resumo integrais indefinidas

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Cálculo – aula 10 
→ Tópicos da aula 
- definição de primitivas 
- o teorema fundamental do cálculo 
- integrais indefinidas 
- teorema da variação total 
 
→ Primitivas 
Taxa de variação de função função 
- em cada caso, o problema é encontrar 
uma função F cuja derivada é uma função 
conhecida f. Se a função F existir, ela é 
chamada antiderivada de f. 
 
DEFINIÇÃO 
Uma função F é denominada uma primitiva 
de f num intervalo I se 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) para todo x 
em I 
Por exemplo: seja 𝑓(𝑥) = 𝑥2 
- não é difícil descobrir uma primitiva de f se 
tivermos em mente a regra da potência. De 
fato, se 𝐹(𝑥) = 
𝑥3
3
, logo 𝐹′(𝑥) = 𝑥2 = 𝑓(𝑥). Mas 
a função 𝐺(𝑥) = 
𝑥3
3
+ 100 também satisfaz 
𝐺(𝑥) = 𝑥2. Portanto, F e G são primitivas de f. 
De fato, qualquer função da forma 𝐻(𝑥) =
 
𝑥3
3
+ 𝐶, onde C é uma constante, é uma 
primitiva de f 
 
TEOREMA 
Se F é uma primitiva de f em um intervalo I, 
então a primitiva mais geral de f em I é 
𝐹(𝑥) + 𝐶, onde C é uma constante arbitrária. 
 
- toda fórmula de derivação, quando lida da 
direita para a esquerda, dá origem a uma 
fórmula de primitivação: 
 
Função primitiva 
particular 
Função Primitiva 
particular 
𝑐𝑓(𝑥) 𝑐𝐹(𝑥) 𝑠𝑒𝑐²𝑥 tan 𝑥 
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 𝐹(𝑥) + 𝐺(𝑥) sec 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 sec 𝑥 
𝑥𝑛 (𝑛 ≠ −1) 𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
 
1
√1 + 𝑥2
 
sin−1 𝑥 
1
𝑥
 
ln|𝑥| 1
1 + 𝑥2
 
tan−1 𝑥 
𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 cosh 𝑥 sinh 𝑥 
cos 𝑥 sin 𝑥 sinh 𝑥 cosh 𝑥 
sin 𝑥 − cos 𝑥 
- para obtermos a primitiva mais geral (em um 
intervalo) a partir daquelas da tabela, 
devemos adicionar uma constante. 
 
- uma equação que envolva as derivadas de 
uma função é chamada equação 
diferencial. A solução geral de uma equação 
diferencial envolve uma constante arbitrária 
(ou constantes). Contudo. Podem ser dadas 
condições extras que vão determinar as 
constantes e assim especificar univocamente 
a solução. 
- A primitivação é particularmente útil na 
análise do movimento de um objeto que se 
move em uma reta. Lembre-se de que se o 
objeto tem função posição 𝑠 = 𝑓(𝑡), então a 
função velocidade é 𝑣(𝑡) = 𝑠(𝑡). Isso significa 
que a função posição é uma primitiva da 
função velocidade. Da mesma maneira, a 
função aceleração é a (𝑡) = 𝑣′(𝑡), logo, a 
função velocidade é uma primitiva da 
aceleração. Se a aceleração e os valores 
iniciais 𝑠(0)𝑒 𝑣(0) forem conhecidos, então a 
função posição pode ser determinada 
encontrando primitivas duas vezes. 
 
→ O teorema fundamental do 
cálculo 
- estabelece uma conexão entre os dois 
ramos do cálculo: o cálculo diferencial e 
o cálculo integral. Ele dá a relação 
inversa precisa entre a derivada e a 
integral. 
- A primeira parte do Teorema 
Fundamental lida com funções definidas 
por uma equação da forma: 
𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑥
𝑎
 
onde f é uma função contínua em [a, b] 
e x varia entre a e b. Observe que g 
depende somente de x, que aparece 
como limite superior variável da integral 
- se f for uma função positiva, então 𝑔(𝑥) 
pode ser interpretada como a área sob 
o gráfico de f de a até x, onde x pode 
variar de a até b. 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 
PARTE 1 
Se f for contínua em [a, b], então a função g 
definida por 
𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑥
𝑎
 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 
É contínua em [a, b] e derivável em (a, b) e 
𝑔′(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
 
Usando a notação de Leibniz para as 
derivadas, podemos escrever o TFC1 como: 
𝑑
𝑑𝑥
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑥
𝑎
= 𝑓(𝑥) 
quando f é continua. Grosseiramente 
falando, a equação acima nos diz que se 
primeiro integramos f e então derivamos o 
resultado, retornamos à função original f. 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 
PARTE 2 
Se f for contínua em [a, b], então 
 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) onde F é qualquer 
primitiva de f, isto é, uma função tal que 𝐹′ =
𝑓 
Logo: 
1. Se 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑥
𝑎
, então 𝑔′(𝑥) =
𝑓(𝑥) 
2. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎), onde F é 
qualquer primitiva de f, isto é, uma 
função tal que 𝐹′ = 𝑓 
 
- Como 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥), a parte 2 pode ser 
reescrita como: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 
- essa versão afirma que se tornarmos uma 
função F, a derivarmos e depois integrarmos o 
resultado, chegaremos de volta à função 
original F, mas na forma F(b) – F(a). Juntas, as 
duas partes do Teorema Fundamental Do 
Cálculo mostram que a derivação e a 
integração são processos inversos. Cada um 
desfaz o que o outro fez. 
 
→ Integrais indefinidas 
- ambas as partes do Teorema Fundamental 
estabelecem conexões entre as primitivas e 
as integrais definidas. 
- precisamos de uma notação conveniente 
para primitivas que torne fácil trabalhar com 
elas. Em virtude da relação dada pelo 
Teorema Fundamental entre primitivas e 
integrais, a notação é tradicionalmente 
usada para a primitiva de f e é chamada 
integral definida. Logo, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) 
significa que 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
 
Por exemplo: ∫ 𝑥2𝑑𝑥 = 
𝑥3
3
+ 𝐶 
- Podemos olhar uma integral indefinida 
como representando toda uma família de 
funções (uma primitiva para cada valor da 
constante C). 
- Você deve fazer uma distinção cuidadosa 
entre integral definida e indefinida. Uma 
integral definida é um número, enquanto 
uma integral indefinida é uma função (ou 
uma família de funções). 
- Cada fórmula pode ser verificada 
derivando-se a função do lado direito e 
obtendo-se o integrando. Por exemplo: 
∫ sec² 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔(𝑥) + 𝐶, pois 
 
𝑑
𝑑𝑥
 [𝑡𝑔(𝑥) + 𝐶] = 𝑠𝑒𝑐²𝑥 
- A primitiva mais geral sobre um dado 
intervalo é obtida adicionando-se uma 
constante a uma dada primitiva. 
 
 
- Adotamos a convenção de que quando 
uma fórmula para uma integral indefinida 
geral é dada, ela é válida somente em um 
intervalo. Assim, escrevemos: 
∫
1
𝑥²
𝑑𝑥 =
1
𝑥
 
Subentendendo que isso é válido no intervalo 
(0, ∞) ou no intervalo (−∞, 0). Isso é verdadeiro 
apesar do fato de que a primitiva geral da 
função f (𝑥) = 
1
𝑥²
, 𝑥 ≠ 0, é: 
 
𝐹(𝑥) {
−
1
𝑥
+ 𝐶1, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
−
1
𝑥
+ 𝐶2, 𝑠𝑒 𝑥 > 0
 
 
→ Teorema da Variação Total 
Sabemos que 𝐹′(𝑥) representa a taxa de 
variação 𝑦 = 𝐹(𝑥) em relação à x e F(b) – F(a) 
é a variação em y quando x muda de a para 
b. [Observe que y pode, por exemplo, 
decrescer e, então, crescer novamente. 
Embora y possa variar nas duas direções, F(b) 
– F(a) representa a variação líquida em y.] 
Logo podemos reformular FTC2 em palavras 
da forma a seguir: 
 
 
 
 
TEOREMA DA VARIAÇÃO TOTAL 
A integral de uma taxa de variação é a variação total: 
 
∫ 𝐹′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑏
𝑎
 
 
- esse princípio pode ser aplicado para todas as taxas de variação nas ciências naturais e sociais 
 
• Aplicações: 
 
- Se [C](t) for a concentração do produto de uma reação química no instante t, então a taxa de 
reação é a derivada d [C]/dt. Logo, ∫
𝑑[𝐶]
𝑑𝑡
𝑑𝑡 = [𝐶](𝑡2) − [𝐶](𝑡1)
𝑡2
𝑡1
 é a variação na concentração de C 
entre os instantes t1 e t2. 
- Se a taxa de crescimento populacional for dn/dt, então ∫
𝑑𝑛
𝑑𝑡
𝑑𝑡 = 𝑛(𝑡2) − 𝑛(𝑡1)
𝑡2
𝑡1
 é a alteração total 
da população no período de tempo de t1 a t2. (A população cresce quando ocorrem nascimentos 
e decresce quando ocorrem óbitos. A variação total leva em conta tanto nascimentos quanto 
mortes.) 
 - Se um objeto se move ao longo de uma reta com a função de posição s (t, então sua velocidade 
é v (t) = s’(t), logo ∫
𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝑑𝑡 = 𝑠(𝑡2) − 𝑠(𝑡1)
𝑡2
𝑡1
 é a mudança de posição, ou deslocamento, da partícula 
durante o período de tempo de t1 a t2. Isso era verdadeiro para o caso onde o objeto move-se no 
sentido positivo, mas agora demonstramos que é sempre verdade. 
- Se quisermos calcular a distância percorrida durante o intervalo de tempo, teremos de considerar 
os intervalos quando v (t)  0 (a partícula move-se para a direita) e também os intervalosquando v 
(t)  0 (a partícula move-se para a esquerda). Em ambos os casos a distância é calculada 
integrando-se |v (t)|, a velocidade escalar. Portanto, ∫ |𝑣(𝑡)|𝑑𝑡 = 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
𝑡2
𝑡1
 
- A aceleração do objeto é a (t) = v’(t), logo ∫ 𝑎(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑣(𝑡2) − 𝑣(𝑡1)
𝑡2
𝑡1
 é a mudança na velocidade do 
instante t1 até t2