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Unidade I PESQUISA OPERACIONAL Prof. Mauricio Fanno 1938: convocação de cientistas para a análise de situações militares. Segunda Guerra: alocar recursos escassos nas operações militares. Abordagem científica para resolução de problemas estratégicos e táticos. Equipes multidisciplinares: “O Circo de Blackett”. Pesquisas sobre atividades operacionais militares. Exércitos britânico e americano. Indústria pós-guerra: complexidade. Origens 1948: Massachusetts Institute of Technology – MIT (Estados Unidos). 1945/1970: Idade de ouro, com rápida expansão. Melhoria das técnicas e utilização dos computadores. 1948: Operational Research Club (Inglaterra). 1995: Institute for Operations Research and the Management Sciences (INFORMS). 1969: Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional. Sociedades profissionais Método científico aplicado em diversas áreas. Utilizado para a resolução de problemas. Aplicação de técnicas de modelagem matemática. Procura obter a melhor solução ou solução ótima. Ótimo sob o ponto de vista matemático. Tomada de decisão mais efetiva. Definição Dados estruturados: Formular um modelo quantitativo. Encontrar a solução. Considerar os fatores imponderáveis. Dados parcialmente estruturados: Utilizar modelagem matemática em partes específicas. Dados não estruturados: Análises qualitativas e julgamento. Implantar solução. Situações-problema Definir a situação-problema: Reconhecer a existência de um problema. Transformação em um problema estruturado. Formular um modelo quantitativo: Representar as variáveis do problema por símbolos e relações matemáticas. Processo de solução Resolver e encontrar a melhor solução: Solucionar um modelo de equações/inequações. Considerar os fatores imponderáveis: Estimar o impacto desses fatores. Implementar a solução. Processo de solução Campos de aplicação: análise de investimentos; programação da produção; planejamento estratégico; controle de projetos; alocação de recursos; manutenção de equipamentos; seleção de equipamentos etc. Modelos mais utilizados: programação matemática; teoria das filas; simulação; teoria dos grafos; teoria dos jogos; teoria da decisão; amostragem; séries temporais etc. Campos de aplicação e modelos utilizados Não é característica da Pesquisa Operacional: a) Equipes multidisciplinares. b) Determinação de uma solução ideal. c) Determinação de uma solução ótima. d) Determinação de uma melhor solução, não a melhor situação. e) Conciliar objetivos conflitantes numa organização. Interatividade Resposta Não é característica da Pesquisa Operacional: a) Equipes multidisciplinares. b) Determinação de uma solução ideal. c) Determinação de uma solução ótima. d) Determinação de uma melhor solução, não a melhor situação. e) Conciliar objetivos conflitantes numa organização. Alternativa B. Não é possível obter uma solução única e ideal. Determina-se a solução ótima, ou seja, aquela que melhor atende aos objetivos conflitantes da organização. Equipes multidisciplinares permitem visão mais completa da situação-problema. Representação simplificada de um sistema real, que pode ser um projeto já existente ou um projeto futuro. No primeiro caso, pretende-se reproduzir o funcionamento do sistema real existente, de forma a aumentar a produtividade. No segundo caso, o objetivo é definir a estrutura ideal do futuro sistema. Modelo Elementos Variáveis de Decisão Contínua Discreta Binária Parâmetros Função objetivo Restrições Modelo quantitativo São as incógnitas ou valores desconhecidos que serão determinados pela solução do modelo. As variáveis de decisão devem assumir valores não negativos. Podem ser classificadas de acordo com as seguintes escalas de mensuração: Contínuas. Discretas. Binárias. Variáveis de decisão Podem assumir quaisquer valores em um intervalo de números reais, conjunto infinito ou não enumerável de valores. Exemplos: Quantidade ótima a ser produzida (em litros) de cada tipo de refrigerante em uma empresa de bebidas. Quantidade ótima a fabricar (em kg) de cada tipo de cereal em uma empresa alimentícia. Porcentagens ótimas de cada ativo a ser alocado na carteira de investimento. Variáveis de decisão – Contínuas Podem assumir valores dentro de um conjunto finito ou de uma quantidade enumerável de valores, sendo aquelas provenientes de determinada contagem. Exemplos: Número ideal de funcionários por turno de trabalho. Unidades a fabricar, de cada tipo de caminhão, em uma indústria automobilística. Variáveis de decisão – Discretas Também conhecidas por variáveis dummy, podem assumir dois possíveis valores: 1 (quando a característica de interesse está presente na variável) ou 0 (caso contrário). Exemplos: Fabricar ou não determinado produto. Abrir ou não uma nova localidade. Percorrer ou não determinado roteiro. Variáveis de decisão – Binárias São os valores fixos previamente conhecidos do problema. Exemplos: Demanda de cada produto para um problema de mix de produção. Custo variável para produzir determinado tipo de móvel. Lucro ou custo por unidade de produto fabricado. Custo por funcionário contratado. Margem de contribuição unitária quando da fabricação e venda de determinado produto. Parâmetros Função matemática que determina o valor alvo que se pretende alcançar ou a qualidade da solução em função das variáveis de decisão e dos parâmetros. Pode ser uma função de: Maximização (lucro, receita, utilidade, nível de serviço, riqueza, expectativa de vida, entre outros atributos). Minimização (custo, risco, erro, entre outros). Função objetivo Exemplos: Minimização do custo total de produção de diversos tipos de chocolates. Minimização do risco de crédito de uma carteira de clientes. Minimização do número de funcionários envolvidos em determinado serviço. Maximização do retorno sobre o investimento em fundos de ações de renda fixa. Maximização do lucro líquido na fabricação de diversos tipos de refrigerantes. Função objetivo Conjunto de equações (expressões matemáticas de igualdade) e inequações (expressões matemáticas de desigualdade) que as variáveis de decisão do modelo devem satisfazer. São adicionadas ao modelo de forma a considerar as limitações físicas do sistema e afetam diretamente os valores das variáveis de decisão. Restrições Exemplos: Capacidade máxima de produção. Risco máximo a que determinado investidor está disposto a se submeter. Número máximo de veículos disponíveis. Demanda mínima aceitável de um produto. Restrições Estamos calculando a solução ótima, em termos de produtividade, para a utilização das cinco máquinas de uma linha que produz três diferentes produtos. Não podemos afirmar que: a) A capacidade de produção da máquina A, de 250 toneladas por hora, é um parâmetro. b) Obter a máxima produtividade da linha é a função objeto. c) As capacidades máximas de cada máquina são restrições. d) Considerando que são cinco máquinas, a variável estudada é discreta. e) Existem três variáveis de decisão. Interatividade Estamos calculando a solução ótima, em termos de produtividade, para a utilização das cinco máquinas de uma linha que produz três diferentes produtos. Não podemos afirmar que: a) A capacidade de produção da máquina A, de 250 toneladas por hora, é um parâmetro. b) Obter a máxima produtividade da linha é a função objeto. c) As capacidades máximas de cada máquina são restrições d) Considerando que são cinco máquinas, a variável estudada é discreta. e) Existem três variáveis de decisão. Alternativa D. A variável considerada é a quantidade, em toneladas, de produtos a serem produzidos por máquina, portanto, contínua. Resposta Uma empresa produz doistipos de bolsas para senhoras. A bolsa tipo A utiliza, para ser feita, 8 m2 de couro; 12 m2 de cetim e 3 metros de cordão de seda. A bolsa tipo B utiliza 6 m2 de couro; 9 de cetim e 5 de cordão. A empresa tem disponível o seguinte estoque de matéria prima: 95 m2 de couro; 150 m2 de cetim e 86 metros lineares de cordão. Sabendo que o lucro, por unidade, da bolsa A vendida é de R$ 150,00 e da bolsa B é de R$260,00, modelar o problema para o cálculo do lucro máximo. Exemplo de modelagem: maximização Variáveis de decisão O que se deseja saber é a quantidade de bolsas Tipo A e de bolsas Tipo B que se deve produzir visando auferir lucro máximo. Portanto, as variáveis de decisão são: Exemplo de modelagem: maximização 1 2 x número de bolsas Tipo A x número de bolsas TipoB Parâmetros Dados característicos; Consumos Bolsa Tipo A: Couro: 8 m2; Cetim: 12 m2; Cordão: 3 m. Bolsa Tipo B: Couro: 6 m2; Cetim: 9 m2; Cordão: 5 m. Exemplo de Modelagem. Maximização Estoques: Couro: 95 m2; Cetim: 150 m2; Cordão: 86 m. Lucros unitários: Bolsa Tipo A: $150,00; Bolsa Tipo B: $260,00. Exemplo de modelagem: maximização Função objetivo O objetivo deste cálculo é determinar a quantidade de bolsas de cada tipo a ser produzida, de modo que o lucro seja máximo. A função para o cálculo do lucro é, portanto: Exemplo de modelagem: maximização Restrições As restrições são relativas à limitações dos estoque de materiais: Couro: Cetim: Cordão: Lógica Exemplo de modelagem: maximização A modelagem do exemplo ficou assim, portanto: Sujeita às restrições: A resolução matemática desse sistema de funções e inequações nos revelará os valores das variáveis de decisão. Exemplo de modelagem: maximização Um fabricante de ração deseja produzir, pelo mínimo custo, um determinado tipo de ração, conforme especificação do Ministério da Agricultura. O Ministério especifica apenas 4 nutrientes, A, B, C e D, exigindo que um quilo de ração contenha: No mínimo 120 g de nutriente A; No mínimo 360g do nutriente B; No máximo 360 g do nutriente C; Exatamente 150 g do nutriente D. Exemplo de modelagem: minimização O fabricante dispõe de três alimentos: milho, alfafa e silagem. Cada quilo destes alimentos contém os seguintes pesos dos nutrientes: Sabendo-se que o quilo de milho custa $ 0,50, o de alfafa $ 0,20 e o de silagem $ 0,10, determinar a mistura que proporciona mínimo custo para fabricação da ração especificada. Exemplo de modelagem: minimização Milho Alfafa Silagem A 0,1 0,2 0,1 B 0,4 0,4 0,3 C 0,2 0,2 0,1 D 0,1 0,2 0,1 Outros 0,2 0,4 TOTAL 1,0 1,0 1,0 Variáveis de decisão x= quantidade de milho por quilo de ração; y= quantidade de alfafa por quilo de ração; z= quantidade de silagem por quilo de ração. Parâmetros Os parâmetros na tabela e mais: Quilo de milho custa $ 0,50, o de alfafa $ 0,20 e o de silagem $ 0,10. Exemplo de modelagem: minimização Função objetivo Restrições Nutriente A: 0,1x + 0,2y + 0,1z ≥ 0,12 * Nutriente B: 0,4x + 0,4y + 0,3z ≥ 0,36 Nutriente C: 0,2x + 0,2y + 0,1z ≤ 0,36 Nutriente D: 0,1x + 0,2y + 0,1z = 0,15 * Lógicas Outros nutrientes: 0,2x + 0y + 0,1z ≥ 0 ** x+y+z ≥ 1 Exemplo de modelagem: minimização Quatro produtos de uma empresa passam, no seu processo produtivo, por uma grande máquina que trabalha ininterruptamente durante 576 horas por mês. Cada unidade dos produtos precisa utilizar a máquina por, respectivamente, 4, 2, 8 e 6 horas. Nestas condições, podemos dizer que é restrição no modelo matemático: Interatividade Quatro produtos de uma empresa passam, no seu processo produtivo, por uma grande máquina que trabalha ininterruptamente durante 576 horas por mês. Cada unidade dos produtos precisa utilizar a máquina por, respectivamente, 4, 2, 8 e 6 horas. Nestas condições, podemos dizer que é restrição no modelo matemático: Alternativa A: A soma das utilizações horárias de cada produto está restrita à capacidade total da máquina, de 576 horas. Resposta O cálculo dos sistemas matemáticos pode ser feito por meio de: Método Gráfico; Método Algorítmico (Simplex); Método Computacional (Excel ®). Resolução dos sistemas matemáticos Representação gráfica do modelo quantitativo. Sequência de etapas: Transformar as inequações das restrições em equações; Desenhar, no gráfico, cada equação; Obter o polígono da região permissível; Determinar os pontos extremos do polígono; Encontrar os valores da função objetivo; Escolher a melhor solução para o modelo. Resolução pelo Método Gráfico Uma fábrica produz dois produtos, A e B. Cada um deles deve ser processado por duas máquinas, M1 e M2. Devido à programação de outros produtos, que também utilizam essas máquinas, a máquina M1 tem 24 horas de tempo disponível para os produtos A e B, enquanto a máquina M2 tem 16 horas de tempo disponível. Para produzir uma unidade do produto A, gastam-se 4 horas em cada uma das máquinas M1 e M2. Para produzir uma unidade do produto B, gastam-se 6 horas na máquina M1 e 2 horas na máquina M2. Situação-problema Será produzida, no mínimo, uma unidade de A e de B. Cada unidade vendida do produto A gera um lucro de R$ 80 e cada unidade do produto B, um lucro de R$ 60. Existe uma previsão máxima de demanda para o produto B, de 3 unidades, não havendo restrições quanto à demanda do produto A. Deseja-se saber quantas unidades de A e de B devem ser produzidas, de forma a maximizar o lucro e, ao mesmo tempo, obedecer a todas as restrições desse enunciado. Situação-problema Modelagem Variáveis de decisão x= quantidade de produtos A; y= quantidade de produtos B. Parâmetros Produtos Horas M1 Horas M2 Demanda Lucro (R$) A 4 4 Ilimitada 80 B 6 2 3 60 Horas disponíveis 24 16 Função objetivo Restrições Modelagem Gráfico Restrição I (Máquina M1) Transformar 4x + 6y < 24 em 4x + 6y = 24; Quando x = 0, y = 4 e quando y = 0, x = 6. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y x Região Permissível Gráfico Restrição II (Máquina M2) Transformar 4x + 2y < 16 em 4x + 2y = 16 Quando x = 0, y = 8 e quando y = 0, x = 4 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Região Permissível Gráfico Restrição III (Demanda do produto B) Transformar 0x + 1y < 3 em y = 3; 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Região Permissível Polígono resultante Restrição I Restrição II Restrição II Região permissível final 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Qualquer ponto do polígono vermelho é solução do problema, mas somente um do pontos apresenta lucro máximo. O ponto ótimo está num dos vértices do polígono, porque: Uma aresta usa um recurso ao máximo; Um vértice utiliza dois recursos ao máximo. A solução vem da pesquisa dos vértices. Pontos do polígono resultante Pontos extremos Ponto P x = 0; y = 0 (origem dos eixos) Ponto Q x = 4; y = 0 Ponto T x = 0; y = 3 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Região permissível final Ponto S (restrição I) 4x + 6y = 24 4x + 6(3) = 24 4x = 6 x = 1,5; y = 3 Pontos extremos Região permissível final 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Pontos extremos Ponto R (restrição I e II) 4x + 6y = 24 4x + 2y = 16 Subtrair as equações 0x + 4y = 8 y = 2; x = 3 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Região permissível final Ponto extremo P Q R S T Valor de x 0 4 3 1,5 0 Valor de y 0 0 2 3 3 Função Objetivo (80x+60y)$0 $320 $360 $300 $180 Cálculos da Função Objetivo Solução ótima (maximizar lucro) Solução ótima x = 3; y =2 Lucro = 360 Região permissível final 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Observe a figura ao lado: Acerca dela, é incorreto afirmar que: a) O ponto A representa a solução ótima; b) O ponto A e os pontos em que as restrições cortam os eixos definem, junto com a origem, o polígono de soluções viáveis; c) A área mais escura no gráfico indica os pontos de solução ótima; d) No gráfico aparecem duas restrições; e) A solução ótima é resultado das duas restrições subutilizadas ao máximo. Interatividade Resposta: Alternativa C. Todas as afirmativas estão corretas, com exceção da afirmativa C. A área escura, no polígono de soluções, apresenta as soluções viáveis e não a solução ótima. Resposta ATÉ A PRÓXIMA!
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