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Álgebra Linear Engenharia Civil – 1º Período Prof. Me. Sérgio Augusto Amaral Lopes CURSO: Engenharia Civil PERÍODO: 1º DISCIPLINA: Álgebra Linear PROFESSOR: Me. Sérgio Augusto Amaral Lopes SEMESTRE:1º ANO: 2018 CRÉDITOS: 3 h/a C/H: 60 h/a semestral EMENTA Matrizes, determinantes, sistemas lineares. Espaço vetorial. Espaço com produto interno. Transformação linear. OBJETIVOS Introduzir os conceitos básicos de álgebra e suas aplicações aos materiais. Capacitar o acadêmico na análise crítica e resolução de problemas concretos e abstratos integrando conhecimentos multidisciplinares. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO UNIDADE 1 – SISTEMA DE EQUAÇOES LINEARES 1.1- Sistema de equações lineares: conceito e operações elementares. 1.2 - Matrizes, determinantes. 1.3 - Matriz inversa. UNIDADE 2 – ESPAÇOS VETORIAIS 2.1 – Vetores no plano e espaço. Soma e produtos de vetores. 2.2 – Conceito Espaço Vetorial e Subespaço Vetorial. 2.3 – Combinação Linear, dependência linear e independência linear. 2.4 – Base de um Espaço vetorial e mudança de base. UNIDADE 3 – ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO 3.1 – Conceito. 3.2 – Norma, base ortogonal e base ortonormal. 3.3 – Ortogonalização de Gran-Schmidt. UNIDADE 4 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES 4.1 – Conceito. 4.2 – Transformação injetora, bijetora e sobrejetora. 4.3 – Núcleo e imagem de uma transformação linear. 4.4 – Matriz de uma transformação linear. METODOLOGIA Aulas expositivas. Listas de Exercícios. Pesquisas Bibliográficas. AVALIAÇÃO I Bimestre: Listas de Exercícios: 30 pontos Avaliação mensal: 35 pontos Avaliação bimestral: 35 pontos II Bimestre: Listas de Exercícios: 30 pontos Avaliação mensal: 35 pontos Avaliação bimestral: 35 pontos Bibliografia Básica: CALLIOLI, C. A; DOMINGOS, H. H.; COSTA, R.C.F. Álgebra linear e aplicações 6. ed. São Paulo: Atual Editora, 2013. BOLDRINI, J. L.; COSTA, S. I. R; FIGUEIREDO, V. L.; WETZLER, H.G. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Ed.HARBRA, 1987. STEINBRUCH, A.; WINTERLE,P. Algebra Linear. São Paulo: McGraw- Hill. 1987. Bibliografia Complementar: LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1994. SANTOS, N. M. Vetores e Matrizes. Rio de Janeiro: LTC. 1981. WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Editora Makron Books, 2000. ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2001. LIMA, E.L. Geometria analítica e álgebra linear. Rio de Janeiro: SBM-Sociedade Brasileira de Matemática, 2001. Atividades - 1ºBimestre Data Valor Avaliação Mensal 15/03 35.0 Avaliação Bimestral Coordenação 35.0 Total 70.0 Atividades - 2ºBimestre Data Valor Avaliação Mensal 24/05 35.0 Avaliação Bimestral Coordenação 35.0 Total 70.0 Capítulo 01 Sistemas Lineares - Matrizes 1.Sistemas Lineares Exemplo: A terna (1,1,0) é uma solução da equação linear 2x1 – x2 + x3 = 1. Definição: Um sistema linear de m equações lineares com n incógnitas (m,n ≥ 1) é um conjunto de m equações lineares, cada uma delas com n incógnitas, consideradas simultaneamente. Um sistema linear se apresenta do seguinte modo: Obs: Se m = n o sistema linear é dito sistema linear de ordem n. Uma solução desse sistema é uma n-upla (b1, b2, ... , bn) de números reais que é solução de cada uma das equações do sistema. Sistema linear homogêneo: A n-upla (0,0,...,0) é solução deste sistema. Por isso, todo SL homogêneo é compatível e (0,0,...,0) chama-se solução trivial do SL homogêneo. 2. Sistemas Equivalentes: Seja S um SL de m equações com n incógnitas. São consideradas operações elementares sobre S: Permutar duas equações de S. Multiplicar uma das equações de S por um número real λ ≠ 0. Somar a uma das equações do SL uma outra equação desse sistema multiplicada por um número real. Se um SL S1 foi obtido de um SL S através de um número finito de operações elementares, dizemos que S1 é equivalente a S ( S1 ~ S). Toda solução de S1 também é solução de S. 3.Sistemas Escalonados Consideremos um SL de m equações com n incógnitas que tem o seguinte aspecto: onde α1r1 ≠ 0, α2r2 ≠ 0, ... , αkrk ≠ 0 e cada ri ≥ 1. Se tivermos 1≤ r1 < r2 < ... < rk ≤ n , diremos que S é um sistema linear escalonado. Exemplo: Proposição: Todo sistema linear S é equivalente a um sistema escalonado. Exemplo: Resolver por escalonamento os seguintes sistemas: 4.Discussão de um Sistemas Linear Exemplo 01: Classificar os sistemas do exemplo anterior. Exemplo 02: Determinar o valor de a para que o sistema linear S admita uma única solução e determiná-la: Exemplo 03: Resolver o sistema não linear 5 . MATRIZES 5.1 - Definição: Uma matriz mxn (lê-se m por n; m, n ∈ IR*) é qualquer tabela de (m X n) números dispostos em m linhas e n colunas. Há três maneiras de se representar uma matriz: Em qualquer um desses casos, dizemos que a matriz A é do tipo 3x2, isto é, tem três linhas e duas colunas. 5.2 – Matriz Genérica 5.3 – Matrizes Especiais Chamamos de matriz quadrada aquela em que o número de linhas e o de colunas são iguais. Quando uma matriz quadrada é do tipo nxn, dizemos simplesmente que ela tem ordem n. Notação: Mn (IR) 5.4 – Igualdade de Matrizes Observações: 5.5 – Adição e Subtração de Matrizes 5.6 – Multiplicação de Matrizes por um número real: 5.7 – Multiplicação de Matrizes : Consideremos duas matrizes, A e B. A multiplicação A · B só estará definida se o número de colunas do primeiro fator, matriz A, for igual ao número de linhas do segundo fator, matriz B. A matriz produto tem o número de linhas da 1ª matriz e o número de colunas da 2ª matriz. Cada elemento da matriz C é calculado por um processo especial. B – Propriedades da Multiplicação de Matrizes : C – Observações : Devemos levar em consideração os seguintes fatos: Exemplos: Questão 04 (a)Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é simétrica. (b)Mostre que a soma de duas matrizes antissimétricas é antissimétrica. 5.8 – Matrizes Inversíveis : Definição: Uma matriz A de ordem n se diz inversível se, e somente se, existe uma matriz B, também de ordem n, de modo que: Esta matriz B, caso exista, é única é chama-se inversa de A, indica-se por A-1. Exemplo: Observações: (1º) Se uma linha ( ou coluna) de uma matriz A é nula, então A não é inversível. (2º) Se A é inversível, então A-1 também o é e vale a seguinte propriedade (A-1)-1 = A. (3º) Se A e B são matrizes de ordem n, ambas inversíveis, então A.B é inversível. Exemplo: Mostre que se A e B são matrizes inversíveis de ordem n, então (A.B)-1 = B-1 .A-1 . 5.8.1 – Processo de determinação da Inversa: Definição: Dada uma matriz A entendemos por operações elementares com as linhas de A, uma das seguintes alternativas: Permutar duas linhas de A; Multiplicar uma linha de A por um número diferente de zero; Somar a uma linha de A outra linha de A multiplicada por um número. Se uma matriz B puder ser obtida de A através de um número finito dessas operações, diz-se que B é equivalente a A e escreve-se B ~ A. Teorema: Uma matriz A é inversível se, e somente se, In ~ A. Neste caso, a mesma sucessão de operações elementares que transformam A em In , transformam In em A-1 . Exemplo: Fim!
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