EngCivil+ Algebralinear Capitulo+01 SL+e+Matrizes+2018 (3)

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Álgebra Linear
Engenharia Civil – 1º Período
Prof. Me. Sérgio Augusto Amaral Lopes
CURSO:	Engenharia Civil 	 PERÍODO:	1º 
DISCIPLINA:	Álgebra Linear
PROFESSOR: Me. Sérgio Augusto Amaral Lopes
SEMESTRE:1º 	ANO: 2018	CRÉDITOS: 3 h/a	C/H: 60 h/a semestral
EMENTA
Matrizes, determinantes, sistemas lineares. Espaço vetorial. Espaço com produto interno. Transformação linear. 
OBJETIVOS
Introduzir os conceitos básicos de álgebra e suas aplicações aos materiais. 
Capacitar o acadêmico na análise crítica e resolução de problemas concretos e abstratos integrando conhecimentos multidisciplinares.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
UNIDADE 1 – SISTEMA DE EQUAÇOES LINEARES
1.1- Sistema de equações lineares: conceito e operações elementares.
1.2 - Matrizes, determinantes.
1.3 - Matriz inversa. 
UNIDADE 2 – ESPAÇOS VETORIAIS
2.1 – Vetores no plano e espaço. Soma e produtos de vetores.
2.2 – Conceito Espaço Vetorial e Subespaço Vetorial.
2.3 – Combinação Linear, dependência linear e independência linear.
2.4 – Base de um Espaço vetorial e mudança de base. 
UNIDADE 3 – ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO
3.1 – Conceito.
3.2 – Norma, base ortogonal e base ortonormal.
3.3 – Ortogonalização de Gran-Schmidt.
 
UNIDADE 4 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES
4.1 – Conceito.
4.2 – Transformação injetora, bijetora e sobrejetora.
4.3 – Núcleo e imagem de uma transformação linear.
4.4 – Matriz de uma transformação linear.
METODOLOGIA
Aulas expositivas. Listas de Exercícios. Pesquisas Bibliográficas. 
AVALIAÇÃO
 
I Bimestre:
Listas de Exercícios: 30 pontos
Avaliação mensal: 35 pontos 
Avaliação bimestral: 35 pontos
 
II Bimestre:
Listas de Exercícios: 30 pontos 
Avaliação mensal: 35 pontos 
Avaliação bimestral: 35 pontos
Bibliografia Básica:
CALLIOLI, C. A; DOMINGOS, H. H.; COSTA, R.C.F. Álgebra linear e aplicações 6. ed. São Paulo: Atual Editora, 2013.
 
BOLDRINI, J. L.; COSTA, S. I. R; FIGUEIREDO, V. L.; WETZLER, H.G. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Ed.HARBRA, 1987.
 
 
STEINBRUCH, A.; WINTERLE,P. Algebra Linear. São Paulo: McGraw- Hill. 1987.
 
Bibliografia Complementar:
LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1994.
 
SANTOS, N. M. Vetores e Matrizes. Rio de Janeiro: LTC. 1981.
 
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Editora Makron Books, 2000.
 
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2001.
 
 
LIMA, E.L. Geometria analítica e álgebra linear. Rio de Janeiro: SBM-Sociedade Brasileira de Matemática, 2001. 
Atividades - 1ºBimestre
Data
Valor
Avaliação Mensal
15/03
35.0
Avaliação Bimestral
Coordenação
35.0
Total
 
70.0
Atividades - 2ºBimestre
Data
Valor
Avaliação Mensal
24/05
35.0
Avaliação Bimestral
Coordenação
35.0
Total
 
70.0
Capítulo 01
Sistemas Lineares - Matrizes
1.Sistemas Lineares
Exemplo: A terna (1,1,0) é uma solução da equação linear 2x1 – x2 + x3 = 1.
Definição:
Um sistema linear de m equações lineares com n incógnitas (m,n ≥ 1) é um conjunto de m equações lineares, cada uma delas com n incógnitas, consideradas simultaneamente. Um sistema linear se apresenta do seguinte modo:
Obs: Se m = n o sistema linear é dito sistema linear de ordem n.
Uma solução desse sistema é uma n-upla (b1, b2, ... , bn) de números reais que é solução de cada uma das equações do sistema.
Sistema linear homogêneo:
A n-upla (0,0,...,0) é solução deste sistema. Por isso, todo SL homogêneo é compatível e (0,0,...,0) chama-se solução trivial do SL homogêneo.
2. Sistemas Equivalentes:
Seja S um SL de m equações com n incógnitas. São consideradas operações elementares sobre S:
Permutar duas equações de S.
Multiplicar uma das equações de S por um número real λ ≠ 0.
Somar a uma das equações do SL uma outra equação desse sistema multiplicada por um número real.
Se um SL S1 foi obtido de um SL S através de um número finito de operações elementares, dizemos que S1 é equivalente a S ( S1 ~ S). 
Toda solução de S1 também é solução de S. 
3.Sistemas Escalonados
Consideremos um SL de m equações com n incógnitas que tem o seguinte aspecto:
onde α1r1 ≠ 0, α2r2 ≠ 0, ... , αkrk ≠ 0 e cada ri ≥ 1.
Se tivermos 1≤ r1 < r2 < ... < rk ≤ n , diremos que S é um sistema linear escalonado.
 
Exemplo:
Proposição:
Todo sistema linear S é equivalente a um sistema escalonado.
Exemplo: Resolver por escalonamento os seguintes sistemas:
4.Discussão de um Sistemas Linear
Exemplo 01: Classificar os sistemas do exemplo anterior.
Exemplo 02: Determinar o valor de a para que o sistema linear S 
admita uma única solução e determiná-la:
Exemplo 03: Resolver o sistema não linear
5 . MATRIZES
5.1 - Definição:
Uma matriz mxn (lê-se m por n; m, n ∈ IR*) é qualquer tabela de (m X n) números dispostos em m linhas e n colunas.
Há três maneiras de se representar uma matriz:
Em qualquer um desses casos, dizemos que a matriz A é do tipo 3x2, isto é, tem três linhas e duas colunas.
5.2 – Matriz Genérica
5.3 – Matrizes Especiais
Chamamos de matriz quadrada aquela em que o número de linhas e o de colunas são iguais. Quando uma matriz quadrada é do tipo nxn, dizemos simplesmente que ela tem ordem n.
Notação: Mn (IR)
5.4 – Igualdade de Matrizes
Observações:
5.5 – Adição e Subtração de Matrizes
5.6 – Multiplicação de Matrizes por um número real:
5.7 – Multiplicação de Matrizes :
Consideremos duas matrizes, A e B. A multiplicação A · B só estará definida se o número de colunas do primeiro fator, matriz A, for igual ao número de linhas do segundo fator, matriz B. 
A matriz produto tem o número de linhas da 1ª matriz e o número de colunas da 2ª matriz. 
Cada elemento da matriz C é calculado por um processo especial. 
B – Propriedades da Multiplicação de Matrizes :
C – Observações :
Devemos levar em consideração os seguintes fatos:
Exemplos:
Questão 04
(a)Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é simétrica.
(b)Mostre que a soma de duas matrizes antissimétricas é antissimétrica.
5.8 – Matrizes Inversíveis :
Definição:
Uma matriz A de ordem n se diz inversível se, e somente se, existe uma matriz B, também de ordem n, de modo que:
Esta matriz B, caso exista, é única é chama-se inversa de A, indica-se por A-1.
Exemplo:
Observações:
(1º) Se uma linha ( ou coluna) de uma matriz A é nula, então A não é inversível.
(2º) Se A é inversível, então A-1 também o é e vale a seguinte propriedade (A-1)-1 = A.
(3º) Se A e B são matrizes de ordem n, ambas inversíveis, então A.B é inversível.
Exemplo:
Mostre que se A e B são matrizes inversíveis de ordem n, então (A.B)-1 = B-1 .A-1 .
5.8.1 – Processo de determinação da Inversa:
Definição:
Dada uma matriz A entendemos por operações elementares com as linhas de A, uma das seguintes alternativas:
Permutar duas linhas de A;
Multiplicar uma linha de A por um número diferente de zero;
Somar a uma linha de A outra linha de A multiplicada por um número.
Se uma matriz B puder ser obtida de A através de um número finito dessas operações, diz-se que B é equivalente a A e escreve-se B ~ A.
Teorema:
Uma matriz A é inversível se, e somente se, In ~ A. Neste caso, a mesma sucessão de operações elementares que transformam A em In , transformam In em A-1 .
Exemplo:
Fim!