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Radiac¸a˜o de corpo negro e a formula de Planck
Valery Shchesnovich
F´ısica Quaˆntica 2016-III
Valery Shchesnovich Aula 1: Radiac¸a˜o de corpo negro
Desenvolvimento historico: Radiac¸a˜o de corpo negro
1859. Gustav Kirchoff introduziu o conceito de corpo cuja superf´ıcie consegue absorver toda
radiac¸a˜o recebida, chamado o corpo perfeitamente negro, que no estado de equil´ıbrio te´rmico
emite e absorve radiac¸a˜o em qualquer intervalo de frequeˆncia e com as mesmas taxas
(conceito de corpo negro).
1879. Josef Stefan usou conceitos da termodinaˆmica de Ludwig Boltzmann para explicar as
medic¸o˜es experimentais de radiac¸a˜o emitida de corpos aquecidos e o fato que radiac¸a˜o
emitida em equil´ıbrio na˜o depende do material, mas somente de temperatura (formulado
como Lei de Stefan-Boltzmann).
1893. Wilhelm Wien, usando os dados experimentais, formulou a lei de radiac¸a˜o de corpo
negro que determina a frequeˆncia do ma´ximo no espectro com a temperatura do corpo (lei
de Wien).
1900. Max Planck propoˆs a formula para radiac¸a˜o de corpo negro que depende de uma
constante nova “h”, chamada a constante de Planck.
1905. Albert Einstein propoˆs que radiac¸a˜o e´ emitida e absorvida por quantas de energia (o
termo “fo´ton” foi proposto por G. Lewis em 1925, que erradamente acreditava que os fo´tons
se conservam como, por exemplo, a carga ele´trica).
1924. Satyendra Nath Bose ponderou que fo´tons (bosons) sa˜o, de princ´ıpio, entidades
indistinguiveis e derivou a formula de Planck a partir de abordagem da F´ısica Estat´ıstica
(adotando a lei de Gibbs para esse fim, junto com Einstein propuseram existeˆncia do estado
condensado de mate´ria, o condensado Bose-Einstein, o efeito devido somente a` estat´ıstica
de bosons chamada de Bose-Einstein).
Valery Shchesnovich Aula 1: Radiac¸a˜o de corpo negro
Radiac¸a˜o de corpo negro: A base termodinaˆmica do problema
Ludwig Boltzmann: Equil´ıbrio Te´rmico
como ponto final de evoluc¸a˜o
Gustav Kirchoff: Aplicac¸a˜o ao radiac¸a˜o,
Corpo Negro
Transferencia de calor: por (i)
convec¸a˜o, (ii) conduc¸a˜o, e (iii) radiac¸a˜o
Um modelo de corpo negro: cavidade
com uma abertura pequena (paredes de
cavidade em equil´ıbrio com radiac¸a˜o
no dentro)
Valery Shchesnovich Aula 1: Radiac¸a˜o de corpo negro
Distribuic¸a˜o de velocidades de a´tomos em equil´ıbrio te´rmico de um gas
I. Gas de a`tomos em caixa
Distribuic¸a˜o de Maxwell-Boltzmann
para velocidades de gas
dP(v) = ρ(v)dv (probabilidade)
ρ(v) = 4piv2
(
m
2pikBT
) 3
2
exp
{
− mv
2
2kBT
}
v2 ≡ v2 = v2x + v2y + v2z
kB = 1.38× 10−23
J
K
(constante de Boltzmann)
Valery Shchesnovich Aula 1: Radiac¸a˜o de corpo negro
“Essa distribuic¸a˜o de energia chamada normal representa algo absoluto, e por que
pesquisa em algo absoluto sempre mi aparecia ser uma forma mais elevada de fazer
pesquisa, devotei vigorosamente a soluc¸a˜o desse problema. ”
– Max Planck (23 Abril 1858 – 4 Outubro 1947).
“Nada restou a ser descoberto na F´ısica agora. O que resta e´ medic¸a˜o com mais e
mais precisa˜o.”
– Lord Kelvin (William Thomson, 26 Junho 1824 – 17 Dezembro 1907) em seu
discurso na Associac¸a˜o Britaˆnica para Avanc¸o em Cieˆncia, 1900.
Valery Shchesnovich Aula 1: Radiac¸a˜o de corpo negro
Ondas Eletromagneticas
Exemplo: ondas de som
Harmonicas
Espectro de radiac¸a˜o
Onda eletromagnetica (polarizada)
Valery Shchesnovich Aula 1: Radiac¸a˜o de corpo negro
A discreta (na˜o continua) natureza de radiac¸a˜o
Planck (1900): Radiac¸a˜o em equil´ıbrio te´rmico em cada frequeˆncia ν (usado
tambe´m f ) tem valores discretos �n = nhν (ou �n = nhf ) , aonde
n = 0, 1, 2, 3, . . . e h e´ uma constante.
Einstein (1905): Radiac¸a˜o e´ emitida e absorvida em quantas de energia. O
processo fundamental e´ de emissa˜o ou absorc¸a˜o de um quanta.
Valery Shchesnovich Aula 1: Radiac¸a˜o de corpo negro
Radiac¸a˜o em equil´ıbrio te´rmico, i.e., a radiac¸a˜o de corpo negro
II. “Ga´s de ondas” em cavidade
(ondas sobrepo˜em, na˜o tem colisa˜o)
ou ga´s de fo´tons com 0 < λ <∞
λ1 > λ2
Formula para a potencia media de fluxo S(λ)
radiado pelo orif´ıcio em todas direc¸o˜es
S(λ) =
c
2
× u(λ)
pi
2∫
−pi
2
dθ cos2 θ =
c
4
u(λ)
Somente a metade de ondas sai com velocidade c (a
outra metade entra) de profundidade c cos θ por
∆t = 1s na direc¸a˜o θ com o normal do orif´ıcio.
Distribuic¸a˜o de Planck para energia de radiac¸a˜o E
per volume dV e per intervalo de comprimento de
onda λ
dE(λ) = u(λ)dλdV
u(λ) =
8pihc
λ5
1
exp{ hc
λkBT
} − 1
h = 6.63× 10−34J · s (constante de Planck)
Valery Shchesnovich Aula 1: Radiac¸a˜o de corpo negro
Derivac¸a˜o da lei de Planck para radiac¸a˜o de corpo negro
O nu´mero de a´tomos e´ discreto, quanto o espectro de ondas e´ continuo. Num
intervalo [λ, λ+ dλ] em uma cavidade de volume V = 1m3 tem uma densidade
de ondas que anotamos pelo ρ(λ).
De acordo com Planck, a energia de ondas com comprimento λ ou frequeˆncia
ν = c
λ
e´ discreta �n = nhν =
nhc
λ
A energia media de ondas com comprimento λ encontrada no equil´ıbrio te´rmico
com temperatura T e´ calculada com a distribuic¸a˜o de Boltzmann para energia �n:
fn(λ,T ) = C exp
{
− nhc
λkBT
}
, aonde C = 1− exp
{
− hc
λkBT
}
e´ a constante de
normalizac¸a˜o. Introduzindo q ≡ exp
{
− hc
λkBT
}
temos C = 1− q e
E(λ,T ) =
∞∑
n=0
�nfn(λ,T ) =
hc
λ
(1− q)
∞∑
n=0
nqn =
hc
λ
(1− q)q ∂
∂q
∞∑
n=0
qn
=
hc
λ
(1− q)q ∂
∂q
1
1− q =
hc
λ
1
q−1 − 1 =
hc
λ
exp{ hc
λkBT
} − 1
A densidade de energia media per volume enta˜o e´ E(λ) = ρ(λ)E(λ,T )
Valery Shchesnovich Aula 1: Radiac¸a˜o de corpo negro
Densidade de ondas ρ(λ)
Ondas eletromagne´ticas satisfazem a equac¸a˜o de onda, e.g.,
∂2E
∂x2
+
∂2E
∂y2
+
∂2E
∂z2
=
1
c2
∂2E
∂t2
,
e numa cavidade cubica com comprimento L (i.e., 0 ≤ x ≤ L) satisfazem
condic¸a˜o de contorno E ,B = 0 nas paredes de cavidade. Assim elas podem ser
expandidos em serie de Fourier. O campo ele´trico e´
E(x , y , z, t) =
∞∑
n1,n2,n3=0
E0(n1, n2, n3) sin
(pi
L
n1x
)
sin
(pi
L
n2y
)
sin
(pi
L
n3z
)
sin
(
2pict
λ
)
com uma condic¸a˜o para indices n1,2,3(pin1
L
)2
+
(pin2
L
)2
+
(pin3
L
)2
=
(
2pi
λ
)2
.
Para achar a densidade de ondas, consideremos quantos ı´ndices de onda
n ≡ n1i + n2j + n3k correspondem as ondas num intervalo de comprimento de
onda [λ, λ+ dλ].
Valery Shchesnovich Aula 1: Radiac¸a˜o de corpo negro
Densidade de ondas ρ(λ)
A soluc¸a˜o e´ geometrica:
no espac¸o de indices de onda n
Temos a condic¸a˜o para satisfazer a equac¸a˜o de
onda
n21 + n
2
2 + n
2
3 =
4L2
λ2
,
aonde n1,2,3 ≥ 0. O numero de ondas N e´ dado
por 1
8
do volume de esfera. Mas tem duas
polarizac¸o˜es para cada campo – fator 2.
N = 2× 1
8
× 4pi
3
(n21 + n
2
2 + n
2
3)
3
2 =
8piL3
3λ3
.
Qual e´ a densidade de ondas em volume
unita´rio V = 1m3, i.e., quantas ondas cabem
no intervalo [λ, λ+ dλ] per volume e per dλ?
Temos
ρ(λ) =
1
L3
∣∣∣∣dNdλ
∣∣∣∣ = 8piλ4 .
Usando os resultados para ρ(λ) e E(λ,T ) obtemos a formula de Planck:
u(λ) = ρ(λ)E(λ,T ) =
8pi
λ4
×
hc
λ
exp{ hc
λkBT
} − 1 =
8pihc
λ5
1
exp{ hc
λkBT
} − 1 .
Valery Shchesnovich Aula 1: Radiac¸a˜o de corpo negro
Duas formas da lei de Planck:
densidade de ondas em comprimento de onda λ ou em frequeˆncia ν
Em respeito de comprimento de
onda temos achado
u(λ) =
8pihc
λ5
1
exp{ hcλkBT } − 1
.
Em respeito de frequeˆncia de onda ν = cλ . Temos
ρ(ν) =
∣∣ dλ
dν
∣∣ ρ(λ) = 8piν2
c3
. Enta˜o
u(ν) = ρ(ν)E(ν,T ) =
8piν2
c3
× hν
exp{ hνkBT } − 1
=
8pihν3
c31
exp{ hνkBT } − 1
.
Valery Shchesnovich Aula 1: Radiac¸a˜o de corpo negro
Poteˆncia de radiac¸a˜o total emitida – Lei de Stefan-Boltzmann
Temos poteˆncia de radiac¸a˜o per comprimento de onda λ S(λ) = c
4
u(λ). Integrando
sobre todos comprimentos de onda obtemos a poteˆncia total P emitida por um orif´ıcio
per unidade de area A. Enta˜o
P = A
∞∫
0
dλS(λ) = A
∞∫
0
dλ
2pihc2
λ5
1
exp{ hc
λkBT
} − 1 = σAT
4.
aonde σ =
2pi5k4B
15h3c2
= 5.67× 10−8 W
m2K4
.
Exemplo: radiac¸a˜o de uma moeda a temperatura de ambiente T = 22C (so´ um lado,
considerando-o como um corpo negro).
P = σAT 4 =
(
5.67x10−8
W
m2K4
)
× (8.54x10−4m2)× (295K)4 = 0.367W .
Valery Shchesnovich Aula 1: Radiac¸a˜o de corpo negro
O comprimento de onda do maximo no espectro de radiac¸a˜o – Lei de Wien
Temos para o ponto de ma´ximo dS(λ)
dλ
= 0 ou
qualquer coeficiente constante C e uma func¸a˜o
x = x(λ), dx
dλ
dF
dx
= 0 com F = CS(λ) Usamos
C = 1
2pic2h
(
hc
kBT
)5
e notamos x = hc
λkBT
. Enta˜o,
como dx
dλ
6= 0 deve existir um x = x0 que satisfaz
dF
dx
=
d
dx
x5
ex − 1 = 0
(somente um x0, como e´ visto de grafico ao lado).
Assim obtemos
λmax =
hcx0
kBT
=
b
T
, b ≡ hcx0
kB
= 0.0029m × K .
Para a moeda acima na temperatura de ambiente T = 22C temos
λ =
b
T
=
0.0029m × K
295K
= 9.83× 10−6m = 9830nm (infra − vermelho)
Quantos fo´tons sa˜o emitidos por essa moeda per segundo? Temos e energia do pico
�max =
hc
λmax
≈ 10−34J·s×108m/s
10−6m = 10
−20J enta˜o estimamos dNdt =
P
�max
≈ 0.367W
10−20J ≈ 10
19 1
s .
Valery Shchesnovich Aula 1: Radiac¸a˜o de corpo negro
Aplicac¸o˜es da lei de Planck: Metal aquecido
Mesmo na˜o e´ corpo negro, T ≈ 1500K e
λmax =
b
T
= 0.0029m×K
1500K
≈ 2× 10−6m = 2µm
Quando espectro vis´ıvel ∈ [0.4...0.7]µm
Valery Shchesnovich Aula 1: Radiac¸a˜o de corpo negro
Aplicac¸o˜es da lei de Planck: Metal aquecido
Mesmo na˜o e´ corpo negro, T ≈ 1500K e
λmax =
b
T
= 0.0029m×K
1500K
≈ 2× 10−6m = 2µm
Quando espectro vis´ıvel ∈ [0.4...0.7]µm
Valery Shchesnovich Aula 1: Radiac¸a˜o de corpo negro
Aplicac¸o˜es da lei de Planck: Metal aquecido
Mesmo na˜o e´ corpo negro, T ≈ 1500K e
λmax =
b
T
= 0.0029m×K
1500K
≈ 2× 10−6m = 2µm
Quando espectro vis´ıvel ∈ [0.4...0.7]µm
Valery Shchesnovich Aula 1: Radiac¸a˜o de corpo negro
Aplicac¸o˜es da lei de Planck: Temperatura do Sol
1. (Cor claro no gra´fico) Para Sol temos
λmax ≈ 500nm. Enta˜o,
T ≈ b
λmax
≈ 0.0029m × K
5× 10−7m ≈ 6000K .
Mesmo assim, vemos cor amarelo com
λvisto ≈ 570nm. Conclusa˜o: o Sol na˜o e´
exatamente um corpo negro!
2. (Cor escuro no gra´fico) Para Terra
Tmedio ≈ 15C = 15 + 273 = 288K .
Enta˜o
λmax ≈≈ 0.0029m × K
288K
≈ 10−5m = 10µm.
Valery Shchesnovich Aula 1: Radiac¸a˜o de corpo negro
Aplicac¸o˜es da lei de Planck: Temperatura do Sol
1. (Cor claro no gra´fico) Para Sol temos
λmax ≈ 500nm. Enta˜o,
T ≈ b
λmax
≈ 0.0029m × K
5× 10−7m ≈ 6000K .
Mesmo assim, vemos cor amarelo com
λvisto ≈ 570nm. Conclusa˜o: o Sol na˜o e´
exatamente um corpo negro!
2. (Cor escuro no gra´fico) Para Terra
Tmedio ≈ 15C = 15 + 273 = 288K .
Enta˜o
λmax ≈≈ 0.0029m × K
288K
≈ 10−5m = 10µm.
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Aplicac¸o˜es da lei de Planck: Temperatura do Sol
1. (Cor claro no gra´fico) Para Sol temos
λmax ≈ 500nm. Enta˜o,
T ≈ b
λmax
≈ 0.0029m × K
5× 10−7m ≈ 6000K .
Mesmo assim, vemos cor amarelo com
λvisto ≈ 570nm. Conclusa˜o: o Sol na˜o e´
exatamente um corpo negro!
2. (Cor escuro no gra´fico) Para Terra
Tmedio ≈ 15C = 15 + 273 = 288K .
Enta˜o
λmax ≈≈ 0.0029m × K
288K
≈ 10−5m = 10µm.
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Aplicac¸o˜es da lei de Planck: Temperatura do Sol
1. (Cor claro no gra´fico) Para Sol temos
λmax ≈ 500nm. Enta˜o,
T ≈ b
λmax
≈ 0.0029m × K
5× 10−7m ≈ 6000K .
Mesmo assim, vemos cor amarelo com
λvisto ≈ 570nm. Conclusa˜o: o Sol na˜o e´
exatamente um corpo negro!
2. (Cor escuro no gra´fico) Para Terra
Tmedio ≈ 15C = 15 + 273 = 288K .
Enta˜o
λmax ≈≈ 0.0029m × K
288K
≈ 10−5m = 10µm.
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Aplicac¸o˜es da lei de Planck
Em 1965, a Radiac¸a˜o co´smica de fundo em micro-ondas foi descoberta por Penzias e Wilson
(Premio Nobel). Foi achado que a distribuic¸a˜o de radiac¸a˜o co´smica corresponde muito bem a
radiac¸a˜o de um corpo negro com a temperatura de 2.725 K, isso foi interpretado como evideˆncia
de expansa˜o do nosso Universo. A imagem em baixo e´ de alta resoluc¸a˜o obtida em 2013 pelo
sate´lite “Planck”.
http://sci.esa.int/planck/51551-simple-but-challenging-the-universe-according-to-planck/
Valery Shchesnovich Aula 1: Radiac¸a˜o de corpo negro