Sub Edson vargas

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Prova Sub de MAT0147 - Ca´lculo Diferencial e Integral II para Economia
FEA - 06/12/2017
A
Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Q N
Assinatura: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
RG: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
No USP: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Turma: 2017201 - Teo´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Professor: Edson Vargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Total
Escreva de forma organizada e clara, justificando suas respostas.
1a Questa˜o: Considere a curva C =
{
(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 − 2z2 = 1 e y = 2z + 1}.
(a) (1.5 pontos) Ache uma parametrizac¸a˜o diferencia´vel para C;
(b) (1 ponto) Ache uma equac¸a˜o para a reta tangente a C em P = (−√2,−1,−1).
Soluc¸a˜o
a) Substituindo y = 2z + 1 em x2 + y2 − 2z2 = 1 obtemos x2 + 4z2 + 4z + 1 − 2z2 = 1.
Simplificando temos: x2 + 2(z2 + 2z) = 0 que, completando o quadrado em z torna-se
x2 + 2(z + 1)2 = 2 que e´ a equac¸a˜o de uma elipse, a projec¸a˜o de C no plano xz. Enta˜o
podemos escolher a seguinte parametrizac¸a˜o para C:
γ(t) =

x =
√
2 cos t
y = −1 + 2 sin t
z = −1 + sin t,
onde t ∈ [0, 2pi]. Esta parametrizac¸a˜o de C e´ claramente diferencia´vel.
b) A derivada γ′(t) = (−√2 sin t, 2 cos t, cos t) e´ sempre na˜o-nula e e´ um vetor tangente a C
no ponto γ(t). γ(pi) = P = (−√2,−1,−1) e portanto uma equac¸a˜o para a reta tangente r
pedida e´:
r :

x = −√2
y = −1− 2t
z = −1− t,
onde t ∈ R.
2
1
2a Questa˜o:
(a) (1.5 pontos) Ache uma equac¸a˜o para a reta r que e´ tangente a` curva
x3 + 3xy + y3 + 3x = 18 no ponto (1, 2);
(b) (1 ponto) Ache as constantes k ∈ R para que o plano tangente ao gra´fico de f(x, y) =
ln(x2 + ky2), no ponto (2, 1, f(2, 1)), seja perpendicular ao plano 3x+ z = 0.
Soluc¸a˜o
a) Consideramos a func¸a˜o g(x, y, z) = x3 + 3xy + y3 + 3x, definida em R2. A curva
x3 + 3xy + y3 + 3x = 18 e´ uma curva de n´ıvel de g, portanto, em todos os seus pontos,
esta curva e´ ortogonal ao vetor gradiente de g. Em particular, no ponto (1, 2) ela (e a sua
reta tangente tambe´m) e´ ortogonal ao vetor ∇ g(1, 2) = (12, 15). Sendo assim uma equac¸a˜o
para a r, tangente a curva em (1, 2) e´ 12(x − 1) + 15(y − 2) = 0 que pode ser simplificada
para 4x+ 5y = 14.
b) Os pontos (x, y, z) do gra´fico de f satisfazem a equac¸a˜o z = ln(x2 + k y2). Este gra´fico
nada mais do que a superf´ıcie de n´ıvel zero da func¸a˜o h(x, y, z) = ln(x2 + k y2) − z. Por-
tanto, no ponto (2, 1, f(2, 1)), o vetor gradiente ∇h(2, 1, f(2, 1)) e´ ortogonal a esta superf´ıcie
(ao gra´fico de f). Vemos facilmente que ∇h(x, y, z) =
(
2x
x2 + ky2
,
2 k y
x2 + ky2
,−1
)
e no ponto
(2, 1, f(2, 1)) temos ∇h(2, 1, f(2, 1)) =
(
4
4 + k
,
2 k
4 + k
,−1
)
. Agora, para que o plano tan-
gente ao gra´fico seja perpendicular ao plano 3x + z = os vetores ortogonais destes planos
devem ser ortogonais entre si, ou seja: os vetores
(
4
4 + k
,
2 k
4 + k
,−1
)
e (3, 0, 1) devem ser
ortogonais. Sendo assim o produto escalar destes vetores, que e´ 124+k − 1, deve ser nulo e isto
implica que k = 8.
2
3a Questa˜o: (2.5 pontos) Determine os pontos cr´ıticos de f(x, y) = (2x − x2)(2y − y2) e
classifique-os (isto e´: decida quais sa˜o pontos de mı´nimo relativo, ma´ximo relativo ou sela).
Soluc¸a˜o
Os pontos cr´ıticos de f sa˜o os pontos (x, y) nos quais o gradiente de f , que e´
∇ f(x, y) = ((2− 2x)(2y − y2), (2x− x2)(2− 2y)),
se anula. Enta˜o (2−2x)(2y−y2) = 0 e resulta que x = 1, ou y = 0, ou y = 2. Como tambe´m
devemos ter (2x− x2)(2− 2y) = 0 temos que:
(i) Se x = 1, devemos ter y = 1 o que resulta no ponto cr´ıtico (1, 1);
(ii) Se y = 0, devemos ter x = 0 ou x = 2 o que resulta nos pontos cr´ıticos (0, 0) e (2, 0);
(iii) Se y = 2, devemos ter x = 0 ou x = 2 o que resulta nos pontos cr´ıticos (0, 2) e (2, 2).
Enta˜o os pontos cr´ıticos de f sa˜o os pontos (1, 1), (0, 0), (2, 0), (0, 2), (2, 2). Para
classificar estes pontos calculamos as derivadas parciais de segunda ordem de f :
∂2f
∂x2
(x, y) = −2(2y − y2), ∂
2f
∂y2
(x, y) = −2(2x− x2), ∂
2f
∂y ∂x
(x, y) = (2− 2x)(2− 2y).
Agora avaliamos estas derivadas e o determinante H(x, y) da matriz hessiana nos pontos
cr´ıticos acima e obtemos a seguinte tabela:
∂2f
∂x2
(x, y) ∂
2f
∂y2
(x, y) ∂
2f
∂y ∂x(x, y) H(x, y) classificac¸a˜o
(1, 1) -2 -2 0 4 ma´ximo relativo
(0, 0) 0 0 4 -16 sela
(2, 0) 0 0 -4 -16 sela
(0, 2) 0 0 -4 -16 sela
(2, 2) 0 0 4 -16 sela
2
4a Questa˜o: (2.5 pontos) Ache o valor ma´ximo absoluto e o valor mı´nimo absoluto para
f(x, y) = xy, sujeita a` restric¸a˜o 5x2 + 5y2 + 6xy − 64 = 0.
Soluc¸a˜o
Segundo o me´todo dos multiplicadores de Lagrange os pontos (x, y) que sa˜o candidatos a
serem pontos de extremo relativo de f , sujeita a` restric¸a˜o g(x, y) = 5x2 + 5y2 + 6xy− 64 = 0,
sa˜o aqueles nos quais a igualdade ∇ f(x, y) = λ∇ g(x, y) se realiza para algum λ ∈ R. Temos
enta˜o o seguinte sistema de equac¸o˜es:
y = λ(10x+ 6y),
x = λ(6x+ 10y),
5x2 + 5y2 + 6xy − 64 = 0
Multiplicando a primeira equac¸a˜o por x, a segunda por y e igualando-as obtemos λ(10x2 +
6xy) = λ(6xy + 10y2). Isto implica que λx2 = λy2 e portanto temos treˆs casos:λ = 0, ou
x = y ou x = −y.
(i) Se λ = 0 temos que (x, y) = (0, 0) o que na˜o satisfaz a restric¸a˜o.
(ii) Se x = y, substituindo na equac¸a˜o da restric¸a˜o obtemos 16x2 − 64 = 0. Portanto x = 2
ou x = −2 e temos os candidatos (2, 2) e (−2,−2).
(iii) Se x = −y, substituindo na equac¸a˜o da restric¸a˜o obtemos 4x2− 64 = 0. Portanto x = 4
ou x = −4 e temos os candidatos (4,−4) e (−4, 4).
Avaliando f nestes candidatos temos:
f(2, 2) = f(−2,−2) = 4, valor ma´ximo absoluto
f(4,−4) = f(−4, 4) = −16, valor mı´nimo absoluto
A func¸a˜o f e´ claramente cont´ınua e para comprovarmos que os pontos que satisfazem a
restric¸a˜o esta˜o em um conjunto limitado escrevemos 5x2 + 5y2 + 6xy − 64 = 0 na forma
5x2 +5(y+ 35x)
2− 95x2−64 = 0. Simplificando temos 165 x2 +5(y+ 35x)2 = 64 que e´ a equac¸a˜o
de uma elipse, portanto limitada. Como esta´ elipse tambe´m e´ um conjunto fechado, podemos
garantir a existeˆncia do valor ma´ximo e do valor mı´nimo absoluto. Estes valores devem ser
os valores calculados acima.
2