TRABALHO_AVALIATIVO_II_-_Matemtica

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TRABALHO AVALIATIVO II
(MÓDULO II)
Nome: David do Nascimento Liell Data: 18/01/2021
Instruções:
Após a construção do trabalho avaliativo, o qual pode ser construído utilizando-se este arquivo Word, ele deve ser entregue por meio da ferramenta de Caixa Postal do SIGAA, até às 23:59 de 19/01/2021. Caso ocorra algum tipo de problema relacionado à postagem ou à instabilidade no sistema SIGAA, então pode-se enviar o trabalho, até a data e horário previsto, para o e-mail vale.giovane@unemat.br.
QUESTÕES
1) Defina a Limite:
Na matemática, o limite tem o objetivo de determinar o comportamento de uma função à medida que ela se aproxima de alguns valores, sempre relacionando os pontos x e y. A utilização de limites ajuda na compreensão de diversas situações envolvendo funções, através de pontos notáveis como mínimo e máximo ou até mesmo os pontos de intersecção entre funções, a continuidade de funções também utiliza as noções de limites, bem como os problemas envolvendo séries numéricas convergentes ou divergentes. 
Consequentemente, quanto mais próximo 𝑥 estiver de 𝑎, mais próximo 𝑓(𝑥) estará de 𝑓(𝑎). De uma forma intuitiva, podemos dizer que se 𝑓 é contínua em 𝑎, então o limite de 𝑥 tendendo a 𝑎, da função 𝑓(𝑥) é igual a 𝑓(𝑎). Na notação usual, escrevemos:
 
Por outro lado, se a função 𝑓 não é contínua em 𝑎, e mesmo assim atribuíssemos um limite 𝐿, tal que:
2) Resolva o seguinte limite:
Passo a passo e resposta:
3) Defina a Taxa Média de Variação (TMV):
A variação de uma função f num intervalo (a,b) , do seu domínio, é dada por: f (b) - f (a). A Taxa Média de Variação de uma função f no intervalo (a,b) é dada por:
A Taxa Média de Variação de uma função f no intervalo (a,b) representa geometricamente o declive de reta definida pelos pontos AB . Em física, a taxa média de variação está associada à velocidade média, num certo intervalo de tempo. A Taxa de Variação de uma função f real de variável real, num ponto, caso exista é calculada através da seguinte fórmula:
A Taxa de Variação de uma função num ponto, ou seja, f´ ( x0 ), representa geometricamente o declive da reta tangente ao gráfico f de no ponto de abcissa x0. Esta taxa de variação está associada à rapidez instantânea, ou em linguagem comum, velocidade instantânea.
4) Calcule a TMV da função dada abaixo, considerando o respectivo intervalo, e interprete-a:
f(x) = x2 + 1, no intervalo [0, 2]
5) Defina a Derivada:
De uma maneira geral, a derivada é a inclinação da reta tangente que passa por uma determinada curva. Além disso, podemos utilizar a derivada em física, pois ela também é uma taxa de variação, como por exemplo, a velocidade. A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0 , ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0. A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos y', dy/dx ou f ' (x).
Definição: Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo x0, então a derivada de f em x0, denotada por f ’(x0), é dada por:
se este limite existir. Dx representa uma pequena variação em x, próximo de x0, ou seja, tomando x = x0 + ∆x (∆x = x − x0), a derivada de f em x0 pode também se expressa por
6) Derive a função dada abaixo:
f(x) = 2x2 + ex +2x -3
Passo a passo e resposta no final:
7) Defina a Soma de Riemann: 
Em matemática, uma soma de Riemann é um método para aproximação da área total inferior à curva em um gráfico, de outro modo conhecida como uma integral. Pode também ser usada para definir a operação integração. O método é nomeado em relação ao matemático alemão Bernhard Riemann. 
Para uma função f: D → R, onde D é um subconjunto dos números reais R, I = [a, b] é um intervalo fechado contido em D. Um conjunto finito de pontos {x0, x1, x2, ... xn} tal que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = bcria uma partição P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]} de I.
Porque P é uma partição com n elementos de I, a soma de Riemann de f em I com a partição P é definida como
onde xi-1 ≤ yi ≤ xi. A escolha de yi neste intervalo é arbitrária. Se yi = xi-1 para todo i, então S é chamado uma soma de Riemann à esquerda. Se yi = xi, então S é chamada uma soma de Riemann à direita. Se yi = (xi+xi-1)/2, então S é chamado uma soma de Riemann média. A média das somas de Riemann à direita e à esquerda é a soma trapezoidal.
Se é dado que onde vi é o supremo de f sobre [xi-1, xi], então S é definido ser uma soma de Riemann superior. Similarmente, se vi é o ínfimo de f sobre [xi−1, xi], então S é uma soma de Riemann inferior.
Qualquer soma de Riemann sobre uma dada partição (que é, para qualquer escolha de yi entre xi-1 e xi) está contida entre as somas de Riemann inferior e superior. Uma função é definida ser a integrável pela integral de Riemann se as somas de Riemann inferior e superior tornam-se mais próximas a medida que a partição torna-se mais fina. Este fato pode também ser usado para a integração numérica.
8) Defina a Integral:
Trata-se da operação inversa àquelas realizadas pela derivação em busca de identificar a função de origem a partir da sua derivada. Aplicam-se não só à matemática, mas à física e à biologia. Logo 𝐹 será a anti-derivada de 𝑓, num dado intervalo 𝐼, se 𝐹´(𝑥) = 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 pertencente ao intervalo 𝐼. No caso geral, a definição de integral está condicionada a existência do limite.
O conceito da integral surgiu a partir da necessidade de se calcular a área de uma região curva não simétrica. Por exemplo, a área sobre o gráfico da função f(x) = x² é difícil de ser calculado, pois não existe uma ferramenta exata para isso. Outro problema conhecido é o da distância. Sabemos calcular a distância percorrida por um objeto quando sua velocidade é constante. 
A integral definida pode ser interpretada como a área resultante de uma região. Além disso, ela é um valor em seu resultado final, ou seja, não depende da variável x podendo esta ser trocada por qualquer outra variável sem a alteração do valor da integral. De uma forma geral, a integral indefinida de uma função f é conhecida como sendo a primitiva de f. Em outras palavras, a integral indefinida representa toda uma família de funções que são diferenciadas por uma constante C. Enquanto a integral definida é um número, por exemplo, o valor da área de um gráfico, a integral definida é uma função.
9) Resolva as integrais dadas abaixo:
a) (Integral Indefinida)
Resposta: ∫ 2x+2+e^x dx = x² + 2x + e^x + C 
∫ 2x + 2 + e^x =  ∫ 2x dx +  ∫ 2 dx +  ∫ e^x dx =  ∫ 2.(x)^(2-1) +  ∫ 1.2.x^(1-1) + e^x (derivada de e^x é e^x então a integral de e^x também é e^x)
∫ 2x + 2 + e^x  = x² + 2x + e^x + C : no primeiro passo usei as regras de integração, onde é apenas "x" ou seja ,expoente 1 , a integral disso vai dar expoente 2 ,mas pra isso eu tive que dividir o coeficiente de "x" por 2 já no segundo é apenas "2" ou seja, o expoente de "x" é "0" e a integral disso vai dar expoente 1 , para chegar nisso tive que dividir o coeficiente de "x" por 1. Sem deixar de esquecer da constante no final.
b) (Integral Definida)
Passo a passo e resposta: