 3 = 0, 85.
(b) Sangue tipo A e Rh−
4
A probabilidade de que o membro da tribo selecionado tenha sangue tipo A e fator Rh− é repre-
sentada por
P(A ∩Rh−).
Temos que P(A) = 0, 75 e P(Rh+) = 0, 6. Sendo o tipo de sangue e o fator Rh independentes,
segue que
P(A ∩Rh−) = P(A)× P(Rh−) = 0, 75× 0, 6 = 0, 45
(c) Rh+, mas não sangue tipo A
A probabilidade de que um membro da tribo tenha fator Rh positivo mas não sangue do tipo A é
representada por
P(Rh+ ∩O),
pois neste caso, Ac = O. Mais uma vez sendo o tipo de sangue e o fator Rh independentes, segue que
P(Rh+ ∩O) = P(Rh+)× P(O).
Como O = Ac, podemos calcular que
P(O) = P(Ac) = 1− P(A) = 1− 0, 75 = 0, 25.
Assim,
P(Rh+ ∩O) = P(Rh+)× P(O) = 0, 4× 0, 25 = 0, 1.
(d) Sangue tipo O e Rh−
A probabilidade de que o membro da tribo selecionado tenha sangue tipo O e fator Rh negativo é
representada por
P(O ∩Rh−) = P(O)× P(Rh−) = 0, 25× 0, 6 = 0, 15,
pois O = Ac e o tipo de sangue e o fator Rh independentes.
(e) Rh+ dado que tem sangue tipo A.
A probabilidade de que um membro da tribo tenha fator Rh positivo dado que ele tem sangue tipo
A é representada por P(Rh+|A). Como o tipo de sangue e o fator Rh são independentes, a informação
da ocorrência (ou não) do evento A não altera a probabilidade de ocorrência do evento Rh+. Então
P(Rh+|A) = P (Rh+) = 0, 40
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Exercı́cio 4.
Uma escola fez um levantamento com seus 500 estudantes do ensino médio. Suponha que X repre-
sente o número de horas de atividade fı́sica por semana. As respostas foram tabuladas e encontram-se
na tabela a seguir.
Sexo
Atividade
0 ≤ X < 3 3 ≤ X < 5 X ≥ 5
Feminino 220 80 70
Masculino 30 40 60
Solução:
Temos que Ω é o conjunto dos 500 estudantes, agora, definimos os eventos:
• F: estudante do sexo feminino;
• M: estudante do sexo masculino;
• A: estudante que pratica 0 ≤ x < 3 horas de atividade fı́sica por semana;
• B: estudante que pratica 3 ≤ x < 5 horas de atividade fı́sica por semana;
• C: estudante que pratica x ≥ 5 horas de atividade fı́sica por semana;
(a) Qual é a probabilidade de sortear aleatoriamente um estudante do sexo fe-
minino com atividade fı́sica semanal na faixa de [3, 5) horas?
A probabilidade de um estudante do sexo feminino que pratica atividade fı́sica semanal na faixa de
[3, 5) horas é representada por P (F ∩B). Assim, temos que:
P (F ∩B) = 80
500
= 0, 16.
(b) Calcule P (X ≥ 5).
A probabilidade de um estudante praticar atividade fı́sica semanal maior ou igual a 5 horas é repre-
sentada por P (C). Assim, temos que:
P (C) =
130
500
= 0, 26
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(c) Calcule a probabilidade de que um estudante do sexo feminino escolhido
aleatoriamente dedique pelo menos 5 horas por semana à atividade fı́sica. Idem
para um estudante do sexo masculino. Compare as respostas com a resposta do
item (b).
A probabilidade de que um estudante do sexo feminino escolhido aleatoriamente dedique pelo menos
5 horas por semana à atividade fı́sica é representrada por P (C|F ). Assim temos que:
P (C|F ) = 70
370
= 0, 1892
Agora, para um estudante do sexo masculino, temos que:
P (C|M) = 60
130
= 0, 4615
Comparando as respostas do item (c) com a resposta do item (b) vemos que a probabilidade de
um estudante de sexo masculino praticar atividade fisica acima de 5 horas por semana é maior do que
a probabilidade estimada no item (b). Por outro lado, estudantes de sexo feminino têm probabilidades
menores do que as estimadas no item (b).
(d) Calcule a probabilidade de ter sido selecionado um estudante do sexo femi-
nino sabendo que o estudante sorteado pratica atividade fı́sica na faixa de [3, 5)
horas.
A probabilidade de ter sido selecionado um estudante do sexo feminino sabendo que o estudante
sorteado pratica atividade fı́sica na faixa de [3, 5) é representada por P (F |B). Assim, temos que:
P (F |B) = 80
120
= 0, 6667
(e) Qual é a probabilidade de que o estudante selecionado pratique atividade
fı́sica pelo menos5 horas por semana ou seja do sexo feminino?
A probabilidade de que o estudante selecionado pratique atividade fı́sica pelo menos 5 horas por
semana ou seja do sexo feminino é representada por P (F ∪ C), assim temos que:
P (F ∪ C) = P (F ) + P (C)− P (F ∩ C) = 370
500
+
130
500
− 70
500
= 0, 74 + 0, 26− 0, 14 = 0, 86
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