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Disciplina: CÁLCULO II Professor(a):Bruna Dias de Carvalho Integrais – parte 1 1. Antiderivadas Uma função 𝐹 é chamada uma antiderivada da função 𝑓 em um intervalo 𝐼 se 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐼. Observação: Se uma função 𝐹 é uma antiderivada de uma função 𝑓 em 𝐼 então a função 𝐺 é definida por: 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝑐, ∀𝑥 ∈ 𝐼 onde 𝑐 ∈ ℝ é uma constante e é também uma antiderivada de 𝑓 em 𝐼 pois 𝐺′(𝑥) = 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐼 Teorema: Se 𝑓 é uma função tal que 𝑓′(𝑥) = 0, ∀𝑥 ∈ 𝐼 então 𝑓 é constante em 𝐼. Teorema: Se 𝑓 e 𝑔 são funções tais que 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) para todo 𝑥 ∈ 𝐼 então existe 𝑐 ∈ ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝑐, ∀𝑥 ∈ 𝐼. Teorema: Se 𝐹 é uma antiderivada da função 𝑓 em 𝐼 então a antiderivada mais geral de 𝑓em 𝐹 é dada por 𝐹(𝑥) + 𝑐 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐 ∈ 𝑅 A antidiferenciação é o processo pelo qual a antiderivada mais geral de uma função é encontrada. O símbolo ∫ denota a operação de antidiferenciação e escrevemos ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐, onde 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥). Algumas fórmulas de antidiferenciação F1) ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐 F2) ∫ 𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, 𝑎 ∈ ℝ F3) ∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 F4) ∫ [𝑎1𝑓1(𝑥) + 𝑎2𝑓2(𝑥) + ⋯ + 𝑎𝑛𝑓𝑛(𝑥)]𝑑𝑥 = 𝑎1∫ 𝑓1(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑎2∫ 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛∫ 𝑓𝑛(𝑥)𝑑𝑥 F5) ∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥𝑛+1 𝑛+1 + 𝑐, 𝑛 ≠ −1 Exemplos Encontre ∫ (3𝑥 + 5)𝑑𝑥 EXCELÊNCIA UNIVERSITÁRIA NA FORMAÇÃO DE PROFISSIONAIS COMPROMETIDOS COM A VIDA E A TRANSFORMAÇÃO SOCIAL. Av. Vitória, 950 – Forte São João 29017-950 – Vitória-ES Tel: (27) 3331-8500 – Fax: (27) 3222-3829 www.catolica-es.edu.br Encontre ∫ ( 1 𝑥4 + 1 √𝑥 4 ) 𝑑𝑥 Encontre ∫ 2𝑥√1 + 𝑥2𝑑𝑥 Teorema: Seja 𝐹 uma Antiderivada da função 𝑓em um intervalto 𝐼. Se 𝑔 é diferenciávele 𝑢 = 𝑔(𝑥) então: ∫ 𝑓[𝑔(𝑥)] ∙ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝑐 = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝑐 F6) ∫ [𝑔(𝑥)]𝑛 ∙ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = [𝑔(𝑥)]𝑛+1 𝑛+1 + 𝑐, 𝑛 ≠ −1 EXERCÍCIO 01. Determine: a) ∫ √3𝑥 + 4 𝑑𝑥 b) ∫ 𝑥2 √7 − 4𝑥3 5 𝑑𝑥 c) ∫ 𝑥2 √1 + 𝑥 𝑑𝑥 2. A integral definida Definição: Uma partição P do intervalo [𝑎, 𝑏] é qualquer decomposição de [𝑎, 𝑏] em subintervalos da forma: [𝑥0, 𝑥1], [𝑥1, 𝑥2], [𝑥2, 𝑥3] … [𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛] onde 𝑛 ∈ ℕ e 𝑥𝑖 são números tais que: 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 < ⋯ < 𝑥𝑛+1 < 𝑥𝑛 = 𝑏 ∆𝑥𝑖 = comprimento do i-ésimo subintervalo. ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 O maior dos números ∆𝑥1, ∆𝑥2 … ∆𝑥𝑛 é chamado norma da partição P e será denotado por ‖𝑃‖. Definição:𝑓 = função definida e limitada no intervalo [𝑎, 𝑏]. P = partição de [𝑎, 𝑏] Uma soma de Riemann de 𝑓 em relação a P é uma expressão da forma: 𝑅𝑃 = ∑ 𝑓(𝑐𝑖) ∆𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 onde 𝑐𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖], 𝑖 = 1, 2 … 𝑛 Definição: 𝑓 = função definida e limitada em [𝑎, 𝑏] A integral definida de 𝑓 de 𝑎 até 𝑏, denotada por ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 , é dada por: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝐥𝐢𝐦 ‖𝑃‖→0 ∑ 𝑓(𝑐𝑖)∆𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 desde que o limite exista. Observação: Se o limite anterior existir, dizemos que 𝑓 é integrável em [𝑎, 𝑏]. Definição: 1) Se 𝑐 > 𝑑 então ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑑 𝑐 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑐 𝑑 2) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 𝑎 = 0 Teorema: Se 𝑓 é contínua em [𝑎, 𝑏] então 𝑓 é integrável em [𝑎, 𝑏]. Propriedades: P1) ∫ 𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝑐 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 , 𝑐 ∈ ℝ P2) ∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 P3) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑐 𝑎 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑐 P4) Se 𝑓(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] então ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ≥ 0 P5) Se 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] então ∫ 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 ≥ ∫ 𝑔(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 Teorema do Valor Médio para Integrais Definidas Se 𝑓 é contínua no intervalo [𝑎, 𝑏] então existe 𝑧 ∈ [𝑎, 𝑏] tal que: ∫ 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑧)(𝑏 − 𝑎) ⟺ 𝑓(𝑧) = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 𝑏 − 𝑎 O Teorema Fundamental do Cálculo Seja 𝑓 contínua no intervalo [𝑎, 𝑏]. i) Se 𝐺 é uma função definida por 𝐺(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑥 𝑎 𝑑𝑡, ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] então 𝐺′(𝑥) = 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] ii) Se 𝐹 é uma antiderivada de 𝑓 então ∫ 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) Exemplo: Calcule ∫ |𝑥| 3 −2 𝑑𝑥 Teorema da Mudança de Variável ∫ 𝑓[𝑔(𝑥)]𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑓(𝑢) 𝑔(𝑏) 𝑔(𝑎) 𝑑𝑢 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 = 𝑔(𝑥) Exemplo: ∫ 3 √5𝑥 − 1 10 2 𝑑𝑥
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