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Disciplina: CÁLCULO II 
Professor(a):Bruna Dias de Carvalho 
 
 
 
Integrais – parte 1 
 
1. Antiderivadas 
 
Uma função 𝐹 é chamada uma antiderivada da função 𝑓 em um intervalo 𝐼 se 𝐹′(𝑥) =
𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐼. 
 
Observação: Se uma função 𝐹 é uma antiderivada de uma função 𝑓 em 𝐼 então a função 𝐺 é 
definida por: 
𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝑐, ∀𝑥 ∈ 𝐼 
 
onde 𝑐 ∈ ℝ é uma constante e é também uma antiderivada de 𝑓 em 𝐼 pois 
𝐺′(𝑥) = 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐼 
 
Teorema: Se 𝑓 é uma função tal que 𝑓′(𝑥) = 0, ∀𝑥 ∈ 𝐼 então 𝑓 é constante em 𝐼. 
Teorema: Se 𝑓 e 𝑔 são funções tais que 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) para todo 𝑥 ∈ 𝐼 então existe 𝑐 ∈ ℝ tal 
que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝑐, ∀𝑥 ∈ 𝐼. 
Teorema: Se 𝐹 é uma antiderivada da função 𝑓 em 𝐼 então a antiderivada mais geral de 𝑓em 𝐹 
é dada por 
𝐹(𝑥) + 𝑐 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐 ∈ 𝑅 
 
A antidiferenciação é o processo pelo qual a antiderivada mais geral de uma função é 
encontrada. 
O símbolo ∫ denota a operação de antidiferenciação e escrevemos ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐, onde 
𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥). 
 
Algumas fórmulas de antidiferenciação 
 
F1) ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐 
F2) ∫ 𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, 𝑎 ∈ ℝ 
F3) ∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 
F4) ∫ [𝑎1𝑓1(𝑥) + 𝑎2𝑓2(𝑥) + ⋯ + 𝑎𝑛𝑓𝑛(𝑥)]𝑑𝑥 = 𝑎1∫ 𝑓1(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑎2∫ 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛∫ 𝑓𝑛(𝑥)𝑑𝑥 
F5) ∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛+1
+ 𝑐, 𝑛 ≠ −1 
 
Exemplos 
Encontre ∫ (3𝑥 + 5)𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
EXCELÊNCIA UNIVERSITÁRIA 
NA FORMAÇÃO DE PROFISSIONAIS 
COMPROMETIDOS 
COM A VIDA 
E A TRANSFORMAÇÃO SOCIAL. 
Av. Vitória, 950 – Forte São João 
29017-950 – Vitória-ES 
Tel: (27) 3331-8500 – Fax: (27) 3222-3829 
www.catolica-es.edu.br 
 
 
 
 
Encontre ∫ (
1
𝑥4
+
1
√𝑥
4 ) 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
Encontre ∫ 2𝑥√1 + 𝑥2𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema: Seja 𝐹 uma Antiderivada da função 𝑓em um intervalto 𝐼. Se 𝑔 é diferenciávele 𝑢 =
𝑔(𝑥) então: 
∫ 𝑓[𝑔(𝑥)] ∙ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝑐 = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝑐 
 
F6) ∫ [𝑔(𝑥)]𝑛 ∙ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 =
[𝑔(𝑥)]𝑛+1
𝑛+1
+ 𝑐, 𝑛 ≠ −1 
 
EXERCÍCIO 
01. Determine: 
a) ∫ √3𝑥 + 4 𝑑𝑥 
b) ∫ 𝑥2 √7 − 4𝑥3
5
 𝑑𝑥 
c) ∫ 𝑥2 √1 + 𝑥 𝑑𝑥 
 
 
2. A integral definida 
 
Definição: Uma partição P do intervalo [𝑎, 𝑏] é qualquer decomposição de [𝑎, 𝑏] em 
subintervalos da forma: 
 
[𝑥0, 𝑥1], [𝑥1, 𝑥2], [𝑥2, 𝑥3] … [𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛] 
 
onde 𝑛 ∈ ℕ e 𝑥𝑖 são números tais que: 
 
𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 < ⋯ < 𝑥𝑛+1 < 𝑥𝑛 = 𝑏 
 
∆𝑥𝑖 = comprimento do i-ésimo subintervalo. 
 
∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 
 
 O maior dos números ∆𝑥1, ∆𝑥2 … ∆𝑥𝑛 é chamado norma da partição P e será denotado por 
‖𝑃‖. 
 
 
 
Definição:𝑓 = função definida e limitada no intervalo [𝑎, 𝑏]. 
 P = partição de [𝑎, 𝑏] 
Uma soma de Riemann de 𝑓 em relação a P é uma expressão da forma: 
 
𝑅𝑃 = ∑ 𝑓(𝑐𝑖) ∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
onde 𝑐𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖], 𝑖 = 1, 2 … 𝑛 
 
 
Definição: 𝑓 = função definida e limitada em [𝑎, 𝑏] 
A integral definida de 𝑓 de 𝑎 até 𝑏, denotada por ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
, é dada por: 
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝐥𝐢𝐦
‖𝑃‖→0
∑ 𝑓(𝑐𝑖)∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
desde que o limite exista. 
 
Observação: Se o limite anterior existir, dizemos que 𝑓 é integrável em [𝑎, 𝑏]. 
 
Definição: 
1) Se 𝑐 > 𝑑 então ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑑
𝑐
= − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑐
𝑑
 
2) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑎
= 0 
 
Teorema: Se 𝑓 é contínua em [𝑎, 𝑏] então 𝑓 é integrável em [𝑎, 𝑏]. 
 
Propriedades: 
P1) ∫ 𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑐 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
, 𝑐 ∈ ℝ 
 
P2) ∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
+ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
P3) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑐
𝑎
+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑐
 
 
P4) Se 𝑓(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] então ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≥ 0 
 
P5) Se 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] então ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 ≥ ∫ 𝑔(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 
 
Teorema do Valor Médio para Integrais Definidas 
 
 Se 𝑓 é contínua no intervalo [𝑎, 𝑏] então existe 𝑧 ∈ [𝑎, 𝑏] tal que: 
 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝑓(𝑧)(𝑏 − 𝑎) ⟺ 𝑓(𝑧) =
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
𝑏 − 𝑎
 
 
O Teorema Fundamental do Cálculo 
 
 Seja 𝑓 contínua no intervalo [𝑎, 𝑏]. 
 
i) Se 𝐺 é uma função definida por 𝐺(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)
𝑥
𝑎
𝑑𝑡, ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] então 𝐺′(𝑥) = 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈
[𝑎, 𝑏] 
ii) Se 𝐹 é uma antiderivada de 𝑓 então ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 
 
 
 
Exemplo: 
 
Calcule ∫ |𝑥|
3
−2
𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema da Mudança de Variável 
 
∫ 𝑓[𝑔(𝑥)]𝑔′(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓(𝑢)
𝑔(𝑏)
𝑔(𝑎)
𝑑𝑢 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 = 𝑔(𝑥) 
 
Exemplo: 
∫
3
√5𝑥 − 1
10
2
 𝑑𝑥

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