Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
ESTATÍSTICA APLICADA AULA 6 Profa. Aline Purcote 2 CONVERSA INICIAL Vimos que a Estatística é dividida em duas partes, estatística descritiva e inferência estatística. A inferência estatística obtém informações sobre a população com base nos elementos da amostra, e para determinar a amostra temos diversas técnicas de amostragem. Sempre que trabalhamos com amostragem temos uma margem de erro envolvida, o que, desta forma, dá origem ao intervalo de confiança. Segundo Castanheira (2010), na maioria dos problemas estatísticos a amostra não é suficientemente grande para determinar a distribuição da população de maneira muito precisa. Assim, surge a distribuição de probabilidade, que é um modelo matemático para a distribuição real das frequências, e que relaciona certo valor da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência. Martins (2010) comenta que as análises das distribuições de probabilidades possibilitam a construção de modelos que nos auxiliam no entendimento de fenômenos do mundo real. Muitas vezes não estamos interessados propriamente no resultado de um experimento aleatório, mas em características numéricas chamadas de variáveis aleatórias, que são classificadas em variável discreta ou contínua. Variável aleatória discreta é aquela que assume valores inteiros e finitos. Por sua vez, a variável aleatória contínua é aquela que pode assumir inúmeros valores num intervalo de números reais e é medida numa escala contínua. Os específicos modelos discretos de probabilidade são as distribuições de probabilidade binomial e de Poisson. Para as variáveis aleatórias contínuas temos a distribuição normal de probabilidade. CONTEXTUALIZANDO Quando realizamos uma pesquisa amostral, quais as técnicas que podem ser utilizadas para escolha da amostra? Qual a diferença entre as diferentes técnicas? 3 Um exemplo de pesquisa muito divulgada é a pesquisa eleitoral, e neste caso sempre ouvimos falar de um intervalo de confiança e nível de confiança da pesquisa. Normalmente ouvimos, após o resultado da pesquisa, a informação de “margem de erro de 5% para mais ou para menos”. Mas o que isso significa? Em situações de nosso dia a dia, podemos estar interessados em saber qual a probabilidade de chegada de clientes em uma fila ou de chamadas telefônicas em uma central. Além destes cálculos, podemos estar interessados em conhecer a probabilidade em uma faixa de valores, acima ou abaixo de um determinado valor. Para resolver estes e outros problemas, estudamos as distribuições de probabilidade, técnicas de amostragem e o intervalo de confiança. TEMA 1 – DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL A distribuição binomial é uma distribuição discreta de probabilidade, um modelo que fornece a probabilidade do número de sucessos quando um experimento é repetido. É a probabilidade de um evento ocorrer X vezes em N tentativas. Por exemplo, a probabilidade de ocorrerem três vezes o número 6 em cinco lançamentos de um dado (X = 3, N = 5). Para a distribuição binominal considera-se que há um número fixo de tentativas, a probabilidade de sucesso (p) é a mesma em todas as tentativas e as tentativas são todas independentes. Segundo Castanheira (2010), se p é a probabilidade de um evento acontecer em uma tentativa única, denominada probabilidade de sucesso, então q = 1-p é a probabilidade de que o evento não ocorra em qualquer tentativa, denominada probabilidade de insucesso, então a probabilidade do evento ocorrer exatamente X vezes em N tentativas é dada por: P(X) = XNX qp XNX N . )!(! ! Onde: N = tentativas X = vezes p = probabilidade de sucesso q = 1- p = probabilidade de insucesso N! ou X! = fatorial 4 O fatorial de um número N é dado pela fórmula: N! = N.(N-1).(N-2).(N-3). ... . 1 Ou seja, multiplicamos o número N por seus antecessores até chegar ao número 1. Exemplo 1: 5! = 5.4.3.2.1 = 120 9! = 9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 362.880 Os exemplos podem fornecer ou não o valor da probabilidade de sucesso. Caso não seja informado o valor de p, precisamos calcular utilizando a fórmula vista no cálculo da probabilidade: Exemplo 2: Determinar a probabilidade de ocorrer 3 vezes o nº 2 em 5 jogadas de um dado. O primeiro passo para calcular a distribuição binomial é encontrar os seguintes valores: N = tentativas = 5 X = vezes = 3 p = probabilidade de sucesso. Verificamos que o exercício não fornece a probabilidade, desta forma precisamos encontrar este valor. Para isso, precisamos conhecer o espaço amostral e o evento. Como o experimento é o lançamento de um dado, o espaço da amostra é: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} O evento é aquilo que queremos descobrir; neste caso, é a saída do número 2. Com estas informações calculamos a probabilidade: 1667,0 6 1 )( AP 5 Com o valor de p podemos calcular o valor de q, ou seja, a probabilidade do insucesso: q=1- p = 1 - 0,1667 = 0,8333 Conhecidos todos os valores, aplicamos a fórmula da distribuição binomial: Exemplo 3: Sabe-se que 5% dos parafusos fabricados por certa indústria são defeituosos. Em um lote de 10 parafusos, calcular a probabilidade de exatamente 2 serem defeituosos. Analisando o enunciado temos os seguintes valores: N = 10 X = 2 p = 5% = 5/100 = 0,05 q = 1- p = 1 – 0,05 = 0,95 2102 95,0.05,0 )!210(!2 !10 )( XP 6634,0.0025,0 )!8(2 800.628.3 )( XP 0017,0 40320.2 3628800 )( XP 0017,0 80640 3628800 )( XP 0017,0.45)( XP 0765,0)( XP %65,7)( XP XNqxp XNX N xP )!(! ! )( 358333,031667,0 )!35(!3 !5 )( xP 6944,0.0046,0 )!2(6 120 )( xP 0032,0 12 120 )( xP %2,3100.032,00032,0.10)( xP 6 Exemplo 3: Um varejista de computadores vende PCs on-line, tanto desktops quanto laptops. Presuma que 80% dos PCs que o varejista vende seja de desktops e 20% de laptops. Encontre a probabilidade de que 3 dos próximos 4 PC’s comprados sejam laptops. Analisando o enunciado temos os seguintes valores: N = 4 X = 3 p = 20% = 20/100 = 0,20 q = 1- p = 1 – 0,20 = 0,80 343 80,020,0 )!34(!3 !4 )( XP 80,0.008,0 !1.6 24 )( XP 0064,0 6 24 )( XP %56,20256,00064,0.4)( XP TEMA 2 – DISTRIBUIÇÃO POISSON Enquanto a distribuição binomial pode ser usada para encontrar a probabilidade de um número designado de sucessos em N tentativas, a distribuição de Poisson é usada para encontrar a probabilidade de um número designado de sucessos por unidade de tempo, numa determinada sequência. É uma distribuição discreta de probabilidade aplicável a ocorrências e um evento em um intervalo especificado. A distribuição de Poisson é utilizada para encontrar a probabilidade de um número designado de sucessos por unidade de tempo. Segundo Martins (2010), a distribuição Poisson representa um modelo probabilístico adequado para o estudo de um grande número de fenômenos observáveis. Por exemplo, chamadas telefônicas por unidade de tempo, acidentes por unidade de tempo ou clientes chegando ao caixa por hora. A probabilidade de um número designado de sucessos por unidade de intervalo, P(X), pode ser encontrada por: 7 onde: X: número designado de sucessos. λ (lambda): é o número médio de sucessos num intervaloespecífico, ou seja, é a média. e: base do logaritmo natural, ou 2,71828. Obs: o valor de e pode ser calculado utilizando a calculadora científica, HP, pela substituição do valor por 2,71828 ou utilizando uma tabela que fornece os valor de e . Calculadora científica: procura o símbolo ex. Exemplo: e-5 - SHIFT ex e digitar -5 = 0,00674 Calculadora HP: procura o símbolo ex no botão 1/x. Exemplo: e-5 - digitar 5 CHS g 1/x = 0,00674 Substituição do valor de e: Exemplo: e-5 - substituir e por 2,71828. e-5 = 2,71828-5 Como o expoente é negativo devemos inverter a fração: 2,71828-5 = 00674,0 412660,148 1 71828,2 1 5 e-5 = 0,00674 Fonte: Castanheira (2010) 8 Caso o valor da média não seja fornecido, antes de aplicar a distribuição de Poisson, precisamos calculá-la utilizando: λ = N.p Onde N é o número de tentativas e p a probabilidade de sucesso. Esta fórmula é utilizada quando o número N de tentativas é muito grande e a probabilidade p de sucesso muito pequeno. Exemplo 1: Um departamento recebe em média 5 solicitações por hora. Qual a probabilidade de receber 2 solicitações numa hora selecionada aleatoriamente? Vamos encontrar o valor de X e λ: X = 2 λ = 5 Agora aplicamos a fórmula para encontrar a probabilidade: Exemplo 2: A experiência indica que um número médio de 6 clientes por hora passa em um caixa. Qual é a probabilidade de 3 clientes passarem por hora? O enunciado fornece os seguintes dados: X = 3 λ = 6 ! )( X ex xP 2 00674,0.25 !2 525 )( e xP %422,808422,0 2 16845,0 )( xP 9 TEMA 3 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, uma das mais empregadas e mais importantes constituindo a base teórica de toda inferência estatística é a distribuição normal, a qual utiliza dois parâmetros: média e desvio padrão; seu principal interesse é obter a probabilidade de uma variável assumir um valor em um determinado intervalo. A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média, que recebe o nome de curva normal ou curva de Gauss, conforme a Figura 1. Figura 1: Curva normal (ou curva de Gauss) A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa área corresponde à probabilidade da variável aleatória X assumir qualquer valor real. Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor maior que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 0,5 ou 50%. Cada metade da curva representa 50% de probabilidade. Figura 2: Curva normal (probabilidades) 50% 50% 10 Conforme Castanheira (2010), qualquer conjunto de valores X, normalmente distribuídos, pode ser convertido em valores normais padronizados Z pela fórmula: s X Z Onde = média e S = desvio padrão. Esta é a fórmula reduzida da distribuição normal com média igual a zero e desvio padrão igual a 1. Ao calcular Z encontramos a probabilidade entre a média e o valor de X, conforme a Figura 3: Figura 3: Curva normal (X e Z) O valor de Z é tabelado para encontrarmos o valor da distribuição normal, conforme a Tabela 1. A tabela indica as proporções de área para vários intervalos de valores para a distribuição de probabilidade normal padronizada, com a fronteira inferior do intervalo começando sempre na média. X Z 11 Exemplo 1: Uma máquina produz parafusos cujo diâmetro tem distribuição normal com média de 2 cm e desvio padrão de 0,04 cm. Qual a probabilidade de um parafuso ter o diâmetro com valor entre 2 e 2,05 cm? Neste problema queremos calcular a probabilidade do diâmetro possuir valor entre 2 e 2,05 considerando uma distribuição normal. Para calcular a probabilidade, precisamos, em primeiro lugar, calcular o valor de Z, desta forma precisamos dos valores de X, e S. Para encontrar o valor de X, analisamos a faixa de valores solicitada no enunciado, ou seja, queremos calcular diâmetro entre 2 e 2,05. Verificamos que 2 é a nossa média, assim 2,05 será o valor de X. pelo enunciado encontramos o valor da média e desvio padrão: X = 2,05 = 2 S = 0,04 Conhecidos os valores, vamos encontrar Z utilizando a fórmula: s X Z 25,1 04,0 205,2 Z Agora, verificamos na tabela o valor de Z = 1,25. Na primeira coluna procuramos o valor até uma casa decimal = 1,2. Em seguida, na primeira linha encontramos o valor 0,05, que corresponde ao último algarismo do número 1,25. Na intersecção da linha e coluna correspondentes encontramos o valor 0,3944: este valor é a probabilidade que procuramos: 12 P(X) = 0,3944 x 100 = 39,44 %. Logo, a probabilidade de um certo parafuso apresentar um diâmetro entre 2 e 2,05 cm é de 39,44%. Exemplo 2: De acordo com um estudo, a remuneração média por semana dos trabalhadores do setor de produção foi de R$ 441,84. Suponha que os dados disponíveis indiquem que os salários estejam normalmente distribuídos, com um desvio padrão de R$ 90,00. Escolhendo aleatoriamente um trabalhador, qual é a probabilidade de ele ter recebido menos de R$ 250,00 por semana? Para resolver o exercício utilizando distribuição normal, encontramos os seguintes valores: 84,441 X = 250 90S Com estes valores, calculamos o valor de Z utilizando a fórmula: s X Z 13,2 90 84,441250 z 13 Encontre o valor de Z na tabela de distribuição normal. Verificamos que o valor de Z é negativo, e não temos valores negativos na tabela; no entanto, os valores negativos são obtidos por simetria. Logo, o valor procurado é 0,4834, considerando 2,1 na vertical e 0,03 na horizontal. O exercício solicita a probabilidade para ganho menor que R$ 250,00, conforme a figura a seguir: Como o parâmetro Z calcula da média até o Z e queremos encontrar ganho menor que R$ 250,00, precisamos diminuir 0,50 do valor da tabela, pois cada metade da curva representa 50% de probabilidade. Assim: 0,50 – 0,4834 = 0,01660 x 100= 1,66% Logo, a probabilidade de o trabalhador ter recebido menos de R$ 250,00 por semana é de 1,66%. 250 Z 441,84 14 Exemplo 3: Uma empresa de construção civil realizou um estudo indicando que o salário semanal dos seus operários é distribuído normalmente em torno de uma média de R$ 80,00 com desvio padrão de R$ 5,00. O diretor da empresa está interessado em saber qual a probabilidade de um operário ter um salário semanal acima de R$ 85,00. Para encontrar a probabilidade calculamos o valor de Z com os seguintes dados: 80 X = 85 5S 1 5 8085 Z Procurando Z na tabela temos uma probabilidade de 34,13%, porém, como queremos identificar a porcentagem acima de R$ 85, precisamos diminuir a probabilidade encontrada de 50%. 50% - 34,13% = 15,87% Portanto, a probabilidade de um operário ter um salário semanal acima de R$ 85,00 é de 15,87%. Exemplo 4: As idades de um grupo apresentaram média igual a 20 anos e desvio padrão de 2 anos. Determine o percentual de integrantes desse grupo que têm idades entre 17 e 22 anos. Neste exercício estamos interessados em encontrar o percentual de idade entre 17 e 22 anos, sabendoque 20 e S = 2. Neste caso qual o valor de X? Vamos analisar o gráfico da distribuição: 17 20 22 15 Como o intervalo procurado possui um número menor e outro maior que a média, precisamos calcular dois valores para Z utilizando dois valores de X, sendo X = 17 e X = 22: X = 17 Verificando na tabela temos 0,4332. X = 22 Verificando na tabela temos 0,3413. Para encontrar o valor da probabilidade devemos somar os valores encontrados: 0,4332 +0,3413 = 0,7745 = 77,45% Assim, o percentual de integrantes do grupo que têm idade entre 17 e 22 anos é de 77,45%. TEMA 4 – INFERÊNCIA ESTATÍSTICA A inferência estatística é um processo para obter informações sobre uma população com base em resultados observados em amostras. Segundo Castanheira (2010), para realizar uma inferência precisamos trabalhar com temas que envolvem amostragem, estimação e intervalo de confiança. A amostragem consiste em selecionar parte de uma população para observar, de modo que seja possível estimar alguma coisa sobre toda a população. A estimativa pode ser por ponto ou por intervalo. A estimativa por ponto é um valor único obtido a partir de cálculos efetuados com a amostra, que serve como uma aproximação do parâmetro. Vamos considerar uma amostra de 1.000 eleitores para a realização de uma pesquisa referente à satisfação com o governo. Suponha que 700 eleitores respondam que estão satisfeitos; desta forma, pela estimativa por ponto temos que 70% dos eleitores estão satisfeitos, ou seja, %701007,0 1000 700 x 5,1 2 2017 z 1 2 2022 z 16 Segundo Castanheira (2010), a estimativa por intervalo para um parâmetro é uma faixa de valores possíveis e aceitos como verdadeiros, dentro da qual se estima encontrar o parâmetro. Esta permite diminuir o tamanho do erro que estamos cometendo, sendo que quanto menor for o comprimento do intervalo, maior a precisão dos cálculos. As estimativas por intervalo são denominadas de intervalos de confiança. O intervalo de confiança é um intervalo de valores com probabilidade de conter o valor desconhecido: Associado a um intervalo de confiança temos o nível de confiança, que é um número de exprime o grau de confiança. O valor de c é chamado de erro amostral, e é obtido pela seguinte fórmula: Onde: Z = distribuição normal padronizada. = desvio padrão da população n = tamanho da amostra. Em seguida, calcular o valor de c determinamos o intervalo de confiança: Onde: = média da amostra média da população n Zc cXcX X 17 Exemplo 1: Determine o intervalo de confiança para as pessoas de uma localidade onde os habitantes possuem peso médio de 68 kg, com desvio padrão de 3 kg. Supor nível de confiança igual a 90% e uma amostra de 64 pessoas. O primeiro passo para encontrar o intervalo de confiança é calcular o valor de c, mas para isso precisamos encontrar o valor de Z. Para encontrar Z, levamos em conta o nível de confiança – que neste exemplo é igual a 90%. Dividimos o nível de confiança por 2, e depois por 100, assim procuramos o valor obtido na tabela de distribuição normal para obter o valor de Z. 45,0 100 %45 2 %90 Na tabela, buscamos o valor no centro e ao encontrar verificamos o seu correspondente na vertical e horizontal, conforme mostrado a seguir. Em nosso exemplo, obtemos Z = 1,65. 18 Agora precisamos encontrar os demais valores para calcular c: = 3 kg n = 64 = 68 kg Com o valor de c determinamos o intervalo de confiança: TEMA 5 – TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM Utilizamos amostragem porque o tempo para análise e o custo são menores do que o estudo de toda população, além de ser mais rápido e gerar resultados satisfatórios. Quando o estudo exigir o resultado exato ou quando já dispomos dos dados da população, é recomendado considerar todos os elementos da população, e não trabalhar com amostragem. Na obtenção das amostras, devemos usar técnicas adequadas para que estas sejam representativas da população, ou seja, devem possuir as características básicas da população. Podemos falar em dois tipos de amostragem: Amostragem probabilística: quando todos os elementos da população possuem probabilidade conhecida e diferente de zero de pertencer à amostra. Amostragem não probabilística: quando nem todos os elementos da população têm probabilidade conhecida de pertencer à amostra. A vantagem do uso da amostragem probabilística é que esta permite o cálculo do erro amostral, o que não acontece com a amostragem não probabilística. Dentre as técnicas de amostragem probabilísticas podemos citar amostragem aleatória simples, sistemática, estratificada e por conglomerados. n Zc X 6188,0375,0.65,1 8 3 65,1 64 3 65,1 c cXcX 6188,0686188,068 6188,683812,67 19 A amostragem aleatória simples é o um processo frequentemente utilizado no qual os elementos da população têm igual probabilidade de serem selecionados. Essa técnica é equivalente a um sorteio lotérico o qual pode ser realizado numerando-se os elementos da população n e sorteando X números que corresponderão à amostra. Exemplo 1: Obter uma amostra representativa, de 10%, de uma população de 200 alunos de uma escola. Numerar os alunos de 1 a 200; Escrever os números de 1 a 200 em pedaços de papel e colocá-los em uma urna; Retirar 20 pedaços de papel, um a um, da urna, formando a amostra da população. Já a amostragem sistemática é uma forma simplificada de amostragem aleatória simples, em que a retirada dos elementos para compor a amostra é feita periodicamente. A seleção dos elementos que comporão a amostra pode ser feita por um sistema criado pelo pesquisador. Exemplo 2: Em um processo de produção, no qual se deseja executar o controle de qualidade, podemos tomar uma peça para compor a amostra em cada x peças produzidas. A amostragem estratificada é utilizada quando a população possui características que permitem a criação de subconjuntos ou estratos. Exemplos de populações divididas em estratos: Gênero (homem e mulher); Idade (criança, adolescente, adulto e idoso); Setores de uma empresa (administração, vendas, tesouraria, serviços gerais etc.); Faixa salarial (até 1, de 1 a 2, de 2 a 4 e acima de 4 salários-mínimos). 20 Como a população se divide em subconjuntos, convém que o sorteio dos elementos leve em consideração tais divisões, para que os elementos da amostra sejam proporcionais ao número de elementos desses subconjuntos. Exemplo 3: Ao realizar uma pesquisa numa universidade, temos que a população é formada por alunos, professores e colaboradores. Ao realizar a composição da amostra, levamos em consideração estes subconjuntos e o percentual de cada um para compor a amostra, ou seja, os alunos representam 70% de nossa população, ou seja, 70% da amostra será formada por alunos. Utilizamos a amostragem por conglomerados quando a identificação dos elementos da população é extremamente difícil, porém pode ser relativamente fácil dividir a população em conglomerados (subgrupos) heterogêneos representativos da população global. Exemplos de conglomerados: quarteirões, famílias, organizações, agências e edifícios.Exemplo 4: Estudar a população de uma cidade, dispondo apenas do mapa dos quarteirões da cidade. Para realizar o estudo estatístico sobre a cidade, realizaremos os seguintes procedimentos: Numerar os quarteirões de 1 a n; Escrever os números de 1 a n em pedaços de papel e colocá-los em uma urna; 21 Retirar um pedaço de papel da urna e realizar o estudo sobre os elementos do conglomerado selecionado. Para amostragem não probabilística podemos citar a amostragem intencional, voluntária e acidental. A amostragem intencional é realizada de acordo com determinado critério. É escolhido intencionalmente um grupo de elementos que comporão a amostra. O pesquisador se dirige intencionalmente a grupos de elementos dos quais deseja saber a opinião. Exemplo 5: Em uma pesquisa sobre preferência por determinado cosmético, o pesquisador entrevista os frequentadores de um grande salão de beleza. Na amostragem voluntária, os elementos da população se oferecem voluntariamente para fazer parte da amostra sem a interferência do pesquisador. Já na amostragem acidental a formação da amostra ocorre por aqueles elementos que vão aparecendo. Este método é geralmente utilizado em pesquisas de opinião, nas quais os entrevistados são acidentalmente escolhidos. Normalmente esta técnica é utilizada em pesquisas de opinião realizadas em praças públicas e ruas movimentadas de grandes cidades TROCANDO IDEIAS Verificamos nesta aula diferentes técnicas utilizadas em pesquisas por amostragem. Você já participou de alguma pesquisa que utilizou alguma das técnicas citadas? Que pesquisa foi esta? NA PRÁTICA As distribuições de probabilidades podem ser utilizadas em várias situações. A distribuição binomial pode ser utilizada na escolha entre um produto bom ou defeituoso. A distribuição de Poisson pode ser utilizada em chamadas telefônicas por unidade de tempo e defeitos por unidade de área. Já a distribuição normal é uma das distribuições mais utilizadas e importantes, constituindo a base teórica de toda inferência estatística, e pode ser utilizada em diferentes áreas. 22 A seguir apresentamos alguns exemplos, artigos e textos sobre a utilização da distribuição normal na área financeira: Finanças e investimentos: <http://walterforte.blogspot.com.br/2010/04/distribuicao-normal-tambem- conhecida.html>. Análise de risco: <http://www.palisade-br.com/risk/risk_analysis.asp>. Em pesquisas podemos utilizar o estudo por amostragem e, por meio das técnicas, encontrar resultados que auxiliam na tomada de decisões. Verificamos diferentes técnicas que estão presentes em diversas pesquisas que realizamos ou participamos em nosso dia a dia. Vejamos casos de utilização de amostragem: Amostragem em auditoria: <http://auditoriaemfoco.blogspot.com.br/2011/05/amostragem-em- auditoria.html> Aplicação de técnicas em auditoria de fluxo de caixa: um estudo de caso: <http://dvl.ccn.ufsc.br/congresso/anais/2CCF/20080718204230.pdf>. FINALIZANDO Nesta aula apresentamos as principais distribuições de probabilidades: binomial, de Poisson e normal; os principais conceitos envolvendo inferência estatística, e algumas técnicas de amostragem. REFERÊNCIAS CASTANHEIRA, N. P. Estatística aplicada a todos os níveis. Curitiba: InterSaberes, 2010. LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2004. MARTINS, G. de A. Estatística geral e aplicada. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2010. MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade e inferência. São Paulo, Pearson, 2010
Compartilhar