Aula 3 Pesquisa Operacional

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EAD 350EAD 350
Pesquisa OperacionalPesquisa Operacional
Aula 03Aula 03
Prof. Hiroo Takaoka
takaoka@usp.br
FEA/USP
Hipóteses do Modelo PLHipóteses do Modelo PLHipóteses do Modelo PLHipóteses do Modelo PL
• Proporcionalidade: a contribuição de cada atividade 
(xj) ao valor da função objetivo Z e para o consumo de 
recursos bi é proporcional ao seu valor (parâmetros cj e 
aij)
• Aditividade: toda função em um modelo PL é a soma 
das contribuições individuais das diversas atividades
• Divisibilidade: as variáveis de decisão (xj) em um 
modelo de PL podem assumir quaisquer valores, 
inclusive valores não inteiros
• Certeza: o valor atribuído a cada parâmetro (cj, aij, bi) 
são assumidos constantes e certos (é um modelo 
determinístico)
Estrutura Típica de um Modelo de Estrutura Típica de um Modelo de 
Programação Linear (PL)Programação Linear (PL)
Estrutura Típica de um Modelo de Estrutura Típica de um Modelo de 
Programação Linear (PL)Programação Linear (PL)
Z = c1x1+...+cjxj+...+cnxn
bi
xj  0 
onde xj são variáveis de decisão
com j=1, ... , n e i=1, ... , m
Max
ou
Min
Função
Objetivo
Restrições

=

ai1x1+ ai2x2+...+ainxn
Análise de “PósAnálise de “Pós--Ótimo”Ótimo”Análise de “PósAnálise de “Pós--Ótimo”Ótimo”
• Análise Qualitativa / Verificação Gerencial dos 
Resultados
• Preços Sombra
• Análise de Sensibilidade da Programação Linear
• Programação Linear Paramétrica (realizada por 
meio de softwares de simulação)
Preços SombraPreços SombraPreços SombraPreços Sombra
• Os valores bi (quantidades máximas de recursos) 
podem ter sido definidos a partir de valores iniciais, 
mas com possível flexibilidade.
• Parte dos valores bi então poderia ser alterada 
(aumentando o consumo de recursos) se houver 
justificativa econômica para isso.
• O preço sombra para o recurso bi mede o valor 
marginal desse recurso, isso é, a taxa em que Z 
(função objetivo) poderia ser aumentada elevando-se 
ligeiramente o valor de bi (uma unidade).
ii
i b
Z
b
Zy






Análise de Sensibilidade da P.O.Análise de Sensibilidade da P.O.Análise de Sensibilidade da P.O.Análise de Sensibilidade da P.O.
• Trata-se de verificar se variações nos valores dos 
parâmetros cj podem modificar a solução ótima
• Para essa análise utilizando o gráfico, considere 
que duas retas são paralelas se elas tiverem o 
mesmo coeficiente angular.
• No caso da Reta Z, reescrevendo em função de X2, 
o coeficiente angular é:
1
2
1
2
2 Xc
c
c
ZX 
2
1
c
c

2211 XcXcZ 
coeficiente angular
O preço sombra deve ser 
analisado considerando-se uma 
restrição limitante por vez, e: i
i b
Zy


Preço Sombra Preço Sombra –– Exemplo 1Exemplo 1Preço Sombra Preço Sombra –– Exemplo 1Exemplo 1
         










 
 
41 X
122 2 X
X2
X1
1823 21  XX
A
B C
D
E
(Fábrica 1)
(Fábrica 2)
(Fábrica 3)
36Z
C (2;6)
         










 
 
122 2 X
X2
X1
A
B C
D
E
(b2=12)36Z
C
?´Z C´ (?;?)B´
132 2 X (b2'=13)
O preço sombra deve ser 
analisado considerando-se uma 
restrição limitante por vez, e: i
i b
Zy



Resolvendo para C´:
0X1 + 2X2 = 13
3X1 + 2X2 =18
2X2 = 13  X2 = 13/2
3X1 + 2(6,5) = 18 
X1 = (18 -13)/3 = 5/3
Z´ = 3X1 + 5X2 = 3 (5/3)+ 5 (13/2) = 37,5 
2
2 b
Zy



5,37´Z
C´ (5/3;6,5)B´
5,1
1213
365,37
2
2 





b
Zy
Preço Sombra Preço Sombra –– Exemplo 1Exemplo 1Preço Sombra Preço Sombra –– Exemplo 1Exemplo 1
Preço sombra
Preço Sombra de Fábrica 2
1823 21  XX
(Fábrica 3)
(Fábrica 2)
         










 
 X2
X1
A
B C
D
E
36Z
C
182 2 X (b2'=18)
Preço Sombra Preço Sombra –– Exemplo 1Exemplo 1Preço Sombra Preço Sombra –– Exemplo 1Exemplo 1 Limites de Validade da AnáliseLimites de Validade da Análise
F
62 2 X (b2'=6)
A restrição pode ser deslocada até os pontos
F(0; 9) e D(4, 3)
6 < Fábrica 2 < 18
122 2 X (b2=12)
Preço Sombra de Fábrica 2
O preço sombra deve ser 
analisado considerando-se uma 
restrição limitante por vez, e: i
i b
Zy


Preço Sombra Preço Sombra –– Exemplo 1Exemplo 1Preço Sombra Preço Sombra –– Exemplo 1Exemplo 1
         










 
 
1923 21  XX (b´3= 19)
X2
X1
1823 21  XX
A
B C
D
E
(b3= 18)
36Z
C C´ (?;?)
?Z
Resolvendo para C´:
0X1 + 2X2 = 12
3X1 + 2X2 =19
2X2 = 12  X2 = 6
3X1 + 2(6) =19 
X1 = (19-12)/3 = 7/3
Z´= 3X1 + 5X2 = 3 (7/3)+5 (6) = 37 
1
1819
3637
3
3 





b
Zy
Preço sombra
37´Z
122 2 X
Preço Sombra de Fábrica 3
(Fábrica 2)
(Fábrica 3)
Preço Sombra Preço Sombra –– Exemplo 1Exemplo 1Preço Sombra Preço Sombra –– Exemplo 1Exemplo 1
X2
X1
1823 21  XX
A
B C
D
E
(b3=18)
36Z
C
Limites de Validade da AnáliseLimites de Validade da Análise
H
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2423 21  XX (b´3=24)
A restrição pode ser deslocada até os pontos
B(0; 6) e H(4; 6).
12 < Fábrica 3 < 24
1223 21  XX (b´3=12)
Preço Sombra de Fábrica 2
Exemplo 1 Exemplo 1 –– WyndorWyndor GlassGlass Co.Co.Exemplo 1 Exemplo 1 –– WyndorWyndor GlassGlass Co.Co.
Análise de Sensibilidade
(12 – 6) < Fábrica 2 < (12 + 6) --> 6 < Fábrica 2 < 18
(18 – 6) < Fábrica 3 < (18 + 6) --> 12 < Fábrica 3 < 24
Análise de Sensibilidade da P.O.Análise de Sensibilidade da P.O.Análise de Sensibilidade da P.O.Análise de Sensibilidade da P.O.
• Trata-se de verificar se variações nos valores dos 
parâmetros ci podem modificar a solução ótima
• Para essa análise utilizando o gráfico, considere 
que duas retas são paralelas se elas tiverem o 
mesmo coeficiente angular
• No caso da Reta Z, reescrevendo em função de X2, 
o coeficiente angular é:
1
2
1
2
2 Xc
c
c
ZX 
2
1
c
c

2211 XcXcZ 
coeficiente angular
         










 
 X2
Análise de Sensibilidade Análise de Sensibilidade Análise de Sensibilidade Análise de Sensibilidade 
X1
1823 21  XX
A
B C
D (4,3)
E
122 2 X (Fábrica 2)
(Fábrica 3)
C (2;6)
36Z
Z = 3X1 + 5X2
X2 = Z/5 -3/5 X1
C1=3 ; C2 = 5
         










 
 X2
X1
1823 21  XX
A
B C
E
122 2 X (Fábrica 2)
(Fábrica 3)
C (2;6)
51Z
Z = 9X1 + 5X2
X2 = Z/5 - 9/5 X1
C1=9 ; C2 = 5
D (4,3)
Imaginando uma 
situação em que 
C1 tivesse outro 
valor: 
A pergunta da análise de 
sensibilidade é então: quais 
os limites para o valor de C1
(e C2) que ainda manteriam a 
mesma solução (X1=2; X2=6)
Análise de Sensibilidade Análise de Sensibilidade Análise de Sensibilidade Análise de Sensibilidade 
         










 
 X2
Análise de Sensibilidade Análise de Sensibilidade Análise de Sensibilidade Análise de Sensibilidade 
X1
1823 21  XX
A
B C
D
E
(Fábrica 3)
C (2;6)
12 2
3
2
18 XX 
a) “Girando” no sentido horário, a 
reta limite será a da Fábrica 3
Ou seja, o coef. Angular é -3/2
No limite, teremos as duas retas (Z e 
fábrica 3) praticamente paralelas e 
os coef. angulares muito próximos
2
3
2
1 
c
c
12 5
3
5
XZX 
Ou seja, o coef. 
angular é: -3/5
ou
2
1
c
c

122 2 X (Fábrica 2)
Verificam-se os limites de “rotação” para a 
reta Z, considerandoas retas limite e 
variando os parâmetros ci um de cada vez
Segue-se que: 
5,7
2
3
5 1
1  cc
2
2
33
2
2
 c
c
X2
Análise de Sensibilidade Análise de Sensibilidade Análise de Sensibilidade Análise de Sensibilidade 
X1
A
B C
D
E         










 
 
122 2 X (Fábrica 2)
1823 21  XX (Fábrica 3)
C (2;6)
b) “Girando” agora no sentido 
anti-horário, a reta limite será a 
da Fábrica 2
Verificam-se os limites de “rotação” para a 
reta Z, considerando as retas limite e 
variando os parâmetros ci um de cada vez
12 5
3
5
XZX 
Ou seja, o coef. 
angular é: -3/5
ou
2
1
c
c

         










 
 X2
Análise de Sensibilidade Análise de Sensibilidade Análise de Sensibilidade Análise de Sensibilidade 
X1
A
B C
D
E
C (2;6)
b) “Girando” agora no sentido 
anti-horário, a reta limite será a 
da Fábrica 2
12 02
12 XX 
Ou seja, o coeficiente angular é 0
No limite, teremos as duas retas (Z 
e fáb. 2) paralelas e os coeficientes 
angulares muito próximos
0
2
1 
c
c
122 2 X (Fábrica 2)
Segue-se que: 
01 c 2ce
12 5
3
5
XZX 
Ou seja, o coef. 
angular é: -3/5
ou
2
1
c
c

Verificam-se os limites de “rotação” para a 
reta Z, considerando as retas limite e 
variando os parametros ci um de cada vez
1823 21  XX (Fábrica 3)
         










 
 X2
Análise de Sensibilidade Análise de Sensibilidade Análise de Sensibilidade Análise de Sensibilidade 
X1
1823 21  XX
A
B C
D
E
122 2 X (Fábrica 2)
(Fábrica 3)
C (2;6)
Sintetizando os limites da 
análise de sensibilidade:
A solução permanece 
inalterada enquanto
2
150 1  c  22 ce
Exemplo 1 Exemplo 1 –– WyndorWyndor GlassGlass Co.Co.Exemplo 1 Exemplo 1 –– WyndorWyndor GlassGlass Co.Co.
Análise de Sensibilidade
(12 – 6) < Fábrica 2 < (12 + 6) --> 6 < Fábrica 2 < 18
(18 – 6) < Fábrica 3 < (18 + 6) --> 12 < Fábrica 3 < 24
(3 – 3) < C1 < (3 + 4,5) --> 0 < C1 < 7,5
(5 – 3) < C2 < (5 + ∞) --> 2 < C2 < ∞
Atividade Atividade 3 3 –– Exercício Exercício G G para 16/03 (para 16/03 (aula será no Lab. aula será no Lab. InformaticaInformatica))
Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando os cálculos , no início da aula, apresentando os cálculos 
realizadosrealizados
Atividade Atividade 3 3 –– Exercício Exercício G G para 16/03 (para 16/03 (aula será no Lab. aula será no Lab. InformaticaInformatica))
Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando os cálculos , no início da aula, apresentando os cálculos 
realizadosrealizados
• Uma empresa pretende fabricar dois produtos, A e B. O volume de vendas de 
A será de no mínimo 80% do total de vendas de ambos (A e B). Contudo, a 
empresa não poderá vender mais do que 100 unidades de A por dia. Ambos 
os produtos usam uma matéria prima cuja disponibilidade máxima diária é 
240 quilos. As taxas de utilização da matéria prima são 2 quilos por unidade 
de A e 4 quilos por unidade de B. Os preços unitários de venda estimados 
pelo departamento de marketing para A e B são $20 e $ 50 respectivamente. 
Determine o mix de produto que otimize o faturamento da empresa .
• Questões
– Elabore o modelo de PL para o problema descrito.
– Determine a solução pelo método gráfico.
– O departamento de marketing estima que há uma margem de erro de 
20% para mais ou menos em relação aos preços unitários estimados. A 
solução encontrada é robusta relativamente a essa margem de erro? 
Porque sim ou porque não? (para esse item, é necessário fazer a análise 
de sensibilidade para os parâmetros da função Z)
Uma empresa de engenharia está considerando o tempo disponível de 
máquinas para a produção de três produtos:
1, 2 e 3. As horas requeridas para cada unidade de produto
e o tempo disponível em uma semana por máquina são:
Máquina 1 2 3
Tempo
horas/semana
Produto
A 4 h 1 h 1,5 h 100 h
B 2 h 1,5 h - 50 h
C 1 h - 0,5 h 25 h
Os produtos 1 e 2 podem ser vendidos em qualquer quantidade,
mas o produto 3 pode ser vendido até no máximo 10 unidades
por semana. O lucro unitário é de R$10, R$3 e R$4 para os produtos 1, 2 e 3 
respectivamente. Qual será o mix de produtos que a empresa deve fabricar para 
obter o lucro máximo?
Atividade Atividade 33 –– Exercício F para Exercício F para 16/03 (16/03 (aula aula será será no no LabLab. . InformaticaInformatica))
Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando os cálculos , no início da aula, apresentando os cálculos 
realizadosrealizados
Atividade Atividade 33 –– Exercício F para Exercício F para 16/03 (16/03 (aula aula será será no no LabLab. . InformaticaInformatica))
Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando os cálculos , no início da aula, apresentando os cálculos 
realizadosrealizados
• A Reddy Mikks produz tintas para interiores e exteriores, com base em 
duas matérias primas (M1 e M2), de acordo com a tabela abaixo
• Uma pesquisa de mercado indica que a oferta máxima diária de tinta 
para interiores não pode ultrapassar a de tinta para exteriores em mais 
de uma tonelada (1t)
• A demanda máxima de tinta para interiores é 2 toneladas (2 t)
A) Formule o modelo de PL para esse problema
B) Resolva o problema pelo método gráfico.
C) Calcule preços sombra.
Atividade Atividade 3 3 –– Exercício B para Exercício B para 16/03 16/03 
Entregar Entregar em papelem papel, , individualindividual, no início da , no início da 
aula, apresentando os cálculos realizadosaula, apresentando os cálculos realizados
Atividade Atividade 3 3 –– Exercício B para Exercício B para 16/03 16/03 
Entregar Entregar em papelem papel, , individualindividual, no início da , no início da 
aula, apresentando os cálculos realizadosaula, apresentando os cálculos realizados
Matéria PrimaMatéria Prima
Consumo de Matéria PrimaConsumo de Matéria Prima
por Tonelada de Tinta por Tonelada de Tinta 
Disponibilidade Disponibilidade 
Diária de Matéria Diária de Matéria 
Prima por DiaPrima por Dia
(Tonelada)(Tonelada)
Tinta paraTinta para
ExterioresExteriores
Tinta paraTinta para
InterioresInteriores
M1M1 66 44 2424
M2M2 11 22 66
Lucro por Lucro por 
ToneladaTonelada 55 44
X1
Edmundo adora bifes e batatas. Assim, decidiu entrar em dieta regular 
usando somente esses alimentos. Ele percebe que essa não é a dieta mais 
saudável e, portanto, quer certificar-se de que se alimenta das quantidades 
certas desses dois tipos de alimentos, a fim de atender a determinados 
requisitos nutricionais. Ele obteve as seguintes informações nutricionais e de 
custos, e quer determinar o número de porções diárias de cada alimento 
(pode ser fracionários) que atenderá a essas exigências a um custo mínimo.
A) Formule o modelo de PL para esse problema
B) Resolva o problema pelo método gráfico.
C) Calcule preços sombra. (Hillier e Lieberman, 2010) 
Atividade Atividade 3 3 –– Exercício C para Exercício C para 16/03 16/03 
Entregar Entregar em papelem papel, , individual,individual, no início da no início da 
aula, apresentando os cálculos realizadosaula, apresentando os cálculos realizados
Atividade Atividade 3 3 –– Exercício C para Exercício C para 16/03 16/03 
Entregar Entregar em papelem papel, , individual,individual, no início da no início da 
aula, apresentando os cálculos realizadosaula, apresentando os cálculos realizados
IngredienteIngrediente
Ingredientes por Grama em cada Ingredientes por Grama em cada 
PorçãoPorção Exigências DiáriasExigências Diárias
(Gramas)(Gramas)
Bife Bife BatataBatata
CarboidratosCarboidratos 55 1515 >> 5050
ProteínasProteínas 2020 55 >> 4040
GorduraGordura1515 22 << 6060
Custo por PorçãoCusto por Porção US$4US$4 US$2US$2
Programação da Produção Programação da Produção –– Usando ExcelUsando ExcelProgramação da Produção Programação da Produção –– Usando ExcelUsando Excel
Uma pequena manufatura produz dois modelos, Standard 
e Luxo, de um certo produto. Cada unidade do modelo 
Standard requer 3 horas de polimento e 1 hora de pintura. 
Cada unidade do modelo Luxo exige 1 hora de polimento 
e 4 horas de pintura. A fábrica dispõe de 2 polidores, 
numa base de 40 horas semanais e de um pintor, numa 
base de 20 horas semanais. As margens de lucro são 
R$24,00 e R$32,00, respectivamente, para cada unidade 
de Standard e Luxo. Não existem restrições de demanda 
para ambos os modelos. Encontre a produção semanal 
que maximize o lucro do fabricante. 
Programação da Produção Programação da Produção –– Usando ExcelUsando ExcelProgramação da Produção Programação da Produção –– Usando ExcelUsando Excel
Max Z = 24x1 + 32x2
xj0 j=1, 2
Função Objetivo
Restrições
(1) 3x1 + 1x2  80
Horas por semana 
para polimento
Horas por semana 
para pintura
Variáveis Decisórias
(2) 1x1 + 4x2  20
x1: quantidade a ser produzida de Standard por semana
x2: quantidade a ser produzida de Luxo por semana
Planilha Planilha Planilha Planilha 
Coeficientes de
restrições 
Totais de recursos
necessários
Totais de recursos
disponíveis
Valor
ótimo
Coeficientes da 
função objetiva
Variáveis
decisórias
FórmulasFórmulasFórmulasFórmulas
Coeficientes de
restrições 
Totais de recursos
necessários
Totais de recursos
disponíveis
Valor
ótimo
Coeficientes da 
função objetiva
Variáveis
decisórias
Função SOMARPRODUTOFunção SOMARPRODUTOFunção SOMARPRODUTOFunção SOMARPRODUTO
Função
Multiplica os componentes correspondentes nas 
matrizes fornecidas e retorna a soma destes produtos.
Sintaxe
SOMARPRODUTO(matriz1;matriz2)
Comentários
Os argumentos da matriz devem ter a mesma 
dimensão. Se não tiverem, SOMARPRODUTO 
fornecerá o valor de erro #VALOR!. 
SOMARPRODUTO trata as entradas da matriz não 
numéricas como se fossem zeros. 
Função SOMARPRODUTOFunção SOMARPRODUTOFunção SOMARPRODUTOFunção SOMARPRODUTO
• Exemplo
=B3*B4+C3*C4
=$B$3*B6+$C$3*C6
=$B$3*B7+$C$3*C7
Parâmetros do SolverParâmetros do SolverParâmetros do SolverParâmetros do Solver
Função objetiva
Max ou Min
Variáveis de decisão
Restrições
Botão de opções
Parâmetros do Solver Parâmetros do Solver -- RestriçõesRestriçõesParâmetros do Solver Parâmetros do Solver -- RestriçõesRestrições
Valor do Lado Esquerdo (LE) Valor do Lado Direito (LD)
Opções do SolverOpções do SolverOpções do SolverOpções do Solver
Resultados do SolverResultados do SolverResultados do SolverResultados do Solver
Valor ótimoVariáveis decisórias
Relatório de SensibilidadeRelatório de SensibilidadeRelatório de SensibilidadeRelatório de Sensibilidade
Elaborando a PL com o EXCELElaborando a PL com o EXCEL
(Exemplo 1 (Exemplo 1 –– WyndorWyndor GlassGlass Co.)Co.)
Elaborando a PL com o EXCELElaborando a PL com o EXCEL
(Exemplo 1 (Exemplo 1 –– WyndorWyndor GlassGlass Co.)Co.)
(Hillier e Lieberman, 2010) 
Modelo Matemático
Função Objetivo
Max Z (lucro)= 3X1 + 5X2
Sujeito à (restrições):
1X1 + 0X2 <= 4
0X1 + 2X2 <= 12
3X1 + 2X2 <=18
X1, X2 >= 0
Variáveis Decisórias
X1- Quantidade de Produto 1
X2- Quantidade de Produto 2
Elaborando a PL com o EXCELElaborando a PL com o EXCEL
(Exemplo 1 (Exemplo 1 –– WyndorWyndor GlassGlass Co.)Co.)
Elaborando a PL com o EXCELElaborando a PL com o EXCEL
(Exemplo 1 (Exemplo 1 –– WyndorWyndor GlassGlass Co.)Co.)
Elaborando a PL com o EXCELElaborando a PL com o EXCEL
(Exemplo 1 (Exemplo 1 –– WyndorWyndor GlassGlass Co.)Co.)
Elaborando a PL com o EXCELElaborando a PL com o EXCEL
(Exemplo 1 (Exemplo 1 –– WyndorWyndor GlassGlass Co.)Co.)
Elaborando a PL com o EXCELElaborando a PL com o EXCEL
(Exemplo 1 (Exemplo 1 –– WyndorWyndor GlassGlass Co.)Co.)
Elaborando a PL com o EXCELElaborando a PL com o EXCEL
(Exemplo 1 (Exemplo 1 –– WyndorWyndor GlassGlass Co.)Co.)
Elaborando a PL com o EXCELElaborando a PL com o EXCEL
(Exemplo 1 (Exemplo 1 –– WyndorWyndor GlassGlass Co.)Co.)
Elaborando a PL com o EXCELElaborando a PL com o EXCEL
(Exemplo 1 (Exemplo 1 –– WyndorWyndor GlassGlass Co.)Co.)
Um fabricante deseja maximizar a receita bruta de vendas de ligas de 
metal. A tabela abaixo ilustra as composições das ligas, seus preços e as 
limitações na disponibilidade de matéria-prima.
Itens/
Atividades
Liga
tipo A
Liga
tipo B
Matéria-prima
disponível
Cobre 2 1 16
Zinco 1 2 11
Chumbo 1 3 15
Preço unitário
de venda R$30 R$50
Exercício A Exercício A –– Preço SombraPreço SombraExercício A Exercício A –– Preço SombraPreço Sombra
Realize a análise de pós-ótimo para o exercício, calculando os 
preços-sombra para os recursos limitados
Análise pós Ótimo Análise pós Ótimo –– Exemplo AExemplo AAnálise pós Ótimo Análise pós Ótimo –– Exemplo AExemplo A
Função Objetivo
Max Z = 30x1 + 50x2
Restrições
2x1 + x2 < 16 Cobre
x1 + 2x2 < 11 Zinco
x1 + 3x2 < 15 Chumbo
x1, x2 > 0
5
10
15
5 10 15
A
B
C
D
E
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
Chumbo: x1 + 3x2 < 15
x2
x1
F
G
Z = 30x1 + 50x2
Z = 310
O ponto D (7; 2) é o ponto de máximo.
As coordenadas (x1=7; x2=2) podem ser 
verificadas graficamente
Ou, podem ser obtidas a partir da 
solução do par de equações das retas 
limites das restrições de Cobre e Zinco:
x1 + 2x2 = 11 (Zn)
2x1 + x2 = 16 (Cu)
Preço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício APreço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício A
Preço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício APreço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício A
5
10
15
5 10 15
A
B
C
D
E
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
x2
x1
F
G
(Cu) 162
(Zn) 112
21
21


xx
xx
Preço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício APreço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício A
5
10
15
5 10 15
A
B
C
D
E
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
x2
x1
F
G
(Cu) 162
(Zn) 112
21
21


xx
xx Restrição Zinco
5
10
15
5 10 15
A
B
C
D
E
x2
x1
F(6,6; 2,8)
G(11; 0)
33,2331033,333'
33,333)67,2(50)67,6(30'
67,2
3
8;67,6
3
20
(Cu) 162
(Zn) 122
21
21
21





ZZZ
Z
xx
xx
xx Restrição Zinco
Preço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício APreço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício A
Zinco: x1 + 2x2 < 11
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 12
Preço Sombra
5
10
15
5 10 15
A
B
C
D
E
x2
x1
F(6, 7; 2, 7)
G(11; 0)
A restrição pode ser 
deslocada entre os pontos
F(6,7; 2,7) e E(8; 0).
8 < zinco < 12,2
Preço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício APreço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício A
Zinco: x1 + 2x2 < 11
Cobre: 2x1 + x2 < 16 Limites de Validade da AnáliseLimites de Validade da Análise
5
10
15
5 10 15
A
B
C
D
E
x2
x1
F
Restrição Cobre
G
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Preço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício APreço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício A
(Cu) 162
(Zn) 112
21
21


xx
xx
Zinco: x1 + 2x2 < 11
5
10
15
5 10 15
A
B
C
D
E
x2
x1
F(6,6; 2,8)
G(11; 0)
33,331033,313'
33,313)66,1(50)66,7(30'
67,1
3
5;67,7
3
23
172
112
21
21
21





ZZZ
Z
xx
xx
xx
Restrição Cobre
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
Preço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício APreçoSombra Preço Sombra –– Exercício AExercício A
Preço Sombra
Cobre: 2x1 + x2 < 17
5
10
15
5 10 15
A
B
C
D
E
x2
x1
F
G
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
Limites de Validade da AnáliseLimites de Validade da Análise
Preço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício APreço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício A
5
10
15
5 10 15
A
B
C
D
E
x2
x1
F
G
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
Limites de Validade da AnáliseLimites de Validade da Análise
Preço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício APreço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício A
5
10
15
5 10 15
A
B
C
D
E
x2
x1
F
G
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
D´
Limites de Validade da AnáliseLimites de Validade da Análise
Preço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício APreço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício A
5
10
15
5 10 15
A
B
C
D
E
x2
x1
F
G
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
D´
Limites de Validade da AnáliseLimites de Validade da Análise
Preço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício APreço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício A
5
10
15
5 10 15
A
B
C
D
E
x2
x1
F
G
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
D´
Limites de Validade da AnáliseLimites de Validade da Análise
Preço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício APreço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício A
5
10
15
5 10 15
A
B
C
D
E
x2
x1
F
G
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
D´
0;11
0 
112
21
2
21



xx
x
xx
No ponto G:
(Cobre) 22
2201122
1
21


b
xx
Substituindo os valores na 
restrição do Cobre:
Limites de Validade da AnáliseLimites de Validade da Análise
Preço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício APreço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício A
5
10
15
5 10 15
A
B
C
D
E
x2
x1
F
G
Cobre: 2x1 + x2 < 16
D´
4;3
153
112
21
21
21



xx
xx
xx
No ponto C:
Chumbo: x1 + 3x2 < 15
Zinco: x1 + 2x2 < 11
(Cobre) 10
104322
1
21


b
xx
Substituindo os valores na 
restrição do Cobre:
Limites de Validade da AnáliseLimites de Validade da Análise
Preço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício APreço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício A
5
10
15
5 10 15
A
B
C
D
E
x2
x1
F(6,6; 2,8)
G(11; 0)
A restrição pode ser 
deslocada até os pontos
C(3; 4) e G(11; 0).
10 < cobre < 22
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
Preço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício APreço Sombra Preço Sombra –– Exercício AExercício A
Limites de Validade da AnáliseLimites de Validade da Análise
Análise de Sensibilidade Análise de Sensibilidade –– Exemplo AExemplo AAnálise de Sensibilidade Análise de Sensibilidade –– Exemplo AExemplo A
5
10
15
5 10 15
A
B
C
D
E
Cobre 2x1 + x2 < 16
x2
x1
F
60
2
130
25
2
1
50
2
2
1
1


c
c
cc
Coeficientes da função objetivo 
quando for paralela à reta 
x1 + 2x2 = 11 (Zn)
Girar até ser 
paralela à reta 
x2 = 11/2 – 1/2 x1
G
Z = 30x1 + 50x2
Z = C1x1 + C2x2
Zinco: x1 + 2x2 < 11
2
1
C
C

2
1
 (Coeficiente angular da restrição Zinco)
Coeficiente angular 
da função objetivo é 
5
10
15
5 10 15
A
B
C
D
E
x2
x1
F
15
1
230
100
1
2
50
2
2
1
1


c
c
cc
Coeficientes da função objetiva quando 
for paralela à reta
2x1 + x2 = 16 (Cu)
Girar até ser 
paralela à reta 
x2 = 16 - 2x1
G
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
Z = 30x1 + 50x2
Z = C1x1 + C2x2
Análise de Sensibilidade Análise de Sensibilidade –– Exemplo AExemplo AAnálise de Sensibilidade Análise de Sensibilidade –– Exemplo AExemplo A
2
1
C
C
 1
2
 (Coeficiente angular da restrição Cobre)
Coeficiente angular 
da função objetivo é 
5
10
15
5 10 15
A
B
C
D
E
x2
x1
F
G
Zinco: x1 + 2x2 < 11
Z = 30x1 + 50x2
Análise de Sensibilidade Análise de Sensibilidade –– Exemplo AExemplo AAnálise de Sensibilidade Análise de Sensibilidade –– Exemplo AExemplo A
Chumbo: x1 + 3x2 < 15
Sintetizando os limites da 
análise de sensibilidade:
A solução permanece 
inalterada enquanto
10025 1  c 6015 2  ce
Análise de Pós Ótimo Análise de Pós Ótimo –– Exemplo AExemplo AAnálise de Pós Ótimo Análise de Pós Ótimo –– Exemplo AExemplo A
Rel. Análise de Sensibilidade –Solver/Excel
Células ajustáveis
Valor Reduzido Objetivo Permissível Permissível
Célula Nome Final Custo Coeficiente Acréscimo Decréscimo
$B$3 Variável decisória x1 7 0 30 70 5
$C$3 Variável decisória x2 2 0 50 10 35
Restrições
Valor Sombra Restrição Permissível Permissível
Célula Nome Final Preço Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo
$D$6 Cobre LE 16 3,333333333 16 6 6
$D$7 Zinco LE 11 23,33333333 11 1,2 3
$D$8 Chumbo LE 13 0 15 1E+30 2
(16 – 6) < Cobre < (16 + 6) --> 10 < Cobre < 22
(11 – 3) < Zinco < (11 + 1,2) --> 8 < Zinco < 12,2
(30 – 5) < C1 < (30 + 70) --> 25 < C1 < 100
(50 – 35) < C2 < (50 + 10) --> 15 < C2 < 60